Maths B

# Composition de mathématiques B

École polytechnique — Concours d'admission 2018 — Filière MP

*Durée : 4 heures*

*L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve*

*Samedi 5 mai 2018, 9h00 – 13h00*

*Pour des raisons qui apparaîtront dans la Troisième Partie, on utilise deux entiers naturels distincts $n$ (minuscule) et $N$ (majuscule). Les candidats sont priés de respecter les notations de l'énoncé.*

On désigne par $\mathbb{R}_n[X]$ l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à $n$. Le sous-espace de $\mathbb{R}_n[X]$ formé des polynômes pairs (c'est-à-dire vérifiant $P(-X) = P(X)$) est noté $\Pi_n$, et celui des polynômes impairs (c'est-à-dire vérifiant $P(-X) = -P(X)$) est noté $J_n$.

On définit l'ensemble $A_N$ formé des $P \in \mathbb{R}_N[X]$, tels que $P(-1) = P(1) = 1$, qui satisfont de plus $P(x) \geqslant 0$ pour tout $x$ dans l'intervalle $[-1, 1]$. On définit sur $\mathbb{R}_N[X]$ une forme linéaire $L$ par

$$
L(P) = \int_{-1}^{1} P(x)\, dx.
$$

L'objet du problème est l'étude de sa borne inférieure $a_N$ sur le sous-ensemble $A_N$ :

$$
a_N = \inf\{L(P) \mid P \in A_N\}.
$$

## Questions préliminaires

**1.**

**(a)** Vérifier que $A_N$ est une partie convexe de $\mathbb{R}_N[X]$.

**(b)** Montrer que l'expression

$$
\|P\|_1 = \int_{-1}^{1} |P(x)|\, dx
$$

définit une norme sur $\mathbb{R}_N[X]$.

**(c)** Montrer que $A_N$ est fermé dans l'espace vectoriel normé $(\mathbb{R}_N[X], \|\cdot\|_1)$.

**2.**

**(a)** Montrer que la borne inférieure de $L$ sur $A_N$ est atteinte.

*Dans la suite, on notera $B_N$ l'ensemble des $P \in A_N$ tels que $L(P) = a_N$.*

**(b)** Montrer que $B_N$ est une partie convexe compacte.

**(c)** Vérifier que $B_N$ contient un polynôme pair.

## Première Partie

On munit $\mathbb{R}_n[X]$ du produit scalaire défini par

$$
\langle P, Q \rangle = \int_{-1}^{1} P(x) Q(x)\, dx,
$$

et de la norme associée

$$
\|P\|_2 = \sqrt{\langle P, P \rangle}
$$

(on ne demande pas de vérifier qu'il s'agit bien d'un produit scalaire et d'une norme).

Pour $j \in \mathbb{N}$, on définit le polynôme

$$
P_j(X) = \frac{1}{2^j\, j!} \frac{d^j}{dX^j}\left[(X^2 - 1)^j\right].
$$

Par convention, $P_0 = 1$.

**3.**

**(a)** Quel est le degré de $P_j$ ?

**(b)** Montrer que $P_j$ est un polynôme pair ou impair, selon la valeur de $j$.

**(c)** Montrer que $P_j(1) = 1$ et $P_j(-1) = (-1)^j$.

**4.** Au moyen de l'intégration par parties, montrer que la famille $(P_j)_{0 \leqslant j \leqslant n}$ est orthogonale dans $\mathbb{R}_n[X]$.

**5.** On note

$$
g_j = \int_{-1}^{1} P_j(x)^2\, dx, \qquad I_j = \int_{-1}^{1} (1 - x^2)^j\, dx.
$$

**(a)** Établir une relation entre $g_j$ et $I_j$.

**(b)** Trouver une relation entre $I_j$ et $I_{j-1} - I_j$, et en déduire une relation de récurrence pour la suite $(I_j)_{j \in \mathbb{N}}$.

**(c)** En déduire la valeur de $I_j$, puis celle de $g_j$.

**6.**

**(a)** Montrer que la famille $(P_j)_{0 \leqslant j \leqslant n}$ est une base de $\mathbb{R}_n[X]$.

**(b)** En déduire que la famille $(P_{2j})_{0 \leqslant j \leqslant \frac{n}{2}}$ est une base de $\Pi_n$, tandis que la famille $(P_{2j+1})_{0 \leqslant j \leqslant \frac{n-1}{2}}$ est une base de $J_n$.

## Deuxième Partie

On choisit un polynôme pair dans $B_N$ (voir la question 2.c), et on le note $R_N$.

**7.** Montrer qu'il existe des nombres entiers $r, s, t \geqslant 0$, des nombres réels $c_1, \ldots, c_r$ différents de $\pm 1$, des réels non nuls $\rho_1, \ldots, \rho_s$ et des nombres complexes $w_1, \ldots, w_t$ qui ne sont ni réels ni imaginaires purs, tels que

$$
R_N(X) = \prod_{j=1}^{r} \frac{X^2 - c_j^2}{1 - c_j^2} \prod_{k=1}^{s} \frac{X^2 + \rho_k^2}{1 + \rho_k^2} \prod_{\ell=1}^{t} \frac{X^2 - w_\ell^2}{1 - w_\ell^2} \cdot \frac{X^2 - \overline{w_\ell}^2}{1 - \overline{w_\ell}^2}.
$$

**8.** On décide de remplacer tous les $\rho_k$ par des zéros. On remplace donc les facteurs correspondants de $R_N$,

$$
\frac{X^2 + \rho_k^2}{1 + \rho_k^2},
$$

par des facteurs $X^2$. On obtient ainsi un nouveau polynôme $S_N$ de même degré que $R_N$. Montrer que $0 \leqslant S_N(x) \leqslant R_N(x)$ pour tout $x \in [-1, 1]$, puis que $S_N \in B_N$.

**9.** De même, dans la liste des $c_j$, on décide de remplacer ceux qui n'appartiennent pas à $[-1, 1]$ par des zéros. On remplace donc les facteurs correspondants de $S_N$,

$$
\frac{X^2 - c_j^2}{1 - c_j^2},
$$

par des facteurs $X^2$. On obtient ainsi un nouveau polynôme $T_N$. Montrer que $0 \leqslant T_N(x) \leqslant S_N(x)$ pour tout $x \in [-1, 1]$, puis que $T_N \in B_N$.

**10.** Soit $w \in \mathbb{C}$ un nombre qui n'est ni réel ni imaginaire pur.

**(a)** Montrer que l'équation

$$
\left|\frac{z - 1}{z + 1}\right| = \left|\frac{w - 1}{w + 1}\right|
$$

définit un cercle dans le plan complexe, qui passe par $w$. Vérifier que l'intervalle $]-1, 1[$ coupe ce cercle en un point unique ; on notera $y$ ce point. On exprimera $y$ en fonction du nombre

$$
\lambda = \left|\frac{w - 1}{w + 1}\right|.
$$

**(b)** Montrer l'inégalité

$$
\left|\frac{1 - w}{1 - y}\right| > 1.
$$

**(c)** Montrer que l'équation

$$
\left|\frac{z - w}{z - y}\right| = \left|\frac{1 - w}{1 - y}\right|
$$

définit un cercle dans le plan complexe, qui passe par $1$ et par $-1$. En déduire que, pour tout $x \in [-1, 1] \setminus \{y\}$, on a

$$
\left|\frac{w - x}{y - x}\right| \geqslant \left|\frac{w - 1}{y - 1}\right| = \left|\frac{w + 1}{y + 1}\right|.
$$

**11.** Conclure que $R_N$ a toutes ses racines dans l'intervalle $[-1, 1]$.

## Troisième Partie

On note $n$ la partie entière de $\dfrac{N}{2}$. On poursuit l'étude du polynôme $R_N$.

**12.** Montrer que $\deg R_N = 2n$.

**13.** Montrer que $R_N$ est le carré d'un polynôme : $R_N(X) = U_N(X)^2$ où $U_N(1) = 1$ et $U_N(-1) = \pm 1$. Que peut-on dire de la parité de $U_N$ ?

**14.** On suppose dans cette question que $U_N$ est pair ; on a donc $U_N \in \Pi_n$. Dans $\Pi_n$, l'équation $P(1) = 1$ définit un sous-espace affine noté $H_n$.

**(a)** Montrer que

$$
\|U_N\|_2 = \min\{\|P\|_2 \mid P \in H_n\}.
$$

**(b)** En déduire qu'il existe un nombre réel $\mu$ tel que pour tout entier $0 \leqslant j \leqslant \dfrac{n}{2}$, on a $\langle U_N, P_{2j} \rangle = \mu$.

(On pourra considérer des polynômes $P \in H_n$ de la forme $U_N + t(P_{2j} - P_{2k})$ avec $t \in \mathbb{R}$.)

**(c)** Exprimer $U_N$ dans la base des $P_{2j}$. En déduire que

$$
\frac{1}{\mu} = \sum_{0 \leqslant j \leqslant \frac{n}{2}} \frac{1}{g_{2j}}.
$$

**(d)** Établir dans ce cas la formule

$$
a_N = \left(\sum_{0 \leqslant j \leqslant \frac{n}{2}} \frac{1}{g_{2j}}\right)^{-1}.
$$

**15.** On suppose maintenant que $U_N$ est impair. Exprimer encore $a_N$ en fonction des $g_\ell$.

**16.** Discuter, en fonction de la parité de $n$, la valeur de $a_N$. On en donnera la valeur explicite.

**17.** Donner la formule explicite de $R_N$, en fonction des polynômes $P_j$.