Physique 1
Mines-PontsPC2026
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## Présentation du sujet
**Thème.** « Du spectre à la structure de l'hydrogène » refait le chemin historique qui mène des raies d'émission de l'hydrogène à sa description quantique. Le fil conducteur est l'**impulsion** $p$ et la relation de de Broglie $\lambda=h/p$ : on la postule dans le modèle de Bohr, on la mesure avec Davisson et Germer, et elle fixe la taille de l'atome dans la description ondulatoire.
**Découpage (25 questions, 3 heures, sans calculatrice ni document).**
- **Partie I (Q1–Q5) — spectre de l'hydrogène.** Relation de Planck-Einstein, exploitation d'une droite (figure 1 : $1/\lambda_0$ en fonction de $1/(k+2)^2$), valeur de $E_0$, relation de Rydberg, encadrement des longueurs d'onde des séries et raies visibles. Phénoménologie pure, très rentable.
- **Partie II (Q6–Q12) — modèle de Bohr.** Mécanique du point dans un champ newtonien : énergie potentielle coulombienne, conservation du moment cinétique, énergie potentielle effective et discussion graphique (II.A), puis règle de quantification de Bohr, niveaux d'énergie et rayon de Bohr (II.B).
- **Partie III (Q13–Q25) — ondes de matière.** III.A : interprétation de la fonction d'onde, équation stationnaire, onde plane en potentiel constant. III.B : puits infini, application à un neutron dans un noyau. III.C : expérience de Davisson et Germer (électrostatique du montage, courant de probabilité, différence de marche sur un réseau de plans, exploitation d'un document historique). III.D : état fondamental de l'hydrogène par l'équation de Schrödinger en symétrie sphérique.
**Notions du programme mobilisées.** Photon et quantification de l'énergie ; force centrale conservative, moment cinétique, énergie potentielle effective (PCSI) ; dualité onde-corpuscule, fonction d'onde, densité de probabilité, équation de Schrödinger à une dimension, puits infini, courant de probabilité (PC) ; interférences à ondes multiples et différence de marche ; analyse dimensionnelle ; lecture et linéarisation de graphes ; applications numériques sans calculatrice.
**Difficulté et longueur.** Sujet long mais très guidé, de difficulté moyenne. Les trois parties sont presque indépendantes : III.A, III.B et III.D se traitent même si la partie II a résisté (les résultats utiles sont rappelés ou se retrouvent). Questions abordables à ne pas laisser passer : Q1, Q3, Q4, Q6, Q7, Q8, Q10, Q13, Q14, Q16, Q19, Q23. Questions qui séparent les copies : Q2 (que veut dire « compatible » ?), Q5 (sens des inégalités), Q9 (discussion complète), Q18 (raisonnement électrostatique), Q21–Q22 (géométrie de la figure 6, exploitation de la figure 7) et Q24–Q25 (calcul mené jusqu'au bout et commenté).
**Gestion du temps.** Environ 7 minutes par question en moyenne. Sans calculatrice, préparer les puissances de dix à part et utiliser $hc\simeq1{,}2$ eV·µm dès que des électronvolts et des micromètres apparaissent. Garder deux chiffres significatifs, un seul quand l'énoncé le demande (Q12, Q22).
## Partie I — Les raies d'émission de l'hydrogène atomique
On transforme des longueurs d'onde mesurées en niveaux d'énergie. Outils : $\epsilon=h\nu$, lecture d'une droite (pente, ordonnée à l'origine), monotonie d'une suite d'entiers.
### Question 1
> [!INDICATION]
> Deux relations à enchaîner : l'énergie d'un photon en fonction de sa fréquence, puis le lien fréquence–longueur d'onde dans le vide.
#### Solution
Le photon emporte $\epsilon=E_i-E_f>0$. Relation de Planck-Einstein : $\epsilon=h\nu$ ; dans le vide $\nu=c/\lambda_0$. Donc
$$\boxed{\lambda_0=\frac{hc}{E_i-E_f}}$$
> [!PIEGE]
> Écrire $\epsilon=\hbar\nu$ ou $\epsilon=h\omega$ fait perdre un facteur $2\pi$ qui se propage dans toute la partie I.
### Question 2
> [!INDICATION]
> Calculer $1/\lambda_0$ grâce à Q1 pour la transition $n_i=k+2\to n_f=2$, puis l'écrire en fonction de $X=1/(k+2)^2$.
> [!INDICATION]
> « Compatible » ne se réduit pas à « c'est une droite » : le modèle prévoit aussi une relation précise entre la pente et l'ordonnée à l'origine. La vérifier sur le graphe.
#### Solution
Avec $E_n=-E_0/n^2$ :
$$E_i-E_f=E_0\left(\frac14-\frac{1}{(k+2)^2}\right)>0,\qquad \frac{1}{\lambda_0}=\underbrace{\frac{E_0}{4hc}}_{b}-\underbrace{\frac{E_0}{hc}}_{|\alpha|}\,X,\quad X=\frac{1}{(k+2)^2}.$$
Deux prédictions à tester sur la figure 1 :
- $1/\lambda_0$ est une fonction **affine décroissante** de $X$ : les cinq points sont alignés sur la droite en pointillés aux barres d'erreur près. Cela valide la loi en $1/n^2$ avec $n_i=k+2$.
- la pente vaut $\alpha=-4b$ : on lit $b\simeq2{,}7\ \mu\text{m}^{-1}$ et, avec le point $k=1$ ($X=1/9\simeq0{,}11$, $1/\lambda_0=1/0{,}66\simeq1{,}5\ \mu\text{m}^{-1}$), $\alpha\simeq(1{,}5-2{,}7)/0{,}11\simeq-11\ \mu\text{m}^{-1}\simeq-4b$. Cela valide $n_f=2$.
La relation de Balmer est donc compatible avec (2).
> [!METHODE]
> Pour tester un modèle sur une droite, on compare **les deux** paramètres prévus (pente et ordonnée à l'origine) aux valeurs lues, ou leur rapport quand une constante inconnue ($E_0$) est commune.
> [!PIEGE]
> L'axe est gradué en µm⁻¹ alors que le tableau donne $\lambda_0$ en nm : convertir ($660$ nm $=0{,}660$ µm) avant toute lecture.
### Question 3
> [!INDICATION]
> L'ordonnée à l'origine (ou la pente) vient d'être exprimée en fonction de $E_0$, $h$ et $c$. Quelle donnée de l'énoncé évite de passer par les joules ?
#### Solution
$E_0=4hc\,b\simeq4\times1{,}2\ \text{eV·µm}\times2{,}7\ \text{µm}^{-1}\simeq13$ eV ; contrôle par la pente : $hc\,|\alpha|\simeq1{,}2\times10{,}9\simeq13$ eV.
$$\boxed{E_0\simeq13\ \text{eV}}$$
> [!METHODE]
> $hc\simeq1{,}2$ eV·µm transforme directement un nombre d'onde en µm⁻¹ en énergie en eV : c'est l'outil des AN sans calculatrice en spectroscopie.
### Question 4
> [!INDICATION]
> Reprendre le calcul de Q2 sans fixer $n_f$, puis identifier avec (3).
#### Solution
$$\frac{1}{\lambda_0}=\frac{E_i-E_f}{hc}=\frac{E_0}{hc}\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right)\quad\Longrightarrow\quad\boxed{R_\infty=\frac{E_0}{hc}}$$
$$\frac{1}{R_\infty}=\frac{hc}{E_0}=\frac{1{,}2\ \text{eV·µm}}{13\ \text{eV}}\simeq0{,}092\ \text{µm},\qquad\boxed{\frac{1}{R_\infty}\simeq92\ \text{nm}}$$
La condition $n_i>n_f$ garantit $\lambda_0>0$.
> [!PIEGE]
> $R_\infty$ est l'inverse d'une longueur ; $E_0/h$ serait une fréquence. Un contrôle dimensionnel d'une ligne évite l'erreur. L'énoncé demande $1/R_\infty$ en nanomètres, pas $R_\infty$.
### Question 5
> [!INDICATION]
> À $n_f$ fixé, étudier le sens de variation de $1/n_f^2-1/n_i^2$ en fonction de $n_i>n_f$ : où sont ses bornes ?
> [!INDICATION]
> Encadrer d'abord $1/\lambda_0$, et n'inverser l'inégalité qu'à la fin. Pour $n_f>2$, utiliser $1/n_i^2>0$ puis $n_f\geq3$.
> [!INDICATION]
> Pour la dernière sous-question, comparer les bornes trouvées au domaine visible (environ $400$–$800$ nm), puis examiner la série restante raie par raie.
#### Solution
**Série $n_f=1$** ($n_i\geq2$) : $1-1/n_i^2$ est croissante en $n_i$, minimale pour $n_i=2$, donc $1/\lambda_0\geq3R_\infty/4$ et
$$\lambda_0\leq\lambda_{\max}=\frac{4}{3R_\infty}\simeq\frac43\times92\ \text{nm}\simeq\boxed{1{,}2\times10^{2}\ \text{nm}}$$
Toutes ces raies (série de Lyman, entre $92$ et $120$ nm) sont dans l'**ultraviolet**.
**Séries $n_f>2$** ($n_f\geq3$) : $1/\lambda_0<R_\infty/n_f^2\leq R_\infty/9$, donc
$$\lambda_0>\lambda_{\min}=\frac{9}{R_\infty}\simeq\boxed{8{,}3\times10^{2}\ \text{nm}}$$
(borne non atteinte). Toutes ces raies sont dans l'**infrarouge**.
**Visible.** Seule la série $n_f=2$ (Balmer) peut contribuer. $\lambda_0=\dfrac{1}{R_\infty}\left(\dfrac14-\dfrac{1}{n_i^2}\right)^{-1}$ décroît de $660$ nm ($n_i=3$) vers $4/R_\infty\simeq370$ nm : $660$, $490$, $440$, $410$, $400$ nm pour $n_i=3$ à $7$, puis $390$ nm pour $n_i=8$, déjà ultraviolet. **Les seules raies visibles sont les cinq raies H$_\alpha$ à H$_\epsilon$ du tableau ($n_i=3$ à $7$, $n_f=2$).**
> [!PIEGE]
> L'inversion des inégalités : $1/\lambda_0$ minoré donne $\lambda_0$ **majoré**. Justifier aussi la monotonie avant d'affirmer où est l'extremum.
## Partie II — Le modèle de Bohr pour l'atome d'hydrogène
Cours de mécanique de PCSI (force centrale conservative, énergie potentielle effective), puis une règle de quantification « importée » des ondes. La question 9 commande toute la suite de la partie.
### Question 6
> [!INDICATION]
> Écrire la force de Coulomb sur l'électron, calculer son travail élémentaire et l'identifier à $-dE_p$.
#### Solution
$\vec F=-\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r^2}\vec u_r$ ; $\delta W=\vec F\cdot d\overrightarrow{OM}=-\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r^2}dr=-d\left(-\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}\right)$. Avec $E_p(\infty)=0$ :
$$\boxed{E_p(r)=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}}$$
> [!PIEGE]
> Le signe : interaction attractive, donc $E_p<0$ et croissante avec $r$. Avec le mauvais signe, $U(r)$ n'a plus de minimum en Q9 et toute la partie II s'effondre.
### Question 7
> [!INDICATION]
> Quel théorème donne la dérivée du moment cinétique en un point fixe ? Que vaut le moment d'une force centrale en son centre ?
> [!INDICATION]
> Pour le caractère plan : que vaut $\vec r\cdot\vec s$ ? Pourquoi la constance de $\vec s$ est-elle indispensable ?
#### Solution
Le référentiel est galiléen et $O$ y est fixe ; le théorème du moment cinétique en $O$ donne $\dfrac{d\vec s}{dt}=\vec r\wedge\vec F=\vec 0$ car $\vec F\parallel\vec r$. Donc $\boxed{\vec s=\overrightarrow{\text{cte}}}$.
Comme $\vec r\cdot\vec s=\vec r\cdot(\vec r\wedge\vec p)=0$, si $\vec s\neq\vec0$ le point $M$ reste dans le plan **fixe** passant par $O$ et orthogonal à $\vec s$ : le mouvement est plan et son plan contient $O$. Si $\vec s=\vec0$, le mouvement est rectiligne sur une droite passant par $O$ ; ce cas est exclu de la suite.
> [!METHODE]
> Force centrale $\Rightarrow$ moment cinétique conservé $\Rightarrow$ mouvement plan et loi des aires. Énoncer le théorème **avec ses hypothèses** (référentiel galiléen, point fixe).
### Question 8
> [!INDICATION]
> Écrire l'énergie mécanique en coordonnées polaires, puis exprimer $\dot\theta$ à l'aide de $s$.
#### Solution
$\vec v=\dot r\,\vec u_r+r\dot\theta\,\vec u_\theta$, $s=m_er^2|\dot\theta|$, donc $\frac12m_er^2\dot\theta^2=\dfrac{s^2}{2m_er^2}$ et, l'énergie mécanique étant conservée,
$$E=\frac12m_e\dot r^2+U(r),\qquad\boxed{U(r)=\frac{s^2}{2m_er^2}-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}}$$
> [!PIEGE]
> $U$ est une énergie potentielle **effective** : le terme $s^2/(2m_er^2)$ est de l'énergie cinétique orthoradiale réécrite grâce à la constante $s$, pas l'énergie potentielle d'une force réelle.
### Question 9
> [!INDICATION]
> Étudier les limites de $U$ en $0^+$ et en $+\infty$ (quel terme domine ?), puis le signe de $U'$.
> [!INDICATION]
> L'inégalité $\frac12m_e\dot r^2\geq0$ impose $E\geq U(r)$ : placer des droites horizontales d'énergie $E$ sur la courbe et distinguer selon que $E$ est égale au minimum, entre le minimum et $0$, nulle ou positive.
> [!INDICATION]
> Sur une trajectoire circulaire, $r$ est constant : où se trouve-t-on sur la courbe ? Que devient le lien entre $s$, $r$ et $p$ ?
#### Solution
On suppose $s\neq0$ et on pose $A=e^2/(4\pi\varepsilon_0)$.
**Allure.** $U\to+\infty$ en $0^+$ (le terme en $1/r^2$ l'emporte), $U\to0^-$ en $+\infty$ (le terme $-A/r$ l'emporte). $U'(r)=\dfrac{1}{r^3}\left(Ar-\dfrac{s^2}{m_e}\right)$ : $U$ décroît sur $]0,r_c[$ et croît sur $]r_c,+\infty[$. La courbe coupe l'axe en $r_c/2$ et atteint un minimum négatif $E_c$ en $r_c$ (figure 2).
**Quatre types d'orbites** (racines de $U(r)=E$ pour les rayons caractéristiques) :
| Énergie | Mouvement radial | Trajectoire |
|---|---|---|
| $E=E_c$ | $r=r_c$ | cercle |
| $E_c<E<0$ | $r_{\min}\leq r\leq r_{\max}$ | ellipse de foyer $O$ (état lié) |
| $E=0$ | $r\geq r_{\min}=r_c/2$, vitesse nulle à l'infini | parabole (diffusion limite) |
| $E>0$ | $r\geq r_{\min}$, vitesse non nulle à l'infini | hyperbole (diffusion) |
Aucun mouvement n'est possible pour $E<E_c$.
**Trajectoire circulaire.** $U'(r_c)=0$ ; puis $\dot r=0$ donc $\vec p\perp\vec r$ et $s=r_cp_c$ ; enfin $E_c=U(r_c)$ :
$$\boxed{r_c(s)=\frac{4\pi\varepsilon_0s^2}{m_ee^2}},\qquad\boxed{p_c(s)=\frac{m_ee^2}{4\pi\varepsilon_0s}},\qquad\boxed{E_c(s)=-\frac{m_ee^4}{32\pi^2\varepsilon_0^2s^2}}$$
> [!METHODE]
> Discussion graphique d'un mouvement à un degré de liberté : on lit sur $U(r)$ les zones accessibles ($E\geq U$), les points de rebroussement ($E=U$) et les positions d'équilibre ($U'=0$). Contrôle utile : $E_c=-p_c^2/(2m_e)=E_p(r_c)/2$.
> [!PIEGE]
> Oublier le cas $E=0$ (parabole) : l'énoncé annonce **quatre** types d'orbites. La nature conique des trajectoires est un résultat de cours, à énoncer sans démonstration.
### Question 10
> [!INDICATION]
> Traduire la phrase de l'énoncé : périmètre $=n$ longueurs d'onde de de Broglie. Puis relier $s$ à $r$ et $p$ sur un cercle.
#### Solution
$2\pi r=n\,h/p$ et $s=rp$ sur l'orbite circulaire, donc
$$\boxed{s=n\frac{h}{2\pi}=n\hbar,\qquad n\in\mathbb N^*}$$
### Question 11
> [!INDICATION]
> Substituer le résultat de Q10 dans les trois expressions de Q9, puis identifier $E_c(n)$ à la forme (2).
> [!INDICATION]
> Pour « comparer », calculer la valeur de $E_0$ prédite et la confronter à celle de Q3.
#### Solution
$$\boxed{r_c(n)=\frac{\varepsilon_0h^2}{\pi m_ee^2}\,n^2},\qquad\boxed{p_c(n)=\frac{m_ee^2}{2\varepsilon_0h}\,\frac1n},\qquad\boxed{E_c(n)=-\frac{m_ee^4}{8\varepsilon_0^2h^2}\,\frac{1}{n^2}}$$
C'est la loi (2) avec $E_0=\dfrac{m_ee^4}{8\varepsilon_0^2h^2}$. Numériquement,
$$E_0=\frac{9{,}1\times10^{-31}\times6{,}6\times10^{-76}}{8\times7{,}9\times10^{-23}\times4{,}4\times10^{-67}}\simeq2{,}2\times10^{-18}\ \text{J}\simeq14\ \text{eV}$$
($13{,}5$ eV avant arrondi), en accord avec les $13$ eV lus en Q3 à la précision du relevé graphique près. Le modèle retrouve la forme en $1/n^2$ **et** la valeur de la constante à partir des seules constantes fondamentales.
> [!PIEGE]
> Les facteurs $2\pi$ : $s=nh/(2\pi)$, pas $nh$. Une erreur ici donne un $E_0$ faux d'un facteur $4\pi^2\simeq40$, que la comparaison avec Q3 permet de détecter.
### Question 12
> [!INDICATION]
> Comment varie $r_c(n)$ avec $n$ ? Quelle est la plus petite valeur permise de $n$ ?
> [!INDICATION]
> Pour commenter : à quelle échelle de longueur connue comparer le résultat ? Quel problème de la physique classique ce rayon minimal résout-il ?
#### Solution
$r_c$ croît en $n^2$ ; le minimum correspond à $n=1$ :
$$\boxed{r_{c,\min}=\frac{\varepsilon_0h^2}{\pi m_ee^2}}=\frac{8{,}9\times10^{-12}\times4{,}4\times10^{-67}}{3{,}1\times9{,}1\times10^{-31}\times2{,}6\times10^{-38}}\simeq\boxed{5\times10^{-11}\ \text{m}}$$
C'est le rayon de Bohr, de l'ordre de la taille des atomes (dixième de nanomètre). Un rayon minimal non nul assure la stabilité de l'atome, que l'électromagnétisme classique ne garantit pas (une charge accélérée rayonne et devrait tomber sur le noyau) ; ce résultat repose toutefois sur un postulat extérieur à la mécanique classique.
> [!METHODE]
> AN sans calculatrice : regrouper mantisses et puissances de dix séparément ($8{,}9\times4{,}4/(3{,}1\times9{,}1\times2{,}6)\simeq0{,}5$ et $10^{-12-67+31+38}=10^{-10}$).
## Partie III — Ondes de matière en physique microscopique
Cours de PC sur l'approche ondulatoire : sens de la fonction d'onde, équation de Schrödinger stationnaire, ondes planes et puits infini, courant de probabilité, puis une expérience historique et le retour à l'hydrogène en trois dimensions.
### Question 13
> [!INDICATION]
> Que représente $|\underline\Psi|^2$ ? Que représente $S\,dx$ ?
> [!INDICATION]
> Reporter $\underline\Psi=\underline\psi(x)e^{-i\omega t}$ dans **chacune** des deux égalités de (4).
#### Solution
$|\underline\Psi|^2$ est une densité volumique de probabilité de présence et $S\,dx$ le volume d'une tranche : **l'intégrale est la probabilité de trouver la particule dans $\mathscr D$, égale à $1$** (normalisation). Une probabilité étant sans dimension, $\boxed{[\underline\Psi]=L^{-3/2}}$.
Après simplification par $e^{-i\omega t}\neq0$ : $\hbar\omega\underline\psi=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\underline\psi''+V\underline\psi=E\underline\psi$, d'où
$$\boxed{\underline\psi''+\frac{2m}{\hbar^2}\big(E-V(x)\big)\underline\psi=0},\qquad\boxed{E=\hbar\omega=\frac{h\omega}{2\pi}}$$
> [!PIEGE]
> Répondre $L^{-1/2}$ en oubliant la section $S$ : la particule occupe un volume, et c'est pour cela que $S$ figure dans l'intégrale.
### Question 14
> [!INDICATION]
> Avec $V=V_0$, l'équation est à coefficients constants : discuter selon le signe de $E-V_0$.
> [!INDICATION]
> Pour l'impulsion, isoler une seule onde progressive et appliquer la relation de de Broglie ; comparer ensuite à $p^2/(2m)$.
#### Solution
Si $E<V_0$, solutions en $e^{\pm\kappa x}$ (évanescentes). Si $E>V_0$, solutions oscillantes : **propagation sans atténuation si et seulement si $E>V_0$**, et
$$\boxed{\underline\psi=\underline Ae^{ikx}+\underline Be^{-ikx},\ k=\frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hbar}},\qquad\boxed{\lambda=\frac{h}{\sqrt{2m(E-V_0)}}}$$
Pour une seule onde ($\underline B=0$, propagation vers les $x$ croissants), $\boxed{p=h/\lambda=\hbar k=\sqrt{2m(E-V_0)}}$, soit $K=E-V_0=p^2/(2m)$ : **même relation qu'en mécanique classique non relativiste**.
> [!PIEGE]
> Ne pas confondre $\lambda$ (onde de matière) et $\lambda_0$ (onde lumineuse) : l'énoncé distingue soigneusement les deux notations.
### Question 15
> [!INDICATION]
> Combien de longueurs d'onde, ou de demi-longueurs d'onde, occupent le segment dans un cas, le périmètre dans l'autre ? D'où vient chaque contrainte ?
#### Solution
Segment : $n+1$ nœuds espacés de $\lambda/2$, donc $\ell=n\lambda/2$ (conditions d'annulation aux bords). Bohr : $2\pi r=n\lambda$, nombre entier de longueurs d'onde **entières**, sans nœud imposé (l'onde doit se raccorder à elle-même après un tour). **Les deux conditions ne sont pas identiques** (facteur $2$ et origine physique différente) ; elles ont en commun de discrétiser $\lambda$, donc $p$ et $E$.
### Question 16
> [!INDICATION]
> Résoudre l'équation de Q13 avec $V=0$ ; pourquoi $E$ doit-il être positif ?
> [!INDICATION]
> Imposer $\underline\psi(0)=0$ puis $\underline\psi(\ell)=0$ sans tomber sur la solution nulle.
#### Solution
Si $E\leq0$, les solutions (exponentielles réelles ou affines) ne peuvent s'annuler en deux points sans être nulles ; donc $E>0$, $k=\sqrt{2mE}/\hbar$ et $\underline\psi=\underline A\sin(kx)+\underline B\cos(kx)$. $\underline\psi(0)=0\Rightarrow\underline B=0$ ; $\underline\psi(\ell)=0$ avec $\underline A\neq0\Rightarrow k\ell=n\pi$, $n\in\mathbb N^*$. Donc
$$\boxed{E_n=\frac{\hbar^2k^2}{2m}=\frac{n^2h^2}{8m\ell^2}}$$
Contrôle : $\lambda=2\ell/n$ et $E=(h/\lambda)^2/(2m)$ redonnent le même résultat.
> [!METHODE]
> États liés = conditions aux limites sur une équation d'ondes : quantification de $k$, puis de $E$ par la relation de dispersion. L'énergie minimale $h^2/(8m\ell^2)$ est non nulle (énergie de confinement).
### Question 17
> [!INDICATION]
> Écrire $E_2-E_1$ avec Q16, puis isoler $\ell$. Attention à la masse à utiliser.
> [!INDICATION]
> Comparer la longueur obtenue aux échelles connues de la physique (atome, noyau). Quelles interactions peuvent agir sur une particule neutre ?
#### Solution
$\Delta E=\dfrac{3h^2}{8m_n\ell^2}$, donc $\boxed{\ell=h\sqrt{\dfrac{3}{8m_n\Delta E}}}$. Avec $\Delta E=4{,}8\times10^{-12}$ J :
$$\ell=6{,}6\times10^{-34}\times\sqrt{\frac{3}{6{,}5\times10^{-38}}}\simeq6{,}6\times10^{-34}\times6{,}8\times10^{18}\simeq\boxed{4{,}5\times10^{-15}\ \text{m}}$$
Quelques femtomètres : la **taille d'un noyau**. On décrit un neutron confiné dans un noyau, avec des écarts d'énergie de l'ordre de la dizaine de MeV, typiques de la physique nucléaire. Le neutron étant neutre et la gravitation négligeable, c'est l'**interaction forte**, de très courte portée, qui le confine.
> [!PIEGE]
> Trois erreurs classiques : oublier le facteur $10^6$ de MeV, prendre $\Delta E=E_2$ ou $E_1$ au lieu de $E_2-E_1$ (facteur $3$), utiliser $m_e$ au lieu de $m_n$.
### Question 18
> [!INDICATION]
> Que produit sur les électrons incidents un cristal chargé négativement ? Quelle grandeur de l'expérience cesse alors d'être contrôlée ?
> [!INDICATION]
> Relire la phrase de l'énoncé sur la région située entre les grilles et le cristal : quel potentiel le cristal doit-il avoir pour qu'elle reste vraie ?
#### Solution
Chargé négativement, le cristal repousserait et dévierait les électrons : leur impulsion à l'arrivée, donc $\lambda$, ne serait plus fixée par $V_A$, l'incidence changerait, la mesure dériverait et le faisceau finirait par être arrêté.
**Il faut le relier aux électrodes A et B** : la région B–cristal reste alors équipotentielle ($V_A=V_B$), sans champ, conformément à l'hypothèse « aucune interaction ». Relié à la masse, le cristal serait au potentiel de K : le travail de la force électrique entre B et le cristal, $(-e)(V_A-0)=-eV_A$, annulerait l'énergie cinétique acquise entre K et A, et les électrons n'atteindraient pas le cristal.
> [!PIEGE]
> Le réflexe « on relie à la masse pour évacuer les charges » est faux ici : c'est le calcul du travail entre B et le cristal qui tranche.
### Question 19
> [!INDICATION]
> Théorème de l'énergie cinétique entre K et A, avec l'énergie potentielle électrostatique $qV$ d'une charge $q=-e$.
#### Solution
$\frac12m_ev_A^2=(-e)(0-V_A)=eV_A$. Au-delà de A, l'électron est libre ; on prend son énergie potentielle nulle dans cette région équipotentielle, de sorte que $E$ est purement cinétique :
$$\boxed{E=eV_A},\qquad\boxed{p=\sqrt{2m_eeV_A}}$$
> [!PIEGE]
> L'énoncé impose $E>0$ : il faut placer l'origine de l'énergie potentielle dans la zone sans interaction, et le dire. Contrôle d'homogénéité : $eV_A$ est une énergie, donc $p=\sqrt{2m_e\cdot eV_A}$.
### Question 20
> [!INDICATION]
> Analyse dimensionnelle : densité volumique multipliée par une vitesse. À quel vecteur bien connu de l'électrocinétique cela ressemble-t-il ?
> [!INDICATION]
> Calculer $|\underline\Psi_{\rm inc}|^2$ puis identifier $\|\vec J\|$ au flux $\Phi_0$. Pour la dernière sous-question, se demander ce qui est observable dans une fonction d'onde.
#### Solution
$[\vec J\,]=L^{-3}\cdot L\cdot T^{-1}$, soit $\boxed{L^{-2}\cdot T^{-1}}$. $\vec J=|\underline\Psi|^2\vec v$ est le **vecteur densité de courant de probabilité** ; pour un faisceau, c'est la densité de courant de particules ($\vec J\cdot\vec n\,dS\,dt$ électrons traversent $dS$ pendant $dt$), analogue de $\vec\jmath=\rho\vec v$.
$|\underline\Psi_{\rm inc}|^2=\psi_0^2$, donc $\Phi_0=\psi_0^2p/m_e$ et $\boxed{\psi_0=\sqrt{m_e\Phi_0/p}}$. **Pas de perte de généralité** : une phase globale ne change ni $|\underline\Psi|^2$ ni $\vec J$, elle n'est pas observable.
L'onde de l'énoncé varie en $e^{+iEt/\hbar}$, convention opposée à celle de III.A ($e^{-i\omega t}$) ; avec cette dernière on écrirait $\psi_0e^{\frac i\hbar(px-Et)}$. Seuls les modules interviennent ici, le résultat est inchangé.
> [!PIEGE]
> $\vec J$ n'est pas une densité de courant électrique (il manquerait la charge $-e$) : sa dimension ne contient pas $I$.
### Question 21
> [!INDICATION]
> Sur la figure 6, identifier la droite en pointillés : quelle est sa direction par rapport aux alignements d'atomes ? Quel angle fait-elle avec les rayons incident et réfléchi ?
> [!INDICATION]
> Tracer deux rayons réfléchis sur deux plans consécutifs et projeter le point de réflexion du premier sur les deux segments du second : la différence de marche est la somme de deux segments.
> [!INDICATION]
> Interférences constructives entre toutes les ondes réfléchies : à quoi doit être égale la différence de marche ?
#### Solution
La droite en pointillés est perpendiculaire aux plans : c'est leur normale, et elle fait un angle $\theta/2$ avec chacun des deux faisceaux (loi de la réflexion). L'angle d'incidence par rapport à la normale vaut $\theta/2$.
Rayons réfléchis en $I$ (premier plan) et $J$ (plan suivant), $IJ=a$ sur la normale ; $H$ et $K$ projetés orthogonaux de $I$ sur le rayon incident et sur le rayon réfléchi passant par $J$. Les chemins étant égaux en amont de $H$ et en aval de $K$ (surfaces d'onde orthogonales aux rayons),
$$\delta=HJ+JK=2a\cos\frac\theta2,\qquad\boxed{\delta=2a\cos\left(\frac\theta2\right)}$$
Faisceau diffracté intense :
$$\boxed{2a\cos\left(\frac\theta2\right)=q\lambda,\qquad q\in\mathbb N^*}$$
> [!PIEGE]
> $\theta$ n'est pas l'angle rasant de la loi de Bragg usuelle $2d\sin\theta_B=q\lambda$ : ici l'angle rasant vaut $\pi/2-\theta/2$. Contrôle : pour $\theta\to0$ le faisceau repart vers la source, l'incidence est normale et $\delta\to2a$. L'énoncé fournit d'ailleurs $\cos25^\circ$.
### Question 22
> [!INDICATION]
> Exprimer $\lambda$ en fonction de la tension accélératrice grâce à Q19, puis reporter dans la condition de Q21 : comment varie l'ordre $q$ avec $V$ ?
> [!INDICATION]
> Mesurer l'écart entre maxima consécutifs, de préférence sur tout le graphe (premier et dernier pic), plutôt que la position d'un seul pic dont on ne connaît pas l'ordre.
#### Solution
$\lambda=\dfrac{h}{\sqrt{2m_eeV}}$, donc $q=\dfrac{2a\cos(\theta/2)\sqrt{2m_ee}}{h}\sqrt V$ : **l'ordre est proportionnel à $\sqrt V$**, les maxima sont équidistants en $\sqrt V$, d'écart $\Delta\sqrt V=\dfrac{h}{2a\cos(\theta/2)\sqrt{2m_ee}}$. D'où le choix de l'axe.
Maxima relevés : $\sqrt V\simeq8{,}0$ ; $11{,}4$ ; $14{,}6$ ; $18{,}2$ ; $21{,}2$ ; $24{,}2$, soit $\Delta\sqrt V\simeq16{,}2/5\simeq3{,}2$ V$^{1/2}$. Avec $h/\sqrt{2m_ee}\simeq6{,}6\times10^{-34}/5{,}4\times10^{-25}\simeq1{,}2\times10^{-9}$ m·V$^{1/2}$ :
$$a=\frac{1{,}2\times10^{-9}}{2\times0{,}91\times3{,}2}\simeq\boxed{2\times10^{-10}\ \text{m}}$$
C'est l'ordre de grandeur des distances interatomiques dans un solide (quelques rayons de Bohr, Q12), comparable à la longueur d'onde des électrons ($\approx0{,}15$ nm pour $\sqrt V=8$) : condition nécessaire pour observer la diffraction. L'expérience confirme l'onde de de Broglie. Les pics ne tombent pas exactement sur des multiples de $\Delta\sqrt V$ (décalage dû à des effets à l'entrée du cristal, hors du modèle), ce qui n'affecte pas leur écart.
> [!PIEGE]
> Erreur sur l'angle en Q21 : $2a\sin\theta=q\lambda$ donnerait $a\simeq2{,}5\times10^{-10}$ m et $2a\sin(\theta/2)=q\lambda$ donnerait $a\simeq4{,}5\times10^{-10}$ m, des ordres de grandeur encore plausibles. Seule une géométrie soignée en Q21 protège.
> [!METHODE]
> Linéariser une loi avant d'exploiter un graphe : on choisit l'abscisse qui rend les maxima équidistants, et l'on mesure un écart moyen sur l'ensemble des pics.
### Question 23
> [!INDICATION]
> La probabilité entre $r$ et $r+dr$ s'obtient en intégrant $|\underline\Psi|^2$ sur une coquille sphérique : quel est son volume ?
> [!INDICATION]
> « En fonction de $R$ et $r$ » : il faut éliminer $\psi_0$ par la normalisation, avec l'une des intégrales fournies.
> [!INDICATION]
> Pour l'interprétation, chercher le maximum de $\rho$.
#### Solution
$d\mathbb P=\psi_0^2e^{-2r/R}\,r^2dr\iint\sin\theta\,d\theta\,d\varphi=4\pi\psi_0^2r^2e^{-2r/R}dr$. Normalisation avec $x=2r/R$ : $4\pi\psi_0^2\dfrac{R^3}{8}\times2=\pi\psi_0^2R^3=1$. D'où
$$\boxed{\rho(r)=\frac{4r^2}{R^3}e^{-2r/R}}$$
$\rho'(r)=\dfrac{8r}{R^3}\left(1-\dfrac rR\right)e^{-2r/R}$ : $\rho$ part de $0$ (en $r^2$), croît jusqu'à son maximum $4e^{-2}/R\simeq0{,}54/R$ en $r=R$, puis décroît exponentiellement vers $0$. **$R$ est la distance la plus probable entre l'électron et le noyau.**
> [!PIEGE]
> Confondre $|f(r)|^2$, densité volumique maximale en $r=0$, et $\rho(r)$, densité radiale nulle en $0$ et maximale en $R$ : tout tient dans le facteur $4\pi r^2$, à justifier par le volume de la coquille.
### Question 24
> [!INDICATION]
> Écrire l'équation de Schrödinger stationnaire à trois dimensions (remplacer $\partial^2/\partial x^2$ par le laplacien) avec l'énergie potentielle de Q6. Seul le terme radial du laplacien subsiste.
> [!INDICATION]
> L'égalité obtenue doit être vraie pour tout $r$ : séparer les termes constants et les termes en $1/r$.
#### Solution
$-\dfrac{\hbar^2}{2m_e}\Delta f-\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}f=Ef$ avec
$$\Delta f=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(-\frac{r^2}{R}f\right)=\left(\frac{1}{R^2}-\frac{2}{rR}\right)f .$$
Après simplification par $f\neq0$ :
$$\left(-\frac{\hbar^2}{2m_eR^2}-E\right)+\left(\frac{\hbar^2}{m_eR}-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)\frac1r=0\quad\forall r>0,$$
et les fonctions $1$ et $1/r$ étant indépendantes :
$$\boxed{R=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_ee^2}=\frac{\varepsilon_0h^2}{\pi m_ee^2}},\qquad\boxed{E=-\frac{\hbar^2}{2m_eR^2}=-\frac{m_ee^4}{8\varepsilon_0^2h^2}}$$
**Comparaison.** $R=r_c(1)\simeq5\times10^{-11}$ m et $E=E_c(1)=-E_0$ : mêmes valeurs que Bohr pour l'état fondamental. Mais $R$ est une distance la plus probable, non un rayon de trajectoire, et la quantification résulte de l'équation elle-même, sans postulat ajouté.
> [!METHODE]
> Identification d'une égalité vraie pour tout $r$ : on regroupe par fonctions indépendantes ($1$, $1/r$, …) et on annule chaque coefficient. C'est ce qui fixe à la fois le paramètre de la solution ($R$) et la valeur propre ($E$).
> [!JURY]
> Une identification n'est convaincante que si l'on écrit explicitement que l'égalité vaut pour tout $r>0$ avant d'annuler les coefficients ; et « comparer » appelle une phrase sur le changement de statut de $R$, pas seulement l'égalité des formules.
### Question 25
> [!INDICATION]
> Une moyenne se calcule en pondérant par la densité de probabilité : $\langle V\rangle=\int E_p(r)\rho(r)\,dr$. Se ramener à l'une des intégrales fournies.
> [!INDICATION]
> L'énergie totale est la somme des énergies cinétique et potentielle moyennes. Pour commenter, comparer au partage des énergies sur l'orbite circulaire de la partie II.
#### Solution
$$\langle V\rangle=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{4}{R^3}\int_0^\infty re^{-2r/R}dr=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{4}{R^3}\frac{R^2}{4}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\langle V\rangle=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R}=2E}$$
$$\boxed{\langle K\rangle=E-\langle V\rangle=-E=E_0\simeq13\ \text{eV}},\qquad\langle V\rangle\simeq-27\ \text{eV}.$$
**Commentaire.** $\langle K\rangle>0$ pour un état lié : l'électron confiné dans une région de taille $R$ garde une énergie cinétique d'ordre $\hbar^2/(2m_eR^2)=|E|$ (énergie de confinement, cohérente avec $\Delta p\gtrsim\hbar/R$). La relation $2\langle K\rangle+\langle V\rangle=0$ est la même que sur l'orbite circulaire de Bohr ($p_c^2/(2m_e)=-E_c$, $E_p(r_c)=2E_c$) : le partage énergétique survit au changement de modèle. Enfin, l'énergie d'ionisation $E_0$ mesurée sur le spectre (Q3) est égale à l'énergie cinétique moyenne de l'électron.
> [!PIEGE]
> Moyenner avec $|f|^2$ au lieu de $\rho$ : c'est le facteur $r^2$ de $\rho$ qui compense la singularité en $1/r$ du potentiel.
## Bilan
**Méthodes à retenir.**
- Spectroscopie : $\lambda_0=hc/\Delta E$, $hc\simeq1{,}2$ eV·µm ; tester un modèle sur une droite par la pente **et** l'ordonnée à l'origine ; encadrer $1/\lambda_0$ avant d'inverser.
- Force centrale : conservation du moment cinétique, mouvement plan, énergie potentielle effective, discussion graphique (états liés, diffusion), orbite circulaire par $U'(r_c)=0$.
- Quantification : condition d'onde stationnaire (Bohr : périodicité ; puits : nœuds aux bords), énergie de confinement $\sim h^2/(m\ell^2)$.
- Ondes de matière : $|\underline\Psi|^2$ densité de probabilité, $[\underline\Psi]=L^{-3/2}$, $E=\hbar\omega$, $p=\hbar k$, courant de probabilité $|\underline\Psi|^2\vec v$.
- Interférences sur un réseau de plans : différence de marche par projections orthogonales, condition $\delta=q\lambda$ ; linéarisation en $\sqrt V$.
- Calcul en symétrie sphérique : densité radiale $4\pi r^2|f|^2$, normalisation, identification terme à terme, valeurs moyennes.
**Prérequis à revoir.** Mécanique en force centrale (PCSI), équation de Schrödinger et puits infini (PC), interférences à $N$ ondes, théorème de l'énergie cinétique en électrostatique, intégrales $\int_0^\infty x^ne^{-x}dx$.
**Questions classiques transposables.** Linéarisation de Balmer et calcul de $R_\infty$ ; discussion de $U_{\rm eff}(r)$ ; niveaux de Bohr et rayon de Bohr ; niveaux du puits infini et ordre de grandeur nucléaire ; expérience de Davisson et Germer ; état fondamental de l'hydrogène et partage $2\langle K\rangle+\langle V\rangle=0$. Trois nombres doivent se répondre dans toute copie : $E_0\simeq13$ eV, $r_{c,\min}\simeq5\times10^{-11}$ m, $a\simeq2\times10^{-10}$ m.
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