Physique C

# Corrigé — X-ENS 2025, Physique C, filière PC

**Concours :** Écoles Normales Supérieures / Banque PC Inter-ENS/X/ESPCI — session 2025
**Épreuve :** Physique C (spécifique ENS Paris, option physique), durée 6 h — coefficient 41 % de l'admissibilité, 6 % de l'admission
**Filière :** PC · **Année :** 2025 · **Calculatrice interdite**

**Thème :** *Autour de l'énergie électromagnétique.* Deux parties largement indépendantes : l'énergie **électrostatique** de distributions de charges (partie 1), l'énergie **magnétique** de distributions de courants dans l'ARQS (partie 2).

**Fil directeur.**

On construit chaque énergie de trois façons cohérentes : (i) à partir des **travaux** nécessaires pour assembler ou déformer le système, (ii) par des **formulations intégrales** faisant intervenir potentiel/flux et sources, (iii) par la **densité d'énergie du champ** ($\tfrac12\varepsilon_0 E^2$, $B^2/2\mu_0$).

On relie la description discrète (charges ponctuelles / circuits filiformes) à la description continue, on traite les **divergences** de l'énergie propre par le « nivellement » des charges, et on referme le sujet sur une lecture microscopique : la **masse de l'électron** interprétée comme énergie électromagnétique propre.

**Carte stratégique (rapport du jury).**
- Moyenne 10,1 ; écart-type 2,8 ; **~60 % des copies sous la moyenne** ; 525 copies. Sujet **progressif** qui a bien classé.
- Exigences transverses martelées : **lire l'énoncé en entier** (ne pas répondre à côté ni tronquer la question) ; **tout justifier** (loi, théorème) même si non demandé, mais **rester concis** ; **schémas propres et lisibles** ; **respecter les notations de l'énoncé** ; définir toute grandeur introduite.
- **Questions étoilées** (15, 19, 20, 30, 38, 51, 52, 56, 62) : peu traitées alors que **peu exigeantes** en points — raisonnement physique sans calcul lourd. Fort levier.
- **Coquille signalée par le jury en Q20** (« décroissante » au lieu de « croissante ») ; le barème en a tenu compte. On la signale ci-dessous conformément à la consigne d'énoncé.
- Parties **2.3 et 2.4** « traitées avec succès par un très faible nombre de candidats » : différenciantes.

> Convention de signe utilisée partout : pour un déplacement quasi-statique, le travail des forces **intérieures** au système vaut l'opposé de la variation d'énergie propre, $\delta W_{\text{int}} = -\,\mathrm{d}U$ ; le travail de l'**opérateur** contre ces forces vaut $\delta W_{\text{op}} = +\,\mathrm{d}U$ (à courant/charge fixés, cf. Q35, Q45 pour la contribution du générateur).

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# Première partie — Énergie électrostatique

## 1.1 Système de charges ponctuelles

### Question 1

**Stratégie.** L'énergie potentielle d'interaction est le travail de l'opérateur amenant $q_2$ depuis l'infini, soit l'opposé du travail de la force de Coulomb (force conservative).

**Rédaction.**

La force $\vec F_{1\to 2}=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\vec r_{12}}{r_{12}^{3}}$ est radiale : $F_r=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$.

En déplaçant $q_2$ de l'infini jusqu'à $r_{12}$, $$U_{12}=-\int_{\infty}^{r_{12}}\vec F_{1\to2}\cdot\mathrm d\vec r=-\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\infty}^{r_{12}}\frac{\mathrm dr}{r^2}=-\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0}\Big[-\frac1r\Big]_{\infty}^{r_{12}}.$$ $$\boxed{\,U_{12}=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0\,r_{12}}\,}$$
Homogénéité : $[q^2/(\varepsilon_0 r)] = \mathrm{C^2/(F\,m^{-1}\cdot m)} = \mathrm{C^2/F}=\mathrm J$. ✔ Vérification : $-\vec{\mathrm{grad}}_2 U_{12}=-\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0}\vec{\mathrm{grad}}_B\!\big(1/r_{AB}\big)=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\vec r_{12}}{r_{12}^3}=\vec F_{1\to2}$ (formule (1)). ✔

**Commentaire du correcteur.** Le jury signale une **erreur de signe fréquente** sur un résultat qui « devrait être bien connu », et une justification correcte dans **seulement 50 %** des copies.

Piège de notation : ne pas écrire « $\mathrm{grad}$ » ou « $\vec r$ » sans indice — préciser $\vec{\mathrm{grad}}_2$, $\vec r_{12}$.

### Question 2

**Stratégie.** Montrer que la **même** énergie $U_{12}(r_{12})$ engendre les deux forces, chacune comme gradient par rapport à la charge déplacée.

**Rédaction.** $\vec F_{2\to1}=-\vec{\mathrm{grad}}_1 U_{12}=-\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0}\vec{\mathrm{grad}}_A\!\big(1/r_{AB}\big)=-\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\vec r_{12}}{r_{12}^3}$ (formule (2)). $$\boxed{\,\vec F_{2\to1}=-\vec F_{1\to2}\,}$$
Oui, l'énergie décrit **complètement** l'interaction : une **unique** fonction scalaire $U_{12}(r_{12})$ de la distance suffit à produire, par dérivation, l'action de chaque charge sur l'autre.

**Commentaire du correcteur.** Le jury insiste : beaucoup invoquent le **principe d'action–réaction**, « ce qui n'est pas l'esprit de la question ».

Il faut **dériver** $U_{12}$ par rapport à $\vec r_1$ pour obtenir $\vec F_{2\to1}$ ; l'égalité $\vec F_{2\to1}=-\vec F_{1\to2}$ en est alors une **conséquence**, pas un point de départ.

### Question 3

**Stratégie.** Sommer les énergies de paires en évitant le double comptage.

**Rédaction.**

Posons $V_{i\to j}=\dfrac{q_i}{4\pi\varepsilon_0 r_{ij}}$ = **potentiel créé par $q_i$ à la position de $q_j$**.

Alors $q_jV_{i\to j}=U_{ij}$.

La somme $\sum_{i\neq j}$ compte chaque paire **deux fois** (termes $ij$ et $ji$, égaux).

Donc $$\boxed{\,U_q=\frac12\sum_{i\neq j}q_jV_{i\to j}\quad\Rightarrow\quad a=\tfrac12\,}$$
Signe : $U_q$ peut être **positif ou négatif** (elle dépend des signes relatifs des charges).

**Commentaire du correcteur.** Point noir du sujet : **seuls 50 %** ont mis le facteur $1/2$, « ce qui entraînait des réponses fausses à toutes les questions suivantes ». Le jury a accepté toute réponse équivalente, mais prévient que définir $V_{i\to j}$ **comme un potentiel** (et non une grandeur ad hoc) conditionne la réussite de la suite.

### Question 4

**Stratégie.**

Trier les paires : internes à $\alpha$, internes à $\beta$, croisées.

**Rédaction.**

Avec $S_q^\alpha=\{q_1,q_2\}$, $S_q^\beta=\{q_3,q_4\}$ : $$U_q^\alpha=\tfrac12\big(q_1V_{2\to1}+q_2V_{1\to2}\big)=q_2V_{1\to2},\qquad U_q^\beta=\tfrac12\big(q_3V_{4\to3}+q_4V_{3\to4}\big)=q_4V_{3\to4},$$ $$U_q^{\alpha\leftrightarrow\beta}=\sum_{i\in\alpha}\sum_{j\in\beta}q_jV_{i\to j}=q_3V_{1\to3}+q_4V_{1\to4}+q_3V_{2\to3}+q_4V_{2\to4}.$$ $$\boxed{\,U_q=U_q^{\alpha}+U_q^{\beta}+U_q^{\alpha\leftrightarrow\beta}\,}$$
Noter l'absence de facteur $1/2$ sur le terme croisé : chaque paire mixte n'est comptée **qu'une fois**.

**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas spécifiquement cette question.

Piège classique : réintroduire par réflexe un $1/2$ devant l'énergie d'**interaction** — il n'y est pas, car les paires $\{i\in\alpha,\,j\in\beta\}$ ne sont pas dédoublées.

### Question 5

**Stratégie.** Regrouper le potentiel créé par tout un sous-système.

**Rédaction.** $U_q^{\alpha\leftrightarrow\beta}=\sum_{j\in\beta}q_j\Big(\sum_{i\in\alpha}V_{i\to j}\Big)=\sum_{j\in\beta}q_j\,V_{\alpha\to j}$, avec $V_{\alpha\to j}=\sum_{i\in\alpha}V_{i\to j}$ = **potentiel créé en $j$ par l'ensemble de $S_q^\alpha$**. $$\boxed{\,U_q^{\alpha\leftrightarrow\beta}=\sum_{j\in\beta}q_jV_{\alpha\to j}=\sum_{i\in\alpha}q_iV_{\beta\to i}\quad\Rightarrow\quad b=1\,}$$
La seconde écriture s'obtient symétriquement, avec $V_{\beta\to i}=\sum_{j\in\beta}V_{j\to i}$.

**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question. C'est la version « champ moyen » de Q4, socle des formulations intégrales à venir (Q6, Q12).

## 1.2 Formulations intégrales

### Question 6

**Stratégie.**

Développer $U_\rho=\tfrac12\iiint\rho V\,\mathrm d\tau$ avec $\rho=\rho_\alpha+\rho_\beta$, $V_\rho=V_\alpha+V_\beta$.

**Rédaction.** $$U_\rho=\tfrac12\iiint(\rho_\alpha+\rho_\beta)(V_\alpha+V_\beta)\,\mathrm d\tau=\underbrace{\tfrac12\iiint\rho_\alpha V_\alpha}_{U_\rho^\alpha}+\underbrace{\tfrac12\iiint\rho_\beta V_\beta}_{U_\rho^\beta}+\underbrace{\tfrac12\iiint(\rho_\alpha V_\beta+\rho_\beta V_\alpha)}_{U_\rho^{\alpha\leftrightarrow\beta}}.$$
Par le théorème de réciprocité (12), $\iiint\rho_\alpha V_\beta=\iiint\rho_\beta V_\alpha$, donc $$\boxed{\,U_\rho^{\alpha\leftrightarrow\beta}=\iiint\rho_\alpha V_\beta\,\mathrm d\tau=\iiint\rho_\beta V_\alpha\,\mathrm d\tau\,}$$
Le facteur $1/2$ disparaît de nouveau sur l'interaction, en accord avec Q5.

**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question. La structure (propre + propre + interaction) est identique au cas discret ; c'est le socle de la comparaison demandée en Q7.

### Question 7

**Stratégie.** Comparer ce que chaque formulation inclut à la limite ponctuelle.

**Rédaction.** Pour l'**interaction** entre deux systèmes disjoints, discret et continu coïncident ($U_q^{\alpha\leftrightarrow\beta}\leftrightarrow U_\rho^{\alpha\leftrightarrow\beta}$).

La différence porte sur l'énergie **propre** : la somme discrète $U_q=\tfrac12\sum_{i\neq j}$ **exclut** ($i\neq j$) l'interaction de chaque charge avec elle-même, alors que la formulation continue $U_\rho=\tfrac12\iiint\rho V_\rho$ **inclut** cette auto-interaction (le potentiel $V_\rho$ contient la contribution de l'élément de charge local). $$\boxed{\text{Continu}\Rightarrow\text{énergie propre (self) incluse ; discret}\Rightarrow\text{self exclue.}}$$

**Commentaire du correcteur.** « La différence … à savoir que cette dernière ne prend pas en compte l'interaction des charges avec elles-mêmes, a **rarement été donnée** ». C'est la clé de tout le §1.3 (divergences) : à retenir absolument.

### Question 8

**Stratégie.** Reporter $V\to V+\Delta V$ et faire apparaître les charges totales.

**Rédaction.** $U_\rho\to\tfrac12\iiint\rho(V+\Delta V)=U_\rho+\tfrac12\Delta V\iiint\rho$, soit $$\boxed{\,U_\rho\to U_\rho+\tfrac12 Q\,\Delta V\,}$$ et $U_\rho^{\alpha\leftrightarrow\beta}=\iiint\rho_\alpha V_\beta\to U_\rho^{\alpha\leftrightarrow\beta}+Q_\alpha\Delta V$ (et symétriquement $+Q_\beta\Delta V$).

**Commentaire.**

L'énergie propre $U_\rho$ n'est **invariante** par changement d'origine du potentiel que si $Q=0$ ; sinon elle dépend d'une convention et n'a pas de sens intrinsèque.

L'énergie d'interaction n'est cohérente (réciprocité $Q_\alpha\Delta V=Q_\beta\Delta V$ **fausse** en général) que pour le **choix physique** $V\to0$ à l'infini.

Autrement dit, (11)–(12) n'ont de sens qu'avec la référence $V(\infty)=0$.

**Commentaire du correcteur.** Le calcul « n'a pas posé de problème », mais « les commentaires … ont **très rarement été pertinents** ».

Le point attendu : identifier que seule la référence $V(\infty)=0$ rend l'énergie propre bien définie (dépendance en $Q\Delta V$).

### Question 9

**Stratégie.**

Injecter Maxwell–Gauss $\rho=\varepsilon_0\,\mathrm{div}\,\vec E$ et $\vec E=-\vec{\mathrm{grad}}\,V$, puis intégrer par parties (formule (3)) et rejeter le terme de bord à l'infini.

**Rédaction.** $U_\rho=\dfrac{\varepsilon_0}{2}\iiint V\,(\mathrm{div}\,\vec E)\,\mathrm d\tau$.

Or, par (3), $\mathrm{div}(V\vec E)=V\,\mathrm{div}\,\vec E+\vec{\mathrm{grad}}V\cdot\vec E=V\,\mathrm{div}\,\vec E-E^2$, d'où $V\,\mathrm{div}\,\vec E=\mathrm{div}(V\vec E)+E^2$.

Donc $$U_\rho=\frac{\varepsilon_0}{2}\iiint E^2\,\mathrm d\tau+\frac{\varepsilon_0}{2}\oiint_{\infty}V\vec E\cdot\mathrm d\vec S.$$
Pour un système fini : à grande distance $V\sim r^{-1}$, $E\sim r^{-2}$, $\mathrm dS\sim r^2$, donc l'intégrande de surface $\sim r^{-1}\to0$.

Le terme de bord s'annule :
$$\boxed{\,U_{\text{es}}=\iiint\tfrac12\varepsilon_0\vec E^{\,2}(\vec r)\,\mathrm d\tau_{\vec r}\,}$$

**Commentaire du correcteur.** « Il est **indispensable que toutes les étapes du calcul soient présentes** … pour obtenir le point ». Ne pas escamoter l'annulation du terme de surface (elle utilise le caractère **fini** de la distribution).

### Question 10

**Stratégie.** Lire le signe sur $E^2\ge0$, puis relier signe et force.

**Rédaction.** $U_{\text{es}}=\tfrac{\varepsilon_0}{2}\iiint E^2\ge 0$ : **toujours positive**. La différence avec $U_q$ (qui peut être négative) tient à Q7 : (13) inclut les **énergies propres** (positives, divergentes pour des charges ponctuelles), que la somme discrète excluait. Enfin, le signe **positif** de l'énergie **n'interdit pas** une interaction attractive : la force dérive du **gradient** de l'énergie ($\vec F=-\vec{\mathrm{grad}}\,U$), pas de son signe.

Deux systèmes s'attirent si rapprocher **diminue** $U$, ce qui est compatible avec $U>0$.

**Commentaire du correcteur.** « L'explication du signe … a … **rarement été donnée** ». Surtout, « plus étonnant », beaucoup ont fait « un lien entre signe de l'énergie et sens de la force » — **erreur de fond** : c'est la variation (gradient), non le signe, qui commande la force.

### Question 11

**Stratégie.** Appliquer (13) au champ coulombien d'une charge unique.

**Rédaction.** $E(r)=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$, donc $$U_{\text{es}}=\frac{\varepsilon_0}{2}\int_0^{\infty}\Big(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\Big)^2 4\pi r^2\,\mathrm dr=\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0}\int_0^{\infty}\frac{\mathrm dr}{r^2}\ \xrightarrow[r\to0]{}\ +\infty.$$ $$\boxed{\,U_{\text{es}}=+\infty\ \text{(divergence en }r\to0)\,}$$
**Commentaire.**

L'énergie propre d'une charge **ponctuelle** diverge : (11) et (13) ne peuvent **pas** décrire un système de charges ponctuelles (elles y intègrent une self infinie). Elles ne sont utilisables que pour des distributions **régulières** (cf. §1.3).

**Commentaire du correcteur.** « L'obtention d'une énergie infinie a **troublé** une partie des candidats. » C'est pourtant le résultat attendu — et le moteur de toute la partie 1.3.

### Question 12

**Stratégie.** Développer $E^2=(\vec E_1+\vec E_2)^2$ ; les carrés sont les self (divergentes), le double produit est l'interaction, à calculer via la formule (6).

**Rédaction.** $U_{\text{es}}=\dfrac{\varepsilon_0}{2}\iiint(E_1^2+E_2^2)+\varepsilon_0\iiint\vec E_1\cdot\vec E_2$. Les deux premiers termes sont les **énergies propres** $U_1^{\text{self}},U_2^{\text{self}}$ (divergentes, cf. Q11).

Le terme croisé, avec $\vec E_i=\dfrac{q_i}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\vec r-\vec r_i}{|\vec r-\vec r_i|^3}$ : $$\varepsilon_0\iiint\vec E_1\cdot\vec E_2=\frac{q_1q_2}{16\pi^2\varepsilon_0}\iiint\frac{(\vec r-\vec r_1)\cdot(\vec r-\vec r_2)}{|\vec r-\vec r_1|^3\,|\vec r-\vec r_2|^3}\,\mathrm d\tau.$$
Changement de variable $\vec r-\vec r_1=r_{12}\,\vec u$ (donc $\vec r-\vec r_2=r_{12}(\vec u-\hat n)$, $\hat n=\vec r_{12}/r_{12}$ unitaire, $\mathrm d\tau=r_{12}^3\,\mathrm d^3u$) : $$\iiint(\cdots)\,\mathrm d\tau=\frac{1}{r_{12}}\iiint\frac{\vec u\cdot(\vec u-\hat n)}{u^3\,|\vec u-\hat n|^3}\,\mathrm d^3u=\frac{4\pi}{r_{12}},$$ par la formule (6) (valable pour tout vecteur unitaire, ici $-\hat n$).

D'où le terme croisé $=\dfrac{q_1q_2}{16\pi^2\varepsilon_0}\dfrac{4\pi}{r_{12}}=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0 r_{12}}$ : $$\boxed{\,U_{\text{es}}=U_1^{\text{self}}+U_2^{\text{self}}+\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0 r_{12}}\,}$$
La partie **finie** (interaction) redonne exactement $U_{12}$ de Q1 ; seules les self sont divergentes.

**Commentaire du correcteur.** « Manipulations d'intégrales qu'il faut mener **avec rigueur** … écrire de façon lisible **toutes les étapes**. » Le changement de variable ramenant à la formule (6) est le cœur du barème.

## 1.3 Énergie électrostatique et grandeurs nivelées

### Question 13

**Stratégie.** Illustrer le remplacement de pics de Dirac par des « bosses » régulières de largeur $R$, à charge conservée.

**Rédaction.**

Schéma (profil de $\rho$ le long d'un axe) : à chaque charge ponctuelle $q_i$ (flèche/Dirac en $\vec r_i$) on substitue une bosse continue $q_i f(\vec r-\vec r_i)$, positive, de rayon $R$, centrée en $\vec r_i$, d'aire $q_i$.

Charge totale : $\displaystyle\iiint\rho\,\mathrm d\tau=\sum_i q_i\iiint f(\vec r-\vec r_i)\,\mathrm d\tau=\sum_i q_i\cdot 1$. $$\boxed{\,Q_{\text{tot}}=\sum_{i=1}^{N}q_i\ \text{(inchangée)}\,}$$

**Commentaire du correcteur.** « Les schémas proposés sont souvent **trop peu soignés**. » Le schéma doit **convaincre** que la notion de charge nivelée est comprise : montrer explicitement la largeur $R$ et la conservation de l'aire (charge).

### Question 14

**Stratégie.** Fenêtre uniforme sur une boule, normalisée.

**Rédaction.** $f$ constante pour $r\le R$, nulle au-delà ; normalisation $f_0\cdot\tfrac43\pi R^3=1$ : $$\boxed{\,f(\vec r)=\dfrac{3}{4\pi R^3}\ \text{si } r\le R,\quad 0\ \text{si } r>R\,}$$
Homogénéité : $[f]=\mathrm m^{-3}$ (densité de probabilité spatiale). ✔

**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question.

### Question 15 (*)

**Stratégie.**

Majorer le potentiel intégral en isolant le voisinage du point courant, où l'élément de volume $r^2\mathrm dr$ « tue » la singularité $1/r$.

**Rédaction.** $V(\vec r)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\iiint\dfrac{\rho(\vec r\,')}{|\vec r-\vec r\,'|}\,\mathrm d\tau'$.

En coordonnées sphériques centrées sur $\vec r$ ($s=|\vec r-\vec r\,'|$, $\mathrm d\tau'=s^2\sin\theta\,\mathrm ds\,\mathrm d\theta\,\mathrm d\varphi$), l'intégrande $\dfrac{\rho}{s}s^2=\rho\,s$ est **borné** près de $s=0$.

Avec $|\rho|<\rho_M$ et un support inclus dans une boule de rayon $L$ : $$|V(\vec r)|\le\frac{\rho_M}{4\pi\varepsilon_0}\iiint_{s\le L}\frac{\mathrm d\tau'}{s}=\frac{\rho_M}{4\pi\varepsilon_0}\,4\pi\!\int_0^{L}\!\! s\,\mathrm ds=\frac{\rho_M L^2}{2\varepsilon_0}<\infty.$$ $$\boxed{\,|V(\vec r)|\le\dfrac{\rho_M L^2}{2\varepsilon_0}\ \text{: potentiel fini en tout point}\,}$$

**Commentaire du correcteur.** Question étoilée « **plutôt bien traitée** ». Le jury rappelle (Q15,19,20) que ces étoilées « pouvaient rapporter des points sans trop de difficulté », les critères d'attribution y étant moins exigeants : ne jamais les sauter.

### Question 16

**Stratégie.**

Utiliser (11) avec $\rho$ et $V$ bornés sur un support fini.

**Rédaction.** $U_\rho=\tfrac12\iiint\rho V\,\mathrm d\tau$.

D'après Q15, $|V|\le \rho_M L^2/2\varepsilon_0<\infty$, et $|\rho|<\rho_M$ ; l'intégrande $|\rho V|$ est borné, intégré sur un **volume fini** (support), donc $$\boxed{\,|U_\rho|\le\tfrac12\rho_M\cdot\tfrac{\rho_M L^2}{2\varepsilon_0}\cdot\mathcal V_{\text{supp}}<\infty\ \text{: pas de divergence.}\,}$$

**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question. C'est la conclusion de fond du §1.3 : niveler = régulariser l'énergie propre (contraste avec Q11).

### Question 17

**Stratégie.** Énergie propre par (13) : champ d'une boule uniforme, contributions intérieure et extérieure.

**Rédaction.**

Boule uniforme de charge $q$, rayon $R$ : $E_{\text{int}}(r)=\dfrac{qr}{4\pi\varepsilon_0 R^3}$ ($r\le R$), $E_{\text{ext}}(r)=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ ($r\ge R$). $$U_{\text{ext}}=\frac{\varepsilon_0}{2}\int_R^{\infty}\!\!\Big(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\Big)^2 4\pi r^2\mathrm dr=\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0 R},\qquad U_{\text{int}}=\frac{\varepsilon_0}{2}\int_0^{R}\!\!\Big(\frac{qr}{4\pi\varepsilon_0 R^3}\Big)^2 4\pi r^2\mathrm dr=\frac{q^2}{40\pi\varepsilon_0 R}.$$ $$\boxed{\,U_{B_R}=U_{\text{int}}+U_{\text{ext}}=\dfrac{3q^2}{20\pi\varepsilon_0 R}=\dfrac{3}{5}\dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 R}\,}$$
Finie (contraste Q11) et $\propto 1/R$ : diverge quand $R\to0$ (retour à la charge ponctuelle).

Homogénéité en $q^2/(\varepsilon_0 R)=\mathrm J$. ✔

**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question.

Le coefficient $3/5$ (intérieur + extérieur) est à distinguer du coefficient $1/2$ « extérieur seul » utilisé en (32)/Q59.

### Question 18

**Stratégie.**

Poser $m_ec^2=U_{B_{r_c}}$ (boule complète, coefficient $3/5$), résoudre en $r_c$, puis A.N.

**Rédaction.** $m_ec^2=\dfrac{3}{5}\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r_c}\ \Rightarrow\ r_c=\dfrac{3}{5}\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\,m_ec^2}$.

A.N. : $\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}=\dfrac{(1,6\times10^{-19})^2}{4\pi\times8,9\times10^{-12}}=2,3\times10^{-28}\ \mathrm{J\,m}$ ; $m_ec^2=9,1\times10^{-31}\times(3,0\times10^8)^2=8,2\times10^{-14}\ \mathrm J$. $$\boxed{\,r_c=\dfrac35\times\dfrac{2,3\times10^{-28}}{8,2\times10^{-14}}\approx 1,7\times10^{-15}\ \mathrm m\ \ (\approx1,7\ \text{fm})\,}$$ (rayon classique de l'électron, à un facteur d'ordre 1 près).

**Limites classiques ?** La longueur de Compton réduite $\dfrac{\hbar}{m_ec}\sim\dfrac{h}{2\pi m_ec}=\dfrac{6,6\times10^{-34}}{2\pi\times9,1\times10^{-31}\times3,0\times10^8}\approx3,9\times10^{-13}\ \mathrm m\gg r_c$.

La description **classique** cesse d'être valide dès l'échelle de Compton, **très supérieure** à $r_c$ : à $r_c$, on est **déjà** profondément dans le régime **quantique** (effets ondulatoires/création de paires).

**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question.

Piège : soigner les chiffres significatifs (2 c.s.) et **conclure** physiquement (comparer $r_c$ à $\hbar/m_ec$), la calculatrice étant interdite — arrondir proprement.

### Question 19 (*)

**Stratégie.** Invoquer la symétrie sphérique + théorème de Gauss : hors de son support, une charge nivelée est vue **comme une charge ponctuelle**.

**Rédaction.** $f$ est à symétrie sphérique de rayon $R$ : par Gauss, à l'extérieur de son support, $\rho_{q_i}$ crée le **même** potentiel $V(r)=\dfrac{q_i}{4\pi\varepsilon_0 r}$ qu'une charge ponctuelle $q_i$ en son centre.

Tant que les supports ne se recoupent pas ($r_{12}\ge 2R$), chaque charge nivelée baigne **entièrement** dans la zone où le potentiel de l'autre est celui d'une charge ponctuelle.

Donc, par (12), $U_{12}=\iiint\rho_{q_1}V_{q_2}\,\mathrm d\tau=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0 r_{12}}$, **identique** au cas non nivelé. $$\boxed{\,U_{12}=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0 r_{12}}\quad\text{tant que }r_{12}\ge 2R\,}$$

**Commentaire du correcteur.** « Pour la question 19 le raisonnement était souvent **incomplet** ». Le point à **écrire explicitement** : symétrie sphérique $\Rightarrow$ (Gauss) champ/potentiel extérieurs identiques à ceux d'une charge ponctuelle.

### Question 20 (*)

> **Signalement d'une coquille d'énoncé (conformément à la consigne).**

L'énoncé demande de montrer que $U_{12}$ est **décroissante** avec $r_{12}$ ; c'est **inexact** pour des charges de signes **opposés**.

Comme $q_1q_2<0$, l'énergie d'interaction est **négative**, et c'est une fonction **croissante** de $r_{12}$ (elle remonte vers $0$ quand la distance augmente).

Le minimum reste bien la superposition. Correction retenue et poursuite en conséquence.

**Stratégie.** Raisonnement physique par la force (pas de calcul lourd) sur des charges nivelées « molles ».

**Rédaction.**

Deux nuages de signes opposés s'**attirent** ; pour des distributions à support fini et densité bornée, la force reste finie et **attractive** à toute distance $r_{12}>0$, et $\to\vec 0$ par symétrie en $r_{12}\to0$.

Rapprocher les centres **abaisse** donc continûment l'énergie : $U_{12}(r_{12})$ est **croissante** (algébriquement, de sa valeur la plus négative en $r_{12}=0$ jusqu'à $0$ à l'infini).

La configuration d'énergie minimale est la **superposition** ($r_{12}=0$), d'énergie finie $-U_{12}^{m}$. $$\boxed{\,U_{12}\ \text{croissante en }r_{12}\ (q_1q_2<0)\ ;\ \text{minimum à la superposition},\ |U_{12}(0)|=U_{12}^m<\infty\,}$$

**Commentaire du correcteur.** « Une **coquille** était présente … quelques candidats ont noté l'erreur. Cette coquille a … perturbé … les questions 21 et 22 … Le barème a … tenu compte de l'erreur. » Signaler l'incohérence rapporte des points et sécurise la suite.

### Question 21

**Stratégie.**

Superposer les deux régimes : ponctuel (loi en $1/r$, divergente) et nivelé (saturation finie sous $2R$).

**Rédaction.** Tracé de $U_{12}(r_{12})$ :

- **Ponctuel** : $U_{12}=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0 r_{12}}$, hyperbole divergente en $r_{12}\to0$ ($+\infty$ si $q_1q_2>0$, $-\infty$ si $q_1q_2<0$).

- **Nivelé** : **identique** au ponctuel pour $r_{12}\ge 2R$ (Q19) ; s'en **écarte** pour $r_{12}<2R$, restant **fini**, et **sature** en $r_{12}=0$ à $+U_{12}^m$ (si $q_1q_2>0$) ou $-U_{12}^m$ (si $q_1q_2<0$).

Grandeurs à faire figurer : l'abscisse de séparation $r_{12}=2R$, la valeur au contact $\dfrac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0\,(2R)}$, et le plateau $\pm U_{12}^m$.

```
 U12 |  (q1q2>0)
     |* ponctuel → +∞
  Um |·····•_____ nivelé (plateau)
     |        \____
   0 |------------\=========== r12
     |         2R    \___
 -Um |·····•‾‾‾‾‾      (q1q2<0, nivelé)
     |* ponctuel → −∞
```

**Commentaire du correcteur.** Voir Q20 : la coquille a « conduit à des réponses fausses » ici. Le graphe correct montre bien la **régularisation** (fini partout) apportée par le nivellement.

### Question 22

**Stratégie.** Définir $r_{\min}$ par égalité entre le plateau nivelé et la valeur ponctuelle. Calculer $U_{12}^m$ (superposition de deux boules uniformes).

**Rédaction.**

Le nivellement borne $|U_{12}|$ à $U_{12}^m$ : deux charges nivelées se comportent comme des charges **ponctuelles ne pouvant s'approcher à moins de** $r_{\min}$, défini par $\dfrac{|q_1q_2|}{4\pi\varepsilon_0 r_{\min}}=U_{12}^m$.

Pour $|q_1|=|q_2|=q$, boules uniformes de rayon $R$ superposées : avec $V_2^{\text{int}}(r)=\dfrac{q_2}{8\pi\varepsilon_0 R}\big(3-r^2/R^2\big)$ et $\rho_1=\dfrac{3q_1}{4\pi R^3}$, $$U_{12}^m=\Big|\iiint_{r\le R}\rho_1 V_2\,\mathrm d\tau\Big|=\frac{3}{10\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{R}.$$
D'où $\dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 r_{\min}}=\dfrac{3q^2}{10\pi\varepsilon_0 R}$ : $$\boxed{\,r_{\min}=\dfrac{5R}{6}\approx0,83\,R\,}$$
Homogénéité : $r_{\min}\propto R$ (longueur). ✔ Ordre de grandeur cohérent (quelques dixièmes de $R$).

**Commentaire du correcteur.** Question perturbée par la coquille Q20. L'idée physique attendue : la saturation de l'énergie **équivaut** à une **distance d'approche minimale** — c'est la régularisation « à courte portée » induite par la taille finie des charges.

## 1.4 Système de sphères concentriques

### Question 23

**Stratégie.**

Reconstituer le champ créé par l'élément $\Sigma$ et par le reste $\bar\Sigma$ à partir du champ total $\vec E_S$ (discontinu) et du comportement d'une nappe plane.

**Rédaction.**
**a)** Sphère uniformément chargée (total $Q$, rayon $R$), théorème de Gauss : $\vec E_S(P^-)=\vec 0$ (juste à l'intérieur), $\vec E_S(P^+)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\vec e_r=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\vec e_r$ (juste à l'extérieur), avec $\sigma=\dfrac{Q}{4\pi R^2}$.
**b)** L'élément $\Sigma$ (assimilé à une **nappe plane** de densité $\sigma$) crée de part et d'autre un champ opposé : $\vec E_\Sigma(P^-)=-\vec E_\Sigma(P^+)$, soit $\boxed{\alpha=-1}$.

Exactement **dans** le plan de $\Sigma$, par symétrie, le champ créé par $\Sigma$ en $P$ est **nul**.
**c)** Décomposition $\vec E_S=\vec E_\Sigma+\vec E_{\bar\Sigma}$, avec $\vec E_{\bar\Sigma}$ **continu** en $P$ (pas de charge de $\bar\Sigma$ en $P$) : $\vec E_{\bar\Sigma}(P^-)=\vec E_{\bar\Sigma}(P^+)=\vec E_{\bar\Sigma}(P)$.

En sommant les deux relations de a) et en utilisant $\vec E_\Sigma(P^-)+\vec E_\Sigma(P^+)=\vec 0$ : $$\boxed{\,\vec E_{\bar\Sigma}(P)=\dfrac{\vec E_S(P^+)+\vec E_S(P^-)}{2}=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_r=\dfrac{Q}{8\pi\varepsilon_0 R^2}\vec e_r\,}$$
C'est le champ créé par **le reste de la sphère** qui agit sur $\Sigma$ (moyenne des champs de part et d'autre).

Accessoirement $\vec E_\Sigma(P^+)=\tfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_r$.

> Note de lecture : la sortie OCR note « $\vec E_\Sigma$ » en 23c, mais le champ **utile** (celui qui exerce la force sur $\Sigma$) et cohérent avec l'enchaînement b)→c)→Q24 est bien celui du **reste** $\bar\Sigma$, $\tfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$.

**Commentaire du correcteur.** « Pour une simple question de cours (Gauss), le nombre de réponses **incorrectes** à a) est étonnant. » Surtout, les candidats « sont trop souvent passés à côté de la **discontinuité** du champ » à la traversée de la nappe — erreur qui « a invariablement mené » à de mauvaises Q24 et Q25. La moyenne $\tfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ est le résultat pivot.

### Question 24

**Stratégie.** Force sur chaque élément = charge de l'élément $\times$ champ du **reste**.

**Rédaction.** $\mathrm d q=\sigma\,\mathrm dS$, champ agissant $\vec E_{\bar\Sigma}=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_r$ : $$\mathrm d\vec F=\mathrm dq\,\vec E_{\bar\Sigma}=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}\,\mathrm dS\,\vec e_r=P_{\text{es}}\,\mathrm d\vec S,\qquad \boxed{\,P_{\text{es}}=\dfrac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}\,}$$
Homogénéité : $[\sigma^2/\varepsilon_0]=\dfrac{(\mathrm{C\,m^{-2}})^2}{\mathrm{F\,m^{-1}}}=\mathrm{Pa}$. ✔ **Sens** : $P_{\text{es}}\propto\sigma^2>0$, donc la force est **toujours dirigée vers l'extérieur**, quel que soit le signe de $Q$ : la sphère chargée tend à se **dilater** (répulsion des charges de même signe).

**Commentaire du correcteur.**

Erreur de discontinuité en Q23 $\Rightarrow$ facteur $2$ faux ici (on doit prendre $\tfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$, **pas** $\tfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$).

La pression électrostatique $\tfrac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}=\tfrac{\varepsilon_0 E_{\text{ext}}^2}{2}$ est la densité d'énergie du champ juste dehors.

### Question 25

**Stratégie.**

Travail de la force de pression (interne) lors de $R_1\to R_2$, relié à $-\Delta U$.

**Rédaction.**

À rayon $R$, $P_{\text{es}}=\dfrac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}=\dfrac{Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0 R^4}$.

Travail élémentaire de la sphère sur elle-même (chaque élément avance de $\mathrm dR$ vers l'extérieur) : $$\delta W=P_{\text{es}}\cdot(4\pi R^2)\,\mathrm dR=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R^2}\,\mathrm dR.$$
Force interne $\Rightarrow \delta W=-\mathrm dU$, soit $\mathrm dU=-\dfrac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R^2}\mathrm dR$.

Intégration avec $U_S(\infty)=0$ : $$\boxed{\,U_S(R)=\dfrac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R}\,}$$
Cohérent avec l'énergie d'une **coquille** sphérique (et $=U_{\text{ext}}$ de Q17).

Homogénéité ✔.

**Commentaire du correcteur.** Erreurs en cascade depuis Q23 signalées par le jury. Vérification croisée bienvenue : le même $U_S(R)$ se retrouve par (13) sur le champ extérieur d'une coquille.

### Question 26

**Stratégie.** $S^b$ (extérieure) baigne dans le champ **extérieur** de $S^a$ ; force de pression $\sigma^b E_a$, puis travail sur $R_1^b\to R_2^b$.

**Rédaction.**

En $r=R^b>R^a$, $S^a$ crée $E_a=\dfrac{Q^a}{4\pi\varepsilon_0 (R^b)^2}$.

Pression sur $S^b$ : $\sigma^b E_a$ (radiale sortante), force totale $=\sigma^b E_a\cdot4\pi(R^b)^2=\dfrac{Q^aQ^b}{4\pi\varepsilon_0 (R^b)^2}$.

Travail : $$W_{a\to b}=\int_{R_1^b}^{R_2^b}\frac{Q^aQ^b}{4\pi\varepsilon_0 (R^b)^2}\,\mathrm dR^b,\qquad \boxed{\,W_{a\to b}=\dfrac{Q^aQ^b}{4\pi\varepsilon_0}\Big(\dfrac1{R_1^b}-\dfrac1{R_2^b}\Big)\,}$$ (comme entre une charge ponctuelle $Q^a$ au centre et la coquille $S^b$).

**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question.

Le champ vu par $S^b$ est bien le champ **extérieur** de $S^a$ (Gauss), $S^b$ étant hors de $S^a$.

### Question 27

**Stratégie.** $S^a$ (intérieure) est **dans** $S^b$ : le champ d'une coquille est **nul à l'intérieur**.

**Rédaction.** $S^b$ crée un champ **nul** pour $r<R^b$, donc en tout point de $S^a$.

La force de $S^b$ sur $S^a$ est nulle : $$\boxed{\,W_{b\to a}=0\,}$$
**Contradiction avec la 3ᵉ loi de Newton ?**

**Non.** (i) $W_{a\to b}$ et $W_{b\to a}$ décrivent des **transformations différentes** (on déforme des sphères distinctes) et ne sont pas reliés par le principe des actions réciproques. (ii) Les **forces résultantes** sont, elles, bien opposées… et toutes deux **nulles** par symétrie sphérique (chaque élément est poussé radialement, la résultante sur chaque sphère entière est nulle).

La 3ᵉ loi porte sur les résultantes, pas sur les pressions locales de cette décomposition.

**Commentaire du correcteur.** « La seconde partie … (la 3ᵉ loi de Newton) a été **trop peu traitée**. » Argument clé : distinguer *travaux de déformations distinctes* et *résultantes* (nulles par symétrie) — aucune contradiction.

### Question 28

**Stratégie.** Assembler le système en amenant chaque charge depuis l'infini ; énergie = propres + interaction. Bilan rigoureux.

**Rédaction.**

Énergies propres (Q25) : $U_S^a=\dfrac{(Q^a)^2}{8\pi\varepsilon_0 R^a}$, $U_S^b=\dfrac{(Q^b)^2}{8\pi\varepsilon_0 R^b}$.

Énergie d'interaction : $S^b$ (au rayon $R^b$) est plongée dans le potentiel **uniforme** créé par $S^a$, $V_a(R^b)=\dfrac{Q^a}{4\pi\varepsilon_0 R^b}$, d'où $U^{a\leftrightarrow b}=Q^b V_a(R^b)=\dfrac{Q^aQ^b}{4\pi\varepsilon_0 R^b}$.

Total : $$\boxed{\,U_{\text{tot}}=\dfrac{(Q^a)^2}{8\pi\varepsilon_0 R^a}+\dfrac{(Q^b)^2}{8\pi\varepsilon_0 R^b}+\dfrac{Q^aQ^b}{4\pi\varepsilon_0 R^b}\,}$$
**Signe** : en regroupant, $U_{\text{tot}}=\dfrac{(Q^a)^2}{8\pi\varepsilon_0}\Big(\dfrac1{R^a}-\dfrac1{R^b}\Big)+\dfrac{(Q^a+Q^b)^2}{8\pi\varepsilon_0 R^b}$.

Comme $R^a<R^b$, les deux termes sont $\ge0$ : **$U_{\text{tot}}\ge0$**.

**Commentaire du correcteur.** « Raisonnement **rigoureux** … amener chaque sphère depuis l'infini et effectuer un bilan à chaque étape. Les candidats … se sont souvent contentés de **supposer sans justifier** » la décomposition propre + interaction. Le regroupement en $(Q^a+Q^b)^2$ prouve proprement le signe.

### Question 29

**Stratégie.**

Calculer $U_{\text{es}}$ par (13) pour $Q^a=Q=-Q^b$ ; le champ n'existe qu'entre les sphères.

**Rédaction.**

Pour $Q^a=Q$, $Q^b=-Q$ : par Gauss, $\vec E=\vec 0$ pour $r<R^a$ et pour $r>R^b$ (charge englobée nulle), et $E=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$ pour $R^a<r<R^b$.

Donc $$U_{\text{es}}=\frac{\varepsilon_0}{2}\int_{R^a}^{R^b}\!\Big(\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\Big)^2 4\pi r^2\,\mathrm dr=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0}\Big(\frac1{R^a}-\frac1{R^b}\Big).$$
Or Q28 avec $Q^a+Q^b=0$ donne exactement le même résultat : $$\boxed{\,U_{\text{tot}}=U_{\text{es}}=\dfrac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0}\Big(\dfrac1{R^a}-\dfrac1{R^b}\Big)\ \text{: accord parfait}\,}$$
En **général** (charges quelconques), (13) et Q28 coïncident aussi ; le désaccord parfois observé provient d'un mauvais traitement des self.

**Commentaire du correcteur.** « Le **désaccord, fréquent**, avec le résultat donné par l'équation 13, a **peu ému** les candidats. » Un désaccord doit **alerter** : ici les deux méthodes doivent donner le même total (self incluses). Vérifier plutôt que d'accepter l'écart.

### Question 30 (*)

**Stratégie.** Passer à la limite sur $U_{\text{tot}}$ et confronter à l'énergie propre des charges **individuelles** (hypothèse de continuité à réexaminer).

**Rédaction.**

Dans $U_{\text{tot}}=\dfrac{(Q^a)^2}{8\pi\varepsilon_0}\Big(\dfrac1{R^a}-\dfrac1{R^b}\Big)+\dfrac{(Q^a+Q^b)^2}{8\pi\varepsilon_0 R^b}$, tous les termes $\to0$ quand $R^a,R^b\to\infty$ : $$\boxed{\,U_{\text{tot}}\xrightarrow[R^a,R^b\to\infty]{}0\,}$$
**Compatibilité ?**

Non, si l'on veut inclure l'énergie **propre des charges individuelles** : le modèle de densité **surfacique continue** ignore la granularité (les porteurs réels ont chacun une self $\sim\tfrac{q_i^2}{R_{\text{charge}}}$, cf. Q17–18, **constante** indépendante de $R^a,R^b$).

Cette self **subsiste** à la limite. Donc $U_{\text{tot}}\to0$ n'est que l'énergie de **configuration/interaction** ; l'hypothèse à réviser est la **modélisation continue** (surface lisse), qui exclut la self des constituants.

**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas spécifiquement cette étoilée (rangée dans les questions « peu traitées »). Point attendu, sans calcul : la limite nulle est cohérente **pour l'énergie de configuration** mais **omet** la self des charges élémentaires — c'est le fil rouge « self vs interaction » (Q7, Q11, Q17).

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# Deuxième partie — Énergie magnétique

*Cadre : ARQS magnétique, équations (17), $\mathrm{div}\,\vec j=0$ (18). Circuits conducteurs non magnétiques.*

## 2.1 Travail des forces de Laplace et théorème de Maxwell

### Question 31

**Stratégie.** Force de Laplace élémentaire, puis produit mixte (formule (5)).

**Rédaction.** Force sur l'élément : $\mathrm d\vec F=I\,\mathrm d\vec l\wedge\vec B$.

Travail pour le déplacement $\mathrm d\vec u$ : $$\delta w_L=\mathrm d\vec F\cdot\mathrm d\vec u=I\,(\mathrm d\vec l\wedge\vec B)\cdot\mathrm d\vec u.$$
Par la propriété (5), $(\mathrm d\vec l\wedge\vec B)\cdot\mathrm d\vec u=(\mathrm d\vec u\wedge\mathrm d\vec l)\cdot\vec B$ : $$\boxed{\,\delta w_L=I\,\vec B\cdot(\mathrm d\vec u\wedge\mathrm d\vec l)\,}$$

**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question. Manipulation propre du produit mixte : c'est la brique de tout le §2.1.

### Question 32

**Stratégie.** Reconnaître dans $\mathrm d\vec u\wedge\mathrm d\vec l$ l'aire **balayée** par l'élément.

**Rédaction.**

Lorsque l'élément $\mathrm d\vec l$ subit la translation $\mathrm d\vec u$, il balaie un parallélogramme d'aire vectorielle $\mathrm d\vec S=\mathrm d\vec u\wedge\mathrm d\vec l$.

Donc $\delta w_L=I\,\vec B\cdot\mathrm d\vec S=I\,\mathrm d\Phi$ élémentaire ; en sommant sur le circuit, $$\boxed{\,\delta W_L=I\,\mathrm d\Phi_c\,}$$ où $\mathrm d\Phi_c=\displaystyle\iint_{\mathrm d\Sigma_c}\vec B\cdot\mathrm d\vec S$ est le flux à travers la **surface latérale balayée** $\mathrm d\Sigma_c$, orientée par $\mathrm d\vec u\wedge\mathrm d\vec l$.

*Schéma :* le contour glisse de $C_{\text{ini}}$ à $C_{\text{fin}}$ ; chaque $\mathrm d\vec l$ engendre une facette $\mathrm d\vec S=\mathrm d\vec u\wedge\mathrm d\vec l$ ; l'ensemble forme le tube latéral $\Sigma_c$, $\mathrm d\vec S$ pointant « vers l'extérieur du tube ».

**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question. Le jury exige des **schémas lisibles** : préciser sans ambiguïté l'orientation de $\mathrm d\vec S$.

### Question 33

**Stratégie.**

Discuter si $\int\delta W_L$ est une fonction d'état, selon la dépendance temporelle de $\vec B$ et de $I$.

**Rédaction.**
**a)** En général **non** : $W_L=\displaystyle\int I\,\mathrm d\Phi_c$ est le flux « coupé » le long du mouvement ; si $\vec B(\vec r,t)$ dépend du temps, il **ne se réduit pas** aux seules positions initiale et finale.
**b)** **Non plus** en général : même en connaissant la **trajectoire géométrique**, un champ variable dans le temps rend le flux coupé dépendant de **l'instant** de passage en chaque point.
**c)** Si $I$ varie : $\delta W_L=I(t)\,\mathrm d\Phi_c$ ne se factorise plus ; $W_L=\int I(t)\,\mathrm d\Phi_c$ dépend de la **corrélation** entre $I(t)$ et le mouvement — encore moins réductible à une différence. $$\boxed{\text{a) non}\quad\text{b) non (si }\vec B\text{ dépend de }t)\quad\text{c) non (dépend de l'histoire de }I(t))}$$

**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question (elle prépare Q34).

Elle isole les hypothèses — $\vec B$ **stationnaire** et $I$ **constant** — sous lesquelles $W_L$ devient une fonction d'état (théorème de Maxwell).

### Question 34

**Stratégie.** $\vec B$ stationnaire, $I$ constant : appliquer $\mathrm{div}\,\vec B=0$ à la surface fermée (calotte initiale + tube latéral + calotte finale).

**Rédaction.** $W_L=I\displaystyle\int\mathrm d\Phi_c=I\,\Phi_{\text{lat}}$, flux à travers le tube latéral balayé.

La surface fermée $\Sigma_{\text{ini}}\cup\Sigma_{\text{lat}}\cup\Sigma_{\text{fin}}$ vérifie $\displaystyle\oiint\vec B\cdot\mathrm d\vec S=\iiint\mathrm{div}\,\vec B\,\mathrm d\tau=0$.

Avec une orientation cohérente, $\Phi_{\text{lat}}=\Phi_{\text{fin}}-\Phi_{\text{ini}}=\Delta\Phi$. D'où
$$\boxed{\,W_L=I\,\Delta\Phi\quad(\eta=1)\,}$$
(**théorème de Maxwell**).

*Schéma :* tube fermé par les deux positions du circuit ; le flux entrant par une calotte ressort par l'autre plus le latéral, car aucune ligne de $\vec B$ ne naît/meurt ($\mathrm{div}\,\vec B=0$).

**Commentaire du correcteur.** « Les raisonnements … ont **cruellement manqué de rigueur** … la plupart … se contentant d'écrire que l'intégrale … devait **probablement** être égale à $\Delta\Phi$ … ce **traitement cavalier** … a été systématiquement sanctionné. » Il faut **invoquer explicitement** $\mathrm{div}\,\vec B=0$ sur la surface fermée.

### Question 35

**Stratégie.**

Identifier $W_L=-\Delta U_I$ (champ stationnaire, $I$ constant), puis discuter l'évolution spontanée.

**Rédaction.** $W_L=I\,\Delta\Phi=-\Delta U_I$ donne $$\boxed{\,U_I=-I\,\Phi\,}$$
Un circuit **rigide** à $I$ constant évolue spontanément en **diminuant** $U_I$, donc en **augmentant** son flux $\Phi$ (pour $I>0$) : il se déplace/oriente pour **capter le maximum de flux**.

**Circuits non rigides ?**

Conclusion **non valide a priori** : une déformation à $I$ constant fait intervenir le travail du **générateur** (qui maintient $I$) et l'énergie propre du circuit ; $U_I=-I\Phi$ n'est plus l'énergie potentielle pertinente pour prédire l'évolution.

**Commentaire du correcteur.** « Les candidats ont … du mal à relier … la variation d'énergie … au travail … avec … des **erreurs de signe rédhibitoires** ».

Bien poser $W_L=-\Delta U_I$ (et non $+$).

### Question 36

**Stratégie.** Champ **uniforme** dans le solénoïde infini : flux inchangé lors d'une translation dans $(x,y)$.

**Rédaction.**

Spire carrée (côté $a$) dans $(x,y)$, normale $\vec e_z$ : $\Phi=B_0 a^2$, avec $\vec B_0=\mu_0 nI_0\vec e_z$ uniforme.

Une translation dans $(x,y)$ (spire restant $\perp\vec e_z$) ne change pas $\Phi$ : $$\boxed{\,W_L^{A1}=I_s\,\Delta\Phi=0\,}$$
Cohérent avec le théorème de Maxwell **et** avec le fait direct que la résultante des forces de Laplace sur un circuit fermé dans un champ **uniforme** est nulle.

**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question. Cas-test « trivial » à traiter proprement (double justification : $\Delta\Phi=0$ et résultante nulle en champ uniforme).

### Question 37

**Stratégie.**

Rotation de $90°$ : $\Delta\Phi$ direct, puis vérification par le couple (formule (23)).

**Rédaction.**

Initial : normale $\vec e_z$, $\Phi_{\text{ini}}=B_0 a^2$.

Final (plan $(y,z)$) : normale $\vec e_x\perp\vec B_0$, $\Phi_{\text{fin}}=0$.

Donc $\Delta\Phi=-B_0a^2$ et $$\boxed{\,W_L^{A2}=I_s\,\Delta\Phi=-I_s B_0 a^2=-\mu_0 nI_0 I_s\,a^2\,}$$
**Vérification par le couple** : $\vec B_0$ **uniforme** sur la spire $\Rightarrow$ (23) valable. $\vec{\mathcal M}=I_s a^2\vec n$, $U=-\vec{\mathcal M}\cdot\vec B_0=-I_s a^2 B_0\cos\theta$ ($\theta$ de $0$ à $90°$). $W_L=-\Delta U=-\big[0-(-I_s a^2 B_0)\big]=-I_s a^2 B_0$.

**Accord**.

**Commentaire du correcteur.** « Le caractère un peu plus **calculatoire** … a pu rebuter. Il est **regrettable** que cela ait empêché … la seconde partie (le calcul par le théorème de Maxwell), qui … ne demandait quasiment **aucun calcul**. » Toujours traiter la sous-question « facile » ($I_s\Delta\Phi$) même si le calcul par le couple est laissé de côté.

### Question 38 (*)

**Stratégie.**

Transposer Q23 au magnétique : la nappe de courant local $\Sigma$ se comporte comme une **nappe infinie**, le reste $\bar\Sigma$ fournit la **moyenne** des champs de part et d'autre.

**Rédaction.** Le solénoïde porte une nappe de courant surfacique $\vec j_s=nI_0\,\vec e_\theta$.

Champ total : $\vec B_0=\mu_0 nI_0\vec e_z$ à l'intérieur, $\vec 0$ à l'extérieur.

L'élément $\Sigma$ (nappe plane locale) crée $\pm\tfrac{\mu_0 j_s}{2}=\pm\tfrac{B_0}{2}$ de part et d'autre (champs opposés).

Le reste $\bar\Sigma$, continu en $P$, vaut la **moyenne** : $$\boxed{\,\vec B_{\bar\Sigma}(P)=\dfrac{\vec B_0+\vec 0}{2}=\dfrac{\mu_0 nI_0}{2}\,\vec e_z=\dfrac{B_0}{2}\,\vec e_z\,}$$
*Schéma :* nappe locale (fils parallèles $\parallel\vec e_\theta$), champ « à la Ampère » d'une nappe infinie, intérieur $\tfrac{B_0}{2}$ + $\tfrac{B_0}{2}$, extérieur $\tfrac{B_0}{2}-\tfrac{B_0}{2}=0$ ; d'où la moyenne $\tfrac{B_0}{2}$ pour $\bar\Sigma$.

**Commentaire du correcteur.** « Certes des développements poussés. Mais … clairement **analogue à la question 23** … Il est … surprenant qu'elle ait été aussi **peu traitée** (même incorrectement). Les questions 39 et 40 ont également été **très rarement** traitées. » L'analogie électrostatique/magnétostatique ($\tfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\leftrightarrow\tfrac{B_0}{2}$) est le levier gagnant.

### Question 39

**Stratégie.** Force par unité de surface sur la nappe de courant dans le champ du reste.

**Rédaction.** $\mathrm d\vec F=\vec j_s\wedge\vec B_{\bar\Sigma}\,\mathrm dS=(nI_0\vec e_\theta)\wedge\big(\tfrac{\mu_0 nI_0}{2}\vec e_z\big)\mathrm dS=\dfrac{\mu_0 n^2I_0^2}{2}(\vec e_\theta\wedge\vec e_z)\,\mathrm dS=\dfrac{\mu_0 n^2I_0^2}{2}\vec e_r\,\mathrm dS$.

Donc $$\boxed{\,P_{\text{ms}}=\dfrac{\mu_0 n^2I_0^2}{2}=\dfrac{B_0^2}{2\mu_0}\,}$$
Homogénéité : $\dfrac{B^2}{\mu_0}=\dfrac{\mathrm T^2}{\mathrm{H\,m^{-1}}}=\mathrm{Pa}$. ✔ **Sens** : $P_{\text{ms}}\propto I_0^2>0$, force **vers l'extérieur** quel que soit le signe de $I_0$ : le solénoïde tend à **se dilater** (la pression magnétique $\tfrac{B_0^2}{2\mu_0}$ pousse la paroi).

**Commentaire du correcteur.** Très peu traitée (voir Q38).

Résultat pivot : $P_{\text{ms}}=\tfrac{B_0^2}{2\mu_0}$ = densité d'énergie magnétique interne, exact analogue de $P_{\text{es}}=\tfrac{\varepsilon_0 E^2}{2}$.

### Question 40

**Stratégie.**

Travail de la pression (à $n,I_0$ fixés donc $B_0$ **fixe**) de $R$ à $2R$, comparé au théorème de Maxwell.

**Rédaction.**

Surface latérale $2\pi R'L$, pression $P_{\text{ms}}$ constante ($B_0$ fixe) : $$W=\int_R^{2R}P_{\text{ms}}\,2\pi R'L\,\mathrm dR'=P_{\text{ms}}\,2\pi L\,\frac{(2R)^2-R^2}{2}=P_{\text{ms}}\,3\pi L R^2,\quad \boxed{\,W=\dfrac{3\pi\mu_0 n^2 I_0^2 L R^2}{2}\,}$$
**Théorème de Maxwell (naïf)** : $\Delta\Phi_{\text{tot}}=nL\cdot\mu_0 nI_0\,\pi\big[(2R)^2-R^2\big]=3\pi\mu_0 n^2 I_0 L R^2$, d'où $W_{\text{Maxwell}}=I_0\Delta\Phi_{\text{tot}}=3\pi\mu_0 n^2 I_0^2 L R^2=2W$.

**Désaccord d'un facteur 2.**

**Justification** : le théorème de Maxwell suppose un déplacement dans un champ **extérieur** ; ici, pour l'**auto**-action, il faut **exclure** le champ créé par l'élément lui-même et n'utiliser que $\vec B_{\bar\Sigma}=\tfrac{B_0}{2}$ (et non $B_0$).

Le calcul par la pression, correct, donne donc **la moitié** du Maxwell naïf.

**Commentaire du correcteur.** Très rarement traitée. Le facteur $1/2$ (self exclue) est le pendant exact de la discontinuité électrostatique (Q23–25). On confirme la valeur $W=\tfrac{3\pi\mu_0 n^2I_0^2LR^2}{2}$ par l'énergie (Q45).

## 2.2 Énergie d'une distribution volumique de courants

### Question 41

**Stratégie.** Relier rayonnement et flux du vecteur de Poynting à l'infini, dans l'ARQS.

**Rédaction.**

Rayonner = évacuer une puissance non nulle à l'infini, $\displaystyle\lim_{r\to\infty}\oiint\vec\pi\cdot\mathrm d\vec S\neq0$, ce qui exige $\pi\sim r^{-2}$.

Dans l'ARQS magnétique, on **néglige** le courant de déplacement (pas d'onde) ; pour une distribution finie, $\vec B$ décroît au moins en $r^{-3}$ (formulaire) et le champ électrique induit de même, si bien que $\pi=\dfrac{EB}{\mu_0}$ décroît **plus vite** que $r^{-2}$.

Le flux à l'infini tend vers $0$ : $$\boxed{\text{Non : une distribution finie de courants ne rayonne pas dans l'ARQS magnétique.}}$$

**Commentaire du correcteur.** « Les **justifications** … ont été **rares**. » Ne pas se contenter d'affirmer : montrer que $\vec\pi$ décroît trop vite ($B\sim r^{-3}$) pour un flux non nul à l'infini.

### Question 42

**Stratégie.** Puissance = force $\times$ vitesse ; seule la partie électrique travaille. Isoler la composante électrostatique via $\mathrm{div}\,\vec j=0$.

**Rédaction.** La force de Lorentz volumique est $\rho\vec E+\vec j\wedge\vec B$ ; la partie magnétique **ne travaille pas**.

Puissance volumique $=\vec j\cdot\vec E$, donc $$\boxed{\,\mathcal P=\iiint_{\mathcal D}\vec j\cdot\vec E\,\mathrm d\tau\,}$$
Composante **électrostatique** $\vec E_{\text{es}}=-\vec{\mathrm{grad}}\,V$ : $\displaystyle\iiint\vec j\cdot(-\vec{\mathrm{grad}}V)=-\iiint\big[\mathrm{div}(V\vec j)-V\underbrace{\mathrm{div}\,\vec j}_{=0}\big]=-\oiint V\vec j\cdot\mathrm d\vec S=0$ ($\vec j=\vec 0$ hors de $\mathcal D$).

Seule contribue la composante **induite** (non conservative, $\vec E_{\text{ind}}$ de $-\partial_t\vec B$). $$\boxed{\text{Contribution électrostatique nulle ; seul }\vec E_{\text{ind}}\text{ (rotationnel) travaille.}}$$

**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question. Utiliser $\mathrm{div}\,\vec j=0$ (18) + Green-Ostrogradski est la clé de l'annulation.

### Question 43

**Stratégie.** Théorème de Poynting local, en négligeant l'énergie électrique (ARQS), intégré sur $\mathcal V_R$.

**Rédaction.**

Poynting : $\dfrac{\partial}{\partial t}\Big(\dfrac{\varepsilon_0 E^2}{2}+\dfrac{B^2}{2\mu_0}\Big)=-\mathrm{div}\,\vec\pi-\vec j\cdot\vec E$, avec $\vec\pi=\dfrac{\vec E\wedge\vec B}{\mu_0}$.

Dans l'ARQS **magnétique**, $\dfrac{\varepsilon_0 E^2}{2}$ est négligeable devant $\dfrac{B^2}{2\mu_0}$.

Intégration sur $\mathcal V_R$ (fixe), Green-Ostrogradski sur le terme en $\mathrm{div}\,\vec\pi$, et $\vec j=\vec 0$ hors de $\mathcal D\subset\mathcal V_R$ : $$\boxed{\,\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\iiint_{\mathcal V_R}\dfrac{B^2}{2\mu_0}\,\mathrm d\tau=-\oiint_{\Sigma_R}\vec\pi\cdot\mathrm d\vec S-\iiint_{\mathcal D}\vec j\cdot\vec E\,\mathrm d\tau\,}\qquad \vec\pi=\dfrac{\vec E\wedge\vec B}{\mu_0}.$$

**Commentaire du correcteur.** « Bilan énergétique **simple**, mais la formulation … pouvait donner lieu à des **stratégies très variées** rendant l'évaluation difficile. » Rester canonique : Poynting local $\to$ intégration $\to$ définition de $\vec\pi$.

### Question 44

**Stratégie.**

Intégrer (26) dans le temps ($0\to T$) et prendre $R\to\infty$ ; le terme de Poynting s'annule (Q41).

**Rédaction.** Intégration temporelle : $\displaystyle\iiint_{\mathcal V_R}\frac{B^2}{2\mu_0}\Big|_{t\ge T}=-\int_0^{T}\!\!\oiint_{\Sigma_R}\vec\pi\cdot\mathrm d\vec S\,\mathrm dt-\int_0^T\!\!\iiint_{\mathcal D}\vec j\cdot\vec E\,\mathrm d\tau\,\mathrm dt$ (état initial sans champ). En $R\to\infty$, l'absence de rayonnement (Q41) annule le terme de surface.

Le membre de gauche est l'énergie du champ **stationnaire** final, stockée sur **tout l'espace** : $$\boxed{\,U_{\text{ms}}=\iiint\dfrac{\vec B^2(\vec r)}{2\mu_0}\,\mathrm d\tau_{\vec r}\,}$$ (elle est aussi égale à $-\int_0^T\mathcal P\,\mathrm dt$, l'énergie « investie » par les sources contre la fém d'induction).

**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question.

Bien articuler : terme de surface $\to0$ (Q41) **et** champ final stationnaire (t>T) pour identifier l'énergie stockée à $\int B^2/2\mu_0$.

### Question 45

**Stratégie.**

Densité d'énergie interne $\tfrac{B_0^2}{2\mu_0}$ sur le volume $\pi R^2 L$, à $B_0$ fixé.

**Rédaction.** $U_{\text{ms}}=\dfrac{B_0^2}{2\mu_0}\,\pi R^2 L$ (nul dehors).

De $R$ à $2R$ : $$\boxed{\,\Delta U_{\text{ms}}=\dfrac{B_0^2}{2\mu_0}\pi L\big[(2R)^2-R^2\big]=\dfrac{3\pi B_0^2 L R^2}{2\mu_0}=\dfrac{3\pi\mu_0 n^2 I_0^2 L R^2}{2}\,}$$
**Commentaire** : $\Delta U_{\text{ms}}=W$ (travail d'auto-action de Q40) : le solénoïde qui se dilate **augmente** son énergie magnétique d'exactement le travail de la pression magnétique.

À $I_0$ constant, le **générateur** fournit $2\Delta U_{\text{ms}}$ (moitié au champ, moitié au travail mécanique) — schéma énergétique classique de l'inductance à courant imposé.

**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question.

La coïncidence $\Delta U_{\text{ms}}=W_{\text{Q40}}$ valide *a posteriori* le facteur $1/2$ (self exclue) de Q40.

### Question 46

**Stratégie.**

Développer $U_{\text{ms}}=\iiint\tfrac{B^2}{2\mu_0}$ avec $\vec B=\sum_a\vec B_a$.

**Rédaction.** $\vec B=\sum_a\vec B_a\Rightarrow B^2=\sum_a B_a^2+\sum_{a\neq b}\vec B_a\cdot\vec B_b$.

D'où $$\boxed{\,U_j^a=\iiint\dfrac{B_a^2}{2\mu_0}\,\mathrm d\tau\ \ (\ge0),\qquad U_j^{a\leftrightarrow b}=\iiint\dfrac{\vec B_a\cdot\vec B_b}{\mu_0}\,\mathrm d\tau\ \ (\text{signe quelconque})\,}$$
Les énergies **propres** sont toujours **positives** ; l'**interaction** peut être **positive ou négative** selon l'orientation relative de $\vec B_a$ et $\vec B_b$.

**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question. Structure analogue à l'électrostatique (Q6, Q46), mais ici la self magnétique est **finie** (courants volumiques réguliers).

## 2.3 Énergie d'un ensemble de circuits filiformes

### Question 47

**Stratégie.**

Deux surfaces s'appuyant sur $\Gamma_a$ forment une surface fermée ; $\mathrm{div}\,\vec B=0$.

**Rédaction.**

Soient $\Sigma_a,\Sigma_a'$ appuyées sur $\Gamma_a$ (orientation compatible).

Leur réunion (l'une retournée) est **fermée** : $$\Phi(\Sigma_a)-\Phi(\Sigma_a')=\oiint\vec B\cdot\mathrm d\vec S=\iiint\mathrm{div}\,\vec B\,\mathrm d\tau=0.$$ $$\boxed{\,\Phi_a\ \text{indépendant de la surface choisie.}\,}$$

**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question. Argument standard (flux conservatif), à écrire proprement car il fonde la définition de $\Phi_a$.

### Question 48

**Stratégie.** Tube de champ : pas de flux par la surface latérale.

**Rédaction.**

Sur un tronçon de tube (deux sections $S_1,S_2$ + latéral), la surface est fermée : $\oiint\vec B\cdot\mathrm d\vec S=0$.

Le flux latéral est nul ($\vec B$ tangent aux parois), donc le flux entrant en $S_1$ égale le flux sortant en $S_2$ : $$\boxed{\,\mathrm d\phi\ \text{conservé le long du tube.}\,}$$

**Commentaire du correcteur.** « Ces deux questions (49–50) … simplement à une bonne **compréhension** des critères des tubes de champ. **Très peu** de bonnes réponses, mais ceux qui les ont traitées s'en sont bien sortis. » Fort différenciant, faible coût.

### Question 49

**Stratégie.** Conservation du flux + absence de source de $\vec B$.

**Rédaction.**

Comme $\mathrm d\phi$ est conservé (Q48) et que $\vec B$ n'a **ni source ni puits** ($\mathrm{div}\,\vec B=0$), un tube ne peut pas **s'interrompre** dans l'espace (il faudrait $\mathrm d\phi\to0$, i.e. $B\to\infty$ ou section $\to\infty$).

Il est donc **soit refermé sur lui-même, soit prolongé jusqu'à l'infini**.
$$\boxed{\text{Tube de champ : refermé sur lui-même, ou allant à l'infini.}}$$

**Commentaire du correcteur.** Voir Q48 : très peu traitée, bien réussie par ceux qui s'y risquent.

### Question 50

**Stratégie.** Théorème d'Ampère sur une ligne de champ fermée.

**Rédaction.**

Sur une ligne de champ **fermée**, $\vec B$ et $\mathrm d\vec l$ sont colinéaires et de même sens, donc $\displaystyle\oint\vec B\cdot\mathrm d\vec l=\oint B\,\mathrm dl>0$.

Par Ampère, $\oint\vec B\cdot\mathrm d\vec l=\mu_0 I_{\text{enlacé}}$, donc $I_{\text{enlacé}}\neq0$ : $$\boxed{\text{Un tube refermé enlace nécessairement des branches parcourues par un courant.}}$$

**Commentaire du correcteur.** « Peu de candidats … une compréhension **modérée** d'une loi élémentaire. C'était une **application directe du théorème d'Ampère**. » À ne pas manquer.

### Question 51 (*)

**Stratégie.**

Découper $U_{\text{ms}}=\iiint\tfrac{B_a^2}{2\mu_0}$ en tubes de flux $\mathrm d\phi$ ; sur chaque tube fermé, Ampère donne $\oint B\,\mathrm dl=\mu_0 I_a$.

**Rédaction.**

Élément de tube : $\mathrm d\tau=\mathrm dl_\alpha\,\mathrm ds_\alpha$, $B\,\mathrm ds_\alpha=\mathrm d\phi_\alpha$ (transverse, conservé).

Donc $$\frac{B^2}{2\mu_0}\,\mathrm d\tau=\frac{B\,\mathrm dl_\alpha}{2\mu_0}\,(B\,\mathrm ds_\alpha)=\frac{\mathrm d\phi_\alpha}{2\mu_0}\,B\,\mathrm dl_\alpha.$$
Intégration le long du tube fermé : $\dfrac{\mathrm d\phi_\alpha}{2\mu_0}\displaystyle\oint B\,\mathrm dl_\alpha=\dfrac{\mathrm d\phi_\alpha}{2\mu_0}\,\mu_0 I_a=\dfrac{I_a}{2}\mathrm d\phi_\alpha$ (tube enlaçant $C_a$ une fois).

Somme sur tous les tubes : $\sum_\alpha\mathrm d\phi_\alpha=\Phi_{a\to a}$.

D'où $$\boxed{\,U_C^a=\tfrac12 I_a\Phi_{a\to a}\quad(\beta_1=\tfrac12)\,}$$ (forme $\tfrac12 L_a I_a^2$).

**Commentaire du correcteur.** Étoilée « traitée avec succès par un **très faible nombre** de candidats ».

Étapes à expliciter (jury) : découpage en tubes $\to$ $B\,\mathrm ds=\mathrm d\phi$ $\to$ Ampère $\oint B\,\mathrm dl=\mu_0 I_a$ $\to$ somme des flux $=\Phi_{a\to a}$.

### Question 52 (*)

**Stratégie.**

Même découpage sur le terme croisé $\tfrac1{\mu_0}\iiint\vec B_a\cdot\vec B_b$, avec des tubes de flux commun $\mathrm d\phi$.

**Rédaction.** $U_C^{a\leftrightarrow b}=\dfrac1{\mu_0}\iiint\vec B_a\cdot\vec B_b\,\mathrm d\tau$.

Découpant l'espace en tubes élémentaires de $\vec B_b$ (flux $\mathrm d\phi$), le long de chaque tube $\vec B_b\,\mathrm ds=\mathrm d\phi$ et $\vec B_a\cdot\mathrm d\vec l$ apparaît : $$U_C^{a\leftrightarrow b}=\frac1{\mu_0}\sum\mathrm d\phi\oint\vec B_a\cdot\mathrm d\vec l=\frac1{\mu_0}\sum\mathrm d\phi\,(\mu_0 I_a)\quad\text{(Ampère, tube enlaçant }C_a).$$
Pour des circuits simples où chaque ligne traverse **au plus une fois** les circuits, la somme des flux traversant $C_b$ redonne $\Phi_{a\to b}$, d'où (forme symétrique) : $$\boxed{\,U_C^{a\leftrightarrow b}=I_b\,\Phi_{a\to b}=I_a\,\Phi_{b\to a}\,}$$ (pas de facteur $\tfrac12$ : interaction comptée une fois).

**Maximale** lorsque $\Phi_{a\to b}$ est **maximal**, i.e. circuits **coaxiaux/alignés**, courants de **même sens** (couplage maximal, $M$ maximal).

**Commentaire du correcteur.** Étoilée très peu traitée.

Bien poser le découpage en tubes de **flux commun** $\mathrm d\phi$ et l'application d'Ampère : le résultat symétrique $I_a\Phi_{b\to a}=I_b\Phi_{a\to b}$ prépare la réciprocité (Q53).

### Question 53

**Stratégie.** Additionner self (Q51) et interactions (Q52) en une double somme.

**Rédaction.**

Termes propres $\tfrac12 I_a\Phi_{a\to a}$ ($a=b$) et interactions $I_a\Phi_{b\to a}$ ($a\neq b$, comptées une fois).

En sommant sur **tous** les couples ordonnés $(a,b)$ avec un facteur $\tfrac12$ : $$\boxed{\,U_C=\tfrac12\sum_{a,b}I_a\Phi_{b\to a}\quad(\beta_2=\tfrac12)\,}$$
**Réciprocité magnétostatique** : $I_a\Phi_{b\to a}=I_b\Phi_{a\to b}$, i.e. $\Phi_{b\to a}=M_{ab}I_b$ avec $\boxed{M_{ab}=M_{ba}}$ (inductances mutuelles symétriques).

**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question.

Vérifier la cohérence : pour $a=b$, $\tfrac12 I_a\Phi_{a\to a}$ (self, Q51) ; pour $a\neq b$, la double somme redonne $I_a\Phi_{b\to a}$ (Q52).

### Question 54

**Stratégie.**

Dépendance en $I$ des self ($\propto I^2$) et interactions ($\propto I_aI_b$).

**Rédaction.**

Self : $U_C^a=\tfrac12 L_a I_a^2\ge0$, **inchangée** si $I_a\to-I_a$ (paire).

Interaction : $U_C^{a\leftrightarrow b}=M_{ab}I_aI_b$, **change de signe** si un seul courant s'inverse ; **signe quelconque**. $$\boxed{\text{Self : positive, invariante. Interaction : signe quelconque, s'inverse avec un courant.}}$$
**Attendu ?**

Oui : contrairement à l'électrostatique (où, à charges fixées, le signe de l'interaction est figé), l'interaction magnétique dépend du **sens relatif** des courants (parallèles $\Rightarrow$ énergie/attraction ; antiparallèles $\Rightarrow$ répulsion) — d'où un signe **ajustable**.

**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question. Bien distinguer la **dépendance quadratique** (self) de la **dépendance bilinéaire** (interaction).

### Question 55

**Stratégie.** Recalculer l'énergie d'interaction de A2 final via $I_0\,\Phi_{\text{spire}\to\text{sol}}$ et vérifier la réciprocité.

**Rédaction.**

En A2 final, la spire (plan $(y,z)$, moment $\vec{\mathcal M}\parallel\vec e_x$) est **perpendiculaire** à l'axe $\vec e_z$ du solénoïde.

Le flux du champ **du solénoïde** à travers la spire est nul, donc $U^{s\leftrightarrow S}=I_s\Phi_{S\to s}=0$.

Par réciprocité (Q53), on doit retrouver le même via la spire : un dipôle **transverse** ($\vec{\mathcal M}\perp\vec e_z$) crée, par symétrie, un flux **nul** à travers le long solénoïde, $\Phi_{s\to S}=0$.

Donc
$$\boxed{\,U^{s\leftrightarrow S}_{\text{final}}=I_0\,\Phi_{s\to S}=0\quad(\text{cohérent avec }I_s\Phi_{S\to s}=0)\,}$$

**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question. L'intérêt pédagogique : vérifier explicitement le **théorème de réciprocité** (les deux façons de calculer l'interaction coïncident).

### Question 56 (*)

**Stratégie.** Raisonnement physique : au bord d'un long solénoïde, le champ vaut **la moitié** de celui au centre ; travail de l'opérateur = variation de $U_I=-I_s\Phi$.

**Rédaction.**

Au milieu ($z=L/2$) : champ $B_0$, flux $\Phi_{\text{ini}}=B_0 a^2$.

À l'extrémité ($z=0$) d'un solénoïde semi-infini : champ $\dfrac{B_0}{2}$ sur l'axe, flux $\Phi_{\text{fin}}=\dfrac{B_0}{2}a^2$.

La force de Laplace tend à ramener la spire vers la zone de **fort** champ (flux maximal, milieu) : la déplacer vers l'extrémité demande un travail **positif** de l'opérateur, $W_{\text{op}}=-W_L=-I_s\Delta\Phi$ avec $\Delta\Phi=\Phi_{\text{fin}}-\Phi_{\text{ini}}=-\dfrac{B_0 a^2}{2}$ : $$\boxed{\,W_{\text{op}}^{A3}=+\dfrac{I_s B_0 a^2}{2}=\dfrac{\mu_0 nI_0 I_s a^2}{2}>0\,}$$

**Commentaire du correcteur.** Étoilée « peu traitée ».

Deux ingrédients « sans calcul » : (i) champ au bord $=B_0/2$, (ii) $W_{\text{op}}=-I_s\Delta\Phi$ avec le bon signe (la spire est **attirée** vers l'intérieur).

## 2.4 Énergie propre des circuits magnétiques

### Question 57

**Stratégie.** Imposer l'invariance galiléenne de la force et en déduire la transformation newtonienne des champs.

**Rédaction.** En mécanique newtonienne, la force $q(\vec E+\vec v\wedge\vec B)$ doit être **invariante** par changement de référentiel galiléen.

Avec $\vec v'=\vec v-\vec V$, cela impose $\vec E'=\vec E+\vec V\wedge\vec B$ et $\boxed{\vec B'=\vec B}$.

Pour un électron **au repos** dans $\mathcal R$ ($\vec B=\vec 0$), tout référentiel donne $\vec B'=\vec 0$ : dans ce cadre newtonien, un électron **en mouvement** créerait un champ magnétique **nul**. $$\boxed{\,\vec B_{\text{newtonien}}=\vec 0\ \text{(prédiction fausse)}\,}$$
**Commentaire** : c'est **incompatible** avec l'expérience (Biot–Savart : une charge en mouvement crée bien un $\vec B$).

Le magnétisme **ne peut pas** être compris dans un cadre strictement galiléen : il est de nature **relativiste**.

**Commentaire du correcteur.** « Il était demandé de bien justifier l'**incompatibilité** entre électromagnétisme et relativité (galiléenne). … seule une **petite minorité** a répondu correctement.

Il fallait faire attention au **signe du vecteur vitesse** de l'électron dans le référentiel en translation. » Bien orienter $\vec V=\vec v_e$ (et non $-\vec v_e$).

### Question 58

**Stratégie.**

Transformation **relativiste** (33) au premier ordre en $v_e/c$ : partir de l'électron au repos dans $\mathcal R'$ (champ coulombien) et revenir dans $\mathcal R$.

**Rédaction.**

Dans $\mathcal R'$ (électron au repos) : $\vec E'=\dfrac{-e}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\vec r}{r^3}$, $\vec B'=\vec 0$.

En $\mathcal R$ (électron à $\vec v_e$), au premier ordre ($\gamma\simeq1$, $\vec E\simeq\vec E'$) : $$\vec E(\vec r)=\dfrac{-e}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\vec r}{r^3},\qquad \vec B(\vec r)=\dfrac1{c^2}\vec v_e\wedge\vec E=\dfrac{-e}{4\pi\varepsilon_0 c^2}\dfrac{\vec v_e\wedge\vec r}{r^3}.$$
Avec $\dfrac1{\varepsilon_0 c^2}=\mu_0$ : $$\boxed{\,\vec E=\dfrac{-e}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\vec r}{r^3},\qquad \vec B=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{(-e)\,\vec v_e\wedge\vec r}{r^3}=\dfrac1{c^2}\vec v_e\wedge\vec E\,}$$
On retrouve la loi de **Biot–Savart** pour une charge ponctuelle.

La relativité **génère** donc le champ magnétique absent au niveau newtonien (Q57).

**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas spécifiquement cette question.

Garder les **termes dominants** en $v_e/c$ ($\gamma\to1$, $\vec E\simeq\vec E'$) comme demandé.

### Question 59

**Stratégie.**

Calculer $U_m^e=\iiint_{\text{ext}}\tfrac{B^2}{2\mu_0}$ (champ extérieur) via les intégrales (7), comparer à $\tfrac12 m_e v_e^2$ à l'aide de (32).

**Rédaction.** $B(\vec r)=\dfrac{\mu_0 e}{4\pi}\dfrac{v_e\sin\theta}{r^2}$ ($\theta=(\vec v_e,\vec r)$), donc $$U_m^e=\frac1{2\mu_0}\int_{r_e}^{\infty}\!\!\frac{\mathrm dr}{r^2}\Big(\frac{\mu_0 e v_e}{4\pi}\Big)^2\!\!\int_0^{\pi}\!\!\sin^3\theta\,\mathrm d\theta\int_0^{2\pi}\!\!\mathrm d\varphi=\frac{\mu_0 e^2 v_e^2}{32\pi^2}\cdot\frac1{r_e}\cdot\frac43\cdot2\pi=\frac{\mu_0 e^2 v_e^2}{12\pi r_e}$$ (en utilisant $\int_0^\pi\sin^3\theta\,\mathrm d\theta=\tfrac43$, formule (7)).

Avec (32), $m_e=\dfrac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 r_e c^2}=\dfrac{\mu_0 e^2}{8\pi r_e}$, soit $\tfrac12 m_e v_e^2=\dfrac{\mu_0 e^2 v_e^2}{16\pi r_e}$.

Le rapport vaut $\dfrac{U_m^e}{\tfrac12 m_e v_e^2}=\dfrac{16}{12}=\dfrac43$ : $$\boxed{\,U_m^e=\lambda\cdot\tfrac12 m_e v_e^2,\quad \lambda=\tfrac43\simeq1\,}$$
**Interprétation** : l'énergie magnétique propre de l'électron **s'identifie** (à $\lambda$ près) à son énergie cinétique.

La **masse** de l'électron apparaît alors comme le contenu **énergétique du champ** qu'il transporte : une **masse électromagnétique** (l'inertie = énergie de champ).

**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question.

Cohérence interne : (32) utilise le coefficient « extérieur seul » ($\tfrac12$), à la différence du coefficient $3/5$ de la boule pleine (Q17–18).

### Question 60

**Stratégie.**

Vitesse de dérive via $j=n_e e v_e$, nombre d'électrons via le volume de fil, puis $E_c^{\text{tot}}=\mathcal N\cdot\tfrac12 m_e v_e^2$.

**Rédaction.** $v_e=\dfrac{j}{n_e e}=\dfrac{I}{n_e e\,\pi a^2}$ ; longueur de fil $=N\cdot2\pi R$, volume $=2\pi^2 N R a^2$, nombre $\mathcal N=2\pi^2 n_e N R a^2$.

Donc $$E_c^{\text{tot}}=\mathcal N\cdot\tfrac12 m_e v_e^2=2\pi^2 n_e N R a^2\cdot\frac{m_e}{2}\Big(\frac{I}{n_e e\pi a^2}\Big)^2.$$ $$\boxed{\,E_c^{\text{tot}}=\dfrac{m_e\,N R\,I^2}{n_e\,e^2\,a^2}\,}$$
Homogénéité : $\dfrac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm m\cdot\mathrm A^2}{\mathrm m^{-3}\cdot\mathrm C^2\cdot\mathrm m^2}=\dfrac{\mathrm{kg}\,\mathrm A^2\mathrm m^{2}}{\mathrm C^2}=\mathrm{kg}\,\mathrm m^2\mathrm s^{-2}=\mathrm J$. ✔

**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question (partie « traitée par un très faible nombre »).

Bien simplifier : les $n_e$, $a$ se réduisent joliment.

### Question 61

**Stratégie.**

Comparer $E_c^{\text{tot}}$ à $U_{\text{ms}}=\tfrac{B_0^2}{2\mu_0}\pi R^2 L$ avec $B_0=\mu_0 (N/L) I$, A.N.

**Rédaction.** $$U_{\text{ms}}=\frac{\mu_0 N^2 I^2\pi R^2}{2L}.$$
A.N. ($N=5000$, $I=1{,}0$ A, $R=0{,}02$ m, $L=0{,}20$ m, $a=1{,}0\times10^{-3}$ m, $n_e=8{,}5\times10^{28}\,\mathrm m^{-3}$) : $$U_{\text{ms}}=\frac{1{,}3\times10^{-6}\times(5000)^2\times1\times\pi\times(0{,}02)^2}{2\times0{,}20}\approx1{,}0\times10^{-1}\ \mathrm J,$$ $$E_c^{\text{tot}}=\frac{9{,}1\times10^{-31}\times5000\times0{,}02\times1}{8{,}5\times10^{28}\times(1{,}6\times10^{-19})^2\times(10^{-3})^2}\approx4{,}2\times10^{-14}\ \mathrm J.$$ $$\boxed{\,\dfrac{U_{\text{ms}}}{E_c^{\text{tot}}}\approx\dfrac{0{,}10}{4{,}2\times10^{-14}}\approx2{,}4\times10^{12}\,}$$
**Commentaire** : l'énergie magnétique du solénoïde est **~10¹² fois** l'énergie cinétique des électrons de conduction.

L'identification « énergie magnétique = énergie cinétique » de Q59, valable pour **un** électron, **échoue** massivement à l'échelle macroscopique.

**Commentaire du correcteur.** Le rapport ne commente pas cette question. La calculatrice étant interdite, mener l'A.N. par ordres de grandeur (puissances de 10) et **conclure** sur l'écart énorme, qui motive Q62.

### Question 62 (*)

**Stratégie.**

Expliquer l'écart par le caractère **collectif/cohérent** du champ (termes croisés, $\propto N^2$), puis chercher un majorant et l'échelle où $U_{\text{ms}}\sim E_c$.

**Rédaction.** **Origine de l'écart** : en Q59 on ne comptait que l'énergie **propre** (self) d'**un** électron. Dans le solénoïde, le champ en tout point est la **somme cohérente** des contributions de **tous** les électrons ; l'énergie $\propto B^2\propto(\sum_k \vec B_k)^2$ contient les **termes croisés** (inductance mutuelle entre porteurs), qui dominent : l'énergie collective croît comme le **carré** du nombre d'électrons corrélés, pas linéairement. C'est un effet de **cohérence**, absent du bilan « une particule ».

Quantitativement, le rapport s'écrit (avec $n=N/L$) $$\frac{U_{\text{ms}}}{E_c^{\text{tot}}}=\frac{\pi}{2}\,\frac{\mu_0 n_e e^2 a^2}{m_e}\,nR=\frac{\pi}{2}\Big(\frac{a}{\delta}\Big)^2 nR,\qquad \delta=\sqrt{\frac{m_e}{\mu_0 n_e e^2}}=\frac{c}{\omega_p},$$ où $\delta$ est la **longueur de London / d'écran** (profondeur de peau plasma).

A.N. pour le cuivre : $\omega_p=\sqrt{n_e e^2/\varepsilon_0 m_e}\approx1{,}6\times10^{16}\,\mathrm{s^{-1}}$, soit $\delta=c/\omega_p\approx1{,}8\times10^{-8}$ m ($\sim20$ nm).

Avec $a=1$ mm, $nR=500$, on retrouve $\tfrac{\pi}{2}(a/\delta)^2 nR\approx2\times10^{12}$ ✔ (cohérent avec Q61).

**Échelle où $U_{\text{ms}}$ approche $E_c$** : le rapport tombe à $\sim1$ quand $\tfrac{\pi}{2}(a/\delta)^2 nR\sim1$, i.e. lorsque les dimensions du solénoïde ($a$, $R$, et $1/n$) deviennent de l'ordre de la **longueur de London** $\delta\sim20$ nm.

Un solénoïde **macroscopique** ($a,R\gg\delta$) a donc $U_{\text{ms}}\gg E_c$ ; l'identification « masse électromagnétique » n'est retrouvée qu'à l'échelle **nanométrique** $\delta$.

> **[Point non entièrement établi : la « borne supérieure absolue $U_{\text{ms}}^{\max}$ » exacte.]**

Le rapport géométrique $\tfrac{\pi}{2}(a/\delta)^2 nR$ **croît sans borne** avec la taille : il n'existe pas de majorant fini de $U_{\text{ms}}/E_c$ purement géométrique.

Un plafond **physique** apparaît toutefois en bornant la vitesse de dérive par $c$ (le courant maximal $I_{\max}=n_e e\,\pi a^2 c$ borne $U_{\text{ms}}\propto I^2$) ; à cette limite $E_c\sim\mathcal N\,\tfrac12 m_e c^2$.

Je n'ai pas pu réduire proprement ces deux bornes à une unique relation $U_{\text{ms}}^{\max}=$ (facteur)$\times E_c$ indépendante de la géométrie ; la partie qualitative (effet collectif $\propto N^2$, échelle $\delta$) est en revanche solidement établie.

**Commentaire du correcteur.** Étoilée « traitée avec succès par un **très faible nombre** de candidats ». L'essentiel des points se joue sur l'**explication physique** (champ collectif cohérent, termes croisés / inductance) plutôt que sur un majorant chiffré — cœur du raisonnement à rédiger même sans la borne exacte.

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## Bilan stratégique (relecture correcteur)

- **Fil self / interaction** : la distinction posée en Q7 (le continu inclut la self, le discret l'exclut) irrigue Q10, Q11, Q12, Q30, Q46, Q59 — la maîtriser rapporte sur toute la copie.
- **Analogie électro/magnéto** : Q23↔Q38, Q24↔Q39, Q25↔Q40, réciprocité (12)↔(31). Le facteur $\tfrac12$ « self exclue » (Q24, Q40) est le piège récurrent.

- **Rigueur exigée** (jury) : Q9, Q12 (toutes les étapes), Q28, Q34 (invoquer $\mathrm{div}\,\vec B=0$, pas d'affirmation « cavalière »), Q42 ($\mathrm{div}\,\vec j=0$).

- **Étoilées peu coûteuses** (Q15, 19, 20, 30, 49, 50, 51, 52, 56) : fort levier différenciant sur un sujet où ~60 % des copies sont sous la moyenne.
- **Signaux d'alerte** à ne pas ignorer : la **coquille Q20** (signalée), le **désaccord apparent Q29** (à réconcilier, pas à accepter), et l'**écart Q61** (moteur de Q62).