Maths B

# Composition de mathématiques – B – (X)

École polytechnique — Concours d'admission 2016 — Filière MP

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

*Toute affirmation doit être clairement et complètement justifiée.*

On considère une variable aléatoire $X$ discrète définie sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathscr{A}, \mathbb{P})$ dont la loi est donnée par :

$$\forall i \in \mathbf{N}, \quad \mathbb{P}(X = x_i) = p_i \geq 0 \quad \text{avec} \quad \sum_{i=0}^{+\infty} p_i = 1,$$

et où $(x_i)_{i \geq 0}$ est une suite de réels strictement positifs distincts. On suppose que $X$ admet une espérance finie notée $m := \mathbb{E}(X) > 0$.

Soit $(X_k)_{k \geq 1}$ une suite de variables aléatoires définies sur $(\Omega, \mathscr{A}, \mathbb{P})$, indépendantes et identiquement distribuées, de même loi que $X$. On note $(S_k)_{k \geq 0}$ ses sommes partielles définies par

$$S_0 = 0, \qquad \text{et pour } n \geq 1, \quad S_n = \sum_{k=1}^{n} X_k.$$

L'objet de ce problème est l'étude du nombre (aléatoire) d'éléments de la suite $(S_n)_{n \geq 0}$ qui appartiennent à l'intervalle $[a, b]$, défini pour $\omega \in \Omega$ par

$$N(a, b)(\omega) = \mathrm{Card}\left\{ k \in \mathbf{N} \ \middle|\ S_k(\omega) \in [a, b] \right\} = \sum_{k=0}^{+\infty} \mathbb{1}_{\{S_k \in [a, b]\}}(\omega),$$

et en particulier le comportement de $N(a, b)$ quand $a$ et $b$ tendent vers l'infini.

## Première partie

**1a.** Justifier que pour tous $\ell \geq 0$ et $n \in \mathbf{N}$, $(N(0, \ell) = n + 1) = (S_n \leq \ell < S_{n+1})$ à un ensemble négligeable près. En déduire que, à des ensembles négligeables près,

$$(S_n \leq \ell) = (N(0, \ell) \geq n + 1) \qquad \text{et} \qquad (S_n \geq \ell) \subset (N(0, \ell) \leq n + 1).$$

**1b.** On suppose dans cette question que $X$ admet de plus une variance finie $V$. Montrer alors que

$$\forall \varepsilon > 0,\ \forall n \geq 1, \quad \mathbb{P}\bigl(S_n \leq n(m - \varepsilon)\bigr) \leq \frac{V}{\varepsilon^{2} n}.$$

**2.** Soit $Y$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbf{N}$ presque sûrement, et qui admet une espérance. Montrer que

$$\mathbb{E}(Y) = \sum_{k=1}^{+\infty} \mathbb{P}(Y \geq k).$$

**3a.** Montrer que pour tous $n \in \mathbf{N}$ et $\ell \geq 0$,

$$\mathbb{P}(S_n \leq \ell) \leq \mathbb{E}\bigl(\exp(\ell - S_n)\bigr),$$

puis que

$$\mathbb{P}(S_n \leq \ell) \leq e^{\ell} \bigl(\mathbb{E}(\exp(-X))\bigr)^{n}.$$

**3b.** En déduire que $\mathbb{P}(S_n \leq \ell)$ tend vers $0$ quand $n \to +\infty$ et que

$$\mathbb{E}\bigl(N(0, \ell)\bigr) \leq \frac{e^{\ell}}{1 - \mathbb{E}(\exp(-X))}.$$

**3c.** Montrer que pour tous $x \in \mathbf{R}$, $\ell \geq 0$, $k \in \mathbf{N}^{*}$ et $n \in \mathbf{N}^{*}$,

$$\mathbb{P}\bigl(S_{n-1} < x \leq S_n,\ N(x, x + \ell) \geq k\bigr) \leq \mathbb{P}(S_{n-1} < x \leq S_n)\, \mathbb{P}\bigl(N(0, \ell) \geq k\bigr),$$

puis que

$$\mathbb{E}\bigl(N(x, x + \ell)\bigr) \leq \frac{e^{\ell}}{1 - \mathbb{E}(\exp(-X))}.$$

## Deuxième partie

Soit $f : \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ une fonction. Si $f$ est bornée, on note

$$\|f\|_{\infty} = \sup_{x \in \mathbf{R}} |f(x)|$$

sa norme uniforme. On appelle support de $f$ l'adhérence de $\{x \in \mathbf{R} \mid f(x) \neq 0\}$. En particulier, si $x$ n'appartient pas au support de $f$, alors $f(x) = 0$.

Soit $K > 0$ et $g : \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ une fonction positive bornée à support dans $[0, K]$. On va étudier la suite de fonctions $f_n : \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ définies pour $n \geq 0$ par

$$f_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \mathbb{E}\bigl(g(x - S_k)\bigr).$$

**4a.** Montrer que pour tout $x \in \mathbf{R}$, la suite $(f_n(x))_{n \geq 0}$ est croissante. On note $f(x)$ sa limite dans $\mathbf{R} \cup \{+\infty\}$.

**4b.** Montrer que si $g = \mathbb{1}_{[0, K]}$, alors $f(x) = \mathbb{E}\bigl(N(x - K, x)\bigr)$.

**4c.** En déduire que pour tous $x \in \mathbf{R}$ et $n \in \mathbf{N}$,

$$0 \leq f_n(x) \leq \|g\|_{\infty} \frac{e^{K}}{1 - \mathbb{E}(\exp(-X))}.$$

**4d.** Conclure que la suite de fonctions $f_n$ converge simplement vers une fonction $f$ positive, bornée et dont le support est inclus dans $\mathbf{R}^{+}$.

**5.** Soit $Y$ une variable aléatoire discrète, indépendante de $X$, et $\varphi : \mathbf{R}^{2} \to \mathbf{R}$ une fonction bornée. Montrer que

$$\mathbb{E}\bigl(\varphi(X, Y)\bigr) = \sum_{i=0}^{+\infty} p_i \mathbb{E}\bigl(\varphi(x_i, Y)\bigr).$$

**6a.** Montrer que pour tous $n \in \mathbf{N}$ et $x \in \mathbf{R}$,

$$f_{n+1}(x) = g(x) + \sum_{i=0}^{+\infty} p_i f_n(x - x_i).$$

**6b.** Montrer que la fonction $f$ vérifie l'égalité suivante sur $\mathbf{R}$

$$f(x) = g(x) + \sum_{i=0}^{+\infty} p_i f(x - x_i). \tag{E}$$

**7.** Soit $h : \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ une fonction bornée qui vérifie $h(x) = \displaystyle \sum_{i=0}^{+\infty} p_i h(x - x_i)$ pour tout $x \in \mathbf{R}$.

**7a.** Montrer que pour tous $x \in \mathbf{R}$ et $n \in \mathbf{N}$, on a $h(x) = \mathbb{E}\bigl(h(x - S_n)\bigr)$.

**7b.** En déduire que si de plus le support de $h$ est inclus dans $\mathbf{R}^{+}$, alors pour tout $x \in \mathbf{R}$, $h(x) = 0$.

**7c.** Conclure qu'il existe une unique fonction bornée à support dans $\mathbf{R}^{+}$ solution de $(E)$.

**8a.** Montrer que l'ensemble $\Lambda_X := \displaystyle \bigcup_{n \in \mathbf{N}} \left\{ y \in \mathbf{R} \ \middle|\ \mathbb{P}(S_n = y) > 0 \right\}$ est dénombrable et inclus dans $\mathbf{R}^{+}$.

On se donne une énumération de cet ensemble : $\Lambda_X = \{y_i \mid i \in \mathbf{N}\}$.

**8b.** Montrer que pour tout $x \in \mathbf{R}$,

$$f_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \sum_{i=0}^{+\infty} \mathbb{P}(S_k = y_i) g(x - y_i).$$

**8c.** En déduire qu'il existe une suite de réels positifs $(q_i)_{i \geq 0}$ telle que pour tout $x \in \mathbf{R}$,

$$f(x) = \sum_{i=0}^{+\infty} q_i g(x - y_i), \qquad \text{et} \qquad \sum_{\substack{i \in \mathbf{N} \\ y_i \in [x - K, x]}} q_i = \mathbb{E}\bigl(N(x - K, x)\bigr).$$

**9a.** Dans la formule précédente, montrer que la convergence de la série est normale sur tout segment de $\mathbf{R}$. *On pourra utiliser la question **3c**.*

**9b.** On suppose que $g$ est continue. Montrer que $f$ est uniformément continue.

**9c.** On suppose que $g$ est de classe $\mathscr{C}^{1}$. Montrer que $g'$ bornée. En déduire que $f$ est de classe $\mathscr{C}^{1}$, que $f'$ est bornée et uniformément continue et que pour tout $x \in \mathbf{R}$,

$$f'(x) = g'(x) + \sum_{i=0}^{+\infty} p_i f'(x - x_i).$$

## Troisième partie

Soit $\Lambda$ un sous-ensemble non vide de $\mathbf{R}_{+}^{*}$ tel que

$$\forall (x, y) \in \Lambda^{2}, \quad x + y \in \Lambda.$$

On dit que $\Lambda$ est *stable par addition*.

**10a.** Montrer si $(x, y) \in \Lambda^{2}$, $(k, n) \in \mathbf{N} \times \mathbf{N}^{*}$ et $k \leq n$, alors $nx + k(y - x) \in \Lambda$.

On définit

$$\Gamma = \left\{ z \in \mathbf{R}_{+}^{*} \ \middle|\ \exists (x, y) \in \Lambda,\ z = y - x \right\}, \qquad \text{et} \qquad r(\Lambda) = \inf \Gamma.$$

**10b.** Donner deux exemples de tels ensembles $\Lambda$, l'un pour lequel $r(\Lambda) > 0$ et l'autre pour lequel $r(\Lambda) = 0$.

**11.** Dans cette question, on suppose que $r(\Lambda) > 0$.

**11a.** Montrer qu'il existe $(a, b) \in \Lambda^{2}$ tels que $b - a \in \, ]r(\Lambda), 2r(\Lambda)[$.

On note $d = b - a$.

**11b.** Soient $k, n \in \mathbf{N}$ tels que $k \leq n - 1$. Montrer que

$$\Lambda \cap \bigl[na + kd,\ na + (k + 1)d\bigr] = \bigl\{na + kd,\ na + (k + 1)d\bigr\}.$$

**11c.** Montrer qu'il existe $n_0 \in \mathbf{N}$ tel que $n_0 a + n_0 d > (n_0 + 1)a$ puis qu'il existe $k \in \mathbf{N}$ tel que $a = kd$.

**11d.** En déduire que $\Lambda \subset d\mathbf{Z}$, où $d\mathbf{Z} = \{kd \mid k \in \mathbf{Z}\}$.

**12.** On suppose maintenant que $r(\Lambda) = 0$.

**12a.** Soit $\eta > 0$. Montrer qu'il existe $A \geq 0$ tel que pour pour tout $x > A$,

$$\Lambda \cap [x, x + \eta] \neq \varnothing.$$

**12b.** Soit $f : \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ une fonction uniformément continue. On suppose que pour toute suite $(x_n)_{n \geq 0}$ à valeurs dans $\Lambda$ telle que $x_n \to +\infty$, $f(x_n) \to 0$ quand $n \to +\infty$. Montrer que $f(x) \to 0$ quand $x \to +\infty$.

## Quatrième partie

On suppose dans cette partie que pour tout $d \geq 0$,

$$\mathbb{P}(X \in d\mathbf{Z}) < 1.$$

**13.** On considère une fonction $h$ uniformément continue et bornée sur $\mathbf{R}$ telle que pour tout $x \in \mathbf{R}$, $h(x) \leq h(0)$ et

$$h(x) = \sum_{i=0}^{+\infty} p_i h(x - x_i).$$

On rappelle que pour tous $x \in \mathbf{R}$ et $n \in \mathbf{N}$, $h(x) = \mathbb{E}\bigl(h(x - S_n)\bigr)$ (question **7a**).

**13a.** Montrer que pour tout $n \in \mathbf{N}$ et $x \geq 0$ tels que $\mathbb{P}(S_n = x) > 0$, on a $h(-x) = h(0)$.

**13b.** Montrer que l'ensemble $\Lambda_X$ défini à la question **8a** est stable par addition et que $r(\Lambda_X) = 0$.

**13c.** En déduire que $h(-x) \to h(0)$ quand $x \to +\infty$.

**13d.** Conclure que $h$ est une fonction constante.

On suppose dans toute la suite que $g$ est de classe $\mathscr{C}^{1}$, à support dans $[0, K]$ avec $K > 0$. On rappelle que $f$ est la limite croissante des fonctions $f_n$ et l'unique solution bornée et uniformément continue de l'équation $(E)$.

**14a.** Prouver que la fonction $x \mapsto \displaystyle \sup_{t \geq x} f'(t)$ admet une limite finie quand $x \to +\infty$. On note

$$c := \lim_{x \to +\infty} \sup_{t \geq x} f'(t).$$

**14b.** Montrer qu'il existe une suite $y_n \to +\infty$ telle que $f'(y_n) \to c$ quand $n \to +\infty$.

On admet qu'il existe une sous-suite $(t_k)_{k \geq 0}$ de $(y_n)_{n \geq 0}$ telle que la suite de fonctions $(\xi_k)_{k \geq 0}$ définies par

$$\xi_k : \mathbf{R} \to \mathbf{R}, \quad t \mapsto \xi_k(t) = f'(t + t_k)$$

converge uniformément sur tout segment de $\mathbf{R}$ vers une fonction notée $\xi$.

**14c.** Montrer que $\xi$ est constante, égale à $c$.

**14d.** Conclure que $c = 0$.

On montrerait de même que $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \inf_{t \geq x} f'(t) = 0$, résultat que l'on admet dans toute la suite.

**14e.** En déduire que $f'(t) \to 0$ quand $t \to +\infty$.

**14f.** Montrer alors que pour tout $\ell \geq 0$, $f(t + \ell) - f(t) \to 0$ quand $t \to +\infty$.

On suppose dans toute la suite de cette partie que seul un nombre fini de $p_i$ sont strictement positifs, et on pose

$$
g_0(x) =
\begin{cases}
\mathbb{P}(X > x) & \text{si } x \geq 0, \\
0 & \text{si } x < 0.
\end{cases}
$$

On admet que $g_0$ est continue par morceaux et à support dans un segment de $\mathbf{R}^{+}$, intégrable sur $\mathbf{R}$, et que $\displaystyle \int_0^{+\infty} g_0(t) \, dt = \mathbb{E}(X)$.

On note $\mathscr{F}$ l'ensemble des fonctions positives, bornées et à support dans un segment de $\mathbf{R}^{+}$. En utilisant la deuxième partie, pour tout $g \in \mathscr{F}$, on note $Lg$ l'unique solution de $(E)$ bornée à support dans $\mathbf{R}^{+}$.

Nous dirons que la suite $(t_k)_{k \geq 0}$ satisfait la propriété $(\mathscr{P})$ si $t_k \to +\infty$ et s'il existe une fonction continue bornée $\mu : \mathbf{R}^{+} \to \mathbf{R}^{+}$, telle que pour toute fonction $g$ de $\mathscr{F}$ continue par morceaux,

$$Lg(t_k) \to \int_0^{+\infty} g(t) \mu(t) \, dt \quad \text{quand } k \to +\infty.$$

On admet que pour toute suite $(x_n)_{n \geq 0}$ tendant vers l'infini, il existe une sous-suite $(t_k)_{k \geq 0}$ de $(x_n)_{n \geq 0}$ qui satisfait la propriété $(\mathscr{P})$.

**15a.** Montrer, en utilisant la question **14f**, que pour tous $g \in \mathscr{F} \cap \mathscr{C}^{1}(\mathbf{R}, \mathbf{R}^{+})$ et $\ell \geq 0$,

$$\int_0^{+\infty} g(t) \bigl(\mu(t + \ell) - \mu(t)\bigr) \, dt = 0.$$

**15b.** En déduire que $\mu$ est constante.

**16a.** Montrer que $Lg_0(x) = 1$ pour $x \geq 0$ et $Lg_0(x) = 0$ pour $x < 0$.

**16b.** En déduire que $\mu(t) = \dfrac{1}{\mathbb{E}(X)}$ pour tout $t \geq 0$.

**17.** Conclure que pour tout $g$ de $\mathscr{F}$ continue par morceaux,

$$\sum_{k=0}^{+\infty} \mathbb{E}\bigl(g(x - S_k)\bigr) \to \frac{1}{\mathbb{E}(X)} \int_{-\infty}^{+\infty} g(t) \, dt \quad \text{quand } x \to +\infty.$$

**18.** Soit $\ell > 0$ fixé. Déterminer le comportement de $\mathbb{E}\bigl(N(x, x + \ell)\bigr)$ quand $x \to +\infty$. Interpréter le résultat. Ce résultat est-il vrai s'il existe $d > 0$ tel que $\mathbb{P}(X \in d\mathbf{Z}) = 1$ ?