Physique A
X-ENSPC2025
# Cours didactique — Physique A, X‑ENS 2025, filière PC
**Concours** : École polytechnique / ESPCI (XE) — **Épreuve** : Physique A (n°3) — **Filière** : PC — **Année** : 2025 (mardi 15 avril, 4 h, sans calculatrice).
**Sujet** : *Miroirs à retournement temporel* (d'après M. Fink). On exploite l'**invariance par renversement du temps** de la propagation des ondes pour refaire « remonter le temps » à un champ d'ondes, qui vient alors se refocaliser spatialement et temporellement sur sa source. Le problème montre pourquoi ces expériences sont **d'autant plus performantes que le milieu est complexe** (réverbérant).
**Grands chapitres du programme mobilisés :**
- **Mécanique du point** : PFD, mouvement uniformément accéléré, frottement fluide, parité temporelle des équations. (Q1–5)
- **Ondes / équation de d'Alembert** : propagation 1D, solution retardée (causale) et avancée (anti‑causale), invariance par $t\to -t$. (Q6–8, Q13–20)
- **Réflexion‑transmission à une interface** : coefficients $r,t$, relations de réversibilité, coefficients de Fresnel. (Q9–12)
- **Ondes sphériques / équation de Helmholtz** : champ $u(r)$, ondes convergente/divergente, condition de régularité en $r=0$. (Q21–25)
- **Diffraction** : limite fondamentale de résolution, échantillonnage spatial. (Q26–27)
- **Cavité Fabry‑Pérot** : réflexions multiples, série géométrique, résonances, filtrage fréquentiel. (Q28–33)
- **Milieux réverbérants & statistiques** : moyenne et variance de variables aléatoires indépendantes, contraste de refocalisation. (Q34–37)
> **Remarques générales du rapport** (à garder en tête pour tout le sujet) : une bonne copie peut être **concise** ; **proscrire** les pseudo‑démonstrations qui partent du résultat pour y revenir ; **ne pas surinterpréter** l'énoncé ni résoudre plus que demandé ; comme les applications numériques sont rares, les mener **soigneusement** ; **tester** les résultats dans des cas limites — les questions étant enchaînées, une erreur se propage.
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## Questions préliminaires de mécanique
### Question 1 — Équation horaire dans un champ électrique uniforme
**Rappel de cours.** *Principe fondamental de la dynamique* dans un référentiel galiléen : $m\,\ddot{\vec r}=\sum\vec F$. Force de Lorentz électrique : $\vec F=q\vec E$. Un champ uniforme et constant donne un **mouvement uniformément accéléré** (paraboles).
**Analyse.**
Une seule force, $\vec F=qE_0\,\vec u_x$, portée par $\vec u_x$, comme la vitesse initiale : le mouvement est **rectiligne** selon $x$.
On intègre deux fois avec $\vec r(0)=\vec 0$ et $\vec v(0)=v_0\vec u_x$.
**Solution détaillée.** L'accélération est constante : $\ddot{\vec r}=\dfrac{qE_0}{m}\vec u_x$.
Une première intégration donne $\dot x=v_0+\dfrac{qE_0}{m}t$ ; une seconde, $$\boxed{\,x(t)=v_0\,t+\frac{qE_0}{2m}\,t^2,\qquad y(t)=0,\qquad z(t)=0.\,}$$
*Homogénéité* : $\big[\frac{qE_0}{m}t^2\big]=\frac{\text{C}\cdot\text{V·m}^{-1}}{\text{kg}}\,\text{s}^2=\frac{\text{J·m}^{-1}}{\text{kg}}\text{s}^2=\frac{\text{N}}{\text{kg}}\text{s}^2=\text{m·s}^{-2}\cdot\text{s}^2=\text{m}$ ✓.
Vérification en $t=0$ : $x=0$, $\dot x=v_0$ ✓.
**À retenir.** Réflexe : n'inclure **que** les forces de l'énoncé. Le rapport signale que **plus de la moitié** des copies ont ajouté une pesanteur **non mentionnée** : ne pas « habiller » un énoncé épuré.
### Question 2 — Invariance par renversement du temps
**Rappel de cours.**
Une équation du mouvement est **invariante par renversement du temps** si, $\vec r(t)$ étant solution, $\vec r(-t)$ l'est aussi.
Comme $t\mapsto -t$ laisse $\ddot{\vec r}$ inchangée mais change $\dot{\vec r}\to-\dot{\vec r}$, l'invariance tient **ssi** l'équation ne contient que des dérivées temporelles d'ordre **pair**.
**Analyse.** On applique la transformation à la trajectoire trouvée, puis on impose en plus $v_0\to-v_0$ (renversement de la condition initiale de vitesse) et on compare à la trajectoire de départ.
**Solution détaillée.**
Partant de $x(t)=v_0 t+\frac{qE_0}{2m}t^2$, on remplace $t\to -t$ : $$x(-t)=-v_0\,t+\frac{qE_0}{2m}t^2 .$$
En renversant aussi la vitesse initiale ($v_0\to -v_0$), on retrouve exactement $x(t)=v_0 t+\frac{qE_0}{2m}t^2$ : la trajectoire renversée est **identique** à la trajectoire directe.
**Oui, il y a invariance** par renversement du temps. C'est cohérent avec le fait que l'équation $m\ddot x=qE_0$ ne comporte qu'une dérivée d'ordre 2.
**À retenir.**
Le rapport avertit : le changement de signe de $v_0$ n'est pas une **contrainte à imposer pour obtenir** l'invariance ; c'est la **conséquence naturelle** de $\dot x\to-\dot x$ sous $t\to-t$.
L'invariance se lit sur l'équation (parité des dérivées), pas sur une astuce de condition initiale.
### Question 3 — Équation horaire avec frottement fluide
**Rappel de cours.**
*Frottement fluide (linéaire)* : $\vec F=-K\vec v$ (opposé à la vitesse, proportionnel à elle, $K>0$).
L'équation $m\dot v=-Kv$ est du premier ordre : relaxation exponentielle de la vitesse, temps caractéristique $\tau=m/K$.
**Analyse.** La force électrique est remplacée (« à la place », **pas en plus**) par le frottement. Mouvement toujours rectiligne selon $x$.
On intègre $m\dot v=-Kv$ puis $v$ pour obtenir $x$.
**Solution détaillée.** $\dfrac{\mathrm dv}{v}=-\dfrac{K}{m}\mathrm dt \Rightarrow v(t)=v_0\,e^{-Kt/m}$.
Puis $x(t)=\displaystyle\int_0^t v\,\mathrm dt'$ : $$\boxed{\,x(t)=\frac{m v_0}{K}\Big(1-e^{-Kt/m}\Big),\qquad y=z=0.\,}$$
*Homogénéité* : $[m/K]=\text{kg}/(\text{kg·s}^{-1})=\text{s}$ ✓ donc $[mv_0/K]=\text{m}$ ✓.
*Cas limites* : $t\to0$, $x\simeq v_0 t$ (vitesse initiale $v_0$ ✓) ; $t\to\infty$, $x\to mv_0/K$ (la particule s'arrête à distance finie, la vitesse s'annule).
**À retenir.** Le rapport insiste : **vérifier l'adéquation avec les conditions initiales** aurait détecté bien des erreurs. Deux fautes récurrentes signalées : (i) écrire une force de frottement au mauvais **signe** ou sans dépendance en $v$ ; (ii) rajouter **encore** la pesanteur, alors que l'énoncé dit « à la place ».
### Question 4 — Invariance sous renversement du temps ?
**Rappel de cours.** Même critère qu'en Q2 : invariance ssi seules des dérivées d'ordre pair apparaissent.
**Analyse.** L'équation $m\dot v=-Kv$ contient une dérivée **d'ordre 1**. On teste $t\to-t$.
**Solution détaillée.**
Sous $t\to-t$ : $\dot x\to-\dot x$, $\ddot x\to\ddot x$.
L'équation $m\ddot x=-K\dot x$ devient $m\ddot x=+K\dot x$ : le signe du frottement **change**.
La trajectoire renversée obéirait à une « anti‑friction » (force accélératrice) — physiquement irréaliste. **Il n'y a pas invariance** par renversement du temps.
**À retenir.** Une force **dissipative** brise la réversibilité temporelle. Réflexe transférable : tout terme en $\dot x$ (ou toute dérivée impaire) est un **marqueur d'irréversibilité**. Question « souvent bien traitée » selon le rapport.
### Question 5 — Différence fondamentale électrique / frottement
**Rappel de cours.**
La parité temporelle d'un terme de force se lit sur son **ordre de dérivation en temps** : $\vec F$ indépendante de $\vec v$ (ex. force électrique) est **paire** sous $t\to-t$ ; $\vec F\propto\vec v$ (frottement) est **impaire**.
**Analyse.** Il faut identifier *mathématiquement* la source de la différence, sans se rabattre sur des arguments annexes.
**Solution détaillée.**
La force électrique $qE_0$ ne dépend **pas** de la vitesse : sous $t\to-t$ elle est inchangée, l'équation ($m\ddot x=qE_0$) l'est aussi → réversible.
Le frottement $-K\dot x$ dépend **linéairement de la vitesse** (dérivée première, impaire sous $t\to-t$) : il change de signe, l'équation change → irréversible.
**Mathématiquement, la différence vient de la parité en $t$ du nombre de dérivées temporelles** portées par la force.
**À retenir.** Le rapport pointe une **erreur fréquente** : invoquer le caractère *conservatif* de la force électrique — et pire, le **relier à tort à l'uniformité** du champ. L'argument correct n'est pas « conservatif » mais « **indépendant de la vitesse** » (parité temporelle).
Une force conservative peut d'ailleurs dépendre de $x$ sans casser la réversibilité, tant qu'elle ne dépend pas de $\dot x$.
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## Ondes et renversement du temps
### Question 6 — $u(x,-t)$ est‑elle solution ?
**Rappel de cours.** *Équation d'onde de d'Alembert* : $\Delta u-\frac{1}{c_0^2}\partial_t^2 u=0$. Elle ne contient que $\partial_t^2$.
**Analyse.**
On teste la stabilité de l'équation sous $t\to-t$ en posant $v(x,t)=u(x,-t)$ et en calculant ses dérivées.
**Solution détaillée.** Soit $v(x,t)=u(x,-t)$.
Par la règle de dérivation composée, $\partial_t v=-(\partial_t u)(x,-t)$ et $\partial_t^2 v=+(\partial_t^2 u)(x,-t)$ ; de même $\partial_x^2 v=(\partial_x^2 u)(x,-t)$.
Donc $$\partial_x^2 v-\frac1{c_0^2}\partial_t^2 v=\Big[\partial_x^2 u-\frac1{c_0^2}\partial_t^2 u\Big](x,-t)=0.$$
**Oui**, $u(x,-t)$ est solution.
*Signification physique* : la propagation des ondes est **invariante par renversement du temps** — un film d'ondes joué à l'envers reste un mouvement d'ondes physiquement admissible. C'est le fondement de tout le problème.
**À retenir.** Le rapport signale que certains « démontrent » l'invariance à partir des solutions **admises** (cercle vicieux). La preuve correcte agit **sur l'équation**, via un vrai changement de variable $t\to-t$, pas sur une solution particulière ni par simple affirmation.
### Question 7 — Solution causale d'une source en $x=0$
**Rappel de cours.**
Solution générale de d'Alembert 1D : $u(x,t)=f(t-x/c_0)+g(t+x/c_0)$ (onde vers $+x$ **retardée** + onde vers $-x$).
Une source rayonne **de manière retardée** (causalité) : le champ en $x$ reproduit le signal source décalé du temps de vol $|x|/c_0$.
**Analyse.**
Source $s(t)$ en $0$, deux ondes sortantes de même amplitude (symétrie).
Pour $x>0$ seule l'onde $\to+x$ existe ; pour $x<0$ seule l'onde $\to-x$.
Le partage équitable impose le facteur $\tfrac12$.
**Solution détaillée.** $$u_0(x,t)=\begin{cases}\tfrac12\,s\!\left(t-\dfrac{x}{c_0}\right) & x>0\quad(\text{onde retardée vers }+x)\\[4pt]\tfrac12\,s\!\left(t+\dfrac{x}{c_0}\right) & x<0\quad(\text{onde retardée vers }-x)\end{cases}\;=\;\frac12\,s\!\left(t-\frac{|x|}{c_0}\right).$$
*Interprétation des termes* : $t-|x|/c_0$ est le **temps retardé** ; le champ en $x$ « répète » ce qu'a émis la source un temps $|x|/c_0$ plus tôt.
Le $\tfrac12$ traduit la répartition égale de l'énergie entre les deux directions. C'est la **solution causale** (nulle avant l'arrivée du front).
**À retenir.**
Le rapport relève deux fautes : (i) **imposer** une forme en cosinus sans démarche de décomposition (et alors **oublier la phase**) — inutile ici, $s$ est quelconque ; (ii) écrire la solution comme la **simple somme** des deux morceaux : il faut **préciser** que chaque expression ne vaut que sur son domaine ($u_0$ nulle ailleurs), ce que synthétise l'écriture unique en $|x|$.
### Question 8 — Onde non‑causale (renversée temporellement)
**Rappel de cours.** Le renversement du temps échange onde **retardée** (divergente, causale) et onde **avancée** (convergente, anti‑causale).
**Analyse.**
On applique $t\to-t$ à $u_0$.
Attention à ne substituer **que** $t\to-t$, sans « re‑renverser » par mégarde le retard.
**Solution détaillée.**
L'onde non‑causale est $u_0(x,-t)$ : $$u_0^{\text{nc}}(x,t)=\frac12\,s\!\left(-t-\frac{|x|}{c_0}\right)=\frac12\,s\!\left(-\Big(t+\frac{|x|}{c_0}\Big)\right).$$
Avec la variable renversée $t'=-t$, cela s'écrit $u_0^{\text{nc}}=\tfrac12\,s\!\big(t'-|x|/c_0\big)$, formellement identique à la solution causale **mais lue dans le temps renversé**.
*Interprétation* : en temps réel, l'argument $t+|x|/c_0$ décrit une onde **convergente** — elle arrive des $\pm\infty$ et se **focalise** sur la source à $t=0$.
C'est l'onde « avancée » : elle apparaît « avant » que la source n'agisse, d'où l'appellation **non‑causale**.
**À retenir.**
Le rapport signale l'erreur « malheureuse » consistant à remplacer $t'(=-t)$ par $-t'$ **et non $-t$** dans l'expression de Q7 : bien tenir le changement de variable.
Réflexe : *renverser le temps ⇔ transformer une onde divergente/retardée en onde convergente/avancée*.
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## Passage d'une interface
### Question 9 — Mise en place (aucune question posée)
**Rappel de cours.**
À une interface, une onde incidente d'amplitude $1$ donne une onde **réfléchie** (amplitude $r_{12}$) et une onde **transmise** (amplitude $t_{12}$), l'indice $12$ signalant l'incidence depuis le milieu 1 vers le milieu 2.
**Analyse.**
Configuration : interface en $x=0$, célérités $c_1$ ($x\le0$) et $c_2$ ($x>0$), onde incidente depuis $x=-\infty$.
**Solution détaillée.**
En régime harmonique de pulsation $\omega$ ($k_i=\omega/c_i$), le champ s'écrit $$x\le0:\; e^{i(k_1x-\omega t)}+r_{12}\,e^{i(-k_1x-\omega t)},\qquad x>0:\; t_{12}\,e^{i(k_2x-\omega t)}.$$
Le rapport confirme : **aucune question n'était posée ici** — il s'agit uniquement de fixer les notations et le schéma (incidente $\to+x$, réfléchie $\to-x$, transmise $\to+x$).
**À retenir.** Prendre le temps de poser proprement le schéma et les conventions d'amplitude : les questions 10‑12 en dépendent entièrement.
### Question 10 — Schéma de la situation renversée temporellement
**Rappel de cours.** Renverser le temps **inverse le sens de propagation** de chaque onde (et conjugue son amplitude ; ici les coefficients sont réels).
**Analyse.** On renverse les trois ondes de Q9 et on recompte ce qui **arrive** sur l'interface et ce qui **en repart**.
**Solution détaillée.** Les trois ondes deviennent (sens inversé, même amplitude réelle) :
| onde d'origine | après $t\to-t$ | rôle |
|---|---|---|
| incidente (milieu 1, $\to+x$, ampl. 1) | milieu 1, $\to-x$ (ampl. 1) | **repart** vers $-\infty$ |
| réfléchie (milieu 1, $\to-x$, ampl. $r_{12}$) | milieu 1, $\to+x$ (ampl. $r_{12}$) | **arrive** sur l'interface |
| transmise (milieu 2, $\to+x$, ampl. $t_{12}$) | milieu 2, $\to-x$ (ampl. $t_{12}$) | **arrive** sur l'interface |
Ainsi **deux ondes sont incidentes** sur l'interface ($r_{12}$ depuis la gauche, $t_{12}$ depuis la droite) et il **en repart une seule** non nulle (amplitude $1$ vers $-\infty$) — l'onde repartant vers $+\infty$ est d'amplitude **nulle**.
**À retenir.** Le rapport note des « résultats embrouillés » et des **milieux 1 et 2 inversés**. Réflexe : dessiner d'abord la situation directe, puis **retourner chaque flèche** sans toucher aux amplitudes — la comptabilité « 2 entrantes, 1 sortante » est le contrôle de cohérence.
### Question 11 — Relations $r_{21},t_{21}$ en fonction de $r_{12},t_{12}$
**Rappel de cours.** **Linéarité** : une situation à deux ondes incidentes se décompose en superposition de deux problèmes usuels « une incidente → une réfléchie + une transmise ».
**Analyse.**
On réécrit la situation renversée de Q10 (incidentes $r_{12}$ à gauche et $t_{12}$ à droite) comme somme de : (a) une incidence usuelle $r_{12}$ depuis la gauche (coeff. $r_{12},t_{12}$) ; (b) une incidence usuelle $t_{12}$ depuis la droite (situation duale, coeff. $r_{21},t_{21}$).
On impose que la superposition **reproduit** la sortie de Q10.
**Solution détaillée.** Ondes sortantes de la superposition :
- vers la **gauche** (milieu 1, $\to-x$) : réfléchie de (a) $=r_{12}\cdot r_{12}$ ; transmise de (b) $=t_{12}\cdot t_{21}$.
Total $=r_{12}^2+t_{12}t_{21}$.
- vers la **droite** (milieu 2, $\to+x$) : transmise de (a) $=r_{12}\cdot t_{12}$ ; réfléchie de (b) $=t_{12}\cdot r_{21}$.
Total $=r_{12}t_{12}+t_{12}r_{21}$.
Identification avec Q10 (sortie $1$ à gauche, $0$ à droite) : $$r_{12}t_{12}+t_{12}r_{21}=0\;\Rightarrow\;\boxed{r_{21}=-r_{12}},\qquad r_{12}^2+t_{12}t_{21}=1\;\Rightarrow\;\boxed{t_{12}t_{21}=1-r_{12}^2}.$$
**À retenir.** Ce sont les **relations de réversibilité (Stokes)**. Réflexe : le renversement temporel + linéarité **engendre gratuitement** des relations entre coefficients. Le rapport note que ces questions ont été **peu réussies**, souvent parce que le schéma de Q10 — même correct — était **refait faux** ici : réutiliser le schéma déjà validé.
### Question 12 — Vérification sur une interface optique
**Rappel de cours.**
*Coefficients de Fresnel en amplitude, incidence normale* : $r_{12}=\dfrac{n_1-n_2}{n_1+n_2}$, $t_{12}=\dfrac{2n_1}{n_1+n_2}$ (et dualement $n_1\leftrightarrow n_2$).
La célérité vaut $c_i=c/n_i$.
**Analyse.**
On calcule $r_{21}$ et $t_{12}t_{21}$ et on confronte aux relations de Q11.
**Solution détaillée.** $r_{21}=\dfrac{n_2-n_1}{n_1+n_2}=-r_{12}$ ✓.
Ensuite $$t_{12}t_{21}=\frac{2n_1}{n_1+n_2}\cdot\frac{2n_2}{n_1+n_2}=\frac{4n_1n_2}{(n_1+n_2)^2},$$ $$1-r_{12}^2=\frac{(n_1+n_2)^2-(n_1-n_2)^2}{(n_1+n_2)^2}=\frac{4n_1n_2}{(n_1+n_2)^2}.$$
Les deux expressions **coïncident** : $t_{12}t_{21}=1-r_{12}^2$ ✓.
**Les relations sont bien vérifiées** pour les coefficients en amplitude d'une interface optique.
**À retenir.**
Réflexe : distinguer coefficients en **amplitude** (ceux de Fresnel, qui vérifient Q11) des coefficients en **énergie** $R=r^2,\;T=\frac{n_2}{n_1}t^2$ (qui vérifient $R+T=1$, relation différente).
Ici c'est bien la relation *en amplitude* qui est testée.
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## Miroir à retournement temporel en milieu homogène
### Question 13 — Signal enregistré $R(t)$ par le miroir
**Rappel de cours.** Champ causal d'une source (Q7) : $u_0(x,t)=\tfrac12 s(t-|x|/c_0)$.
**Analyse.**
Le miroir $M$ en $x_0>0$ mesure la valeur du champ émis par $S$ en $0$ : c'est $u_0(x_0,t)$.
**Solution détaillée.** $$\boxed{\,R(t)=u_0(x_0,t)=\tfrac12\,s\!\left(t-\tfrac{x_0}{c_0}\right).}$$
Le signal source arrive en $M$ **retardé** du temps de vol $x_0/c_0$.
**À retenir.**
Le rapport pointe la faute en $t+x_0/c$ (avance au lieu de retard), **facilement évitable** en testant $t=x_0/c_0$ (le front doit y arriver, donc l'argument doit y valoir $0$).
Cette erreur de signe **contaminait toute la suite** : d'où l'importance du test.
### Question 14 — Tracé de $s$, $R$ et $R_{RT}$
**Rappel de cours.**
*Lecture en chronologie inverse* à partir de $t=T$ : ce qui a été reçu en $t=T^-$ est réémis en $t=T^+$ ; ce qui a été reçu vers $t=0$ est réémis vers $t=2T$.
C'est une **symétrie temporelle autour de $t=T$**.
**Analyse.**
On choisit un $s(t)$ **dissymétrique** (pour distinguer début et fin), on en déduit $R$ (même forme retardée de $x_0/c_0$), puis $R_{RT}$ (miroir de $R$ par rapport à $t=T$, sur $[T,2T]$).
**Solution détaillée.** Avec $s$ une impulsion à front raide et queue lente (par ex. « rampe montante puis décroissance ») :
- $s(t)$ : support autour de $t\approx0$.
- $R(t)=\tfrac12 s(t-x_0/c_0)$ : même forme, décalée de $x_0/c_0$.
- $R_{RT}(t)=R(2T-t)$ pour $T\le t\le 2T$ : le **retourné temporel** de $R$ (début et fin échangés).
Schéma sur $[0,2T]$ :
```
s(t) : /\_ (asymétrique, vers t≈0)
R(t) : /\_ (décalé de x0/c0)
R_RT(t) : _/\ (miroir de R autour de t=T, sur [T,2T])
0 T 2T
```
**À retenir.**
Le rapport **salue** l'ingéniosité des tracés d'un signal dont on distingue début et fin, mais **déconseille** un $s$ **périodique** ou **symétrique en $t=T$** : le retournement deviendrait invisible.
Réflexe : choisir un signal **manifestement asymétrique** pour rendre le renversement lisible.
### Question 15 — Expression de $R_{RT}(t)$
**Rappel de cours.**
Retourner un signal autour de $t=T$ : $f_{RT}(t)=f(2T-t)$.
**Analyse.** On applique cette symétrie à $R(t)=\tfrac12 s(t-x_0/c_0)$.
**Solution détaillée.**
$$R_{RT}(t)=R(2T-t)=\tfrac12\,s\!\big((2T-t)-\tfrac{x_0}{c_0}\big)=\tfrac12\,s(t'),\qquad \boxed{\,t'=2T-\tfrac{x_0}{c_0}-t.}$$
**À retenir.** Le rapport s'étonne que des candidats ayant **bien tracé** le retourné en Q14 n'aient **pas retrouvé** le retournement en Q15‑18.
Réflexe : le signe **$-t$** dans l'argument de $s$ est la **signature** du retournement temporel ; toute expression qui reste en $+t$ doit alerter.
### Question 16 — Champ $u_{RT}(x,t)$ émis pour $x\le x_0$
**Rappel de cours.**
Une onde émise en $x_0$ vers les $x$ décroissants s'écrit $F\big(t-(x_0-x)/c_0\big)$ (retard = temps de vol de $x_0$ à $x$).
**Analyse.** $M$ réémet $R_{RT}(t)$ ; on ne garde que l'onde partant vers $-x$.
Le champ en $x\le x_0$ est $R_{RT}$ évalué au temps retardé $(x_0-x)/c_0$.
**Solution détaillée.** $$u_{RT}(x,t)=R_{RT}\!\big(t-\tfrac{x_0-x}{c_0}\big)=\tfrac12\,s\!\Big(2T-\tfrac{x_0}{c_0}-\big(t-\tfrac{x_0-x}{c_0}\big)\Big)=\tfrac12\,s\!\big(2T-t-\tfrac{x}{c_0}\big).$$
Soit $$\boxed{\,u_{RT}(x,t)=\tfrac12\,s(t'),\qquad t'=2T-t-\tfrac{x}{c_0}\quad(x\le x_0).}$$
Vérification : en $x=x_0$, $u_{RT}=\tfrac12 s(2T-t-x_0/c_0)=R_{RT}(t)$ ✓ (raccord avec l'émission).
*[Convention d'amplitude : on modélise le miroir comme réémettant le champ enregistré $R_{RT}$ vers la gauche.
Si l'on traitait $M$ comme une source ponctuelle isotrope (partage $\tfrac12$ de chaque côté, comme la source de Q7), un facteur $\tfrac12$ supplémentaire apparaîtrait.
Le rapport ne juge pas ce préfacteur : l'essentiel est la structure de retournement temporel, robuste à ce choix.]*
**À retenir.**
Poser $\tau=t-2T$ donne $u_{RT}=\tfrac12 s\big(-(\tau+x/c_0)\big)$ : c'est **exactement l'onde convergente/anti‑causale** de Q8 (à l'origine des temps $2T$ près).
Réflexe : le miroir a bien **recréé le passé** de l'onde.
### Question 17 — Signal reçu $s_{RT}(t)$ en $x=0$
**Rappel de cours.**
Le champ en $x=0$ est $u_{RT}(0,t)$.
**Analyse.** On évalue le résultat de Q16 en $x=0$.
**Solution détaillée.** $$\boxed{\,s_{RT}(t)=u_{RT}(0,t)=\tfrac12\,s(2T-t).}$$
C'est le signal source **retourné temporellement** et centré sur $t=2T$.
*Lien avec la figure de tête* : l'onde revient **se focaliser sur la source**, « revivant son propre passé » — c'est l'illustration du miroir à renversement du temps de Fink.
**À retenir.**
Réflexe : une refocalisation par retournement temporel reproduit $s(2T-t)$, **pas** $s(t)$ ; le signal est bien la source relue à l'envers autour de l'instant de refocalisation.
### Question 18 — Champ global à deux miroirs $u_{RT2}(x,t)$
**Rappel de cours.** Superposition (linéarité) des champs émis par deux miroirs symétriques en $\pm x_0$.
**Analyse.**
Le miroir en $-x_0$ est le symétrique ($x\to-x$) de celui en $+x_0$ : il rayonne vers $+x$ le champ $\tfrac12 s(2T-t+x/c_0)$.
On ajoute les deux pour $-x_0\le x\le x_0$.
**Solution détaillée.** $$\boxed{\,u_{RT2}(x,t)=\tfrac12\Big[s\!\big(2T-t-\tfrac{x}{c_0}\big)+s\!\big(2T-t+\tfrac{x}{c_0}\big)\Big].}$$
Avec $\tau=t-2T$ : $u_{RT2}=\tfrac12\big[s(-(\tau+x/c_0))+s(-(\tau-x/c_0))\big]$.
Le **premier terme** ($\propto s(-(\tau+x/c_0))$) est l'onde **convergente** (anti‑causale), le **second** ($\propto s(-(\tau-x/c_0))$) l'onde **divergente** (causale).
On a donc reconstitué la **superposition convergente + divergente** attendue.
**À retenir.** Le rapport signale la **propagation d'erreurs** de Q15 jusqu'ici : un $R_{RT}$ faux ruine Q16‑18. Réflexe de contrôle : à deux miroirs, on doit retrouver *convergente + divergente* — sinon revenir en arrière.
### Question 19 — Champ $u_{RT2}$ autour de $t=2T$ (impulsion brève)
**Rappel de cours.**
Pour une impulsion **brève**, chaque terme $s(\cdots)$ est un « paquet » localisé se déplaçant à $\pm c_0$.
**Analyse.**
On représente $u_{RT2}$ à plusieurs instants : avant, à, et après $t=2T$.
**Solution détaillée.**
- **$t<2T$** : deux impulsions **convergent** vers $x=0$ (l'une venant de $+x_0$ vers la gauche, l'autre de $-x_0$ vers la droite) — c'est la **solution anti‑causale**.
- **$t=2T$** : elles se superposent en $x=0$ → **pic de focalisation** (amplitude maximale).
- **$t>2T$** : elles se croisent et **divergent** (deux impulsions s'écartant) — c'est la **solution causale**, à l'origine des temps décalée en $2T$.
```
t<2T : →• •← (convergence)
t=2T : █ (focalisation en x=0)
t>2T : ←• •→ (divergence)
-x0 0 +x0
```
**À retenir.**
Le rapport rappelle de bien **partir d'une impulsion brève** (des ondes harmoniques n'ont ici pas de sens) et **d'oser** superposer en $t=2T$ puis représenter $t>2T$.
L'identification causale/anti‑causale, quand la question était traitée, a été « raisonnablement » réussie.
### Question 20 — Ne recréer que la solution anti‑causale
**Rappel de cours.** Une onde convergente qui se focalise **repart** en divergeant, sauf si son énergie est **absorbée** au foyer. Un absorbeur parfait au point de focalisation agit comme un **puits** (source « temporellement renversée »).
**Analyse.**
On veut $u=0$ pour $t\ge2T$ : il faut supprimer la partie divergente **après** la refocalisation.
**Solution détaillée.**
Il faut placer **à la source** (en $x=0$) un dispositif qui **absorbe** l'onde convergente au moment où elle se referme ($t=2T$) — idéalement la **source initiale elle‑même agissant comme puits** (émettant un champ qui annule exactement l'onde divergente).
Concrètement : un **absorbeur/récepteur adapté** en $x=0$ qui capte l'énergie incidente au lieu de la laisser repartir.
**À retenir.** Le rapport note que beaucoup proposent « un matériau absorbant » **sans réfléchir à la mise en œuvre**. [Point à nuancer : un absorbeur passif parfaitement adapté n'existe qu'idéalement ; rigoureusement, il faut un **puits actif** — une anti‑source synchronisée. La réponse attendue reste de l'ordre de l'absorbeur/puits à la source.]
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## Considérations spatiales
### Question 21 — Équation d'onde à symétrie sphérique
**Rappel de cours.**
*Symétrie sphérique* signifie $u=u(r,t)$ (aucune dépendance en $\theta,\varphi$), à ne pas confondre avec « travailler en coordonnées sphériques ».
Le laplacien se réduit alors à $\Delta u=\dfrac1r\dfrac{\partial^2(ru)}{\partial r^2}$.
**Analyse.**
On annule $\partial_\theta$ et $\partial_\varphi$ dans le laplacien fourni, puis on reporte dans d'Alembert.
**Solution détaillée.**
Avec $\Delta u=\tfrac1r\partial_r^2(ru)$ : $$\frac1r\frac{\partial^2(ru)}{\partial r^2}-\frac1{c_0^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=0\;\Longleftrightarrow\;\boxed{\frac{\partial^2(ru)}{\partial r^2}-\frac1{c_0^2}\frac{\partial^2(ru)}{\partial t^2}=0}$$ (en multipliant par $r$).
Ainsi **$ru$ obéit à l'équation de d'Alembert 1D** en $r$.
**À retenir.** Le rapport souligne la **confusion massive** coordonnées sphériques ↔ symétrie sphérique.
Réflexe capital : *poser l'équation sur $ru$* (et non sur $u$) — c'est la clé qui débloque Q22‑25.
### Question 22 — Régime monochromatique
**Rappel de cours.**
En notation complexe $u(r,t)=\Re\{\underline u(r,\omega)e^{-i\omega t}\}$, $\partial_t^2\to-\omega^2$.
On pose $k=\omega/c_0$.
**Analyse.** On injecte la forme monochromatique dans l'équation sur $ru$.
**Solution détaillée.** $$\frac{\mathrm d^2(r\underline u)}{\mathrm dr^2}+\frac{\omega^2}{c_0^2}\,(r\underline u)=0\;\Longleftrightarrow\;\boxed{\frac{\mathrm d^2(r\underline u)}{\mathrm dr^2}+k^2\,(r\underline u)=0.}$$
C'est l'**équation de Helmholtz 1D** pour la fonction $r\underline u(r)$.
**À retenir.** Le rapport avertit : si l'équation ne porte pas sur **$r\,u(r)$**, la suite devient difficile.
Il pointe aussi la tendance à **prendre la partie réelle trop tôt** : on garde la notation complexe $\underline u$ jusqu'au bout, en respectant la convention $e^{-i\omega t}$.
### Question 23 — Ondes convergente et divergente
**Rappel de cours.** Solutions de Helmholtz 1D : $r\underline u=A e^{ikr}+Be^{-ikr}$.
Avec la convention $e^{-i\omega t}$, le sens de propagation se lit sur la **phase** $\pm kr-\omega t$ : phase constante $\Rightarrow r$ **croissant** avec $t$ (divergente) pour $+kr$, **décroissant** (convergente) pour $-kr$.
**Analyse.** On divise par $r$ et on **justifie** le caractère divergent/convergent par le sens de déplacement des surfaces d'onde.
**Solution détaillée.** $$\boxed{\underline u_d(r,\omega)=\frac{U_d}{r}\,e^{ikr}\ \text{(divergente)},\qquad \underline u_c(r,\omega)=\frac{U_c}{r}\,e^{-ikr}\ \text{(convergente)}.}$$
*Justification* : pour $\underline u_d$, la phase totale $kr-\omega t=\text{cte}$ donne $r=\omega t/k+\text{cte}$, front **s'éloignant** de l'origine → divergente ; pour $\underline u_c$, $-kr-\omega t=\text{cte}$ donne $r=-\omega t/k+\text{cte}$, front **se rapprochant** → convergente.
L'amplitude décroît en $1/r$ (conservation de l'énergie sur des sphères de surface $4\pi r^2$).
**À retenir.**
Le rapport liste les fautes : **oubli de la justification** convergente/divergente ; justification (erronée) par le comportement à l'infini ; **incohérences de notation complexe** (garder $e^{-i\omega t}$ dans $\underline u(r,\omega)$) ; et surtout **ne pas absorber le $1/r$** dans $U_c$ — sinon il est oublié dès Q24.
Respecter la convention de l'énoncé.
### Question 24 — Condition de régularité en $r=0$
**Rappel de cours.** Un champ physique doit rester **fini** en $r=0$. Un terme $\propto 1/r$ y diverge, sauf annulation du numérateur.
**Analyse.** Après retournement temporel, le champ total est la superposition convergente + divergente : $\underline u=\underline u_c+\underline u_d$. On impose la finitude en $r=0$.
**Solution détaillée.** $$\underline u(r)=\frac{U_c e^{-ikr}+U_d e^{ikr}}{r}\underset{r\to0}{\sim}\frac{U_c+U_d}{r}.$$
La finitude exige $U_c+U_d=0$, soit $\boxed{U_d=-U_c}$.
Avec $U_c=U_0$ : $$\underline u(r)=\frac{U_0}{r}\big(e^{-ikr}-e^{ikr}\big)=-2i\,U_0\,\frac{\sin(kr)}{r}\;\xrightarrow[r\to0]{}\;-2i\,U_0\,k\quad(\text{fini}).$$
**À retenir.** Réflexe : une **onde stationnaire régulière** au centre s'obtient en combinant convergente et divergente **en opposition** ($\sin$ plutôt qu'exponentielles). Question « bien traitée quand Q23 l'était » (rapport) — d'où l'importance de sécuriser Q23.
### Question 25 — Tracé du module du champ total
**Rappel de cours.** $|\sin(kr)/r|$ : fonction sinc, valeur **finie** $k$ en $r=0$ (car $\sin x/x\to1$), zéros en $kr=n\pi$, enveloppe en $1/r$.
**Analyse.** On trace $|\underline u(r)|=2|U_0|\,\big|\dfrac{\sin kr}{r}\big|$ et on identifie la longueur caractéristique.
**Solution détaillée.** $$|\underline u(r)|=2|U_0|\,\frac{|\sin(kr)|}{r},\qquad |\underline u(0)|=2|U_0|\,k.$$
Pic central en $r=0$, premiers zéros en $r=\pi/k=\lambda/2$ (avec $\lambda=2\pi/k=2\pi c_0/\omega$ la **longueur d'onde acoustique**), puis lobes décroissants en $1/r$.
```
|u|
|• largeur du pic central ~ λ/2
| \ .-. .-.
| \_/ \_/ \_ ...
+----|----|----|---- r
λ/2 λ 3λ/2
```
La **longueur caractéristique** de la tache de focalisation est $\sim\lambda/2$ (rapportée à la **longueur d'onde acoustique** des ondes superposées).
**À retenir.**
Le rapport relève : quasi personne ne **relie** la longueur caractéristique à $\lambda$ ; rappeler $\sin x/x=1$ en $x=0$ ; et un **module ne peut être négatif** (tracer $|\cdots|$).
Réflexe : la refocalisation a une taille finie $\sim\lambda/2$, pas ponctuelle.
### Question 26 — Limite fondamentale
**Rappel de cours.** *Limite de diffraction* : aucune onde ne peut être focalisée sur une tache plus petite que $\sim\lambda/2$ (critère d'Abbe/Rayleigh).
**Analyse.** La tache de Q25 vaut $\sim\lambda/2$ : c'est la signature de la diffraction.
**Solution détaillée.** La refocalisation imparfaite (taille $\sim\lambda/2$) est la **limite de diffraction** de l'optique/acoustique ondulatoire. On la retrouve notamment dans la **résolution des instruments d'imagerie** : microscopie optique (critère d'Abbe $\sim\lambda/2\text{NA}$), échographie médicale, télescopes.
**À retenir.** Le rapport rapporte un « florilège » de mauvaises réponses (mécanique quantique, relativité). Réflexe : une échelle spatiale $\sim\lambda$ **imposée par l'onde** ⇒ **diffraction**, jamais quantique ni relativiste.
### Question 27 — Nombre de capteurs sur une sphère de rayon $10\lambda$
**Rappel de cours.** Échantillonnage spatial suffisant : **un capteur par élément de surface $\lambda^2/4$**. Aire d'une sphère : $4\pi R^2$.
**Analyse.**
On divise l'aire de la sphère de rayon $R=10\lambda$ par $\lambda^2/4$ et on **calcule** la valeur numérique.
**Solution détaillée.**
$$N=\frac{4\pi(10\lambda)^2}{\lambda^2/4}=\frac{400\pi\lambda^2}{\lambda^2/4}=1600\pi\approx\boxed{5{,}0\times10^{3}\ \text{capteurs}}.$$
**À retenir.** Le rapport est explicite : « $1600\pi+1$ » **n'est pas** une application numérique. Réflexe : une **A.N. se termine par un nombre** ($1600\pi\approx5027\approx5000$), surtout quand elles sont rares dans le sujet.
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## Miroir en milieu réverbérant — Cavité Fabry‑Pérot
### Question 28 — Champ $R(t)$ reçu en $M$ (réflexions multiples)
**Rappel de cours.** *Cavité Fabry‑Pérot* : deux interfaces piègent l'onde ; le signal transmis est une **somme de contributions** correspondant à $0,1,2,\dots$ allers‑retours, chacune atténuée par deux réflexions et **retardée** d'un temps de round‑trip.
**Analyse.**
Interfaces en $x=\pm L$ (milieu $c_2$ à l'intérieur, $c_1$ ailleurs).
Source en $-x_0$, récepteur en $x_0$ ($x_0>L$).
Trajet direct : $c_1$ sur $x_0-L$, traversée de la cavité ($t_{12}$ puis $t_{21}$), $c_2$ sur $2L$, puis $c_1$ sur $x_0-L$.
Chaque aller‑retour supplémentaire dans la cavité : deux réflexions internes ($r_{21}^2$) et un trajet $4L$ à $c_2$.
**Solution détaillée.**
Retard direct : $$\tau_d=\frac{2(x_0-L)}{c_1}+\frac{2L}{c_2}.$$
Amplitude directe : $t_{12}t_{21}$.
Le $n$‑ième écho ajoute $r_{21}^{2n}$ et un retard $n\cdot\dfrac{4L}{c_2}$ : $$\boxed{\,R(t)=t_{12}t_{21}\sum_{n=0}^{\infty} r_{21}^{\,2n}\;s\!\left(t-\tau_d-n\,\frac{4L}{c_2}\right).}$$
*Contrôles* : amplitudes décroissantes ($|r_{21}|<1$) ; retards portés par la célérité **interne** $c_2$ (aller‑retour $4L$) et par $c_1$ pour les segments externes.
**À retenir.** Le rapport note que cette question **sélective** distinguait les copies selon : prise en compte (ou non) des réflexions multiples, et **rigueur des retards** (longueurs d'aller‑retour et célérités **distinctes** $c_1\ne c_2$). Réflexe : séparer proprement trajet externe (une fois) et allers‑retours internes (série géométrique).
### Question 29 — Allure de $R(t)$ pour $s$ gaussienne
**Rappel de cours.** $s(t)=e^{-t^2/2\tau^2}$ : impulsion **gaussienne** centrée, largeur $\tau$.
Une somme de gaussiennes décalées et atténuées reste un **peigne** de pics gaussiens.
**Analyse.** $\tau$ court devant $4L/c_2$ ⇒ les échos sont **séparés**.
**Solution détaillée.** $R(t)$ est une suite de gaussiennes identiques (largeur $\tau$), aux instants $\tau_d+n\,4L/c_2$, d'amplitudes $t_{12}t_{21}\,r_{21}^{2n}$ (décroissance **géométrique** de raison $r_{21}^2>0$, toutes de même signe) :
```
R(t)
| ▲
| | ▲
| | | ▲
| | | | ▲ ...
+--┴----┴---┴--┴----- t
τd +4L/c2 +8L/c2
```
**À retenir.** Le rapport signale que l'allure **gaussienne** de $s$ a parfois été remplacée par une **exponentielle décroissante** : c'est l'**enveloppe** des amplitudes qui décroît, pas la forme de chaque pic. Réflexe : distinguer forme d'impulsion et loi d'atténuation.
### Question 30 — Signal $s_{RT}(t)$ après relecture inverse
**Rappel de cours.**
Réponse impulsionnelle du canal source→$M$ : $h(t)=t_{12}t_{21}\sum_n r_{21}^{2n}\,\delta(t-\tau_d-n\,\tfrac{4L}{c_2})$.
Le retour $M\to$source applique **le même $h$** (réciprocité). $R=h*s$.
**Analyse.** $M$ réémet $R_{RT}(t)=R(2T-t)$, qui se propage à travers le **même** canal $h$.
Le signal reçu est une double convolution $\Rightarrow$ double somme.
**Solution détaillée.** $s_{RT}=h*R_{RT}$ avec $R_{RT}(t)=R(2T-t)$ et $R=h*s$ : $$\boxed{\,s_{RT}(t)=t_{12}^2t_{21}^2\sum_{n,m\ge0} r_{21}^{\,2(n+m)}\;s\!\left(2T-t+(n-m)\frac{4L}{c_2}\right).}$$
- **Terme principal** ($n=m$) : $s(2T-t)$ pondéré par $t_{12}^2t_{21}^2\sum_n r_{21}^{4n}=\dfrac{t_{12}^2t_{21}^2}{1-r_{21}^4}$ → **pic de refocalisation** (signal source retourné) en $t=2T$.
- **Termes secondaires** ($n\ne m$) : pics en $t=2T\pm p\,\tfrac{4L}{c_2}$ ($p\ge1$), d'amplitudes plus faibles.
**On ne retrouve pas exactement** le signal initial : le pic central retourné est **entouré de répliques** (échos résiduels espacés de $4L/c_2$).
```
s_RT(t)
| ▲ pic central (∝ 1/(1-r21^4))
| ▲ | | ▲ répliques secondaires
| ▲ | | | | ▲
+--┴-┴----┴-┴----┴-┴---- t
2T-4L/c2 2T 2T+4L/c2
```
**À retenir.** Le rapport : traitement **analytique** souvent correct (conditionné à Q28), **graphe** moins réussi. Réflexe : une double convolution donne une **double somme** ; la diagonale $n=m$ porte la refocalisation, les termes croisés portent les artefacts.
### Question 31 — Réponse monochromatique $R(\omega)$
**Rappel de cours.**
Un retard $\tau$ multiplie l'amplitude (convention $e^{-i\omega t}$) par $e^{+i\omega\tau}$.
Une somme géométrique de retards donne une fraction : $\sum_n z^n=\dfrac{1}{1-z}$ pour $|z|<1$.
**Analyse.** On somme la série géométrique de Q28 en régime harmonique.
**Solution détaillée.**
Avec $s(t)=\Re\{S(\omega)e^{-i\omega t}\}$, chaque terme $r_{21}^{2n}s(t-\tau_d-n\tfrac{4L}{c_2})$ contribue $r_{21}^{2n}e^{i\omega(\tau_d+n\,4L/c_2)}S(\omega)$ : $$\boxed{\,R(\omega)=t_{12}t_{21}\,e^{i\omega\tau_d}\;\frac{1}{1-r_{21}^2\,e^{\,i\,4L\omega/c_2}}\;S(\omega).}$$
**À retenir.** Le rapport : les candidats obtiennent « relativement aisément » la **série géométrique**, mais peinent à traduire la **résonance** (dénominateur **minimal**, non exactement nul).
Réflexe : identifier $z=r_{21}^2 e^{i4L\omega/c_2}$ et étudier $|1-z|$.
### Question 32 — Fréquences de résonance
**Rappel de cours.**
Résonance = **dénominateur minimal** : $|1-r_{21}^2 e^{i\phi}|$ minimal (et non nul, car $|r_{21}|<1$) quand $e^{i\phi}=1$, i.e. $\phi=2\pi p$.
**Analyse.** Ici $\phi=4L\omega/c_2$.
On en déduit $\omega_p$ puis la condition sur $L$.
**Solution détaillée.** $$\frac{4L\omega_p}{c_2}=2\pi p\;\Rightarrow\;\omega_p=\frac{p\pi c_2}{2L},\qquad f_p=\frac{p\,c_2}{4L},\qquad \lambda_2=\frac{c_2}{f_p}=\frac{4L}{p}.$$
Soit $\boxed{\,2L=p\,\dfrac{\lambda_2}{2}}$ : la **longueur de cavité $2L$ contient un nombre entier de demi‑longueurs d'onde** (condition d'onde stationnaire).
**À retenir.**
Le rapport : la résonance vient d'un dénominateur **minimal**, pas strictement nul ; certains ont répondu Q32 **sans** Q31 en invoquant directement la longueur **$2L$** de la cavité — recevable, mais le raisonnement propre passe par $R(\omega)$.
Réflexe FP : $2L=p\lambda/2$.
### Question 33 — Pourquoi un capteur unique échoue ici
**Rappel de cours.** Le retournement temporel est **parfait** si le canal est un **retard pur** (transfert de module constant, « tout‑passe »). Une cavité résonante a un transfert $|R(\omega)|$ **piqué** aux résonances : c'est un **filtre sélectif en fréquence**.
**Analyse.** On compare le transfert FP (Q31) au retard pur du milieu homogène.
**Solution détaillée.**
En milieu homogène, le canal est un simple retard $x_0/c_0$ : toutes les fréquences sont transmises à l'identique, le retournement temporel reconstruit fidèlement $s(2T-t)$.
Dans la cavité, $|R(\omega)|$ est **modulé** (peigne de résonances) : le canal **pondère inégalement** les fréquences → le signal reconstruit est **déformé**. Un **unique capteur** ne peut compenser ce filtrage fréquentiel, d'où l'impossibilité de recréer exactement le signal initial.
**À retenir.** Le rapport confirme que le rôle de **filtre fréquentiel** de la cavité a été « fréquemment compris ». Réflexe : retournement temporel parfait ⇔ canal à **spectre plat** ; toute résonance introduit une distorsion.
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## Milieu réverbérant
### Question 34 — Signal $s_{RT}(t)$ reçu à l'origine
**Rappel de cours.** Réponse impulsionnelle du milieu réverbérant : $h(t)=\sum_{n=0}^{N_t}a_n\,\delta(t-t_0-n\tau)$. Par réciprocité, le retour subit le **même** $h$. La double propagation → **double somme**.
**Analyse.** $M$ réémet $R_{RT}(t)=R(2T-t)=\sum_m a_m\,s(2T-t-t_0-m\tau)$ ; on la propage à travers $h$.
**Solution détaillée.** $$s_{RT}(t)=\sum_n a_n\,R_{RT}(t-t_0-n\tau)=\sum_n a_n\,R\big(2T-t+t_0+n\tau\big),$$ et avec $R(\theta)=\sum_m a_m s(\theta-t_0-m\tau)$ : $$\boxed{\,s_{RT}(t)=\sum_{n=0}^{N_t}\sum_{m=0}^{N_t} a_n a_m\;s\!\big(2T-t+(n-m)\tau\big).}$$
**À retenir.** Le rapport : la **double somme** $\sum_{n,m}a_na_m$ a été **rarement** obtenue correctement — or Q35‑37 en découlent.
Réflexe : aller (canal $h$) puis retour (même $h$) ⇒ produit $a_na_m$.
### Question 35 — Valeur en $t=2T$
**Rappel de cours.** $s$ impulsion de largeur $\tau$ : $s(k\tau)\simeq0$ pour $k\ne0$, $s(0)$ maximal.
Variables $a_n$ à **moyenne nulle** mais $\langle a_n^2\rangle\ne0$ (variance non nulle), indépendantes.
**Analyse.**
En $t=2T$, seuls les termes $n=m$ (argument $s(0)$) survivent.
**Solution détaillée.** $$s_{RT}(2T)=\sum_{n,m}a_na_m\,s\big((n-m)\tau\big)\simeq s(0)\sum_{n}a_n^2.$$
Les $a_n^2$ étant **positifs**, la somme s'ajoute **constructivement** : $$\boxed{\,s_{RT}(2T)\simeq s(0)\sum_{n=0}^{N_t}a_n^2\approx (N_t+1)\,\langle a^2\rangle\,s(0)\,}\quad(\text{grand, }\propto N_t).$$ (Pour $a_n$ uniforme sur $[-1,1]$, $\langle a^2\rangle=1/3$.)
**À retenir.** Le rapport : la **non‑nullité des contributions en $a_n^2$** a été **rarement comprise**.
Réflexe clé : même si $\langle a_n\rangle=0$, la **diagonale** $\sum a_n^2$ ne se moyenne pas à zéro — c'est elle qui crée le **pic cohérent** de refocalisation.
### Question 36 — Champ aux instants $t=2T+n\tau$
**Rappel de cours.**
Produit de variables **indépendantes** à moyenne nulle : $\langle a_k a_{k-n}\rangle=0$ pour $n\ne0$.
Une somme de $\sim N_t$ tels produits a une moyenne nulle et une **fluctuation** $\sim\sqrt{N_t}$.
**Analyse.**
En $t=2T+p\tau$ ($p\ne0$), seuls survivent les termes tels que $n-m=p$.
**Solution détaillée.** $$s_{RT}(2T+p\tau)\simeq s(0)\sum_{n} a_n\,a_{n-p}.$$
Pour $p\ne0$ : produits de variables **indépendantes** à moyenne nulle ⇒ $$\boxed{\,\big\langle s_{RT}(2T+p\tau)\big\rangle=0\ (p\ne0),\qquad \text{fluctuation typique}\ \sim s(0)\sqrt{N_t}\,\langle a^2\rangle.}$$
Le champ y est **statistiquement nul** (bruit résiduel $\sim\sqrt{N_t}$), très inférieur au pic central $\propto N_t$.
**À retenir.**
Réflexe : diagonale ($p=0$) $\to$ signal cohérent $\propto N_t$ ; hors‑diagonale ($p\ne0$) $\to$ bruit incohérent $\propto\sqrt{N_t}$.
### Question 37 — Commentaire
**Rappel de cours.** *Rapport signal/bruit* de la refocalisation : (pic)/(fond) $\sim N_t/\sqrt{N_t}=\sqrt{N_t}$.
**Analyse.** On compare pic (Q35) et fond (Q36) et on relie au propos introductif.
**Solution détaillée.**
Le retournement temporel en milieu réverbérant produit un **pic de refocalisation net** en $t=2T$, d'amplitude $\propto N_t$ (somme cohérente des $a_n^2$), sur un fond de fluctuations d'amplitude $\propto\sqrt{N_t}$.
Le **contraste** de la refocalisation croît donc comme $\sqrt{N_t}$ : **plus le milieu est réverbérant** (plus $N_t$ est grand, plus il y a d'échos et de diversité), **meilleure** est la refocalisation.
Un **capteur unique** dans une cavité complexe atteint alors les performances d'un réseau de capteurs en espace libre : la **multiplicité des trajets** remplace la multiplicité spatiale des capteurs. C'est exactement le message de l'introduction : *les expériences sont d'autant plus performantes que le milieu de propagation est complexe*.
**À retenir.** Réflexe conceptuel majeur : en retournement temporel, la **diversité** (spatiale via un réseau, ou multi‑trajets via la réverbération) est la ressource qui affine la focalisation. Le gain en contraste $\sqrt{N_t}$ résume tout le problème.
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*Fin du corrigé — 37 questions traitées.*