Maths B

# Exposant de Hölder ponctuel d'une fonction continue

École polytechnique — Concours d'admission 2013 — Filière MP

Composition de mathématiques – B – (X)

Durée : 4 heures

L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.

$\mathbf{N}$ désigne l'ensemble des entiers naturels et $\mathbf{R}$ celui des nombres réels.

On note $\mathcal{C}$ l'espace vectoriel réel des fonctions continues définies sur l'intervalle compact $[0, 1]$ et à valeurs dans $\mathbf{R}$. Cet espace est muni de la norme $\|\cdot\|_\infty$ définie pour tout $f \in \mathcal{C}$, par $\|f\|_\infty = \sup_{x \in [0, 1]} |f(x)|$.

On note $\mathcal{C}_0$ le sous-espace de $\mathcal{C}$ formé par les fonctions $f$ telles que $f(0) = f(1) = 0$.

$\log_2$ est la fonction définie pour $t \in \, ]0, +\infty[$, par $\log_2 t = \dfrac{\ln t}{\ln 2}$, où $\ln$ est le logarithme népérien.

## Première partie : définition de l'exposant de Hölder ponctuel

Soit $x_0 \in [0, 1]$. Pour tout $s \in [0, 1[$, on désigne par $\Gamma^s(x_0)$ le sous-ensemble de $\mathcal{C}$ formé par les fonctions $f$ qui vérifient :

$$\sup_{x \in [0, 1] \setminus \{x_0\}} \frac{|f(x) - f(x_0)|}{|x - x_0|^s} < +\infty.$$

**1a.** Montrer que $\Gamma^s(x_0)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{C}$, puis que, pour tous réels $s_1$ et $s_2$ vérifiant $0 \leq s_1 \leq s_2 < 1$, l'on a $\Gamma^{s_2}(x_0) \subset \Gamma^{s_1}(x_0)$. Enfin, déterminer $\Gamma^0(x_0)$.

**1b.** Soit $f \in \mathcal{C}$. Si $f$ est dérivable en $x_0$, montrer que $f \in \Gamma^s(x_0)$ pour tout $s \in [0, 1[$.

**1c.** Montrer que pour tout $x_0 \in \, ]0, 1[$, il existe $f \in \mathcal{C}$ non dérivable en $x_0$ tel que pour tout $s \in [0, 1[$, $f \in \Gamma^s(x_0)$.

Pour tout $f \in \mathcal{C}$ et tout $x_0 \in [0, 1]$, on pose

$$\alpha_f(x_0) = \sup \left\{ s \in [0, 1[ \ \middle|\ f \in \Gamma^s(x_0) \right\}.$$

Le réel $\alpha_f(x_0)$ est appelé *exposant de Hölder ponctuel de $f$ en $x_0$* ; il permet de mesurer finement la régularité locale de $f$ au voisinage du point $x_0$.

**2.** Soit $p : [0, 1] \to \mathbf{R}$, $x \mapsto \sqrt{|1 - 4x^2|}$. Déterminer l'exposant de Hölder ponctuel de $p$ en $\dfrac{1}{2}$.

Pour tout $f \in \mathcal{C}$, on définit la fonction $\omega_f : [0, 1] \to \mathbf{R}_+$ par

$$\omega_f(h) = \sup \left\{ |f(x) - f(y)| \ \middle|\ x, y \in [0, 1] \text{ et } |x - y| \leq h \right\}.$$

**3a.** Montrer que $\omega_f$ est croissante, et continue en $0$.

**3b.** Montrer que pour tous $h, h' \in [0, 1]$ tels que $h \leq h'$, $\omega_f$ vérifie

$$\omega_f(h') \leq \omega_f(h) + \omega_f(h' - h).$$

**3c.** En déduire que $\omega_f$ est continue sur $[0, 1]$.

**4a.** Soit $s \in [0, 1[$. On suppose que la fonction $h \mapsto \dfrac{\omega_f(h)}{h^s}$ est bornée sur $]0, 1]$. Pour tout $x_0 \in [0, 1]$, montrer que $f \in \Gamma^s(x_0)$.

**4b.** Soit $q : [0, 1] \to \mathbf{R}$ définie par

$$
\begin{cases}
q(x) = x \cos \left( \dfrac{\pi}{x} \right) & \text{pour } x > 0, \\
q(0) = 0.
\end{cases}
$$

Montrer que pour tout $x_0 \in [0, 1]$, $\alpha_q(x_0) = 1$, mais que $\dfrac{\omega_q(h)}{\sqrt{h}}$ ne tend pas vers $0$ quand $h$ tend vers $0$.

## Deuxième partie : le système de Schauder

On note $\mathcal{I} = \left\{ (j, k) \in \mathbf{N}^2 \ \middle|\ j \in \mathbf{N} \text{ et } 0 \leq k < 2^j \right\}$ ; pour $j \in \mathbf{N}$, on désigne par $\mathcal{T}_j$ l'ensemble

$$\mathcal{T}_j = \left\{ k \in \mathbf{N} \ \middle|\ 0 \leq k < 2^j \right\}.$$

Pour tout $(j, k) \in \mathcal{I}$, soit $\theta_{j,k} : [0, 1] \to [0, 1]$ la fonction de $\mathcal{C}_0$, définie pour tout $x \in [0, 1]$ par

$$
\theta_{j,k}(x) =
\begin{cases}
1 - \left| 2^{j+1} x - 2k - 1 \right| & \text{si } x \in \left[ k 2^{-j},\ (k + 1) 2^{-j} \right], \\
0 & \text{sinon.}
\end{cases}
$$

La famille des fonctions $(\theta_{j,k})_{(j,k) \in \mathcal{I}}$ est appelée *le système de Schauder*.

On note $\widetilde{k}_j(x)$ la partie entière du réel $2^j x$, c'est donc l'unique entier tel que

$$\widetilde{k}_j(x) \leq 2^j x < \widetilde{k}_j(x) + 1.$$

**5a.** Montrer que pour tout $j \in \mathbf{N}$ et tout $k \in \mathcal{T}_{j+1}$, il existe un unique entier $k' \in \mathcal{T}_j$ tel que

$$\left[ k 2^{-j-1},\ (k + 1) 2^{-j-1} \right] \subset \left[ k' 2^{-j},\ (k' + 1) 2^{-j} \right].$$

On précisera le lien entre $k$ et $k'$.

**5b.** Calculer $\theta_{j,k}\left( \ell 2^{-j-1} \right)$ pour tous $j \in \mathbf{N}$, $k \in \mathcal{T}_j$, $\ell \in \mathcal{T}_{j+1}$.

**5c.** Montrer que pour tout $(j, k) \in \mathcal{I}$, la fonction $\theta_{j,k}$ est continue, affine sur chaque intervalle de la forme $\left[ \ell 2^{-n},\ (\ell + 1) 2^{-n} \right]$ où $n > j$ et $\ell \in \mathcal{T}_n$.

**5d.** Prouver que pour tous $(j, k) \in \mathcal{I}$ et $(x, y) \in [0, 1]^2$, on a

$$\left| \theta_{j,k}(x) - \theta_{j,k}(y) \right| \leq 2^{j+1} |x - y|.$$

Dans le reste de cette partie $f$ est un élément de $\mathcal{C}_0$.

Pour tout $n \in \mathbf{N}$, soit $S_n f$ la fonction de $\mathcal{C}_0$ définie par

$$S_n f = \sum_{j = 0}^{n} \sum_{k \in \mathcal{T}_j} c_{j,k}(f) \, \theta_{j,k},$$

où, pour tout $(j, k) \in \mathcal{I}$, on a posé

$$c_{j,k}(f) = f\left( \left( k + \frac{1}{2} \right) 2^{-j} \right) - \frac{f\left( k 2^{-j} \right) + f\left( (k + 1) 2^{-j} \right)}{2}.$$

**6.** Montrer que $\displaystyle \lim_{j \to +\infty} \max_{k \in \mathcal{T}_j} \left| c_{j,k}(f) \right| = 0$.

**7a.** Pour tout $(j, k) \in \mathcal{I}$, $(i, \ell) \in \mathcal{I}$, calculer $c_{j,k}(\theta_{i,\ell})$.

**7b.** Soit $a_{j,k}$ une famille de réels indexée par $(j, k) \in \mathcal{I}$. On note $b_j = \max_{k \in \mathcal{T}_j} |a_{j,k}|$, et on suppose que la série $\sum b_j$ est convergente.

Pour tout $j \in \mathbf{N}$, soit $f_j^a$ la fonction définie par

$$f_j^a(x) = \sum_{k \in \mathcal{T}_j} a_{j,k} \theta_{j,k}(x).$$

Montrer que la série $\sum f_j^a$ est uniformément convergente sur $[0, 1]$ vers une fonction noté $f^a$, qui appartient à $\mathcal{C}_0$ et qui vérifie, pour tout $(j, k) \in \mathcal{I}$, $c_{j,k}(f^a) = a_{j,k}$.

**8a.** On suppose $f$ de classe $\mathcal{C}^1$. Montrer qu'il existe une constante $M \geq 0$ telle que pour tous $(j, k) \in \mathcal{I}$, $|c_{j,k}(f)| \leq M 2^{-j}$.

En déduire que la suite de fonction $S_n f$ est uniformément convergente sur $[0, 1]$ lorsque $n$ tend vers $\infty$.

**8b.** On suppose $f$ de classe $\mathcal{C}^2$. Montrer qu'il existe une constante $M' \geq 0$ telle que pour tous $(j, k) \in \mathcal{I}$, $|c_{j,k}(f)| \leq M' 4^{-j}$.

**9a.** Montrer que pour tout $n \in \mathbf{N}$ et tout $\ell \in \mathcal{T}_{n+1}$, la fonction $S_n f$ est affine sur l'intervalle $\left[ \ell 2^{-n-1},\ (\ell + 1) 2^{-n-1} \right]$.

**9b.** Soit $n \in \mathbf{N}$. On suppose que pour tout $\ell \in \mathcal{T}_n$, $(S_{n-1} f)(\ell 2^{-n}) = f(\ell 2^{-n})$. Montrer que l'on a aussi que pour tout $\ell \in \mathcal{T}_{n+1}$, $(S_n f)(\ell 2^{-n-1}) = f(\ell 2^{-n-1})$.

On pourra distinguer les cas suivant la parité de $\ell$.

**9c.** En déduire que pour tout $n \in \mathbf{N}$ et tout $\ell \in \mathcal{T}_{n+1}$, $(S_n f)(\ell 2^{-n-1}) = f(\ell 2^{-n-1})$.

**10a.** Déduire de la question 9 que pour tout $f$ de $\mathcal{C}_0$, $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \|f - S_n f\|_\infty = 0$.

**10b.** Soit $n \in \mathbf{N}$. Montrer que $S_n$ est un projecteur sur $\mathcal{C}_0$, dont la norme subordonnée (à $\|\cdot\|_\infty$) vaut $1$.

**11a.** Soit $s \in \, ]0, 1[$. Montrer que si $a, b \geq 0$, alors $a^s + b^s \leq 2^{1-s} (a + b)^s$.

**11b.** Montrer que si $f \in \Gamma^s(x_0) \cap \mathcal{C}_0$, alors il existe un réel $c_1 > 0$, tel que pour tout $(j, k) \in \mathcal{I}$, on a,

$$\left| c_{j,k}(f) \right| \leq c_1 \left( 2^{-j} + \left| k 2^{-j} - x_0 \right| \right)^s.$$

## Troisième partie : minoration de l'exposant de Hölder ponctuel

L'objectif de cette partie est d'établir une forme de réciproque du résultat de la question **11b**. Dans toute cette partie, on désigne par $f \in \mathcal{C}_0$ une fonction vérifiant la propriété suivante :

$(\mathcal{P}_1)$ il existe $x_0 \in [0, 1]$, $s \in \, ]0, 1[$ et $c_1 \in \, ]0, +\infty[$, tels que pour tout $(j, k) \in \mathcal{I}$,

$$\left| c_{j,k}(f) \right| \leq c_1 \left( 2^{-j} + \left| k 2^{-j} - x_0 \right| \right)^s.$$

Dans tout le reste de cette partie, on fixe les $x_0$, $s$ et $c_1$ de la propriété $\mathcal{P}_1$ et $x \in [0, 1] \setminus \{x_0\}$.

**12.** Montrer qu'il existe un unique $n_0 \in \mathbf{N}$ tel que $2^{-n_0-1} < |x - x_0| \leq 2^{-n_0}$.

**13.** On rappelle que la notation $\widetilde{k}_j(x)$ a été introduite en préambule de la deuxième partie. On pose

$$W_j = \sum_{k \in \mathcal{T}_j} \left| c_{j,k}(f) \right| \left| \theta_{j,k}(x) - \theta_{j,k}(x_0) \right|.$$

Montrer que

$$W_j \leq \left( \left| c_{j, \widetilde{k}_j(x)}(f) \right| + \left| c_{j, \widetilde{k}_j(x_0)}(f) \right| \right) 2^{j+1} |x - x_0|.$$

**14a.** Montrer que pour $j \leq n_0$ ($n_0$ est déterminé dans la question **12**), on a

$$W_j \leq 4 c_1 \, 2^{(1-s)j} \, 3^s \, |x - x_0|.$$

**14b.** En déduire que, en posant $c_2 = 8 \left( 2^{1-s} - 1 \right)^{-1} \left( \dfrac{3}{2} \right)^s c_1$,

$$\sum_{j = 0}^{n_0} \sum_{k \in \mathcal{T}_j} \left| c_{j,k}(f) \right| \left| \theta_{j,k}(x) - \theta_{j,k}(x_0) \right| \leq c_2 |x - x_0|^s.$$

**15.** Montrer que pour tout $j \in \mathbf{N}$, $\left| c_{j, \widetilde{k}_j(x_0)}(f) \right| \leq 2^{s(1-j)} c_1$. En déduire, en posant $c_3 = \left( 1 - 2^{-s} \right)^{-1} 2^s c_1$,

$$\sum_{j = n_0 + 1}^{+\infty} \sum_{k \in \mathcal{T}_j} \left| c_{j,k}(f) \right| \left| \theta_{j,k}(x_0) \right| \leq c_3 |x - x_0|^s.$$

Dans la suite du problème, on suppose que $\|f\|_\infty = 1$ et on rappelle que la fonction $\omega_f$ a été définie à la question **3**.

**16.** Montrer qu'il existe un unique $n_1 \in \mathbf{N}$ tel que $\omega_f(2^{-n_1-1}) < 2^{-n_0 s} \leq \omega_f(2^{-n_1})$.

**17.** Montrer que pour tout $n \geq n_1$, où $n_1$ est déterminé dans la question **16**, on a

$$\|f - S_n f\|_\infty \leq 2^{s+1} |x - x_0|^s.$$

On pourra utiliser les résultats des questions **9a** et **9c**.

**18a.** Montrer que lorsque $n_0 < n_1$, on a,

$$\sum_{j = n_0 + 1}^{n_1} \sum_{k \in \mathcal{T}_j} \left| c_{j,k}(f) \right| \left| \theta_{j,k}(x) \right| \leq c_1 3^s (n_1 - n_0) |x - x_0|^s.$$

On suppose de plus dans la suite que la fonction $\omega_f$ vérifie la propriété suivante :

$(\mathcal{P}_2)$ pour tout entier $N \geq 1$, il existe un réel $c_4(N) > 0$, tel que pour tout $h \in \, ]0, 1]$,

$$\omega_f(h) \leq c_4(N) \left( 1 + \left| \log_2 h \right| \right)^{-N}.$$

**18b.** Pour tout entier $N \geq 1$, on pose $c_5(N) = 3^s c_1 \left( c_4(N) \right)^{1/N}$. Montrer que

$$n_1 - n_0 \leq n_1 + 1 \leq \left( \frac{c_4(N)}{\omega_f(2^{-n_1})} \right)^{1/N}$$

et en déduire

$$\sum_{j = n_0 + 1}^{n_1} \sum_{k \in \mathcal{T}_j} \left| c_{j,k}(f) \right| \left| \theta_{j,k}(x) \right| \leq c_5(N) \, |x - x_0|^{\left(1 - \frac{1}{N}\right) s}.$$

**19.** Déduire de ce qui précède que $\alpha_f(x_0) \geq s$.

On pourra distinguer les cas $n_0 \geq n_1$ et $n_0 < n_1$.