Physique 2

# Mines-Ponts PC — Physique 2 2026 · Corrigé brut

*Corrigé rédigé par IA (La Belle Copie), non officiel. Signalez toute erreur.*

**Quelques réflexions de Richard Feynman.** Durée 4 h, calculatrice interdite. Applications numériques à deux chiffres significatifs. On note $\chi=e/(4\pi\epsilon_0)$, de sorte que $e^2/(4\pi\epsilon_0)=e\chi$.

## I — L'hypothèse atomique

### I.A — Taille de l'électron

### Question 1

L'électron est en $O$. Le point $M$ a pour coordonnées sphériques $(r,\theta,\varphi)$ avec $r>0$, $\theta\in[0,\pi/2]$ (angle entre $\hat e_z$ et $\overrightarrow{OM}$) et $\varphi\in[0,\pi/2[$ (angle entre $\hat e_x$ et la projection $H$ de $M$ sur le plan $(O,\hat e_x,\hat e_y)$). Ainsi
$$x=r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y=r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z=r\cos\theta,$$
et $M$ est dans le huitième d'espace $x\ge0$, $y\ge0$, $z\ge0$.

Figure en perspective cavalière ($\hat e_x$ vers l'avant-gauche, $\hat e_y$ vers la droite, $\hat e_z$ vers le haut), $H$ projection de $M$ sur le plan $(O,\hat e_x,\hat e_y)$ :

![Figure 1 — électron −e en O, point M de coordonnées sphériques (r, θ, φ) et base sphérique locale attachée à M](/figures/corriges/mines-ponts_pc_physique-2_2026/q01-base-spherique.svg)

- $\hat e_r=\overrightarrow{OM}/r$, dirigé vers les $r$ croissants ;
- $\hat e_\theta$, tangent au méridien passant par $M$, orienté vers les $\theta$ croissants, donc **vers le bas** (vers l'équateur) pour $\theta<\pi/2$ : $\hat e_z=\cos\theta\,\hat e_r-\sin\theta\,\hat e_\theta$ ;
- $\hat e_\varphi$, horizontal, tangent au parallèle, orienté vers les $\varphi$ croissants.

$(\hat e_r,\hat e_\theta,\hat e_\varphi)$ est une base orthonormée directe **locale**, attachée au point $M$ (elle n'est pas définie de façon univoque sur l'axe $\theta=0$).

### Question 2

La charge $-e$ placée en $O$ crée en $M$ ($\overrightarrow{OM}=r\,\hat e_r$) le champ
$$\boxed{\vec E(M)=-\frac{e}{4\pi\epsilon_0r^2}\,\hat e_r=-\frac{\chi}{r^2}\,\hat e_r}$$
radial et dirigé vers l'électron.

### Question 3

La densité volumique d'énergie électrique est
$$\boxed{w=\frac{\epsilon_0}{2}\,\vec E\cdot\vec E=\frac{\epsilon_0E^2}{2}}\qquad\text{soit ici}\qquad w(r)=\frac{e^2}{32\pi^2\epsilon_0r^4}.$$
En sommant sur des coquilles sphériques $d\tau=4\pi r^2dr$ :
$$W_e=\int_0^{+\infty}\frac{e^2}{32\pi^2\epsilon_0r^4}\,4\pi r^2\,dr=\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0}\int_0^{+\infty}\frac{dr}{r^2}.$$
L'intégrale converge en $+\infty$ mais diverge en $0$ ($\int_\eta^1dr/r^2=1/\eta-1\to+\infty$). Donc
$$\boxed{W_e=+\infty}$$
**Conclusion : l'énergie électrostatique propre d'un électron ponctuel est infinie ; la divergence provient du voisinage immédiat de la charge. Le modèle de l'électron ponctuel est incohérent en électrostatique classique.**

### Question 4

*Symétries et invariances.* La distribution (boule de centre $O$, rayon $r_e$, densité $\rho$ uniforme) est invariante par toute rotation autour de $O$ : le champ ne dépend que de $r$. Tout plan contenant $O$ et $M$ est plan de symétrie de la distribution, donc $\vec E(M)$ appartient à l'intersection de ces plans, la droite $(OM)$ : $\vec E=E(r)\,\hat e_r$.

*Théorème de Gauss* sur la sphère de centre $O$ et de rayon $r$ : $4\pi r^2E(r)=Q_{\mathrm{int}}(r)/\epsilon_0$. La charge totale est $-e$, donc $\rho=-3e/(4\pi r_e^3)$, $Q_{\mathrm{int}}=-e\,r^3/r_e^3$ pour $r\le r_e$ et $Q_{\mathrm{int}}=-e$ pour $r\ge r_e$ :
$$\boxed{\vec E(M)=-\frac{e\,r}{4\pi\epsilon_0r_e^3}\,\hat e_r\ \ (r\le r_e),\qquad \vec E(M)=-\frac{e}{4\pi\epsilon_0r^2}\,\hat e_r\ \ (r\ge r_e)}$$
Le champ est continu en $r=r_e$ et nul en $O$.

![Figure 2 — norme du champ de la boule chargée, linéaire puis en 1/r², comparée au champ divergent de l'électron ponctuel](/figures/corriges/mines-ponts_pc_physique-2_2026/q04-champ-boule.svg)

*Énergie.*
$$W_{\mathrm{int}}=\int_0^{r_e}\frac{\epsilon_0}{2}\left(\frac{e\,r}{4\pi\epsilon_0r_e^3}\right)^2 4\pi r^2\,dr=\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0r_e^6}\cdot\frac{r_e^5}{5}=\frac{e^2}{40\pi\epsilon_0r_e},$$
$$W_{\mathrm{ext}}=\int_{r_e}^{+\infty}\frac{\epsilon_0}{2}\left(\frac{e}{4\pi\epsilon_0r^2}\right)^2 4\pi r^2\,dr=\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0r_e}.$$
$$\boxed{W_e=W_{\mathrm{int}}+W_{\mathrm{ext}}=\frac{3e^2}{20\pi\epsilon_0r_e}=\frac35\,\frac{e\chi}{r_e}}$$

### Question 5

$W_e=\mathcal E_{m,e}$ donne
$$\boxed{r_e=\frac35\,\frac{e\chi}{\mathcal E_{m,e}}}$$
A.N. : $\mathcal E_{m,e}=0{,}5\times10^6\times1{,}6\times10^{-19}=8{,}0\times10^{-14}$ J, $e\chi=1{,}6\times10^{-19}\times1{,}5\times10^{-9}=2{,}4\times10^{-28}$ J·m, d'où
$$\boxed{r_e\simeq0{,}6\times3{,}0\times10^{-15}\simeq1{,}8\times10^{-15}\ \mathrm m}$$
**Commentaire.** C'est l'ordre de grandeur de la taille d'un noyau (fm), environ $10^4$ fois plus petit qu'un atome. Ce n'est pas la taille réelle de l'électron, qui se comporte comme ponctuel dans les expériences de diffusion jusqu'à des échelles bien plus petites : c'est l'échelle en dessous de laquelle l'électrostatique classique attribuerait à l'électron une énergie propre supérieure à son énergie de masse, donc la limite de validité de la description classique.

### I.B — Taille d'un atome

### Question 6

D'après le postulat de Born, $|\Psi(M,t)|^2$ est la **densité volumique de probabilité de présence** de l'électron : la probabilité de le trouver à l'instant $t$ dans le volume $d\tau$ autour de $M$ est
$$\boxed{dP=|\Psi(M,t)|^2\,d\tau}$$
avec la condition de normalisation $\iiint_{\mathrm{espace}}|\Psi|^2\,d\tau=1$ ; $|\Psi|^2$ s'exprime en m⁻³.

### Question 7

La dispersion en position est la taille de l'atome : $\Delta x\simeq a$, d'où $\Delta p\simeq\hbar/a$. L'électron lié ne dérive pas : $\langle\vec p\rangle=\vec 0$, donc $\Delta p=\sqrt{\langle p^2\rangle-\langle p\rangle^2}=\sqrt{\langle p^2\rangle}$ :
$$\boxed{\sqrt{\langle p^2\rangle}\simeq\frac{\hbar}{a}},\qquad \boxed{\langle\mathcal E_c\rangle=\frac{\langle p^2\rangle}{2m_e}\simeq\frac{\hbar^2}{2m_ea^2}}$$

### Question 8

L'énergie potentielle d'interaction entre le noyau ($+e$) et l'électron ($-e$) à la distance typique $a$ est $-e^2/(4\pi\epsilon_0a)=-e\chi/a$, d'où
$$\boxed{\langle\mathcal E_m\rangle(a)=\frac{\hbar^2}{2m_ea^2}-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0a}=\frac{\hbar^2}{2m_ea^2}-\frac{e\chi}{a}}$$

### Question 9

$$\frac{d\langle\mathcal E_m\rangle}{da}=-\frac{\hbar^2}{m_ea^3}+\frac{e\chi}{a^2}=\frac{1}{a^3}\left(e\chi\,a-\frac{\hbar^2}{m_e}\right),$$
négative puis positive : $\langle\mathcal E_m\rangle$ décroît puis croît sur $]0,+\infty[$ et atteint son minimum en
$$\boxed{a_0=\frac{\hbar^2}{m_ee\chi}=\frac{4\pi\epsilon_0\hbar^2}{m_ee^2}}$$
A.N. : $a_0=\dfrac{1{,}0\times10^{-68}}{9{,}1\times10^{-31}\times2{,}4\times10^{-28}}=\dfrac{1{,}0\times10^{-68}}{2{,}2\times10^{-58}}$, soit
$$\boxed{a_0\simeq4{,}6\times10^{-11}\ \mathrm m}$$

![Figure 3 — énergie mécanique moyenne en fonction de la taille a, minimale en a0 où elle vaut −Ei](/figures/corriges/mines-ponts_pc_physique-2_2026/q09-energie-atome.svg)

**Commentaire.** On retrouve l'ordre de grandeur de la taille des atomes ($10^{-10}$ m) et, à $13\,\%$ près, le rayon de Bohr ($53$ pm). C'est la relation d'indétermination qui empêche l'électron de tomber sur le noyau : le terme cinétique en $1/a^2$ l'emporte à courte distance.

### Question 10

Avec $a_0=\hbar^2/(m_ee\chi)$ : $\dfrac{\hbar^2}{2m_ea_0^2}=\dfrac{m_e(e\chi)^2}{2\hbar^2}$ et $\dfrac{e\chi}{a_0}=\dfrac{m_e(e\chi)^2}{\hbar^2}$, donc $\langle\mathcal E_{m,0}\rangle=-\dfrac{m_e(e\chi)^2}{2\hbar^2}$. Comme $\alpha=e\chi/(\hbar c)$, $e\chi=\alpha\hbar c$ et
$$\boxed{\langle\mathcal E_{m,0}\rangle=-\frac{\alpha^2}{2}\,m_ec^2=-\frac{\alpha^2}{2}\,\mathcal E_{m,e}}$$
L'énergie d'ionisation est l'énergie à fournir pour amener l'électron au repos à l'infini ($\mathcal E_m=0$) :
$$\boxed{\mathcal E_i=-\langle\mathcal E_{m,0}\rangle=\frac{\alpha^2}{2}\,\mathcal E_{m,e}}$$
A.N. : $\alpha^2=1/18\,769\simeq5{,}3\times10^{-5}$, $\mathcal E_{m,e}=5\times10^5$ eV :
$$\boxed{\mathcal E_i\simeq\tfrac12\times5{,}3\times10^{-5}\times5\times10^5\simeq13\ \mathrm{eV}}$$
en très bon accord avec la valeur mesurée ($13{,}6$ eV).

## II — Le paradoxe de Feynman

### II.A — Énergie et impulsion du champ électromagnétique

### Question 11

Dans le vide (sans charge ni courant) :
$$\mathrm{div}\,\vec E=0,\qquad \mathrm{div}\,\vec B=0,\qquad \overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec E=-\frac{\partial\vec B}{\partial t},\qquad \overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec B=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}.$$
On prend le rotationnel de Maxwell-Faraday. Avec l'identité fournie et $\mathrm{div}\,\vec E=0$ : $\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec E)=-\vec\Delta\vec E$. En permutant dérivées spatiales et temporelle (champs réguliers) : $\overrightarrow{\mathrm{rot}}(-\partial_t\vec B)=-\partial_t(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec B)=-\mu_0\epsilon_0\,\partial_t^2\vec E$. D'où
$$\boxed{\vec\Delta\vec E-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec E}{\partial t^2}=\vec 0,\qquad c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}}$$
C'est l'**équation de d'Alembert**. Elle ne contient que la dérivée seconde par rapport au temps : elle est invariante par $t\mapsto-t$, donc **réversible**.

Autre domaine : l'**acoustique** dans un fluide au repos ; la surpression $p_1(M,t)$ vérifie $\Delta p_1-\dfrac{1}{c_s^2}\dfrac{\partial^2p_1}{\partial t^2}=0$ avec $c_s=1/\sqrt{\rho_0\chi_S}$ ($\rho_0$ masse volumique au repos, $\chi_S$ compressibilité isentropique). On peut citer aussi la corde vibrante : déplacement transversal $y(x,t)$, $c=\sqrt{T_0/\mu}$ ($T_0$ tension, $\mu$ masse linéique).

### Question 12

La phase $\omega t-kz$ est constante pour $z=(\omega t-\text{cte})/k$, qui croît avec $t$ ($k>0$) : l'onde se propage **selon $+\hat e_z$**. Le champ garde la direction fixe $\hat e_x$ : polarisation **rectiligne selon $\hat e_x$**.

C'est une O.P.P.H. : **plane** (à $t$ fixé, $\vec E$ est uniforme sur chaque plan $z=$ cte), **progressive** (dépendance en $\omega t-kz=\omega(t-z/v_\varphi)$ : le profil se translate sans déformation selon $+\hat e_z$), **harmonique** (sinusoïdale de pulsation unique $\omega$).

On a $\mathrm{div}\,\vec E=\partial E_x/\partial x=0$ : Maxwell-Gauss est satisfaite. Dans l'équation de d'Alembert : $\vec\Delta\vec E=-k^2\vec E$ et $\partial_t^2\vec E=-\omega^2\vec E$, donc $(-k^2+\omega^2/c^2)\vec E=\vec 0$ pour tout $(z,t)$. La solution est acceptable si et seulement si
$$\boxed{k=\frac{\omega}{c}}\qquad(k>0,\ \omega>0),$$
relation de dispersion du vide (non dispersif : $v_\varphi=c$).

### Question 13

$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec E=\dfrac{\partial E_x}{\partial z}\,\hat e_y=kE_0\sin(\omega t-kz)\,\hat e_y=-\dfrac{\partial\vec B}{\partial t}$. En intégrant en temps (sans champ statique superposé) et avec $k/\omega=1/c$ :
$$\boxed{\vec B(M,t)=\frac{E_0}{c}\cos(\omega t-kz)\,\hat e_y=\frac{\hat e_z\wedge\vec E}{c}}$$
Caractéristiques : onde **transverse** ($\vec E$ et $\vec B$ orthogonaux à $\hat e_z$) ; $(\vec E,\vec B,\hat e_z)$ trièdre **direct** ; $\vec E$ et $\vec B$ **en phase** avec $\|\vec B\|=\|\vec E\|/c$ (donc, pour une charge de vitesse $v$, $\|q\vec v\wedge\vec B\|/\|q\vec E\|\le v/c$) ; polarisation rectiligne ; propagation à $c$ sans dispersion ni atténuation.

### Question 14

$$\vec\Pi=\frac{\vec E\wedge\vec B}{\mu_0}=\frac{E_0^2}{\mu_0c}\cos^2(\omega t-kz)\,\hat e_z\qquad\Longrightarrow\qquad\boxed{\vec\Pi=\epsilon_0cE_0^2\cos^2(\omega t-kz)\,\hat e_z}$$
(car $1/(\mu_0c)=\epsilon_0c$). Avec $\langle\cos^2\rangle=1/2$ et $\vec\Pi$ uniforme sur $\mathscr S$ orientée selon $+\hat e_z$ :
$$\boxed{\langle\mathcal P\rangle=\frac12\,\epsilon_0\,c\,E_0^2\,\mathscr S}$$

### Question 15

Chaque photon porte $\mathcal E_\gamma=h\nu=hc/\lambda$ et $\langle\mathcal P\rangle=\dfrac{dN_\gamma}{dt}\,h\nu$, donc
$$\boxed{\frac{dN_\gamma}{dt}=\frac{\langle\mathcal P\rangle\,\lambda}{h\,c}}$$

### Question 16

Pendant $dt$, les photons qui traversent $\mathscr S$ sont ceux du cylindre de base $\mathscr S$ et de longueur $c\,dt$ (ils se déplacent à $c$ selon $\hat e_z$), soit $n_\gamma\,\mathscr S\,c\,dt$ photons :
$$\boxed{\delta\mathcal E=n_\gamma\,h\nu\,c\,\mathscr S\,dt}$$
Cette énergie est aussi le flux du vecteur de Poynting : $\delta\mathcal E=\|\langle\vec\Pi\rangle\|\,\mathscr S\,dt$, d'où
$$\boxed{\|\langle\vec\Pi\rangle\|=n_\gamma\,h\nu\,c}$$
(la densité d'énergie $n_\gamma h\nu$ vaut $\|\langle\vec\Pi\rangle\|/c$).

Pour un photon ($m=0$), $\mathcal E=\sqrt{\vec p\cdot\vec p\,c^2}$ donne $\|\vec p_\gamma\|=h\nu/c$, avec $\vec p_\gamma$ selon la propagation $\hat e_z$. La densité volumique d'impulsion est donc
$$\vec p_{\gamma,\mathrm{vol}}=n_\gamma\frac{h\nu}{c}\,\hat e_z=\frac{\langle\vec\Pi\rangle}{c^2}=\frac{\langle\vec E\wedge\vec B\rangle}{\mu_0c^2}=\epsilon_0\,\langle\vec E\wedge\vec B\rangle,$$
soit
$$\boxed{\vec p_{\gamma,\mathrm{vol}}=\xi\,\vec E\wedge\vec B\quad\text{avec}\quad\xi=\epsilon_0=\frac{1}{\mu_0c^2}}$$
**Le champ électromagnétique transporte une impulsion, de densité volumique $\epsilon_0\vec E\wedge\vec B=\vec\Pi/c^2$.**

### II.B — Mise en rotation d'une coquille uniformément chargée en surface par extinction d'un moment magnétique

### Question 17

On raisonne sur la spire de courant de centre $O$, d'axe $(O,\hat e_z)$, contenue dans le plan $(O,\hat e_x,\hat e_y)$, qui crée $\vec s(t)=s(t)\,\hat e_z$.

- *Invariance* : la spire et son courant sont invariants par toute rotation autour de $(O,\hat e_z)$ ; les champs créés ne dépendent pas de $\varphi$.
- *Plans d'antisymétrie* : tout plan contenant l'axe $(O,\hat e_z)$, en particulier le plan méridien $(M,\hat e_r,\hat e_\theta)$ passant par $M$, laisse la spire invariante mais inverse le sens du courant.
- *Plan de symétrie* : le plan de la spire $(O,\hat e_x,\hat e_y)$.

Le champ électrique induit est un vrai vecteur (polaire), engendré par la variation des courants ($\vec E=-\partial\vec A/\partial t$, $\vec A$ ayant les symétries des courants). D'après le principe de Curie, les effets possèdent au moins les symétries des causes : en un point $M$ d'un plan d'antisymétrie des courants, $\vec E(M,t)$ est **orthogonal** à ce plan, donc porté par $\hat e_\varphi$. L'invariance par rotation interdit la dépendance en $\varphi$ :
$$\boxed{\vec E(M,t)=E_\varphi(r,\theta,t)\,\hat e_\varphi}$$
Contrôle : avec $\vec s=s(\cos\theta\,\hat e_r-\sin\theta\,\hat e_\theta)$, $\vec B=\dfrac{\mu_0s}{4\pi r^3}(2\cos\theta\,\hat e_r+\sin\theta\,\hat e_\theta)$ est contenu dans le plan méridien (pseudo-vecteur dans un plan d'antisymétrie), sans composante sur $\hat e_\varphi$.

### Question 18

Équation de Maxwell-Faraday : $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec E=-\dfrac{\partial\vec B}{\partial t}$. Pour un contour fermé fixe $\Gamma$ et une surface $\mathscr S$ s'appuyant sur $\Gamma$, orientée par la règle de la main droite, le théorème de Stokes donne
$$\boxed{\oint_\Gamma\vec E\cdot d\vec\ell=-\frac{d}{dt}\iint_{\mathscr S}\vec B\cdot d\vec S=-\frac{d\Phi}{dt}}$$
$\Gamma$ est orienté selon $\hat e_\varphi$ ; la calotte $\mathscr S$ (sphère de rayon $a$, $0\le\theta'\le\theta$) est alors orientée par $\hat e_r$, $d\vec S=a^2\sin\theta'\,d\theta'\,d\varphi'\,\hat e_r$. Sur la calotte, $\vec B\cdot\hat e_r=\dfrac{\mu_0s}{4\pi a^3}\,2\cos\theta'$ (formule dipolaire, licite si la spire est petite devant $a$) :
$$\Phi=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\theta\frac{\mu_0s}{4\pi a^3}\,2\cos\theta'\,a^2\sin\theta'\,d\theta'\,d\varphi'=\frac{\mu_0s}{a}\int_0^\theta\sin\theta'\cos\theta'\,d\theta'=\frac{\mu_0s}{2a}\sin^2\theta.$$
$$\boxed{\Phi=\frac{\mu_0\,s(t)}{2a}\sin^2\theta,\qquad n=2}$$

![Figure 4 — cercle Γ orienté selon ê_φ et calotte nord 𝒮 orientée par ê_r](/figures/corriges/mines-ponts_pc_physique-2_2026/q18-calotte-orientation.svg)

### Question 19

Le même calcul sur une sphère de rayon $r$ donne $\Phi(r,\theta,t)=\dfrac{\mu_0s(t)}{2r}\sin^2\theta$. Le long du cercle de colatitude $\theta$ (rayon $r\sin\theta$), $E_\varphi$ est constant (Q17) : $\oint\vec E\cdot d\vec\ell=2\pi r\sin\theta\,E_\varphi$. Maxwell-Faraday intégrale donne $2\pi r\sin\theta\,E_\varphi=-\dfrac{\mu_0\sin^2\theta}{2r}\dfrac{ds}{dt}$, d'où
$$\boxed{\vec E(M,t)=-\frac{\mu_0\sin\theta}{4\pi r^2}\,\frac{ds}{dt}\,\hat e_\varphi,\qquad\text{et sur la coquille}\quad \vec E=-\frac{\mu_0\sin\theta}{4\pi a^2}\,\frac{ds}{dt}\,\hat e_\varphi}$$
Amplitude sur la coquille : $\dfrac{\mu_0\sin\theta}{4\pi a^2}\left|\dfrac{ds}{dt}\right|$. Validité : $r$ grand devant la taille de la spire (formule dipolaire) et $r\ll c\,\Delta t$, $\Delta t$ durée de l'extinction (approximation des régimes quasi stationnaires). Pendant l'extinction, $ds/dt<0$, donc $E_\varphi>0$ : des charges positives circulant selon $+\hat e_\varphi$ recréeraient un champ selon $+\hat e_z$, ce qui s'oppose à la diminution du flux (loi de Lenz).

### Question 20

L'élément $d\mathscr S$ porte la charge $\sigma\,d\mathscr S$ et subit, de la part du champ induit,
$$\boxed{d\vec F_e=\sigma\,d\mathscr S\,\vec E=-\frac{\mu_0\sigma\sin\theta}{4\pi a^2}\,\frac{ds}{dt}\,d\mathscr S\,\hat e_\varphi}$$
(le champ électrostatique propre de la coquille ajoute une force radiale, sans moment par rapport à l'axe). Avec $\overrightarrow{OM}=a\,\hat e_r$, $\hat e_r\wedge\hat e_\varphi=-\hat e_\theta$ et $\hat e_\theta\cdot\hat e_z=-\sin\theta$ :
$$d\mathscr M_{e,z}=(\overrightarrow{OM}\wedge d\vec F_e)\cdot\hat e_z=a\sin\theta\,dF_{e,\varphi}.$$
Avec $d\mathscr S=a^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi$ :
$$\boxed{d\mathscr M_{e,z}=-\frac{\mu_0\sigma a}{4\pi}\,\frac{ds}{dt}\,\sin^3\theta\,d\theta\,d\varphi}$$

### Question 21

$$\mathscr M_{e,z}=-\frac{\mu_0\sigma a}{4\pi}\frac{ds}{dt}\int_0^{2\pi}\!d\varphi\int_0^\pi\sin^3\theta\,d\theta=-\frac{\mu_0\sigma a}{4\pi}\frac{ds}{dt}\times2\pi\times\frac43$$
$$\boxed{\mathscr M_{e,z}=-\frac23\,\mu_0\,\sigma\,a\,\frac{ds}{dt}}$$
positif pendant l'extinction si $\sigma>0$.

### Question 22

La coquille est un solide en rotation autour de l'axe fixe $(O,\hat e_z)$ d'un référentiel galiléen, la liaison étant supposée parfaite. Le théorème du moment cinétique scalaire, en ne retenant que l'action du champ induit, donne
$$J\frac{d\omega}{dt}=\mathscr M_{e,z}\quad\Longrightarrow\quad\frac23ma^2\frac{d\omega}{dt}=-\frac23\mu_0\sigma a\frac{ds}{dt}.$$
On intègre entre l'état initial ($\omega=0$, $s=s_0$) et l'état final ($\omega=\omega_F$, $s=0$) :
$$\boxed{\omega_F=\frac{\mu_0\,\sigma\,s_0}{m\,a}}$$
indépendant de la loi d'extinction $s(t)$.

*Force magnétique.* Un élément de charge de la coquille a la vitesse $\vec v=\omega\,\hat e_z\wedge a\,\hat e_r=\omega a\sin\theta\,\hat e_\varphi$ et $\vec B=B_r\hat e_r+B_\theta\hat e_\theta$. Donc
$$\vec v\wedge\vec B=\omega a\sin\theta\,(B_r\,\hat e_\theta-B_\theta\,\hat e_r),$$
force contenue dans le plan méridien de $M$, qui contient l'axe : $\overrightarrow{OM}\wedge d\vec F_m$ est porté par $\hat e_\varphi$, orthogonal à $\hat e_z$. **La force magnétique n'a pas de composante orthoradiale et son moment par rapport à $(O,\hat e_z)$ est nul.**

### Question 23

D'après II.A, le champ électromagnétique porte une densité volumique d'impulsion $\epsilon_0\vec E\wedge\vec B$, donc une densité volumique de moment cinétique $\overrightarrow{OM}\wedge(\epsilon_0\vec E\wedge\vec B)$. Le système isolé n'est pas $\{\vec s$-coquille$\}$ seul mais $\{\vec s$-coquille-champ$\}$ ; c'est son moment cinétique **total** qui se conserve.

Dans l'état initial coexistent, pour $r>a$, le champ électrostatique radial de la coquille $\vec E=\dfrac{\sigma a^2}{\epsilon_0r^2}\hat e_r$ (nul pour $r<a$) et le champ du dipôle : $\epsilon_0\vec E\wedge\vec B=\dfrac{\mu_0\sigma a^2s_0\sin\theta}{4\pi r^5}\,\hat e_\varphi$ est orthoradial. Le moment cinétique du champ par rapport à l'axe vaut
$$L_{\mathrm{champ},z}=\int_a^{+\infty}\!\!\int_0^\pi\!\!\int_0^{2\pi}r\sin\theta\cdot\frac{\mu_0\sigma a^2s_0\sin\theta}{4\pi r^5}\,r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi=\frac{\mu_0\sigma a^2s_0}{4\pi}\cdot\frac1a\cdot\frac43\cdot2\pi=\frac23\,\mu_0\sigma a\,s_0,$$
exactement égal à $J\omega_F=\frac23ma^2\cdot\dfrac{\mu_0\sigma s_0}{ma}$.

![Figure 5 — état initial en coupe méridienne pour σ > 0, l'impulsion ε0 E∧B du champ tourne autour de l'axe](/figures/corriges/mines-ponts_pc_physique-2_2026/q23-impulsion-champ.svg)

**Explication : le moment cinétique initialement stocké dans le champ électromagnétique (coexistence du champ électrique de la coquille et du champ magnétique du dipôle) est transféré à la coquille quand $\vec B$ disparaît ; le moment cinétique total, matière plus champ, est conservé.** (Le champ propre de la coquille en rotation, effet du second ordre en $\sigma$, est négligé comme dans tout le II.B.)

## III — La force de l'électron sur lui-même

### III.A — Moment cinétique d'un atome

### Question 24

Par le même raisonnement qu'en Q4 (symétrie sphérique, théorème de Gauss) avec la charge $+e$ répartie dans la boule de rayon $a$, pour $r\le a$ :
$$\boxed{\vec E_{\mathrm{noy}}(M)=\frac{e\,r}{4\pi\epsilon_0a^3}\,\hat e_r=\frac{e}{4\pi\epsilon_0a^3}\,\overrightarrow{OM}}$$
champ centrifuge. Pour l'électron en $\overrightarrow{OM}=x\,\hat e_x$ ($|x|\le a$) :
$$\vec F_{\mathrm{noy}}=-e\vec E_{\mathrm{noy}}=-\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0a^3}\,x\,\hat e_x=-m_e\omega_0^2\,x\,\hat e_x,\qquad\boxed{\omega_0=\sqrt{\frac{e^2}{4\pi\epsilon_0m_ea^3}}=\sqrt{\frac{e\chi}{m_ea^3}}}$$
force de rappel élastique.

### Question 25

Le PFD donne $\ddot x+\omega_0^2x=0$, avec $x(0)=x_0$ et $\dot x(0)=0$ :
$$\boxed{x(t)=x_0\cos(\omega_0t)}$$
L'énergie mécanique $\mathcal E=\frac12m_e\dot x^2+\frac12m_e\omega_0^2x^2=\frac12m_e\omega_0^2x_0^2$ est constante (seule force, conservative), donc égale à sa moyenne :
$$\boxed{\langle\mathcal E\rangle=\frac12\,m_e\,\omega_0^2\,x_0^2}$$

### Question 26

$\gamma=\ddot x=-\omega_0^2x_0\cos(\omega_0t)$, $\langle\gamma^2\rangle=\frac12\omega_0^4x_0^2$, donc
$$\langle\mathcal P\rangle=\frac{e^2\omega_0^4x_0^2}{12\pi\epsilon_0c^3}=\frac{e^2\omega_0^2}{6\pi\epsilon_0m_ec^3}\,\langle\mathcal E\rangle\qquad\Longrightarrow\qquad\boxed{\langle\mathcal P\rangle=\Gamma\langle\mathcal E\rangle,\quad\Gamma=\frac{e^2\omega_0^2}{6\pi\epsilon_0m_ec^3}}$$
En régime quasi statique, le théorème de la puissance mécanique (l'énergie perdue est rayonnée) donne
$$\frac{d\langle\mathcal E\rangle}{dt}=-\langle\mathcal P\rangle\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\frac{d\langle\mathcal E\rangle}{dt}+\Gamma\langle\mathcal E\rangle=0,\qquad\langle\mathcal E\rangle(t)=\mathcal E_0\,e^{-\Gamma t}}$$
A.N. : $\omega_0=\dfrac{2\pi c}{\lambda_0}=\dfrac{2\pi\times3{,}0\times10^8}{4{,}861\times10^{-7}}\simeq3{,}9\times10^{15}$ rad·s⁻¹, $\omega_0^2\simeq1{,}5\times10^{31}$ s⁻² :
$$\Gamma=5{,}7\times10^{-54}\times\frac{1{,}5\times10^{31}}{9{,}1\times10^{-31}}\qquad\Longrightarrow\qquad\boxed{\Gamma\simeq9{,}4\times10^{7}\ \mathrm s^{-1}}$$
soit $1/\Gamma\simeq1{,}1\times10^{-8}$ s.

### Question 27

L'émission dure environ $1/\Gamma$ ; le train d'onde a pour longueur
$$\boxed{\mathcal L\simeq\frac{c}{\Gamma}=\frac{3{,}0\times10^8}{9{,}4\times10^7}\simeq3\ \mathrm m}$$
**Commentaire :** longueur macroscopique, soit environ $7\times10^6$ longueurs d'onde ; la raie est quasi monochromatique. Les trains d'onde réels des lampes spectrales sont bien plus courts (élargissements Doppler et collisionnel) : $\mathcal L$ est la limite due au seul amortissement radiatif.

$T_0=\lambda_0/c=1{,}6\times10^{-15}$ s, donc $\dfrac{1/\Gamma}{T_0}\simeq\dfrac{1{,}1\times10^{-8}}{1{,}6\times10^{-15}}\simeq7\times10^{6}\gg1$ : l'énergie varie très peu sur une période, ce qui justifie le calcul de $\langle\mathcal P\rangle$ à amplitude constante sur une période et l'hypothèse quasi statique de Q26.

### Question 28

La puissance de $\vec F_{\mathrm{rad}}=m_e\tau\overset{...}{x}\,\hat e_x$ est $m_e\tau\,\overset{...}{x}\,\dot x$. Par intégration par parties sur une période :
$$\langle\vec F_{\mathrm{rad}}\cdot\vec v\rangle=\frac{m_e\tau}{T_0}\int_0^{T_0}\overset{...}{x}\,\dot x\,dt=\frac{m_e\tau}{T_0}\left(\big[\ddot x\,\dot x\big]_0^{T_0}-\int_0^{T_0}\ddot x^2\,dt\right)=-m_e\tau\langle\gamma^2\rangle,$$
le crochet étant nul par périodicité. La puissance rayonnée est l'opposé de cette puissance (perte d'énergie de l'électron) : $\langle\mathcal P\rangle=m_e\tau\langle\gamma^2\rangle$. L'identification avec Larmor, $\langle\mathcal P\rangle=e^2\langle\gamma^2\rangle/(6\pi\epsilon_0c^3)$, donne
$$\boxed{\tau=\frac{e^2}{6\pi\epsilon_0m_ec^3}=\frac{\Gamma}{\omega_0^2}}\qquad\tau=\frac{5{,}7\times10^{-54}}{9{,}1\times10^{-31}}\simeq6{,}3\times10^{-24}\ \mathrm s.$$

### Question 29

À l'ordre 0, $|\overset{...}{x}|\sim\omega_0^3x_0$ et $|x|\sim x_0$, donc $\|\vec F_{\mathrm{rad}}\|/\|\vec F_{\mathrm{noy}}\|\sim\tau\omega_0$. La force de rayonnement est une perturbation si
$$\boxed{\tau\,\omega_0\ll1}$$
ce qui est le cas : $\tau\omega_0\simeq6{,}3\times10^{-24}\times3{,}9\times10^{15}\simeq2{,}4\times10^{-8}$.

L'équation du mouvement est $\ddot x+\omega_0^2x=\tau\overset{...}{x}$. Le second membre est d'ordre 1 : on peut y utiliser le mouvement d'ordre 0, $\ddot x=-\omega_0^2x$, d'où $\overset{...}{x}=-\omega_0^2\dot x$ (erreur d'ordre 2). Il vient
$$\boxed{\ddot x+\tau\omega_0^2\,\dot x+\omega_0^2x=0}$$
équation d'un oscillateur amorti $\ddot x+\dfrac{\omega_0}{Q}\dot x+\omega_0^2x=0$ avec
$$\boxed{Q=\frac{1}{\tau\omega_0}=\frac{\omega_0}{\Gamma}\simeq\frac{3{,}9\times10^{15}}{9{,}4\times10^7}\simeq4{,}1\times10^{7}}$$
**Commentaire :** facteur de qualité gigantesque ; l'oscillateur est très faiblement amorti (des millions d'oscillations avant un amortissement notable), d'où une raie très fine : largeur relative naturelle $\Delta\omega/\omega_0=1/Q\simeq2\times10^{-8}$, soit $\Delta\lambda\simeq10^{-14}$ m.

Pour la suite, on retient : l'électron est soumis à $\vec F_{\mathrm{noy}}=-\dfrac{d\mathcal E_p}{dr}\hat e_r$ et à $\vec F_{\mathrm{rad}}=\tau(\vec v\cdot\overrightarrow{\mathrm{grad}})\vec F_{\mathrm{noy}}$.

### Question 30

On note $F_r(r)=-\mathcal E_p'(r)$, $F_\theta=0$, et $\vec v=\dot r\,\hat e_r+r\dot\theta\,\hat e_\theta$. La formule fournie avec $\vec A=\vec v$ et $\vec B=\vec F_{\mathrm{noy}}$ ($\partial F_r/\partial\theta=0$, $F_\theta=0$) donne
$$(\vec v\cdot\overrightarrow{\mathrm{grad}})\vec F_{\mathrm{noy}}=\dot r\,F_r'(r)\,\hat e_r+\frac{r\dot\theta\,F_r}{r}\,\hat e_\theta=-\dot r\,\mathcal E_p''(r)\,\hat e_r-\dot\theta\,\mathcal E_p'(r)\,\hat e_\theta.$$
La résultante des forces est
$$\boxed{\vec F=-\left[\frac{d\mathcal E_p}{dr}+\tau\,\dot r\,\frac{d^2\mathcal E_p}{dr^2}\right]\hat e_r-\tau\,\dot\theta\,\frac{d\mathcal E_p}{dr}\,\hat e_\theta}$$

### Question 31

$\vec L_O=r\,\hat e_r\wedge m_e(\dot r\,\hat e_r+r\dot\theta\,\hat e_\theta)=m_er^2\dot\theta\,\hat e_z$. Le théorème du moment cinétique en $O$, fixe dans le référentiel galiléen d'étude, donne
$$\frac{d\vec L_O}{dt}=r\,\hat e_r\wedge(F_r\hat e_r+F_\theta\hat e_\theta)=rF_\theta\,\hat e_z=-\tau\,r\,\dot\theta\,\mathcal E_p'(r)\,\hat e_z.$$
Comme $\dot\theta\,\hat e_z=\vec L_O/(m_er^2)$ ($r\ne0$) :
$$\boxed{\frac{d\vec L_O}{dt}=f(r)\,\frac{d\mathcal E_p}{dr}\,\vec L_O,\qquad f(r)=-\frac{\tau}{m_e\,r}}$$

### Question 32

$\vec F_{\mathrm{noy}}=-m_e\omega_0^2r\,\hat e_r$ donne $\mathcal E_p'(r)=m_e\omega_0^2r$, donc $\dfrac{d\vec L_O}{dt}=-\tau\omega_0^2\,\vec L_O=-\Gamma\vec L_O$ :
$$\boxed{\vec L_O(t)=\vec L_O(0)\,e^{-\tau\omega_0^2t}=\vec L_O(0)\,e^{-\Gamma t}}$$
Durée caractéristique de décroissance : $\boxed{1/(\tau\omega_0^2)=1/\Gamma\simeq1{,}1\times10^{-8}\ \mathrm s}$ pour la raie bleue, la même que pour l'énergie.

**Le moment cinétique perdu par l'atome est emporté par le champ électromagnétique rayonné**, qui possède une densité de moment cinétique $\overrightarrow{OM}\wedge\epsilon_0\vec E\wedge\vec B$ (II.A et Q23) : le moment cinétique total (électron + champ) se conserve. Le noyau, fixe et exerçant une force centrale, n'en reçoit pas.

### III.B — Stabilité d'un atome classique

### Question 33

$$\boxed{\vec F=-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0r^2}\,\hat e_r=-\frac{Ze\chi}{r^2}\,\hat e_r}$$
En polaires, $\vec a=(\ddot r-r\dot\theta^2)\hat e_r+(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\hat e_\theta$ ; pour $r$ constant, la projection du PFD sur $\hat e_\theta$ donne $m_er\ddot\theta=0$ (force centrale) : $\dot\theta$ est constant, **le mouvement est uniforme**. La projection sur $\hat e_r$ donne $m_ev^2/r=Ze\chi/r^2$ :
$$\boxed{v=\sqrt{\frac{Ze\chi}{m_er}}=\sqrt{\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0m_er}}},\qquad\boxed{T=\frac{2\pi r}{v}=2\pi\sqrt{\frac{m_er^3}{Ze\chi}}}$$
$T^2/r^3=4\pi^2m_e/(Ze\chi)$ est constant : c'est la **troisième loi de Kepler**. Enfin $\mathcal E_c=Ze\chi/(2r)$ et $\mathcal E_p=-Ze\chi/r$ :
$$\boxed{\mathcal E=-\frac{Ze\chi}{2r}=-\frac{Ze^2}{8\pi\epsilon_0r}}$$

### Question 34

L'accélération est centripète, $\gamma=v^2/r=Ze\chi/(m_er^2)$. Larmor donne
$$\mathcal P=\frac{e^2\gamma^2}{6\pi\epsilon_0c^3}=\frac{\tau\,(Ze\chi)^2}{m_e\,r^4}.$$
Le bilan quasi statique $\dfrac{d\mathcal E}{dt}=-\mathcal P$ avec $\dfrac{d\mathcal E}{dt}=\dfrac{Ze\chi}{2r^2}\dot r$ donne
$$\boxed{r^2\frac{dr}{dt}=-K,\qquad K=\frac{2\tau Ze\chi}{m_e}=\frac{Ze^4}{12\pi^2\epsilon_0^2m_e^2c^3}}$$
d'où $\dfrac{d(r^3)}{dt}=-3K$ et
$$\boxed{r(t)=\left(r_0^3-3Kt\right)^{1/3}}$$
L'électron atteint le noyau à
$$\boxed{t_c=\frac{r_0^3}{3K}=\frac{m_er_0^3}{6\tau Ze\chi}=\frac{4\pi^2\epsilon_0^2m_e^2c^3r_0^3}{Ze^4}}$$
A.N. ($Z=1$, $r_0=53$ pm) : $\tau\simeq6{,}3\times10^{-24}$ s, $K=\dfrac{2\times6{,}3\times10^{-24}\times2{,}4\times10^{-28}}{9{,}1\times10^{-31}}\simeq3{,}3\times10^{-21}$ m³·s⁻¹, $r_0^3\simeq1{,}5\times10^{-31}$ m³ :
$$\boxed{t_c\simeq\frac{1{,}5\times10^{-31}}{9{,}9\times10^{-21}}\simeq1{,}5\times10^{-11}\ \mathrm s}$$
*Nombre de tours.* La pulsation instantanée est $\Omega(r)=\sqrt{Ze\chi/(m_er^3)}$ et $dt=-r^2dr/K$ :
$$N=\int_0^{t_c}\frac{\Omega}{2\pi}\,dt=\frac{1}{2\pi K}\sqrt{\frac{Ze\chi}{m_e}}\int_0^{r_0}\sqrt r\,dr=\frac{r_0^{3/2}}{3\pi K}\sqrt{\frac{Ze\chi}{m_e}}\qquad\Longrightarrow\qquad\boxed{N=\frac{1}{6\pi\tau}\sqrt{\frac{m_er_0^3}{Ze\chi}}=\frac{2\,t_c}{T(r_0)}}$$
A.N. : $\Omega_0=\sqrt{\dfrac{2{,}4\times10^{-28}}{9{,}1\times10^{-31}\times1{,}5\times10^{-31}}}\simeq4{,}2\times10^{16}$ rad·s⁻¹, $N=\dfrac{1}{6\pi\tau\Omega_0}=\dfrac{1}{6\pi\times6{,}3\times10^{-24}\times4{,}2\times10^{16}}$ :
$$\boxed{N\simeq2\times10^{5}\ \text{tours}}$$
**L'atome classique s'effondrerait en une dizaine de picosecondes, après environ deux cent mille tours : la physique classique ne peut pas rendre compte de la stabilité des atomes.** (L'hypothèse quasi statique cesse d'être valable tout près du noyau, mais l'essentiel de la durée s'écoule aux grands rayons : l'ordre de grandeur est robuste.)

### Question 35

Les deux difficultés (décroissance continue du moment cinétique en Q32, effondrement en Q34) viennent de ce qu'en physique classique l'électron suit une trajectoire et peut perdre continûment énergie et moment cinétique. En mécanique quantique :

- l'électron est décrit par une fonction d'onde, non par une trajectoire ; dans un **état stationnaire**, $|\Psi|^2$ ne dépend pas du temps : la distribution de charge est statique et ne rayonne pas ;
- l'énergie d'un électron lié est **quantifiée** : l'atome ne peut perdre de l'énergie que par sauts entre niveaux, en émettant un photon $h\nu=\mathcal E_{\mathrm{initial}}-\mathcal E_{\mathrm{final}}$ (raies spectrales, dont la raie à $486{,}1$ nm) ;
- il existe un **état fondamental**, d'énergie minimale : la relation d'indétermination rend le confinement coûteux en énergie cinétique ($\hbar^2/(2m_ea^2)$, partie I.B), ce qui interdit la chute sur le noyau et fixe la taille $a_0$ de l'atome. Aucun niveau inférieur n'existe : l'état fondamental est stable ;
- le moment cinétique est lui aussi quantifié (par quanta de $\hbar$ dans le modèle de Bohr) ; il ne décroît donc pas exponentiellement, il ne peut varier que par sauts, chaque photon émis emportant un quantum ; dans l'état fondamental de l'hydrogène, le moment cinétique orbital est nul.

**La mécanique quantique remplace la descente continue par des niveaux discrets et impose un niveau fondamental stable qui ne rayonne pas.** Le modèle classique garde une valeur d'ordre de grandeur : $1/\Gamma\sim10^{-8}$ s est bien l'ordre de grandeur des durées de vie des niveaux excités.