Maths A
X-ENSMP2026
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Signaler une erreur# X-ENS MP — Mathématiques A 2026 · Corrigé guidé
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## Présentation du sujet
**Thème.** Le sujet compare la norme subordonnée $\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert $ d'un polynôme de matrice au maximum de $|p|$ sur un compact du plan lié à $A$ : le spectre, un disque, puis le *Hausdorffien* (ou image numérique) $\mathcal H(A)$. Il culmine sur la **conjecture de Crouzeix** $\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \le2\|p\|_{\mathcal H(A)}$, problème ouvert dont on démontre ici l'optimalité de la constante et plusieurs cas particuliers, ainsi qu'une version affaiblie (disque contenant $\mathcal H(A)$) admettant le théorème d'Okubo-Ando.
**Format.** 4 heures, calculatrice interdite, 30 questions numérotées, soit 34 questions en comptant les sous-questions 26-a à 26-d et 30-a, 30-b. Le préambule donne les outils autorisés : produit scalaire hermitien, Cauchy-Schwarz, caractérisation des matrices unitaires, et un **théorème de réduction** (matrices unitaires et hermitiennes diagonalisables en base orthonormale) que l'énoncé demande expressément d'utiliser.
**Découpage.**
| Partie | Questions | Contenu | Outils |
|---|---|---|---|
| Préliminaires | Q1–Q5 | existence de $\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert $, cas diagonal, sous-multiplicativité, invariance unitaire, encadrement par $\mathrm{cond}(P)$ | compacité, bornes atteintes |
| A. Principe du maximum | Q6–Q10 | une matrice unitaire « compagnon » $U$ réalise $p(z)=e_1^*p(U)e_1$ ; on en tire $\lvert p(z)\rvert<\lVert p\rVert_{\partial\mathbb D}$ puis le principe du maximum sur un compact | calcul matriciel, récurrence, Pythagore |
| B. Inégalité de Von Neumann | Q11–Q17 | dilatation unitaire d'une contraction : $D_A$, $D_{A^*}$, matrice $U_k$ | réduction hermitienne, interpolation de Lagrange, calcul par blocs |
| C. Hausdorffien et rayon numérique | Q18–Q26 | $\mathcal H(A)$, $r(A)$, équivalence $\frac12\vert\!\vert\!\vert \cdot\vert\!\vert\!\vert \le r\le\vert\!\vert\!\vert \cdot\vert\!\vert\!\vert $, inégalité $r(A^k)\le r(A)^k$ | convexité, polarisation, racines de l'unité |
| D. Conjecture de Crouzeix | Q27–Q30 | optimalité de 2, monômes, polynômes « alignés », version disque | assemblage des parties B et C |
Les parties ne sont pas indépendantes : B utilise Q5 et Q11 ; C est presque autonome (seules Q1 et Q4 servent) ; D utilise Q16, Q21, Q23, Q24, Q26 et Q10. On peut cependant aborder C sans avoir fini B.
**Notions mobilisées.** Normes subordonnées, compacité en dimension finie, matrices unitaires et hermitiennes, polynômes de matrices, interpolation de Lagrange, racines $k$-ièmes de l'unité, calcul par blocs, identité de polarisation.
**Difficulté.** Sujet long mais régulier. Les préliminaires et le début de C (Q18–Q22, Q24, Q25) sont des questions de cours. Les points délicats sont Q7 et Q16 (suivre précisément l'action d'une matrice de décalage), Q9–Q10 (inégalité stricte et raisonnement par l'absurde), Q13 (un **même** polynôme pour $A^*A$ et $AA^*$, et l'unicité de la racine carrée), Q23 (minoration par polarisation) et Q26 (identité à démontrer en trois temps).
**À ne pas laisser passer.** Q1–Q4, Q6, Q11, Q14, Q15, Q17, Q18–Q22, Q24, Q25, Q27, Q28 : courtes et sûres, à rédiger avec soin.
**Gestion du temps.** Environ 30 minutes pour les préliminaires, 45 minutes pour A, 60 minutes pour B, 70 minutes pour C, 35 minutes pour D.
**Notations et conventions.** Épreuve de 4 heures, calculatrice interdite. Notations du sujet : $\langle x|y\rangle=\sum_i x_i\overline{y_i}$ (linéaire à gauche, semi-linéaire à droite), $\|x\|=\sqrt{\langle x|x\rangle}$, $\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert =\sup_{\|x\|=1}\|Ax\|$, $\|p\|_S=\sup_{\alpha\in S}|p(\alpha)|$, $\mathbb D=\mathbb D(0,1)$ disque **fermé**, $\partial\mathbb D$ cercle unité. On note $\mathbb S=\{x\in\mathbb C^n:\|x\|=1\}$ la sphère unité et $(e_1,\dots,e_n)$ la base canonique.
## Préliminaires
On établit les propriétés de base de la norme subordonnée, qui serviront partout. Le résultat clé est Q5 : pour une matrice diagonalisable, $\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert $ est comparable à $\|p\|_{\sigma(A)}$, avec égalité des deux bornes quand la matrice de passage est unitaire.
### Question 1
> [!INDICATION]
> Une borne supérieure d'une fonction continue sur quel type d'ensemble est atteinte ?
> [!INDICATION]
> Pour l'égalité avec le maximum des quotients, normalisez $x$ et utilisez l'homogénéité de la norme.
#### Solution
L'application $f:x\mapsto\|Ax\|$ est continue sur $\mathbb C^n$, comme composée de l'application linéaire $x\mapsto Ax$ (continue car $\mathbb C^n$ est de dimension finie) et de la norme. La sphère $\mathbb S$ est fermée et bornée dans $\mathbb C^n$ de dimension finie, donc compacte, et non vide ($e_1\in\mathbb S$). Par le théorème des bornes atteintes, $f$ est bornée sur $\mathbb S$ et y atteint sa borne supérieure : $\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert $ existe (est un réel fini) et c'est un maximum.
Pour $x\neq0$, $\hat x=x/\|x\|\in\mathbb S$ et, par homogénéité de la norme, $\dfrac{\|Ax\|}{\|x\|}=\|A\hat x\|$. Réciproquement tout $y\in\mathbb S$ est non nul et vérifie $\frac{\|Ay\|}{\|y\|}=\|Ay\|$. Les ensembles $\left\{\frac{\|Ax\|}{\|x\|}:x\neq0\right\}$ et $\{\|Ay\|:y\in\mathbb S\}$ sont donc égaux, d'où
$$\boxed{\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert =\max_{\|x\|=1}\|Ax\|=\max_{x\neq0}\frac{\|Ax\|}{\|x\|}}$$
Conséquence utilisée constamment : $\|Ax\|\le\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert \,\|x\|$ pour tout $x\in\mathbb C^n$ (trivial pour $x=0$).
> [!METHODE]
> En dimension finie, « fermé borné » donne « compact », et une fonction continue y atteint ses bornes. C'est l'argument de toutes les questions d'existence de ce sujet (Q1, Q10, Q22).
> [!PIEGE]
> Ne pas oublier que la sphère est non vide ($n\ge1$) et dire explicitement que le sup est un **max**, puisque l'énoncé le demande.
### Question 2
> [!INDICATION]
> Calculez $\|Dx\|^2$ coordonnée par coordonnée.
> [!INDICATION]
> Une majoration ne suffit pas : trouvez un vecteur unitaire qui réalise l'égalité.
#### Solution
Soit $D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ et $M=\max_i|\lambda_i|$. Pour $x\in\mathbb C^n$,
$$\|Dx\|^2=\sum_{i=1}^n|\lambda_i|^2|x_i|^2\le M^2\sum_{i=1}^n|x_i|^2=M^2\|x\|^2,$$
donc $\vert\!\vert\!\vert D\vert\!\vert\!\vert \le M$. Si $i_0$ réalise le maximum, $\|e_{i_0}\|=1$ et $\|De_{i_0}\|=|\lambda_{i_0}|=M$, d'où $\vert\!\vert\!\vert D\vert\!\vert\!\vert \ge M$. Ainsi
$$\boxed{\vert\!\vert\!\vert \mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\vert\!\vert\!\vert =\max_{1\le i\le n}|\lambda_i|}$$
### Question 3
> [!INDICATION]
> Utilisez deux fois l'inégalité $\|Mx\|\le\vert\!\vert\!\vert M\vert\!\vert\!\vert \,\|x\|$ tirée de Q1.
#### Solution
Pour tout $x$, en appliquant deux fois la conséquence de la question 1 :
$\|ABx\|\le\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert \,\|Bx\|\le\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert \,\vert\!\vert\!\vert B\vert\!\vert\!\vert \,\|x\|$. En passant à la borne supérieure sur $\|x\|=1$ :
$$\boxed{\vert\!\vert\!\vert AB\vert\!\vert\!\vert \le\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert \cdot\vert\!\vert\!\vert B\vert\!\vert\!\vert }$$
### Question 4
> [!INDICATION]
> Le préambule autorise à utiliser $\|Ux\|=\|x\|$.
> [!INDICATION]
> Pour $\vert\!\vert\!\vert AU\vert\!\vert\!\vert $, faites un changement de variable sur la sphère : il faut que $x\mapsto Ux$ soit **surjective** sur la sphère.
#### Solution
Si $U$ est unitaire, $\|Ux\|=\|x\|$ pour tout $x$ (fait admis), donc $\vert\!\vert\!\vert U\vert\!\vert\!\vert =\sup_{\|x\|=1}1=1$.
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$. Pour $\|x\|=1$, $\|UAx\|=\|Ax\|$, donc $\vert\!\vert\!\vert UA\vert\!\vert\!\vert =\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert $.
Ensuite $x\mapsto Ux$ envoie $\mathbb S$ dans $\mathbb S$ (conservation de la norme) et c'est une bijection de $\mathbb S$ sur $\mathbb S$, de réciproque $y\mapsto U^{-1}y=U^*y$, $U^*$ étant elle aussi unitaire ($UU^*=I_n$ car $U^*U=I_n$ en dimension finie). Donc
$$\vert\!\vert\!\vert AU\vert\!\vert\!\vert =\sup_{x\in\mathbb S}\|A(Ux)\|=\sup_{y\in\mathbb S}\|Ay\|=\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert .$$
$$\boxed{\vert\!\vert\!\vert U\vert\!\vert\!\vert =1,\qquad \vert\!\vert\!\vert AU\vert\!\vert\!\vert =\vert\!\vert\!\vert UA\vert\!\vert\!\vert =\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert }$$
> [!PIEGE]
> Pour $\vert\!\vert\!\vert AU\vert\!\vert\!\vert $, écrire seulement $\|AUx\|\le\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert \|Ux\|=\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert $ ne donne qu'une inégalité. Pour l'égalité, il faut la bijection de la sphère, ou appliquer l'inégalité à $A=(AU)U^*$.
### Question 5
> [!INDICATION]
> Exprimez $p(A)$ à l'aide de $P$, $p(D)$ et $P^{-1}$, puis utilisez Q2 et Q3 pour la majoration.
> [!INDICATION]
> Pour la minoration, la sous-multiplicativité ne marche pas : pensez à un vecteur propre de $A$.
#### Solution
Écrivons $D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$. Comme $A^k=PD^kP^{-1}$ pour tout $k$, par linéarité $p(A)=P\,p(D)\,P^{-1}$ avec $p(D)=\mathrm{diag}(p(\lambda_1),\dots,p(\lambda_n))$. De plus $\sigma(A)=\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$ (matrices semblables), donc par la question 2 :
$$\vert\!\vert\!\vert p(D)\vert\!\vert\!\vert =\max_i|p(\lambda_i)|=\|p\|_{\sigma(A)}.$$
*Majoration.* Par la question 3 : $\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \le\vert\!\vert\!\vert P\vert\!\vert\!\vert \,\vert\!\vert\!\vert p(D)\vert\!\vert\!\vert \,\vert\!\vert\!\vert P^{-1}\vert\!\vert\!\vert =\mathrm{cond}(P)\,\|p\|_{\sigma(A)}$.
*Minoration.* Soit $i$ et $v=Pe_i/\|Pe_i\|$ (vecteur propre unitaire de $A$ pour $\lambda_i$). Alors $p(A)v=p(\lambda_i)v$, donc $\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \ge\|p(A)v\|=|p(\lambda_i)|$. En prenant le maximum sur $i$ : $\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \ge\|p\|_{\sigma(A)}$.
$$\boxed{\|p\|_{\sigma(A)}\le\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \le\mathrm{cond}(P)\,\|p\|_{\sigma(A)}}$$
> [!METHODE]
> Une norme subordonnée majore le module de toute valeur propre : si $Mv=\mu v$ avec $\|v\|=1$, alors $\vert\!\vert\!\vert M\vert\!\vert\!\vert \ge\|Mv\|=|\mu|$.
> [!JURY]
> Le rapport 2025 rappelle que les manipulations de polynômes d'endomorphismes doivent être justifiées : ici, $p(PDP^{-1})=P\,p(D)\,P^{-1}$ vient de $(PDP^{-1})^k=PD^kP^{-1}$ et de la linéarité. Il vaut mieux l'écrire.
## Partie A — Principe du maximum pour les polynômes
Pour $z$ dans le disque, on fabrique une matrice **unitaire** $U$ dont le coefficient $(1,1)$ de $p(U)$ vaut $p(z)$. Le spectre de $U$ étant sur le cercle, on obtient le principe du maximum pour les polynômes sans aucune analyse complexe.
Dans cette partie, $n\ge2$, $z\in\mathbb D$, $s=\sqrt{1-|z|^2}\in[0,1]$ est **réel**, et $p=\sum_{k=0}^{n-1}p_kX^k$ est de degré $n-1$.
### Question 6
> [!INDICATION]
> Le préambule fournit un critère d'unitarité portant sur les colonnes.
> [!INDICATION]
> Écrivez chaque colonne dans la base canonique : seules les deux premières ont des coordonnées sur $e_1$ et $e_n$. Le fait que $s$ soit réel sert dans un produit scalaire.
#### Solution
Lisons les colonnes $C_1,\dots,C_n$ de $U$ : $C_1=z\,e_1+s\,e_n$, $C_2=s\,e_1-\bar z\,e_n$ et, pour $3\le j\le n$, $C_j=e_{j-1}$ (la ligne $i\in\{2,\dots,n-1\}$ porte un $1$ en colonne $i+1$).
- Normes : $\|C_1\|^2=|z|^2+s^2=1$, $\|C_2\|^2=s^2+|z|^2=1$, $\|C_j\|=\|e_{j-1}\|=1$.
- $\langle C_1|C_2\rangle=z\,\overline{s}+s\,\overline{(-\bar z)}=zs-sz=0$ car $s$ est réel.
- Pour $3\le j\le n$, $C_j=e_{j-1}$ avec $j-1\in\{2,\dots,n-1\}$ : ces vecteurs sont deux à deux orthogonaux, et orthogonaux à $C_1,C_2$ qui n'ont de coordonnées non nulles qu'aux indices $1$ et $n$.
Les colonnes de $U$ forment une base orthonormale, donc **$U$ est unitaire** (critère admis). Pour $n=2$, seules $C_1,C_2$ interviennent et le calcul est le même.
> [!PIEGE]
> Le produit scalaire est semi-linéaire à droite : $\langle C_1|C_2\rangle=z\bar s+s\,\overline{(-\bar z)}$. Il ne s'annule que parce que $\bar s=s$.
### Question 7
> [!INDICATION]
> Le coefficient $e_1^*Me_1$ est la première coordonnée de $Me_1$. Il suffit donc de connaître la première coordonnée de $U^ke_1$ pour $k\le n-1$.
> [!INDICATION]
> Calculez $Ue_1$, $U^2e_1$, $U^3e_1$ et conjecturez une formule. Les colonnes $3$ à $n$ décalent la base vers le haut : à quel moment le vecteur $e_2$ apparaît-il ?
> [!INDICATION]
> Démontrez la formule par récurrence pour $k\le n-1$, en vérifiant que la colonne $C_2$ n'est jamais utilisée.
#### Solution
On a $e_1^*v={}^t\overline{e_1}\,v=v_1$ (première coordonnée). Par lecture des colonnes : $Ue_1=z\,e_1+s\,e_n$, $Ue_2=s\,e_1-\bar z\,e_n$ et $Ue_j=e_{j-1}$ pour $3\le j\le n$.
Montrons par récurrence sur $k\in\{0,\dots,n-1\}$ :
$$U^ke_1=z^ke_1+s\sum_{j=0}^{k-1}z^{k-1-j}e_{n-j}.$$
Pour $k=0$, c'est $e_1$ (somme vide). Supposons la formule vraie au rang $k\le n-2$. Les indices $n-j$ qui apparaissent vérifient $j\le k-1\le n-3$, donc $n-j\ge3$ et $Ue_{n-j}=e_{n-j-1}$. Ainsi
$$U^{k+1}e_1=z^k(ze_1+se_n)+s\sum_{j=0}^{k-1}z^{k-1-j}e_{n-j-1}=z^{k+1}e_1+s\sum_{j=0}^{k}z^{k-j}e_{n-j},$$
ce qui est la formule au rang $k+1$. Pour $k\le n-1$, les vecteurs $e_{n-j}$ de la somme ont un indice $n-j\ge n-k+1\ge2$ : la première coordonnée de $U^ke_1$ est $z^k$.
Par linéarité, $e_1^*p(U)e_1=\sum_{k=0}^{n-1}p_k\,e_1^*U^ke_1=\sum_{k=0}^{n-1}p_kz^k$, soit
$$\boxed{p(z)=e_1^*\,p(U)\,e_1}$$
(le calcul vaut pour tout polynôme de degré $\le n-1$).
> [!METHODE]
> Pour calculer $p(M)v$, on calcule les itérés $M^kv$ en suivant l'action de $M$ sur la base canonique, ce qui est plus sûr que de calculer les puissances de $M$.
> [!JURY]
> Le rapport 2025 insiste, à propos d'un calcul d'itérés, sur la nécessité de bien écrire la récurrence. C'est la même chose ici : il faut énoncer la formule, préciser pour quels $k$ elle vaut et justifier l'hérédité.
### Question 8
> [!INDICATION]
> Écrivez $p(z)$ comme un produit scalaire et appliquez Cauchy-Schwarz.
> [!INDICATION]
> Pour la seconde inégalité, appliquez Q5 à $U$ avec la matrice de passage fournie par le théorème du préambule. Que vaut son conditionnement ?
#### Solution
Par la question 7, $p(z)=e_1^*\,(p(U)e_1)=\langle p(U)e_1|e_1\rangle$. Par Cauchy-Schwarz, puis la question 1,
$$|p(z)|\le\|p(U)e_1\|\,\|e_1\|=\|p(U)e_1\|\le\vert\!\vert\!\vert p(U)\vert\!\vert\!\vert .$$
Par le théorème de réduction du préambule, $U$ unitaire s'écrit $U=W\,\mathrm{diag}(\mu_1,\dots,\mu_n)\,W^{-1}$ avec $W$ unitaire et $|\mu_i|=1$. $W^{-1}=W^*$ est unitaire, donc $\mathrm{cond}(W)=\vert\!\vert\!\vert W\vert\!\vert\!\vert \,\vert\!\vert\!\vert W^{-1}\vert\!\vert\!\vert =1$ (question 4). La question 5 donne $\vert\!\vert\!\vert p(U)\vert\!\vert\!\vert \le\|p\|_{\sigma(U)}$, et comme $\sigma(U)=\{\mu_i\}\subset\partial\mathbb D$, $\|p\|_{\sigma(U)}\le\|p\|_{\partial\mathbb D}$. Finalement
$$\boxed{|p(z)|\le\vert\!\vert\!\vert p(U)\vert\!\vert\!\vert \le\|p\|_{\partial\mathbb D}}$$
### Question 9
> [!INDICATION]
> Reprenez le calcul de Q7 pour obtenir $p(U)e_1$ en entier : sa composante sur $e_1$ est $p(z)$. Que dire du reste ?
> [!INDICATION]
> Comparez $\|p(U)e_1\|$ et $|p(z)|$ par le théorème de Pythagore. Où sert l'hypothèse $\deg p=n-1$, et où sert $|z|<1$ ?
#### Solution
Supposons $|z|<1$, donc $s>0$. D'après le calcul de la question 7,
$$p(U)e_1=p(z)\,e_1+s\,w,\qquad w=\sum_{k=1}^{n-1}p_k\sum_{j=0}^{k-1}z^{k-1-j}e_{n-j}\in\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_n).$$
La coordonnée de $w$ sur $e_2$ correspond à $n-j=2$, soit $j=n-2$, ce qui impose $k-1\ge n-2$, donc $k=n-1$ : elle vaut $p_{n-1}z^0=p_{n-1}$, non nul car $\deg p=n-1$. Donc $w\neq0$.
Comme $w\perp e_1$, le théorème de Pythagore donne
$$\|p(U)e_1\|^2=|p(z)|^2+s^2\|w\|^2>|p(z)|^2.$$
Avec la question 8 :
$$|p(z)|<\|p(U)e_1\|\le\vert\!\vert\!\vert p(U)\vert\!\vert\!\vert \le\|p\|_{\partial\mathbb D},\qquad\text{soit}\qquad\boxed{|p(z)|<\|p\|_{\partial\mathbb D}\ \text{ pour }|z|<1}$$
(Le résultat serait faux pour $p$ constant : c'est l'hypothèse $\deg p=n-1\ge1$ qui sert.)
> [!METHODE]
> Pour obtenir une inégalité stricte à partir d'une chaîne d'inégalités larges, il suffit qu'**une seule** soit stricte. On cherche donc le maillon où l'on peut identifier ce qui est perdu, ici le terme $s^2\|w\|^2$.
> [!PIEGE]
> Invoquer le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz pour le produit scalaire hermitien est possible, mais le préambule ne le donne pas : il faudrait le démontrer. Le calcul de Pythagore est plus court et entièrement justifié.
### Question 10
> [!INDICATION]
> $|p|$ atteint son maximum sur $S$ en un point $x_0$. Raisonnez par l'absurde en supposant $x_0$ « intérieur » au sens de l'énoncé.
> [!INDICATION]
> Ramenez-vous au disque unité par le changement de variable $w\mapsto x_0+\delta w$ et appliquez Q9 avec la bonne dimension $n$.
> [!INDICATION]
> Le cas des polynômes constants est à part : il faut alors seulement vérifier que $\partial S$ n'est pas vide.
#### Solution
Comme $\partial S\subset S$, on a $\|p\|_{\partial S}\le\|p\|_S$. $S$ est fermé borné non vide de $\mathbb C$, donc compact, et $|p|$ est continue : elle atteint sur $S$ son maximum $M=\|p\|_S$ en un point $x_0$.
*$\partial S$ est non vide.* La fonction $|\cdot|$ atteint son maximum sur $S$ en un point $x_1$. Si $x_1\neq0$, tout disque $\mathbb D(x_1,\delta)$ avec $\delta>0$ contient $x_1\big(1+\delta/|x_1|\big)$, de module $|x_1|+\delta>|x_1|$, donc non inclus dans $S$ : $x_1\in\partial S$. Si $x_1=0$, alors $S=\{0\}$ et aucun disque de rayon $\delta>0$ n'est inclus dans $S$ : $0\in\partial S$.
*Cas $p$ constant égal à $c$.* Alors $\|p\|_S=|c|=\|p\|_{\partial S}$ puisque $\partial S\neq\emptyset$.
*Cas $d=\deg p\ge1$.* Supposons par l'absurde $x_0\notin\partial S$ : il existe $\delta>0$ tel que $\mathbb D(x_0,\delta)\subset S$. Le polynôme $\tilde p(w)=p(x_0+\delta w)$ a pour coefficient dominant $p_d\delta^d\neq0$, donc il est de degré $d=m-1$ avec $m=d+1\ge2$. La question 9, appliquée dans $\mathbb C^m$ à $\tilde p$ et au point $0$ (de module $<1$), donne
$$M=|p(x_0)|=|\tilde p(0)|<\|\tilde p\|_{\partial\mathbb D}=\sup_{|x-x_0|=\delta}|p(x)|\le\|p\|_S=M,$$
la dernière inégalité car $\partial\mathbb D(x_0,\delta)\subset\mathbb D(x_0,\delta)\subset S$. C'est absurde, donc $x_0\in\partial S$ et $\|p\|_{\partial S}\ge|p(x_0)|=M$.
$$\boxed{\|p\|_S=\|p\|_{\partial S}}$$
> [!PIEGE]
> Q9 suppose $\deg p=n-1$ avec $n\ge2$ : on l'applique en dimension $m=\deg p+1$. Si $p$ est constant, Q9 ne s'applique pas, et il faut montrer $\partial S\neq\emptyset$ (un point de $S$ de module maximal convient).
## Partie B — Inégalité de Von Neumann
On « dilate » une contraction $A$ en une matrice unitaire plus grande dont un bloc reproduit les puissances de $A$. Les outils : réduction des matrices hermitiennes, racine carrée positive, interpolation de Lagrange et calcul par blocs.
On suppose $\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert \le1$.
### Question 11
> [!INDICATION]
> Appliquez Q5 avec une matrice de passage unitaire, comme en Q8.
#### Solution
Si $A$ est unitaire, le théorème du préambule donne $A=V\,\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\,V^{-1}$ avec $V$ unitaire et $|\lambda_i|=1$. Comme à la question 8, $\mathrm{cond}(V)=1$ (question 4), et la question 5 donne
$$\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \le\|p\|_{\sigma(A)}\le\|p\|_{\mathbb D},$$
car $\sigma(A)\subset\partial\mathbb D\subset\mathbb D$. Donc $\boxed{\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \le\|p\|_{\mathbb D}}$ pour $A$ unitaire.
### Question 12
> [!INDICATION]
> $I-A^*A$ est hermitienne : le théorème du préambule la diagonalise en base orthonormale. Il reste à voir que ses valeurs propres sont positives.
> [!INDICATION]
> Si $x$ est un vecteur propre unitaire, exprimez la valeur propre comme $\langle Mx|x\rangle$. Pour $I-AA^*$, il faut savoir que $\vert\!\vert\!\vert A^*\vert\!\vert\!\vert \le1$.
#### Solution
*Positivité.* $M=I-A^*A$ est hermitienne : $M^*=I-A^*(A^*)^*=M$. Si $Mx=\mu x$ avec $\|x\|=1$, alors $\mu=\langle Mx|x\rangle=\|x\|^2-\langle Ax|Ax\rangle=1-\|Ax\|^2\ge1-\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert ^2\ge0$.
De même $M'=I-AA^*$ est hermitienne, et pour $M'x'=\mu'x'$, $\|x'\|=1$ : $\mu'=1-\|A^*x'\|^2$. Or pour tout $y$,
$$\|A^*y\|^2=\langle AA^*y|y\rangle\le\|A(A^*y)\|\,\|y\|\le\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert \,\|A^*y\|\,\|y\|,$$
d'où $\|A^*y\|\le\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert \,\|y\|\le\|y\|$ (trivial si $A^*y=0$). Donc $\mu'\ge0$.
*Racine carrée.* Par le théorème du préambule, $M=V\,\mathrm{diag}(\mu_1,\dots,\mu_n)\,V^{-1}$ avec $V$ unitaire et $\mu_i\ge0$. Posons $D_A=V\,\mathrm{diag}(\sqrt{\mu_1},\dots,\sqrt{\mu_n})\,V^{-1}$. Comme $V^{-1}=V^*$ et les $\sqrt{\mu_i}$ sont réels, $D_A^*=V\,\mathrm{diag}(\sqrt{\mu_i})\,V^*=D_A$ : $D_A$ est hermitienne, de valeurs propres $\sqrt{\mu_i}\ge0$, et $D_A^2=V\,\mathrm{diag}(\mu_i)\,V^{-1}=I-A^*A$. On construit $D_{A^*}$ de même à partir de $M'$.
$$\boxed{D_A,\ D_{A^*}\ \text{hermitiennes à valeurs propres}\ \ge0,\qquad D_A^2=I-A^*A,\quad D_{A^*}^2=I-AA^*}$$
> [!METHODE]
> Pour une matrice hermitienne $M$, la valeur propre associée à un vecteur propre unitaire $x$ vaut $\langle Mx|x\rangle$. C'est le moyen le plus rapide de montrer que les valeurs propres sont positives.
> [!PIEGE]
> La positivité de $I-AA^*$ n'est pas une conséquence directe de celle de $I-A^*A$. Il faut montrer que $\vert\!\vert\!\vert A^*\vert\!\vert\!\vert \le\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert $, par exemple par Cauchy-Schwarz, ou que $A^*A$ et $AA^*$ ont les mêmes valeurs propres.
### Question 13
> [!INDICATION]
> Un polynôme agit sur une matrice diagonalisable en base orthonormale par ses valeurs aux valeurs propres. Quelles valeurs doit prendre $q$ ?
> [!INDICATION]
> Interpolation de Lagrange : choisissez les nœuds pour que le **même** $q$ convienne à $A^*A$ et à $AA^*$.
> [!INDICATION]
> $q(A^*A)$ est une racine carrée hermitienne positive de $I-A^*A$, mais rien ne dit encore que c'est $D_A$. Démontrez l'unicité de cette racine.
#### Solution
*Lemme (unicité de la racine carrée positive).* Si $H,K$ sont hermitiennes à valeurs propres $\ge0$ et $H^2=K^2$, alors $H=K$.
*Preuve.* $H$ est diagonalisable (théorème du préambule) de valeurs propres $\nu_1,\dots,\nu_r\ge0$ distinctes : $\mathbb C^n=\bigoplus_i\ker(H-\nu_iI)$. Pour $\mu\ge0$, montrons $\ker(H-\mu I)=\ker(H^2-\mu^2I)$. L'inclusion $\subset$ est claire. Si $H^2x=\mu^2x$, décomposons $x=\sum_ix_i$ avec $x_i\in\ker(H-\nu_iI)$ : $\sum_i(\nu_i^2-\mu^2)x_i=0$, donc $x_i=0$ dès que $\nu_i^2\neq\mu^2$, c'est-à-dire (positivité) dès que $\nu_i\neq\mu$ ; ainsi $x\in\ker(H-\mu I)$. Le même énoncé vaut pour $K$. Pour tout $\mu\ge0$ :
$$\ker(H-\mu I)=\ker(H^2-\mu^2I)=\ker(K^2-\mu^2I)=\ker(K-\mu I).$$
Sur chaque $\ker(H-\nu_iI)$, $H$ et $K$ agissent donc par $\nu_i\,\mathrm{id}$ ; ces sous-espaces étant supplémentaires, $H=K$. $\square$
*Construction de $q$.* Les valeurs propres de $A^*A$ sont de la forme $\|Ax\|^2\in[0,1]$ et celles de $AA^*$ de la forme $\|A^*x\|^2\in[0,1]$ (question 12). Soit $\Lambda=\sigma(A^*A)\cup\sigma(AA^*)=\{\lambda_1,\dots,\lambda_m\}\subset[0,1]$ (valeurs distinctes). Par interpolation de Lagrange, il existe $q\in\mathbb R[X]\subset\mathbb C[X]$ tel que $q(\lambda_j)=\sqrt{1-\lambda_j}$ pour $1\le j\le m$.
Écrivons $A^*A=W\,\mathrm{diag}(\beta_1,\dots,\beta_n)\,W^*$ avec $W$ unitaire et $\beta_i\in\Lambda$ (théorème du préambule). Alors $q(A^*A)=W\,\mathrm{diag}(\sqrt{1-\beta_i})\,W^*$ est hermitienne, à valeurs propres $\ge0$, et $q(A^*A)^2=W\,\mathrm{diag}(1-\beta_i)\,W^*=I-A^*A=D_A^2$. Le lemme donne $q(A^*A)=D_A$. Le même raisonnement avec $AA^*$ (ses valeurs propres sont aussi dans $\Lambda$) donne $q(AA^*)=D_{A^*}$.
$$\boxed{\exists\,q\in\mathbb C[X],\qquad D_A=q(A^*A)\quad\text{et}\quad D_{A^*}=q(AA^*)}$$
> [!METHODE]
> Pour une matrice diagonalisable $M$ de spectre fini, toute fonction $f$ définie sur $\sigma(M)$ peut être réalisée par un polynôme : le polynôme d'interpolation de Lagrange $q$ vérifie $q(M)=P\,\mathrm{diag}(f(\lambda_i))\,P^{-1}$.
> [!PIEGE]
> L'unicité de la racine carrée hermitienne positive n'est pas au programme : il faut la démontrer pour s'en servir. Sans elle, on prouve seulement que $q(A^*A)$ est *une* racine carrée de $I-A^*A$.
### Question 14
> [!INDICATION]
> Montrez d'abord la relation pour les puissances, $A(A^*A)^k=(AA^*)^kA$, puis passez aux polynômes par linéarité.
#### Solution
Par récurrence, $A(A^*A)^k=(AA^*)^kA$ pour tout $k\in\mathbb N$ : c'est vrai pour $k=0$ et, si c'est vrai au rang $k$, $A(A^*A)^{k+1}=(AA^*)^kA\,A^*A=(AA^*)^{k+1}A$. Par linéarité, $A\,q(A^*A)=q(AA^*)\,A$, soit avec la question 13 $A\,D_A=D_{A^*}A$.
De même $A^*(AA^*)^k=(A^*A)^kA^*$ (même récurrence, en échangeant les rôles de $A$ et $A^*$), d'où $A^*q(AA^*)=q(A^*A)A^*$, soit $A^*D_{A^*}=D_AA^*$.
$$\boxed{A^*D_{A^*}=D_AA^*\qquad\text{et}\qquad AD_A=D_{A^*}A}$$
> [!METHODE]
> Si $AM=NA$, alors $Aq(M)=q(N)A$ pour tout polynôme $q$. Ce passage des puissances aux polynômes revient très souvent.
### Question 15
> [!INDICATION]
> Calculez $U^*$ par blocs (attention à l'ordre des blocs et aux adjoints), puis $U^*U$.
> [!INDICATION]
> Les blocs diagonaux se simplifient avec Q12, les blocs hors diagonale avec Q14.
#### Solution
$D_A$ et $D_{A^*}$ étant hermitiennes, $U^*=\begin{pmatrix}A^*&-D_A\\ D_{A^*}&A\end{pmatrix}$, et par produit par blocs :
$$U^*U=\begin{pmatrix}A^*A+D_A^2 & A^*D_{A^*}-D_AA^*\\ D_{A^*}A-AD_A & D_{A^*}^2+AA^*\end{pmatrix}.$$
Par la question 12, $A^*A+D_A^2=I_n$ et $D_{A^*}^2+AA^*=I_n$ ; par la question 14, les deux blocs hors diagonale sont nuls. Donc $U^*U=I_{2n}$ : **$U$ est unitaire**.
### Question 16
> [!INDICATION]
> Deux choses à prouver : $U_k$ est unitaire, et le bloc $(1,1)$ de $p(U_k)$ vaut $p(A)$ lorsque $\deg p\le k+1$. Ensuite Q11 conclut.
> [!INDICATION]
> Pour l'unitarité, les colonnes-blocs 1 et 2 reproduisent le calcul de Q15 ; les autres sont des blocs $I_n$ isolés.
> [!INDICATION]
> Pour le bloc $(1,1)$, suivez $U_k^j(x,0,\dots,0)$ comme en Q7 : le terme $-D_Ax$ part du dernier bloc et remonte d'un cran par étape. Combien d'étapes lui faut-il pour atteindre le bloc 2 ?
#### Solution
$U_k$ est de taille $(k+2)n$. Écrivons un vecteur $V=(V_1,\dots,V_{k+2})$ par blocs de taille $n$. La définition de $U_k$ s'écrit
$$(U_kV)_1=AV_1+D_{A^*}V_2,\qquad(U_kV)_i=V_{i+1}\ \ (2\le i\le k+1),\qquad(U_kV)_{k+2}=-D_AV_1+A^*V_2.$$
(Pour $k=0$, $U_0$ est la matrice $U$ de la question 15.)
*$U_k$ est unitaire.* Ses colonnes-blocs sont $\mathcal C_1=(A,0,\dots,0,-D_A)$, $\mathcal C_2=(D_{A^*},0,\dots,0,A^*)$ et, pour $3\le j\le k+2$, $\mathcal C_j$ qui porte $I_n$ sur la ligne-bloc $j-1\in\{2,\dots,k+1\}$ et $0_n$ ailleurs. Le bloc $(i,j)$ de $U_k^*U_k$ vaut $\mathcal C_i^*\mathcal C_j$ :
- $\mathcal C_1^*\mathcal C_1=A^*A+D_A^2=I_n$, $\mathcal C_2^*\mathcal C_2=AA^*+D_{A^*}^2=I_n$, $\mathcal C_1^*\mathcal C_2=A^*D_{A^*}-D_AA^*=0$ et $\mathcal C_2^*\mathcal C_1=(\mathcal C_1^*\mathcal C_2)^*=0$ (questions 12 et 14) ;
- pour $i,j\ge3$, $\mathcal C_i^*\mathcal C_j=\delta_{ij}I_n$ ; pour $i\in\{1,2\}$ et $j\ge3$, $\mathcal C_i^*\mathcal C_j=0$ car $\mathcal C_1,\mathcal C_2$ sont nulles sur les lignes-blocs $2,\dots,k+1$.
Donc $U_k^*U_k=I_{(k+2)n}$ : $U_k$ est unitaire.
*Bloc en haut à gauche de $p(U_k)$.* Soit $x\in\mathbb C^n$, $E_1x=(x,0,\dots,0)$ et $W^{(j)}=U_k^jE_1x$. Montrons par récurrence sur $j\in\{0,\dots,k+1\}$ la propriété : $W^{(j)}_1=A^jx$ et $W^{(j)}_i=0$ pour $2\le i\le k+2-j$.
- $j=0$ : $W^{(0)}=(x,0,\dots,0)$.
- Si la propriété vaut au rang $j\le k$, alors $k+2-j\ge2$ donc $W^{(j)}_2=0$ et $W^{(j+1)}_1=AW^{(j)}_1+D_{A^*}W^{(j)}_2=A^{j+1}x$ ; pour $2\le i\le k+1-j$, $W^{(j+1)}_i=W^{(j)}_{i+1}=0$ car $3\le i+1\le k+2-j$. C'est la propriété au rang $j+1$.
En particulier $W^{(j)}_1=A^jx$ pour $0\le j\le k+1$. Par linéarité, si $\deg p\le k+1$, $\big(p(U_k)E_1x\big)_1=p(A)x$ pour tout $x$ : **le premier bloc diagonal de $p(U_k)$ est $p(A)$**.
*Conclusion.* Soit $p\in\mathbb C[X]$ et $k=\max(0,\deg p-1)$ (avec $k=0$ si $p=0$), de sorte que $\deg p\le k+1$. Pour $\|x\|=1$, $\|E_1x\|=1$ et la norme de $p(A)x$, premier bloc de $p(U_k)E_1x$, est majorée par celle de ce vecteur :
$$\|p(A)x\|\le\|p(U_k)E_1x\|\le\vert\!\vert\!\vert p(U_k)\vert\!\vert\!\vert \le\|p\|_{\mathbb D},$$
la dernière inégalité par la question 11 appliquée à la matrice unitaire $U_k$. En passant au sup sur $x$ :
$$\boxed{\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \le\|p\|_{\mathbb D}\quad\text{pour toute contraction }A\text{ et tout }p\in\mathbb C[X]}$$
> [!METHODE]
> Dilatation unitaire : une contraction est le « coin » d'une matrice unitaire plus grande. Pour transférer une inégalité vraie pour les unitaires, on vérifie que le coin de $p(U_k)$ est $p(A)$, puis on utilise $\|p(A)x\|\le\|p(U_k)E_1x\|$.
> [!PIEGE]
> Le bloc 2 de $U_k^jE_1x$ cesse d'être nul à l'étape $k+1$, mais le bloc 1 n'en est affecté qu'à l'étape $k+2$. C'est ce décalage d'une étape qui donne la borne $\deg p\le k+1$, et non $\deg p\le k$.
> [!JURY]
> Le rapport 2025 demande, quand on utilise une question antérieure, de citer précisément la question et le résultat. Ici on renvoie à Q11 (inégalité pour une matrice unitaire), à Q12 et Q14 (relations entre blocs), et non « aux résultats précédents ».
### Question 17
> [!INDICATION]
> Renormalisez $A$ pour obtenir une contraction et modifiez le polynôme en conséquence.
#### Solution
Si $A=0$, $p(A)=p(0)I_n$ et $\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert =|p(0)|=\|p\|_{\mathbb D(0,0)}$. Sinon, soit $\rho=\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert >0$ et $B=A/\rho$, qui vérifie $\vert\!\vert\!\vert B\vert\!\vert\!\vert =1$ : c'est une contraction. Avec $\tilde p(X)=p(\rho X)$, on a $\tilde p(B)=p(A)$ et, par la question 16,
$$\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert =\vert\!\vert\!\vert \tilde p(B)\vert\!\vert\!\vert \le\|\tilde p\|_{\mathbb D}=\sup_{|w|\le1}|p(\rho w)|=\sup_{|u|\le\rho}|p(u)|=\|p\|_{\mathbb D(0,\rho)}.$$
$$\boxed{\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \le\|p\|_{\mathbb D(0,\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert )}}$$
> [!PIEGE]
> La division par $\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert $ impose de traiter $A=0$ à part.
## Partie C — Hausdorffien et rayon numérique
On étudie l'image numérique $\mathcal H(A)$ et le rayon numérique $r(A)$. On montre que $r$ est une norme équivalente à $\vert\!\vert\!\vert \cdot\vert\!\vert\!\vert $, qu'elle n'est pas sous-multiplicative, mais qu'elle vérifie l'inégalité des puissances $r(A^k)\le r(A)^k$.
### Question 18
> [!INDICATION]
> Prenez un vecteur propre et normalisez-le.
#### Solution
Soit $\lambda\in\sigma(A)$ et $x$ un vecteur propre associé, normalisé : $\|x\|=1$, $Ax=\lambda x$. Par linéarité à gauche, $\langle Ax|x\rangle=\lambda\langle x|x\rangle=\lambda$. Donc $\lambda\in\mathcal H(A)$ : $\boxed{\sigma(A)\subset\mathcal H(A)}$.
### Question 19
> [!INDICATION]
> Calculez $\langle Dx|x\rangle$ : quels coefficients apparaissent devant les $\lambda_i$ ?
> [!INDICATION]
> Pour l'inclusion réciproque, construisez $x$ à partir des $\alpha_i$.
#### Solution
Soit $D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ et $\Gamma=\{\sum_i\alpha_i\lambda_i:\alpha_i\ge0,\ \sum_i\alpha_i=1\}$.
$\subset$ : pour $\|x\|=1$, $\langle Dx|x\rangle=\sum_i\lambda_ix_i\overline{x_i}=\sum_i|x_i|^2\lambda_i$ ; avec $\alpha_i=|x_i|^2\ge0$, $\sum_i\alpha_i=\|x\|^2=1$, donc $\langle Dx|x\rangle\in\Gamma$.
$\supset$ : si $\alpha_i\ge0$ et $\sum_i\alpha_i=1$, le vecteur $x=(\sqrt{\alpha_1},\dots,\sqrt{\alpha_n})$ est unitaire et $\langle Dx|x\rangle=\sum_i\alpha_i\lambda_i$.
$$\boxed{\mathcal H(\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n))=\Big\{\sum_{i=1}^n\alpha_i\lambda_i:\ \alpha_i\in\mathbb R_+,\ \sum_{i=1}^n\alpha_i=1\Big\}=\mathrm{conv}\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}}$$
> [!PIEGE]
> Une égalité d'ensembles demande deux inclusions. Ici la seconde, qui consiste à atteindre toute combinaison convexe, est aussi simple que la première, mais il faut l'écrire.
### Question 20
> [!INDICATION]
> Montrez que $\mathcal H(VDV^{-1})=\mathcal H(D)$ lorsque $V$ est unitaire, puis utilisez le théorème du préambule et Q19.
#### Solution
*Invariance unitaire.* Si $A=VDV^{-1}$ avec $V$ unitaire, alors pour $x\in\mathbb S$ et $y=V^*x$ :
$$\langle Ax|x\rangle=\langle VDy|Vy\rangle=\langle Dy|V^*Vy\rangle=\langle Dy|y\rangle.$$
Comme $x\mapsto V^*x$ est une bijection de $\mathbb S$ sur $\mathbb S$ (question 4), $\mathcal H(A)=\mathcal H(D)$.
Si $A$ est unitaire (resp. hermitienne), le théorème du préambule fournit une telle écriture avec $D=\mathrm{diag}(\lambda_i)$, les $\lambda_i$ étant les valeurs propres de $A$. Par la question 19 :
$$\boxed{\mathcal H(A)=\mathrm{conv}\big(\sigma(A)\big)}$$
- $A$ unitaire : $\mathcal H(A)$ est le polygone convexe (éventuellement réduit à un point ou un segment) de sommets les valeurs propres, inscrit dans le cercle unité.
- $A$ hermitienne : les valeurs propres sont réelles et $\mathcal H(A)=[\lambda_{\min},\lambda_{\max}]\subset\mathbb R$.
> [!METHODE]
> L'image numérique est invariante par similitude **unitaire**, mais pas par similitude quelconque. C'est pourquoi le théorème de réduction en base orthonormale est indispensable ici.
### Question 21
> [!INDICATION]
> Suivez l'indication : pourquoi peut-on se ramener à des vecteurs de la forme $(a,be^{i\theta})$ avec $a,b\ge0$ ?
> [!INDICATION]
> Le module de $\langle Ax|x\rangle$ vaut $ab$, son argument est libre. Quelles valeurs prend $ab$ sur le quart de cercle $a^2+b^2=1$ ?
#### Solution
Soit $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$. Pour $x=(x_1,x_2)$, $Ax=(x_2,0)$, donc $\langle Ax|x\rangle=x_2\overline{x_1}$.
Tout $x\in\mathbb S$ s'écrit $x=e^{i\varphi}\begin{pmatrix}a\\ be^{i\theta}\end{pmatrix}$ avec $a,b\in\mathbb R_+$, $a^2+b^2=1$, $\varphi,\theta\in\mathbb R$ (prendre $a=|x_1|$, $b=|x_2|$). Comme $\langle A(e^{i\varphi}y)|e^{i\varphi}y\rangle=|e^{i\varphi}|^2\langle Ay|y\rangle$, on obtient
$$\langle Ax|x\rangle=ab\,e^{i\theta}.$$
En posant $a=\cos t$, $b=\sin t$ avec $t\in[0,\pi/2]$, $ab=\frac12\sin(2t)$ décrit exactement $[0,\frac12]$ (fonction continue valant $0$ en $t=0$ et $\frac12$ en $t=\pi/4$, et majorée par $\frac12$). Comme $\theta$ est quelconque, $\mathcal H(A)=\{\rho e^{i\theta}:0\le\rho\le\frac12,\ \theta\in\mathbb R\}$ :
$$\boxed{\mathcal H\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}=\mathbb D\big(0,\tfrac12\big)}$$
> [!PIEGE]
> Montrer $ab\le\frac12$ ne prouve que l'inclusion $\mathcal H(A)\subset\mathbb D(0,\frac12)$. Il faut aussi justifier que toute valeur de $[0,\frac12]$ est atteinte, par exemple avec $a=\cos t$ et $b=\sin t$.
### Question 22
> [!INDICATION]
> Écrivez $\mathcal H(A)$ comme l'image d'un compact par une application continue.
#### Solution
L'application $f:x\mapsto\langle Ax|x\rangle=\sum_i(Ax)_i\overline{x_i}$ est continue sur $\mathbb C^n$ (polynomiale en les parties réelles et imaginaires des coordonnées de $x$). $\mathbb S$ est compacte (question 1), donc $\mathcal H(A)=f(\mathbb S)$ est compact : **$\mathcal H(A)$ est un fermé borné de $\mathbb C$**, non vide. En particulier $r(A)=\max_{z\in\mathcal H(A)}|z|$ est bien défini (borne atteinte).
### Question 23
> [!INDICATION]
> La majoration découle de Cauchy-Schwarz.
> [!INDICATION]
> Pour la minoration, choisissez $x$ réalisant $\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert $ et un $y$ unitaire tel que $\langle Ax|y\rangle$ soit réel et égal à $\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert $.
> [!INDICATION]
> Majorez chacun des quatre termes de la polarisation par $r(A)$ fois une norme au carré, puis utilisez l'identité du parallélogramme.
#### Solution
*Majoration.* Pour $\|x\|=1$, Cauchy-Schwarz donne $|\langle Ax|x\rangle|\le\|Ax\|\,\|x\|\le\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert $, donc $r(A)\le\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert $.
*Minoration.* Remarquons d'abord que pour tout $u\in\mathbb C^n$, $|\langle Au|u\rangle|\le r(A)\|u\|^2$ : c'est clair si $u=0$, et sinon $\langle Au|u\rangle=\|u\|^2\langle A\hat u|\hat u\rangle$ avec $\hat u=u/\|u\|\in\mathbb S$.
Si $A=0$ il n'y a rien à montrer. Sinon, soit $x\in\mathbb S$ tel que $\|Ax\|=\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert >0$ (question 1) et $y=Ax/\|Ax\|\in\mathbb S$. Alors $\langle Ax|y\rangle=\|Ax\|^2/\|Ax\|=\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert $. L'identité de polarisation et l'inégalité triangulaire donnent
$$4\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert =|4\langle Ax|y\rangle|\le r(A)\big(\|x+y\|^2+\|x-y\|^2+\|x+iy\|^2+\|x-iy\|^2\big).$$
En développant, $\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2=4$ (identité du parallélogramme) et de même $\|x+iy\|^2+\|x-iy\|^2=2\|x\|^2+2\|iy\|^2=4$. Donc $4\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert \le8\,r(A)$.
$$\boxed{\tfrac12\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert \le r(A)\le\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert }$$
> [!METHODE]
> L'identité de polarisation permet de reconstruire la forme sesquilinéaire $\langle Ax|y\rangle$ à partir de la forme quadratique $\langle Au|u\rangle$. C'est l'outil standard pour comparer une quantité « diagonale » ($r$) à une quantité « bilinéaire » ($\vert\!\vert\!\vert \cdot\vert\!\vert\!\vert $).
### Question 24
> [!INDICATION]
> Vérifiez les trois axiomes. Seule la séparation n'est pas immédiate : utilisez Q23.
#### Solution
$r$ est à valeurs dans $\mathbb R_+$ (question 22).
- *Séparation* : si $r(A)=0$, la question 23 donne $\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert \le2r(A)=0$ donc $A=0$.
- *Homogénéité* : $\mathcal H(\lambda A)=\{\lambda\langle Ax|x\rangle:x\in\mathbb S\}=\lambda\mathcal H(A)$, donc $r(\lambda A)=|\lambda|\,r(A)$.
- *Inégalité triangulaire* : pour $\|x\|=1$, $|\langle(A+B)x|x\rangle|\le|\langle Ax|x\rangle|+|\langle Bx|x\rangle|\le r(A)+r(B)$ ; en passant au max, $r(A+B)\le r(A)+r(B)$.
**$r$ est une norme sur $\mathcal M_n(\mathbb C)$.**
### Question 25
> [!INDICATION]
> Comparez $\mathcal H(A^*)$ et $\mathcal H(A)$, puis calculez $AB$.
#### Solution
Soit $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ et $B=A^*=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$. Par la question 21, $r(A)=\frac12$. Comme $\langle A^*x|x\rangle=\langle x|Ax\rangle=\overline{\langle Ax|x\rangle}$, $\mathcal H(B)=\overline{\mathcal H(A)}=\mathbb D(0,\frac12)$ et $r(B)=\frac12$. Or $AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}=\mathrm{diag}(1,0)$, donc $\mathcal H(AB)=[0,1]$ (question 19) et $r(AB)=1$. Ainsi
$$r(AB)=1>\tfrac14=r(A)\,r(B):\qquad\boxed{\text{l'inégalité }r(AB)\le r(A)r(B)\text{ est fausse en général.}}$$
### Question 26-a
> [!INDICATION]
> Pour la première identité, évaluez l'égalité usuelle en $1/t$ pour $t\neq0$.
> [!INDICATION]
> Pour la seconde, la somme est un polynôme de degré au plus $k-1$. Évaluez-la aux points $\omega_k^{-j}$ : un seul terme survit.
> [!INDICATION]
> Le produit $\prod_{m=1}^{k-1}(1-\omega_k^m)$ se calcule en évaluant $\frac{X^k-1}{X-1}$ en un point bien choisi.
#### Solution
*Première identité.* Pour $t\in\mathbb C^*$, en évaluant l'identité $X^k-1=\prod_{\ell=1}^k(X-\omega_k^\ell)$ en $1/t$ :
$$\prod_{\ell=1}^k(1-\omega_k^\ell t)=t^k\prod_{\ell=1}^k\Big(\frac1t-\omega_k^\ell\Big)=t^k\Big(\frac1{t^k}-1\Big)=1-t^k.$$
Les polynômes $\prod_\ell(1-\omega_k^\ell X)$ et $1-X^k$ coïncident sur l'ensemble infini $\mathbb C^*$, donc sont égaux :
$$\boxed{1-X^k=\prod_{\ell=1}^k(1-\omega_k^\ell X)}$$
*Seconde identité.* Posons $Q_j=\prod_{\ell\neq j}(1-\omega_k^\ell X)$ et $S=\sum_{j=1}^kQ_j$, de degré $\le k-1$. Soit $j_0\in\{1,\dots,k\}$. Pour $j\neq j_0$, $Q_j$ contient le facteur $1-\omega_k^{j_0}X$, nul en $\omega_k^{-j_0}$ ; donc
$$S(\omega_k^{-j_0})=Q_{j_0}(\omega_k^{-j_0})=\prod_{\ell\neq j_0}\big(1-\omega_k^{\ell-j_0}\big)=\prod_{m=1}^{k-1}(1-\omega_k^m),$$
car $\ell-j_0$ parcourt modulo $k$ les classes non nulles. Or $\prod_{m=1}^{k-1}(X-\omega_k^m)=\frac{X^k-1}{X-1}=1+X+\dots+X^{k-1}$, qui vaut $k$ en $X=1$. Donc $S-k$, de degré $\le k-1$, s'annule aux $k$ points distincts $\omega_k^{-1},\dots,\omega_k^{-k}$ : $S-k=0$. Ainsi
$$\boxed{1=\frac1k\sum_{j=1}^k\prod_{\substack{\ell=1\\ \ell\neq j}}^k(1-\omega_k^\ell X)}$$
(Pour $k=1$, le produit vide vaut $1$ et l'identité est triviale.)
> [!METHODE]
> Deux polynômes de degré au plus $k-1$ qui coïncident en $k$ points sont égaux. C'est le moyen le plus rapide de démontrer une identité polynomiale dont on connaît les valeurs en assez de points.
### Question 26-b
> [!INDICATION]
> Multipliez $x_j$ par le facteur manquant $(I-\omega_k^jA)$ : que devient le produit, et dépend-il de $j$ ?
> [!INDICATION]
> Écrivez chaque crochet comme un produit scalaire $\langle\,\cdot\,|x_j\rangle$, sommez, puis utilisez la seconde identité de 26-a.
#### Solution
Avec les notations précédentes, $x_j=Q_j(A)x$. Comme $(1-\omega_k^jX)Q_j=\prod_{\ell=1}^k(1-\omega_k^\ell X)=1-X^k$, le morphisme $P\mapsto P(A)$ donne
$$(I-\omega_k^jA)\,x_j=(I-A^k)\,x\qquad(1\le j\le k).$$
Par linéarité à gauche,
$$\|x_j\|^2-\langle\omega_k^jAx_j|x_j\rangle=\langle(I-\omega_k^jA)x_j|x_j\rangle=\langle(I-A^k)x|x_j\rangle.$$
En sommant et en utilisant l'additivité à droite et le fait que $\frac1k$ est réel :
$$\frac1k\sum_{j=1}^k\Big[\|x_j\|^2-\langle\omega_k^jAx_j|x_j\rangle\Big]=\Big\langle(I-A^k)x\ \Big|\ \frac1k\sum_{j=1}^kx_j\Big\rangle=\langle(I-A^k)x|x\rangle,$$
car $\frac1k\sum_jx_j=\big(\frac1k\sum_jQ_j\big)(A)\,x=x$ (seconde identité de 26-a). Enfin $\langle(I-A^k)x|x\rangle=\|x\|^2-\langle A^kx|x\rangle=1-\langle A^kx|x\rangle$.
$$\boxed{\frac1k\sum_{j=1}^k\Big[\|x_j\|^2-\langle\omega_k^jAx_j|x_j\rangle\Big]=1-\langle A^kx|x\rangle}$$
> [!PIEGE]
> Le produit scalaire est semi-linéaire à droite. Sortir $\frac1k$ de la seconde place est permis parce que $\frac1k$ est réel ; un coefficient complexe serait conjugué.
### Question 26-c
> [!INDICATION]
> Appliquez 26-b à $e^{i\theta}A$, qui a le même rayon numérique que $A$.
> [!INDICATION]
> Chaque crochet du membre de gauche a une partie réelle positive : majorez $|\langle By|y\rangle|$ par $r(B)\|y\|^2$.
> [!INDICATION]
> Pour conclure, choisissez $\theta$ pour que $e^{ik\theta}\langle A^kx|x\rangle$ soit un réel positif.
#### Solution
Soit $\theta\in\mathbb R$, $x\in\mathbb S$, $B=e^{i\theta}A$ : $r(B)=r(A)\le1$ (question 24) et $B^k=e^{ik\theta}A^k$. La formule de 26-b pour $B$, avec $y_j=\prod_{\ell\neq j}(I-\omega_k^\ell B)x$, s'écrit
$$\frac1k\sum_{j=1}^k\Big[\|y_j\|^2-\omega_k^j\langle By_j|y_j\rangle\Big]=1-e^{ik\theta}\langle A^kx|x\rangle.$$
Pour chaque $j$, $|\omega_k^j\langle By_j|y_j\rangle|=|\langle By_j|y_j\rangle|\le r(B)\|y_j\|^2\le\|y_j\|^2$ (remarque de la question 23), donc
$$\mathrm{Re}\Big(\|y_j\|^2-\omega_k^j\langle By_j|y_j\rangle\Big)\ge\|y_j\|^2-|\langle By_j|y_j\rangle|\ge0.$$
En prenant la partie réelle de l'égalité : $\boxed{\mathrm{Re}\big(1-e^{ik\theta}\langle A^kx|x\rangle\big)\ge0}$ pour tout $\theta\in\mathbb R$ et tout $x\in\mathbb S$.
Soit $w=\langle A^kx|x\rangle$. Si $w\neq0$, écrivons $w=|w|e^{i\psi}$ et choisissons $\theta=-\psi/k$ (possible car $k\ge1$) : $e^{ik\theta}w=|w|$, donc $1-|w|\ge0$. Si $w=0$, $|w|\le1$ aussi. Ainsi $|\langle A^kx|x\rangle|\le1$ pour tout $x\in\mathbb S$ :
$$\boxed{r(A)\le1\ \Longrightarrow\ r(A^k)\le1\qquad(k\ge1)}$$
> [!METHODE]
> Si $\mathrm{Re}(e^{i\alpha}w)\le1$ pour tout $\alpha$, alors $|w|\le1$. On utilise cette rotation chaque fois qu'on dispose d'une inégalité sur une partie réelle avec une phase libre.
### Question 26-d
> [!INDICATION]
> Renormalisez $A$ par $r(A)$ et utilisez l'homogénéité de $r$.
> [!INDICATION]
> N'oubliez pas les cas $k=0$ et $r(A)=0$.
#### Solution
- $k=0$ : $A^0=I_n$ et $\langle x|x\rangle=1$ sur $\mathbb S$, donc $r(I_n)=1=r(A)^0$.
- $k\ge1$ et $r(A)=0$ : $A=0$ (question 24), donc $A^k=0$ et $r(A^k)=0=r(A)^k$.
- $k\ge1$ et $r(A)>0$ : $B=A/r(A)$ vérifie $r(B)=1$ par homogénéité ; la question 26-c donne $r(B^k)\le1$, et $r(B^k)=r(A^k)/r(A)^k$.
$$\boxed{r(A^k)\le r(A)^k\qquad\text{pour tout }k\in\mathbb N\text{ et tout }A\in\mathcal M_n(\mathbb C)}$$
## Partie D — Conjecture de Crouzeix
On assemble B et C pour obtenir des cas particuliers de la conjecture de Crouzeix, puis une version « disque » en admettant le théorème d'Okubo-Ando.
### Question 27
> [!INDICATION]
> Utilisez Q21 et choisissez le polynôme le plus simple possible.
> [!INDICATION]
> Montrer que la constante est optimale revient à exhiber un cas d'égalité.
#### Solution
Soit $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ et $p=X$. Alors $\|Ax\|=|x_2|\le\|x\|$ avec égalité pour $x=e_2$, donc $\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert =\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert =1$. Par la question 21, $\|p\|_{\mathcal H(A)}=\sup_{|z|\le1/2}|z|=\frac12$. Ainsi
$$\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert =1=2\,\|p\|_{\mathcal H(A)}.$$
Si une constante $c$ vérifiait $\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \le c\,\|p\|_{\mathcal H(A)}$ pour toute matrice et tout polynôme, on aurait $1\le c/2$, soit $c\ge2$. **La constante $2$ ne peut pas être améliorée.**
### Question 28
> [!INDICATION]
> Calculez $\|X^k\|_{\mathcal H(A)}$ en fonction de $r(A)$, puis enchaînez Q23 (pour $A^k$) et Q26.
#### Solution
Pour $p=X^k$, $\|p\|_{\mathcal H(A)}=\max_{z\in\mathcal H(A)}|z|^k=r(A)^k$ (pour $k=0$, les deux membres valent $1$). Par la question 23 appliquée à $A^k$, puis la question 26-d :
$$\vert\!\vert\!\vert A^k\vert\!\vert\!\vert \le2\,r(A^k)\le2\,r(A)^k=2\,\|X^k\|_{\mathcal H(A)}.$$
**La formule (1) est vraie pour tous les monômes $X^k$, $k\in\mathbb N$.**
### Question 29
> [!INDICATION]
> Majorez $\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert $ monôme par monôme grâce à Q28.
> [!INDICATION]
> Calculez $p(z)$ : l'hypothèse sur les arguments des $c_k$ aligne tous les termes.
#### Solution
Par l'inégalité triangulaire pour $\vert\!\vert\!\vert \cdot\vert\!\vert\!\vert $ et la question 28,
$$\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \le\sum_{k=0}^r|c_k|\,\vert\!\vert\!\vert A^k\vert\!\vert\!\vert \le2\sum_{k=0}^r|c_k|\,r(A)^k.$$
Par ailleurs, avec $z=r(A)e^{i\theta}$ et $c_k=|c_k|e^{i(\varphi-k\theta)}$,
$$p(z)=\sum_{k=0}^r|c_k|e^{i(\varphi-k\theta)}r(A)^ke^{ik\theta}=e^{i\varphi}\sum_{k=0}^r|c_k|\,r(A)^k,$$
donc $|p(z)|=\sum_k|c_k|r(A)^k$. Comme $z\in\mathcal H(A)$, $|p(z)|\le\|p\|_{\mathcal H(A)}$. D'où
$$\boxed{\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \le2\,|p(z)|\le2\,\|p\|_{\mathcal H(A)}}$$
et (1) est vérifiée pour ce couple $(A,p)$.
> [!METHODE]
> L'inégalité triangulaire $|\sum a_k|\le\sum|a_k|$ est une égalité lorsque tous les $a_k$ ont le même argument. L'hypothèse de Q29 sert à se placer dans ce cas.
### Question 30-a
> [!INDICATION]
> Renormalisez $A$ par $r(A)$, puis appliquez Okubo-Ando.
> [!INDICATION]
> Un polynôme de $X^{-1}BX$ se transporte par similitude ; le conditionnement apparaît par Q3, l'inégalité de Von Neumann (Q16) s'applique à $C$.
#### Solution
Si $r(A)=0$, alors $A=0$ (question 24) et $\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert =|p(0)|\le2|p(0)|=2\|p\|_{\mathbb D(0,0)}$.
Sinon, soit $B=A/r(A)$, de sorte que $r(B)=1$. Par Okubo-Ando, il existe $X$ inversible avec $\mathrm{cond}(X)\le2$ et $C=X^{-1}BX$ contraction. Pour tout polynôme $q$, $q(B)=X\,q(C)\,X^{-1}$ (puisque $B^k=XC^kX^{-1}$), donc par la question 3 puis l'inégalité de Von Neumann (question 16) appliquée à $C$ :
$$\vert\!\vert\!\vert q(B)\vert\!\vert\!\vert \le\vert\!\vert\!\vert X\vert\!\vert\!\vert \,\vert\!\vert\!\vert q(C)\vert\!\vert\!\vert \,\vert\!\vert\!\vert X^{-1}\vert\!\vert\!\vert =\mathrm{cond}(X)\,\vert\!\vert\!\vert q(C)\vert\!\vert\!\vert \le2\,\|q\|_{\mathbb D}.$$
Avec $q(Y)=p(r(A)\,Y)$ : $q(B)=p(A)$ et $\|q\|_{\mathbb D}=\sup_{|w|\le1}|p(r(A)w)|=\|p\|_{\mathbb D(0,r(A))}$.
$$\boxed{\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \le2\,\|p\|_{\mathbb D(0,r(A))}}$$
### Question 30-b
> [!INDICATION]
> Translatez $A$ pour centrer le disque à l'origine et appliquez 30-a.
> [!INDICATION]
> Pour passer du disque plein à son bord, utilisez Q10 ; il faut vérifier que le « bord » au sens de Q10 d'un disque fermé est bien le cercle.
#### Solution
Soit $\mathbb D(c,\delta)$ un disque fermé contenant $\mathcal H(A)$, de bord $\mathcal C=\partial\mathbb D(c,\delta)$.
*Translation.* Soit $B=A-cI_n$. Pour $x\in\mathbb S$, $\langle Bx|x\rangle=\langle Ax|x\rangle-c$, donc $\mathcal H(B)=\mathcal H(A)-c\subset\mathbb D(0,\delta)$ et $r(B)\le\delta$. Avec $\tilde p(Y)=p(Y+c)$, on a $\tilde p(B)=p(A)$, et la question 30-a donne
$$\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \le2\,\|\tilde p\|_{\mathbb D(0,r(B))}=2\,\|p\|_{\mathbb D(c,r(B))}\le2\,\|p\|_{\mathbb D(c,\delta)}.$$
*Principe du maximum.* Pour $S=\mathbb D(c,\delta)$, on a $\partial S=\mathcal C$ au sens de la question 10 :
- si $|x-c|<\delta$, $\mathbb D(x,\delta-|x-c|)\subset S$ par inégalité triangulaire, donc $x\notin\partial S$ ;
- si $|x-c|=\delta$ et $\varepsilon>0$, le point $x+\varepsilon\frac{x-c}{\delta}$ (ou $c+\varepsilon$ si $\delta=0$) appartient à $\mathbb D(x,\varepsilon)$ mais est à distance $\delta+\varepsilon>\delta$ de $c$ : $x\in\partial S$.
La question 10 donne alors $\|p\|_{\mathbb D(c,\delta)}=\|p\|_{\mathcal C}$, d'où
$$\boxed{\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \le2\,\|p\|_{\mathcal C}\quad\text{pour tout disque de bord }\mathcal C\text{ contenant }\mathcal H(A)}$$
> [!PIEGE]
> Q10 utilise une définition particulière de $\partial S$. Pour l'appliquer au disque $\mathbb D(c,\delta)$, il faut vérifier que les points de $\partial S$ sont exactement ceux du cercle $\mathcal C$ : c'est rapide, mais on ne peut pas l'omettre.
> [!JURY]
> Cette dernière question réunit la translation $\mathcal H(A-cI_n)=\mathcal H(A)-c$, la question 30-a et la question 10. Le rapport 2025 rappelle que la rédaction des questions traitées doit être rigoureuse pour obtenir tous les points : chaque renvoi doit indiquer la question et le résultat utilisé.
## Bilan
**Méthodes à retenir.**
- Compacité de la sphère unité en dimension finie : existence et caractère atteint de $\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert $, de $\max|p|$ sur un compact, de $r(A)$.
- Encadrement $\|p\|_{\sigma(A)}\le\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \le\mathrm{cond}(P)\|p\|_{\sigma(A)}$ : avec une matrice de passage unitaire, $\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert =\|p\|_{\sigma(A)}$ (matrices normales).
- Suivre l'action d'une matrice de décalage sur la base canonique, par récurrence (Q7, Q16).
- Racine carrée hermitienne positive : existence par le théorème spectral, réalisation par un polynôme d'interpolation, unicité par les sous-espaces propres.
- Dilatation unitaire : une inégalité vraie pour les unitaires passe aux contractions dès que la contraction est un « coin » de l'unitaire.
- Identité de polarisation et identité du parallélogramme pour comparer $r$ et $\vert\!\vert\!\vert \cdot\vert\!\vert\!\vert $.
- Racines de l'unité et identités polynomiales démontrées par évaluation en $k$ points.
- Rotation de phase : $\mathrm{Re}(e^{i\alpha}w)\le1$ pour tout $\alpha$ implique $|w|\le1$.
**Prérequis à revoir.** Produit scalaire hermitien (semi-linéarité, Cauchy-Schwarz, Pythagore), réduction des matrices hermitiennes et unitaires, polynômes de matrices et morphisme $P\mapsto P(A)$, interpolation de Lagrange, normes subordonnées.
**Questions classiques transposables.** Q1–Q4 (normes d'opérateur), Q12–Q13 (racine carrée d'une matrice hermitienne positive), Q19–Q20 (image numérique d'une matrice normale), Q21 (image numérique d'un bloc de Jordan nilpotent de taille 2), Q23 ($r$ équivalente à la norme d'opérateur), Q25 (non-sous-multiplicativité), Q26 (inégalité de Berger $r(A^k)\le r(A)^k$, ici par la preuve de Pearcy).
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