Physique
X-ENSMP2025
# Cours didactique — Physique X‑ENS 2025, filière MP
**Concours** : École polytechnique / ENS (XULSR) — **Épreuve** : Physique (n°5) — **Filière** : MP — **Année** : 2025.
**Sujet** : *La lévitation électrique* — piégeage dynamique (piège de Paul) d'une nano‑particule de diamant chargée, ses limites (thermique, gaz, laser), son extension à la rotation, et son analogie mécanique (col tournant).
**Grands chapitres du programme mobilisés :**
- **Électrostatique** : potentiel, équation de Laplace/Poisson dans le vide, champ $\vec E=-\nabla V$, énergie potentielle d'une charge, théorème d'Earnshaw (via extremum). (Q1, Q2, Q9–11)
- **Mécanique du point** : PFD, oscillateur harmonique, séparation d'échelles de temps / moyennisation, potentiel effectif, équilibre et stabilité. (Q3–8, Q13–14, Q34)
- **Mécanique du solide** : moment d'inertie, moment cinétique, moment d'une force, oscillateur de torsion, facteur de qualité. (Q23–31)
- **Référentiels non galiléens** : forces d'inertie d'entraînement (centrifuge) et de Coriolis. (Q32–34)
- **Thermodynamique / physique statistique** : théorème d'équipartition, gaz parfait, vitesse quadratique moyenne, libre parcours moyen, nombre de Knudsen. (Q12, Q15–16)
- **Thermique** : bilan d'énergie, loi de Newton du refroidissement, équa. diff. du 1er ordre, réponse forcée / filtre passe‑bas. (Q17–22)
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## Partie 1 — Le piège électrique
### Question 1 — Coefficients $\alpha,\beta$
**Rappel de cours.**
Dans une région **vide de charges**, le potentiel électrostatique obéit à l'équation de **Laplace** $\Delta V=0$ (cas particulier de Poisson $\Delta V=-\rho/\varepsilon_0$ avec $\rho=0$).
Une **invariance** géométrique du problème se transmet au potentiel : révolution autour de $Oz$ ⇒ $V$ ne dépend de $(x,y)$ que par $x^2+y^2$.
**Analyse.** On cherche deux nombres $\alpha,\beta$ : il faut deux équations. Le champ étant produit dans le vide au voisinage de $O$, Laplace fournit la première ; la symétrie de révolution, la seconde.
**Solution détaillée.**
Le laplacien d'un polynôme quadratique est constant : $$\Delta V_{\text{el}}=\frac{\eta V}{l_0^2}\big(2+2\alpha+2\beta\big)=0\ \Rightarrow\ \alpha+\beta=-1.$$
La révolution autour de $Oz$ impose $\alpha=\beta$.
On obtient $\alpha=\beta=-\tfrac12$.
Vérification : les coefficients $(c_x,c_y,c_z)=(-\tfrac12,-\tfrac12,1)$ ont pour somme $0$ (Laplace), le potentiel est un **point col** — creux selon $z$, bosse selon $x,y$.
**À retenir.** *Réflexe :* « vide ⇒ $\Delta V=0$ », qui relie les courbures d'un potentiel harmonique. Le rapport 2025 note que l'équation de Poisson « n'est pas un réflexe » et rappelle que l'expression de $V$ n'est valable **qu'au voisinage du centre** (ne pas l'utiliser au niveau de l'anneau).
### Question 2 — Instabilité au centre (Earnshaw)
**Rappel de cours.** *Équilibre* : $\nabla E_p=\vec 0$.
*Stabilité* : $E_p$ **minimum local** (toutes les dérivées secondes $>0$).
L'énergie d'une charge est $E_p=qV$.
**Analyse.**
Comme $V$ est harmonique, $E_p$ l'est aussi : ses courbures se somment à zéro, interdisant un minimum.
C'est le **théorème d'Earnshaw**.
**Solution détaillée.**
Au centre, $E_p$ étant quadratique, $\nabla E_p=\vec 0$ : c'est un équilibre.
Mais
$$\partial_x^2E_p+\partial_y^2E_p+\partial_z^2E_p=q\,\Delta V=0.$$
Trois nombres de somme nulle ne peuvent être tous positifs : au moins une direction est instable. Le centre est un **col**, donc équilibre **instable** : pas de lévitation statique.
**À retenir.** Ne jamais confondre **équilibre** (force nulle) et **immobilité/stabilité**.
Le rapport signale cette confusion comme « surprenamment » fréquente et précise : le critère est $E_p$ **extremal spatialement**, pas $E_p=0$ ni $\mathrm dE_p/\mathrm dt=0$ ; et $V$ pouvant changer de signe, on ne fixe pas arbitrairement le signe d'une courbure.
### Question 3 — Équations du mouvement (Mathieu)
**Rappel de cours.** PFD : $m\ddot{\vec r}=\vec F$. Force sur une charge : $\vec F=q\vec E=-q\nabla V$.
**Analyse.** Le potentiel devient dépendant du temps par $V(t)=V_0\cos\Omega t$. Chaque coordonnée est découplée (potentiel séparable) et obéit à une **équation de Mathieu** (oscillateur à raideur oscillante).
**Solution détaillée.**
Pour la direction $r_i$ de coefficient $c_i$, $$m\ddot r_i=-q\,\partial_{r_i}V_{\text{el}}=e\,\frac{\eta V_0\cos\Omega t}{l_0^2}\,2c_i r_i.$$
Avec $\omega^2=e\eta V_0/(ml_0^2)$ : $\ddot r_i-2c_i\omega^2\cos\Omega t\,r_i=0$, i.e. $\ddot r_i+(-4c_i)(\omega/\Omega)^2\cos\Omega t\,\tfrac{\Omega^2}{2}r_i=0$.
Donc $n_i=-4c_i$ : $$n_x=n_y=+2,\qquad n_z=-4\qquad(n_x+n_y+n_z=0).$$
**À retenir.** L'attention critique est sur le **signe de $q=-e$** : il inverse le rôle confinant/anti‑confinant par rapport au potentiel. La contrainte $\sum n_i=0$ est un contrôle gratuit hérité de Laplace.
### Question 4 — Moyennisation (séparation d'échelles)
**Rappel de cours.**
Quand deux échelles de temps coexistent ($\Omega^{-1}$ « rapide » ≪ échelle de $R_i$ « lente »), on **moyenne** sur une période rapide : une grandeur lente y est quasi‑constante ; une grandeur périodique de moyenne nulle disparaît.
**Analyse.** On pose $r_i=R_i+\xi_i$ (lent + micro‑mouvement rapide de moyenne nulle) et on moyenne l'équation de Mathieu terme à terme.
**Solution détaillée.** $$\ddot R_i+\ddot\xi_i+q_i\tfrac{\Omega^2}{2}\cos\Omega t\,(R_i+\xi_i)=0.$$
Moyenne : $\langle\ddot\xi_i\rangle=0$ (dérivée de fonction périodique de moyenne nulle) ; $\langle\cos\Omega t\,R_i\rangle\simeq R_i\langle\cos\Omega t\rangle=0$ ($R_i$ constant sur une période).
Il reste $$\langle\ddot R_i\rangle+q_i\tfrac{\Omega^2}{2}\langle\xi_i\cos\Omega t\rangle=0.$$
Seule la **corrélation** $\langle\xi_i\cos\Omega t\rangle$ subsiste : c'est elle qui va porter la force effective.
**À retenir.** La *méthode de la moyenne* (Kapitza) : isoler lent/rapide, moyenner, garder les corrélations. Réflexe transférable au pendule de Kapitza, à la force pondéromotrice, etc.
### Question 5 — Micro‑mouvement
**Rappel de cours.**
Une fonction périodique de moyenne nulle, sans harmonique $\ge2\Omega$, s'écrit $a\cos\Omega t+b\sin\Omega t$.
Un forçage $\propto\cos\Omega t$ d'un « $\ddot\xi$ » se résout en $\xi\propto\cos\Omega t$.
**Analyse.**
On extrait la partie **rapide** de l'équation : $\ddot\xi_i$ (grand, $\propto\Omega^2$) équilibre le forçage $q_i\tfrac{\Omega^2}{2}\cos\Omega t\,R_i$ ; les termes lents et les harmoniques $2\Omega$ sont écartés.
**Solution détaillée.**
- **a.** $\xi_i(t)=a_i(t)\cos\Omega t+b_i(t)\sin\Omega t$, $a_i,b_i$ lentement variables (pas de terme constant).
- **b.** Partie rapide : $\ddot\xi_i=-q_i\tfrac{\Omega^2}{2}R_i\cos\Omega t$.
En intégrant deux fois ($R_i$ quasi‑constant) : $\xi_i=\tfrac{q_i}{2}R_i\cos\Omega t$.
- **c.** Régime $\Omega\gg\omega$ ⇒ $|q_i|\ll1$ ⇒ $|\xi_i|=\tfrac{|q_i|}{2}|R_i|\ll|R_i|$.
Le micro‑mouvement est une petite ondulation.
Attention : $|\dot\xi_i|\sim|\dot R_i|$ mais $|\ddot\xi_i|\gg|\ddot R_i|$.
**À retenir.**
Le rapport rappelle : $\langle f\rangle=0\nRightarrow f=0$ (Q5.b), et pour comparer $\xi$ et $R$ (signes inconnus) il faut la **valeur absolue** (Q5.c) — la bonne hiérarchie étant $\xi\ll R$, $\dot\xi\sim\dot R$, $\ddot\xi\gg\ddot R$.
### Question 6 — Potentiel effectif
**Rappel de cours.**
Oscillateur harmonique $\ddot R+\omega_i^2R=0$ ⇔ potentiel $U_{\text{eff}}=\tfrac12 m\omega_i^2R^2$.
Moyenne d'un carré de cosinus : $\langle\cos^2\rangle=\tfrac12$.
**Analyse.**
Reporter $\xi_i=\tfrac{q_i}{2}R_i\cos\Omega t$ dans l'équation moyennée fait apparaître un rappel proportionnel à $R_i$.
**Solution détaillée.** $\langle\xi_i\cos\Omega t\rangle=\tfrac{q_i}{2}R_i\cdot\tfrac12=\tfrac{q_i}{4}R_i$, d'où $\ddot R_i+\tfrac{q_i^2\Omega^2}{8}R_i=0$ et $$\omega_i=\frac{|q_i|\Omega}{2\sqrt2}=\frac{|n_i|\omega^2}{2\sqrt2\,\Omega},\qquad U_{\text{eff}}=\tfrac12 m\omega_i^2R_i^2.$$ $\omega_i^2\propto q_i^2>0$ : **toujours confinant**, quel que soit le signe de $q_i$.
On a $\omega_z=2\omega_x$, et $\omega_i/\Omega=|q_i|/2\sqrt2\ll1$ donc $\omega_i\ll\Omega$.
**À retenir.** Le point clé du piège de Paul : une raideur **oscillante de moyenne nulle** engendre un potentiel effectif **strictement confinant** (le carré de $q_i$ efface le signe). Le mouvement séculaire est lent devant la modulation.
### Question 7 — Origine physique de la force de rappel
**Rappel de cours.** *Force pondéromotrice* : dans un champ oscillant inhomogène, une particule dérive en moyenne vers les zones de **champ faible**. La force moyenne provient de la **corrélation** position–champ, pas du champ moyen.
**Analyse.** $F_z=2m\omega^2\cos\Omega t\,z$ est linéaire en $z$ et de signe oscillant.
Naïvement de moyenne nulle ; mais la particule bouge (micro‑mouvement) en phase avec le champ.
**Solution détaillée.** Deux instantanés ($V_0<0$) :
- $\cos\Omega t>0$ : force **vers** le centre ;
- $\cos\Omega t<0$ : force **vers l'extérieur**.
Comme $F_z\propto z$, la particule est plus **éloignée** ($|z|$ grand) pendant la phase de rappel et plus **proche** pendant la phase d'anti‑rappel : le rappel l'emporte.
Quantitativement $$\langle F_z\rangle=2m\omega^2\langle\cos\Omega t\,(R_z+\xi_z)\rangle=-\frac{2m\omega^4}{\Omega^2}R_z=-m\omega_z^2R_z<0.$$
Symétrique pour $z_0>0$ et $z_0<0$ (force $\propto R_z$, toujours vers $O$).
*Dessins* : (i) $(z,F_z)$ deux droites de pentes opposées ; (ii) $z(t)$ lente dérive vers $0$ modulée par $\xi_z$.
**À retenir.** « Champ moyen nul » n'implique **pas** « force moyenne nulle » : c'est la corrélation champ–déplacement qui compte. Réflexe pondéromoteur (pinces optiques, piège de Paul, pendule de Kapitza).
### Question 8 — Nécessité d'un $q_i$ pas trop petit
**Rappel de cours.** Un oscillateur de faible raideur a une grande amplitude thermique ($\langle x^2\rangle=k_BT/(m\omega^2)$) et une grande sensibilité aux perturbations.
**Analyse.** $\omega_i\propto|q_i|$ : si $q_i\to0$, le piège devient plat.
**Solution détaillée.** Raideur effective $m\omega_i^2\propto q_i^2$.
Pour $q_i$ trop petit, $\omega_i\to0$, le puits s'aplatit, la force de rappel s'annule : la particule n'est plus « rigidement » tenue et dérive sous l'effet des collisions, asymétries et chauffage.
La lévitation stable (position moyenne fixe) exige donc $q_i$ **suffisant**.
**À retenir.** Relier tout critère de stabilité aux perturbations réelles nommées en introduction.
Rigidité ⇔ $\omega_i$ grand ⇔ $|q_i|$ grand.
### Question 9 — Gamme de tension pour le confinement en $z$
**Rappel de cours.** Inversion d'une relation littérale + contrôle d'ordre de grandeur.
**Analyse.** $|q_z|=4(\omega/\Omega)^2=\dfrac{4e\eta|V_0|}{ml_0^2\Omega^2}$ ; on isole $|V_0|$.
**Solution détaillée.** $$|V_0|=\frac{|q_z|\,m l_0^2\Omega^2}{4e\eta}=12\,|q_z|\ \text{V}\ \Rightarrow\ |V_0|\in[1{,}2\,;3{,}7]\,\text{V}\approx[1\,;4]\,\text{V},$$ (avec $ml_0^2\Omega^2/(4e\eta)\simeq7{,}9\times10^{-19}/6{,}4\times10^{-20}\simeq12\,$V).
Ordre de grandeur : quelques volts. ✔
**À retenir.**
Le rapport rapporte des A.N. de $10^{-36}$ à $10^{13}\,$V : garder un **regard critique** sur l'ordre attendu (un piège se pilote en volts, pas en pétavolts).
### Question 10 — Symétrie du terme anharmonique
**Rappel de cours.** Le potentiel doit respecter les symétries **résiduelles** du système. Un terme est classé par sa parité sous chaque réflexion.
**Analyse.**
Le fil (dans le plan $Ozx$) brise la révolution et $x\to-x$, mais conserve $y\to-y$ et $z\to-z$.
**Solution détaillée.** $V_a\propto\big(\tfrac{b_x}{3}x^2+b_yy^2+b_zz^2\big)x$ est **pair en $y$**, **pair en $z$**, **impair en $x$**.
Il respecte donc exactement la symétrie du piège + fil (fil selon $Ox$) : conservation de $y\to-y$, $z\to-z$ ; brisure de $x\to-x$.
C'est le terme cubique de plus bas degré compatible.
**À retenir.** Un fil « à gauche » brise une seule des trois réflexions : la parité impaire selon la direction du fil est la signature de cette brisure.
### Question 11 — Contraintes sur les coefficients
**Rappel de cours.** $\Delta V=0$ dans le vide doit tenir **identiquement** en tout point : deux monômes de degrés différents s'annulent séparément.
**Analyse.**
On calcule $\Delta(V_{\text{el}}+V_a)$ : bloc harmonique → constante ; bloc anharmonique → linéaire en $x$.
**Solution détaillée.** $$\Delta V_{\text{el}}\propto(a_x+a_y+a_z)\ \text{(cte)},\qquad \Delta V_a\propto(b_x+b_y+b_z)\,x\ \text{(linéaire)}.$$
Chacun nul : $$a_x+a_y+a_z=0,\qquad b_x+b_y+b_z=0.$$
**À retenir.** Laplace contraint **chaque ordre** du développement de $V$ indépendamment. C'est deux fois la même équation, appliquée à deux blocs homogènes.
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## Partie 2 — Quelques perturbations externes
### Question 12 — Écart‑type du mouvement selon $x$
**Rappel de cours.**
*Théorème d'équipartition* : à l'équilibre à $T$, chaque terme quadratique de l'énergie vaut en moyenne $\tfrac12 k_BT$.
Pour un oscillateur : $\tfrac12 m\omega^2\langle x^2\rangle=\tfrac12 k_BT$ (terme **potentiel**).
**Analyse.** L'oscillateur pertinent est le mouvement **séculaire** de pulsation $\omega_x$ (Q6).
**Solution détaillée.** $\omega_x=\dfrac{q_x\Omega}{2\sqrt2}=\dfrac{0{,}2\times2\pi\times10^3}{2\sqrt2}\simeq4{,}4\times10^{2}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}$, puis $$\sigma_x=\frac{1}{\omega_x}\sqrt{\frac{k_BT}{m}}=\frac{1}{4{,}4\times10^{2}}\sqrt{\frac{4{,}2\times10^{-21}}{2\times10^{-18}}}\approx1\times10^{-4}\,\text{m}\ (\sim100\,\mu\text{m}).$$
Homogénéité : $\mathrm s\cdot\sqrt{\mathrm{J/kg}}=\mathrm s\cdot\mathrm{m\,s^{-1}}=\mathrm m$. ✔
**À retenir.** Le rapport note que l'équipartition est mieux sue côté cinétique que **potentiel**, et que les facteurs de degrés de liberté sont mal comptés : ici un seul degré quadratique potentiel ⇒ $\tfrac12 k_BT$.
### Question 13 — Confinement possible ?
**Rappel de cours.** L'approximation harmonique (développement au 2ᵉ ordre) suppose l'amplitude **petite devant la taille caractéristique** ($x\ll l_0$).
**Analyse.**
On compare $\sigma_x$ à $l_0$.
**Solution détaillée.** $\sigma_x\approx100\,\mu\mathrm m\approx l_0$ : l'amplitude thermique est **comparable** à la taille du piège. L'approximation harmonique s'effondre, la particule explore tout le piège → **pas de confinement fiable** avec une seule charge à $300\,$K. Remèdes : refroidir, augmenter la charge, raidir le piège.
**À retenir.** Un calcul d'amplitude n'a de sens qu'une fois **comparé** à l'échelle du système. Toujours conclure physiquement.
### Question 14 — Position d'équilibre avec gravité
**Rappel de cours.** Équilibre = minimum du potentiel **total** effectif ; ajout d'un terme linéaire $mgz$ décale le minimum d'un oscillateur harmonique.
**Analyse.** $U(z)=\tfrac12 m\omega_z^2z^2+mgz$ ; $U'(z_0)=0$.
**Solution détaillée.** $$z_0=-\frac{g}{\omega_z^2}=-\frac{9{,}8}{(2\pi\times10^3)^2}\approx-2{,}5\times10^{-7}\,\text{m}\ (\approx-0{,}25\,\mu\text{m}).$$
Signe $<0$ : affaissement sous le centre.
Homogénéité $\mathrm{(m\,s^{-2})/s^{-2}=m}$. ✔
**À retenir.**
Un champ constant (gravité) déplace l'équilibre d'un oscillateur de $-F/(m\omega^2)$ sans changer $\omega$.
Ici le décalage est infime : le piège domine.
### Question 15 — Régime d'écoulement (Knudsen)
**Rappel de cours.** Gaz parfait : $n=P/(k_BT)$.
Nombre de **Knudsen** $K_n=l^*/d$ : $K_n\ll1$ milieu continu, $K_n\gg1$ **régime moléculaire libre**.
**Analyse.**
Calculer $n$, puis $l^*$ (formule donnée), puis $K_n$.
**Solution détaillée.** $$n=\frac{10^2}{4{,}2\times10^{-21}}\simeq2{,}4\times10^{22}\,\mathrm{m^{-3}},\quad l^*=\frac{1}{\sqrt{2\pi}a^2n}\simeq1{,}7\times10^{-3}\,\text{m},$$ $$K_n=\frac{l^*}{d}=\frac{1{,}7\times10^{-3}}{10^{-7}}\approx2\times10^{4}\gg1\ \Rightarrow\ \text{régime libre.}$$
**À retenir.**
Le rapport rapporte des valeurs de $10^{-28}$ à $10^{72}$ : dérouler proprement les puissances de 10.
Physiquement, une nano‑particule sous vide poussé est presque toujours en **régime moléculaire** ($l^*\gg d$).
### Question 16 — Vitesse quadratique moyenne
**Rappel de cours.**
Énergie cinétique de translation d'un gaz parfait : $\tfrac12 m v_{qm}^2=\tfrac32 k_BT$ (3 degrés de liberté), donc $v_{qm}=\sqrt{3k_BT/m}$.
**Analyse.**
Masse d'une molécule de $\mathrm N_2$ : $28\,m_p$.
**Solution détaillée.** $m_{\mathrm N_2}\simeq28\times1{,}7\times10^{-27}\simeq4{,}8\times10^{-26}\,$kg, $$v_{qm}=\sqrt{\frac{3\times4{,}2\times10^{-21}}{4{,}8\times10^{-26}}}=\sqrt{2{,}6\times10^{5}}\approx5\times10^{2}\,\mathrm{m\,s^{-1}}.$$
Homogénéité $\sqrt{\mathrm{J/kg}}=\mathrm{m\,s^{-1}}$ : bien une **vitesse**. ✔
**À retenir.**
Le rapport insiste : $v_{qm}$ est homogène à une **vitesse**, pas à une vitesse au carré, et le facteur $3$ (trois directions) doit être posé.
Ordre de grandeur mémoire : $\sim500\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ pour l'air à $300\,$K.
### Question 17 — Flux thermique perdu
**Rappel de cours.**
*Loi de Newton du refroidissement* : puissance échangée par une surface $S$ avec un thermostat à $T_0$ : $\Phi=hS(T-T_0)$, $h$ coefficient de transfert surfacique.
**Analyse.**
Fuite thermique de la particule (à $T$) vers le gaz (à $T_0$).
**Solution détaillée.** $$\Phi=hS\,(T-T_0)>0\ \text{si }T>T_0.$$
Homogénéité $\mathrm{W\,K^{-1}m^{-2}\cdot m^2\cdot K=W}$. ✔
**À retenir.** Transfert surfacique linéarisé : proportionnel à l'écart de température et à l'aire. Bien préciser le **sens** (perdue ⇒ $>0$ quand la particule est chaude).
### Question 18 — Équation différentielle de $T(t)$
**Rappel de cours.**
Bilan d'énergie d'un système de capacité thermique $C_{\text{th}}=mc_m$ : $C_{\text{th}}\dot T=\mathcal P_{\text{reçue}}-\mathcal P_{\text{perdue}}$.
**Analyse.**
Reçu : $\mathcal P_{\text{abs}}(t)=\mathcal P_{\text{abs},0}(1+\cos\omega_m t)$ ; perdu : $\Phi=K(T-T_0)$, $K=hS$.
**Solution détaillée.**
$$m c_m\,\dot T+K T=K T_0+\mathcal P_{\text{abs},0}\,[1+\cos\omega_m t].$$
Équa. diff. linéaire du 1er ordre, second membre constant + sinusoïdal.
**À retenir.** Toujours écrire le **bilan** (entrant − sortant) avant de résoudre. La constante de temps naturelle sera $\tau=C_{\text{th}}/K$.
### Question 19 — Résolution (trois contributions)
**Rappel de cours.** Solution = **régime permanent** (réponse à chaque terme du second membre) + **transitoire** homogène $\propto e^{-t/\tau}$.
Réponse forcée d'un 1er ordre à $\cos\omega_m t$ : amplitude $\propto 1/\sqrt{1+(\omega_m\tau)^2}$, déphasage $\tan\varphi=\omega_m\tau$.
**Analyse.**
Trois briques : offset constant (dû à la puissance moyenne), oscillation forcée à $\omega_m$, transitoire fixé par $T(0)=T_0$.
**Solution détaillée.**
Avec $\tau=mc_m/K$ : $$T(t)=\Big(T_0+\frac{\mathcal P_{\text{abs},0}}{K}\Big)+\frac{\mathcal P_{\text{abs},0}/K}{\sqrt{1+(\omega_m\tau)^2}}\cos(\omega_m t-\varphi)+C\,e^{-t/\tau},$$ $$\tan\varphi=\omega_m\tau,\qquad C=-\frac{\mathcal P_{\text{abs},0}}{K}-\frac{\mathcal P_{\text{abs},0}/K}{\sqrt{1+(\omega_m\tau)^2}}\cos\varphi\quad(\text{par }T(0)=T_0).$$
Groupement sans dimension $\omega_m\tau$ ; expression **réelle** ; $T$ croît de $T_0$ vers un plateau chaud modulé (jamais $\to\infty$, jamais $<T_0$).
**À retenir.** Le rapport pointe trois fautes : oublier les **groupements sans dimension**, livrer une solution **non réelle**, ignorer le **sens physique** (T divergente ou décroissante sous chauffage sont absurdes).
### Question 20 — Allure de $T(t)$
**Rappel de cours.** Un graphe se lit : **axes nommés**, **échelles caractéristiques** ($\tau$, niveaux asymptotiques).
**Analyse.**
Montée exponentielle sur $\tau$ vers $T_0+\mathcal P_{\text{abs},0}/K$, ondulation à $\omega_m$ en régime établi.
**Solution détaillée.**
```
T
│ _/\_/\_/\_/\_ ← T0 + P_abs,0/K (plateau modulé)
│ _/‾
│ _/‾ amplitude A(ω_m)
│ _/‾
│ _/ ← transitoire ~ (1 - e^{-t/τ})
T0┤/
└──────────────────────────── t
↑τ
```
**À retenir.**
Le rapport exige des **axes identifiés avec échelles** : marquer $T_0$, $T_0+\mathcal P_{\text{abs},0}/K$, et $\tau$.
### Question 21 — Temps caractéristique
**Rappel de cours.**
Pour un 1er ordre $C_{\text{th}}\dot T+KT=\dots$, la constante de temps est $\tau=C_{\text{th}}/K$.
Aire d'une sphère de diamètre $d$ : $S=\pi d^2$.
**Analyse.** $\tau=mc_m/(hS)$.
**Solution détaillée.** $$\tau=\frac{mc_m}{h\pi d^2}=\frac{2\times10^{-18}\times500}{100\times\pi\times10^{-14}}\approx3\times10^{-4}\,\text{s}.$$
Homogénéité $\mathrm{(J\,K^{-1})/(W\,K^{-1})=s}$. ✔
**À retenir.** $\tau=C_{\text{th}}/(hS)$ : plus la particule est petite (grand $S/V$), plus elle thermalise vite.
Prendre l'aire d'une **sphère**, pas d'un disque.
### Question 22 — Accès à la capacité thermique
**Rappel de cours.** Un 1er ordre agit comme un **filtre passe‑bas** de coupure $\omega_c=1/\tau$ : l'amplitude de la réponse chute au‑delà.
**Analyse.** $A(\omega_m)=\dfrac{\mathcal P_{\text{abs},0}/K}{\sqrt{1+(\omega_m\tau)^2}}$ avec $\tau=C_{\text{th}}/(hS)$.
**Solution détaillée.**
La coupure $\omega_c=1/\tau=hS/C_{\text{th}}$ se lit sur $A(\omega_m)$.
Connaissant $S$ et $h$ : $C_{\text{th}}=hS\,\tau$.
À haute fréquence, $A\simeq\mathcal P_{\text{abs},0}/(\omega_m C_{\text{th}})$ ⇒ $A\,\omega_m\to\mathcal P_{\text{abs},0}/C_{\text{th}}$, mesure directe de $C_{\text{th}}$.
**À retenir.**
Principe de la **calorimétrie modulée** : balayer $\omega_m$, repérer la coupure, en déduire $\tau$ puis $C_{\text{th}}$.
Une réponse en fréquence encode une constante de temps.
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## Partie 3 — La rotation de la particule
### Question 23 — Valeur de $\gamma$
**Rappel de cours.** Une A.N. se donne sous forme $a\times10^n$ avec **unité**, après contrôle d'**homogénéité**.
**Analyse.** $\gamma$ est un **taux** (couple visqueux $-I\gamma\dot\phi$ ⇒ $[\gamma]=\mathrm s^{-1}$).
**Solution détaillée.** $$\gamma=\frac{40Pd^2}{3mv_{qm}}=\frac{40\times10^2\times10^{-14}}{3\times2\times10^{-18}\times5\times10^{2}}=\frac{4\times10^{-11}}{3{,}0\times10^{-15}}\approx1\times10^{4}\,\mathrm{s^{-1}}.$$
Homogénéité : $\dfrac{\mathrm{Pa\,m^2}}{\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}}=\dfrac{\mathrm N}{\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}}=\mathrm{s^{-1}}$. ✔
**À retenir.** Le rapport avertit : $\gamma$ **n'est pas** le coefficient adiabatique d'un gaz — « attention aux unités ! ». Ici c'est un **taux d'amortissement** en $\mathrm s^{-1}$.
### Question 24 — Facteur de qualité
**Rappel de cours.**
Oscillateur amorti $\ddot\phi+\gamma\dot\phi+\omega_\phi^2\phi=0$ ⇒ facteur de qualité $Q=\omega_\phi/\gamma$ (sans dimension ; nombre d'oscillations avant amortissement significatif).
**Analyse.**
Identifier $\gamma$ (amortissement) et $\omega_\phi$ (pulsation propre).
**Solution détaillée.**
$$Q=\frac{\omega_\phi}{\gamma}=\frac{2\pi\times10^{4}}{1{,}3\times10^{4}}\approx5.$$
**À retenir.**
Le rapport note que « la notion de facteur de qualité est mal connue » (valeurs vues de $10^{-17}$ à $10^{42}$). $Q=\omega_0/\gamma$, sans dimension, ici d'ordre quelques unités.
### Question 25 — Vitesse angulaire maximale
**Rappel de cours.** Rotation d'un solide : $I\ddot\phi=\sum\Gamma$. Sphère pleine homogène : $I=\tfrac25 m(d/2)^2=md^2/10$.
**Analyse.** Régime permanent de rotation : couple moteur $=$ couple visqueux.
**Solution détaillée.** $I\ddot\phi=C_l-I\gamma\dot\phi$, $\ddot\phi=0$ ⇒ $\omega_{\max}=C_l/(I\gamma)$.
Avec $I=2\times10^{-33}\,\mathrm{kg\,m^2}$ : $$\omega_{\max}=\frac{10^{-19}}{2\times10^{-33}\times1{,}3\times10^{4}}\approx4\times10^{9}\,\mathrm{rad\,s^{-1}}.$$
Homogénéité $\mathrm{(N\,m)/(kg\,m^2\,s^{-1})=s^{-1}}$. ✔
**À retenir.** Vitesse terminale = moteur/frottement. Ces nano‑rotors atteignent le régime GHz — records expérimentaux réels de rotation mécanique.
### Question 26 — Charge doublée pour le centre de masse
**Rappel de cours.** *PFD d'un système de points* : $M\ddot{\vec r}_C=\sum\vec F_{\text{ext}}$. Un champ **linéaire** vérifie $\vec E(\vec r_C+\vec\delta)+\vec E(\vec r_C-\vec\delta)=2\vec E(\vec r_C)$.
**Analyse.**
Sommer les forces sur les deux charges en $P_1=\vec r_C+\vec\delta$, $P_2=\vec r_C-\vec\delta$.
**Solution détaillée.** $$\vec F_{\text{tot}}=(-e)[\vec E(P_1)+\vec E(P_2)]=(-e)\,2\vec E(\vec r_C)=(2q)\vec E(\vec r_C),$$ les termes en $\pm\vec\delta$ s'annulant par linéarité.
D'où $m\ddot{\vec r}_C=(2q)\vec E(\vec r_C)$ : équations de Q3 avec charge **doublée**.
**À retenir.**
Le rapport insiste : appliquer le **PFD au système** (pas « deux charges donc $\times2$ ») ; la particule n'est pas à l'origine, les charges sont symétriques par rapport à $C$, et c'est la **linéarité du champ** (non une symétrie par rapport à $O$) qui fait disparaître $\vec\delta$.
### Question 27 — Moment des forces
**Rappel de cours.**
Moment d'une force par rapport à $O$ : $\vec\Gamma_O=\vec{OP}\wedge\vec F$.
Produit vectoriel calculé **en colonnes**.
**Analyse.**
Champ $\vec E(\vec r)=\dfrac{\eta V}{l_0^2}(x,y,-2z)$ ; force $\vec F_i=-e\vec E(P_i)=-k(P_{ix},P_{iy},-2P_{iz})$, $k=\dfrac{e\eta V}{l_0^2}$.
**Solution détaillée.** $$\vec\Gamma_{O,i}=\begin{pmatrix}P_{ix}\\P_{iy}\\P_{iz}\end{pmatrix}\wedge(-k)\begin{pmatrix}P_{ix}\\P_{iy}\\-2P_{iz}\end{pmatrix}=3k\begin{pmatrix}P_{iy}P_{iz}\\-P_{ix}P_{iz}\\0\end{pmatrix}.$$
Somme sur $i=1,2$ ($P_{1,2}=\vec r_C\pm\vec\delta$) : $$\vec\Gamma_O=6k\big[(yz+\delta_y\delta_z)\vec u_x-(xz+\delta_x\delta_z)\vec u_y\big].$$
**À retenir.** Le rapport signale le produit vectoriel « surprenamment mal maîtrisé » : le **poser en colonnes** est le geste sûr contre les erreurs de signe.
### Question 28 — Spin propre vs orbital
**Rappel de cours.**
*Théorème de König du moment cinétique* : le moment total se scinde en moment **barycentrique** (rotation propre autour de $C$) + moment de la **résultante** appliquée en $C$ (mouvement orbital).
**Analyse.**
Séparer la part en $\vec\delta$ (indépendante de $\vec r_C$) de la part en $\vec r_C$.
**Solution détaillée.** $$\vec\Gamma_O=\underbrace{6k(yz\,\vec u_x-xz\,\vec u_y)}_{\vec{OC}\wedge\vec F_{\text{tot}}\ (\text{orbital})}+\underbrace{6k(\delta_y\delta_z\,\vec u_x-\delta_x\delta_z\,\vec u_y)}_{\vec\Gamma_C\ (\text{spin propre})}.$$ $\vec\Gamma_C$ (en $\vec\delta$) fait tourner la particule autour d'un axe passant par $C$ ; l'autre terme décrit le mouvement du **centre de masse** autour de $O$.
**À retenir.** Toujours pouvoir distinguer « spin » (moment barycentrique) et « orbital » (moment de la résultante) — c'est König appliqué aux moments.
### Question 29 — Équations de $\phi_1,\phi_2$
**Rappel de cours.**
Relier $\vec\delta$ à l'orientation $\vec v$ ; toute notation nouvelle doit être **définie**.
**Analyse.** $\vec{P_2P_1}=2\vec\delta=d\vec v$ donne $\vec\delta=\tfrac d2\vec v=\tfrac d2(\phi_1,-\phi_2,1)$.
**Solution détaillée.** $\vec\Gamma_C=6k(\tfrac d2)^2(-\phi_2\,\vec u_x-\phi_1\,\vec u_y)=\tfrac{3kd^2}{2}(-\phi_2\vec u_x-\phi_1\vec u_y)$.
Avec $I\ddot\phi_1=\vec\Gamma_C\!\cdot\!\vec u_y$, $I\ddot\phi_2=\vec\Gamma_C\!\cdot\!\vec u_x$ et $k=\tfrac{e\eta V_0}{l_0^2}\cos\Omega t$ : $$\ddot\phi_1+\frac{3e\eta V_0d^2}{2Il_0^2}\cos\Omega t\,\phi_1=0,\qquad \ddot\phi_2+\frac{3e\eta V_0d^2}{2Il_0^2}\cos\Omega t\,\phi_2=0.$$
**À retenir.** Même structure de Mathieu que le centre de masse : le degré de liberté angulaire est piégé par le **même** mécanisme dynamique.
### Question 30 — Comparaison avec Q3
**Rappel de cours.** Mise sous forme canonique $\ddot\phi_i+q_{\phi_i}\tfrac{\Omega^2}{2}\cos\Omega t\,\phi_i=0$.
**Analyse.**
Définir $\omega_r$, analogue rotationnel de $\omega$.
**Solution détaillée.**
Avec $\omega_r^2=\dfrac{e\eta V_0d^2}{Il_0^2}=10\,\omega^2$ (car $I=md^2/10$) : $$q_{\phi_1}=q_{\phi_2}=3\Big(\frac{\omega_r}{\Omega}\Big)^2=30\Big(\frac{\omega}{\Omega}\Big)^2>0.$$
« $q$ » positifs, comme $q_x=q_y=+2(\omega/\Omega)^2$ : confinement dynamique de l'angle.
**À retenir.** L'analogie translation ↔ rotation est **structurelle** : mêmes équations, mêmes conclusions (potentiel effectif, stabilité).
### Question 31 — Confinement angulaire et rapport
**Rappel de cours.** Réutiliser le potentiel effectif Q6 : $\omega_{\text{eff}}=|q|\Omega/(2\sqrt2)$, réel donc confinant.
**Analyse.**
Appliquer à $\phi$ ($q_\phi=30(\omega/\Omega)^2$) et à $z$ mono‑charge ($|q_z|=4(\omega/\Omega)^2$).
**Solution détaillée.**
- **a.** $\omega_{\phi,\text{eff}}=\dfrac{q_\phi\Omega}{2\sqrt2}=\dfrac{15\omega^2}{\sqrt2\,\Omega}>0$ : couple de rappel autour de $\phi_1=\phi_2=0$, stabilisation angulaire.
- **b.** $\omega_{z,\text{eff}}=\dfrac{|q_z|\Omega}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2\,\omega^2}{\Omega}$, d'où $$\frac{\omega_{z,\text{eff}}}{\omega_{\phi,\text{eff}}}=\frac{|q_z|}{q_\phi}=\frac{4}{30}=\frac{2}{15}\approx0{,}13.$$
**À retenir.**
Le confinement angulaire est $\sim7{,}5\times$ plus **raide** que le confinement $z$ du centre de masse (mono‑charge) : rapport pur, sans dimension.
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## Partie 4 — Une analogie mécanique (col tournant)
### Question 32 — Forces d'inertie
**Rappel de cours.**
Référentiel $\mathcal R$ en rotation uniforme $\vec\Omega=\Omega\vec u_z$ (constant), $O$ fixe : $$\vec F_{ie}=-m\,\vec\Omega\wedge(\vec\Omega\wedge\vec r)\quad\text{(entraînement / centrifuge)},\qquad \vec F_{ic}=-2m\,\vec\Omega\wedge\vec v\quad\text{(Coriolis)}.$$
**Analyse.**
Pas d'accélération de $\vec\Omega$ ni de $O$ ⇒ seule la centrifuge subsiste dans l'entraînement ; Coriolis dépend de $\vec v$ (vitesse **relative**).
**Solution détaillée.** Le **facteur 2** est sur Coriolis. Le **double produit vectoriel** doit garder ses **parenthèses** ($\wedge$ non associatif).
Pour $\vec r\perp\vec\Omega$ : $\vec F_{ie}=+m\Omega^2\vec r$ (dirigée vers l'extérieur).
**À retenir.** Le rapport signale : forces d'inertie confondues, **facteur 2** égaré, **signes** inversés, **double produit vectoriel sans parenthèses**. Mémoriser : « 2 pour Coriolis, parenthèses pour le double produit ».
### Question 33 — Équations dans $\mathcal R$
**Rappel de cours.** PFD en référentiel non galiléen : $m\ddot{\vec r}=\vec F_{\text{réelles}}+\vec F_{ie}+\vec F_{ic}$. Force conservative : $\vec F=-\nabla U$.
**Analyse.** $U=\tfrac12 m\omega^2(x^2-y^2)$ ($\omega^2=g/R$) : concave en $x$, convexe en $y$.
Courbure faible ⇒ $\vec r\simeq(x,y,0)$.
**Solution détaillée.** $\vec F_{\text{surf}}=(-m\omega^2x,+m\omega^2y,0)$ ; centrifuge $+m\Omega^2(x,y,0)$ ; Coriolis $2m\Omega(\dot y,-\dot x,0)$.
Le PFD projeté :
$$\ddot x-2\Omega\dot y-(\Omega^2-\omega^2)x=0,\qquad \ddot y+2\Omega\dot x-(\Omega^2+\omega^2)y=0.$$
**À retenir.**
Coriolis **couple** $x$ et $y$ (termes croisés en $\dot y,\dot x$) ; la centrifuge **ramollit** les deux raideurs de $\Omega^2$.
C'est ce couplage qui pourra stabiliser le col.
### Question 34 — Stabilité et diagramme
**Rappel de cours.** *Analyse de stabilité linéaire* : $x,y\propto e^{rt}$ → système **algébrique homogène** ; solution non triviale ⇒ **déterminant nul** (équation caractéristique).
Stabilité = **trajectoire bornée** ⇔ toutes les racines $r$ ont une partie réelle $\le0$ (ici : $r$ imaginaires purs).
**Analyse.**
La perturbation $(x_0,y_0)$ autour de $(0,0)$ croît en $e^{rt}$ ; on cherche pour quels $(\Omega,\omega)$ aucune racine n'a de partie réelle positive.
**Solution détaillée.**
Le déterminant nul donne $$r^4+2\Omega^2r^2+(\Omega^4-\omega^4)=0\ \Rightarrow\ r^2=-(\Omega^2-\omega^2)\ \text{ou}\ r^2=-(\Omega^2+\omega^2).$$
La seconde racine est toujours $<0$ (bornée).
La première est $<0$ **ssi** $\Omega^2>\omega^2$.
Si $\Omega<\omega$, $r^2>0$ → racine réelle positive → **instable**.
Condition : $$\boxed{\ \Omega>\omega\ \text{(stable)}.\ }$$
**Diagramme $(\Omega,\omega)$** : droite $\omega=\Omega$ ; stable sous la bissectrice ($\Omega>\omega$), instable au‑dessus.
```
ω │ instable (Ω<ω) /
│ / ω=Ω
│ /
│ / stable (Ω>ω)
└──────────────────────── Ω
```
**À retenir.**
Le rapport corrige une confusion majeure : la stabilité **n'exige pas** le retour à l'équilibre, seulement une **trajectoire bornée** ; $(x_0,y_0)$ est une **perturbation** et $r$ son taux de croissance ; il faut une perturbation non triviale (**déterminant nul**) et non exprimer $r$ en fonction de $(x_0,y_0)$.
C'est l'analogue mécanique exact du piège de Paul : faire tourner un col assez vite le rend stable.
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*Fin du cours — 34 questions traitées (parties 1 à 4). Physique cohérente avec la copie de concours jumelle.*