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Aperçu partiel. Source : « Épreuve de Mathématiques A — Démo MP 2024 », catalogue demo_mp_maths-a_2024.

Épreuve de Mathématiques A — Démo MP 2024

Document de démonstration. Ce sujet illustre le fonctionnement du site (rendu LaTeX, copie de la source). Il est rédigé dans l'esprit d'une épreuve de type X / X-ENS, en beaucoup plus court.

Durée : 4 heures. L'usage de la calculatrice est interdit. Toute affirmation doit être justifiée.

Notations

Dans tout le problème, nn désigne un entier naturel non nul et E=RnE = \mathbb{R}^n est muni de son produit scalaire canonique ⟨⋅,⋅⟩\langle \cdot, \cdot \rangle. Pour une famille (v1,…,vp)(v_1, \dots, v_p) de vecteurs de EE, on appelle matrice de Gram la matrice

G(v1,…,vp)=(⟨vi,vj⟩)1≤i,j≤p∈Mp(R).G(v_1, \dots, v_p) = \big( \langle v_i, v_j \rangle \big)_{1 \le i, j \le p} \in \mathcal{M}_p(\mathbb{R}).

Partie I — Propriétés générales

Question 1. Montrer que G=G(v1,…,vp)G = G(v_1, \dots, v_p) est symétrique et positive, c'est-à-dire que pour tout x∈Rpx \in \mathbb{R}^p, x⊤Gx≥0x^\top G x \ge 0.

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