Physique 2
Mines-PontsPSI2026
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## Présentation du sujet
**Thème.** « Conversion de puissance électromécanique » : on compare deux moteurs qui transforment l'énergie stockée dans un champ en travail mécanique, l'un par variation de **capacité** (moteur électrostatique), l'autre par variation d'**inductance** (moteur à réluctance variable monophasé), puis on étudie comment leurs performances évoluent quand on réduit leur taille (« downsizing »).
**Découpage.**
- **Partie I (Q1–Q11)** : condensateur plan (champ, capacité), puis moteur à capacité variable : forme de $C(\theta_{\mathrm r})$, couple $\tfrac12u^2\,\mathrm dC/\mathrm d\theta_{\mathrm r}$, alimentation en créneaux synchronisée, puissance moyenne, effet du nombre de paires d'électrodes, structure multicouches (AN du moteur Philips), version sans contact glissant.
- **Partie II (Q12–Q20)** : circuit magnétique à pôles saillants, lecture de simulations FEMM, théorème d'Ampère dans le fer de perméabilité infinie, volume d'entrefer et inductance, couple de réluctance, alimentation en créneaux de courant.
- **Partie III (Q21–Q28)** : équation électrique du moteur à inductance variable, puis électronique de puissance : hacheur à un transistor et diode de roue libre, son défaut (couple de freinage), et demi-pont asymétrique qui le corrige.
- **Partie IV (Q29–Q40)** : réécriture des puissances en densité d'énergie × volume × fréquence, comparaison avec $B_{\text{sat}}$ et la courbe de Paschen, puis lois d'échelle (analyse dimensionnelle, théorème de l'énergie cinétique, contrainte thermique).
Les parties II–III sont indépendantes de la partie I ; la partie IV ne réutilise que les expressions fournies des puissances.
**Notions mobilisées** : théorème de Gauss, condensateur plan, énergie électrostatique ; milieux ferromagnétiques doux, théorème d'Ampère, énergie magnétique, inductance ; conversion électromécanique (couple dérivé de l'énergie) ; loi de Faraday ; interrupteurs de puissance, règles d'interconnexion des sources ; analyse dimensionnelle ; théorème de l'énergie cinétique pour un solide en rotation ; bilan thermique en régime permanent.
**Difficulté et longueur.** 40 questions en 4 h, sans calculatrice : environ 6 minutes par question. Le sujet est progressif et très guidé (résultats intermédiaires donnés en Q8, Q14, Q20, Q21, Q29, Q33, Q34, Q37, Q38). Les vrais pièges sont géométriques (facteurs 2 en Q3, Q10, Q11, Q14, angles en Q15) et de lecture de figures (Q12, Q18, Q22, Q27, Q31).
**Questions à ne pas laisser passer** : Q2, Q5, Q7–Q8, Q17, Q19–Q21, Q29–Q30, Q32, Q36–Q37 sont des questions de cours ou de calcul direct. La partie IV, presque entièrement indépendante, rapporte beaucoup pour peu de calcul : ne pas la laisser de côté faute de temps.
**Gestion du temps** : environ 1 h pour la partie I, 50 min pour la partie II, 50 min pour la partie III, 1 h pour la partie IV, et 20 min de relecture.
## Partie I — Moteur électrostatique à capacité variable
On établit d'abord les propriétés du condensateur plan, puis on les applique à un moteur dont la capacité dépend de l'angle du rotor. Le fil directeur : couple $=$ dérivée de l'énergie à tension fixée, donc couple moyen nul sous tension constante, d'où une alimentation en créneaux synchronisée sur la rotation.
### Question 1
> [!INDICATION]
> Trois éléments doivent apparaître : les charges, la flèche de tension et le champ, avec des orientations cohérentes entre elles.
> [!INDICATION]
> En convention usuelle, la pointe de la flèche de tension indique le potentiel le plus élevé ; le champ va des potentiels élevés vers les potentiels bas.
#### Solution
La flèche de $u$ va de l'armature $-q$ vers l'armature $+q$ ; $\vec E$, uniforme, va de $+q$ vers $-q$ et est nul à l'extérieur (effets de bord négligés car $d\ll\sqrt S$).
> [!PIEGE]
> Dessiner le champ à l'extérieur, ou une flèche de $u$ pointant vers l'armature négative : le schéma sert ensuite à fixer tous les signes de la partie.
### Question 2
> [!INDICATION]
> La capacité se définit par une relation de proportionnalité entre deux grandeurs du schéma précédent.
> [!INDICATION]
> Pour le champ, modéliser chaque armature par un plan infini chargé (hypothèse $d\ll\sqrt S$), utiliser symétries et invariances, puis le théorème de Gauss, puis la superposition.
> [!INDICATION]
> La tension est la circulation du champ d'une armature à l'autre.
#### Solution
**Définition.** Les armatures sont en influence totale : $q$ (charge de l'armature vers laquelle pointe $u$) est proportionnelle à $u$, et
$$\boxed{C=\frac{q}{u}}$$
coefficient positif ne dépendant que de la géométrie et de l'isolant.
**Champ d'un plan.** Pour un plan infini de densité $\sigma$ : tout plan contenant la normale $\vec n$ est plan de symétrie, donc $\vec E=E\,\vec n$ ; l'invariance par translation dans le plan donne $E=E(z)$ ; le plan chargé est lui-même plan de symétrie, donc $E(-z)=-E(z)$. Le théorème de Gauss sur un cylindre de section $\Sigma$ traversant le plan symétriquement donne $2E(z)\Sigma=\sigma\Sigma/\varepsilon_0$, soit $\|\vec E\|=\sigma/2\varepsilon_0$, dirigé en s'éloignant du plan si $\sigma>0$.
**Superposition.** Avec $\sigma=q/S$ et $-\sigma$ : à l'extérieur les deux champs sont opposés et s'annulent ; entre les armatures ils sont tous deux dirigés de $+q$ vers $-q$ et s'ajoutent :
$$\boxed{\vec E=\frac{q}{\varepsilon_0S}\,\vec u_{+\to-}}$$
**Capacité.** $u=\displaystyle\int_+^-\vec E\cdot\mathrm d\vec\ell=Ed=\frac{qd}{\varepsilon_0S}$, d'où
$$\boxed{C=\frac{\varepsilon_0S}{d}}$$
> [!METHODE]
> Pour un champ de distribution plane : symétries (direction), invariances (variables), Gauss (norme), superposition. C'est la démarche que l'énoncé demande de « détailler ».
> [!JURY]
> Quand l'énoncé demande de détailler le raisonnement, chaque étape (symétries, invariances, choix de la surface de Gauss) doit être écrite ; un résultat de cours parachuté ne rapporte pas les points.
### Question 3
> [!INDICATION]
> La capacité est proportionnelle à l'aire des surfaces conductrices en regard (question 2, en parallèle).
> [!INDICATION]
> Lire la figure 1 : à $\theta_{\mathrm r}=0$, où sont les secteurs clairs (rotor) par rapport aux secteurs sombres (stator) ?
#### Solution
Les électrodes (1) et (2) sont reliées par l'axe, (3) et (4) entre elles : la capacité est la somme des capacités des zones en regard, donc proportionnelle à l'aire en regard. À $\theta_{\mathrm r}=0$ les électrodes rotoriques occupent les deux quadrants libres : pas de recouvrement, capacité minimale (résiduelle, par effets de bord). Après une rotation de $\pi/2$, chaque électrode rotorique est exactement au-dessus d'une électrode statorique. Le motif se répète après une rotation de $\pi$.
$$\boxed{C_{\min}\ \text{en}\ \theta_{\mathrm r}=k\pi,\qquad C_{\max}\ \text{en}\ \theta_{\mathrm r}=\frac{\pi}{2}+k\pi}$$
Surface en regard maximale : deux quarts de disque, $\pi R^2/2$ (zone de rayon $\delta\ll R$ négligée) ; avec $d\ll R$ :
$$\boxed{C_{\max}=\frac{\pi\varepsilon_0R^2}{2d}}$$
> [!PIEGE]
> Oublier qu'il y a deux paires d'électrodes en regard, et trouver $\pi\varepsilon_0R^2/4d$.
### Question 4
> [!INDICATION]
> Exprimer l'aire de recouvrement en fonction de $\theta_{\mathrm r}$ : l'aire d'un secteur est proportionnelle à son angle.
> [!INDICATION]
> On peut ensuite raccorder la loi obtenue aux deux valeurs extrêmes, ce qui intègre $C_{\min}$ sans le calculer.
#### Solution
Sur $[0,\pi/2]$, chaque électrode rotorique recouvre une électrode statorique sur un secteur d'angle $\theta_{\mathrm r}$ : aire $2\cdot\tfrac12R^2\theta_{\mathrm r}$, affine en $\theta_{\mathrm r}$ ; sur $[\pi/2,\pi]$, décroissance symétrique.
$$\boxed{C(\theta_{\mathrm r})=\begin{cases}C_{\min}+\dfrac{2}{\pi}(C_{\max}-C_{\min})\,\theta_{\mathrm r}, & 0\le\theta_{\mathrm r}\le\dfrac{\pi}{2}\\[2mm] C_{\min}+\dfrac{2}{\pi}(C_{\max}-C_{\min})\,(\pi-\theta_{\mathrm r}), & \dfrac{\pi}{2}\le\theta_{\mathrm r}\le\pi\end{cases}}$$
Tracé sur $[0,2\pi]$ : triangles de segments droits (première ligne de la figure 2, question 6). **Période $\pi$.**
| $\theta_{\mathrm r}$ | $0$ | $\pi/2$ | $\pi$ | $3\pi/2$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $C$ | $C_{\min}$ | $C_{\max}$ | $C_{\min}$ | $C_{\max}$ | $C_{\min}$ |
> [!PIEGE]
> Annoncer une période $2\pi$ : le rotor porte deux électrodes diamétralement opposées, une rotation de $\pi$ redonne la même configuration. Tracer une sinusoïde au lieu de segments droits est aussi une erreur : la loi est affine par morceaux.
### Question 5
> [!INDICATION]
> Écrire l'énergie électrostatique en fonction de $C$ et de $u$, puis dériver à $u$ fixé.
> [!INDICATION]
> Pour la tension constante, calculer la moyenne de $\mathrm dC/\mathrm d\theta_{\mathrm r}$ sur une période : que vaut l'intégrale d'une dérivée d'une fonction périodique ?
#### Solution
$\mathcal E_{\text{el}}=\tfrac12C(\theta_{\mathrm r})u^2$, donc
$$\boxed{\Gamma=\frac12u^2\frac{\mathrm dC}{\mathrm d\theta_{\mathrm r}}}$$
Moteur : la puissance moyenne $\langle\Gamma\rangle\Omega$ fournie à la charge doit être positive, donc **$\langle\Gamma\rangle\neq0$ et du signe de $\Omega$**.
Sous $u=U$ constante :
$$\langle\Gamma\rangle=\frac{U^2}{2\pi}\int_0^\pi\frac{\mathrm dC}{\mathrm d\theta_{\mathrm r}}\,\mathrm d\theta_{\mathrm r}=\frac{U^2}{2\pi}\big[C(\pi)-C(0)\big]=0.$$
**Non** : le couple, du signe de $\mathrm dC/\mathrm d\theta_{\mathrm r}$, ramène toujours le rotor vers la position de capacité maximale, où il se bloque.
> [!METHODE]
> Pour tout convertisseur à énergie stockée $\tfrac12X(\theta)Y^2$ avec $X$ périodique, une alimentation constante donne un couple moyen nul. L'argument resservira mot pour mot en Q17.
### Question 6
> [!INDICATION]
> Le couple a le signe de $\mathrm dC/\mathrm d\theta_{\mathrm r}$ et la tension intervient au carré.
> [!INDICATION]
> On n'alimente que là où le couple est moteur ; le couple moyen se calcule comme valeur crête × fraction de période.
#### Solution
$$\boxed{u=U\ \text{sur}\ \Big]k\pi,\ k\pi+\frac{\pi}{2}\Big[,\qquad u=0\ \text{sur}\ \Big]k\pi+\frac{\pi}{2},\ (k+1)\pi\Big[}$$
Sur les intervalles alimentés, $\mathrm dC/\mathrm d\theta_{\mathrm r}=2(C_{\max}-C_{\min})/\pi$, donc $\Gamma=U^2(C_{\max}-C_{\min})/\pi$ ; ailleurs $\Gamma=0$. La courbe $\Gamma(\theta_{\mathrm r})$ est un créneau positif de période $\pi$ et de rapport cyclique $1/2$, en phase avec les rampes montantes de $C$ ($\Delta C=C_{\max}-C_{\min}$) :
$$\boxed{\langle\Gamma\rangle=\frac{U^2(C_{\max}-C_{\min})}{2\pi}}$$
> [!PIEGE]
> Confondre la valeur crête du couple ($U^2\Delta C/\pi$) et sa valeur moyenne ($U^2\Delta C/2\pi$). Inutile aussi d'imaginer une tension alternative : seul $u^2$ compte.
### Question 7
> [!INDICATION]
> Après quelle rotation du rotor la séquence d'alimentation doit-elle se répéter ?
#### Solution
La tension doit reprendre la même valeur chaque fois que le rotor retrouve la même configuration, c'est-à-dire tous les $\pi$. Avec $\theta_{\mathrm r}=\Omega t$, $T=\pi/\Omega$, et le fondamental a la période du créneau :
$$\boxed{\omega=2\Omega}$$
### Question 8
> [!INDICATION]
> En régime permanent, la vitesse est constante : comment relier puissance moyenne et couple moyen ?
> [!INDICATION]
> Exprimer ensuite $\Omega$ en fonction de $f$ grâce à la question 7.
#### Solution
$f=\omega/2\pi=\Omega/\pi$, soit $\Omega=\pi f$. $\Omega$ étant constante, $\langle\Gamma\Omega\rangle=\langle\Gamma\rangle\Omega$ :
$$\langle\mathcal P_{\text{m,el}}\rangle=\frac{U^2(C_{\max}-C_{\min})}{2\pi}\cdot\pi f\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\langle\mathcal P_{\text{m,el}}\rangle=\frac12fU^2(C_{\max}-C_{\min})}$$
> [!METHODE]
> Contrôle d'homogénéité : $\tfrac12U^2\Delta C$ est une énergie, convertie une fois par période électrique ; multipliée par $f$, c'est une puissance.
### Question 9
> [!INDICATION]
> Trouver la plus petite rotation qui ramène le motif rotor/stator sur lui-même, et vérifier si la surface rotorique totale dépend de $p$.
> [!INDICATION]
> Tout se déduit des questions 6 à 8 en remplaçant la période $\pi$ par la nouvelle période.
#### Solution
- **Période** : secteurs d'angle $\pi/2p$ espacés de $\pi/2p$, motif reproduit après $\pi/p$ : $\boxed{\text{période }\pi/p}$. Surface rotorique $2p\cdot\tfrac12R^2\cdot\tfrac{\pi}{2p}=\pi R^2/2$, indépendante de $p$ : $C_{\max}$ inchangée.
- **Intervalles** : $\boxed{u=U\ \text{sur}\ \Big]\dfrac{k\pi}{p},\ \dfrac{k\pi}{p}+\dfrac{\pi}{2p}\Big[}$.
- **Couple moyen** : pente $2p\Delta C/\pi$, couple crête $pU^2\Delta C/\pi$, rapport cyclique $1/2$ : $\boxed{\langle\Gamma\rangle=\dfrac{pU^2(C_{\max}-C_{\min})}{2\pi}}$, multiplié par $p$.
- **Pulsation** : $T=\pi/(p\Omega)$, $\boxed{\omega=2p\Omega}$.
- **Puissance** : $\Omega=\pi f/p$, $\langle\mathcal P\rangle=\langle\Gamma\rangle\Omega=\boxed{\tfrac12fU^2(C_{\max}-C_{\min})}$, **inchangée à fréquence donnée** : le couple est multiplié par $p$, la vitesse divisée par $p$.
> [!PIEGE]
> Conclure « la puissance est multipliée par $p$ » sans dire ce qu'on garde constant : c'est vrai à $\Omega$ fixée, faux à $f$ fixée. Il faut préciser la grandeur maintenue.
### Question 10
> [!INDICATION]
> Compter les espaces inter-plaques sur la figure 2-(c) et se demander à quels potentiels sont toutes les plaques rotoriques, puis toutes les plaques statoriques.
> [!INDICATION]
> Des condensateurs soumis à la même tension sont en parallèle. Pour l'AN, attention aux unités (mm et µm) et à la consigne d'un chiffre significatif.
#### Solution
**Relation.** Empilement S–R–S–…–R–S : chaque plaque rotorique est entre deux plaques statoriques, soit $2N$ entrefers d'épaisseur $d$, chacun équivalent à la structure à une couche. Toutes les plaques rotoriques sont reliées à l'axe, toutes les statoriques entre elles : les $2N$ condensateurs sont en parallèle.
$$\boxed{C_N(\theta_{\mathrm r})=2NC(\theta_{\mathrm r})}$$
La puissance moyenne $\tfrac12fU^2(C_{N,\max}-C_{N,\min})$ est **multipliée par $2N$**.
**AN** ($R=10^{-2}$ m, $d=1{,}5\times10^{-4}$ m, $p=3$ ne change pas $C_{\max}$) :
$$C_{\max}=\frac{\pi\varepsilon_0R^2}{2d}=\frac{\pi\times9\times10^{-12}\times10^{-4}}{3\times10^{-4}}\approx9\times10^{-12}\ \text{F},\qquad\boxed{C_{N,\max}=28\,C_{\max}\approx3\times10^{-10}\ \text{F}}$$
Avec $C_{N,\min}\ll C_{N,\max}$, $U=100$ V, $f=1$ kHz :
$$\langle\mathcal P\rangle\approx\tfrac12\times10^{3}\times10^{4}\times2{,}6\times10^{-10}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\langle\mathcal P\rangle\approx1\ \text{mW}}$$
**Commentaire.** Le moteur occupe environ 4 cm³ (diamètre 2 cm, hauteur $\approx13$ mm) : $\approx3\times10^{2}$ W·m⁻³, ridicule devant un petit moteur électromagnétique de même volume (de l'ordre du watt). La vitesse $\Omega=\pi f/p\approx10^{3}$ rad·s⁻¹ ($10^{4}$ tr/min) est déjà élevée : augmenter $f$ n'est pas une solution. La partie IV explique cette faiblesse.
> [!PIEGE]
> Compter $N$, $N+1$ ou $2N+1$ condensateurs au lieu de $2N$. L'épaisseur des plaques (300 µm) n'intervient pas dans la capacité, seulement dans l'encombrement.
### Question 11
> [!INDICATION]
> Un conducteur isolé, en influence avec deux autres, joue le rôle de point milieu entre deux condensateurs. Comment sont-ils associés ?
> [!INDICATION]
> Utiliser une symétrie de la figure 3 pour comparer les deux capacités rotor/demi-stator, puis reprendre la formule de la puissance moyenne.
#### Solution
**Schéma équivalent** : entre les demi-stators A et B, deux condensateurs variables en série, $C_A$ (A–rotor) et $C_B$ (rotor–B), le rotor flottant étant le point milieu.
Dans le montage initial, les deux parties du stator étaient reliées : $C=C_A+C_B$. La rotation de $\pi$ laisse le rotor invariant et échange A et B : $C_A=C_B=C/2$ pour tout $\theta_{\mathrm r}$, donc
$$C_{\text{éq}}=\frac{C_AC_B}{C_A+C_B}=\frac{C}{4}.$$
Le rotor ayant une charge fixée (nulle), l'énergie s'écrit $\tfrac12C_{\text{éq}}u^2$ et les questions 5–8 s'appliquent avec une excursion $\Delta C/4$ : $\langle\mathcal P'\rangle=\tfrac12fU'^2\Delta C/4$. Pour retrouver la même puissance :
$$\boxed{U'=2U}$$
> [!PIEGE]
> N'utiliser qu'un seul des deux facteurs 2 (série, partage du stator) et trouver $U'=\sqrt2\,U$.
## Partie II — Moteur électromagnétique monophasé à inductance variable
On modélise le circuit magnétique (fer de perméabilité infinie, deux entrefers minces) pour obtenir le champ dans l'entrefer par le théorème d'Ampère, puis l'inductance par l'énergie magnétique. Le reste est le décalque magnétique de la partie I.
### Question 12
> [!INDICATION]
> Comparer, à la traversée de l'interface fer/air, le comportement de $\vec B$ et celui de $\vec H$.
> [!INDICATION]
> La composante normale de $\vec B$ est continue et $\vec B=\mu_0\mu_{\mathrm r}\vec H$ dans le fer : laquelle des deux grandeurs est grande partout dans le fer, laquelle seulement dans l'entrefer ?
#### Solution
Dans le fer $\vec B=\mu_0\mu_{\mathrm r}\vec H$ avec $\mu_{\mathrm r}\gg1$, dans l'air $\vec B=\mu_0\vec H$. Le champ traverse l'entrefer quasi normalement aux faces polaires, et $B_n$ est continue : $\|\vec B\|$ est du même ordre dans le fer et dans l'entrefer, tandis que $\|\vec H\|$ est $\mu_{\mathrm r}$ fois plus grand dans l'entrefer que dans le fer.
La simulation 1 est claire (faible) partout sauf dans la mince bande d'entrefer : c'est $\|\vec H\|$. La simulation 2 est foncée (forte) dans tout le fer parcouru par le flux : c'est
$$\boxed{\|\vec B\|\ \text{: simulation 2}}$$
> [!PIEGE]
> L'argument « les lignes de champ sont resserrées » ne distingue pas $B$ de $H$ ; ce qui les distingue, c'est le saut à l'interface fer/air.
### Question 13
> [!INDICATION]
> Que vaut $\vec H$ dans un fer de très grande perméabilité ? Où se concentre alors la circulation de $\vec H$ imposée par le théorème d'Ampère ?
> [!INDICATION]
> Comparer deux contours enlaçant le même courant : l'un ne traverse l'air que sur la longueur des entrefers, l'autre sur une longueur de l'ordre de $R$.
#### Solution
Dans le fer, $\vec H=\vec B/\mu\simeq\vec 0$ : la circulation de $\vec H$ (égale au courant enlacé $2Ni$) se fait dans l'air. Un contour passant par les entrefers ne traverse l'air que sur $2e$ : $H_{\text{entrefer}}\simeq Ni/e$. Un contour qui traverse l'air hors des pôles le fait sur une longueur $2D$ avec $D\sim R\gg e$ : $H_{\text{air}}\simeq Ni/D$. D'où
$$\boxed{\frac{B_{\text{air, hors entrefer}}}{B_{\text{entrefer}}}\sim\frac{e}{D}\ll1}$$
Le fer canalise le flux (les lignes sortent du fer orthogonalement à sa surface) et le champ dans l'air n'est notable que dans les entrefers minces, ce que montre la figure 5.
### Question 14
> [!INDICATION]
> Choisir pour contour d'Ampère une ligne de champ passant par les deux entrefers ; recenser le courant enlacé et chaque contribution à la circulation.
> [!INDICATION]
> Deux enroulements de $N$ spires et deux entrefers : les facteurs 2 se compensent-ils ?
#### Solution
Contour : ligne de champ pôle statorique → entrefer → rotor → entrefer → pôle opposé → culasse.
- Courant enlacé : $2Ni$ (deux enroulements en série dont les ampères-tours s'ajoutent).
- Fer ($\mu\to\infty$, $B$ fini) : $\vec H=\vec 0$.
- Chaque entrefer : champ normal aux faces et uniforme ($e\ll R$), contribution $H_ae$.
$$2H_ae=2Ni\quad\Longrightarrow\quad\boxed{B_a=\frac{\mu_0Ni}{e}}$$
en tout point des deux entrefers.
> [!METHODE]
> Circuit magnétique à fer parfait : la circulation de $\vec H$ ne « coûte » que dans l'air. $\oint\vec H\cdot\mathrm d\vec\ell=$ ampères-tours enlacés, et l'on écrit bien $\vec H$, pas $\vec B/\mu_0$, dans le fer.
### Question 15
> [!INDICATION]
> Placer les pôles sur un cercle : stator centré sur $\pm\pi/2$, rotor sur $\theta_{\mathrm r}$ et $\theta_{\mathrm r}+\pi$, avec leurs demi-ouvertures.
> [!INDICATION]
> Le volume d'entrefer vaut (angle total de recouvrement) $\times Re\ell$. Comparer la somme des demi-ouvertures d'un pôle rotorique et d'un pôle statorique à l'écart angulaire de leurs axes.
#### Solution
Un secteur d'entrefer d'ouverture $\mathrm d\alpha$ a pour volume $Re\ell\,\mathrm d\alpha$ ($e\ll R$) ; avec $\alpha$ l'angle total de recouvrement, $V=\alpha Re\ell$.
**$\theta_{\mathrm r}=k\pi$** : pôle rotorique sur $[-\pi/4-\epsilon,\ \pi/4+\epsilon]$, pôle statorique supérieur sur $[\pi/4+\epsilon/2,\ 3\pi/4-\epsilon/2]$ : recouvrement $\epsilon/2$. Allure : seules les cornes des pôles se font face, en quatre petits secteurs d'ouverture $\epsilon/2$.
$$\boxed{V_{\min}=2\epsilon\,Re\ell}$$
**$\theta_{\mathrm r}=(2k+1)\pi/2$** : pôles alignés, le pôle rotorique (plus large) couvre entièrement le pôle statorique : deux secteurs d'ouverture $\beta_{\mathrm s}$, $\alpha=\pi-2\epsilon\simeq\pi$.
$$\boxed{V_{\max}\simeq\pi Re\ell}$$
> [!PIEGE]
> Prendre $\beta_{\mathrm r}$ au lieu de $\beta_{\mathrm s}$ pour le recouvrement maximal : c'est le plus étroit des deux pôles qui limite le recouvrement. Et ne pas simplifier $V_{\min}$ : $\epsilon$ y est le seul paramètre angulaire.
### Question 16
> [!INDICATION]
> L'énergie magnétique d'un circuit parcouru par $i$ s'écrit avec $L$ ; il reste à calculer cette énergie à partir du champ.
> [!INDICATION]
> La densité volumique d'énergie est $B^2/2\mu$ : où est-elle non négligeable ? Utiliser les questions 13 à 15.
> [!INDICATION]
> Pour la variation, suivre l'angle de recouvrement quand $\theta_{\mathrm r}$ va de $0$ à $\pi/2$ : combien de zones existent, et comment évolue chacune ?
#### Solution
**Définition** : $\boxed{\mathcal E_{\text{ma}}=\tfrac12Li^2}$, $\mathcal E_{\text{ma}}$ énergie magnétique totale du système.
**Calcul.** $\mathcal E_{\text{ma}}=\iiint\frac{B^2}{2\mu}\mathrm d\tau$ : nulle dans le fer ($\mu\to\infty$), négligeable dans l'air hors entrefer. Avec $B_a=\mu_0Ni/e$ sur le volume $V$ :
$$\mathcal E_{\text{ma}}=\frac{\mu_0N^2i^2}{2e^2}V\quad\Longrightarrow\quad L=\frac{\mu_0N^2}{e^2}V,\qquad\boxed{L_{\min}=\frac{2\mu_0N^2\epsilon R\ell}{e},\quad L_{\max}=\frac{\pi\mu_0N^2R\ell}{e}}$$
**Variation.** $L\propto\alpha(\theta_{\mathrm r})$. Pour $|\theta_{\mathrm r}|\le\epsilon/2$ : deux coins gagnent ce que deux autres perdent, palier à $L_{\min}$. Pour $\epsilon/2\le\theta_{\mathrm r}\le\pi/2-3\epsilon/2$ : deux zones seulement, croissant chacune comme $\theta_{\mathrm r}$, $\alpha=2\theta_{\mathrm r}+\epsilon$. Puis palier à $L_{\max}$ tant que le pôle statorique est couvert, et décroissance symétrique. **$L$ est affine par morceaux (trapézoïdale) de période $\pi$**, ce que confirme la figure 6.
> [!PIEGE]
> Écrire $B^2/2\mu_0$ dans le fer : on trouverait une énergie dominée par le fer. C'est $\mu\to\infty$ qui annule la densité d'énergie dans le fer, alors que $B$ y est du même ordre que dans l'entrefer.
### Question 17
> [!INDICATION]
> Même démarche qu'en question 5, avec l'énergie magnétique dérivée à courant fixé.
#### Solution
$$\boxed{\Gamma=\frac12i^2\frac{\mathrm dL}{\mathrm d\theta_{\mathrm r}}}$$
À $i=I$ constant, $\langle\Gamma\rangle=\dfrac{I^2}{2\pi}\big[L(\pi)-L(0)\big]=0$ par périodicité : **non**, un courant constant ne fait pas un moteur ; le rotor s'immobilise pôles alignés ($L$ maximale).
### Question 18
> [!INDICATION]
> Repérer sur la figure 6 les rampes montantes, les paliers (largeur $\Delta\beta$ centrés sur les multiples de $\pi/2$) et les rampes descendantes.
> [!INDICATION]
> Pour le couple moyen, $\frac{\mathrm dL}{\mathrm d\theta_{\mathrm r}}\mathrm d\theta_{\mathrm r}=\mathrm dL$ : la largeur des paliers intervient-elle ?
#### Solution
$$\boxed{i=I\ \text{sur}\ \Big[k\pi+\frac{\Delta\beta}{2},\ k\pi+\frac{\pi}{2}-\frac{\Delta\beta}{2}\Big],\qquad i=0\ \text{ailleurs}}$$
Diagramme synchrone, avec $\rho=\dfrac{L_{\max}-L_{\min}}{\pi/2-\Delta\beta}$ (notation de la question 23) :
Valeurs sur une période (à répéter sur $[\pi,2\pi]$) :
| $\theta_{\mathrm r}$ | $[0,\frac{\Delta\beta}{2}]$ | $[\frac{\Delta\beta}{2},\frac{\pi}{2}-\frac{\Delta\beta}{2}]$ | $[\frac{\pi}{2}-\frac{\Delta\beta}{2},\frac{\pi}{2}+\frac{\Delta\beta}{2}]$ | $[\frac{\pi}{2}+\frac{\Delta\beta}{2},\pi-\frac{\Delta\beta}{2}]$ | $[\pi-\frac{\Delta\beta}{2},\pi]$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $L$ | $L_{\min}$ | rampe montante | $L_{\max}$ | rampe descendante | $L_{\min}$ |
| $i$ | $0$ | $I$ | $0$ | $0$ | $0$ |
| $\Gamma$ | $0$ | $\dfrac{I^2(L_{\max}-L_{\min})}{2(\pi/2-\Delta\beta)}$ | $0$ | $0$ | $0$ |
$$\langle\Gamma\rangle=\frac{I^2}{2\pi}\int_{L_{\min}}^{L_{\max}}\mathrm dL\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\langle\Gamma\rangle=\frac{I^2(L_{\max}-L_{\min})}{2\pi}}$$
> [!METHODE]
> Contrôle croisé : couple crête $\times$ rapport cyclique $=\dfrac{I^2\Delta L}{2(\pi/2-\Delta\beta)}\cdot\dfrac{\pi/2-\Delta\beta}{\pi}$ redonne le même résultat.
### Question 19
> [!INDICATION]
> Quelle est la période angulaire de $L$, donc du créneau de courant ?
#### Solution
$L$ et le créneau sont $\pi$-périodiques en $\theta_{\mathrm r}=\Omega t$ : $T=\pi/\Omega$ et
$$\boxed{\omega=2\Omega}$$
### Question 20
> [!INDICATION]
> Reprendre exactement la chaîne de la question 8.
#### Solution
$\Omega=\pi f$ et $\Omega$ constante : $\langle\mathcal P_{\text{m,ma}}\rangle=\langle\Gamma\rangle\Omega=\dfrac{I^2\Delta L}{2\pi}\pi f$, soit
$$\boxed{\langle\mathcal P_{\text{m,ma}}\rangle=\frac12fI^2(L_{\max}-L_{\min})}$$
Même structure qu'en Q8 : énergie $\tfrac12I^2\Delta L$ convertie une fois par période.
## Partie III — Alimentation électrique du moteur monophasé à inductance variable
On écrit l'équation électrique d'une bobine dont l'inductance dépend de la position, puis on analyse deux convertisseurs continu–continu chargés de fabriquer le créneau de courant. Tout repose sur la continuité du courant dans une inductance et sur l'état des interrupteurs.
### Question 21
> [!INDICATION]
> Loi de Faraday avec le flux propre $\Phi=Li$ ; ici $L$ dépend du temps par l'intermédiaire de $\theta_{\mathrm r}$.
> [!INDICATION]
> Dériver un produit, puis passer de $\mathrm d/\mathrm dt$ à $\mathrm d/\mathrm d\theta_{\mathrm r}$.
#### Solution
En convention récepteur : $u=ri+\dfrac{\mathrm d(Li)}{\mathrm dt}=ri+L\dfrac{\mathrm di}{\mathrm dt}+i\dfrac{\mathrm dL}{\mathrm d\theta_{\mathrm r}}\dfrac{\mathrm d\theta_{\mathrm r}}{\mathrm dt}$. Avec $\boxed{\Omega=\mathrm d\theta_{\mathrm r}/\mathrm dt}$ et $\mathrm di/\mathrm dt=\Omega\,\mathrm di/\mathrm d\theta_{\mathrm r}$ :
$$\boxed{\Big[r+\Omega\frac{\mathrm dL}{\mathrm d\theta_{\mathrm r}}\Big]i+\Omega L(\theta_{\mathrm r})\frac{\mathrm di}{\mathrm d\theta_{\mathrm r}}=u(\theta_{\mathrm r})}$$
> [!METHODE]
> Contrôle énergétique : en multipliant par $i$, $ui=ri^2+\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}\big(\tfrac12Li^2\big)+\tfrac12i^2\dfrac{\mathrm dL}{\mathrm d\theta_{\mathrm r}}\Omega$ : pertes Joule + variation d'énergie stockée + puissance mécanique $\Gamma\Omega$, cohérent avec Q17.
> [!PIEGE]
> Écrire $u=ri+L\,\mathrm di/\mathrm dt$ : c'est la loi d'une inductance fixe, elle fait disparaître le terme de conversion.
### Question 22
> [!INDICATION]
> Un interrupteur idéal fermé impose une tension nulle à ses bornes ; en déduire le potentiel du point commun, puis la tension aux bornes de la diode.
> [!INDICATION]
> Lire sur la figure 7 le sens de la diode ; pour les règles d'interconnexion, se demander quel dipôle se comporte comme une source de courant.
#### Solution
T passant relie le point commun K à la borne $+$ : $V_K=U_0$ (borne $-$ prise comme référence). D a son anode à la borne $-$, sa cathode en K : tension $-U_0<0$, **D bloquée**. Le moteur est directement aux bornes de la source :
$$\boxed{u=U_0}$$
Le transistor est unidirectionnel : **$i\ge0$**, et il croît depuis $0$ sous $u>0$.
Règles : ne jamais court-circuiter une source de tension, ne jamais ouvrir une source de courant. La source $U_0$ est reliée au moteur, dipôle inductif qui impose la continuité de son courant (source de courant), et D bloquée ne court-circuite pas la source : **règles respectées**.
### Question 23
> [!INDICATION]
> Sur quel intervalle angulaire T est-il commandé ? Lire sur la figure 6 la variation de $L$ et la largeur de cet intervalle.
> [!INDICATION]
> Reporter la pente et la valeur de $u$ dans l'équation de la question 21.
#### Solution
T conduit sur les intervalles de la question 18 : la rampe montante, de la fin du palier bas ($\Delta\beta/2$) au début du palier haut ($\pi/2-\Delta\beta/2$), d'amplitude $\pi/2-\Delta\beta$, sur laquelle $L$ passe linéairement de $L_{\min}$ à $L_{\max}$ :
$$\frac{\mathrm dL}{\mathrm d\theta_{\mathrm r}}=\frac{L_{\max}-L_{\min}}{\pi/2-\Delta\beta}=\rho$$
Avec $u=U_0$ :
$$\boxed{(r+\Omega\rho)\,i+\Omega L(\theta_{\mathrm r})\frac{\mathrm di}{\mathrm d\theta_{\mathrm r}}=U_0}$$
> [!PIEGE]
> Le dénominateur est $\pi/2$ diminué de deux demi-paliers, soit $\pi/2-\Delta\beta$, ni $\pi/2-\Delta\beta/2$ ni $\pi/2$. Employer la notation $\rho$ imposée par l'énoncé.
### Question 24
> [!INDICATION]
> Le courant d'un dipôle inductif ne peut pas s'interrompre : quel chemin trouve-t-il quand T s'ouvre ?
> [!INDICATION]
> Découper l'intervalle demandé selon les paliers et la rampe de la figure 6, puis écrire l'équation de Q21 avec la bonne valeur de $u$.
#### Solution
À l'ouverture de T ($\theta_{\mathrm r}=\pi/2-\Delta\beta/2$), $i>0$ continue de circuler et se referme par D, dans son sens passant : **D passante**, $u=0$.
$\mathrm dL/\mathrm d\theta_{\mathrm r}$ vaut successivement $0$ (palier $L_{\max}$), $-\rho$ (rampe descendante), $0$ (palier $L_{\min}$) :
$$\boxed{\begin{aligned}
&\Big[\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\Delta\beta}{2},\ \tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\Delta\beta}{2}\Big] : && r\,i+\Omega L_{\max}\frac{\mathrm di}{\mathrm d\theta_{\mathrm r}}=0\\
&\Big[\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\Delta\beta}{2},\ \pi-\tfrac{\Delta\beta}{2}\Big] : && (r-\Omega\rho)\,i+\Omega L(\theta_{\mathrm r})\frac{\mathrm di}{\mathrm d\theta_{\mathrm r}}=0\\
&\Big[\pi-\tfrac{\Delta\beta}{2},\ \pi+\tfrac{\Delta\beta}{2}\Big] : && r\,i+\Omega L_{\min}\frac{\mathrm di}{\mathrm d\theta_{\mathrm r}}=0
\end{aligned}}$$
avec $L(\theta_{\mathrm r})=L_{\max}-\rho\big(\theta_{\mathrm r}-\frac{\pi}{2}-\frac{\Delta\beta}{2}\big)$ sur la rampe.
> [!PIEGE]
> Oublier le palier bas : l'intervalle imposé va jusqu'à $\pi+\Delta\beta/2$, il contient trois sous-domaines.
### Question 25
> [!INDICATION]
> Isoler $\mathrm di/\mathrm d\theta_{\mathrm r}$ dans l'équation de Q21 et regarder, phase par phase, le signe et la taille du numérateur et du dénominateur.
> [!INDICATION]
> Comparer les « constantes d'angle » $\Omega L/r$ sur les deux paliers, et le rôle du terme $\Omega\,\mathrm dL/\mathrm d\theta_{\mathrm r}$ selon le signe de la pente.
#### Solution
$\dfrac{\mathrm di}{\mathrm d\theta_{\mathrm r}}=\dfrac{u-(r+\Omega\,\mathrm dL/\mathrm d\theta_{\mathrm r})\,i}{\Omega L}$.
- **Montée** : $i=0$, $L=L_{\min}$, pente $U_0/(\Omega L_{\min})$, la plus forte du cycle : front raide.
- **Plateau** : $(r+\Omega\rho)i$ croît et $L$ augmente ; $i$ tend vers $U_0/(r+\Omega\rho)$ : courant presque constant.
- **Palier $L_{\max}$, T ouvert** : décroissance exponentielle de constante d'angle $\Omega L_{\max}/r$ ; l'énergie n'est dissipée que dans $r$.
- **Rampe descendante** : coefficient $r-\Omega\rho<r$ ; la machine fonctionne en génératrice et entretient le courant : décroissance plus lente encore.
- **Palier $L_{\min}$** : constante d'angle $\Omega L_{\min}/r$ beaucoup plus petite : le courant résiduel chute plus vite, juste avant l'impulsion suivante (figure 8, vers $180^\circ$).
### Question 26
> [!INDICATION]
> Regarder la courbe de couple de la figure 8 : où le couple est-il négatif, et pourquoi y a-t-il encore du courant à cet endroit ?
> [!INDICATION]
> Quelles valeurs de tension le montage 1 peut-il appliquer au moteur ?
#### Solution
**Défaut** : le courant subsiste pendant la rampe descendante de $L$, où $\Gamma=\tfrac12i^2\,\mathrm dL/\mathrm d\theta_{\mathrm r}<0$ : **couple de freinage**, qui diminue couple moyen et puissance.
**Cause** : en roue libre, D impose $u=0$ : l'énergie magnétique n'est évacuée que par effet Joule dans la faible résistance $r$, d'où une extinction lente, encore freinée par le fonctionnement en génératrice. **Le montage ne peut pas appliquer de tension négative** pour annuler rapidement le courant.
> [!PIEGE]
> Invoquer des pertes dans la diode : elle est idéale. Le défaut à citer est le couple négatif, et sa cause structurelle est l'absence de tension négative.
### Question 27
> [!INDICATION]
> Partir de la continuité de $i>0$ : par quels composants le courant peut-il passer dans chaque phase ?
> [!INDICATION]
> En déduire les potentiels des deux bornes du moteur, puis vérifier le signe de la tension aux bornes de chaque diode supposée bloquée.
#### Solution
Notations : H et B bornes $+$ et $-$ de la source, A point commun à $\mathrm T_1$, $\mathrm D_1$ et au moteur, A' point commun au moteur, $\mathrm D_2$, $\mathrm T_2$ ; $u=V_A-V_{A'}$, $i>0$ de A vers A'. $\mathrm D_1$ : anode en B, cathode en A ; $\mathrm D_2$ : anode en A', cathode en H.
| Phase | Chemin du courant | $u$ | $\mathrm D_1$ | $\mathrm D_2$ |
|---|---|---|---|---|
| 1 : $\mathrm T_1$, $\mathrm T_2$ passants | H → $\mathrm T_1$ → moteur → $\mathrm T_2$ → B | $+U_0$ | bloquée | bloquée |
| 2 : $\mathrm T_1$, $\mathrm T_2$ ouverts | B → $\mathrm D_1$ → moteur → $\mathrm D_2$ → H | $-U_0$ | passante | passante |
| 3 : $\mathrm T_2$ passant, $\mathrm T_1$ ouvert | moteur → $\mathrm T_2$ → B → $\mathrm D_1$ → moteur | $0$ | passante | bloquée |
En phase 1, chaque diode a une tension $-U_0$ à ses bornes. En phase 2, le courant entre dans la source par sa borne $+$ : l'énergie est renvoyée à la source. En phase 3, $\mathrm D_2$ a $V_{A'}-V_H=-U_0$ à ses bornes. Ces états supposent $i>0$ ; une fois le courant nul, toutes les diodes se bloquent et $u=0$.
> [!PIEGE]
> Annoncer $u=0$ en phase 2 : c'est justement $-U_0$ qui fait l'intérêt du montage. Le montage est réversible en tension, pas en courant ($i$ reste positif).
### Question 28
> [!INDICATION]
> Comparer les figures 8 et 10 pendant l'extinction du courant : quelle tension est appliquée, et le courant est-il encore non nul quand $L$ décroît ?
> [!INDICATION]
> Penser à deux critères de performance : le couple moyen et le devenir de l'énergie magnétique stockée.
#### Solution
**Comparaison.** Les montées sont identiques. À l'extinction, le montage 1 impose $u=0$ : décroissance exponentielle lente, qui s'étend sur toute la rampe descendante. Le montage 2 impose $u=-U_0$ : $\Omega L\,\mathrm di/\mathrm d\theta_{\mathrm r}\simeq-U_0$, décroissance quasi linéaire et rapide, courant nul dès la fin du palier $L_{\max}$ (figure 10).
**Performances du montage 2.**
- Plus de courant pendant la décroissance de $L$ : **plus de couple de freinage**, couple en créneau positif, couple moyen et puissance proches de l'idéal $I^2\Delta L/2\pi$.
- L'énergie magnétique est **renvoyée à la source** (phase 2) au lieu d'être dissipée dans $r$ : meilleur rendement.
- La phase 3 (roue libre) permet en outre de réguler le courant par découpage.
## Partie IV — Comparaison des deux types de moteurs. Lois d'échelle et « downsizing »
On réécrit les deux puissances sous la forme « densité d'énergie du champ × volume actif × fréquence », on compare les champs limites (claquage de l'air, saturation du fer), puis on suit l'évolution des performances quand toutes les dimensions sont multipliées par $h$.
### Question 29
> [!INDICATION]
> Exprimer $U$ en fonction du champ et $C_{\max}$ en fonction d'un volume ; de même $I$ en fonction de $B_e$ et $L_{\max}$ en fonction de $V_{e,\max}$.
> [!INDICATION]
> Résultats utiles : $E=U/d$ (Q2), $C=\varepsilon_0S/d$, $B=\mu_0NI/e$ (Q14), $L=\mu_0N^2V/e^2$ (Q16).
#### Solution
**Électrostatique** : $\langle\mathcal P_{\text{m,el}}\rangle\simeq\tfrac12fU^2C_{\max}$ avec $U=E_ad$ et $C_{\max}=\varepsilon_0S_{\max}/d=\varepsilon_0V_{a,\max}/d^2$ :
$$\boxed{\langle\mathcal P_{\text{m,el}}\rangle\simeq\frac{\varepsilon_0}{2}fV_{a,\max}E_a^2}$$
**Électromagnétique** : $\langle\mathcal P_{\text{m,ma}}\rangle\simeq\tfrac12fI^2L_{\max}$ avec $I=B_ee/(\mu_0N)$ et $L_{\max}=\mu_0N^2V_{e,\max}/e^2$, d'où $I^2L_{\max}=B_e^2V_{e,\max}/\mu_0$ :
$$\boxed{\langle\mathcal P_{\text{m,ma}}\rangle\simeq\frac{1}{2\mu_0}fV_{e,\max}B_e^2}$$
> [!METHODE]
> $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ et $B^2/2\mu_0$ sont les densités d'énergie électrique et magnétique : un convertisseur à énergie stockée fournit $\langle\mathcal P\rangle\sim f\times$ (énergie du champ dans le volume actif).
### Question 30
> [!INDICATION]
> Égaler les deux puissances à volumes et fréquence égaux, puis reconnaître la combinaison $\varepsilon_0\mu_0$.
#### Solution
$\dfrac{\varepsilon_0}{2}E_a^2=\dfrac{B_e^2}{2\mu_0}$, d'où $E_a=B_e/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}=cB_e$ :
$$\boxed{E_a\approx cB_{\text{sat}}\approx3\times10^{8}\ \text{V·m}^{-1}}$$
C'est environ cent fois le champ que l'air peut supporter (Q31).
### Question 31
> [!INDICATION]
> À pression atmosphérique, choisir une distance $d$ (par exemple 1 mm), en déduire l'abscisse $pd$, lire $V_c$ et former $V_c/d$.
> [!INDICATION]
> Écrire $\kappa$ comme le rapport des deux densités d'énergie maximales et faire apparaître $c$.
> [!INDICATION]
> Pour la pression : quel $V_c$ faut-il atteindre pour $d=1$ mm, et à quel $pd$ la figure 11 le donne-t-elle ?
#### Solution
**Champ disruptif.** Sur la branche droite, $V_c$ est à peu près proportionnel à $pd$ : à pression fixée, $V_c/d$ dépend peu de $d$. Pour $p=1$ bar et $d=1$ mm ($pd=1$ bar·mm), la figure 11 donne $V_c\approx6\times10^{3}$ V :
$$\boxed{E_d\approx6\times10^{6}\ \text{V·m}^{-1}}$$
(pour $d=1$ cm on lirait $\approx4\times10^{6}$ V·m⁻¹ : $E_d$ vaut quelques $10^{6}$ V·m⁻¹).
**Rapport.**
$$\kappa=\frac{\varepsilon_0E_d^2/2}{B_{\text{sat}}^2/2\mu_0}=\Big(\frac{E_d}{cB_{\text{sat}}}\Big)^2\approx\Big(\frac{6\times10^{6}}{3\times10^{8}}\Big)^2\approx4\times10^{-4},\qquad\boxed{\kappa\sim10^{-4}}$$
**Conclusion** : à pression atmosphérique, un moteur électrostatique macroscopique est environ $10^{4}$ fois moins puissant qu'un moteur électromagnétique de mêmes dimensions : **il n'est pas viable**, ce qu'annonçait le milliwatt de Q10.
**Pression.** Il faut $E_d\approx3\times10^{8}$ V·m⁻¹, soit $V_c\approx3\times10^{5}$ V pour $d=1$ mm ; la figure 11 donne cette valeur pour $pd\approx10^{2}$ bar·mm :
$$\boxed{p\approx10^{2}\ \text{bar}}$$
> [!PIEGE]
> Diviser la tension du minimum de Paschen par 1 mm : il faut lire $V_c$ à l'abscisse $pd$ cohérente avec le $d$ utilisé. Et ne pas oublier qu'on lit sur des échelles logarithmiques.
### Question 32
> [!INDICATION]
> Partir d'une formule simple contenant chaque constante : capacité d'un condensateur plan, inductance d'une bobine longue.
> [!INDICATION]
> Une homothétie conserve les rapports de longueurs : seule reste une longueur caractéristique.
#### Solution
$$\boxed{[\varepsilon_0]=\text{F·m}^{-1},\qquad[\mu_0]=\text{H·m}^{-1}}$$
Les constantes ne dépendent pas de l'échelle. Une capacité est donc $\varepsilon_0\times$ (longueur) $\times$ (facteur de forme sans dimension, invariant) : $\boxed{C\sim h}$ (par exemple $\varepsilon_0S/d\sim h^2/h$). Une inductance est $\mu_0N^2\times$ (longueur) $\times$ (facteur de forme), à $N$ fixé : $\boxed{L\sim h}$ (par exemple $\mu_0N^2V/e^2\sim h^3/h^2$).
### Question 33
> [!INDICATION]
> Où se trouvent les charges d'un conducteur en équilibre, et que relie la densité surfacique au champ ?
> [!INDICATION]
> Quelle grandeur reste fixée quand on change d'échelle, si l'on fait toujours travailler la machine à la limite du claquage ?
#### Solution
Conducteurs en équilibre : charge **surfacique**, uniforme sur les faces en regard, $\sigma=\varepsilon_0E_a$. En fonctionnant au champ limite $E_d$, propriété du gaz indépendante de la taille, $\sigma$ est invariant : $q=\sigma S\sim h^2$, et avec $C\sim h$,
$$U=\frac{q}{C}\sim h\qquad\boxed{U\sim h}$$
(équivalent à $U=E_dd$ avec $d\sim h$).
> [!PIEGE]
> Supposer $U$ constante : toute la suite serait fausse. Ce qui est fixé par le matériau, c'est le champ, pas la tension.
### Question 34
> [!INDICATION]
> Écrire le théorème de l'énergie cinétique pour un solide en rotation autour d'un axe fixe : il faut la loi d'échelle du moment d'inertie et celle du travail du couple.
> [!INDICATION]
> Les angles ne changent pas dans une homothétie ; le travail sur une phase motrice s'exprime simplement avec $U$ et $\Delta C$.
#### Solution
$J=\iiint\rho_mr_\perp^2\,\mathrm d\tau\sim h^2\cdot h^3=h^5$. Sur une phase motrice d'excursion angulaire invariante : $W=\int\Gamma\,\mathrm d\theta_{\mathrm r}=\tfrac12U^2\Delta C\sim h^2\cdot h=h^3$. Théorème de l'énergie cinétique depuis le repos : $\tfrac12J\Omega^2=W$, donc $\Omega^2\sim h^{-2}$, $\Omega\sim h^{-1}$, et le temps pour balayer un angle donné, $t=\Delta\theta/\Omega$ :
$$\boxed{t\sim h}$$
> [!PIEGE]
> $J\sim h^5$ et non $h^3$ : la masse varie en $h^3$, le carré du bras de levier ajoute $h^2$.
### Question 35
> [!INDICATION]
> La fréquence d'alimentation est liée au temps caractéristique de rotation ; reporter les lois d'échelle dans l'expression de la puissance.
#### Solution
$f\sim1/t\sim h^{-1}$ :
$$\langle\mathcal P_{\text{m,el}}\rangle=\tfrac12fU^2\Delta C\sim h^{-1}h^2h\qquad\boxed{\langle\mathcal P_{\text{m,el}}\rangle\sim h^2},\qquad\boxed{\langle\mathscr P_{\text{m,el}}\rangle\sim h^{-1}}$$
**Conclusion** : la puissance absolue baisse, mais la **puissance volumique augmente** quand on miniaturise : le moteur électrostatique devient d'autant plus performant qu'il est petit.
### Question 36
> [!INDICATION]
> Formule de la résistance d'un conducteur filiforme ; quelles grandeurs dépendent de l'échelle ?
#### Solution
$$\boxed{r=\frac{\ell_c}{\gamma s}}$$
($\ell_c$ longueur du câble, $s$ sa section, $\gamma$ conductivité du matériau). $\ell_c\sim h$, $s\sim h^2$, $\gamma$ invariant : $\boxed{r\sim h^{-1}}$.
### Question 37
> [!INDICATION]
> En régime permanent, l'énergie interne du système ne varie pas : que dit le premier principe sur les puissances reçue et évacuée ?
> [!INDICATION]
> Loi d'échelle de la surface d'échange, puis de $rI^2$.
#### Solution
Température stationnaire : $\boxed{\mathcal P_{\text{th}}=\mathcal P_{\text{Joule}}}$. Or $\mathcal P_{\text{th}}=kS(T-T_{\text{ext}})\sim h^2$ et $\mathcal P_{\text{Joule}}\propto rI^2$ (le rapport cyclique ne change pas). Donc $I^2\sim h^2/h^{-1}=h^3$ :
$$\boxed{I\sim h^{3/2}}$$
### Question 38
> [!INDICATION]
> Même démarche qu'en Q34 ; seul le travail du couple change, via la loi d'échelle du courant.
#### Solution
$J\sim h^5$, $W=\tfrac12I^2\Delta L\sim h^3\cdot h=h^4$. $\tfrac12J\Omega^2=W$ donne $\Omega\sim h^{-1/2}$ et
$$\boxed{t\sim h^{1/2}}$$
### Question 39
> [!INDICATION]
> Comme en Q35, avec la nouvelle loi d'échelle du temps et du courant.
#### Solution
$f\sim h^{-1/2}$ :
$$\langle\mathcal P_{\text{m,ma}}\rangle=\tfrac12fI^2\Delta L\sim h^{-1/2}h^3h\qquad\boxed{\langle\mathcal P_{\text{m,ma}}\rangle\sim h^{7/2}},\qquad\boxed{\langle\mathscr P_{\text{m,ma}}\rangle\sim h^{1/2}}$$
**Conclusion** : la puissance volumique **diminue** en miniaturisant. Le courant admissible ($I\sim h^{3/2}$) ne suit pas la baisse de $e$ : $B_e=\mu_0NI/e\sim h^{1/2}$, la densité d'énergie magnétique s'effondre.
> [!METHODE]
> Vérification par les densités d'énergie : $\langle\mathscr P\rangle\sim f\times$ densité. Électrostatique : $h^{-1}\times1$ ; électromagnétique : $h^{-1/2}\times h$. Les deux voies concordent.
### Question 40
> [!INDICATION]
> Former le rapport des deux puissances (ou des deux puissances volumiques) et étudier son sens de variation avec $h$.
> [!INDICATION]
> Partir de la valeur $\kappa$ de la question 31 pour estimer l'échelle à laquelle les deux technologies s'équivalent.
#### Solution
| | électrostatique | électromagnétique |
|---|---|---|
| $\langle\mathcal P\rangle$ | $\sim h^2$ | $\sim h^{7/2}$ |
| $\langle\mathscr P\rangle$ | $\sim h^{-1}$ | $\sim h^{1/2}$ |
$$\boxed{\frac{\langle\mathcal P_{\text{m,el}}\rangle}{\langle\mathcal P_{\text{m,ma}}\rangle}\sim h^{-3/2}}$$
Le rapport croît quand on miniaturise. Partant de $\kappa\sim10^{-4}$ à l'échelle centimétrique, il atteint 1 pour $h^{3/2}\sim10^{-4}$, soit $h$ entre $2\times10^{-3}$ et $5\times10^{-3}$ selon la valeur de $\kappa$ retenue : pour un moteur de rayon 1 cm, cela donne des dimensions de **quelques dizaines de micromètres**.
**Conclusion** : le moteur électromagnétique domine à l'échelle macroscopique ; le moteur électrostatique l'emporte aux échelles micrométriques (microsystèmes, MEMS). La raison est physique : la limite électrostatique (champ disruptif) ne dépend pas de la taille, la limite électromagnétique (échauffement, rapport surface/volume) se dégrade quand on réduit les dimensions. À très petite distance inter-armatures, on passe en outre à gauche du minimum de Paschen ($V_c\approx3\times10^{2}$ V vers $10^{-2}$ bar·mm), où la tension de claquage remonte, ce qui renforce encore l'avantage électrostatique.
> [!JURY]
> Une question « comparer, conclure » attend une conclusion physique explicite, si possible chiffrée, et pas seulement le rappel des exposants.
## Bilan
**Méthodes à retenir.**
- Couple d'un convertisseur à énergie stockée : $\Gamma=\partial\mathcal E/\partial\theta$ à source fixée, soit $\tfrac12u^2\,\mathrm dC/\mathrm d\theta$ ou $\tfrac12i^2\,\mathrm dL/\mathrm d\theta$ ; couple moyen nul sous alimentation constante ; alimentation synchronisée sur les phases où $C$ ou $L$ croît.
- Puissance moyenne $=$ couple moyen $\times\ \Omega$ en régime permanent ; lien $\omega=2p\Omega$ entre fréquence électrique et vitesse mécanique.
- Circuit magnétique à fer parfait : Ampère sur une ligne de champ, $\vec H=\vec 0$ dans le fer, énergie localisée dans l'entrefer, $L$ proportionnelle au volume d'entrefer.
- Électronique de puissance : partir de la continuité du courant dans l'inductance pour trouver le chemin du courant, puis les potentiels, puis l'état des diodes.
- Lois d'échelle : identifier ce qui est fixé par le matériau ($E_d$, $B_{\text{sat}}$, $\gamma$, $k$, $T$), puis analyse dimensionnelle et théorème de l'énergie cinétique.
**Prérequis à revoir** : théorème de Gauss pour un plan, condensateur plan ; relations de passage et milieux ferromagnétiques doux ; énergie magnétique et inductance ; hacheur série et diode de roue libre ; lecture de courbes en échelles logarithmiques.
**Questions classiques transposables** : capacité d'un condensateur plan (Q2), champ dans l'entrefer d'un circuit magnétique (Q14), inductance par l'énergie (Q16), équation électrique d'une inductance variable (Q21), états des interrupteurs d'un hacheur (Q22, Q27), densités d'énergie et relation $E=cB$ (Q29–Q30), lois d'échelle par analyse dimensionnelle (Q32–Q39).
Aide sur le corrigé
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