Maths B

# Mathématiques B (X)

Ecole polytechnique — Concours d'admission 2020

Mardi 21 avril 2020 - 8h00 – 12h00

Filiere MP - Epreuve n° 3

*Durée : 4 heures*

*L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve*

Les trois parties sont indépendantes.

## Notations

Dans tout le sujet, $(\Omega, \mathscr{A}, P)$ désigne un espace probabilisé sur lequel seront définies les différentes variables aléatoires. On notera $P[A]$ la probabilité d'un événement $A \subset \Omega$ et $E[X]$ l'espérance d'une variable aléatoire $X$ sur $(\Omega, \mathscr{A}, P)$ à valeurs réelles.

On pourra utiliser sans démonstration le résultat suivant :

*Si $Y_1, \ldots, Y_n$ sont des variables aléatoires réelles discrètes mutuellement indépendantes et intégrables, alors*

$$
E[Y_1 \cdots Y_n] = E[Y_1] \cdots E[Y_n].
$$

On note $\log$ la fonction logarithme népérien. Par convention, on pose $\log 0 = -\infty$.

## Première partie

Soit $n \geqslant 1$ un entier naturel, et soient $(X_1, \ldots, X_n)$ des variables aléatoires réelles discrètes mutuellement indépendantes telles que, pour tout $k \in \{1, \ldots, n\}$,

$$
P[X_k = 1] = P[X_k = -1] = \frac{1}{2}.
$$

On définit

$$
S_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} X_k
$$

ainsi que, pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$,

$$
\psi(\lambda) = \log\left(\frac{1}{2} e^{\lambda} + \frac{1}{2} e^{-\lambda}\right).
$$

**1.** Soit $Z$ une variable aléatoire réelle discrète telle que $\exp(\lambda Z)$ est d'espérance finie pour tout $\lambda > 0$. Montrer que pour tout $\lambda > 0$ et $t \in \mathbb{R}$,

$$
P[Z \geqslant t] \leqslant \exp(-\lambda t)\, E[\exp(\lambda Z)].
$$

**2.** Montrer que $P[S_n \geqslant 0] \geqslant \dfrac{1}{2}$.

**3.** Montrer que pour tout $t \in \mathbb{R}$, on a

$$
\frac{1}{n} \log P[S_n \geqslant t] \leqslant \inf_{\lambda \geqslant 0} \big(\psi(\lambda) - \lambda t\big).
$$

Pour chaque $\lambda \geqslant 0$, on pose

$$
m(\lambda) = \frac{E[X_1 \exp(\lambda X_1)]}{E[\exp(\lambda X_1)]},
$$

ainsi que

$$
D_n(\lambda) = \exp\big(\lambda n S_n - n \psi(\lambda)\big).
$$

**4.** Montrer que la fonction $m$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+$, et que pour tout $t \in [0, 1[$, il existe un unique $\lambda \geqslant 0$ tel que $m(\lambda) = t$.

**5a.** Pour $n \geqslant 2$ et $\lambda \geqslant 0$, montrer que

$$
E\big[(X_1 - m(\lambda))(X_2 - m(\lambda)) D_n(\lambda)\big] = 0.
$$

**5b.** En déduire que, pour $n \geqslant 1$ et $\lambda \geqslant 0$,

$$
E\big[(S_n - m(\lambda))^2 D_n(\lambda)\big] \leqslant \frac{4}{n}.
$$

Pour tous $n \geqslant 1$, $\lambda \geqslant 0$ et $\varepsilon > 0$, on note $I_n(\lambda, \varepsilon)$ la variable aléatoire définie par

$$
I_n(\lambda, \varepsilon) =
\begin{cases}
1 & \text{si } |S_n - m(\lambda)| \leqslant \varepsilon, \\
0 & \text{sinon.}
\end{cases}
$$

**6.** Montrer que

$$
P\big[|S_n - m(\lambda)| \leqslant \varepsilon\big] \geqslant E\big[I_n(\lambda, \varepsilon) \exp\big(\lambda n(S_n - m(\lambda) - \varepsilon)\big)\big],
$$

**7.** Montrer que

$$
E\big[I_n(\lambda, \varepsilon) D_n(\lambda)\big] \geqslant 1 - \frac{4}{n\varepsilon^2}.
$$

**8a.** En déduire, pour chaque $\lambda \geqslant 0$ et $\varepsilon > 0$, l'existence d'une suite $(u_n(\varepsilon))_{n \geqslant 1}$ qui tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini et telle que

$$
\frac{1}{n} \log P[S_n \geqslant m(\lambda) - \varepsilon] \geqslant \psi(\lambda) - \lambda m(\lambda) - \lambda\varepsilon + u_n(\varepsilon).
$$

**8b.** Conclure que pour tout $t \in [0, 1[$,

$$
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log P[S_n \geqslant t] = \inf_{\lambda \geqslant 0} \big(\psi(\lambda) - \lambda t\big).
$$

**8c.** La formule précédente est-elle encore valide pour $t = 1$ ?

## Deuxième partie

On admet l'identité

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \exp(-x^2)\, \mathrm{d}x = \sqrt{\pi}.
$$

Soient $a < b$ deux réels et $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ une fonction infiniment dérivable. Appelons (H) l'hypothèse suivante : il existe un unique point $x_0 \in [a, b]$ où $f$ atteint son maximum, on a $a < x_0 < b$, et $f''(x_0) \neq 0$.

**9.** Montrer que sous l'hypothèse (H), on a $f''(x_0) < 0$.

**10.** Sous l'hypothèse (H), montrer que pour tout $\delta > 0$ tel que $\delta < \min(x_0 - a, b - x_0)$, on a l'équivalent, quand $t \to +\infty$,

$$
\int_a^b e^{t f(x)}\, \mathrm{d}x \sim \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} e^{t f(x)}\, \mathrm{d}x.
$$

**11.** Sous l'hypothèse (H), montrer l'équivalent, quand $t \to +\infty$,

$$
\int_a^b e^{t f(x)}\, \mathrm{d}x \sim e^{t f(x_0)} \sqrt{\frac{2\pi}{t\, |f''(x_0)|}}.
$$

**12a.** Montrer que pour tout entier $n \in \mathbb{N}$, on a

$$
n! = \int_0^{+\infty} e^{-t}\, t^n\, \mathrm{d}t.
$$

**12b.** En utilisant les résultats précédents, retrouver la formule de Stirling donnant un équivalent asymptotique de $n!$.

## Troisième partie

**13.** Montrer que

$$
\lim_{a \to +\infty} \int_0^a \big|\sin(x^2)\big|\, \mathrm{d}x = +\infty.
$$

**14.** Montrer que pour tout $a \in \mathbb{R}$,

$$
\int_0^a \sin(x^2)\, \mathrm{d}x = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{a^{4n+3}}{(2n+1)!\, (4n+3)}.
$$

**15.** Montrer que les limites

$$
\lim_{a \to +\infty} \int_0^a \sin(x^2)\, \mathrm{d}x \quad \text{et} \quad \lim_{a \to +\infty} \int_0^a \cos(x^2)\, \mathrm{d}x
$$

existent et sont finies.

On admet les identités :

$$
\lim_{a \to +\infty} \int_0^a \sin(x^2)\, \mathrm{d}x = \lim_{a \to +\infty} \int_0^a \cos(x^2)\, \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{2\pi}}{4}.
$$

**16.** Montrer qu'il existe des nombres réels $c, c' \in \mathbb{R}$ tels que, pour $a \to +\infty$, on a

$$
\int_0^a \sin(x^2)\, \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} + \frac{c}{a} \cos(a^2) + \frac{c'}{a^3} \sin(a^2) + O\left(\frac{1}{a^5}\right).
$$

On admettra qu'il existe des nombres réels $d, d' \in \mathbb{R}$ tels que, pour $a \to +\infty$, on a

$$
\int_0^a \cos(x^2)\, \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{2\pi}}{4} + \frac{d}{a} \sin(a^2) + \frac{d'}{a^3} \cos(a^2) + O\left(\frac{1}{a^5}\right).
$$

À partir de maintenant et jusqu'à la fin de l'énoncé, $f$ désigne une fonction infiniment dérivable de $[0, 1]$ dans $\mathbb{R}$. On suppose qu'il existe un unique point $x_0 \in \mathopen]0, 1\mathclose[$ où $f'$ s'annule. On suppose également que $f''(x_0) > 0$. On se donne également une fonction $g : [0, 1] \to \mathbb{R}$ infiniment dérivable.

**17.** Montrer qu'on a, pour $t \to +\infty$,

$$
\int_{x_0}^1 g(x) \sin(t f(x))\, \mathrm{d}x = g(x_0) \int_{x_0}^1 \sin(t f(x))\, \mathrm{d}x + O\left(\frac{1}{t}\right).
$$

Pour tout $x \in [x_0, 1]$, on définit

$$
h(x) = \sqrt{\big|f(x) - f(x_0)\big|}.
$$

**18a.** Montrer que la fonction $h$ définit une bijection de $[x_0, 1]$ sur $[0, h(1)]$.

**18b.** Montrer que l'application $h$ est dérivable en $x_0$ à droite, et que $h'(x_0) = \sqrt{\dfrac{f''(x_0)}{2}}$.

On admet que la bijection

$$
h : \begin{cases}
[x_0, 1] & \to [0, h(1)] \\
x & \mapsto h(x)
\end{cases}
$$

admet une application réciproque $h^{-1} : [0, h(1)] \to [x_0, 1]$ qui est infiniment dérivable.

**19.** Montrer que, pour $t \to +\infty$,

$$
\int_{x_0}^1 \sin(t f(x))\, \mathrm{d}x = \sin\left(t f(x_0) + \frac{\pi}{4}\right) \sqrt{\frac{\pi}{2 t f''(x_0)}} + O\left(\frac{1}{t}\right).
$$

**20.** On suppose que $x_0 \in \mathopen]0, 1\mathclose[$. Montrer que, pour $t \to +\infty$,

$$
\int_0^1 g(x) \sin(t f(x))\, \mathrm{d}x = g(x_0) \sin\left(t f(x_0) + \frac{\pi}{4}\right) \sqrt{\frac{2\pi}{t f''(x_0)}} + O\left(\frac{1}{t}\right).
$$