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## Présentation du sujet
**Thème.** Le sujet étudie deux modèles jouets du ferromagnétisme : des « spins » $\sigma_i=\pm1$ indépendants et uniformes, pondérés par l'exponentielle d'une énergie. On veut calculer l'**énergie libre** (limite de $\frac1N\ln$ d'une espérance) et l'**aimantation** (dérivée de l'énergie libre par rapport au champ $h$), puis mettre en évidence une **transition de phase** : pour $\beta>\frac12$, l'énergie libre du modèle de champ moyen n'est plus dérivable en $h=0$.
**Découpage.**
- **Partie I (Q1–Q8)** : un petit cours d'analyse convexe. Inégalité des pentes (Q1), stabilité de la convexité par limite simple (Q2–Q3), **convergence des dérivées** de fonctions convexes (Q4, l'outil clé du sujet), caractérisation par la hessienne (Q5–Q6), convexité de $\phi(\lambda)=\ln E[e^{\lambda\cdot X}]$ (Q7–Q8).
- **Partie II (Q9–Q18)** : modèle d'Ising sur un anneau de $N$ spins. La fonction de partition devient une trace $2^{-N}\operatorname{tr}(A^N)$ (méthode de la matrice de transfert), l'énergie libre limite est $\ln\lambda(\beta,h)-\ln2$ où $\lambda$ est la plus grande valeur propre, et l'aimantation limite s'obtient par Q4. Q17–Q18 regardent la limite basse température $\beta\to+\infty$.
- **Partie III (Q19–Q32)** : modèle de Curie–Weiss (champ moyen). Calcul de grandes déviations par Stirling (Q20–Q21), étude de la fonction $\psi_{\beta,h}(x)=\beta x^2+hx-I(x)$ (Q23–Q25), dérivabilité de l'énergie libre $g$ (Q27–Q29), aimantation (Q30–Q31), exposant critique $\frac13$ (Q32).
**Notions mobilisées.** Convexité (définie par l'énoncé), dérivées partielles, hessienne, théorème de Schwarz, théorème des accroissements finis, réduction des matrices $2\times2$, trace, probabilités sur un univers fini (indépendance, formule de transfert, loi binomiale), formule de Stirling (rappelée), développements limités et séries entières usuelles, suites et limites de fonctions (convergence simple et uniforme).
**Difficulté et longueur.** 32 questions en 4 heures, sans calculatrice. Les calculs sont courts ; la difficulté est dans la **rigueur des passages à la limite** (Q4, Q16, Q26, Q28, Q30) et dans les **preuves d'unicité** (Q24, Q25). Le sujet signale qu'on peut admettre les résultats des questions précédentes : chaque partie s'aborde indépendamment.
**Erratum à connaître.** Avec la fonction $I$ de l'énoncé, la question 21 est fausse d'une constante : la vraie limite est $I(x)+\ln2$. La convergence admise après Q22 doit de même se lire $G_N\to g-\ln2$. Cela ne change rien aux questions 23 à 32, qui portent sur des dérivées, des points de maximum ou des différences de valeurs de $g$. Devant une telle situation, la bonne conduite est de démontrer ce qui est vrai, de le dire en une phrase et de continuer.
**Questions à ne pas laisser passer.** Q1, Q2, Q3, Q7, Q9, Q11, Q12, Q19, Q20, Q22, Q23, Q31 sont rapides. Q4 est un passage obligé : elle est réutilisée en Q16, Q18 et Q30.
**Gestion du temps.** Environ 1 h pour la partie I, 1 h 15 pour la partie II, 1 h 45 pour la partie III, qui est la plus longue et contient les questions les plus discriminantes (Q24, Q25, Q29, Q32).
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## Partie I — Convexité
On établit les propriétés des fonctions convexes qui serviront à **échanger limite et dérivation**, puis on montre que $\phi$ est convexe parce que sa hessienne est une matrice de covariance.
### Question 1
> [!INDICATION]
> Commencer par comparer les pentes des cordes issues de $x$ : écrire $x+s$ comme barycentre de $x$ et de $x+t$ pour $0<s\leqslant t$.
> [!INDICATION]
> Le taux d'accroissement à droite $s\mapsto\frac{g(x+s)-g(x)}{s}$ est monotone : dans quel sens ? Sa limite en $0^+$ est alors une borne pour toutes ses valeurs.
#### Solution
Soit $h>0$. Pour $0<s\leqslant t$, posons $\alpha=s/t\in\,]0,1]$ : $x+s=\alpha(x+t)+(1-\alpha)x$, donc par convexité $g(x+s)\leqslant\alpha g(x+t)+(1-\alpha)g(x)$, soit
$$\frac{g(x+s)-g(x)}{s}\leqslant\frac{g(x+t)-g(x)}{t}.$$
Le taux $\tau_+(s)=\frac{g(x+s)-g(x)}{s}$ est donc croissant sur $]0,+\infty[$. De même, $x-s=\alpha(x-t)+(1-\alpha)x$ donne $g(x-s)-g(x)\leqslant\frac st\big(g(x-t)-g(x)\big)$ : le taux $\tau_-(s)=\frac{g(x)-g(x-s)}{s}$ est **décroissant** en $s$.
$g$ étant dérivable en $x$, $\tau_\pm(s)\to g'(x)$ quand $s\to0^+$. Pour $0<s\leqslant h$, $\tau_+(s)\leqslant\tau_+(h)$ et $\tau_-(s)\geqslant\tau_-(h)$ ; quand $s\to0^+$ :
$$\boxed{\frac{g(x)-g(x-h)}{h}\leqslant g'(x)\leqslant\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}$$
> [!METHODE]
> Pour une fonction convexe, « la pente des cordes croît ». C'est la forme la plus utile de la convexité : elle donne aussitôt l'encadrement de la dérivée par les pentes à gauche et à droite.
### Question 2
> [!INDICATION]
> La convexité est une famille d'inégalités larges entre valeurs de la fonction en trois points. Que deviennent ces inégalités par passage à la limite simple ?
#### Solution
Soient $x,y\in\mathbb R$ et $\alpha\in[0,1]$. Pour tout $n$, $f_n(\alpha x+(1-\alpha)y)\leqslant\alpha f_n(x)+(1-\alpha)f_n(y)$. Les trois suites convergent par convergence simple, et le passage à la limite dans une inégalité large donne $f(\alpha x+(1-\alpha)y)\leqslant\alpha f(x)+(1-\alpha)f(y)$. **$f$ est convexe.**
### Question 3
> [!INDICATION]
> Chercher une suite de fonctions convexes régulières qui « arrondit » une fonction convexe présentant un point anguleux.
> [!INDICATION]
> La valeur absolue est la candidate naturelle ; on peut l'approcher par une racine carrée $\sqrt{x^2+\varepsilon_n}$.
#### Solution
Pour $n\in\mathbb N$, $f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac1{n+1}}$ est de classe $\mathcal C^2$ (radicande $\geqslant\frac1{n+1}>0$), avec
$$f_n'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+\frac1{n+1}}},\qquad f_n''(x)=\frac{\frac1{n+1}}{\big(x^2+\frac1{n+1}\big)^{3/2}}>0 .$$
$f_n'$ est croissante, donc $f_n$ est convexe (par le théorème des accroissements finis, voir Q6). Enfin $f_n(x)\to|x|$ pour tout $x$, et **$|\cdot|$ n'est pas dérivable en $0$**.
> [!PIEGE]
> Proposer une suite dont la limite n'est pas convexe contredirait Q2, et proposer des $f_n$ non dérivables ne respecte pas les hypothèses. Il faut vérifier les deux propriétés (convexes et dérivables) pour chaque $f_n$.
### Question 4
> [!INDICATION]
> Encadrer $f_n'(x)$ par Q1 avec un pas $h$, puis faire tendre $n$ vers l'infini à $h$ fixé.
> [!INDICATION]
> L'ordre des choix compte : on choisit d'abord $h$ grâce à la dérivabilité de $f$ en $x$, puis un rang $n_0$ grâce à la convergence simple en trois points.
#### Solution
Soit $\varepsilon>0$. $f$ étant dérivable en $x$, on fixe $h>0$ tel que
$$\frac{f(x)-f(x-h)}{h}\geqslant f'(x)-\varepsilon\quad\text{et}\quad\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\leqslant f'(x)+\varepsilon.$$
À $h$ fixé, la convergence simple en $x-h$, $x$, $x+h$ donne $n_0$ tel que, pour $n\geqslant n_0$,
$$\frac{f_n(x)-f_n(x-h)}{h}\geqslant\frac{f(x)-f(x-h)}{h}-\varepsilon,\qquad\frac{f_n(x+h)-f_n(x)}{h}\leqslant\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\varepsilon.$$
Q1 appliquée à $f_n$ encadre $f_n'(x)$ entre ces deux taux : pour $n\geqslant n_0$, $|f_n'(x)-f'(x)|\leqslant2\varepsilon$. Donc
$$\boxed{\lim_{n\to\infty}f_n'(x)=f'(x)}$$
> [!PIEGE]
> Écrire « $\lim_n f_n'(x)$ » avant d'avoir prouvé que cette limite existe, ou échanger $\lim_n$ et $\lim_{h\to0}$ sans justification. Les notions de limite inférieure/supérieure et de valeur d'adhérence sont hors programme : la rédaction en $\varepsilon$ est la plus sûre.
> [!METHODE]
> Ce résultat est le moteur du sujet : **la convexité permet de dériver une limite simple**. Il resservira en Q16, Q18 et Q30. Retenir les hypothèses : $f_n$ convexes et dérivables, convergence simple, $f$ dérivable au point considéré.
### Question 5
> [!INDICATION]
> Suivre l'indication : la fonction $t\mapsto g(x+tu)$ est convexe sur $\mathbb R$. Que dit Q1 de sa dérivée ?
> [!INDICATION]
> Calculer la dérivée seconde de $t\mapsto g(x+tu)$ par la règle de la chaîne et l'évaluer en $t=0$.
#### Solution
(L'énoncé écrit $x\in\mathbb R$ ; il faut lire $x\in\mathbb R^d$.) Par le théorème de Schwarz, $\nabla^2g(x)$ est symétrique. Soit $u\in\mathbb R^d$ et $\gamma(t)=g(x+tu)$, de classe $\mathcal C^2$, avec
$$\gamma'(t)=\sum_iu_i\,\partial_ig(x+tu),\qquad\gamma''(t)=\sum_{i,j}u_iu_j\,\partial_{ij}g(x+tu)={}^tu\,\nabla^2g(x+tu)\,u.$$
$\gamma$ est convexe car $x+(\alpha s+(1-\alpha)t)u=\alpha(x+su)+(1-\alpha)(x+tu)$. Pour $s<t$, Q1 en $s$ et en $t$ avec le pas $t-s$ donne $\gamma'(s)\leqslant\frac{\gamma(t)-\gamma(s)}{t-s}\leqslant\gamma'(t)$ : $\gamma'$ croît, donc $\gamma''\geqslant0$. En $t=0$, ${}^tu\,\nabla^2g(x)\,u\geqslant0$ pour tout $u$ : **la hessienne est symétrique positive.**
> [!METHODE]
> Restreindre une fonction de plusieurs variables à une droite $t\mapsto x+tu$ ramène les questions de convexité et de positivité de la hessienne à la dimension 1.
### Question 6
> [!INDICATION]
> Même restriction qu'en Q5, au segment $[x,y]$ : il faut montrer qu'une fonction d'une variable de dérivée croissante est convexe.
> [!INDICATION]
> Comparer, par le théorème des accroissements finis, les pentes des cordes sur $[0,\alpha]$ et sur $[\alpha,1]$.
#### Solution
Soient $x,y\in\mathbb R^d$, $\alpha\in[0,1]$, $\gamma(t)=g(x+t(y-x))$. Comme en Q5, $\gamma''(t)={}^t(y-x)\nabla^2g(x+t(y-x))(y-x)\geqslant0$, donc $\gamma'$ est croissante. Si $\alpha\in\{0,1\}$, l'inégalité voulue est une égalité. Sinon, le théorème des accroissements finis donne $c_1\in\,]0,\alpha[$ et $c_2\in\,]\alpha,1[$ avec
$$\frac{\gamma(\alpha)-\gamma(0)}{\alpha}=\gamma'(c_1)\leqslant\gamma'(c_2)=\frac{\gamma(1)-\gamma(\alpha)}{1-\alpha},$$
d'où $\gamma(\alpha)\leqslant\alpha\gamma(1)+(1-\alpha)\gamma(0)$, c'est-à-dire $g(\alpha y+(1-\alpha)x)\leqslant\alpha g(y)+(1-\alpha)g(x)$. **$g$ est convexe.**
> [!PIEGE]
> Le théorème des accroissements finis s'applique sur un intervalle non trivial : les cas $\alpha=0$ et $\alpha=1$ se traitent à part (ils sont immédiats, mais il faut les mentionner).
### Question 7
> [!INDICATION]
> $X$ ne prend qu'un nombre fini de valeurs : écrire $E[e^{\lambda\cdot X}]$ comme une somme finie par la formule de transfert.
> [!INDICATION]
> Dériver une somme finie d'exponentielles ne demande aucun théorème ; il reste à dériver $\ln\circ Z$ puis un quotient.
#### Solution
Soit $V$ l'ensemble fini des valeurs de $X$, $p_v=P[X=v]$. Par transfert, $Z(\lambda)=E[e^{\lambda\cdot X}]=\sum_{v\in V}p_ve^{\lambda\cdot v}$ : somme finie de fonctions $\mathcal C^\infty$, et $Z>0$. Donc $\phi=\ln\circ Z$ est $\mathcal C^\infty$, a fortiori $\mathcal C^2$. On a $\partial_iZ=E[X_ie^{\lambda\cdot X}]$, $\partial_{ij}Z=E[X_iX_je^{\lambda\cdot X}]$, $\partial_i\phi=\frac{\partial_iZ}{Z}$ et $\partial_j\big(\frac{\partial_iZ}Z\big)=\frac{\partial_{ij}Z}Z-\frac{\partial_iZ\,\partial_jZ}{Z^2}$, d'où
$$\boxed{\frac{\partial\phi}{\partial\lambda_i}=\frac{E[X_ie^{\lambda\cdot X}]}{E[e^{\lambda\cdot X}]},\qquad\frac{\partial^2\phi}{\partial\lambda_i\partial\lambda_j}=\frac{E[X_iX_je^{\lambda\cdot X}]}{E[e^{\lambda\cdot X}]}-\frac{E[X_ie^{\lambda\cdot X}]}{E[e^{\lambda\cdot X}]}\,\frac{E[X_je^{\lambda\cdot X}]}{E[e^{\lambda\cdot X}]}}$$
> [!JURY]
> Le rapport 2025 de cette épreuve rappelait, pour une espérance de variable aléatoire, qu'il faut d'abord observer que la variable ne prend qu'un nombre fini de valeurs pour que l'espérance soit bien définie. Ici, c'est la finitude de l'ensemble des valeurs de $X$ qui justifie à la fois l'existence et la dérivation terme à terme : il faut l'écrire.
### Question 8
> [!INDICATION]
> Reconnaître dans l'expression de Q7 une covariance, pour une loi de probabilité modifiée par le poids $e^{\lambda\cdot v}$.
> [!INDICATION]
> La forme quadratique ${}^tu\,\nabla^2\phi(\lambda)\,u$ s'écrit alors comme la variance d'une variable bien choisie.
#### Solution
À $\lambda$ fixé, $q_v=p_ve^{\lambda\cdot v}/Z(\lambda)$ définit une loi de probabilité sur $V$ ; notons $\langle f\rangle=\sum_vq_vf(v)$. Par Q7, $\partial_{ij}\phi(\lambda)=\langle v_iv_j\rangle-\langle v_i\rangle\langle v_j\rangle$, donc pour $u\in\mathbb R^d$,
$${}^tu\,\nabla^2\phi(\lambda)\,u=\langle(u\cdot v)^2\rangle-\langle u\cdot v\rangle^2=\big\langle(u\cdot v-\langle u\cdot v\rangle)^2\big\rangle\geqslant0 .$$
La hessienne de $\phi$ est symétrique positive en tout point et $\phi$ est $\mathcal C^2$ : par Q6, **$\phi$ est convexe.**
> [!METHODE]
> « Hessienne d'un logarithme d'espérance d'exponentielle = covariance » : c'est le fait structurel qui rendra convexes, sans calcul, toutes les énergies libres $F_N$ et $G_N$ du sujet.
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## Partie II — Ising unidimensionnel et matrice de transfert
On montre que $F_N$ est convexe, on la calcule à $\beta=0$, puis on exprime $Z_N$ comme une trace pour obtenir l'énergie libre limite et, grâce à Q4, l'aimantation limite.
### Question 9
> [!INDICATION]
> À $\beta=0$ l'exponentielle de l'énergie se factorise en un produit de fonctions des $\sigma_i$ : utiliser l'indépendance.
#### Solution
$H_N(0,h,a)=h\sum_ia_i$, donc par indépendance mutuelle,
$$Z_N(0,h)=E\Big[\prod_{i=1}^Ne^{h\sigma_i}\Big]=\prod_{i=1}^NE[e^{h\sigma_i}]=\operatorname{ch}(h)^N.$$
D'où $\boxed{Z_{N+1}(0,h)=\operatorname{ch}(h)Z_N(0,h)}$ et $\boxed{F_N(0,h)=\ln\operatorname{ch}(h)}$.
### Question 10
> [!INDICATION]
> Inutile de calculer une hessienne : écrire $H_N(\beta,h,X^{(N)})$ comme un produit scalaire $\lambda\cdot Y$ avec $\lambda=(\beta,h)$.
> [!INDICATION]
> Vérifier les hypothèses de la partie I pour la variable $Y$ : à valeurs dans un ensemble fini de $\mathbb R^2$.
#### Solution
Avec $Y^{(N)}=\big(\sum_{i=1}^{N-1}\sigma_i\sigma_{i+1}+\sigma_N\sigma_1,\ \sum_i\sigma_i\big)$, à valeurs dans un ensemble fini de $\mathbb R^2$, et $\lambda=(\beta,h)$ : $H_N(\beta,h,X^{(N)})=\lambda\cdot Y^{(N)}$, donc $\ln Z_N=\phi_{Y^{(N)}}$, convexe par Q8. **$F_N=\frac1N\ln Z_N$ est convexe sur $\mathbb R^2$.**
> [!JURY]
> Le rapport 2025 insiste sur le fait que l'utilisation d'une question précédente doit être mentionnée explicitement et précisément pour être valorisée. Ici, il faut citer Q8 et dire à quelle variable aléatoire on l'applique.
### Question 11
> [!INDICATION]
> Matrice $2\times2$ : trace, déterminant, polynôme caractéristique.
> [!INDICATION]
> Le signe du discriminant n'est pas évident sous sa forme brute : utiliser $\operatorname{ch}^2-\operatorname{sh}^2=1$ et $2\operatorname{sh}(2\beta)=e^{2\beta}-e^{-2\beta}$.
#### Solution
$\operatorname{tr}A=2e^\beta\operatorname{ch}h$, $\det A=e^{2\beta}-e^{-2\beta}=2\operatorname{sh}(2\beta)$. Le polynôme caractéristique $t^2-2e^\beta\operatorname{ch}(h)t+2\operatorname{sh}(2\beta)$ a pour discriminant
$$\Delta=4\big(e^{2\beta}\operatorname{ch}^2h-e^{2\beta}+e^{-2\beta}\big)=4\big(e^{2\beta}\operatorname{sh}^2h+e^{-2\beta}\big)>0,$$
d'où deux valeurs propres réelles distinctes, la plus grande étant
$$\boxed{\lambda(\beta,h)=e^\beta\operatorname{ch}(h)+\sqrt{e^{2\beta}\operatorname{ch}^2(h)-2\operatorname{sh}(2\beta)}=e^\beta\operatorname{ch}(h)+\sqrt{e^{2\beta}\operatorname{sh}^2(h)+e^{-2\beta}}}$$
> [!METHODE]
> Garder la seconde écriture : elle rend évidentes la stricte positivité du radicande (utile en Q15) et la factorisation par $e^\beta$ (utile en Q17).
### Question 12
> [!INDICATION]
> Un produit d'exponentielles est l'exponentielle d'une somme : compter d'où vient chaque terme $ha_i$.
#### Solution
$$\Big(\prod_{i=1}^{N-1}B_{a_i,a_{i+1}}\Big)B_{a_N,a_1}=\exp\Big(\sum_{i=1}^{N-1}(\beta a_ia_{i+1}+ha_i)+\beta a_Na_1+ha_N\Big)=\exp\big(H_N(\beta,h,a)\big),$$
chaque facteur $B_{a_i,\cdot}$ apportant le terme $ha_i$ de son premier indice, pour $i=1,\dots,N$.
### Question 13
> [!INDICATION]
> Écrire $Z_N$ comme une moyenne sur les $2^N$ configurations, puis reconnaître un coefficient diagonal d'une puissance de matrice.
> [!INDICATION]
> Attention à l'ordre des lignes et colonnes : la matrice $(B_{s,t})$ n'est pas exactement $A$. La trace d'une transposée y remédie.
#### Solution
$X^{(N)}$ est uniforme sur $\{-1,1\}^N$, donc par Q12, $Z_N=2^{-N}\sum_a\big(\prod_{i<N}B_{a_i,a_{i+1}}\big)B_{a_N,a_1}$. Dans l'ordre $(-1,+1)$, la matrice $B=(B_{s,t})$ vaut $\begin{pmatrix}e^{\beta-h}&e^{-\beta-h}\\e^{-\beta+h}&e^{\beta+h}\end{pmatrix}={}^tA$. Par définition du produit matriciel, $(B^N)_{a_1,a_1}=\sum_{a_2,\dots,a_N}B_{a_1,a_2}\cdots B_{a_N,a_1}$ ; en sommant sur $a_1$, on obtient $\operatorname{tr}(B^N)=\operatorname{tr}({}^t(A^N))=\operatorname{tr}(A^N)$ :
$$\boxed{Z_N(\beta,h)=2^{-N}\operatorname{tr}(A^N)}$$
> [!PIEGE]
> Identifier $A$ à la matrice de transfert sans vérifier les coefficients : ici $A$ en est la transposée. Il faut le dire, la trace ne voyant pas la différence.
### Question 14
> [!INDICATION]
> Exprimer $\operatorname{tr}(A^N)$ avec les valeurs propres, puis comparer leurs modules.
> [!INDICATION]
> Pour $\beta\geqslant0$, le signe de $\det A$ renseigne sur celui de la seconde valeur propre.
#### Solution
$A$ est diagonalisable (valeurs propres distinctes), donc $\operatorname{tr}(A^N)=\lambda^N+\mu^N$. Pour $\beta\geqslant0$, $\lambda\mu=2\operatorname{sh}(2\beta)\geqslant0$ et $\lambda>0$, donc $0\leqslant\mu<\lambda$ et
$$F_N(\beta,h)=\ln\lambda-\ln2+\frac1N\ln\big(1+(\mu/\lambda)^N\big),\qquad0\leqslant\frac1N\ln\big(1+(\mu/\lambda)^N\big)\leqslant\frac{\ln2}N.$$
$$\boxed{\lim_{N\to+\infty}F_N(\beta,h)=\ln\lambda(\beta,h)-\ln2}$$
Contrôle : pour $\beta=0$, $\lambda(0,h)=2\operatorname{ch}h$ et l'on retrouve Q9.
### Question 15
> [!INDICATION]
> Composition de fonctions $\mathcal C^\infty$ : le seul point à vérifier est que la racine carrée est prise sur une quantité strictement positive.
#### Solution
$\lambda=e^\beta\operatorname{ch}h+\sqrt{R}$ avec $R=e^{2\beta}\operatorname{sh}^2h+e^{-2\beta}$, $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbb R^2$ et $\geqslant e^{-2\beta}>0$. $\sqrt{\cdot}$ étant $\mathcal C^\infty$ sur $]0,+\infty[$, **$\lambda$ est $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbb R^2$**, a fortiori sur $[0,+\infty[\times\mathbb R$.
> [!JURY]
> Pour une question de régularité, le rapport 2025 soulignait (à propos d'une fraction rationnelle) qu'il était indispensable de dire où se trouvent les points à problème pour justifier le caractère $\mathcal C^\infty$. Ici, l'argument décisif est la stricte positivité du radicande : sans elle, la justification n'est pas recevable.
### Question 16
> [!INDICATION]
> Montrer d'abord que $m_N(\beta,h)$ est la dérivée en $h$ de $F_N(\beta,h)$.
> [!INDICATION]
> Appliquer ensuite Q4 à la suite $h\mapsto F_N(\beta,h)$ : vérifier une par une ses hypothèses à l'aide de Q10, Q14 et Q15.
#### Solution
$Z_N$ est une somme finie dérivable en $h$, avec $\partial_hH_N(\beta,h,a)=\sum_ia_i$, d'où
$$\frac{\partial F_N}{\partial h}=\frac1N\frac{\partial_hZ_N}{Z_N}=\frac1{Z_N}E\Big[\Big(\frac1N\sum_i\sigma_i\Big)e^{H_N(\beta,h,X^{(N)})}\Big]=m_N(\beta,h).$$
$f_N=F_N(\beta,\cdot)$ est convexe (restriction de $F_N$, convexe par Q10) et dérivable ; $f_N\to f=\ln\lambda(\beta,\cdot)-\ln2$ simplement (Q14), et $f$ est dérivable (Q15, $\lambda>0$). Par Q4 :
$$\boxed{\lim_{N\to+\infty}m_N(\beta,h)=\frac{\partial}{\partial h}\ln\lambda(\beta,h)}$$
> [!PIEGE]
> Dériver « sous la limite » sans justification : l'échange $\lim_N$ / $\partial_h$ est exactement ce que fournit Q4, et c'est ce que la question évalue.
### Question 17
> [!INDICATION]
> Factoriser $e^\beta$ dans $\lambda(\beta,h)$ : le $-\beta$ de $g_\beta$ sert à cela.
> [!INDICATION]
> Il reste un terme qui tend vers $0$ sous la racine ; conclure avec $\operatorname{ch}|h|+\operatorname{sh}|h|=e^{|h|}$.
#### Solution
$e^{-\beta}\lambda(\beta,h)=\operatorname{ch}h+\sqrt{\operatorname{sh}^2h+e^{-4\beta}}$, donc $g_\beta(h)=\ln\big(\operatorname{ch}h+\sqrt{\operatorname{sh}^2h+e^{-4\beta}}\big)$. Quand $\beta\to+\infty$, par continuité, $g_\beta(h)\to\ln(\operatorname{ch}h+|\operatorname{sh}h|)=\ln e^{|h|}=|h|$. **$(g_\beta)$ converge simplement vers $|\cdot|$.**
### Question 18
> [!INDICATION]
> On peut calculer explicitement $g_\beta'$ : le résultat se simplifie beaucoup.
> [!INDICATION]
> Pour l'uniformité, comparer la régularité des $g_\beta'$ et celle de leur limite.
#### Solution
Avec $r=\sqrt{\operatorname{sh}^2h+e^{-4\beta}}$ :
$$g_\beta'(h)=\frac{\operatorname{sh}h+\frac{\operatorname{sh}h\operatorname{ch}h}{r}}{\operatorname{ch}h+r}=\frac{\operatorname{sh}h}{\sqrt{\operatorname{sh}^2h+e^{-4\beta}}}.$$
Donc $g_\beta'(h)\to1$ si $h>0$, $\to-1$ si $h<0$, et $g_\beta'(0)=0$ :
$$\boxed{\ell(h)=\begin{cases}-1&h<0\\0&h=0\\1&h>0\end{cases}}$$
**La convergence n'est pas uniforme** : les $g_\beta'$ sont continues, et une limite uniforme de fonctions continues est continue, alors que $\ell$ est discontinue en $0$. (Explicitement, $g_\beta'(e^{-2\beta})\to\frac1{\sqrt2}\neq1$.)
> [!METHODE]
> Autre voie pour $h\neq0$ : les $g_\beta$ sont convexes (limites simples de $F_N(\beta,\cdot)+\ln2-\beta$, par Q2) et $|\cdot|$ est dérivable en $h\neq0$, donc Q4 s'applique. En $h=0$, la parité de $g_\beta$ donne $g_\beta'(0)=0$.
> [!PIEGE]
> Conclure à l'uniformité parce que les $g_\beta$ convergent vers une fonction « simple », ou oublier la valeur $\ell(0)=0$ en écrivant que la limite est la fonction signe sans préciser sa valeur en $0$.
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## Partie III — Champ moyen et transition de phase
On estime la loi de $S_N$ à l'échelle exponentielle par Stirling, on étudie les maxima de $\psi_{\beta,h}=\beta x^2+hx-I(x)$, et l'on en déduit la dérivabilité de l'énergie libre $g$ et l'aimantation.
### Question 19
> [!INDICATION]
> Un seul terme pose problème au bord : de la forme $u\ln u$ avec $u\to0^+$.
#### Solution
Avec $p=\frac{1+x}2$, $q=\frac{1-x}2$, $I=p\ln p+q\ln q$. En $1^-$ : $p\ln p\to0$ et $q\ln q\to0$ (croissances comparées). $I$ est paire, d'où le même résultat en $-1^+$. **$I$ se prolonge par continuité avec $I(\pm1)=0$.**
### Question 20
> [!INDICATION]
> L'événement $\{S_N=x\}$ fixe le nombre de spins égaux à $+1$ : quelle est la loi de ce nombre ?
#### Solution
Le nombre $K$ de $\sigma_i$ égaux à $1$ suit $\mathcal B(N,\frac12)$ et $S_N=\frac{2K-N}N$. Donc
$$\boxed{P[S_N=x]=\binom{N}{\frac{N(1+x)}2}2^{-N}\ \text{si }x\in\mathscr M_N,\qquad P[S_N=x]=0\ \text{sinon.}}$$
### Question 21
> [!INDICATION]
> Appliquer la formule de Stirling aux trois factorielles du coefficient binomial ; seuls les termes de la forme $n\ln n$ survivent après division par $N$.
> [!INDICATION]
> Faire un test en $x=0$ avant de conclure : $P[S_N=0]$ décroît-elle exponentiellement ?
#### Solution
Posons $m_N=\frac{N(1+u_N)}2$, $p_N=\frac{1+u_N}2\to p=\frac{1+x}2\in\,]0,1[$, $q_N=1-p_N\to q$. Comme $m_N\to+\infty$ et $N-m_N\to+\infty$, Stirling donne
$$\ln\binom N{m_N}=N\ln N-m_N\ln m_N-(N-m_N)\ln(N-m_N)+O(\ln N),$$
et avec $\ln m_N=\ln N+\ln p_N$, $\ln(N-m_N)=\ln N+\ln q_N$ :
$$\frac1N\ln\binom N{m_N}=-p_N\ln p_N-q_N\ln q_N+O\Big(\frac{\ln N}N\Big)\longrightarrow-I(x).$$
Comme $P[S_N=u_N]=\binom N{m_N}2^{-N}$ :
$$\boxed{\lim_{N\to+\infty}-\frac1N\ln P[S_N=u_N]=I(x)+\ln2}$$
**L'énoncé comporte une erreur de constante** : il annonce $I(x)$. En $x=0$, $P[S_N=u_N]$ est de l'ordre de $1/\sqrt N$, la limite est donc $0=I(0)+\ln2$, alors que $I(0)=-\ln2$. Le résultat annoncé serait exact avec $\frac{1+x}2\ln(1+x)+\frac{1-x}2\ln(1-x)=I(x)+\ln2$. De même, la convergence admise après Q22 doit se lire $G_N(\beta,h)\to g(\beta,h)-\ln2$ (puisque $G_N(0,0)=0$).
> [!PIEGE]
> « Démontrer » le résultat de l'énoncé en perdant le terme $-N\ln2$ venant de $2^{-N}$. Quand un calcul honnête contredit l'énoncé, il faut vérifier sur un cas simple, écrire ce que l'on obtient et le signaler en une phrase, puis continuer.
> [!METHODE]
> Le passage de $\ln$ d'un équivalent à un équivalent de $\ln$ est licite ici parce qu'on étudie $\ln a_N-\ln b_N=\ln(a_N/b_N)\to0$ quand $a_N\sim b_N$ : écrire cette justification plutôt que « prendre le log d'un équivalent ».
### Question 22
> [!INDICATION]
> Écrire $Y_N$ comme une somme finie sur les valeurs de $S_N$, et minorer cette somme de termes positifs par l'un d'eux.
#### Solution
Pour $x\in\mathscr M_N$ :
$$Y_N(\beta,h)=\sum_{y\in\mathscr M_N}P[S_N=y]\,e^{N(\beta y^2+hy)}\geqslant P[S_N=x]\,e^{N(\beta x^2+hx)}.$$
Comme $P[S_N=x]>0$ (Q20), on prend le logarithme et on divise par $N$ :
$$\boxed{G_N(\beta,h)\geqslant\beta x^2+hx+\frac1N\ln P[S_N=x]}$$
> [!METHODE]
> C'est la moitié « facile » de la formule admise : pour $x\in\,]-1,1[$ et une suite $u_N\in\mathscr M_N$ tendant vers $x$, Q21 et la continuité de $\beta y^2+hy$ donnent $\liminf G_N\geqslant\beta x^2+hx-I(x)-\ln2$. On minore une somme d'exponentielles par son plus grand terme ; la majoration (non demandée) vient de ce que la somme compte au plus $N+1$ termes.
### Question 23
> [!INDICATION]
> Calculer $I'$ puis $I''$ : on obtient une expression très simple.
> [!INDICATION]
> L'inéquation porte sur $2\beta$ comparé à $\frac1{1-x^2}$, qui vaut au moins $1$ sur $]-1,1[$.
#### Solution
$I'(x)=\frac12\ln\frac{1+x}{1-x}$ et $I''(x)=\frac1{1-x^2}$, donc $\psi''_{\beta,h}(x)=2\beta-\frac1{1-x^2}$.
- $\beta\in[0,\frac12]$ : $\frac1{1-x^2}\geqslant1\geqslant2\beta$, donc **$\psi''_{\beta,h}\leqslant0$ sur tout $]-1,1[$** (égalité seulement pour $\beta=\frac12$ et $x=0$).
- $\beta>\frac12$ : $\psi''_{\beta,h}(x)\leqslant0\iff1-x^2\leqslant\frac1{2\beta}\iff$ $$\boxed{|x|\geqslant\sqrt{1-\frac1{2\beta}}}$$
> [!METHODE]
> Le seuil $\beta=\frac12$ apparaît ici : pour $\beta>\frac12$, $\psi$ est convexe près de $0$, ce qui annonce que $0$ cessera d'être le maximum (Q25).
### Question 24
> [!INDICATION]
> Existence : continuité sur un segment (Q19). Localisation : comparer $\psi(x)$ et $\psi(-x)$, puis examiner le signe de $\psi'$ en $0$ et au voisinage de $1$.
> [!INDICATION]
> Unicité : un point de maximum intérieur annule $\psi'$. Étudier la concavité de $\psi'$ sur $[0,1[$ à l'aide de $\psi'''$.
> [!INDICATION]
> Une fonction strictement concave, strictement positive en $0$, ne peut pas s'annuler deux fois sur $]0,1[$ : écrire le premier zéro comme barycentre de $0$ et du second.
#### Solution
$\psi=\psi_{\beta,h}$ ($h>0$) est continue sur $[-1,1]$, donc atteint son maximum. Comme $\psi(x)-\psi(-x)=2hx>0$ pour $x>0$, aucun point de $[-1,0[$ n'est point de maximum. Sur $]-1,1[$, $\psi'(x)=2\beta x+h-\frac12\ln\frac{1+x}{1-x}$ : $\psi'(0)=h>0$ exclut $0$, et $\psi'\to-\infty$ en $1^-$ rend $\psi$ strictement décroissante sur un $[a,1]$, ce qui exclut $1$. Tout point de maximum est donc dans $]0,1[$ et annule $\psi'$.
$\psi'''(x)=-\frac{2x}{(1-x^2)^2}<0$ sur $]0,1[$, donc $\psi'$ est strictement concave sur $[0,1[$. Si $\psi'(z_1)=\psi'(z_2)=0$ avec $0<z_1<z_2<1$, en écrivant $z_1=t\cdot0+(1-t)z_2$ ($t\in\,]0,1[$), $0=\psi'(z_1)>t\psi'(0)+(1-t)\psi'(z_2)=th>0$ : absurde. Le zéro de $\psi'$ dans $]0,1[$ est donc unique : **$\psi_{\beta,h}$ atteint son maximum en un unique point $x_*(\beta,h)\in\,]0,1[$.**
Pour $h<0$, $\psi_{\beta,h}(x)=\psi_{\beta,-h}(-x)$ : le maximum est atteint en l'unique point $-x_*(\beta,-h)\in\,]-1,0[$.
> [!JURY]
> Le rapport 2025, à propos d'un argument de valeurs intermédiaires, rappelait que le raisonnement doit se faire intervalle par intervalle et préciser clairement la monotonie ainsi que les limites aux bords, faute de quoi l'argument n'est pas valide. Ici de même : signe de $\psi'$ en $0$, limite en $1^-$ et argument d'unicité doivent tous figurer.
> [!PIEGE]
> Montrer seulement l'existence d'un point critique. La question demande l'**unicité** du point de maximum ; l'existence d'un zéro de $\psi'$ ne suffit pas.
### Question 25
> [!INDICATION]
> $\psi_{\beta,0}$ est paire et $0$ est un point critique. Pour $\beta\leqslant\frac12$, utiliser Q23.
> [!INDICATION]
> Pour $\beta>\frac12$ : que dit le signe de $\psi''_{\beta,0}(0)$ ? Reprendre ensuite l'argument de concavité stricte de $\psi'$ sur $[0,1[$ (Q24), en tenant compte du zéro déjà connu en $0$.
#### Solution
*$\beta\in[0,\frac12]$.* $\psi''_{\beta,0}<0$ sur $]-1,1[$ sauf peut-être en $0$, donc $\psi'_{\beta,0}$ est strictement décroissante et nulle en $0$ : $\psi_{\beta,0}$ croît strictement sur $[-1,0]$ et décroît strictement sur $[0,1]$. **Maximum en $0$ seulement.**
*$\beta>\frac12$.* Sur $[0,1[$, $\psi'_{\beta,0}$ est strictement concave, nulle en $0$, de dérivée $2\beta-1>0$ en $0$, et tend vers $-\infty$ en $1^-$. Elle est $>0$ en un $\varepsilon>0$, donc s'annule en un $c\in\,]\varepsilon,1[$ (valeurs intermédiaires). Une fonction strictement concave s'annule au plus deux fois, et $0$ est déjà un zéro : $c$ est l'unique zéro dans $]0,1[$, avec $\psi'_{\beta,0}>0$ sur $]0,c[$ et $<0$ sur $]c,1[$. Sur $[0,1]$, le maximum est atteint en $c$ seul ; par parité, **sur $[-1,1]$ il est atteint exactement en $x_*(\beta,0):=c\in\,]0,1[$ et en $-x_*(\beta,0)$.**
> [!METHODE]
> Interprétation : pour $\beta>\frac12$ (basse température), le profil $\psi_{\beta,0}$ a deux bosses symétriques, et le système choisit une aimantation $\pm x_*(\beta,0)\neq0$ en l'absence de champ.
### Question 26
> [!INDICATION]
> Écrire l'inégalité qui caractérise $x_*(\beta,v_n)$ comme point de maximum, pour tout $y\in[-1,1]$, puis passer à la limite.
> [!INDICATION]
> Conclure par l'unicité de Q24.
#### Solution
Pour $n$ assez grand, $v_n>0$ ; posons $x_n=x_*(\beta,v_n)\to\ell\in[0,1]$. Pour tout $y\in[-1,1]$, $\beta x_n^2+v_nx_n-I(x_n)\geqslant\beta y^2+v_ny-I(y)$. $I$ étant continue sur $[-1,1]$ (Q19), la limite donne $\psi_{\beta,h}(\ell)\geqslant\psi_{\beta,h}(y)$ : $\ell$ est un point de maximum, donc par Q24,
$$\boxed{\lim_{n\to\infty}x_*(\beta,v_n)=x_*(\beta,h)}$$
> [!PIEGE]
> Oublier de dire que la limite $\ell$ reste dans $[-1,1]$ (fermé) et que $I$ est continue jusqu'au bord : c'est Q19 qui sert ici.
### Question 27
> [!INDICATION]
> $g(\beta,h')$ est un supremum : il majore $\psi_{\beta,h'}$ en tout point, en particulier en un point bien choisi.
> [!INDICATION]
> Évaluer en $x_*(\beta,h)$ et faire apparaître $\psi_{\beta,h}(x_*(\beta,h))$ ; puis échanger les rôles de $h$ et $h'$.
#### Solution
Pour $h\geqslant0$, $x_*(\beta,h)$ est un point de maximum de $\psi_{\beta,h}$ (Q24 si $h>0$, Q25 si $h=0$), donc $g(\beta,h)=\psi_{\beta,h}(x_*(\beta,h))$. Avec $x_*=x_*(\beta,h)$ :
$$g(\beta,h')\geqslant\beta x_*^2+h'x_*-I(x_*)=g(\beta,h)+(h'-h)x_*.$$
En échangeant $h$ et $h'$, $g(\beta,h)\geqslant g(\beta,h')+(h-h')x_*(\beta,h')$. D'où
$$\boxed{(h'-h)\,x_*(\beta,h)\leqslant g(\beta,h')-g(\beta,h)\leqslant(h'-h)\,x_*(\beta,h')}$$
> [!METHODE]
> Un supremum de fonctions affines de $h$ est convexe, et chaque fonction affine qui le réalise en un point est une droite d'appui : on obtient des inégalités de pente sans dériver quoi que ce soit.
### Question 28
> [!INDICATION]
> Diviser l'encadrement de Q27 par $h'-h$ en distinguant le signe de $h'-h$.
> [!INDICATION]
> Utiliser la continuité admise de $h\mapsto x_*(\beta,h)$ et le théorème d'encadrement.
#### Solution
Pour $h>0$, $h'\geqslant0$, $h'\neq h$, le taux $\frac{g(\beta,h')-g(\beta,h)}{h'-h}$ est compris entre $x_*(\beta,h)$ et $x_*(\beta,h')$ (Q27, inégalités renversées si $h'<h$). Par continuité admise, $x_*(\beta,h')\to x_*(\beta,h)$ quand $h'\to h$ ; par encadrement,
$$\boxed{\frac{\partial g}{\partial h}(\beta,h)=x_*(\beta,h)}$$
### Question 29
> [!INDICATION]
> Montrer que $g(\beta,\cdot)$ est paire ; seul le point $h=0$ reste à étudier.
> [!INDICATION]
> Calculer la dérivée à droite en $0$ par Q27 avec $h=0$ ; en déduire la dérivée à gauche par parité, puis utiliser Q25.
#### Solution
$\psi_{\beta,-h}(x)=\psi_{\beta,h}(-x)$, donc $g(\beta,\cdot)$ est paire ; elle est dérivable sur $]0,+\infty[$ (Q28) et sur $]-\infty,0[$ par parité. En $0$, Q27 avec $h=0$, $h'>0$ donne $x_*(\beta,0)\leqslant\frac{g(\beta,h')-g(\beta,0)}{h'}\leqslant x_*(\beta,h')$, d'où une dérivée à droite $x_*(\beta,0)$ (continuité admise) et, par parité, une dérivée à gauche $-x_*(\beta,0)$. Dérivabilité en $0$ $\iff x_*(\beta,0)=0\iff\beta\leqslant\frac12$ (Q25) :
$$\boxed{h\mapsto g(\beta,h)\text{ est dérivable sur }\mathbb R\iff\beta\in\big[0,\tfrac12\big]}$$
> [!METHODE]
> C'est la transition de phase : pour $\beta>\frac12$, l'aimantation $\partial_hg$ saute de $-x_*(\beta,0)$ à $x_*(\beta,0)$ en $h=0$. On retrouve le « coin » de $|h|$ vu en Q17–Q18.
### Question 30
> [!INDICATION]
> Simplifier la double somme $\sum_{i,j}\sigma_i\sigma_j$ et reconnaître dans la quantité une dérivée de $G_N$.
> [!INDICATION]
> Vérifier les hypothèses de Q4 pour la suite $G_N(\beta,\cdot)$ : convexité (partie I), dérivabilité, limite simple (admise), dérivabilité de la limite en $h>0$ (Q28).
#### Solution
$\frac\beta N\sum_{i,j}\sigma_i\sigma_j=\beta NS_N^2$ et $h\sum_i\sigma_i=hNS_N$, donc la quantité vaut
$$\frac{E\big[S_Ne^{\beta NS_N^2+hNS_N}\big]}{Y_N(\beta,h)}=\frac1N\frac{\partial_hY_N}{Y_N}=\frac{\partial G_N}{\partial h}(\beta,h).$$
Avec $W^{(N)}=(NS_N^2,NS_N)$ à valeurs dans un ensemble fini, $\ln Y_N=\phi_{W^{(N)}}$ est convexe (Q8) : $f_N=G_N(\beta,\cdot)+\ln2$ est convexe et dérivable. Elle converge simplement vers $g(\beta,\cdot)$ (convergence admise, sous sa forme rectifiée, cf. Q21), dérivable en $h>0$ de dérivée $x_*(\beta,h)$ (Q28). Par Q4 :
$$\boxed{\lim_{N\to+\infty}\frac1{Y_N(\beta,h)}E\Big[\Big(\frac1N\sum_i\sigma_i\Big)\exp\Big(\frac\beta N\sum_{i,j}\sigma_i\sigma_j+h\sum_i\sigma_i\Big)\Big]=x_*(\beta,h)}$$
> [!PIEGE]
> Croire que l'erreur de constante de Q21 change la réponse : une constante additive ne modifie pas la dérivée, et Q4 s'applique aussi bien à $G_N$ qu'à $G_N+\ln2$.
### Question 31
> [!INDICATION]
> Le maximum est intérieur (Q24) : écrire la condition du premier ordre.
> [!INDICATION]
> Résoudre $\operatorname{th}t=x$ en $t$ pour $x\in\,]-1,1[$.
#### Solution
$x_*\in\,]0,1[$ annule $\psi'_{\beta,h}$ : $\frac12\ln\frac{1+x_*}{1-x_*}=h+2\beta x_*$. Or $\operatorname{th}t=x\iff e^{2t}=\frac{1+x}{1-x}\iff t=\frac12\ln\frac{1+x}{1-x}$. Donc
$$\boxed{x_*(\beta,h)=\operatorname{th}\big(h+2\beta x_*(\beta,h)\big)}$$
> [!METHODE]
> C'est l'équation de champ moyen de Curie–Weiss : l'aimantation est celle d'un spin isolé soumis au champ effectif $h+2\beta x_*$. Graphiquement, $x_*$ est l'intersection **positive** des deux courbes de la figure 6 ; l'équation seule ne suffit pas, il faut la localisation de Q24.
### Question 32
> [!INDICATION]
> À $\beta=\frac12$, l'équation de Q31 équivaut à $\Phi(x_*)=h$ pour une fonction $\Phi$ explicite : étudier $\Phi$ au voisinage de $0$.
> [!INDICATION]
> Il faut d'abord établir que $x_*(\frac12,h)\to0$ quand $h\to0^+$ (par la monotonie de $\Phi$ ou par la continuité admise).
> [!INDICATION]
> Le terme linéaire du développement de $\frac12\ln\frac{1+x}{1-x}$ se simplifie : c'est le terme d'ordre $3$ qui donne l'équivalent.
#### Solution
Soit $x_h=x_*(\frac12,h)$, $h>0$. Par Q24 et Q31, $x_h\in\,]0,1[$ et $\Phi(x_h)=h$ avec $\Phi(x)=\frac12\ln\frac{1+x}{1-x}-x$.
*$x_h\to0$.* $\Phi'(x)=\frac{x^2}{1-x^2}>0$ sur $]0,1[$ : $\Phi$ est une bijection continue strictement croissante de $[0,1[$ sur $[0,+\infty[$, de réciproque continue, donc $x_h=\Phi^{-1}(h)\to0$.
*Équivalent.* Par différence des séries entières de $\ln(1+x)$ et $\ln(1-x)$, $\frac12\ln\frac{1+x}{1-x}=x+\frac{x^3}3+O(x^5)$, donc $\Phi(x)\sim\frac{x^3}3$ en $0$. Avec $x_h\to0$ : $h\sim\frac{x_h^3}3$, d'où $\frac{x_h^3}{3h}\to1$ et, par continuité de $t\mapsto t^{1/3}$,
$$\boxed{\lim_{\substack{h\to0\\h>0}}\frac{x_*(\frac12,h)}{(3h)^{1/3}}=1}$$
> [!PIEGE]
> Composer un équivalent par une fonction sans justification. Ici on passe de $\frac{x_h^3}{3h}\to1$ à $\frac{x_h}{(3h)^{1/3}}\to1$ par continuité de la racine cubique en $1$, ce qui est licite ; il faut aussi avoir établi $x_h\to0$ **avant** d'utiliser le développement en $0$.
> [!METHODE]
> Au point critique $\beta=\frac12$, le terme linéaire de l'équation se compense exactement et l'aimantation varie comme $h^{1/3}$ (exposant critique $\frac13$), au lieu de $\frac{h}{1-2\beta}$ pour $\beta<\frac12$.
---
## Bilan
**Méthodes à retenir.**
- **Croissance des pentes** d'une fonction convexe (Q1) et sa conséquence majeure : **la dérivée d'une limite simple de fonctions convexes est la limite des dérivées** là où la limite est dérivable (Q4). Rédiger en $\varepsilon$, en choisissant $h$ avant $n$.
- **Restriction à une droite** pour passer de la dimension $d$ à la dimension 1 (Q5–Q6).
- **$\ln E[e^{\lambda\cdot X}]$ est convexe** car sa hessienne est une covariance (Q8) ; toute fonction qui s'écrit ainsi hérite gratuitement de la convexité (Q10, Q30).
- **Matrice de transfert** : une somme sur des configurations cycliques de produits de coefficients est la trace d'une puissance de matrice (Q13), dominée par la plus grande valeur propre (Q14).
- **Stirling** pour l'ordre exponentiel d'un coefficient binomial : $\frac1N\ln\binom N{pN}\to-p\ln p-(1-p)\ln(1-p)$ (Q21).
- **Unicité d'un maximum** par stricte concavité de la dérivée (Q24–Q25) : une fonction strictement concave a au plus deux zéros.
- **Supremum de fonctions affines** : encadrement des accroissements par les points de maximum, puis dérivabilité par continuité de ces points (Q27–Q29).
**Prérequis à revoir.** Théorème des accroissements finis, théorème de Schwarz, matrices $2\times2$ (trace, déterminant, diagonalisabilité), loi binomiale, formule de transfert, croissances comparées, convergence simple et uniforme (une limite uniforme de fonctions continues est continue), séries entières usuelles.
**Questions transposables.** Q1–Q4 (convexité et dérivées) et Q5–Q6 (hessienne) sont des classiques de tout problème d'analyse convexe. Q13–Q14 (trace d'une puissance et valeur propre dominante) se retrouvent dans les chaînes de Markov et le dénombrement de mots. Q21 (Stirling pour un binomial) est un passage obligé des problèmes de probabilités asymptotiques. Q18 (non-uniformité par discontinuité de la limite) est un réflexe standard.
**Leçon de l'erratum.** Un test sur un cas simple ($x=0$ en Q21, $\beta=0$ en Q14) détecte immédiatement une erreur de constante, dans sa propre copie comme dans un énoncé.
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