Physique B

# Sujet — Physique B, filière PC — X / ENS — 2026

X–ESPCI / ENS — mercredi 15 avril 2026, 8h–12h — filière PC — épreuve n° 5 — PHYSIQUE B.

*Durée : 4 heures.*

*L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.*

## De la topologie dans les ondes : de la matière condensée à El Niño

*Illustration de l'équivalence topologique entre une tasse à café et un tore, reliés par une déformation continue (Modèle de K. Crane et H. Segerman).*

En 2016, le prix Nobel de physique a été décerné à trois chercheurs pour leurs travaux sur les phases topologiques de la matière [1]. L'intérêt pour ce domaine s'est renforcé avec la découverte, en 2005, des isolants topologiques : des matériaux isolants dans le volume mais conducteurs aux frontières, dont le comportement peut être compris à l'aide d'invariants topologiques.

Ce problème propose d'explorer la notion de *topologie* en physique des ondes à travers des chaînes masse-ressort, systèmes mécaniques discrets, puis d'établir le lien avec les ondes équatoriales dans l'océan, à l'origine du phénomène El Niño [2]. Dans une large mesure, les 2 parties étudient des problèmes indépendants.

[1] Prix Nobel de Physique 2016 décerné à D.J. Thouless, F.D. Haldane et J.M. Kosterlitz.

[2] P. Delplace, J.B. Marston, A. Venaille, « Topological origin of equatorial waves, » *Science*, **358**, 1075-1077 (2017).

## Partie I — Chaînes masse-ressort

### 1. Chaîne monoatomique

On considère une chaîne infinie de masses $m$ reliées par des ressorts de raideur $\beta$, séparées par une distance $a$. On note $u_n$ le déplacement de la $n$-ième masse par rapport à sa position d'équilibre comme représenté sur la figure suivante :

> Trois masses $m$ sur un axe $x$ orienté vers la droite, reliées par des ressorts identiques de raideur $\beta$, avec des points de suspension aux deux extrémités. Seule l'abscisse $na$ de la masse centrale est écrite ; les masses voisines ont un repère sur l'axe, sans légende. Le déplacement $u_n$ est une flèche verticale vers le haut, portée par la masse d'abscisse $na$.

**1.** Écrire l'équation du mouvement pour la $n$-ième masse.

**2.** Chercher une solution en notation complexe sous la forme $u_n = U_0 e^{i(kna-\omega t)}$ et en déduire la relation de dispersion $\omega(k)$ des ondes se propageant dans cette chaîne.

On rappelle la formule de trigonométrie : $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$.

**3.** Cette relation de dispersion montre une périodicité en $k$. On appelle première zone de Brillouin, la période de $k$ centrée sur l'origine. Quel intervalle de $k$ correspond à la première zone de Brillouin ?

**4.** Représenter la relation de dispersion $\omega(k)$ dans la première zone de Brillouin.

**5.** Discuter la signification physique de la pente en $k = 0$.

**6.** Que vaut la vitesse de groupe pour $k = \pm\dfrac{\pi}{a}$ ? Qu'est ce que cela signifie concernant la propagation des ondes ?

**7.** On place une source d'excitation sur la masse d'indice 0 qui impose le déplacement en notation complexe $u_0 = U_0 e^{-i\omega t}$. On choisit une pulsation d'excitation $\omega = \alpha\sqrt{\dfrac{\beta}{m}}$ avec $\alpha > 2$.

**7.1.** En reprenant la forme de la solution de la question 2, montrer que l'on est obligé d'introduire un nombre d'onde complexe $k = k' + ik''$.

**7.2.** Trouver la valeur de $k'$ dans la première zone de Brillouin, sachant la formule trigonométrique : $\sin(x + iy) = \sin x\,\mathrm{ch}\, y + i\cos x\,\mathrm{sh}\, y$.

**7.3.** En déduire les 2 valeurs possibles de $k''$, et justifier qualitativement la solution que l'on gardera pour $n > 0$ et $n < 0$.

**7.4.** Tracer la solution obtenue.

**7.5.** Pourquoi parle-t-on d'onde *évanescente* au lieu d'onde *propagative* ? Déterminer les gammes de pulsations correspondant à des ondes propagatives et à des ondes évanescentes ?

### 2. Chaîne dimérisée : le modèle SSH mécanique

On se propose maintenant d'étudier le modèle dit SSH, proposé par Su, Schrieffer et Heeger en 1979 pour décrire la conduction électronique dans la molécule d'acétylène :

> Formule du polyacétylène : chaîne en zigzag de carbones à liaisons simples et doubles alternées ; chaque carbone porte un hydrogène, alternativement au-dessus et au-dessous de la chaîne ; les deux extrémités sont terminées par un H.

Pour cela, on considère l'analogue mécanique qui consiste en une chaîne de masses identiques $m$, reliées par des ressorts alternant entre $\beta_1$ et $\beta_2$ comme représenté sur la figure suivante :

> Cinq masses $m$ sur un axe $x$ orienté vers la droite, points de suspension aux deux bouts. De gauche à droite, les ressorts alternent $\beta_1$ (zigzag épais), $\beta_2$ (zigzag fin), $\beta_1$, $\beta_2$, $\beta_1$, $\beta_2$. Les abscisses écrites sous les quatre premières masses sont $(2n-1)a$, $2na$, $(2n+1)a$, $(2n+2)a$. Le déplacement $u_{2n}$ est une flèche horizontale vers la droite, portée par la masse d'abscisse $2na$.

**8.** Établir les équations du mouvement des masses paires $(2n)$ et impaires $(2n + 1)$.

**9.** On cherche des solutions adaptées à la nouvelle maille de ce réseau en notation complexe sous la forme :

$$
\begin{pmatrix} u_{2n}(t) \\ u_{2n+1}(t) \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} U_0 \\ U_1 \end{pmatrix}
e^{i(2kna-\omega t)}.
$$

Montrer que les équations du mouvement peuvent s'écrire sous la forme d'un problème aux valeurs propres :

$$
\omega^2
\begin{pmatrix} U_0 \\ U_1 \end{pmatrix}
=
\mathbf{D}(k)
\begin{pmatrix} U_0 \\ U_1 \end{pmatrix},
$$

et déterminer explicitement la matrice dynamique $\mathbf{D}(k)$.

Pour alléger les notations on introduira les pulsations caractéristiques $\omega_1 = \sqrt{\dfrac{\beta_1}{m}}$ et $\omega_2 = \sqrt{\dfrac{\beta_2}{m}}$.

**10.** En cherchant les solutions non-nulles du problème précédent, montrer que la relation de dispersion $\omega(k)$ des ondes se propageant dans cette chaîne dimérisée s'écrit :

$$
\omega^2 = \omega_1^2 + \omega_2^2 \pm \sqrt{\omega_1^4 + \omega_2^4 + 2\omega_1^2\omega_2^2\cos(2ka)}.
$$

**11.** Commenter sur la différence entre les cas $\omega_1/\omega_2 = 2/3$ et $\omega_1/\omega_2 = 3/2$.

**12.** Étant donné la périodicité de cette relation de dispersion, comparer la première zone de Brillouin de cette chaine à celle de la partie précédente ? Commenter.

**13.** Afin de représenter la relation de dispersion sur la première zone de Brillouin on se propose de déterminer quelques propriétés caractéristiques de celle-ci.

**13.1.** Quelles sont les solutions pour $\omega$ en $k = 0$ ?

**13.2.** Quelles sont les solutions en bord de zone de Brillouin (aux bornes de l'intervalle de $k$ considéré) ?

**13.3.** Évaluer le développement limité en $k = 0$ de $\omega^2$, puis en déduire la vitesse des ondes à basse fréquence.

**13.4.** Que vaut la pente de la relation de dispersion pour les solutions trouvées en 13.1 et 13.2 ?

**14.** À la lumière de tous ces calculs, tracer la relation de dispersion, en précisant les tangentes et points remarquables de la question précédente, sur la première zone de Brillouin pour les 2 cas :

- $\omega_1/\omega_2 = 2/3$
- $\omega_1/\omega_2 = 1$.

**15.** Cette question fait écho à la question 7 dans le cas de la chaine monoatomique. Ici, on choisit une pulsation dans l'intervalle entre $\sqrt{2}\omega_1$ et $\sqrt{2}\omega_2$. Comme on n'a pas de solution possible avec $k \in \mathbb{R}$, on introduit une solution de la forme $k = k' + ik''$.

**15.1.** Sachant que $\cos(2ka)$ doit être réel, trouver les 2 valeurs possibles de $k'$ dans la première zone de Brillouin (on rappelle la formule trigonométrique : $\cos(x + iy) = \cos x\,\mathrm{ch}\, y - i\sin x\,\mathrm{sh}\, y$).

**15.2.** Montrer que pour satisfaire la condition sur la fréquence (supposée en début de question) une seule de ces solutions est possible.

**15.3.** Tracer la forme spatiale des déplacements pour $n > 0$ en supposant $u_0 = U_0$.

On a représenté sur la figure ci-dessous les domaines de fréquences pour lesquels l'équation de dispersion admet des solutions propagatives ou des solutions évanescentes dans le cas où $\omega_1 = \omega_0 + \delta\omega$ et $\omega_2 = \omega_0 - \delta\omega$ pour différentes valeurs de $\delta\omega$.

> *Diagramme de bandes de la chaîne masses-ressorts dimérisée en fonction du rapport $\omega_1/\omega_2$.*
>
> Abscisse $\omega_1/\omega_2$, repères $2/3$, $1$ et $1.5$, trait vertical en $1$. Ordonnée $\omega$, repères $0$, $\sqrt{2}\,\omega_0$ et $2\omega_0$. Bande grise inférieure entre $0$ et une courbe qui monte vers le centre ; bande grise supérieure entre une courbe qui descend vers le centre et la courbe proche de $2\omega_0$. Le blanc qui les sépare est traversé par le niveau horizontal $\sqrt{2}\,\omega_0$ et se ferme au point $(1,\sqrt{2}\,\omega_0)$.

**16.** Identifier sur ce diagramme les bandes de propagation et les bandes correspondant à des ondes évanescentes, dites bandes interdites. Que se passe-t-il en $\dfrac{\omega_1}{\omega_2} = 1$ ?

### 3. Interprétation topologique

On introduit la matrice identité $\mathbb{I}$ ainsi que les matrices de Pauli $\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $\sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}$.

**17.** Écrire en explicitant $d_0$, $d_x(k)$ et $d_y(k)$ la matrice dynamique $\mathbf{D}(k)$ sous la forme :

$$
\mathbf{D}(k) = d_0\mathbb{I} + d_x(k)\,\sigma_x + d_y(k)\,\sigma_y.
$$

**18.** Lorsque $k$ parcourt l'intervalle $\left[-\dfrac{\pi}{2a},\dfrac{\pi}{2a}\right]$, tracer la trajectoire du vecteur $\vec{d}(k) = \begin{pmatrix} d_x(k) \\ d_y(k) \end{pmatrix}$ dans le plan $(Oxy)$. Distinguer les 2 cas $\omega_1 > \omega_2$ et $\omega_1 < \omega_2$.

Sur chacune des trajectoires, ajouter un point sur la courbe de manière à représenter le vecteur $\vec{d}(k)$ ainsi que l'angle $\phi(k)$ formé entre $\vec{d}(k)$ et l'axe $(Ox)$.

**19.** En parcourant la trajectoire du vecteur $\vec{d}(k)$ lorsque $k \in \left[-\dfrac{\pi}{2a},\dfrac{\pi}{2a}\right]$, évaluer graphiquement l'intégrale de l'invariant topologique $\nu$ défini par :

$$
\nu = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi/(2a)}^{\pi/(2a)}\mathrm{d}\phi(k).
$$

Donner la valeur de $\nu$, appelé invariant topologique, dans les 2 cas : $\omega_1 > \omega_2$ et $\omega_1 < \omega_2$.

*Indication* : $\nu$ n'est rien d'autre que le nombre de tours effectués par le vecteur $\vec{d}(k)$ autour de l'origine lorsque l'on parcourt la trajectoire sur l'intervalle considéré.

Le but de cet invariant topologique est de faire des prédictions sur l'existence de modes, seulement en évaluant celui-ci. Pour illustrer cette propriété, nous considérons une interface entre deux chaînes SSH mécaniques :

- À droite ($n \geq 0$) une chaîne finie de $N_d$ masses avec $\omega_1^d/\omega_2^d > 1$.
- À gauche ($n < 0$) une chaîne finie de $N_g$ masses dont on va faire varier la valeur de $\omega_1^g/\omega_2^g$.

Un graphique correspondant aux fréquences propres (points) pour différentes valeurs de $\omega_1^g/\omega_2^g$ est fourni ci-dessous :

> *Fréquences propres (points) pour différentes valeurs de $\omega_1^g/\omega_2^g$ pour $N_d = N_g = 20$.*
>
> Abscisse $\omega_1^g/\omega_2^g$, repères $0.7$, $1$ et $1.15$, trait vertical en $1$. Ordonnée $\omega$, origine $0$, niveaux $\sqrt{2}\,\omega_1^d$ (au-dessus) et $\sqrt{2}\,\omega_2^d$ (au-dessous). Points denses dans la bande haute, dans la bande basse (jusqu'à $0$) et le long des bords qui se resserrent vers l'abscisse $1$. Dans la zone blanche, une ligne de points presque horizontale, un peu sous $\sqrt{2}\,\omega_1^d$, seulement pour $\omega_1^g/\omega_2^g < 1$.

Curieusement, ce diagramme montre une asymétrie dans la répartition des solutions vis-à-vis du ratio $\omega_1^g/\omega_2^g$. Notamment, on remarque des solutions dans la zone blanche (par opposition à grisée) du graphique seulement pour les valeurs de $\dfrac{\omega_1^g}{\omega_2^g} < 1$. C'est justement l'invariant topologique qui va permettre de le prouver.

**20.** Calculer les invariants topologiques à gauche ($\nu_g$) et à droite ($\nu_d$) dans les différentes parties de ce graphique. Vérifier que le nombre de solutions dans la zone blanche est directement prédit par la valeur $|\nu_g - \nu_d|$.

**21.** En vous aidant du résultat de la question 15, représenter qualitativement le profil spatial de la solution obtenue dans la zone blanche pour $\omega_1^g/\omega_2^g = 0{,}7$. Pourquoi parle-t-on de mode de bord ?

## Partie II — Ondes équatoriales : états de bord topologiques

Dans cette partie, nous allons montrer que les ondes équatoriales en géophysique obéissent à une logique strictement analogue à la chaîne SSH, et peuvent être interprétées comme des modes topologiques piégés à une interface.

### 1. Mise en équation du problème

On se place dans le système de coordonnées $(\vec{e}_x,\vec{e}_y,\vec{e}_z)$ comme représenté sur la figure ci-dessous :

> *Système de coordonnées à la surface de la Terre.*
>
> Globe terrestre, $\vec{\Omega}$ selon l'axe de rotation. En un point de la surface, repère local $(\vec{e}_x,\vec{e}_y,\vec{e}_z)$, $\vec{e}_z$ selon la verticale locale. L'angle $\hat{\ell}$ est marqué entre le plan équatorial et le rayon joignant le centre au point considéré.

On considère les océans recouvrant la Terre à l'altitude $z = 0$ comme étant caractérisés par le champ de vitesse $\vec{u}(x,y,t)$ et la hauteur de fluide $h(x,y,t)$. La mise en équation de ce problème donne le système suivant :

$$
\begin{cases}
\dfrac{\partial h}{\partial t} + \mathrm{div}(h\vec{u}) = 0 \\[1em]
\dfrac{\partial \vec{u}}{\partial t} + \left(\vec{u}.\overrightarrow{\mathrm{grad}}\right)\vec{u} = -g\,\overrightarrow{\mathrm{grad}}\, h + \vec{F}_c
\end{cases}
\tag{1}
$$

$g$ correspond à l'accélération de la pesanteur à la surface de la Terre et $\vec{F}_c$ correspond à l'effet de la force de Coriolis exercée sur le fluide.

**22.** Reconnaître et nommer les 2 équations en jeu.

On fait de plus l'hypothèse de mouvements horizontaux de la couche de fluide. Ainsi le terme dû à la force de Coriolis se simplifie sous la forme : $\vec{F}_c = -f\vec{e}_z \wedge \vec{u}$, où l'on a introduit le paramètre de Coriolis $f = 2\vec{\Omega}.\vec{e}_z$ (avec $\vec{\Omega}$ le vecteur de rotation de la Terre).

**23.** On note $\hat{\ell}$ l'angle définissant la latitude, c'est-à-dire l'angle entre le plan équatorial et le point considéré sur la surface de la Terre. Que vaut $f$ en fonction de l'angle $\hat{\ell}$ ? Que se passe-t-il à l'équateur ?

**24.** En notant $u$ et $v$ les 2 composantes du champ de vitesse respectivement suivant $\vec{e}_x$ et $\vec{e}_y$, écrire les 3 composantes de $\vec{F}_c$ dans le système de coordonnées $(\vec{e}_x,\vec{e}_y,\vec{e}_z)$ en fonction de $u$, $v$ et $f$.

**25.** On fait l'hypothèse d'oscillations de faible amplitude à la surface de la terre : $h(x,y,t) = H + \eta(x,y,t)$ avec $\eta(x,y,t) \ll H$, ainsi que $u$ et $v$ sont de faibles amplitudes. Écrire le système d'équations linéarisé au premier ordre vérifié par $\eta$, $u$ et $v$ (*remarque* : tous les termes dus au repère mobile sont négligeables dans ces hypothèses).

### 2. Hypothèse de Lord Kelvin

On commence par choisir une latitude donnée par l'angle $\hat{\ell}$ et on considère l'océan comme étant localement plan dans le système de coordonnées $(\vec{e}_x,\vec{e}_y)$. On ajoute l'hypothèse introduite par Lord Kelvin de considérer le paramètre de Coriolis comme localement constant : $f(\hat{\ell}) = f_0$.

On introduit le vecteur $\Psi = \begin{pmatrix} \eta \\ u \\ v \end{pmatrix}$ et on cherche des solutions en notation complexe sous la forme d'ondes planes : $\underline{\Psi}(x,y,t) = \underline{\Psi}_0\, e^{i(k_x x+k_y y-\omega t)}$ avec $\underline{\Psi}_0 = \begin{pmatrix} \underline{\eta}_0 \\ \underline{u}_0 \\ \underline{v}_0 \end{pmatrix}$.

**26.** Montrer que l'on obtient un problème aux valeurs propres de la forme :

$$
\mathbf{M}\,\underline{\Psi}_0 = \omega\,\underline{\Psi}_0 \tag{2}
$$

Expliciter la matrice $\mathbf{M}$ en fonction de $k_x$, $k_y$ et des paramètres $H$, $g$ et $f_0$.

**27.** Donner la relation de dispersion de ces ondes.

**28.** Quelle est la vitesse de propagation (que l'on notera $c$) des ondes à haute fréquence ?

**29.** Tracer les 3 branches de ces relations de dispersion pour $k_y = 0$ en s'autorisant des fréquences négatives dans le plan $(k_x,\omega)$ pour les cas $f_0 = 1$, $f_0 = 0$ et $f_0 = -1$ (où on a pris une valeur arbitraire de $f_0 = 1$ pour la latitude considérée).

**30.** Quelles gammes de pulsations correspondent à des bandes interdites ?

Pour les bandes non-constantes (notées bandes négative $(−)$ et positive $(+)$) on parle de modes de Poincaré, alors que la bande plate (notée $(0)$) est appelée mode géostrophique. Pour chacune des bandes on peut évaluer un invariant topologique $\mathscr{C}$ et on peut montrer qu'ils prennent les valeurs :

$$
\left\{\mathscr{C}^{(-)},\mathscr{C}^{(0)},\mathscr{C}^{(+)}\right\} = \{2,\ 0,\ -2\} \times \mathrm{signe}(f_0).
$$

### 3. Le cas équatorial

On s'intéresse désormais au cas des ondes équatoriales ($\hat{\ell} \approx 0$) et on fait un développement limité du paramètre de Coriolis proche de l'équateur, soit $f(y) = \beta y$.

**31.** Expliquer en quoi l'équateur peut être vu comme une interface entre deux milieux homogènes de topologies différentes. Quelle est la conséquence étant donné les valeurs des invariants topologiques ?

**32.** Le problème reste invariant par translation selon la direction $x$ mais le terme $f = \beta y$ brise l'invariance selon $y$. On cherche donc désormais des solutions sous la forme :

$$
\underline{\Psi}(x,y,t) = \underline{\Psi}(y)\, e^{i(k_x x-\omega t)}.
$$

Réécrire l'opérateur matriciel $\underline{\mathbf{M}}(y)$ dans ces conditions.

En découplant les équations, Matsuno a montré en 1966 que les valeurs propres de ce problème satisfont l'équation :

$$
\frac{\omega^2}{c^2} - k_x^2 - \frac{\beta k_x}{\omega} = (2n+1)\frac{\beta}{c} \qquad \text{avec} \quad n \in \mathbb{N},
$$

ainsi qu'une solution supplémentaire correspondant à l'onde de Kelvin : $\omega = k_x c$.

L'ensemble des solutions (pour $n \leq 4$) est représenté sur la figure suivante :

> Abscisse $k_x/\sqrt{\beta/c}$, graduée de $-4$ à $4$. Ordonnée $\omega/\sqrt{\beta c}$, graduée de $-3$ à $3$. Légende : Poincaré (pointillés), Rossby (trait fin), Yanai (trait épais), Kelvin (tireté-pointillé). La droite de Kelvin passe par l'origine avec une pente positive. La branche de Yanai traverse aussi de $\omega < 0$ (côté $k_x < 0$) vers $\omega > 0$ (côté $k_x > 0$). Les branches de Rossby restent à basse fréquence et sont de signe opposé à $k_x$. Les branches de Poincaré occupent les plus grandes valeurs de $|\omega|$, en haut et en bas du graphe.

**33.** En utilisant les acquis de la chaîne SSH (questions 19 à 21), compter le nombre de modes transitant dans chaque bande interdite des modes vues dans l'hypothèse de Kelvin où $f$ était constant et vérifier que ce nombre est compatible avec la différence des valeurs de l'invariant topologique $\mathscr{C}$. Quelles ondes correspondent aux modes topologiques recherchés ?

**34.** Les ondes de Rossby correspondent approximativement aux solutions du problème :

$$
\omega = \frac{-\beta k_x}{k_x^2 + \dfrac{\beta}{c}(2n+1)} \qquad \text{avec} \quad n \in \mathbb{N}^*.
$$

Évaluer la vitesse de phase de ces ondes et montrer qu'elle est toujours dirigée vers l'Ouest.

**35.** De même, évaluer la vitesse de groupe de ces ondes et montrer qu'elle change de signe pour une valeur caractéristique de $k_x$ définissant une longueur d'onde critique $\lambda_c$ que l'on évaluera. En déduire la direction de propagation d'un paquet d'onde de Rossby en fonction de sa longueur d'onde.

**36.** L'onde de Kelvin joue un rôle prépondérant dans le phénomène El Niño. Pourquoi est-elle responsable d'une accumulation d'eaux au large des côtes du Pérou ?

$$
\begin{gathered}
\ast \quad \ast \\
\ast
\end{gathered}
$$