Maths A

# X-ENS MP — Mathématiques A 2026 · Corrigé brut

*Corrigé rédigé par IA (La Belle Copie), non officiel. Signalez toute erreur.*

Épreuve de 4 heures, calculatrice interdite. Notations du sujet : $\langle x|y\rangle=\sum_i x_i\overline{y_i}$ (linéaire à gauche, semi-linéaire à droite), $\|x\|=\sqrt{\langle x|x\rangle}$, $\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert =\sup_{\|x\|=1}\|Ax\|$, $\|p\|_S=\sup_{\alpha\in S}|p(\alpha)|$, $\mathbb D=\mathbb D(0,1)$ disque **fermé**, $\partial\mathbb D$ cercle unité. On note $\mathbb S=\{x\in\mathbb C^n:\|x\|=1\}$ la sphère unité et $(e_1,\dots,e_n)$ la base canonique.

## Préliminaires

### Question 1

L'application $f:x\mapsto\|Ax\|$ est continue sur $\mathbb C^n$, comme composée de l'application linéaire $x\mapsto Ax$ (continue car $\mathbb C^n$ est de dimension finie) et de la norme. La sphère $\mathbb S$ est fermée et bornée dans $\mathbb C^n$ de dimension finie, donc compacte, et non vide ($e_1\in\mathbb S$). Par le théorème des bornes atteintes, $f$ est bornée sur $\mathbb S$ et y atteint sa borne supérieure : $\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert$ existe (est un réel fini) et c'est un maximum.

Pour $x\neq0$, $\hat x=x/\|x\|\in\mathbb S$ et, par homogénéité de la norme, $\dfrac{\|Ax\|}{\|x\|}=\|A\hat x\|$. Réciproquement tout $y\in\mathbb S$ est non nul et vérifie $\frac{\|Ay\|}{\|y\|}=\|Ay\|$. Les ensembles $\left\{\frac{\|Ax\|}{\|x\|}:x\neq0\right\}$ et $\{\|Ay\|:y\in\mathbb S\}$ sont donc égaux, d'où

$$\boxed{\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert =\max_{\|x\|=1}\|Ax\|=\max_{x\neq0}\frac{\|Ax\|}{\|x\|}}$$

Conséquence utilisée constamment : $\|Ax\|\le\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert \,\|x\|$ pour tout $x\in\mathbb C^n$ (trivial pour $x=0$).

### Question 2

Soit $D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ et $M=\max_i|\lambda_i|$. Pour $x\in\mathbb C^n$,
$$\|Dx\|^2=\sum_{i=1}^n|\lambda_i|^2|x_i|^2\le M^2\sum_{i=1}^n|x_i|^2=M^2\|x\|^2,$$
donc $\vert\!\vert\!\vert D\vert\!\vert\!\vert \le M$. Si $i_0$ réalise le maximum, $\|e_{i_0}\|=1$ et $\|De_{i_0}\|=|\lambda_{i_0}|=M$, d'où $\vert\!\vert\!\vert D\vert\!\vert\!\vert \ge M$. Ainsi
$$\boxed{\vert\!\vert\!\vert \mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\vert\!\vert\!\vert =\max_{1\le i\le n}|\lambda_i|}$$

### Question 3

Pour tout $x$, en appliquant deux fois la conséquence de la question 1 :
$\|ABx\|\le\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert \,\|Bx\|\le\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert \,\vert\!\vert\!\vert B\vert\!\vert\!\vert \,\|x\|$. En passant à la borne supérieure sur $\|x\|=1$ :
$$\boxed{\vert\!\vert\!\vert AB\vert\!\vert\!\vert \le\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert \cdot\vert\!\vert\!\vert B\vert\!\vert\!\vert }$$

### Question 4

Si $U$ est unitaire, $\|Ux\|=\|x\|$ pour tout $x$ (fait admis), donc $\vert\!\vert\!\vert U\vert\!\vert\!\vert =\sup_{\|x\|=1}1=1$.

Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$. Pour $\|x\|=1$, $\|UAx\|=\|Ax\|$, donc $\vert\!\vert\!\vert UA\vert\!\vert\!\vert =\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert$.

Ensuite $x\mapsto Ux$ envoie $\mathbb S$ dans $\mathbb S$ (conservation de la norme) et c'est une bijection de $\mathbb S$ sur $\mathbb S$, de réciproque $y\mapsto U^{-1}y=U^*y$, $U^*$ étant elle aussi unitaire ($UU^*=I_n$ car $U^*U=I_n$ en dimension finie). Donc
$$\vert\!\vert\!\vert AU\vert\!\vert\!\vert =\sup_{x\in\mathbb S}\|A(Ux)\|=\sup_{y\in\mathbb S}\|Ay\|=\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert .$$
$$\boxed{\vert\!\vert\!\vert U\vert\!\vert\!\vert =1,\qquad \vert\!\vert\!\vert AU\vert\!\vert\!\vert =\vert\!\vert\!\vert UA\vert\!\vert\!\vert =\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert }$$

### Question 5

Écrivons $D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$. Comme $A^k=PD^kP^{-1}$ pour tout $k$, par linéarité $p(A)=P\,p(D)\,P^{-1}$ avec $p(D)=\mathrm{diag}(p(\lambda_1),\dots,p(\lambda_n))$. De plus $\sigma(A)=\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}$ (matrices semblables), donc par la question 2 :
$$\vert\!\vert\!\vert p(D)\vert\!\vert\!\vert =\max_i|p(\lambda_i)|=\|p\|_{\sigma(A)}.$$

*Majoration.* Par la question 3 : $\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \le\vert\!\vert\!\vert P\vert\!\vert\!\vert \,\vert\!\vert\!\vert p(D)\vert\!\vert\!\vert \,\vert\!\vert\!\vert P^{-1}\vert\!\vert\!\vert =\mathrm{cond}(P)\,\|p\|_{\sigma(A)}$.

*Minoration.* Soit $i$ et $v=Pe_i/\|Pe_i\|$ (vecteur propre unitaire de $A$ pour $\lambda_i$). Alors $p(A)v=p(\lambda_i)v$, donc $\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \ge\|p(A)v\|=|p(\lambda_i)|$. En prenant le maximum sur $i$ : $\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \ge\|p\|_{\sigma(A)}$.

$$\boxed{\|p\|_{\sigma(A)}\le\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \le\mathrm{cond}(P)\,\|p\|_{\sigma(A)}}$$

## Partie A — Principe du maximum pour les polynômes

Dans cette partie, $n\ge2$, $z\in\mathbb D$, $s=\sqrt{1-|z|^2}\in[0,1]$ est **réel**, et $p=\sum_{k=0}^{n-1}p_kX^k$ est de degré $n-1$.

### Question 6

Lisons les colonnes $C_1,\dots,C_n$ de $U$ : $C_1=z\,e_1+s\,e_n$, $C_2=s\,e_1-\bar z\,e_n$ et, pour $3\le j\le n$, $C_j=e_{j-1}$ (la ligne $i\in\{2,\dots,n-1\}$ porte un $1$ en colonne $i+1$).

- Normes : $\|C_1\|^2=|z|^2+s^2=1$, $\|C_2\|^2=s^2+|z|^2=1$, $\|C_j\|=\|e_{j-1}\|=1$.
- $\langle C_1|C_2\rangle=z\,\overline{s}+s\,\overline{(-\bar z)}=zs-sz=0$ car $s$ est réel.
- Pour $3\le j\le n$, $C_j=e_{j-1}$ avec $j-1\in\{2,\dots,n-1\}$ : ces vecteurs sont deux à deux orthogonaux, et orthogonaux à $C_1,C_2$ qui n'ont de coordonnées non nulles qu'aux indices $1$ et $n$.

Les colonnes de $U$ forment une base orthonormale, donc **$U$ est unitaire** (critère admis). Pour $n=2$, seules $C_1,C_2$ interviennent et le calcul est le même.

### Question 7

On a $e_1^*v={}^t\overline{e_1}\,v=v_1$ (première coordonnée). Par lecture des colonnes : $Ue_1=z\,e_1+s\,e_n$, $Ue_2=s\,e_1-\bar z\,e_n$ et $Ue_j=e_{j-1}$ pour $3\le j\le n$.

Montrons par récurrence sur $k\in\{0,\dots,n-1\}$ :
$$U^ke_1=z^ke_1+s\sum_{j=0}^{k-1}z^{k-1-j}e_{n-j}.$$
Pour $k=0$, c'est $e_1$ (somme vide). Supposons la formule vraie au rang $k\le n-2$. Les indices $n-j$ qui apparaissent vérifient $j\le k-1\le n-3$, donc $n-j\ge3$ et $Ue_{n-j}=e_{n-j-1}$. Ainsi
$$U^{k+1}e_1=z^k(ze_1+se_n)+s\sum_{j=0}^{k-1}z^{k-1-j}e_{n-j-1}=z^{k+1}e_1+s\sum_{j=0}^{k}z^{k-j}e_{n-j},$$
ce qui est la formule au rang $k+1$. Pour $k\le n-1$, les vecteurs $e_{n-j}$ de la somme ont un indice $n-j\ge n-k+1\ge2$ : la première coordonnée de $U^ke_1$ est $z^k$.

Par linéarité, $e_1^*p(U)e_1=\sum_{k=0}^{n-1}p_k\,e_1^*U^ke_1=\sum_{k=0}^{n-1}p_kz^k$, soit
$$\boxed{p(z)=e_1^*\,p(U)\,e_1}$$
(le calcul vaut pour tout polynôme de degré $\le n-1$).

### Question 8

Par la question 7, $p(z)=e_1^*\,(p(U)e_1)=\langle p(U)e_1|e_1\rangle$. Par Cauchy-Schwarz, puis la question 1,
$$|p(z)|\le\|p(U)e_1\|\,\|e_1\|=\|p(U)e_1\|\le\vert\!\vert\!\vert p(U)\vert\!\vert\!\vert .$$
Par le théorème de réduction du préambule, $U$ unitaire s'écrit $U=W\,\mathrm{diag}(\mu_1,\dots,\mu_n)\,W^{-1}$ avec $W$ unitaire et $|\mu_i|=1$. $W^{-1}=W^*$ est unitaire, donc $\mathrm{cond}(W)=\vert\!\vert\!\vert W\vert\!\vert\!\vert \,\vert\!\vert\!\vert W^{-1}\vert\!\vert\!\vert =1$ (question 4). La question 5 donne $\vert\!\vert\!\vert p(U)\vert\!\vert\!\vert \le\|p\|_{\sigma(U)}$, et comme $\sigma(U)=\{\mu_i\}\subset\partial\mathbb D$, $\|p\|_{\sigma(U)}\le\|p\|_{\partial\mathbb D}$. Finalement
$$\boxed{|p(z)|\le\vert\!\vert\!\vert p(U)\vert\!\vert\!\vert \le\|p\|_{\partial\mathbb D}}$$

### Question 9

Supposons $|z|<1$, donc $s>0$. D'après le calcul de la question 7,
$$p(U)e_1=p(z)\,e_1+s\,w,\qquad w=\sum_{k=1}^{n-1}p_k\sum_{j=0}^{k-1}z^{k-1-j}e_{n-j}\in\mathrm{Vect}(e_2,\dots,e_n).$$
La coordonnée de $w$ sur $e_2$ correspond à $n-j=2$, soit $j=n-2$, ce qui impose $k-1\ge n-2$, donc $k=n-1$ : elle vaut $p_{n-1}z^0=p_{n-1}$, non nul car $\deg p=n-1$. Donc $w\neq0$.

Comme $w\perp e_1$, le théorème de Pythagore donne
$$\|p(U)e_1\|^2=|p(z)|^2+s^2\|w\|^2>|p(z)|^2.$$
Avec la question 8 :
$$|p(z)|<\|p(U)e_1\|\le\vert\!\vert\!\vert p(U)\vert\!\vert\!\vert \le\|p\|_{\partial\mathbb D},\qquad\text{soit}\qquad\boxed{|p(z)|<\|p\|_{\partial\mathbb D}\ \text{ pour }|z|<1}$$

(Le résultat serait faux pour $p$ constant : c'est l'hypothèse $\deg p=n-1\ge1$ qui sert.)

### Question 10

Comme $\partial S\subset S$, on a $\|p\|_{\partial S}\le\|p\|_S$. $S$ est fermé borné non vide de $\mathbb C$, donc compact, et $|p|$ est continue : elle atteint sur $S$ son maximum $M=\|p\|_S$ en un point $x_0$.

*$\partial S$ est non vide.* La fonction $|\cdot|$ atteint son maximum sur $S$ en un point $x_1$. Si $x_1\neq0$, tout disque $\mathbb D(x_1,\delta)$ avec $\delta>0$ contient $x_1\big(1+\delta/|x_1|\big)$, de module $|x_1|+\delta>|x_1|$, donc non inclus dans $S$ : $x_1\in\partial S$. Si $x_1=0$, alors $S=\{0\}$ et aucun disque de rayon $\delta>0$ n'est inclus dans $S$ : $0\in\partial S$.

*Cas $p$ constant égal à $c$.* Alors $\|p\|_S=|c|=\|p\|_{\partial S}$ puisque $\partial S\neq\emptyset$.

*Cas $d=\deg p\ge1$.* Supposons par l'absurde $x_0\notin\partial S$ : il existe $\delta>0$ tel que $\mathbb D(x_0,\delta)\subset S$. Le polynôme $\tilde p(w)=p(x_0+\delta w)$ a pour coefficient dominant $p_d\delta^d\neq0$, donc il est de degré $d=m-1$ avec $m=d+1\ge2$. La question 9, appliquée dans $\mathbb C^m$ à $\tilde p$ et au point $0$ (de module $<1$), donne
$$M=|p(x_0)|=|\tilde p(0)|<\|\tilde p\|_{\partial\mathbb D}=\sup_{|x-x_0|=\delta}|p(x)|\le\|p\|_S=M,$$
la dernière inégalité car $\partial\mathbb D(x_0,\delta)\subset\mathbb D(x_0,\delta)\subset S$. C'est absurde, donc $x_0\in\partial S$ et $\|p\|_{\partial S}\ge|p(x_0)|=M$.

![Figure 1 — Si le maximum $M$ de $|p|$ était atteint en un point $x_0$ avec $\mathbb D(x_0,\delta)\subset S$, le changement de variable et Q9 donneraient sur le cercle un point de $S$ où $|p|>M$](/figures/corriges/x-ens_mp_maths-a_2026/q10-principe-maximum.svg)

$$\boxed{\|p\|_S=\|p\|_{\partial S}}$$

## Partie B — Inégalité de Von Neumann

On suppose $\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert \le1$.

### Question 11

Si $A$ est unitaire, le théorème du préambule donne $A=V\,\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\,V^{-1}$ avec $V$ unitaire et $|\lambda_i|=1$. Comme à la question 8, $\mathrm{cond}(V)=1$ (question 4), et la question 5 donne
$$\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \le\|p\|_{\sigma(A)}\le\|p\|_{\mathbb D},$$
car $\sigma(A)\subset\partial\mathbb D\subset\mathbb D$. Donc $\boxed{\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \le\|p\|_{\mathbb D}}$ pour $A$ unitaire.

### Question 12

*Positivité.* $M=I-A^*A$ est hermitienne : $M^*=I-A^*(A^*)^*=M$. Si $Mx=\mu x$ avec $\|x\|=1$, alors $\mu=\langle Mx|x\rangle=\|x\|^2-\langle Ax|Ax\rangle=1-\|Ax\|^2\ge1-\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert ^2\ge0$.

De même $M'=I-AA^*$ est hermitienne, et pour $M'x'=\mu'x'$, $\|x'\|=1$ : $\mu'=1-\|A^*x'\|^2$. Or pour tout $y$,
$$\|A^*y\|^2=\langle AA^*y|y\rangle\le\|A(A^*y)\|\,\|y\|\le\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert \,\|A^*y\|\,\|y\|,$$
d'où $\|A^*y\|\le\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert \,\|y\|\le\|y\|$ (trivial si $A^*y=0$). Donc $\mu'\ge0$.

*Racine carrée.* Par le théorème du préambule, $M=V\,\mathrm{diag}(\mu_1,\dots,\mu_n)\,V^{-1}$ avec $V$ unitaire et $\mu_i\ge0$. Posons $D_A=V\,\mathrm{diag}(\sqrt{\mu_1},\dots,\sqrt{\mu_n})\,V^{-1}$. Comme $V^{-1}=V^*$ et les $\sqrt{\mu_i}$ sont réels, $D_A^*=V\,\mathrm{diag}(\sqrt{\mu_i})\,V^*=D_A$ : $D_A$ est hermitienne, de valeurs propres $\sqrt{\mu_i}\ge0$, et $D_A^2=V\,\mathrm{diag}(\mu_i)\,V^{-1}=I-A^*A$. On construit $D_{A^*}$ de même à partir de $M'$.

$$\boxed{D_A,\ D_{A^*}\ \text{hermitiennes à valeurs propres}\ \ge0,\qquad D_A^2=I-A^*A,\quad D_{A^*}^2=I-AA^*}$$

### Question 13

*Lemme (unicité de la racine carrée positive).* Si $H,K$ sont hermitiennes à valeurs propres $\ge0$ et $H^2=K^2$, alors $H=K$.

*Preuve.* $H$ est diagonalisable (théorème du préambule) de valeurs propres $\nu_1,\dots,\nu_r\ge0$ distinctes : $\mathbb C^n=\bigoplus_i\ker(H-\nu_iI)$. Pour $\mu\ge0$, montrons $\ker(H-\mu I)=\ker(H^2-\mu^2I)$. L'inclusion $\subset$ est claire. Si $H^2x=\mu^2x$, décomposons $x=\sum_ix_i$ avec $x_i\in\ker(H-\nu_iI)$ : $\sum_i(\nu_i^2-\mu^2)x_i=0$, donc $x_i=0$ dès que $\nu_i^2\neq\mu^2$, c'est-à-dire (positivité) dès que $\nu_i\neq\mu$ ; ainsi $x\in\ker(H-\mu I)$. Le même énoncé vaut pour $K$. Pour tout $\mu\ge0$ :
$$\ker(H-\mu I)=\ker(H^2-\mu^2I)=\ker(K^2-\mu^2I)=\ker(K-\mu I).$$
Sur chaque $\ker(H-\nu_iI)$, $H$ et $K$ agissent donc par $\nu_i\,\mathrm{id}$ ; ces sous-espaces étant supplémentaires, $H=K$. $\square$

*Construction de $q$.* Les valeurs propres de $A^*A$ sont de la forme $\|Ax\|^2\in[0,1]$ et celles de $AA^*$ de la forme $\|A^*x\|^2\in[0,1]$ (question 12). Soit $\Lambda=\sigma(A^*A)\cup\sigma(AA^*)=\{\lambda_1,\dots,\lambda_m\}\subset[0,1]$ (valeurs distinctes). Par interpolation de Lagrange, il existe $q\in\mathbb R[X]\subset\mathbb C[X]$ tel que $q(\lambda_j)=\sqrt{1-\lambda_j}$ pour $1\le j\le m$.

Écrivons $A^*A=W\,\mathrm{diag}(\beta_1,\dots,\beta_n)\,W^*$ avec $W$ unitaire et $\beta_i\in\Lambda$ (théorème du préambule). Alors $q(A^*A)=W\,\mathrm{diag}(\sqrt{1-\beta_i})\,W^*$ est hermitienne, à valeurs propres $\ge0$, et $q(A^*A)^2=W\,\mathrm{diag}(1-\beta_i)\,W^*=I-A^*A=D_A^2$. Le lemme donne $q(A^*A)=D_A$. Le même raisonnement avec $AA^*$ (ses valeurs propres sont aussi dans $\Lambda$) donne $q(AA^*)=D_{A^*}$.

$$\boxed{\exists\,q\in\mathbb C[X],\qquad D_A=q(A^*A)\quad\text{et}\quad D_{A^*}=q(AA^*)}$$

### Question 14

Par récurrence, $A(A^*A)^k=(AA^*)^kA$ pour tout $k\in\mathbb N$ : c'est vrai pour $k=0$ et, si c'est vrai au rang $k$, $A(A^*A)^{k+1}=(AA^*)^kA\,A^*A=(AA^*)^{k+1}A$. Par linéarité, $A\,q(A^*A)=q(AA^*)\,A$, soit avec la question 13 $A\,D_A=D_{A^*}A$.

De même $A^*(AA^*)^k=(A^*A)^kA^*$ (même récurrence, en échangeant les rôles de $A$ et $A^*$), d'où $A^*q(AA^*)=q(A^*A)A^*$, soit $A^*D_{A^*}=D_AA^*$.

$$\boxed{A^*D_{A^*}=D_AA^*\qquad\text{et}\qquad AD_A=D_{A^*}A}$$

### Question 15

$D_A$ et $D_{A^*}$ étant hermitiennes, $U^*=\begin{pmatrix}A^*&-D_A\\ D_{A^*}&A\end{pmatrix}$, et par produit par blocs :
$$U^*U=\begin{pmatrix}A^*A+D_A^2 & A^*D_{A^*}-D_AA^*\\ D_{A^*}A-AD_A & D_{A^*}^2+AA^*\end{pmatrix}.$$
Par la question 12, $A^*A+D_A^2=I_n$ et $D_{A^*}^2+AA^*=I_n$ ; par la question 14, les deux blocs hors diagonale sont nuls. Donc $U^*U=I_{2n}$ : **$U$ est unitaire**.

### Question 16

$U_k$ est de taille $(k+2)n$. Écrivons un vecteur $V=(V_1,\dots,V_{k+2})$ par blocs de taille $n$. La définition de $U_k$ s'écrit
$$(U_kV)_1=AV_1+D_{A^*}V_2,\qquad(U_kV)_i=V_{i+1}\ \ (2\le i\le k+1),\qquad(U_kV)_{k+2}=-D_AV_1+A^*V_2.$$
(Pour $k=0$, $U_0$ est la matrice $U$ de la question 15.)

*$U_k$ est unitaire.* Ses colonnes-blocs sont $\mathcal C_1=(A,0,\dots,0,-D_A)$, $\mathcal C_2=(D_{A^*},0,\dots,0,A^*)$ et, pour $3\le j\le k+2$, $\mathcal C_j$ qui porte $I_n$ sur la ligne-bloc $j-1\in\{2,\dots,k+1\}$ et $0_n$ ailleurs. Le bloc $(i,j)$ de $U_k^*U_k$ vaut $\mathcal C_i^*\mathcal C_j$ :
- $\mathcal C_1^*\mathcal C_1=A^*A+D_A^2=I_n$, $\mathcal C_2^*\mathcal C_2=AA^*+D_{A^*}^2=I_n$, $\mathcal C_1^*\mathcal C_2=A^*D_{A^*}-D_AA^*=0$ et $\mathcal C_2^*\mathcal C_1=(\mathcal C_1^*\mathcal C_2)^*=0$ (questions 12 et 14) ;
- pour $i,j\ge3$, $\mathcal C_i^*\mathcal C_j=\delta_{ij}I_n$ ; pour $i\in\{1,2\}$ et $j\ge3$, $\mathcal C_i^*\mathcal C_j=0$ car $\mathcal C_1,\mathcal C_2$ sont nulles sur les lignes-blocs $2,\dots,k+1$.

Donc $U_k^*U_k=I_{(k+2)n}$ : $U_k$ est unitaire.

*Bloc en haut à gauche de $p(U_k)$.* Soit $x\in\mathbb C^n$, $E_1x=(x,0,\dots,0)$ et $W^{(j)}=U_k^jE_1x$. Montrons par récurrence sur $j\in\{0,\dots,k+1\}$ la propriété : $W^{(j)}_1=A^jx$ et $W^{(j)}_i=0$ pour $2\le i\le k+2-j$.

- $j=0$ : $W^{(0)}=(x,0,\dots,0)$.
- Si la propriété vaut au rang $j\le k$, alors $k+2-j\ge2$ donc $W^{(j)}_2=0$ et $W^{(j+1)}_1=AW^{(j)}_1+D_{A^*}W^{(j)}_2=A^{j+1}x$ ; pour $2\le i\le k+1-j$, $W^{(j+1)}_i=W^{(j)}_{i+1}=0$ car $3\le i+1\le k+2-j$. C'est la propriété au rang $j+1$.

En particulier $W^{(j)}_1=A^jx$ pour $0\le j\le k+1$. Par linéarité, si $\deg p\le k+1$, $\big(p(U_k)E_1x\big)_1=p(A)x$ pour tout $x$ : **le premier bloc diagonal de $p(U_k)$ est $p(A)$**.

![Figure 2 — Blocs de $U_k^jE_1x$ pour $k=3$ : le terme $-D_Ax$ remonte d'un bloc par étape et n'atteint le bloc 1 qu'à l'étape $k+2$ (∗ : bloc quelconque)](/figures/corriges/x-ens_mp_maths-a_2026/q16-blocs-dilatation.svg)

*Conclusion.* Soit $p\in\mathbb C[X]$ et $k=\max(0,\deg p-1)$ (avec $k=0$ si $p=0$), de sorte que $\deg p\le k+1$. Pour $\|x\|=1$, $\|E_1x\|=1$ et la norme de $p(A)x$, premier bloc de $p(U_k)E_1x$, est majorée par celle de ce vecteur :
$$\|p(A)x\|\le\|p(U_k)E_1x\|\le\vert\!\vert\!\vert p(U_k)\vert\!\vert\!\vert \le\|p\|_{\mathbb D},$$
la dernière inégalité par la question 11 appliquée à la matrice unitaire $U_k$. En passant au sup sur $x$ :
$$\boxed{\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \le\|p\|_{\mathbb D}\quad\text{pour toute contraction }A\text{ et tout }p\in\mathbb C[X]}$$

### Question 17

Si $A=0$, $p(A)=p(0)I_n$ et $\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert =|p(0)|=\|p\|_{\mathbb D(0,0)}$. Sinon, soit $\rho=\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert >0$ et $B=A/\rho$, qui vérifie $\vert\!\vert\!\vert B\vert\!\vert\!\vert =1$ : c'est une contraction. Avec $\tilde p(X)=p(\rho X)$, on a $\tilde p(B)=p(A)$ et, par la question 16,
$$\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert =\vert\!\vert\!\vert \tilde p(B)\vert\!\vert\!\vert \le\|\tilde p\|_{\mathbb D}=\sup_{|w|\le1}|p(\rho w)|=\sup_{|u|\le\rho}|p(u)|=\|p\|_{\mathbb D(0,\rho)}.$$
$$\boxed{\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \le\|p\|_{\mathbb D(0,\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert )}}$$

## Partie C — Hausdorffien et rayon numérique

### Question 18

Soit $\lambda\in\sigma(A)$ et $x$ un vecteur propre associé, normalisé : $\|x\|=1$, $Ax=\lambda x$. Par linéarité à gauche, $\langle Ax|x\rangle=\lambda\langle x|x\rangle=\lambda$. Donc $\lambda\in\mathcal H(A)$ : $\boxed{\sigma(A)\subset\mathcal H(A)}$.

### Question 19

Soit $D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ et $\Gamma=\{\sum_i\alpha_i\lambda_i:\alpha_i\ge0,\ \sum_i\alpha_i=1\}$.

$\subset$ : pour $\|x\|=1$, $\langle Dx|x\rangle=\sum_i\lambda_ix_i\overline{x_i}=\sum_i|x_i|^2\lambda_i$ ; avec $\alpha_i=|x_i|^2\ge0$, $\sum_i\alpha_i=\|x\|^2=1$, donc $\langle Dx|x\rangle\in\Gamma$.

$\supset$ : si $\alpha_i\ge0$ et $\sum_i\alpha_i=1$, le vecteur $x=(\sqrt{\alpha_1},\dots,\sqrt{\alpha_n})$ est unitaire et $\langle Dx|x\rangle=\sum_i\alpha_i\lambda_i$.

$$\boxed{\mathcal H(\mathrm{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n))=\Big\{\sum_{i=1}^n\alpha_i\lambda_i:\ \alpha_i\in\mathbb R_+,\ \sum_{i=1}^n\alpha_i=1\Big\}=\mathrm{conv}\{\lambda_1,\dots,\lambda_n\}}$$

### Question 20

*Invariance unitaire.* Si $A=VDV^{-1}$ avec $V$ unitaire, alors pour $x\in\mathbb S$ et $y=V^*x$ :
$$\langle Ax|x\rangle=\langle VDy|Vy\rangle=\langle Dy|V^*Vy\rangle=\langle Dy|y\rangle.$$
Comme $x\mapsto V^*x$ est une bijection de $\mathbb S$ sur $\mathbb S$ (question 4), $\mathcal H(A)=\mathcal H(D)$.

Si $A$ est unitaire (resp. hermitienne), le théorème du préambule fournit une telle écriture avec $D=\mathrm{diag}(\lambda_i)$, les $\lambda_i$ étant les valeurs propres de $A$. Par la question 19 :
$$\boxed{\mathcal H(A)=\mathrm{conv}\big(\sigma(A)\big)}$$
- $A$ unitaire : $\mathcal H(A)$ est le polygone convexe (éventuellement réduit à un point ou un segment) de sommets les valeurs propres, inscrit dans le cercle unité.
- $A$ hermitienne : les valeurs propres sont réelles et $\mathcal H(A)=[\lambda_{\min},\lambda_{\max}]\subset\mathbb R$.

### Question 21

Soit $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$. Pour $x=(x_1,x_2)$, $Ax=(x_2,0)$, donc $\langle Ax|x\rangle=x_2\overline{x_1}$.

Tout $x\in\mathbb S$ s'écrit $x=e^{i\varphi}\begin{pmatrix}a\\ be^{i\theta}\end{pmatrix}$ avec $a,b\in\mathbb R_+$, $a^2+b^2=1$, $\varphi,\theta\in\mathbb R$ (prendre $a=|x_1|$, $b=|x_2|$). Comme $\langle A(e^{i\varphi}y)|e^{i\varphi}y\rangle=|e^{i\varphi}|^2\langle Ay|y\rangle$, on obtient
$$\langle Ax|x\rangle=ab\,e^{i\theta}.$$
En posant $a=\cos t$, $b=\sin t$ avec $t\in[0,\pi/2]$, $ab=\frac12\sin(2t)$ décrit exactement $[0,\frac12]$ (fonction continue valant $0$ en $t=0$ et $\frac12$ en $t=\pi/4$, et majorée par $\frac12$). Comme $\theta$ est quelconque, $\mathcal H(A)=\{\rho e^{i\theta}:0\le\rho\le\frac12,\ \theta\in\mathbb R\}$ :
$$\boxed{\mathcal H\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}=\mathbb D\big(0,\tfrac12\big)}$$

### Question 22

L'application $f:x\mapsto\langle Ax|x\rangle=\sum_i(Ax)_i\overline{x_i}$ est continue sur $\mathbb C^n$ (polynomiale en les parties réelles et imaginaires des coordonnées de $x$). $\mathbb S$ est compacte (question 1), donc $\mathcal H(A)=f(\mathbb S)$ est compact : **$\mathcal H(A)$ est un fermé borné de $\mathbb C$**, non vide. En particulier $r(A)=\max_{z\in\mathcal H(A)}|z|$ est bien défini (borne atteinte).

### Question 23

*Majoration.* Pour $\|x\|=1$, Cauchy-Schwarz donne $|\langle Ax|x\rangle|\le\|Ax\|\,\|x\|\le\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert$, donc $r(A)\le\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert$.

*Minoration.* Remarquons d'abord que pour tout $u\in\mathbb C^n$, $|\langle Au|u\rangle|\le r(A)\|u\|^2$ : c'est clair si $u=0$, et sinon $\langle Au|u\rangle=\|u\|^2\langle A\hat u|\hat u\rangle$ avec $\hat u=u/\|u\|\in\mathbb S$.

Si $A=0$ il n'y a rien à montrer. Sinon, soit $x\in\mathbb S$ tel que $\|Ax\|=\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert >0$ (question 1) et $y=Ax/\|Ax\|\in\mathbb S$. Alors $\langle Ax|y\rangle=\|Ax\|^2/\|Ax\|=\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert$. L'identité de polarisation et l'inégalité triangulaire donnent
$$4\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert =|4\langle Ax|y\rangle|\le r(A)\big(\|x+y\|^2+\|x-y\|^2+\|x+iy\|^2+\|x-iy\|^2\big).$$
En développant, $\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2=4$ (identité du parallélogramme) et de même $\|x+iy\|^2+\|x-iy\|^2=2\|x\|^2+2\|iy\|^2=4$. Donc $4\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert \le8\,r(A)$.

$$\boxed{\tfrac12\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert \le r(A)\le\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert }$$

### Question 24

$r$ est à valeurs dans $\mathbb R_+$ (question 22).
- *Séparation* : si $r(A)=0$, la question 23 donne $\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert \le2r(A)=0$ donc $A=0$.
- *Homogénéité* : $\mathcal H(\lambda A)=\{\lambda\langle Ax|x\rangle:x\in\mathbb S\}=\lambda\mathcal H(A)$, donc $r(\lambda A)=|\lambda|\,r(A)$.
- *Inégalité triangulaire* : pour $\|x\|=1$, $|\langle(A+B)x|x\rangle|\le|\langle Ax|x\rangle|+|\langle Bx|x\rangle|\le r(A)+r(B)$ ; en passant au max, $r(A+B)\le r(A)+r(B)$.

**$r$ est une norme sur $\mathcal M_n(\mathbb C)$.**

### Question 25

Soit $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ et $B=A^*=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$. Par la question 21, $r(A)=\frac12$. Comme $\langle A^*x|x\rangle=\langle x|Ax\rangle=\overline{\langle Ax|x\rangle}$, $\mathcal H(B)=\overline{\mathcal H(A)}=\mathbb D(0,\frac12)$ et $r(B)=\frac12$. Or $AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}=\mathrm{diag}(1,0)$, donc $\mathcal H(AB)=[0,1]$ (question 19) et $r(AB)=1$. Ainsi
$$r(AB)=1>\tfrac14=r(A)\,r(B):\qquad\boxed{\text{l'inégalité }r(AB)\le r(A)r(B)\text{ est fausse en général.}}$$

### Question 26-a

*Première identité.* Pour $t\in\mathbb C^*$, en évaluant l'identité $X^k-1=\prod_{\ell=1}^k(X-\omega_k^\ell)$ en $1/t$ :
$$\prod_{\ell=1}^k(1-\omega_k^\ell t)=t^k\prod_{\ell=1}^k\Big(\frac1t-\omega_k^\ell\Big)=t^k\Big(\frac1{t^k}-1\Big)=1-t^k.$$
Les polynômes $\prod_\ell(1-\omega_k^\ell X)$ et $1-X^k$ coïncident sur l'ensemble infini $\mathbb C^*$, donc sont égaux :
$$\boxed{1-X^k=\prod_{\ell=1}^k(1-\omega_k^\ell X)}$$

*Seconde identité.* Posons $Q_j=\prod_{\ell\neq j}(1-\omega_k^\ell X)$ et $S=\sum_{j=1}^kQ_j$, de degré $\le k-1$. Soit $j_0\in\{1,\dots,k\}$. Pour $j\neq j_0$, $Q_j$ contient le facteur $1-\omega_k^{j_0}X$, nul en $\omega_k^{-j_0}$ ; donc
$$S(\omega_k^{-j_0})=Q_{j_0}(\omega_k^{-j_0})=\prod_{\ell\neq j_0}\big(1-\omega_k^{\ell-j_0}\big)=\prod_{m=1}^{k-1}(1-\omega_k^m),$$
car $\ell-j_0$ parcourt modulo $k$ les classes non nulles. Or $\prod_{m=1}^{k-1}(X-\omega_k^m)=\frac{X^k-1}{X-1}=1+X+\dots+X^{k-1}$, qui vaut $k$ en $X=1$. Donc $S-k$, de degré $\le k-1$, s'annule aux $k$ points distincts $\omega_k^{-1},\dots,\omega_k^{-k}$ : $S-k=0$. Ainsi
$$\boxed{1=\frac1k\sum_{j=1}^k\prod_{\substack{\ell=1\\ \ell\neq j}}^k(1-\omega_k^\ell X)}$$
(Pour $k=1$, le produit vide vaut $1$ et l'identité est triviale.)

### Question 26-b

Avec les notations précédentes, $x_j=Q_j(A)x$. Comme $(1-\omega_k^jX)Q_j=\prod_{\ell=1}^k(1-\omega_k^\ell X)=1-X^k$, le morphisme $P\mapsto P(A)$ donne
$$(I-\omega_k^jA)\,x_j=(I-A^k)\,x\qquad(1\le j\le k).$$
Par linéarité à gauche,
$$\|x_j\|^2-\langle\omega_k^jAx_j|x_j\rangle=\langle(I-\omega_k^jA)x_j|x_j\rangle=\langle(I-A^k)x|x_j\rangle.$$
En sommant et en utilisant l'additivité à droite et le fait que $\frac1k$ est réel :
$$\frac1k\sum_{j=1}^k\Big[\|x_j\|^2-\langle\omega_k^jAx_j|x_j\rangle\Big]=\Big\langle(I-A^k)x\ \Big|\ \frac1k\sum_{j=1}^kx_j\Big\rangle=\langle(I-A^k)x|x\rangle,$$
car $\frac1k\sum_jx_j=\big(\frac1k\sum_jQ_j\big)(A)\,x=x$ (seconde identité de 26-a). Enfin $\langle(I-A^k)x|x\rangle=\|x\|^2-\langle A^kx|x\rangle=1-\langle A^kx|x\rangle$.
$$\boxed{\frac1k\sum_{j=1}^k\Big[\|x_j\|^2-\langle\omega_k^jAx_j|x_j\rangle\Big]=1-\langle A^kx|x\rangle}$$

### Question 26-c

Soit $\theta\in\mathbb R$, $x\in\mathbb S$, $B=e^{i\theta}A$ : $r(B)=r(A)\le1$ (question 24) et $B^k=e^{ik\theta}A^k$. La formule de 26-b pour $B$, avec $y_j=\prod_{\ell\neq j}(I-\omega_k^\ell B)x$, s'écrit
$$\frac1k\sum_{j=1}^k\Big[\|y_j\|^2-\omega_k^j\langle By_j|y_j\rangle\Big]=1-e^{ik\theta}\langle A^kx|x\rangle.$$
Pour chaque $j$, $|\omega_k^j\langle By_j|y_j\rangle|=|\langle By_j|y_j\rangle|\le r(B)\|y_j\|^2\le\|y_j\|^2$ (remarque de la question 23), donc
$$\mathrm{Re}\Big(\|y_j\|^2-\omega_k^j\langle By_j|y_j\rangle\Big)\ge\|y_j\|^2-|\langle By_j|y_j\rangle|\ge0.$$
En prenant la partie réelle de l'égalité : $\boxed{\mathrm{Re}\big(1-e^{ik\theta}\langle A^kx|x\rangle\big)\ge0}$ pour tout $\theta\in\mathbb R$ et tout $x\in\mathbb S$.

Soit $w=\langle A^kx|x\rangle$. Si $w\neq0$, écrivons $w=|w|e^{i\psi}$ et choisissons $\theta=-\psi/k$ (possible car $k\ge1$) : $e^{ik\theta}w=|w|$, donc $1-|w|\ge0$. Si $w=0$, $|w|\le1$ aussi. Ainsi $|\langle A^kx|x\rangle|\le1$ pour tout $x\in\mathbb S$ :
$$\boxed{r(A)\le1\ \Longrightarrow\ r(A^k)\le1\qquad(k\ge1)}$$

### Question 26-d

- $k=0$ : $A^0=I_n$ et $\langle x|x\rangle=1$ sur $\mathbb S$, donc $r(I_n)=1=r(A)^0$.
- $k\ge1$ et $r(A)=0$ : $A=0$ (question 24), donc $A^k=0$ et $r(A^k)=0=r(A)^k$.
- $k\ge1$ et $r(A)>0$ : $B=A/r(A)$ vérifie $r(B)=1$ par homogénéité ; la question 26-c donne $r(B^k)\le1$, et $r(B^k)=r(A^k)/r(A)^k$.

$$\boxed{r(A^k)\le r(A)^k\qquad\text{pour tout }k\in\mathbb N\text{ et tout }A\in\mathcal M_n(\mathbb C)}$$

## Partie D — Conjecture de Crouzeix

### Question 27

Soit $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ et $p=X$. Alors $\|Ax\|=|x_2|\le\|x\|$ avec égalité pour $x=e_2$, donc $\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert =\vert\!\vert\!\vert A\vert\!\vert\!\vert =1$. Par la question 21, $\|p\|_{\mathcal H(A)}=\sup_{|z|\le1/2}|z|=\frac12$. Ainsi
$$\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert =1=2\,\|p\|_{\mathcal H(A)}.$$
Si une constante $c$ vérifiait $\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \le c\,\|p\|_{\mathcal H(A)}$ pour toute matrice et tout polynôme, on aurait $1\le c/2$, soit $c\ge2$. **La constante $2$ ne peut pas être améliorée.**

### Question 28

Pour $p=X^k$, $\|p\|_{\mathcal H(A)}=\max_{z\in\mathcal H(A)}|z|^k=r(A)^k$ (pour $k=0$, les deux membres valent $1$). Par la question 23 appliquée à $A^k$, puis la question 26-d :
$$\vert\!\vert\!\vert A^k\vert\!\vert\!\vert \le2\,r(A^k)\le2\,r(A)^k=2\,\|X^k\|_{\mathcal H(A)}.$$
**La formule (1) est vraie pour tous les monômes $X^k$, $k\in\mathbb N$.**

### Question 29

Par l'inégalité triangulaire pour $\vert\!\vert\!\vert \cdot\vert\!\vert\!\vert$ et la question 28,
$$\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \le\sum_{k=0}^r|c_k|\,\vert\!\vert\!\vert A^k\vert\!\vert\!\vert \le2\sum_{k=0}^r|c_k|\,r(A)^k.$$
Par ailleurs, avec $z=r(A)e^{i\theta}$ et $c_k=|c_k|e^{i(\varphi-k\theta)}$,
$$p(z)=\sum_{k=0}^r|c_k|e^{i(\varphi-k\theta)}r(A)^ke^{ik\theta}=e^{i\varphi}\sum_{k=0}^r|c_k|\,r(A)^k,$$
donc $|p(z)|=\sum_k|c_k|r(A)^k$. Comme $z\in\mathcal H(A)$, $|p(z)|\le\|p\|_{\mathcal H(A)}$. D'où
$$\boxed{\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \le2\,|p(z)|\le2\,\|p\|_{\mathcal H(A)}}$$
et (1) est vérifiée pour ce couple $(A,p)$.

### Question 30-a

Si $r(A)=0$, alors $A=0$ (question 24) et $\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert =|p(0)|\le2|p(0)|=2\|p\|_{\mathbb D(0,0)}$.

Sinon, soit $B=A/r(A)$, de sorte que $r(B)=1$. Par Okubo-Ando, il existe $X$ inversible avec $\mathrm{cond}(X)\le2$ et $C=X^{-1}BX$ contraction. Pour tout polynôme $q$, $q(B)=X\,q(C)\,X^{-1}$ (puisque $B^k=XC^kX^{-1}$), donc par la question 3 puis l'inégalité de Von Neumann (question 16) appliquée à $C$ :
$$\vert\!\vert\!\vert q(B)\vert\!\vert\!\vert \le\vert\!\vert\!\vert X\vert\!\vert\!\vert \,\vert\!\vert\!\vert q(C)\vert\!\vert\!\vert \,\vert\!\vert\!\vert X^{-1}\vert\!\vert\!\vert =\mathrm{cond}(X)\,\vert\!\vert\!\vert q(C)\vert\!\vert\!\vert \le2\,\|q\|_{\mathbb D}.$$
Avec $q(Y)=p(r(A)\,Y)$ : $q(B)=p(A)$ et $\|q\|_{\mathbb D}=\sup_{|w|\le1}|p(r(A)w)|=\|p\|_{\mathbb D(0,r(A))}$.
$$\boxed{\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \le2\,\|p\|_{\mathbb D(0,r(A))}}$$

### Question 30-b

Soit $\mathbb D(c,\delta)$ un disque fermé contenant $\mathcal H(A)$, de bord $\mathcal C=\partial\mathbb D(c,\delta)$.

*Translation.* Soit $B=A-cI_n$. Pour $x\in\mathbb S$, $\langle Bx|x\rangle=\langle Ax|x\rangle-c$, donc $\mathcal H(B)=\mathcal H(A)-c\subset\mathbb D(0,\delta)$ et $r(B)\le\delta$. Avec $\tilde p(Y)=p(Y+c)$, on a $\tilde p(B)=p(A)$, et la question 30-a donne
$$\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \le2\,\|\tilde p\|_{\mathbb D(0,r(B))}=2\,\|p\|_{\mathbb D(c,r(B))}\le2\,\|p\|_{\mathbb D(c,\delta)}.$$

*Principe du maximum.* Pour $S=\mathbb D(c,\delta)$, on a $\partial S=\mathcal C$ au sens de la question 10 :
- si $|x-c|<\delta$, $\mathbb D(x,\delta-|x-c|)\subset S$ par inégalité triangulaire, donc $x\notin\partial S$ ;
- si $|x-c|=\delta$ et $\varepsilon>0$, le point $x+\varepsilon\frac{x-c}{\delta}$ (ou $c+\varepsilon$ si $\delta=0$) appartient à $\mathbb D(x,\varepsilon)$ mais est à distance $\delta+\varepsilon>\delta$ de $c$ : $x\in\partial S$.

La question 10 donne alors $\|p\|_{\mathbb D(c,\delta)}=\|p\|_{\mathcal C}$, d'où
$$\boxed{\vert\!\vert\!\vert p(A)\vert\!\vert\!\vert \le2\,\|p\|_{\mathcal C}\quad\text{pour tout disque de bord }\mathcal C\text{ contenant }\mathcal H(A)}$$