Maths B

# Sujet — Mathématiques B, filière MP — X — 2012

ÉCOLE POLYTECHNIQUE — FILIÈRE MP

CONCOURS D’ADMISSION 2012

**COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES – B – (X)**

(Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.

## Valeurs d’adhérence de séries entières sur le cercle de convergence

La notation $i$ étant réservée (c’est un nombre complexe dont le carré est $-1$) les candidats éviteront de l’utiliser à d’autres fins, par exemple comme indice de suite, de sommation ou de produit.

### Première partie : convergence au sens de Césaro

Soit $(a_n)_{n \geqslant 0}$ une suite de nombres complexes. On dit qu’elle est $C$-convergente si la suite $(m_n)_{n \geqslant 0}$ définie par

$$
\forall n \geqslant 0, \qquad m_n = \frac{a_0 + a_1 + \cdots + a_n}{n + 1}
$$

est convergente et on appelle alors $C$-limite de $(a_n)_{n \geqslant 0}$ la limite de la suite $(m_n)_{n \geqslant 0}$.

**1.** Montrer que toute suite convergente est $C$-convergente et donner un exemple de suite $C$-convergente mais non convergente.

**2.** Montrer que si la suite $(a_n)_{n \geqslant 0}$ est $C$-convergente, alors $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = 0$.

**3.** Montrer que pour tout $\alpha \in \, ]0, 1[$, la suite de terme général $a_n = (-1)^n n^{\alpha}$ est $C$-convergente.

Si $(b_n)_{n \geqslant 0}$ est une suite de nombre complexes, on dit que la série $\sum b_n$ est $C$-convergente si la suite des sommes partielles de la série est $C$-convergente et la $C$-limite de la suite des sommes partielles sera appelée $C$-limite de la série.

Soit $\sum c_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R > 0$. On note pour tout $n \geqslant 0$,

$$
S_n(z) = \sum_{k=0}^{n} c_k z^k, \qquad \sigma_n(z) = \frac{S_0(z) + S_1(z) + \cdots + S_n(z)}{n + 1}.
$$

**4.** Soit $z_0$ un nombre complexe tel que la série $\sum c_n z_0^n$ soit $C$-convergente. Montrer que $|z_0| \leqslant R$.

Si $z_0 \in \mathbf{C}$ est tel que $\sum c_n z_0^n$ est $C$-convergente, on note $\sigma(z_0)$ sa $C$-limite. On note $F$ l’ensemble des nombres complexes de module $R$ pour lesquels la série est $C$-convergente.

**5.** Pour chacune des séries entières $\sum c_n z^n$ suivantes, déterminer le rayon de convergence, l’ensemble $F$ et la valeur de $\sigma(z)$ pour tout $z \in F$.

**5a.** $\forall n \in \mathbf{N}$, $c_n = 1$.

**5b.** $\forall n \in \mathbf{N}$, $c_{2n} = \alpha$, $c_{2n+1} = \alpha + \beta$, $\alpha, \beta \in \mathbf{C}$, $\beta \neq 0$, $2\alpha + \beta \neq 0$.

**5c.** $\forall n \in \mathbf{N}$, $c_n = 1 + \alpha e^{in\lambda}$, $\alpha \in \, ]0, 1[$, $\lambda \in \mathbf{R}$.

### Deuxième partie : un théorème de Kronecker

On rappelle que des nombres réels $x_1, \ldots, x_m$ sont linéairement indépendants sur $\mathbf{Q}$ s’ils forment un système libre de $\mathbf{R}$ considéré comme $\mathbf{Q}$-espace vectoriel.

Soit $\mathcal{C}_b(\mathbf{R}, \mathbf{C})$ le $\mathbf{C}$-espace vectoriel des fonctions continues bornées de $\mathbf{R}$ dans $\mathbf{C}$. Il est muni de la norme définie pour toute fonction $f \in \mathcal{C}_b(\mathbf{R}, \mathbf{C})$ par

$$
\|f\|_\infty = \sup_{x \in \mathbf{R}} |f(x)|.
$$

Si $\lambda \in \mathbf{R}$, on désigne par $e_\lambda \in \mathcal{C}_b(\mathbf{R}, \mathbf{C})$ la fonction définie par $e_\lambda(t) = e^{i\lambda t}$. Soit $\mathcal{E}$ le sous-espace de $\mathcal{C}_b(\mathbf{R}, \mathbf{C})$ engendré par les fonctions $e_\lambda$, $\lambda \in \mathbf{R}$.

**6a.** Montrer que pour tout $f \in \mathcal{E}$, la fonction $\displaystyle x \mapsto \frac{1}{2x} \int_{-x}^{x} f(t)\, dt$ admet une limite lorsque $x$ tend vers $+\infty$ qu’on note $M(f)$. Vérifier que $f \mapsto M(f)$ est une forme linéaire continue sur $\mathcal{E}$.

**6b.** Montrer que $(e_\lambda)_{\lambda \in \mathbf{R}}$ est une base de $\mathcal{E}$ et que pour tout $f \in \mathcal{E}$, $M(f)$ est la coordonnée de $f$ suivant $e_0$ dans la base des $(e_\lambda)_{\lambda \in \mathbf{R}}$.

**6c.** Montrer que si $f, g \in \mathcal{E}$ alors il en est de même de $fg$. Dans le cas où $g$ est à valeurs réelles positives, établir que $|M(fg)| \leqslant \|f\|_\infty M(g)$.

**7.** On pose pour tout entier $N \geqslant 0$, $\displaystyle K_N = \sum_{j=-N}^{N} \left(1 - \frac{|j|}{N+1}\right) e_j$.

**7a.** Montrer que $\displaystyle K_N(t) = 1 + \sum_{j=1}^{N} \frac{2j}{N+1} \cos((N+1-j)t)$.

**7b.** Montrer que pour tout $t \in \mathbf{R} \setminus 2\pi\mathbf{Z}$,

$$
\frac{\sin\bigl(\frac{N+1}{2} t\bigr)}{\sin\bigl(\frac{t}{2}\bigr)} = \sum_{k=0}^{N} e^{i\bigl(\frac{N}{2}-k\bigr)t}
\quad \text{puis que} \quad
K_N(t) = \frac{1}{N+1} \left( \frac{\sin\bigl(\frac{N+1}{2} t\bigr)}{\sin\bigl(\frac{t}{2}\bigr)} \right)^{2}.
$$

Dans la suite de cette partie, on fixe un entier $n \geqslant 1$, des nombres réels $\lambda_1, \ldots, \lambda_n, \lambda_{n+1}$ linéairement indépendants sur $\mathbf{Q}$, des nombres réels positifs $r_0, \ldots, r_{n+1}$ et des nombres réels $\alpha_1, \ldots, \alpha_{n+1}$.

Pour $j = 1, \ldots, n+1$, on pose $a_j = r_j e^{i\alpha_j}$ et pour tout $x \in \mathbf{R}$, $\displaystyle f(x) = r_0 + \sum_{j=1}^{n+1} a_j e^{i\lambda_j x}$.

**8.** Pour tout entier $N \geqslant 0$, on pose $\displaystyle g_N(x) = \prod_{p=1}^{n+1} K_N(\lambda_p x + \alpha_p)$.

**8a.** Écrire $g_N$ comme combinaison linéaire de fonctions $e_\lambda$ avec $\lambda$ de la forme

$$
\lambda = k_1 \lambda_1 + \cdots + k_{n+1} \lambda_{n+1}, \qquad k_i \in \{-N, \ldots, N\}.
$$

En déduire que $M(g_N) = 1$.

**8b.** Montrer que $\displaystyle M(fg_N) = r_0 + \frac{N}{N+1} \sum_{j=1}^{n+1} r_j$.

**8c.** En déduire que $\displaystyle \|f\|_\infty = \sum_{j=0}^{n+1} r_j$, (on pourra utiliser **6c**).

**9.** Soient $u_1, \ldots, u_m$ des nombres complexes de module $1$ et $\varepsilon$ un réel strictement positif. On suppose que $|u_1 + \cdots + u_m| \geqslant m - \varepsilon$. Montrer que si $k \neq j$ on a $|u_k + u_j| \geqslant 2 - \varepsilon$ et $|u_k - u_j| \leqslant 2\sqrt{\varepsilon}$.

Dans la suite on suppose de plus que $\lambda_{n+1} = 2\pi$, $r_j = 1$ pour tout $j \in \{1, \ldots, n+1\}$ et $\alpha_{n+1} = 0$, de sorte que $\displaystyle f(x) = 1 + \sum_{j=1}^{n} e^{i\alpha_j} e^{i\lambda_j x} + e^{i2\pi x}$.

**10a.** Montrer qu’il existe une suite de nombres réels $(x_m)_{m \in \mathbf{N}}$ telle que $\displaystyle \lim_{m \to +\infty} |f(x_m)| = n+2$.

**10b.** Montrer qu’une telle suite $(x_m)_{m \in \mathbf{N}}$ vérifie pour tout $j \in \{1, \ldots, n\}$,

$$
\lim_{m \to +\infty} e^{i\lambda_j x_m} = e^{-i\alpha_j}, \qquad \lim_{m \to +\infty} e^{i2\pi x_m} = 1.
$$

**10c.** Posons $x_m = N_m + y_m$, avec $y_m \in \bigl[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\bigr[$ et $N_m \in \mathbf{Z}$. Montrer que $\displaystyle \lim_{m \to +\infty} y_m = 0$, puis que pour tout $j \in \{1, \ldots, n\}$, on a $\displaystyle \lim_{m \to +\infty} e^{i\lambda_j N_m} = e^{-i\alpha_j}$.

**11.** Dans cette question, on considère le cas particulier où $\alpha_j = \pi$, pour tout $j \in \{1, \ldots, n\}$, de sorte que $\displaystyle f(x) = 1 - \sum_{j=1}^{n} e^{i\lambda_j x} + e^{i2\pi x}$.

**11a.** Montrer que sur tout intervalle fermé borné $I$ de $\mathbf{R}$, $\displaystyle \sup_{x \in I} |f(x)| < n + 2$.

**11b.** En déduire l’existence d’une suite $(N'_m)_{m \in \mathbf{N}}$ d’entiers relatifs telle que $\displaystyle \lim_{m \to +\infty} N'_m = \pm\infty$ et pour tout $j \in \{1, \ldots, n\}$, $\displaystyle \lim_{m \to +\infty} e^{i\lambda_j N'_m} = -1$. Que peut-on dire des suites $\bigl(e^{i2\lambda_j N'_m}\bigr)_{m \in \mathbf{N}}$ ?

**12.** Déduire de ce qui précède le théorème suivant.

**Théorème de Kronecker.** Soient $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ des réels tels que $\lambda_1, \ldots, \lambda_n, \pi$ sont linéairement indépendants sur $\mathbf{Q}$. Soient $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ des réels. Alors il existe une suite $(N_m)_{m \in \mathbf{N}}$ d’entiers naturels tels que $\displaystyle \lim_{m \to +\infty} N_m = +\infty$ et pour tout $j \in \{1, \ldots, n\}$, $\displaystyle \lim_{m \to +\infty} e^{i\lambda_j N_m} = e^{i\alpha_j}$.

### Troisième partie : valeurs d’adhérence aux points de $C$-convergence

On rappelle que $\ell$ est une valeur d’adhérence de la suite $(u_n)_{n \in \mathbf{N}}$ s’il existe une application strictement croissante $\phi : \mathbf{N} \to \mathbf{N}$ telle que $\displaystyle \ell = \lim_{n \to +\infty} u_{\phi(n)}$.

Les valeurs d’adhérence d’une série sont celles de la suite de ses sommes partielles. Si $\sum c_n z^n$ est une série entière et $z_0 \in \mathbf{C}$, on note $\mathcal{L}(z_0)$ l’ensemble des valeurs d’adhérence de la série $\sum c_n z_0^n$. Dans cette partie, on étudie l’ensemble $\mathcal{L}(z_0)$, $z_0 \in F$, pour les exemples de la question **5**. Les notations $F$, $\sigma(z)$ sont celles de la première partie.

**13a.** On reprend l’exemple **5a**. Déterminer $\mathcal{L}(e^{ix})$, lorsque $\dfrac{x}{\pi} \in \mathbf{Q}$. Lorsque $\dfrac{x}{\pi} \notin \mathbf{Q}$, montrer que $\mathcal{L}(e^{ix})$ est un cercle de centre $\sigma(e^{ix})$ dont on déterminera le rayon.

**13b.** On reprend l’exemple **5b**. On suppose que $\dfrac{x}{\pi} \notin \mathbf{Q}$, $\alpha \neq 0$ et $\dfrac{\beta}{\alpha} \notin \mathbf{R}$. Montrer que $\mathcal{L}(e^{ix})$ est réunion de deux cercles de centre $\sigma(e^{ix})$ dont on déterminera les rayons.

**13c.** On reprend l’exemple **5c**. On suppose que les nombres $x$, $\lambda$, $\pi$ sont linéairement indépendants sur $\mathbf{Q}$. Montrer que pour $\alpha > 0$ suffisamment petit,

$$
\mathcal{L}(e^{ix}) = \bigl\{\zeta \in \mathbf{C} ;\ |\zeta - \sigma(e^{ix})| \in [r_1, r_2]\bigr\}
$$

pour des réels $0 < r_1 < r_2$ que l’on déterminera.