Maths B

# Composition de mathématiques – B – (X)

École polytechnique — Concours d'admission 2015 — Filière MP

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

*Toute affirmation doit être clairement et complètement justifiée.*

*Les quatre parties sont largement indépendantes les unes des autres.*

## Première partie

Dans cette partie, on utilisera à plusieurs reprises la fonction $\Gamma : \, ]0, +\infty[ \to \mathbf{R}$ définie par

$$\Gamma(y) = \int_0^{\infty} e^{-t} t^{y-1} \, dt. \tag{1}$$

On admettra que $\Gamma\left( \dfrac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi}$.

**1a.** Montrer que $\Gamma$ est bien définie et que pour tout $y > 0$, $y \Gamma(y) = \Gamma(y + 1)$. En déduire que, pour tout $n \in \mathbf{N}$, $\Gamma(n + 1) = n!$.

**1b.** Montrer que pour tout $y > 0$, on a $\Gamma(y) = y^{-1} \displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-t} t^{y} \, dt$, puis que

$$\Gamma(y) = e^{-y} y^{y} \int_{-1}^{+\infty} e^{-y \phi(s)} \, ds,$$

où $\phi$ est la fonction définie sur $]-1, +\infty[$ par $\phi(s) = s - \ln(1 + s)$.

**2.** On considère dans cette question une fonction $f : \, ]0, +\infty[ \to \mathbf{R}$ continue par morceaux vérifiant les deux propriétés suivantes :

(a) il existe un entier $K \geq 0$ et un réel $C > 0$ tels que $|f(t)| \leq C t^{K}$ sur $[1, +\infty[$,

(b) il existe un entier $N \geq 0$, deux réels $\lambda > 0$ et $\mu > 0$ et des réels $a_0, \ldots, a_N$ tels que

$$f(t) = \sum_{k=0}^{N} a_k t^{(k + \lambda - \mu)/\mu} + o\left( t^{(N + \lambda - \mu)/\mu} \right) \quad \text{quand } t \to 0.$$

On note $\rho_N(t) = f(t) - \displaystyle \sum_{k=0}^{N} a_k t^{(k + \lambda - \mu)/\mu}$ le reste du développement asymptotique de $f$.

**2a.** On fixe $\delta > 0$ et $\alpha \in \mathbf{R}$. Montrer que pour tout $x > 0$, la fonction $t \mapsto e^{-t/x} t^{\alpha}$ est intégrable sur $[\delta, +\infty[$ et que pour tout $n \in \mathbf{N}$, on a :

$$\int_{\delta}^{+\infty} e^{-t/x} t^{\alpha} \, dt = o(x^{n}) \quad \text{quand } x \to 0^{+}.$$

En déduire que pour tout $n \in \mathbf{N}$,

$$\int_{\delta}^{+\infty} e^{-t/x} \rho_N(t) \, dt = o(x^{n}) \quad \text{quand } x \to 0^{+}.$$

**2b.** On fixe $\varepsilon > 0$. Montrer l'existence de $\delta > 0$ et d'une constante $C'$ indépendante de $\varepsilon$ et $\delta$ tels que

$$\forall x > 0, \quad \left| \int_0^{\delta} e^{-t/x} \rho_N(t) \, dt \right| \leq C' \varepsilon \, x^{(N + \lambda)/\mu}.$$

**2c.** En déduire que

$$\int_0^{+\infty} e^{-t/x} \rho_N(t) \, dt = o\left( x^{(N + \lambda)/\mu} \right) \quad \text{quand } x \to 0^{+}.$$

**2d.** On note $F$ la fonction définie par :

$$F(x) = \int_0^{+\infty} e^{-t/x} f(t) \, dt.$$

Montrer que $F$ est bien définie sur $]0, +\infty[$ et qu'elle vérifie la formule asymptotique suivante :

$$F(x) = \sum_{k=0}^{N} a_k \Gamma\left( \frac{k + \lambda}{\mu} \right) x^{(k + \lambda)/\mu} + o\left( x^{(N + \lambda)/\mu} \right) \quad \text{quand } x \to 0^{+}. \tag{2}$$

**3.** On rappelle que la fonction $\phi$ a été définie à la question **1b**.

**3a.** Tracer le graphe de $\phi$. Montrer que $\phi$ définit par restriction aux intervalles $]-1, 0]$ et $]0, +\infty[$ respectivement

- une bijection $\phi_- : \, ]-1, 0] \to \, ]0, +\infty[$,
- une bijection $\phi_+ : \, ]0, +\infty[ \to \, ]0, +\infty[$.

On notera $\phi_-^{-1} : \, ]0, +\infty[ \to \, ]-1, 0]$ et $\phi_+^{-1} : \, ]0, +\infty[ \to \, ]0, +\infty[$ les bijections réciproques.

**3b.** Montrer que si $s \in \, ]-1, 1[$,

$$\phi(s) = s^{2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k + 2} s^{k}.$$

On admet l'existence de deux séries entières $\displaystyle \sum_{k \geq 1} b_k q^{k}$ et $\displaystyle \sum_{k \geq 1} c_k q^{k}$, de la variable $q$, et de rayon de convergence strictement positif, où $b_1 > 0$ et $c_1 < 0$, et telles que l'on ait, pour $q$ dans un voisinage de $0$ dans $[0, +\infty[$,

$$\phi\left( \sum_{k=1}^{\infty} b_k q^{k} \right) = \phi\left( \sum_{k=1}^{\infty} c_k q^{k} \right) = q^{2}.$$

**3c.** Calculer $b_1$, $b_2$, $b_3$ et $c_1$, $c_2$ et $c_3$. En déduire les développements asymptotiques suivants quand $q \to 0$, $q > 0$, pour les fonctions $\phi_-^{-1}$ et $\phi_+^{-1}$ ainsi que leurs dérivées :

$$\phi_+^{-1}(q) = \sqrt{2q} + \frac{2q}{3} + \frac{q^{3/2}}{9\sqrt{2}} + o(q^{3/2}), \qquad \phi_-^{-1}(q) = -\sqrt{2q} + \frac{2q}{3} - \frac{q^{3/2}}{9\sqrt{2}} + o(q^{3/2}),$$

$$\left( \phi_+^{-1} \right)'(q) = \frac{1}{\sqrt{2q}} + \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{q}}{6\sqrt{2}} + o(\sqrt{q}), \qquad \left( \phi_-^{-1} \right)'(q) = -\frac{1}{\sqrt{2q}} + \frac{2}{3} - \frac{\sqrt{q}}{6\sqrt{2}} + o(\sqrt{q}).$$

**3d.** Montrer que

$$\Gamma(y) = e^{-y} y^{y} \int_0^{\infty} e^{-yq} \left( \left( \phi_+^{-1} \right)'(q) - \left( \phi_-^{-1} \right)'(q) \right) dq.$$

**3e.** En déduire que

$$\Gamma(y) = e^{-y} y^{y} \left( \frac{2\pi}{y} \right)^{1/2} \left( 1 + \frac{1}{12y} + o\left( \frac{1}{y} \right) \right) \quad \text{quand } y \to +\infty.$$

## Deuxième partie

On considère dans cette partie la fonction $F : \, ]0, +\infty[ \to \mathbf{R}$ définie par

$$F(x) = \int_1^{+\infty} e^{-t/x} t^{-1} \, dt.$$

On va voir qu'une série divergente peut être utile pour calculer une valeur approchée de $F$ en un point particulier.

**4.** Montrer que $F$ est bien définie et de classe $\mathscr{C}^{\infty}$ sur $]0, +\infty[$.

Pour $N \in \mathbf{N}^{*}$ et $x > 0$, on pose

$$r_N(x) = (-1)^{N} N! \, x^{N+1} e^{-1/x},$$

$$S_N(x) = \sum_{k=1}^{N} (-1)^{k-1} (k - 1)! \, x^{k} e^{-1/x},$$

$$R_N(x) = (-1)^{N} N! \, x^{N} \int_1^{+\infty} e^{-t/x} t^{-(N+1)} \, dt.$$

**5.** Montrer que, pour tout $N \geq 1$ et tout $x > 0$, $F(x) = S_N(x) + R_N(x)$.

**6a.** Préciser le domaine de convergence de la série $\displaystyle \sum_{k \geq 1} (-1)^{k-1} (k - 1)! \, x^{k}$ et montrer que la suite $(R_N(x))_{N \geq 1}$ n'est pas bornée.

**6b.** Montrer que, si $N \in \mathbf{N}^{*}$ et $x > 0$,

$$|R_N(x)| \leq |r_N(x)|.$$

En déduire que $R_{N+1}(x) = o(r_N(x))$ quand $x \to 0$.

**6c.** Montrer que le reste est de l'ordre du premier terme négligé, c'est-à-dire que pour tout $N \geq 1$,

$$R_N(x) \sim r_N(x) \quad \text{quand } x \to 0.$$

**6d.** Montrer que, pour $0 < x < 1/2$, la suite $(|r_N(x)|)_{N \geq 1}$ est décroissante jusqu'à un certain rang, puis croissante. (On ne demande pas de montrer cela pour la suite $(|R_N(x)|)_{N \geq 1}$.)

Quand on utilise $S_N(x)$ comme valeur approchée de $F(x)$, on dit que l'erreur relative est

$$E_N(x) = \left| \frac{R_N(x)}{F(x)} \right|.$$

**7a.** Montrer que, si $N$ est pair : $N = 2M$ avec $M \geq 1$, et si $0 < x \leq 1/N$, on a $S_N(x) \geq 0$ et

$$E_N(x) \leq \frac{N! \, x^{N+1}}{\displaystyle \sum_{\ell = 0}^{M-1} \bigl( 1 - (2\ell + 1) x \bigr) (2\ell)! \, x^{2\ell + 1}}.$$

**7b.** Vérifier que $E_4\left( \dfrac{1}{10} \right) \leq 3 \cdot 10^{-3}$.

## Troisième partie

Soit $d \geq 1$ un entier. On considère l'espace $\mathscr{C}_{\mathrm{per}}(\mathbf{R}^{d})$ des fonctions $f : \mathbf{R}^{d} \to \mathbf{C}$ continues et $1$-périodiques en chacune de leurs variables, c'est-à-dire que si l'on note $e_j$ les vecteurs de la base canonique de $\mathbf{R}^{d}$, on a

$$\forall \theta \in \mathbf{R}^{d},\ \forall j \in \{1, \ldots, d\}, \quad f(\theta + e_j) = f(\theta).$$

$\mathscr{C}_{\mathrm{per}}(\mathbf{R}^{d})$ est muni de la norme uniforme :

$$\|f\|_{\infty} = \sup_{\theta \in \mathbf{R}^{d}} |f(\theta)|.$$

On appelle polynôme trigonométrique (en $d$ variables) toute fonction de la forme

$$\theta = (\theta_1, \ldots, \theta_d) \mapsto \sum_{k \in K} c_k e^{2i\pi k \cdot \theta},$$

où $K$ est une partie finie de $\mathbf{Z}^{d}$ et on a noté pour $k = (k_1, \ldots, k_d)$, $k \cdot \theta = k_1 \theta_1 + \cdots + k_d \theta_d$ le produit scalaire canonique sur $\mathbf{R}^{d}$ ; la norme associée est notée $\|k\| = \sqrt{k_1^{2} + \cdots + k_d^{2}}$.

L'objectif de cette partie est de montrer que les polynômes trigonométriques en $d$ variables sont denses dans $\mathscr{C}_{\mathrm{per}}(\mathbf{R}^{d})$, c'est-à-dire que si on se donne $f \in \mathscr{C}_{\mathrm{per}}(\mathbf{R}^{d})$ et $\varepsilon > 0$, il existe un polynôme trigonométrique $Q$ tel que

$$\|f - Q\|_{\infty} \leq \varepsilon.$$

*On admet que ce résultat est vrai en dimension $d = 1$, et on va en déduire la preuve dans le cas de la dimension $d = 2$. On constatera qu'elle se généralise aisément à toutes les dimensions $d \geq 2$.*

Dans toute la suite de cette partie, on se place donc en dimension $d = 2$. On introduit le sous-espace vectoriel $\mathscr{C}_{\mathrm{sep}}(\mathbf{R}^{2})$ de $\mathscr{C}_{\mathrm{per}}(\mathbf{R}^{2})$ constitué des fonctions de la forme

$$\theta = (\theta_1, \theta_2) \mapsto \sum_{i=1}^{n} f_i(\theta_1) g_i(\theta_2),$$

où $n \in \mathbf{N}^{*}$ et $f_1, \ldots, f_n, g_1, \ldots, g_n \in \mathscr{C}_{\mathrm{per}}(\mathbf{R})$.

**8.** Montrer que l'ensemble des polynômes trigonométriques en deux variables est dense dans $\mathscr{C}_{\mathrm{sep}}(\mathbf{R}^{2})$.

On considère, pour $j \geq 2$ un entier, la fonction $\psi_j : \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ $1$-périodique définie sur $]-1/2, 1/2]$ par

$$\forall t \in \, ]-1/2,\ 1/2], \quad \psi_j(t) = \max(0,\ 1 - j|t|).$$

En outre, pour les entiers $0 \leq k < j$, on définit les fonctions $\psi_{j,k} : \mathbf{R} \to \mathbf{R}$ par

$$\forall t \in \mathbf{R}, \quad \psi_{j,k}(t) = \psi_j\left( t - \frac{k}{j} \right).$$

**9.** Montrer que $\psi_{j,k} \in \mathscr{C}_{\mathrm{per}}(\mathbf{R})$.

**10.** On se donne $f \in \mathscr{C}_{\mathrm{per}}(\mathbf{R}^{2})$ et $j \geq 2$ un entier, et on pose

$$S_j(f)(\theta_1, \theta_2) = \sum_{k_1 = 0}^{j-1} \sum_{k_2 = 0}^{j-1} f\left( \frac{k_1}{j}, \frac{k_2}{j} \right) \psi_{j, k_1}(\theta_1) \psi_{j, k_2}(\theta_2).$$

**10a.** Montrer que $S_j(f) \in \mathscr{C}_{\mathrm{sep}}(\mathbf{R}^{2})$ et coïncide avec $f$ aux points $\left( \dfrac{\ell_1}{j}, \dfrac{\ell_2}{j} \right)$ pour $(\ell_1, \ell_2) \in \mathbf{Z}^{2}$.

**10b.** Soient $j \geq 2$, $k_1$ et $k_2$ deux entiers tels que $0 \leq k_1, k_2 < j$, et

$$\theta \in \left[ \frac{k_1}{j}, \frac{k_1 + 1}{j} \right] \times \left[ \frac{k_2}{j}, \frac{k_2 + 1}{j} \right].$$

Exprimer $S_j(f)(\theta)$ comme un barycentre des points $f\left( \dfrac{\ell_1}{j}, \dfrac{\ell_2}{j} \right)$ où $\ell_1 \in \{k_1, k_1 + 1\}$ et $\ell_2 \in \{k_2, k_2 + 1\}$. En déduire que $\|S_j(f) - f\|_{\infty} \to 0$ quand $j \to +\infty$.

**11.** Conclure que l'ensemble des polynômes trigonométriques en deux variables est dense dans $\mathscr{C}_{\mathrm{per}}(\mathbf{R}^{2})$.

## Quatrième partie

On se donne $f : \mathbf{R}^{2} \to \mathbf{C}$ et $g : \mathbf{R}^{2} \to \mathbf{R}^{2}$ deux fonctions continues et $1$-périodiques en chacun de leurs arguments, et $\omega \in \mathbf{R}^{2}$, $x \in \mathbf{R}$ deux paramètres. On considère le problème suivant

$$
\begin{cases}
F'(t) = f(\alpha(t)) \\
\alpha'(t) = \omega + x g(\alpha(t))
\end{cases}
\tag{3}
$$

assorti des conditions initiales $F(0) = 0$ et $\alpha(0) = (0, 0)$, où $\alpha : \mathbf{R} \to \mathbf{R}^{2}$ et $F : \mathbf{R} \to \mathbf{C}$ sont les fonctions inconnues.

Si $\varphi : \mathbf{R}^{2} \to \mathbf{C}$ est continue, on admet que

$$\int_0^{1} \left( \int_0^{1} \varphi(\theta_1, \theta_2) \, d\theta_1 \right) d\theta_2 = \int_0^{1} \left( \int_0^{1} \varphi(\theta_1, \theta_2) \, d\theta_2 \right) d\theta_1.$$

On note cette quantité $\displaystyle \int_0^{1} \int_0^{1} \varphi(\theta_1, \theta_2) \, d\theta_1 \, d\theta_2$ et on l'appelle *moyenne* de $\varphi$.

On suppose dans toute la suite que $f$ est de moyenne nulle, c'est-à-dire

$$\int_0^{1} \int_0^{1} f(\theta_1, \theta_2) \, d\theta_1 \, d\theta_2 = 0.$$

On commence par supposer $x = 0$.

**12.** Déterminer l'unique solution $(F, \alpha)$ du système (3) avec conditions initiales $F(0) = 0$ et $\alpha(0) = (0, 0)$.

Le vecteur $\omega = (\omega_1, \omega_2)$ est dit résonnant s'il existe $(k_1, k_2) \in \mathbf{Z}^{2} \setminus \{(0, 0)\}$ tel que

$$k_1 \omega_1 + k_2 \omega_2 = 0.$$

**13.** Montrer que, si $\omega$ est résonnant, il existe une fonction $f$ pour laquelle $F(t) = t$.

**14.** Supposons que $\omega$ n'est pas résonnant.

**14a.** Montrer que, si $f$ est un polynôme trigonométrique, alors $F$ est bornée sur $\mathbf{R}$.

**14b.** Montrer que plus généralement, si $f \in \mathscr{C}_{\mathrm{per}}(\mathbf{R}^{2})$, alors $F(t) = o(t)$ quand $t \to +\infty$.

**15.** On suppose désormais $x \neq 0$ (mais proche de $0$). L'expression déterminée dans la question **12** n'est généralement plus une solution.

On suppose donnée une solution $\alpha : \mathbf{R} \to \mathbf{R}^{2}$ de classe $\mathscr{C}^{1}$ : l'objectif de cette dernière question est d'en obtenir un développement asymptotique. Pour cela, on considère une nouvelle fonction inconnue $\tilde{\alpha} : \mathbf{R} \to \mathbf{R}^{2}$, de la forme

$$\tilde{\alpha}(t) = \alpha(t) + x h(\alpha(t)),$$

où $h : \mathbf{R}^{2} \to \mathbf{R}^{2}$ est une fonction auxiliaire judicieusement choisie. On cherche $h$ qui soit $1$-périodique en chacun de ses arguments, de classe $\mathscr{C}^{1}$ et de moyenne nulle, et que de plus, pour un certain $\nu \in \mathbf{R}^{2}$, elle satisfasse l'équation

$$\forall \theta \in \mathbf{R}^{2}, \quad dh(\theta) \cdot \omega + g(\theta) = \nu. \tag{4}$$

(On a noté $dh$ la différentielle de $h$).

**15a.** Déterminer $\nu$ en fonction de $g$. Dans le cas où les deux composantes $g_1$ et $g_2$ de $g$ sont des polynômes trigonométriques, en déduire l'existence d'une solution $h$ de l'équation (4), que l'on explicitera.

Dans la suite, on suppose $g$ de classe $\mathscr{C}^{1}$, et on admet l'existence d'une telle solution $h$.

**15b.** Montrer qu'il existe une fonction $\varepsilon : \mathbf{R}^{2} \to \mathbf{R}^{2}$ telle que

$$\tilde{\alpha}'(t) = \omega + x\nu + x \varepsilon(x, t)$$

et $\displaystyle \sup_{t \in \mathbf{R}} \|\varepsilon(x, t)\| \to 0$ quand $x \to 0$.

**15c.** Soit $T > 0$ fixé. Montrer qu'il existe une fonction $\eta : \mathbf{R}^{2} \to \mathbf{R}^{2}$ telle que

$$\alpha(t) = (\omega + x\nu)\, t + x \bigl( h(0, 0) - h(\omega t) \bigr) + x \eta(x, t)$$

et $\displaystyle \sup_{t \in [0, T]} \|\eta(x, t)\| \to 0$ quand $x \to 0$.