Maths 1

# Mines-Ponts PC — Maths 1 2026 · Corrigé brut

*Corrigé rédigé par IA (La Belle Copie), non officiel. Signalez toute erreur.*

**Sommes d'endomorphismes de carré nul.** Durée 3 h, calculatrice interdite. Tous les espaces sont des $\mathbb C$-espaces vectoriels de dimension finie. On note $\mathcal C(E)=\{u\in\mathcal L(E):u^2=0\}$, $\Sigma_p\mathcal C(E)$ l'ensemble des sommes de $p$ éléments de $\mathcal C(E)$ et $\Sigma_\infty\mathcal C(E)=\bigcup_{p\ge1}\Sigma_p\mathcal C(E)$.

## A — Réduction des endomorphismes de carré nul

$E$ est de dimension $n>0$, $u\in\mathcal L(E)$ vérifie $u^2=0$, $u\neq0$, et $r=\operatorname{rg}(u)$.

### Question 1

Soit $\lambda$ une valeur propre de $u$ et $x\neq0$ tel que $u(x)=\lambda x$. Alors $0=u^2(x)=\lambda^2x$, et $x\neq0$ donne $\lambda=0$. La seule valeur propre possible est $0$, et c'en est bien une : $\chi_u$ est de degré $n\ge1$ et scindé sur $\mathbb C$, donc admet une racine. Ainsi $\operatorname{Sp}(u)=\{0\}$ et $\chi_u=X^n$.

Comme $\chi_u$ est scindé, $u$ est trigonalisable et $\operatorname{tr}(u)$ est la somme des valeurs propres comptées avec multiplicité :
$$\boxed{\operatorname{Sp}(u)=\{0\},\qquad \operatorname{tr}(u)=0.}$$

### Question 2

Si $y=u(x)\in\operatorname{Im}u$, alors $u(y)=u^2(x)=0$ : $\operatorname{Im}u\subset\operatorname{Ker}u$. Donc $r\le\dim\operatorname{Ker}u=n-r$ (théorème du rang), soit
$$\boxed{r\le\frac n2.}$$

### Question 3

En dimension finie, $\operatorname{Ker}u$ admet un supplémentaire $S$, de dimension $n-(n-r)=r$, avec $r\ge1$ puisque $u\neq0$. Une base $(e_1,\dots,e_r)$ de $S$ est une famille libre telle que $\operatorname{Ker}(u)\oplus\operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_r)=E$.

Si $\sum_i\lambda_iu(e_i)=0$, alors $x=\sum_i\lambda_ie_i$ vérifie $u(x)=0$ : $x\in\operatorname{Ker}u\cap S=\{0\}$, donc $x=0$ et, $(e_i)$ étant libre, tous les $\lambda_i$ sont nuls. **La famille $(u(e_1),\dots,u(e_r))$ est libre.**

### Question 4

La famille $(u(e_1),\dots,u(e_r))$ est libre et contenue dans $\operatorname{Im}u$, de dimension $r$ : c'est une base de $\operatorname{Im}u$. Comme $\operatorname{Im}u\subset\operatorname{Ker}u$ (Q2), on la complète en une base $(u(e_1),\dots,u(e_r),f_1,\dots,f_{n-2r})$ de $\operatorname{Ker}u$ (aucun $f_j$ si $n=2r$). Comme $E=S\oplus\operatorname{Ker}u$, la concaténation
$$\mathcal B=(e_1,\dots,e_r,\;u(e_1),\dots,u(e_r),\;f_1,\dots,f_{n-2r})$$
est une base de $E$. Pour $i\le r$, $u(e_i)$ est le $(r+i)$-ième vecteur de $\mathcal B$ ; $u(u(e_i))=u^2(e_i)=0$ ; $u(f_j)=0$ car $f_j\in\operatorname{Ker}u$. D'où
$$\boxed{\operatorname{Mat}_{\mathcal B}(u)=\begin{pmatrix}0_r&0_r&(0)\\ I_r&0_r&(0)\\ (0)&(0)&0_{n-2r}\end{pmatrix}.}$$

![Figure 1 — Base adaptée de Q4 : u envoie bijectivement S sur Im u et annule Ker u = Im u ⊕ Vect(f_j), les cases suivant l'ordre de la base](/figures/corriges/mines-ponts_pc_maths-1_2026/q4-structure-carre-nul.svg)

### Question 5

Notons $M_m$ la matrice par blocs de l'énoncé ($1\le m\le n/2$).

*Existence* : $m=r$ convient (Q4), et $r>0$ car $u\neq0$.

*Unicité* : les $m$ premières colonnes de $M_m$ sont les vecteurs $\varepsilon_{m+1},\dots,\varepsilon_{2m}$ de la base canonique, les autres sont nulles, donc $\operatorname{rg}M_m=m$. Si $u$ est représenté par $M_m$ dans une base, alors $m=\operatorname{rg}M_m=\operatorname{rg}u=r$ (le rang d'un endomorphisme est celui de sa matrice dans toute base). Donc
$$\boxed{m=r=\operatorname{rg}(u)\ \text{est l'unique entier convenable.}}$$

## B — Somme d'un nombre arbitraire d'endomorphismes de carré nul

$E$ est de dimension $n\ge2$ et $\mathcal H(E)=\{u\in\mathcal L(E):\operatorname{tr}u=0\}$. On utilise $E_{i,j}E_{k,l}=\delta_{j,k}E_{i,l}$.

### Question 6

$(E_{i,j})^2=\delta_{j,i}E_{i,j}$ : c'est $E_{i,i}\neq0$ si $i=j$ et $0$ si $i\neq j$.
$$\boxed{(E_{i,j})^2=0\iff i\neq j.}$$

Soient $i\neq j$. La matrice $F_{i,j}$ est nulle hors des lignes et colonnes $i$ et $j$. L'endomorphisme $f$ de $\mathbb C^n$ associé annule les $\varepsilon_k$, $k\notin\{i,j\}$, et stabilise $P=\operatorname{Vect}(\varepsilon_i,\varepsilon_j)$ : $f(\varepsilon_i)=\varepsilon_i-\varepsilon_j$ et $f(\varepsilon_j)=\varepsilon_i-\varepsilon_j$. Alors $f^2(\varepsilon_i)=f^2(\varepsilon_j)=f(\varepsilon_i)-f(\varepsilon_j)=0$, et $f^2(\varepsilon_k)=0$ pour les autres $k$. Autrement dit, dans $(\varepsilon_i,\varepsilon_j)$ le bloc utile est $\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}$, de carré nul :
$$\boxed{\forall i\neq j,\quad (F_{i,j})^2=0_n.}$$

### Question 7

Soit $A=(a_{i,j})\in\mathcal H_n$, donc $a_{n,n}=-\sum_{i=1}^{n-1}a_{i,i}$. Pour $i\le n-1$, $E_{i,i}-E_{n,n}=F_{i,n}-E_{i,n}+E_{n,i}$. Donc
$$\sum_{i=1}^na_{i,i}E_{i,i}=\sum_{i=1}^{n-1}a_{i,i}(E_{i,i}-E_{n,n})=\sum_{i=1}^{n-1}a_{i,i}\big(F_{i,n}-E_{i,n}+E_{n,i}\big),$$
et
$$\boxed{A=\sum_{i\neq j}a_{i,j}E_{i,j}+\sum_{i=1}^{n-1}a_{i,i}F_{i,n}-\sum_{i=1}^{n-1}a_{i,i}E_{i,n}+\sum_{i=1}^{n-1}a_{i,i}E_{n,i},}$$
combinaison linéaire de matrices $E_{i,j}$ ($i\neq j$) et $F_{i,n}$ ($1\le i\le n-1$).

### Question 8

*$\Sigma_\infty\mathcal C(E)\subset\mathcal H(E)$.* Si $u=u_1+\dots+u_p$ avec $u_k^2=0$, chaque $u_k$ est de trace nulle (Q1 si $u_k\neq0$, évident si $u_k=0$), donc $\operatorname{tr}u=0$ par linéarité.

*$\mathcal H(E)\subset\Sigma_\infty\mathcal C(E)$.* Soit $u\in\mathcal H(E)$ et $A$ sa matrice dans une base $\mathcal B$ fixée : $\operatorname{tr}A=0$. Par Q7, $A=\sum_k\lambda_kM_k$ où chaque $M_k$ est un $E_{i,j}$ ($i\neq j$) ou un $F_{i,n}$, donc de carré nul (Q6). Comme $(\lambda_kM_k)^2=\lambda_k^2M_k^2=0$, $A$ est une somme finie de matrices de carré nul. L'application $f\mapsto\operatorname{Mat}_{\mathcal B}(f)$ étant un isomorphisme d'algèbres, $u$ est une somme finie d'éléments de $\mathcal C(E)$. D'où
$$\boxed{\Sigma_\infty\mathcal C(E)=\mathcal H(E).}$$

## C — Somme de trois endomorphismes de carré nul

$E$ est de dimension $n\ge5$ ; $u$ est de trace nulle, $1$ est valeur propre de $u$ et $d=\dim\operatorname{Ker}(u-\mathrm{id}_E)>\frac{3n}4$.

### Question 9

Dans une base $(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_n)$, soit $u$ de matrice $D=\operatorname{diag}(1,\dots,1,-(n-1))$ ($n-1$ fois la valeur $1$). Alors $\operatorname{tr}u=(n-1)-(n-1)=0$. Comme $-(n-1)\neq1$, $D-I_n=\operatorname{diag}(0,\dots,0,-n)$ est de rang $1$, donc $d=n-1$ et $1$ est valeur propre. Enfin
$$n-1>\frac{3n}4\iff n>4,$$
vrai car $n\ge5$. **Un tel endomorphisme existe.**

### Question 10

On pose $w=u-\mathrm{id}_E$ ; $\operatorname{Ker}w=\operatorname{Ker}(u-\mathrm{id}_E)$ est de dimension $d$, donc $\operatorname{rg}w=n-d<\frac n4$. Comme $v^2=0$ (et $v$, $w$ ne commutent pas a priori) :
$$(w-v)^2=w^2-wv-vw+v^2=w\circ(w-v)-v\circ w.$$
Or $\operatorname{Im}\big(w\circ(w-v)\big)\subset\operatorname{Im}w$ et $\operatorname{Im}(v\circ w)=v(\operatorname{Im}w)$ est de dimension $\le\operatorname{rg}w$. Par sous-additivité du rang ($\operatorname{Im}(f+g)\subset\operatorname{Im}f+\operatorname{Im}g$) :
$$\operatorname{rg}\big((w-v)^2\big)\le2\operatorname{rg}w<\frac n2,\qquad\boxed{\operatorname{rg}\big((w-v)^2\big)<\frac n2.}$$

### Question 11

Soit $K=\operatorname{Ker}\big((w-v)^2\big)$, de dimension $k=n-\operatorname{rg}\big((w-v)^2\big)>\frac n2>0$. Si $x\in K$, $(w-v)^2\big((w-v)(x)\big)=(w-v)\big((w-v)^2(x)\big)=0$ : $K$ est stable par $w-v$. L'endomorphisme $g$ induit par $w-v$ sur $K$ vérifie $g^2=0$, donc (Q1 si $g\ne0$, évident sinon) $\chi_g=X^k$.

Comme $u-v=(w-v)+\mathrm{id}_E$, $K$ est stable par $u-v$, qui y induit $g+\mathrm{id}_K$, de polynôme caractéristique $\chi_g(X-1)=(X-1)^k$. Dans une base de $E$ obtenue en complétant une base de $K$, la matrice de $u-v$ est triangulaire par blocs $\begin{pmatrix}G&\ast\\0&G'\end{pmatrix}$ où $G$ représente $g+\mathrm{id}_K$, donc
$$\chi_{u-v}=\chi_G\,\chi_{G'}=(X-1)^k\chi_{G'}.$$
**$1$ est valeur propre de $u-v$, de multiplicité au moins $n-\operatorname{rg}\big((w-v)^2\big)$.**

### Question 12

Posons $a=u-v$ et supposons $-a=\varphi\circ a\circ\varphi^{-1}$. Deux endomorphismes semblables ont même polynôme caractéristique, donc $\chi_a=\chi_{-a}$. Si $A$ représente $a$,
$$\chi_{-a}(X)=\det(XI_n+A)=(-1)^n\det(-XI_n-A)=(-1)^n\chi_a(-X).$$
Soit $\mu$ la multiplicité de $1$ dans $\chi_a$ : $\chi_a=(X-1)^\mu R$ avec $R(1)\neq0$. Alors
$$\chi_a(X)=(-1)^n\chi_a(-X)=(-1)^{n+\mu}(X+1)^\mu R(-X),$$
et $R(-X)$ ne s'annule pas en $-1$ : $-1$ est racine de $\chi_a$ de multiplicité exactement $\mu$. Par Q10 et Q11, $\mu\ge n-\operatorname{rg}\big((w-v)^2\big)>n-\frac n2$. Donc
$$\boxed{1\text{ et }-1\text{ sont valeurs propres de }u-v,\ \text{de multiplicité }\mu>\frac n2.}$$

### Question 13

Supposons $u=v_1+v_2+v_3$ avec $v_k\in\mathcal C(E)$. Avec $v=v_3\in\mathcal C(E)$, $u-v=v_1+v_2\in\Sigma_2\mathcal C(E)$, et le théorème de Wang et Wu (sens direct) fournit $\varphi\in GL(E)$ tel que $-(u-v)=\varphi\circ(u-v)\circ\varphi^{-1}$. Par Q12, $1$ et $-1$, distinctes, sont racines de $\chi_{u-v}$ de multiplicités $>\frac n2$ chacune ; or la somme des multiplicités des racines de $\chi_{u-v}$, de degré $n$, vaut $n$ : on obtiendrait $n>\frac n2+\frac n2=n$, absurde.
$$\boxed{u\notin\Sigma_3\mathcal C(E).}$$
Comme $\operatorname{tr}u=0$, Q8 donne néanmoins $u\in\Sigma_\infty\mathcal C(E)$.

## D — Intermède : matrices de Hessenberg

$n\ge2$. Pour $C=(c_1,\dots,c_{n-1})\in\mathbb C^{n-1}$, $E_C=\sum_{k=1}^{n-1}c_kE_{k,n}$ ; $J_n=\sum_{j=1}^{n-1}E_{j+1,j}$.

### Question 14

Soit $B(x)=xI_n-A$ et $N(x)=\widetilde{B(x)}^{(k,n)}$ : lignes $1,\dots,k-1,k+1,\dots,n$ et colonnes $1,\dots,n-1$ de $B(x)$. On découpe les lignes en $\{1,\dots,k-1\}\cup\{k+1,\dots,n\}$ et les colonnes en $\{1,\dots,k-1\}\cup\{k,\dots,n-1\}$ :
$$N(x)=\begin{pmatrix}xI_{k-1}-A_{k-1}&\ast\\ Z&T\end{pmatrix},$$
où $A_{k-1}$ est le bloc supérieur gauche de taille $k-1$ de $A$.

- $Z$ : coefficients $b_{i,j}$ avec $i\ge k+1$, $j\le k-1$, donc $i\ge j+2$ : $b_{i,j}=-a_{i,j}=0$ (Hessenberg).
- $T\in\mathcal M_{n-k}(\mathbb C)$ : son coefficient $(p,q)$ est $b_{k+p,\,k-1+q}$. Si $p>q$, $k+p\ge(k-1+q)+2$, d'où $0$ ; si $p=q$, il vaut $-a_{k+p,k+p-1}\neq0$ (régularité). $T$ est triangulaire supérieure de diagonale $(-a_{k+1,k},\dots,-a_{n,n-1})$, indépendante de $x$.

Le déterminant d'une matrice triangulaire par blocs étant le produit des déterminants des blocs diagonaux,
$$\det N(x)=\chi_{A_{k-1}}(x)\prod_{i=k}^{n-1}(-a_{i+1,i}),$$
avec les conventions $\chi_{A_0}=1$ ($k=1$) et produit vide égal à $1$ ($k=n$). Le polynôme $P_k=\Big(\prod_{i=k}^{n-1}(-a_{i+1,i})\Big)\chi_{A_{k-1}}$ convient ; il est de degré exactement $k-1$ car $\chi_{A_{k-1}}$ est unitaire de degré $k-1$ et le produit est non nul. Il est unique : deux polynômes qui coïncident sur $\mathbb C$, ensemble infini, sont égaux.
$$\boxed{\deg P_k=k-1,\qquad \operatorname{cd}(P_k)=(-1)^{n-k}\prod_{i=k}^{n-1}a_{i+1,i}\neq0.}$$

### Question 15

$E_C$ ne modifie que la colonne $n$, et la sous-matrice $\widetilde{(xI_n-A-E_C)}^{(k,n)}$ ne contient pas cette colonne : elle vaut $\widetilde{(xI_n-A)}^{(k,n)}$, de déterminant $P_k(x)$. Le déterminant est linéaire par rapport à la dernière colonne ; celle de $xI_n-A-E_C$ est celle de $xI_n-A$ moins $(c_1,\dots,c_{n-1},0)^\top$. En développant le second terme selon la colonne $n$ :
$$\chi_{A+E_C}=\chi_A-\Phi(C),\qquad \Phi(C)=\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k+n}c_kP_k.$$
$\Phi:\mathbb C^{n-1}\to\mathbb C_{n-2}[X]$ est linéaire. Les $P_k$ ($1\le k\le n-1$) sont de degrés $0,1,\dots,n-2$ : famille échelonnée en degrés, donc libre, de cardinal $n-1=\dim\mathbb C_{n-2}[X]$ : c'est une base, et $\Phi$, qui envoie la base canonique sur la base $\big((-1)^{k+n}P_k\big)_k$, est un isomorphisme.

$P$ et $\chi_A$ sont unitaires de degré $n$ et ont le même coefficient $-\operatorname{tr}A$ sur $X^{n-1}$ : $\chi_A-P\in\mathbb C_{n-2}[X]$. Alors
$$\chi_{A+E_C}=P\iff\Phi(C)=\chi_A-P\iff C=\Phi^{-1}(\chi_A-P),$$
$$\boxed{\exists!\,C\in\mathbb C^{n-1},\quad\chi_{A+E_C}=P.}$$

### Question 16

$J_n$ est de Hessenberg régulière, de trace nulle, et $xI_n-J_n$ est triangulaire inférieure de diagonale $(x,\dots,x)$, donc $\chi_{J_n}=X^n$. Ainsi $C=0$ convient, et par l'unicité de Q15 (applicable : $X^n$ est unitaire, de coefficient $0=-\operatorname{tr}J_n$ sur $X^{n-1}$) :
$$\boxed{C=0.}$$
(Plus précisément, Q14 donne $P_k=(-1)^{n-k}X^{k-1}$ pour $J_n$, et Q15 donne $\chi_{J_n+E_C}=X^n-\sum_{k=1}^{n-1}c_kX^{k-1}$, qui vaut $X^n$ si et seulement si $C=0$.)

### Question 17

Soit $A=(a_{i,j})$ la matrice de $u$ dans $(e_1,\dots,e_n)$ : $u(e_j)=\sum_{i\le\min(j+1,n)}a_{i,j}e_i$. Montrons par récurrence sur $k\in[\![0,n-1]\!]$ que
$$u^k(e_1)\in\pi_ke_{k+1}+\operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_k),\qquad\pi_k=\prod_{i=1}^ka_{i+1,i}\neq0.$$
Pour $k=0$ : $u^0(e_1)=e_1$, $\pi_0=1$. Si c'est vrai au rang $k\le n-2$, alors $u^{k+1}(e_1)=\pi_ku(e_{k+1})+\sum_{i\le k}\lambda_iu(e_i)$ ; les $u(e_i)$, $i\le k$, sont dans $\operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_{k+1})$ et $u(e_{k+1})\in a_{k+2,k+1}e_{k+2}+\operatorname{Vect}(e_1,\dots,e_{k+1})$. D'où le rang $k+1$ avec $\pi_{k+1}=\pi_ka_{k+2,k+1}\neq0$.

La matrice de $(u^k(e_1))_{0\le k\le n-1}$ dans $(e_1,\dots,e_n)$ est donc triangulaire supérieure de diagonale $(\pi_0,\dots,\pi_{n-1})$, sans zéro : elle est inversible.
$$\boxed{(u^k(e_1))_{0\le k\le n-1}\ \text{est une base de }E.}$$

### Question 18

Soit $u$ canoniquement associé à $A$ et $(e_1,\dots,e_n)$ la base canonique.

*$u^n=0$.* $\chi_u=X^n$ est scindé : $u$ est trigonalisable dans une base $(h_1,\dots,h_n)$, de matrice triangulaire supérieure dont la diagonale porte les valeurs propres, toutes nulles. En notant $H_k=\operatorname{Vect}(h_1,\dots,h_k)$, $H_0=\{0\}$, on a $u(H_k)\subset H_{k-1}$, d'où $u^n(E)\subset H_0$ : $u^n=0$.

*Base cyclique.* Par Q17, $(f_1,\dots,f_n)$ avec $f_k=u^{k-1}(e_1)$ est une base. On a $u(f_k)=f_{k+1}$ pour $k\le n-1$ et $u(f_n)=u^n(e_1)=0$. La matrice de $u$ dans cette base est $(\delta_{i,j+1})=J_n$. Les matrices $A$ et $J_n$ représentent le même endomorphisme dans deux bases :
$$\boxed{A\ \text{est semblable à}\ J_n.}$$

## E — Somme de quatre endomorphismes de carré nul

$n\ge2$ ; $V=\sum_{j=1}^{n-2}E_{j+1,j}$ (les lignes de $J_n$, sauf la dernière, nulle).

### Question 19

*$A+V$ est de Hessenberg régulière.* Si $i>j+1$, alors $i>j$ et $(i,j)\neq(n,n-1)$, donc $a_{i,j}=0$, et $v_{i,j}=0$. Pour $i\le n-2$, le coefficient $(i+1,i)$ de $A+V$ vaut $0+1=1$ ; le coefficient $(n,n-1)$ vaut $a_{n,n-1}+0\neq0$.

*Trace.* $V$ est de diagonale nulle : $\operatorname{tr}(A+V)=\operatorname{tr}A=0$.

Par Q15 appliquée à $A+V$ et $P=X^n$ (unitaire, coefficient $0=-\operatorname{tr}(A+V)$ sur $X^{n-1}$), il existe $C_0$ tel que $\chi_{A+V+E_{C_0}}=X^n$. Or $E_{C_0}$ ne touche que la colonne $n$ aux lignes $1$ à $n-1$, donc ni la zone $i>j+1$ (qui impose $j\le n-2$) ni les coefficients sous-diagonaux (colonnes $\le n-1$) : $A+V+E_{C_0}$ est de Hessenberg régulière, de polynôme caractéristique $X^n$. Par Q18,
$$\boxed{A+V+E_{C_0}\ \text{est semblable à}\ J_n.}$$

### Question 20

On répartit les coefficients de $J_n$ selon la parité de la colonne :
$$B_1=\sum_{\substack{1\le j\le n-1\\ j\text{ impair}}}E_{j+1,j},\qquad B_2=\sum_{\substack{1\le j\le n-1\\ j\text{ pair}}}E_{j+1,j}.$$
Alors $B_1+B_2=J_n$, en toute position l'une des deux matrices est nulle, et $B_1^2=\sum E_{j+1,j}E_{j'+1,j'}=\sum\delta_{j,j'+1}E_{j+1,j'}$ (somme sur $j,j'$ impairs) est nulle car $j-j'$ est pair, donc différent de $1$. De même $B_2^2=0$ ($B_2=0$ si $n=2$).
$$\boxed{J_n=B_1+B_2,\qquad B_1^2=B_2^2=0.}$$

![Figure 2 — J_6 vue comme la chaîne ε_1 → … → ε_6 : B_1 (bleu, plein) prend les flèches issues d'un indice impair, B_2 (orange, tirets) celles d'un indice pair](/figures/corriges/mines-ponts_pc_maths-1_2026/q20-decomposition-jn.svg)

### Question 21

Posons
$$B_1=\sum_{\substack{j\le n-2\\ j\text{ impair}}}E_{j+1,j}+\sum_{\substack{i\le n-1\\ i\text{ pair}}}c_iE_{i,n},\qquad B_2=\sum_{\substack{j\le n-2\\ j\text{ pair}}}E_{j+1,j}+\sum_{\substack{i\le n-1\\ i\text{ impair}}}c_iE_{i,n}.$$
Clairement $B_1+B_2=V+E_C$. Lisons $B_1$ sur la base canonique $(\varepsilon_j)$ :

- pour $j\le n-2$ impair, $B_1\varepsilon_j=\varepsilon_{j+1}$ avec $j+1\le n-1$ pair ;
- pour $j\le n-1$ pair, ou $j=n-1$, $B_1\varepsilon_j=0$ ;
- $B_1\varepsilon_n=\sum_{i\le n-1,\ i\text{ pair}}c_i\varepsilon_i$.

Ainsi $B_1$ envoie chaque $\varepsilon_j$ sur une combinaison de vecteurs $\varepsilon_i$ d'indice pair $\le n-1$, tous annulés par $B_1$ : $B_1^2=0$. Symétriquement, $B_2$ envoie chaque $\varepsilon_j$ dans $\operatorname{Vect}(\varepsilon_i:\ i\le n-1,\ i\text{ impair})$, sous-espace annulé par $B_2$ (pour $i$ impair, $B_2\varepsilon_i=0$ car $i$ n'est pas une colonne paire $\le n-2$ et $i\neq n$) : $B_2^2=0$.
$$\boxed{V+E_C=B_1+B_2,\qquad B_1^2=B_2^2=0.}$$

![Figure 3 — V + E_C pour n = 6 : la chaîne s'arrête en ε_5, les retours ε_6 → ε_i de poids c_i vont dans B_1 si i est pair, dans B_2 si i est impair](/figures/corriges/mines-ponts_pc_maths-1_2026/q21-decomposition-v-ec.svg)

### Question 22

$v$ n'étant pas une homothétie, $n\ge2$.

*Cas 1 : $v$ a deux valeurs propres distinctes $\lambda\neq\mu$*, de vecteurs propres $x,y$. Ils sont libres, $P=\operatorname{Vect}(x,y)$ est un plan stable, et $z=x+y\neq0$ n'est pas propre : $v(z)=\nu z$ donnerait $\lambda x+\mu y=\nu x+\nu y$, donc $\lambda=\nu=\mu$.

*Cas 2 : $v$ a une seule valeur propre $\lambda$.* Alors $\chi_v=(X-\lambda)^n$ ; dans une base de trigonalisation $(h_1,\dots,h_n)$, $N=v-\lambda\,\mathrm{id}$ a une matrice triangulaire supérieure stricte, donc $N(H_k)\subset H_{k-1}$ avec $H_k=\operatorname{Vect}(h_1,\dots,h_k)$, et $N^n=0$. De plus $N\neq0$ car $v$ n'est pas une homothétie. Soit $y$ avec $Ny\neq0$ et $p\ge1$ le plus grand entier tel que $N^py\neq0$ ($p\le n-1$) ; $x=N^{p-1}y$ vérifie $Nx\neq0$ et $N^2x=0$. La famille $(x,Nx)$ est libre : si $\alpha x+\beta Nx=0$, appliquer $N$ donne $\alpha Nx=0$, donc $\alpha=0$, puis $\beta=0$. Le plan $P=\operatorname{Vect}(x,Nx)$ est stable : $v(x)=\lambda x+Nx$, $v(Nx)=\lambda Nx$. Et $x$ n'est pas propre : $v(x)=\nu x$ donnerait $Nx=(\nu-\lambda)x$, contraire à la liberté.

**Dans les deux cas, il existe un plan stable par $v$ contenant un vecteur non nul qui n'est pas vecteur propre de $v$.**

### Question 23

Soit $M\notin\operatorname{Vect}(I_n)$ et $v$ canoniquement associé : $v$ n'est pas une homothétie. Par Q22, soit $P$ un plan stable et $f_1\in P$ non nul et non propre. Alors $f_2=v(f_1)\in P$ et $(f_1,f_2)$ est libre (sinon $f_1$ serait propre) : c'est une base de $P$. On la complète en une base $\mathcal F=(f_1,\dots,f_n)$. Comme $v(P)\subset P$,
$$\operatorname{Mat}_{\mathcal F}(v)=\begin{pmatrix}B&D\\0&C'\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0&b_{1,2}\\1&b_{2,2}\end{pmatrix},$$
puisque $v(f_1)=f_2$ : $b_{2,1}=1\neq0$. La matrice $C'\in\mathcal M_{n-2}(\mathbb C)$ est trigonalisable : $C'=QCQ^{-1}$ avec $C$ triangulaire supérieure. Avec $R=\begin{pmatrix}I_2&0\\0&Q\end{pmatrix}$,
$$R^{-1}\begin{pmatrix}B&D\\0&C'\end{pmatrix}R=\begin{pmatrix}B&DQ\\0&C\end{pmatrix}.$$
Par transitivité de la similitude :
$$\boxed{M\ \text{est semblable à}\ \begin{pmatrix}B&(?)\\(0)&C\end{pmatrix},\quad b_{2,1}\neq0,\ C\ \text{triangulaire supérieure.}}$$
(Pour $n=2$, $C$ est vide.)

### Question 24

Soit $M\notin\operatorname{Vect}(I_n)$. Alors $M^\top\notin\operatorname{Vect}(I_n)$ et, par Q23, il existe $S\in GL_n(\mathbb C)$ telle que $M^\top=SNS^{-1}$ avec $N=\begin{pmatrix}B&X\\0&C\end{pmatrix}$, $b_{2,1}\neq0$, $C$ triangulaire supérieure. En transposant, $M=(S^\top)^{-1}N^\top S^\top$ : $M$ est semblable à
$$N^\top=\begin{pmatrix}B^\top&0\\X^\top&C^\top\end{pmatrix}.$$
Au-dessus de la diagonale, $N^\top$ n'a qu'un seul coefficient éventuellement non nul : le coefficient $(1,2)$, égal à $b_{2,1}\neq0$ (le bloc en haut à droite est nul et $C^\top$ est triangulaire inférieure).

Soit $W=\sum_{i=1}^nE_{i,n+1-i}$, matrice de la permutation $i\mapsto n+1-i$ ; $W^2=I_n$ et $(WN^\top W)_{i,j}=(N^\top)_{n+1-i,\,n+1-j}$. Pour $i>j$, on a $n+1-i<n+1-j$ : ce coefficient est nul sauf si $(n+1-i,n+1-j)=(1,2)$, c'est-à-dire $(i,j)=(n,n-1)$, où il vaut $b_{2,1}\neq0$. Donc $A=WN^\top W$ est presque triangulaire supérieure et
$$\boxed{M\ \text{est semblable à la matrice presque triangulaire supérieure}\ A=WN^\top W.}$$

### Question 25

Soit $u\in\mathcal L(E)$ de trace nulle, $n=\dim E$.

*Homothéties.* Si $u=\lambda\,\mathrm{id}_E$, alors $n\lambda=0$, donc $u=0=0+0+0+0\in\Sigma_4\mathcal C(E)$. Cela règle en particulier $n=1$.

*Cas général* ($n\ge2$, $u$ non homothétique). Soit $M$ la matrice de $u$ dans une base : $M\notin\operatorname{Vect}(I_n)$ et $\operatorname{tr}M=0$. Par Q24, $M=SAS^{-1}$ avec $A$ presque triangulaire supérieure et $\operatorname{tr}A=\operatorname{tr}M=0$. Par Q19, il existe $C_0$ et $Q\in GL_n(\mathbb C)$ tels que $A+V+E_{C_0}=QJ_nQ^{-1}$. Par Q20, $J_n=B_1+B_2$ et par Q21, $V+E_{C_0}=B_3+B_4$, avec $B_k^2=0$. Donc
$$A=QB_1Q^{-1}+QB_2Q^{-1}+(-B_3)+(-B_4),$$
somme de quatre matrices de carré nul, car $(QB_kQ^{-1})^2=QB_k^2Q^{-1}=0$ et $(-B_k)^2=B_k^2=0$. Puis
$$M=SQB_1(SQ)^{-1}+SQB_2(SQ)^{-1}-SB_3S^{-1}-SB_4S^{-1},$$
encore somme de quatre matrices de carré nul. Par l'isomorphisme d'algèbres $f\mapsto\operatorname{Mat}(f)$, $u=u_1+u_2+u_3+u_4$ avec $u_k\in\mathcal C(E)$ :
$$\boxed{u\in\Sigma_4\mathcal C(E).}$$

Avec Q8 et Q13 : pour $n\ge5$, $\Sigma_3\mathcal C(E)\subsetneq\Sigma_4\mathcal C(E)=\Sigma_\infty\mathcal C(E)=\mathcal H(E)$, et le nombre $4$ est optimal.