Physique 1
Mines-PontsPSI2026
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Sujet : « Autour de jets d'eau ». Durée 3 h, calculatrice interdite. Données : $\mu=10^3\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$, $g=10\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$. Dans les parties I à III, les pressions sont des surpressions (écart à la pression atmosphérique) ; les valeurs numériques sont données avec un chiffre significatif.
## I. Bilans de quantité de mouvement et d'énergie mécanique
### Question 1
**Système fermé.** On note $\delta m_e$ la masse de fluide qui traverse la section d'entrée entre $t$ et $t+\mathrm dt$, et $\delta m_s$ celle qui traverse la section de sortie pendant la même durée. On définit le système fermé $S_F$ comme l'ensemble des particules contenues à l'instant $t$ dans $\Sigma(t)$ ou dans la tranche $\delta m_e$ qui va entrer :
$$S_F(t)=\Sigma(t)\cup\delta m_e,\qquad S_F(t+\mathrm dt)=\Sigma(t+\mathrm dt)\cup\delta m_s .$$
Le fluide est incompressible, le débit volumique est $Q$ : $\delta m_e=\delta m_s=\mu Q\,\mathrm dt$.
**Variation de quantité de mouvement.** Les vitesses étant uniformes sur les sections d'entrée et de sortie,
$$\mathrm d\vec p=\big[\vec p_\Sigma(t+\mathrm dt)+\mu Q\,\mathrm dt\,\vec v_s\big]-\big[\vec p_\Sigma(t)+\mu Q\,\mathrm dt\,\vec v_e\big].$$
L'écoulement est permanent et la surface de contrôle fixe : $\vec p_\Sigma(t+\mathrm dt)=\vec p_\Sigma(t)$. Donc
$$\boxed{\mathrm d\vec p=\mu Q\,(\vec v_s-\vec v_e)\,\mathrm dt}$$
**Relation demandée.** $S_F$ est fermé ; le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel galiléen du laboratoire donne $\mathrm d\vec p/\mathrm dt=\vec R_{\rm ext}$, d'où
$$\boxed{\mu Q\,(\vec v_s-\vec v_e)=\vec R_{\rm ext}}$$
### Question 2
Avec le même système fermé, l'énergie cinétique étant additive et les vitesses uniformes sur les sections :
$$\mathrm dE_c=\big[E_{c,\Sigma}(t+\mathrm dt)+\tfrac12\mu Q\,\mathrm dt\,v_s^2\big]-\big[E_{c,\Sigma}(t)+\tfrac12\mu Q\,\mathrm dt\,v_e^2\big]=\tfrac12\mu Q\,(v_s^2-v_e^2)\,\mathrm dt,$$
car $E_{c,\Sigma}$ ne dépend pas du temps en régime permanent. Le théorème de l'énergie cinétique appliqué au système fermé **déformable** $S_F$ s'écrit $\mathrm dE_c/\mathrm dt=P_{\rm int}+P_{\rm ext}$, donc
$$\boxed{\tfrac12\mu Q\,(v_s^2-v_e^2)=P_{\rm int}+P_{\rm ext}}$$
$P_{\rm int}$ contient la puissance des forces intérieures (viscosité ; les forces de pression intérieures ne travaillent pas pour un fluide incompressible).
## II. Lance à incendie
### Question 3
Prenons comme surface de contrôle la portion de tuyau entre les sections droites passant par deux points $M$ et $M'$. La paroi est imperméable ; l'écoulement est permanent et le fluide incompressible, donc la masse contenue est constante et le débit volumique entrant égale le débit sortant. La vitesse étant tangente au tuyau et uniforme sur la section d'aire $A$ :
$$Q=v(M)\,A=v(M')\,A .$$
$A$ étant constante le long du tuyau, **$v(M)=v=Q/A$ est la même en tout point du tuyau**. (Seule la norme est constante : le vecteur $\vec v=v\,\hat t(M)$ tourne avec le tuyau.)
### Question 4
**Convention.** Le texte définit $\vec T(M)=T\hat t(M)$ comme l'action de l'amont sur l'aval, alors que la figure 3 dessine $-\vec T_1$ en $M_1$ et $+\vec T_2$ en $M_2$, c'est-à-dire des forces qui tirent la portion vers l'extérieur. On retient la convention de la figure, qui est celle d'une tension ($T>0$ : tuyau tendu) : la partie aval exerce $+T\hat t$ sur la partie amont, la partie amont exerce $-T\hat t$ sur la partie aval. Avec la convention littérale du texte, on obtiendrait le même résultat au signe près.
**Système** : la portion de tuyau entre $M_1$ et $M_2$ (paroi de masse négligeable et eau contenue), traitée comme à la question 1. Actions extérieures, projetées dans le plan horizontal :
- tension en $M_1$ : $-T(M_1)\,\hat t(M_1)$ ; tension en $M_2$ : $+T(M_2)\,\hat t(M_2)$ ;
- surpression de l'eau amont sur la section d'entrée : $+pA\,\hat t(M_1)$ ; de l'eau aval sur la section de sortie : $-pA\,\hat t(M_2)$ ;
- sol mouillé sans frottement : réaction verticale qui compense le poids ; atmosphère : résultante nulle.
La relation de la question 1, avec $\vec v_e=v\hat t(M_1)$, $\vec v_s=v\hat t(M_2)$ (question 3), donne
$$\mu Qv\,\big(\hat t(M_2)-\hat t(M_1)\big)=-T(M_1)\hat t(M_1)+T(M_2)\hat t(M_2)+pA\,\hat t(M_1)-pA\,\hat t(M_2),$$
soit
$$\big[T(M_2)-\mu Qv-pA\big]\hat t(M_2)=\big[T(M_1)-\mu Qv-pA\big]\hat t(M_1).$$
Les vecteurs $\hat t(M_1)$ et $\hat t(M_2)$ ne sont pas colinéaires : les deux coefficients sont nuls. Donc
$$\boxed{T(M_1)=T(M_2)=T=\mu Qv+pA}$$
La tension est uniforme et positive : le tuyau est tendu, quelle que soit sa disposition.
### Question 5
**Vitesse d'éjection.** Conservation du débit : $Q=vA=v_sA_s$, donc
$$\boxed{v_s=\frac{A}{A_s}\,v}$$
**Force du pompier.** Système : la lance et l'eau qu'elle contient, entre la section d'entrée (aire $A$, surpression $p$, vitesse $v\hat t_s$) et la section de sortie (aire $A_s$, surpression nulle, vitesse $v_s\hat t_s$). Actions extérieures : tension du tuyau amont $-T\hat t_s$ avec $T=\mu Qv+pA$, surpression $+pA\,\hat t_s$ sur la section d'entrée, action du pompier $\vec F$ (le poids est compensé et on ne garde que la composante selon $\hat t_s$). La relation de la question 1 donne
$$\mu Q\,(v_s-v)\,\hat t_s=-(\mu Qv+pA)\,\hat t_s+pA\,\hat t_s+\vec F,$$
d'où
$$\boxed{\vec F=\mu Q\,v_s\,\hat t_s=\mu Q\,\vec v_s}$$
$\vec F$ est dirigée dans le sens du jet : **le pompier doit pousser la lance vers l'avant** (il retient le recul de la lance).
### Question 6
Système : la lance seule (solide de masse négligeable, en équilibre). Elle subit la tension du tuyau $-T\hat t_s$, l'action du pompier $F\hat t_s$ et l'action de l'eau $F_{\rm eau}\hat t_s$ (l'atmosphère a une résultante nulle). L'équilibre projeté sur $\hat t_s$ donne $-T+F+F_{\rm eau}=0$ :
$$\boxed{F_{\rm eau}=T-F}$$
### Question 7
**Bernoulli.** Entre l'entrée et la sortie de la lance (écoulement parfait, stationnaire, incompressible, homogène, même altitude), le long d'une ligne de courant, en surpressions :
$$\boxed{p+\tfrac12\mu v^2=0+\tfrac12\mu v_s^2}\qquad\text{soit}\qquad p=\tfrac12\mu\,(v_s^2-v^2).$$
**Tension.** Avec $v=Q/A$ et $v_s=Q/A_s$ :
$$T=\mu Qv+pA=\frac{\mu Q^2}{A}+\frac{\mu A}{2}\left(\frac{Q^2}{A_s^2}-\frac{Q^2}{A^2}\right)=\frac12\mu Q^2\frac1A\left[1+\left(\frac{A}{A_s}\right)^2\right],$$
$$\boxed{T=\frac12\mu Q^2\frac1A\,k_1,\qquad k_1=1+\left(\frac{A}{A_s}\right)^2}$$
**Action de l'eau.** $F=\mu Qv_s=\dfrac{\mu Q^2}{A_s}=\dfrac12\mu Q^2\dfrac1A\cdot\dfrac{2A}{A_s}$, donc
$$F_{\rm eau}=T-F=\frac12\mu Q^2\frac1A\left[1+\left(\frac A{A_s}\right)^2-2\frac A{A_s}\right],\qquad\boxed{F_{\rm eau}=\frac12\mu Q^2\frac1A\,k_2,\qquad k_2=\left(\frac{A}{A_s}-1\right)^2}$$
$k_2\ge0$ : **l'eau pousse la lance vers l'avant**, dans le sens de l'écoulement (action nulle seulement si $A_s=A$). Enfin $T-F_{\rm eau}=F>0$ : **$F_{\rm eau}<T$**, l'écart étant exactement la force du pompier ; pour $A/A_s\gg1$, $T$ et $F_{\rm eau}$ sont du même ordre ($k_1\simeq k_2\simeq(A/A_s)^2$).
### Question 8
$Q=600\ \mathrm{L\cdot min^{-1}}=\dfrac{0{,}6}{60}=1{,}0\times10^{-2}\ \mathrm{m^3\cdot s^{-1}}$, $A/A_s=20$, $k_1=401$, $k_2=19^2=361$, et
$$\frac12\mu\frac{Q^2}{A}=\frac12\times10^3\times\frac{10^{-4}}{10^{-2}}=5\ \mathrm N .$$
$$F_{\rm eau}=5\times361\approx1{,}8\times10^3\ \mathrm N,\qquad F=\mu Q\frac{Q}{A_s}=10^3\times10^{-2}\times20=200\ \mathrm N .$$
À un chiffre significatif :
$$\boxed{F_{\rm eau}\approx2\times10^3\ \mathrm N,\qquad F\approx2\times10^2\ \mathrm N}$$
(et $T\approx2\times10^3$ N). Le pompier fournit l'équivalent du poids d'une masse de $20$ kg.
## III. Jet d'eau vertical
### Question 9
Dans le jet libre, chaque particule de fluide n'est soumise qu'à son poids (frottements de l'air négligés, surpression nulle). La conservation de l'énergie mécanique entre la sortie (vitesse $v_s$ verticale) et le sommet (vitesse nulle) donne $\tfrac12 v_s^2=gh$ :
$$\boxed{h=\frac{v_s^2}{2g}}$$
### Question 10
Bernoulli entre le réseau (surpression $p_0$, vitesse négligeable) et la sortie (surpression nulle, vitesse $v_{s,m}$), à la même altitude :
$$p_0=\tfrac12\mu v_{s,m}^2\qquad\Longrightarrow\qquad\boxed{v_{s,m}=\sqrt{\frac{2p_0}{\mu}}}$$
Avec la question 9 :
$$\boxed{h_m=\frac{v_{s,m}^2}{2g}=\frac{p_0}{\mu g}}$$
$h_m$ ne dépend ni de $d$, ni de $D$, ni de $L$ : **dans ce modèle sans perte, rétrécir la sortie ne modifie pas la hauteur du jet** (seul le débit change).
Pour $p_0=3\ \mathrm{bar}=3\times10^5\ \mathrm{Pa}$ : $v_{s,m}=\sqrt{600}\approx24\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ et
$$\boxed{h_m=\frac{3\times10^5}{10^3\times10}=3\times10^1\ \mathrm m}$$
### Question 11
**Nombres sans dimension.** $f$ dépend du **nombre de Reynolds** $\mathrm{Re}=\mu vD/\eta$ ($\eta$ viscosité dynamique) et de la **rugosité relative** $e/D$ ($e$ hauteur moyenne des aspérités de la paroi).
**Représentation graphique.** Le réseau de courbes $f(\mathrm{Re})$ paramétré par $e/D$, en échelles logarithmiques, est le **diagramme de Moody**.
**Puissance dissipée.** On applique la relation de la question 2 au fluide de la conduite entre les sections de surpressions $p_1$ et $p_2$ :
- section constante : $v_e=v_s=v$, le membre de gauche est nul ;
- $P_{\rm ext}$ : puissance des forces de surpression sur les sections, $p_1Av-p_2Av=(p_1-p_2)Q$ ; la paroi est immobile et ne travaille pas ; le poids ne travaille pas (conduite horizontale) ;
- $P_{\rm int}=-P_{\rm dis}$ : seules les forces de viscosité travaillent (fluide incompressible).
Donc $0=(p_1-p_2)Q-P_{\rm dis}$ :
$$\boxed{P_{\rm dis}=Q\,(p_1-p_2)=\frac12\mu v^2\frac LD f\,Q}$$
positive puisque $p_1>p_2$.
### Question 12
**Interprétation de la perte singulière.** On interprète $\tfrac12\mu v_s^2K$ comme une perte de **charge**, c'est-à-dire une perte de $p+\tfrac12\mu v^2$ à la traversée du rétrécissement : $\big(p_D+\tfrac12\mu v^2\big)-\big(p_d+\tfrac12\mu v_s^2\big)=\tfrac12\mu v_s^2K$. C'est la seule lecture compatible avec la vérification demandée (sans pertes, on doit retrouver $v_s=v_{s,m}$).
**Bilan.** Entre le réseau (surpression $p_0$, vitesse négligeable) et la sortie du rétrécissement (surpression nulle, vitesse $v_s$), à la même altitude : Bernoulli au raccordement, perte régulière dans la conduite (vitesse $v$), perte singulière au rétrécissement :
$$p_0=\frac12\mu v_s^2+\frac12\mu v^2\frac LD f+\frac12\mu v_s^2K .$$
**Débit.** $v\,\dfrac{\pi D^2}{4}=v_s\,\dfrac{\pi d^2}{4}$, donc $v=v_s\left(\dfrac dD\right)^2$. Avec $p_0=\tfrac12\mu v_{s,m}^2$ :
$$\boxed{v_s=\frac{v_{s,m}}{\sqrt{1+K+f\dfrac LD\left(\dfrac dD\right)^4}}}$$
Si l'on néglige toutes les pertes ($f=K=0$), on retrouve $v_s=v_{s,m}$ : le résultat est cohérent avec la question 10.
**Hauteur.** Par la question 9, $h=v_s^2/(2g)$ :
$$\boxed{h=\frac{h_m}{1+K+f\dfrac LD\left(\dfrac dD\right)^4}}$$
$K\ge0$ et $f\ge0$ (les pertes sont dissipatives, question 11), donc le dénominateur est au moins égal à $1$ : **$h\le h_m$, il est impossible d'obtenir un jet plus haut que $h_m$.**
### Question 13
$L/D=25/(2{,}5\times10^{-2})=10^3$, $fL/D=20$, $d/D=4\times10^{-2}$, $(d/D)^4=2{,}56\times10^{-6}$.
**Avec rétrécissement** ($d=1$ mm, $K=0{,}5$) : dénominateur $1+0{,}5+20\times2{,}56\times10^{-6}\simeq1{,}5$, donc $h=30/1{,}5=20$ m, $v_s=24{,}5/\sqrt{1{,}5}=20\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$, $v=v_s(d/D)^2=20\times1{,}6\times10^{-3}=3{,}2\times10^{-2}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$.
**Sans rétrécissement** ($d=D$, $v_s=v$, pas de perte singulière) : dénominateur $1+20=21$, donc $h=30/21\approx1{,}4$ m, $v_s=v=24{,}5/\sqrt{21}\approx5{,}3\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$. (Garder $K=0{,}5$ donnerait $h=30/21{,}5\approx1{,}4$ m : même résultat à un chiffre significatif.)
| Configuration | $h$ | $v_s$ | $v$ |
|---|---|---|---|
| Avec rétrécissement ($d=1$ mm) | $2\times10^1$ m | $2\times10^1\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ | $3\times10^{-2}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ |
| Sans rétrécissement ($d=D$) | $1$ m | $5\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ | $5\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ |
**Explication.** En rétrécissant la sortie, on réduit fortement le débit, donc la vitesse $v$ dans la longue conduite ; la perte de charge régulière, proportionnelle à $v^2$, devient négligeable et la surpression du réseau est presque entièrement convertie en énergie cinétique du jet.
## IV. Instabilité de Rayleigh-Plateau
### IV.A Modèle
### Question 14
Par la loi de Laplace, $\alpha$ est une pression multipliée par une longueur : $[\alpha]=\mathrm{N\cdot m^{-2}}\cdot\mathrm m$.
$$\boxed{\alpha\ \text{s'exprime en}\ \mathrm{N\cdot m^{-1}}=\mathrm{J\cdot m^{-2}}=\mathrm{kg\cdot s^{-2}}}$$
C'est une énergie par unité de surface, d'où $E_p=\alpha S$.
### Question 15
Le volume de la tranche, de longueur $\lambda=2\pi/k$ (une période), est
$$V=\int_{-\lambda/2}^{\lambda/2}\pi\big(R+\varepsilon\sin kz\big)^2\mathrm dz=\pi\left(R^2\lambda+0+\varepsilon^2\frac\lambda2\right),$$
car $\sin kz$ est de moyenne nulle et $\sin^2kz$ de moyenne $1/2$ sur une période. L'eau étant incompressible, $V=\pi R_0^2\lambda$, d'où $R^2=R_0^2-\varepsilon^2/2$ et, au second ordre en $\varepsilon/R_0$,
$$\boxed{R=R_0\left(1-\frac{\varepsilon^2}{4R_0^2}\right)=R_0-\frac{\varepsilon^2}{4R_0}}$$
### Question 16
$\dfrac{\mathrm dr}{\mathrm dz}=\varepsilon k\cos kz$ est du premier ordre en $\varepsilon$ ($\varepsilon\ll\lambda$), donc $\sqrt{1+(\mathrm dr/\mathrm dz)^2}=1+\tfrac12\varepsilon^2k^2\cos^2kz+O(\varepsilon^4)$ et
$$r\sqrt{1+\left(\frac{\mathrm dr}{\mathrm dz}\right)^2}=R+\varepsilon\sin kz+\frac12R\varepsilon^2k^2\cos^2kz+O(\varepsilon^3).$$
En intégrant sur une période ($\langle\sin\rangle=0$, $\langle\cos^2\rangle=1/2$) :
$$S=2\pi\left(R\lambda+\frac{R\varepsilon^2k^2\lambda}{4}\right)=2\pi R\lambda\left(1+\frac{k^2\varepsilon^2}{4}\right).$$
En reportant $R=R_0\big(1-\varepsilon^2/(4R_0^2)\big)$ et en ne gardant que l'ordre 2 :
$$\boxed{S=2\pi R_0\lambda\left(1+\gamma\varepsilon^2\right),\qquad\gamma=\frac14\left(k^2-\frac1{R_0^2}\right)=\frac{k^2R_0^2-1}{4R_0^2}}$$
**Stabilité.** $E_p=\alpha S=2\pi\alpha R_0\lambda(1+\gamma\varepsilon^2)$ avec $\alpha>0$. Si $\gamma>0$, l'état non perturbé $\varepsilon=0$ est un minimum d'énergie potentielle : il est stable. Si $\gamma<0$, c'est un maximum : la perturbation abaisse l'énergie et croît. La stabilité équivaut à $kR_0>1$, soit $2\pi/\lambda>1/R_0$ :
$$\boxed{\lambda<\lambda_\ell=2\pi R_0}$$
### Question 17
Au premier ordre, $R=R_0$ et $(\mathrm dr/\mathrm dz)^2=O(\varepsilon^2)$, donc les crochets des courbures valent $1$ :
$$\frac1{R_1}=\frac1{R_0+\varepsilon\sin kz}=\frac1{R_0}-\frac{\varepsilon\sin kz}{R_0^2},\qquad\frac1{R_2}=\frac{\mathrm d^2r}{\mathrm dz^2}=-\varepsilon k^2\sin kz .$$
$$\Delta P=\alpha\left(\frac1{R_1}-\frac1{R_2}\right)=\frac\alpha{R_0}+\alpha\varepsilon\left(k^2-\frac1{R_0^2}\right)\sin kz,\qquad\boxed{\Delta P=\frac{\alpha}{R_0}+4\alpha\gamma\,\varepsilon\sin(kz)}$$
**Condition de stabilité.** Le rayon est maximal là où $\sin kz=+1$ (ventres, pour $\varepsilon>0$) et minimal là où $\sin kz=-1$ (cols). L'effet est modérateur si la pression est plus forte dans les ventres que dans les cols, ce qui chasse le fluide des ventres vers les cols : il faut $4\alpha\gamma\varepsilon>0$, soit $\gamma>0$, c'est-à-dire $\lambda<2\pi R_0$. On retrouve le critère de la question 16. Le terme $-1/R_0^2$ vient de la courbure azimutale $1/R_1$ (déstabilisante, elle domine aux grandes longueurs d'onde) et le terme $k^2$ de la courbure axiale $1/R_2$ (stabilisante, elle domine aux petites longueurs d'onde).
### Question 18
On cherche $\tau_h=\mu^aR_0^b\alpha^c$ avec $[\mu]=\mathrm{M\,L^{-3}}$, $[R_0]=\mathrm L$, $[\alpha]=\mathrm{M\,T^{-2}}$ : $a+c=0$, $-3a+b=0$, $-2c=1$, d'où $c=-\tfrac12$, $a=\tfrac12$, $b=\tfrac32$ (solution unique) :
$$\boxed{\tau_h=\sqrt{\frac{\mu R_0^3}{\alpha}}}$$
à un facteur numérique près.
### Question 19
Pour la tranche $[-\lambda/4,\lambda/4]$, de révolution autour de l'axe, $z_G=\dfrac{\int z\,r^2\,\mathrm dz}{\int r^2\,\mathrm dz}$ avec, au premier ordre, $r^2=R_0^2+2R_0\varepsilon\sin kz$.
- Dénominateur (ordre 0 suffisant) : $R_0^2\lambda/2$, le terme en $\sin kz$ (impair) s'annulant.
- Numérateur : $\int zR_0^2\,\mathrm dz=0$ (impaire) et, par parties, avec $k\lambda/4=\pi/2$,
$$\int_{-\lambda/4}^{\lambda/4}z\sin kz\,\mathrm dz=2\left[-\frac{z\cos kz}{k}+\frac{\sin kz}{k^2}\right]_0^{\lambda/4}=\frac2{k^2}.$$
Donc $z_G=\dfrac{2R_0\varepsilon\cdot2/k^2}{R_0^2\lambda/2}=\dfrac{8\varepsilon}{k^2R_0\lambda}$, et avec $k^2=4\pi^2/\lambda^2$ :
$$\boxed{z_G=\sigma\frac{\lambda\varepsilon}{R_0},\qquad\sigma=\frac2{\pi^2}\approx0{,}20}$$
### Question 20
**Équation différentielle.** Masse de la tranche (ordre 0) : $m=\mu\pi R_0^2\lambda/2$. Les faces extrêmes (aire $\pi R_0^2$ à l'ordre 0) subissent la surpression du fluide voisin : $+\Delta P(-\lambda/4)\,\pi R_0^2$ en $z=-\lambda/4$ et $-\Delta P(\lambda/4)\,\pi R_0^2$ en $z=\lambda/4$. Avec la question 17 et $\sin(\pm\pi/2)=\pm1$ :
$$F_z=\pi R_0^2\big[\Delta P(-\lambda/4)-\Delta P(\lambda/4)\big]=-8\pi R_0^2\alpha\gamma\varepsilon .$$
Le théorème de la résultante cinétique, $m\ddot z_G=F_z$ avec $z_G=\sigma\lambda\varepsilon/R_0$, donne
$$\mu\pi\frac{R_0^2\lambda}2\cdot\frac{\sigma\lambda}{R_0}\ddot\varepsilon=-8\pi R_0^2\alpha\gamma\varepsilon\quad\Longrightarrow\quad\ddot\varepsilon+\frac{16\alpha\gamma R_0}{\mu\sigma\lambda^2}\varepsilon=0 .$$
Avec $\xi=kR_0$, $\gamma=(\xi^2-1)/(4R_0^2)$, $\lambda^2=4\pi^2R_0^2/\xi^2$ et $\tau_h^2=\mu R_0^3/\alpha$ :
$$\boxed{\ddot\varepsilon+\frac{\xi^2(\xi^2-1)}{\pi^2\sigma\,\tau_h^2}\,\varepsilon=0}\qquad\Big(\text{avec }\sigma=\tfrac2{\pi^2}:\ \ddot\varepsilon+\frac{\xi^2(\xi^2-1)}{2\tau_h^2}\varepsilon=0\Big)$$
**Discussion.**
- $\xi>1$ ($\lambda<2\pi R_0$) : oscillateur harmonique de pulsation $\omega=\dfrac{\xi\sqrt{\xi^2-1}}{\pi\sqrt\sigma\,\tau_h}$ ; $\varepsilon$ reste bornée, la perturbation est **stable**.
- $\xi<1$ ($\lambda>2\pi R_0$) : $\varepsilon(t)=a\,e^{t/\tau_k}+b\,e^{-t/\tau_k}$ ; pour des conditions initiales génériques ($a\neq0$), $\varepsilon$ diverge comme $\exp(t/\tau_k)$ : **instable**.
- $\xi=1$ : cas marginal ($\ddot\varepsilon=0$).
On retrouve le critère de la question 16.
**Temps caractéristique** (cas $\xi<1$) : $1/\tau_k^2=\xi^2(1-\xi^2)/(\pi^2\sigma\tau_h^2)$, donc
$$\boxed{\tau_k=\frac{\pi\sqrt\sigma\,\tau_h}{\xi\sqrt{1-\xi^2}}=\frac{\sqrt2\,\tau_h}{\xi\sqrt{1-\xi^2}}}$$
**Minimum.** $\tau_k$ est minimal quand $u(1-u)$ est maximal, avec $u=\xi^2\in\,]0,1[$ : en $u=1/2$, où $u(1-u)=1/4$. Donc $\xi_c=1/\sqrt2$ et
$$\boxed{\tau_{\min}=2\pi\sqrt\sigma\,\tau_h=2\sqrt2\,\tau_h\approx2{,}8\,\tau_h},\qquad\boxed{\lambda_c=\frac{2\pi R_0}{\xi_c}=2\sqrt2\,\pi R_0\approx8{,}9\,R_0}$$
### Question 21
**Pourquoi $\lambda_c$.** La perturbation réelle est un bruit qui contient toutes les longueurs d'onde ; le modèle étant linéaire, chaque composante de Fourier évolue indépendamment, et toutes celles de longueur d'onde supérieure à $2\pi R_0$ croissent comme $\exp(t/\tau_k)$. Le rapport d'amplitude entre la composante $\lambda_c$ et une autre croît comme $\exp\big[t(1/\tau_{\min}-1/\tau_k)\big]$ : après quelques $\tau_{\min}$, le mode $\lambda_c$ domine et le jet se pince à ses cols, espacés de $\lambda_c$. Il est donc raisonnable que le jet se coupe en tronçons de longueur $\lambda_c$.
**Rayon des gouttes.** Un tronçon donne une goutte ; par conservation du volume, $\tfrac43\pi R_g^3=\pi R_0^2\lambda_c=2\sqrt2\pi^2R_0^3$ :
$$\boxed{R_g=\left(\frac{3\pi}{\sqrt2}\right)^{1/3}R_0\approx1{,}9\,R_0}$$
**Surfaces.** Avant : $S_{\rm cyl}=2\pi R_0\lambda_c=4\sqrt2\pi^2R_0^2\approx56\,R_0^2$. Après : $S_{\rm sph}=4\pi R_g^2\approx44\,R_0^2$. À volume $V$ égal, $S_{\rm cyl}=2V/R_0$ et $S_{\rm sph}=3V/R_g$, donc
$$\boxed{\frac{S_{\rm sph}}{S_{\rm cyl}}=\frac{3R_0}{2R_g}\approx0{,}8}$$
La fragmentation **diminue l'aire de l'interface d'environ 20 %**, donc l'énergie de surface $\alpha S$ : l'évolution est énergétiquement favorable, en accord avec la question 16. (Cette comparaison entre état initial et état final sort du cadre linéaire $\varepsilon\ll R_0$ : c'est un argument de plausibilité, pas une démonstration.)
### IV.B Expérience
### Question 22
$R_0=2\times10^{-3}$ m, $v=1\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$, $\alpha=7{,}2\times10^{-2}\ \mathrm{N\cdot m^{-1}}$.
$$\tau_h=\sqrt{\frac{10^3\times8\times10^{-9}}{7{,}2\times10^{-2}}}=\sqrt{1{,}1\times10^{-4}}\approx1{,}05\times10^{-2}\ \mathrm s .$$
**Distance de brisure.** La vitesse restant égale à $v$, le jet se fragmente à la distance $\ell=v\cdot10\tau_h\approx0{,}1$ m :
$$\boxed{\ell\approx1\times10^{-1}\ \mathrm m}$$
**Fréquence des chocs.** Une goutte se forme par longueur $\lambda_c=2\sqrt2\pi R_0\approx1{,}8\times10^{-2}$ m de jet défilant à la vitesse $v$ ; les gouttes arrivent à l'évier à la cadence
$$\boxed{f=\frac{v}{\lambda_c}=\frac{1}{1{,}8\times10^{-2}}\approx6\times10^1\ \mathrm{Hz}}$$
fréquence audible (son grave), en accord avec l'observation.
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