Physique 1

# Mines-Ponts PC — Physique 1 2026 · Corrigé brut

*Corrigé rédigé par IA (La Belle Copie), non officiel. Signalez toute erreur.*

**Du spectre à la structure de l'hydrogène.** Durée 3 h, calculatrice interdite. Applications numériques à deux chiffres significatifs sauf indication contraire.

## I — Les raies d'émission de l'hydrogène atomique

### Question 1

Le photon emporte l'énergie $\epsilon=E_i-E_f>0$. D'après la relation de Planck-Einstein, $\epsilon=h\nu$, et pour une onde dans le vide $\nu=c/\lambda_0$. Donc

$$\boxed{\lambda_0=\frac{hc}{E_i-E_f}}$$

### Question 2

Avec $E_n=-E_0/n^2$, $n_i=k+2$ et $n_f=2$ :

$$E_i-E_f=E_0\left(\frac14-\frac{1}{(k+2)^2}\right)>0\quad(k\geq1),$$

d'où, avec $X=1/(k+2)^2$,

$$\frac{1}{\lambda_0}=\frac{E_i-E_f}{hc}=\underbrace{\frac{E_0}{4hc}}_{b}-\underbrace{\frac{E_0}{hc}}_{|\alpha|}\,X .$$

Le modèle prévoit donc :

- une variation **affine décroissante** de $1/\lambda_0$ en fonction de $X=1/(k+2)^2$ : c'est ce que montre la figure 1, les cinq points étant alignés aux barres d'erreur près (ce test valide la loi en $1/n^2$ avec $n_i=k+2$) ;
- une pente $\alpha=-E_0/(hc)$ liée à l'ordonnée à l'origine $b=E_0/(4hc)$ par $\alpha=-4b$ (ce test valide $n_f=2$).

Sur la figure 1 : $b\simeq2{,}7\ \mu\text{m}^{-1}$ ; le point $k=1$ ($X=1/9\simeq0{,}11$, $1/\lambda_0=1/0{,}66\simeq1{,}5\ \mu\text{m}^{-1}$) donne

$$\alpha\simeq\frac{1{,}5-2{,}7}{0{,}11}\simeq-11\ \mu\text{m}^{-1},\qquad -4b\simeq-11\ \mu\text{m}^{-1}.$$

Les deux tests sont satisfaits : **la droite de Balmer est compatible avec $E_n=-E_0/n^2$, $n_i=k+2$, $n_f=2$.**

### Question 3

$E_0=4hc\,b$ avec $hc\simeq1{,}2$ eV·µm et $b\simeq2{,}7\ \mu\text{m}^{-1}$ :

$$E_0\simeq4\times1{,}2\times2{,}7\simeq13\ \text{eV}.$$

Contrôle par la pente : $hc\,|\alpha|\simeq1{,}2\times10{,}9\simeq13$ eV.

$$\boxed{E_0\simeq13\ \text{eV}}$$

### Question 4

Pour une transition $n_i\to n_f$ ($n_i>n_f$) :

$$\frac{1}{\lambda_0}=\frac{E_i-E_f}{hc}=\frac{1}{hc}\left(\frac{E_0}{n_f^2}-\frac{E_0}{n_i^2}\right)=\frac{E_0}{hc}\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right),$$

qui est la relation (3) avec

$$\boxed{R_\infty=\frac{E_0}{hc}},\qquad \frac{1}{R_\infty}=\frac{hc}{E_0}=\frac{1{,}2\ \text{eV·µm}}{13\ \text{eV}}\simeq0{,}092\ \text{µm},\qquad\boxed{\frac{1}{R_\infty}\simeq92\ \text{nm}}$$

La condition $n_i>n_f$ assure $1/\lambda_0>0$.

### Question 5

À $n_f$ fixé, $1/n_f^2-1/n_i^2$ est strictement croissante en $n_i$ et majorée par $1/n_f^2$ (limite $n_i\to\infty$).

**Série $n_f=1$.** $n_i\geq2$, donc $\dfrac{1}{\lambda_0}=R_\infty\left(1-\dfrac{1}{n_i^2}\right)\geq\dfrac{3R_\infty}{4}$, soit

$$\lambda_0\leq\lambda_{\max}=\frac{4}{3R_\infty}=\frac43\times92\ \text{nm}\simeq\boxed{1{,}2\times10^{2}\ \text{nm}}$$

(atteinte pour $2\to1$ ; la limite de série est $1/R_\infty\simeq92$ nm). Toutes ces raies sont dans l'**ultraviolet** (série de Lyman).

**Séries $n_f>2$.** $n_f\geq3$ et $\dfrac{1}{\lambda_0}<\dfrac{R_\infty}{n_f^2}\leq\dfrac{R_\infty}{9}$, soit

$$\lambda_0>\lambda_{\min}=\frac{9}{R_\infty}=9\times92\ \text{nm}\simeq\boxed{8{,}3\times10^{2}\ \text{nm}}$$

(borne non atteinte : limite de la série $n_f=3$). Toutes ces raies sont dans l'**infrarouge**.

**Raies visibles.** Le visible s'étendant d'environ $400$ à $800$ nm, seules les raies de la série $n_f=2$ (Balmer) peuvent être visibles. Pour celle-ci, $\lambda_0=\dfrac{1}{R_\infty}\left(\dfrac14-\dfrac{1}{n_i^2}\right)^{-1}$ décroît de $6{,}6\times10^2$ nm ($n_i=3$) vers la limite $4/R_\infty\simeq3{,}7\times10^2$ nm : on obtient $660$, $490$, $440$, $410$, $400$ nm pour $n_i=3$ à $7$, puis $390$ nm (ultraviolet) pour $n_i=8$. **Les seules raies visibles sont les cinq raies H$_\alpha$ à H$_\epsilon$ du tableau, transitions $n_i=3,\dots,7\to n_f=2$.**

![Figure 1 — Niveaux E_n = −E_0/n² à l'échelle et transitions vers n_f = 1 (UV), n_f = 2 (Balmer, visible) et n_f = 3 (IR)](/figures/corriges/mines-ponts_pc_physique-1_2026/q05-niveaux-et-series.svg)

## II — Le modèle de Bohr pour l'atome d'hydrogène

### II.A — Énergie potentielle effective

### Question 6

Le noyau crée en $M$ le champ $\vec E=\dfrac{e}{4\pi\varepsilon_0r^2}\vec u_r$ ; l'électron subit $\vec F=-e\vec E=-\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r^2}\vec u_r$. Son travail élémentaire est

$$\delta W=\vec F\cdot d\overrightarrow{OM}=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r^2}\,dr=-d\left(-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}\right),$$

donc $E_p=-\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}+C$, et $E_p\to0$ en $r\to\infty$ impose $C=0$ :

$$\boxed{E_p(r)=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}}$$

### Question 7

Dans le référentiel galiléen où $O$ est fixe, le théorème du moment cinétique en $O$ appliqué à l'électron, soumis à la seule force $\vec F$, donne

$$\frac{d\vec s}{dt}=\overrightarrow{OM}\wedge\vec F=\vec 0$$

car $\vec F$ est colinéaire à $\overrightarrow{OM}$ (force centrale). Donc $\boxed{\vec s=\vec r\wedge\vec p=\overrightarrow{\text{cte}}}$.

Par construction, $\vec r\cdot\vec s=0$ à chaque instant. Si $\vec s\neq\vec0$, $\overrightarrow{OM}$ reste dans le plan **fixe** passant par $O$ et orthogonal à $\vec s$ : **le mouvement est plan et son plan contient $O$**. (Si $\vec s=\vec0$, $\vec p$ reste colinéaire à $\vec r$ : mouvement rectiligne sur une droite passant par $O$, cas exclu dans la suite.)

### Question 8

En polaires dans le plan $(Oxy)$ : $\vec v=\dot r\,\vec u_r+r\dot\theta\,\vec u_\theta$, $\vec p=m_e\vec v$, donc $\vec s=m_er^2\dot\theta\,\vec u_z$ et $s=m_er^2|\dot\theta|$. La force étant conservative, l'énergie mécanique se conserve et vaut

$$E=\frac12m_e(\dot r^2+r^2\dot\theta^2)+E_p(r)=\frac12m_e\dot r^2+\frac{s^2}{2m_er^2}-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}.$$

$$\boxed{U(r)=\frac{s^2}{2m_er^2}-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}}\qquad(r>0)$$

### Question 9

On suppose $s\neq0$ et on note $A=e^2/(4\pi\varepsilon_0)$.

**Allure.** $U(r)\to+\infty$ quand $r\to0^+$ (terme en $1/r^2$ dominant), $U(r)\to0^-$ quand $r\to\infty$ (terme $-A/r$ dominant). $U'(r)=\dfrac{1}{r^3}\left(Ar-\dfrac{s^2}{m_e}\right)$ s'annule en changeant de signe en un seul point $r_c$ : $U$ décroît puis croît, minimum unique et négatif en $r_c$.

La courbe coupe l'axe $U=0$ en $r_c/2$ et atteint son minimum $E_c<0$ en $r=r_c$ (figure 2).

![Figure 2 — Énergie potentielle effective U(r) et les quatre niveaux d'énergie : cercle, ellipse, parabole, hyperbole](/figures/corriges/mines-ponts_pc_physique-1_2026/q09-energie-potentielle-effective.svg)

**Types d'orbites.** Le mouvement radial vérifie $\frac12m_e\dot r^2=E-U(r)\geq0$, donc $E\geq E_c$ :

| Énergie | Mouvement radial | Trajectoire |
|---|---|---|
| $E=E_c$ | $r=r_c$ constant | **cercle** de rayon $r_c$ |
| $E_c<E<0$ | $r$ oscille entre $r_{\min}$ et $r_{\max}$ (racines de $U(r)=E$) | **ellipse** de foyer $O$, péricentre $r_{\min}$, apocentre $r_{\max}$ (état lié) |
| $E=0$ | $r\geq r_{\min}=r_c/2$, l'électron part à l'infini avec une vitesse tendant vers $0$ | **parabole** (état de diffusion limite) |
| $E>0$ | $r\geq r_{\min}$, unique racine de $U(r)=E$, vitesse non nulle à l'infini | **hyperbole** (état de diffusion) |

**Trajectoire circulaire.** $U'(r_c)=0$ donne

$$\boxed{r_c(s)=\frac{4\pi\varepsilon_0s^2}{m_ee^2}}$$

Sur un cercle, $\dot r=0$ donc $\vec p$ est orthoradial et $s=r_cp_c$ :

$$\boxed{p_c(s)=\frac{s}{r_c}=\frac{m_ee^2}{4\pi\varepsilon_0s}}$$

$$E_c(s)=U(r_c)=\frac{s^2}{2m_er_c^2}-\frac{A}{r_c}=\frac{m_eA^2}{2s^2}-\frac{m_eA^2}{s^2},\qquad\boxed{E_c(s)=-\frac{m_ee^4}{32\pi^2\varepsilon_0^2s^2}}$$

### II.B — L'hypothèse de quantification de Bohr

### Question 10

Le périmètre contient $n$ longueurs d'onde $\lambda=h/p$ : $2\pi r=n\,h/p$. Sur l'orbite circulaire $s=rp$, donc

$$\boxed{s=n\frac{h}{2\pi}=n\hbar,\qquad n\in\mathbb N^*}$$

### Question 11

En reportant $s=nh/(2\pi)$ dans les résultats de Q9 :

$$\boxed{r_c(n)=\frac{\varepsilon_0h^2}{\pi m_ee^2}\,n^2},\qquad\boxed{p_c(n)=\frac{m_ee^2}{2\varepsilon_0h}\,\frac1n},\qquad\boxed{E_c(n)=-\frac{m_ee^4}{8\varepsilon_0^2h^2}\,\frac{1}{n^2}}$$

On retrouve exactement la forme (2), $E_n=-E_0/n^2$, avec

$$E_0=\frac{m_ee^4}{8\varepsilon_0^2h^2}=\frac{9{,}1\times10^{-31}\times(1{,}6\times10^{-19})^4}{8\times(8{,}9\times10^{-12})^2\times(6{,}6\times10^{-34})^2}\simeq2{,}2\times10^{-18}\ \text{J}\simeq14\ \text{eV}$$

($13{,}5$ eV avant arrondi). Cette valeur, calculée à partir des seules constantes fondamentales, est en accord avec la valeur $13$ eV déduite du spectre en Q3, compte tenu de la précision de la lecture graphique (quelques pourcents) : **le modèle de Bohr explique la loi de Balmer-Rydberg et prédit $E_0$.**

### Question 12

$r_c(n)$ croît avec $n$ ; le minimum est obtenu pour $n=1$ ($n=0$ est exclu : il donnerait $s=0$) :

$$\boxed{r_{c,\min}=\frac{\varepsilon_0h^2}{\pi m_ee^2}}=\frac{8{,}9\times10^{-12}\times4{,}4\times10^{-67}}{3{,}1\times9{,}1\times10^{-31}\times2{,}6\times10^{-38}}\simeq\boxed{5\times10^{-11}\ \text{m}}$$

C'est le rayon de Bohr : il donne le bon ordre de grandeur de la taille des atomes (dixième de nanomètre). L'existence d'un rayon minimal non nul assure la stabilité de l'atome, que la mécanique classique ne garantit pas (un électron accéléré rayonne et devrait tomber sur le noyau) ; mais elle repose sur un postulat ad hoc.

## III — Ondes de matière en physique microscopique

### III.A — États quantiques stationnaires

### Question 13

$|\underline\Psi(x,t)|^2$ est la densité volumique de probabilité de présence ; $|\underline\Psi|^2S\,dx$ est la probabilité de trouver la particule dans la tranche de volume $S\,dx$. Donc **$\int_{\mathscr D}|\underline\Psi|^2S\,dx$ est la probabilité de trouver la particule dans $\mathscr D$ à l'instant $t$, égale à $1$** (condition de normalisation, la particule étant confinée dans $\mathscr D$).

Une probabilité étant sans dimension et $S\,dx$ un volume : $\boxed{[\underline\Psi]=L^{-3/2}}$.

Avec $\underline\Psi=\underline\psi(x)e^{-i\omega t}$, l'équation (4) donne, après simplification par $e^{-i\omega t}\neq0$ :

$$\hbar\omega\,\underline\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\underline\psi''+V(x)\underline\psi=E\underline\psi,$$

d'où l'équation de Schrödinger stationnaire

$$\boxed{\underline\psi''(x)+\frac{2m}{\hbar^2}\big(E-V(x)\big)\underline\psi(x)=0}$$

et l'énergie de la particule $\boxed{E=\hbar\omega=\dfrac{h\omega}{2\pi}}$.

### Question 14

Pour $V=V_0$ : $\underline\psi''+\dfrac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}\underline\psi=0$.

- Si $E<V_0$ : solutions en $e^{\pm\kappa x}$, $\kappa=\sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar$, ondes évanescentes, pas de propagation.
- Si $E>V_0$ : solutions oscillantes d'amplitude constante.

**Propagation sans atténuation si et seulement si $E>V_0$**, c'est-à-dire $K=E-V_0>0$. Alors

$$\boxed{\underline\psi(x)=\underline A\,e^{ikx}+\underline B\,e^{-ikx},\qquad k=\frac{\sqrt{2m(E-V_0)}}{\hbar}},\qquad\boxed{\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{h}{\sqrt{2m(E-V_0)}}}$$

Pour un sens unique de propagation (par exemple $\underline B=0$, onde $e^{i(kx-\omega t)}$ vers les $x$ croissants), la relation de de Broglie donne

$$\boxed{p=\frac h\lambda=\hbar k=\sqrt{2m(E-V_0)}}$$

soit $K=E-V_0=\dfrac{p^2}{2m}$ : **c'est la même relation qu'en mécanique classique non relativiste.**

### III.B — Ondes stationnaires et états liés

### Question 15

Sur le segment, l'onde s'annule aux deux extrémités et possède $n+1$ nœuds espacés de $\lambda/2$ : $\ell=n\lambda/2$. Dans le modèle de Bohr, $2\pi r=n\lambda$ : le périmètre contient un nombre entier de longueurs d'onde **entières**, aucun point n'est un nœud imposé, la condition traduit le raccordement de l'onde à elle-même après un tour (périodicité). **Les deux conditions ne sont pas identiques** : demi-longueurs d'onde et conditions aux limites d'annulation d'un côté, longueurs d'onde entières et condition de périodicité de l'autre. Elles ont en commun de ne sélectionner qu'une suite discrète de longueurs d'onde, donc d'énergies.

### Question 16

Sur $[0,\ell]$, $V=0$. Si $E\leq0$, les solutions (exponentielles réelles ou affines) ne peuvent s'annuler en $0$ et en $\ell$ sans être nulles : donc $E>0$ et, avec $k=\sqrt{2mE}/\hbar$,

$$\underline\psi(x)=\underline A\sin(kx)+\underline B\cos(kx).$$

$\underline\psi(0)=0$ impose $\underline B=0$ ; $\underline\psi(\ell)=0$ avec $\underline A\neq0$ (fonction non nulle) impose $\sin(k\ell)=0$, soit $k=n\pi/\ell$, $n\in\mathbb N^*$ ($n=0$ donne la fonction nulle, $n<0$ ne donne pas de nouvel état). D'où

$$E_n=\frac{\hbar^2k^2}{2m}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{E_n=\frac{n^2h^2}{8m\ell^2},\qquad n\in\mathbb N^*}$$

On vérifie $\lambda=2\pi/k=2\ell/n$, conforme à Q15.

### Question 17

$\Delta E=E_2-E_1=\dfrac{3h^2}{8m_n\ell^2}$, donc

$$\boxed{\ell=h\sqrt{\frac{3}{8m_n\Delta E}}}$$

Avec $\Delta E=30\times10^6\times1{,}6\times10^{-19}=4{,}8\times10^{-12}$ J :

$$\ell=6{,}6\times10^{-34}\sqrt{\frac{3}{8\times1{,}7\times10^{-27}\times4{,}8\times10^{-12}}}=6{,}6\times10^{-34}\times6{,}8\times10^{18}\simeq\boxed{4{,}5\times10^{-15}\ \text{m}}$$

Quelques femtomètres : c'est la **taille d'un noyau atomique**. Le modèle décrit un **neutron confiné dans un noyau** ; les écarts d'énergie de l'ordre de la dizaine de MeV sont typiques de la physique nucléaire (contre quelques eV pour l'atome). Le neutron étant neutre, l'interaction qui le confine n'est pas électromagnétique (et la gravitation est négligeable) : c'est l'**interaction forte**, attractive et de très courte portée (de l'ordre du femtomètre), qui lie les nucléons.

### III.C — Ondes progressives et diffraction

### Question 18

Un cristal isolé accumulerait la charge négative apportée par les électrons ; son potentiel deviendrait négatif et croissant en valeur absolue. Il créerait un champ qui freinerait et dévierait les électrons incidents : leur impulsion à l'arrivée, donc leur longueur d'onde, ne serait plus fixée par $V_A$, l'angle d'incidence serait modifié, les mesures dériveraient dans le temps et le faisceau finirait par être repoussé.

**Il faut relier le cristal aux électrodes A et B.** L'énoncé impose qu'entre les grilles et le cristal les électrons ne subissent aucune interaction : cette région doit être équipotentielle, au potentiel $V_A=V_B$. Relié à la masse ($V=0$), le cristal créerait entre B et lui une tension retardatrice : le travail de la force électrique entre B et le cristal vaudrait $(-e)(V_B-0)=-eV_A$, annulant exactement l'énergie cinétique acquise entre K et A ; les électrons n'atteindraient pas le cristal.

![Figure 3 — Énergie potentielle d'un électron de K au cristal, selon que le cristal est relié aux grilles A et B ou à la masse](/figures/corriges/mines-ponts_pc_physique-1_2026/q18-energie-potentielle-electron.svg)

### Question 19

Entre K (potentiel nul, vitesse initiale négligeable) et A (potentiel $V_A$), le théorème de l'énergie cinétique donne, la force électrique dérivant de l'énergie potentielle $-eV$ :

$$\frac12m_ev_A^2=(-e)(0-V_A)=eV_A .$$

Au-delà de A, aucune interaction : l'électron est libre, on prend nulle son énergie potentielle dans cette région équipotentielle ($V(x)=0$ au sens de III.A), de sorte que $E$ est l'énergie cinétique :

$$\boxed{E=eV_A},\qquad\boxed{p=m_ev_A=\sqrt{2m_eeV_A}}$$

### Question 20

$|\underline\Psi|^2$ est en $L^{-3}$ et $\vec p/m_e=\vec v$ en $L\cdot T^{-1}$ : $\boxed{[\vec J\,]=L^{-2}\cdot T^{-1}}$.

$\vec J=|\underline\Psi|^2\vec v$ est le **vecteur densité de courant de probabilité** : pour un faisceau de nombreux électrons, $|\underline\Psi|^2$ s'interprète comme une densité volumique d'électrons et $\vec J\cdot\vec n\,dS\,dt$ comme le nombre d'électrons traversant la surface $dS$ pendant $dt$ (analogue de $\vec\jmath=\rho\vec v$).

Pour l'onde incidente, $|\underline\Psi_{\rm inc}|^2=\psi_0^2$ (exponentielle de module $1$), et le flux $\Phi_0$ est la norme de $\vec J$ : $\Phi_0=\psi_0^2\,p/m_e$, d'où

$$\boxed{\psi_0=\sqrt{\frac{m_e\Phi_0}{p}}}$$

**Aucune perte de généralité** : un facteur de phase global $e^{i\varphi}$ ne modifie ni $|\underline\Psi|^2$ ni $\vec J$, il n'est pas observable ; on peut donc choisir $\psi_0$ réel positif.

*Remarque* : l'onde de l'énoncé varie en $e^{+iEt/\hbar}$, convention opposée à celle de III.A ($e^{-i\omega t}$ avec $E=\hbar\omega$), dans laquelle on écrirait $\psi_0e^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)}$. Seuls les modules intervenant ici, le résultat est inchangé.

### Question 21

Sur la figure 6, la droite en pointillés est perpendiculaire aux plans réticulaires (c'est leur normale) et fait un angle $\theta/2$ avec le faisceau incident (pris vers la source) comme avec le faisceau réfléchi, conformément à la loi de la réflexion. L'angle d'incidence par rapport à la normale vaut donc $\theta/2$, et l'angle entre les rayons et les plans (angle rasant) $\pi/2-\theta/2$.

Soient deux rayons parallèles réfléchis en $I$ sur un plan et en $J$ sur le plan suivant, $IJ=a$ porté par la normale. En projetant $I$ orthogonalement en $H$ sur le rayon incident et en $K$ sur le rayon réfléchi passant par $J$ (surfaces d'onde orthogonales aux rayons), la différence de marche est

$$\delta=HJ+JK=2a\cos\frac\theta2,\qquad\boxed{\delta=2a\cos\left(\frac\theta2\right)}$$

![Figure 4 — Différence de marche entre deux plans réticulaires consécutifs : H et K sont les projetés orthogonaux de I, et HJ + JK = 2a cos(θ/2)](/figures/corriges/mines-ponts_pc_physique-1_2026/q21-difference-de-marche.svg)

Le faisceau diffracté est intense quand les ondes réfléchies par tous les plans sont en phase :

$$\boxed{2a\cos\left(\frac\theta2\right)=q\lambda,\qquad q\in\mathbb N^*}$$

### Question 22

Avec $p=\sqrt{2m_eeV}$ (Q19), $\lambda=\dfrac{h}{\sqrt{2m_ee}}\dfrac{1}{\sqrt V}$, et la condition de Q21 devient

$$\sqrt V=q\,\frac{h}{2a\cos(\theta/2)\sqrt{2m_ee}} .$$

À $\theta$ fixé, **les maxima sont équidistants en $\sqrt V$**, d'écart $\Delta\sqrt V=\dfrac{h}{2a\cos(\theta/2)\sqrt{2m_ee}}$ : c'est pourquoi on porte $\sqrt V$ en abscisse (l'ordre $q$ est proportionnel à $\sqrt V$).

Sur la figure 7, les maxima sont à $\sqrt V\simeq8{,}0$ ; $11{,}4$ ; $14{,}6$ ; $18{,}2$ ; $21{,}2$ ; $24{,}2$ V$^{1/2}$, d'où $\Delta\sqrt V\simeq(24{,}2-8{,}0)/5\simeq3{,}2$ V$^{1/2}$. Avec $\dfrac{h}{\sqrt{2m_ee}}=\dfrac{6{,}6\times10^{-34}}{\sqrt{2\times9{,}1\times10^{-31}\times1{,}6\times10^{-19}}}\simeq1{,}2\times10^{-9}$ m·V$^{1/2}$ :

$$a=\frac{h}{2\cos(\theta/2)\sqrt{2m_ee}\,\Delta\sqrt V}\simeq\frac{1{,}2\times10^{-9}}{2\times0{,}91\times3{,}2}\simeq\boxed{2\times10^{-10}\ \text{m}}$$

C'est l'ordre de grandeur des distances interatomiques dans un solide (quelques rayons de Bohr) et c'est aussi l'ordre de grandeur de la longueur d'onde des électrons ($\lambda\simeq0{,}15$ nm pour $\sqrt V=8$) : la condition pour observer la diffraction est remplie. L'expérience confirme le caractère ondulatoire des électrons et la relation $\lambda=h/p$. (Les maxima ne tombent pas exactement sur des multiples de $\Delta\sqrt V$ ; ce décalage, dû à des effets à l'entrée du cristal non pris en compte par le modèle, n'affecte pas l'écart entre pics.)

### III.D — Retour sur l'atome d'hydrogène

### Question 23

$|\underline\Psi|^2=\psi_0^2e^{-2r/R}$. La probabilité de présence dans la coquille comprise entre $r$ et $r+dr$ s'obtient en intégrant sur les angles l'élément de volume $r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi$ :

$$d\mathbb P=\psi_0^2e^{-2r/R}r^2dr\int_0^\pi\!\!\int_0^{2\pi}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi=4\pi\psi_0^2r^2e^{-2r/R}dr .$$

Normalisation ($x=2r/R$) : $\displaystyle\int_0^\infty4\pi\psi_0^2r^2e^{-2r/R}dr=4\pi\psi_0^2\frac{R^3}{8}\times2=\pi\psi_0^2R^3=1$, donc $\psi_0^2=\dfrac{1}{\pi R^3}$ et

$$\boxed{\rho(r)=\frac{4r^2}{R^3}\,e^{-2r/R}}$$

$\rho'(r)=\dfrac{8r}{R^3}\left(1-\dfrac rR\right)e^{-2r/R}$ : $\rho$ part de $0$ en $r=0$ (en $r^2$, tangente horizontale), croît jusqu'au maximum $\rho(R)=4e^{-2}/R\simeq0{,}54/R$ en $r=R$, puis décroît exponentiellement vers $0$.

![Figure 5 — Densité radiale de probabilité ρ(r), maximale en r = R](/figures/corriges/mines-ponts_pc_physique-1_2026/q23-densite-radiale.svg)

**$R$ est la distance la plus probable entre l'électron et le noyau** : rayon de la sphère au voisinage de laquelle on a le plus de chances de trouver l'électron.

### Question 24

On admet la généralisation de (4) à trois dimensions : $-\dfrac{\hbar^2}{2m_e}\Delta f+E_p(r)f=Ef$, avec $E_p$ de Q6. $f$ ne dépendant que de $r$ :

$$\Delta f=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{df}{dr}\right)=\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(-\frac{r^2}{R}f\right)=\left(\frac{1}{R^2}-\frac{2}{rR}\right)f .$$

Après simplification par $f\neq0$ :

$$\left(-\frac{\hbar^2}{2m_eR^2}-E\right)+\left(\frac{\hbar^2}{m_eR}-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)\frac1r=0\quad\text{pour tout }r>0 .$$

Les fonctions $1$ et $1/r$ étant indépendantes, les deux coefficients sont nuls :

$$\boxed{R=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_ee^2}=\frac{\varepsilon_0h^2}{\pi m_ee^2}},\qquad\boxed{E=-\frac{\hbar^2}{2m_eR^2}=-\frac{m_ee^4}{8\varepsilon_0^2h^2}}$$

**Comparaison avec Bohr** : $R=r_{c,\min}=r_c(1)\simeq5\times10^{-11}$ m et $E=E_c(1)=-E_0$. Les deux modèles donnent les mêmes valeurs pour l'état fondamental ; mais $R$ n'est plus le rayon d'une trajectoire, c'est la distance la plus probable (Q23), et la quantification découle de l'équation de Schrödinger sans postulat supplémentaire.

### Question 25

$$\langle V\rangle=\int_0^\infty E_p(r)\rho(r)\,dr=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{4}{R^3}\int_0^\infty re^{-2r/R}dr=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\frac{4}{R^3}\frac{R^2}{4}\int_0^\infty xe^{-x}dx$$

$$\boxed{\langle V\rangle=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R}=-\frac{m_ee^4}{4\varepsilon_0^2h^2}=2E}$$

L'énergie totale étant la somme des énergies cinétique et potentielle moyennes, $E=\langle K\rangle+\langle V\rangle$ :

$$\boxed{\langle K\rangle=E-\langle V\rangle=-E=\frac{m_ee^4}{8\varepsilon_0^2h^2}=E_0\simeq13\ \text{eV}},\qquad\langle V\rangle=-2E_0\simeq-27\ \text{eV}.$$

**Commentaire.** $\langle K\rangle>0$ bien que l'état soit lié ($E<0$) : l'électron confiné dans une région de taille $R$ possède une énergie cinétique non nulle, d'ordre $\hbar^2/(2m_eR^2)=|E|$ (énergie de confinement, cohérente avec l'inégalité de Heisenberg $\Delta p\gtrsim\hbar/R$). On a $2\langle K\rangle+\langle V\rangle=0$ : c'est le même partage que pour l'orbite circulaire de Bohr ($p_c^2/(2m_e)=-E_c$ et $E_p(r_c)=2E_c$). Enfin, l'énergie d'ionisation $-E=E_0$ est égale à l'énergie cinétique moyenne de l'électron.