Physique 1
Mines-PontsMPI2026
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**Du spectre à la structure de l'hydrogène.** Durée 3 heures, calculatrice interdite. Applications numériques à deux chiffres significatifs sauf mention contraire. Notations : $\lambda_0$ pour les ondes lumineuses, $\lambda$ pour les ondes de matière ; $k_e=\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}$ ; $\hbar=\dfrac{h}{2\pi}$.
## I. Les raies d'émission de l'hydrogène atomique
### Question 1
Le photon emporte l'énergie $\epsilon=E_i-E_f>0$. D'après la relation de Planck-Einstein, $\epsilon=h\nu$, et dans le vide $\nu=c/\lambda_0$. Donc $E_i-E_f=hc/\lambda_0$ :
$$\boxed{\lambda_0=\frac{hc}{E_i-E_f}}$$
### Question 2
On suppose (2) : $E_n=-E_0/n^2$. Pour $n_i=k+2$ et $n_f=2$, la question 1 donne
$$\frac1{\lambda_0}=\frac{E_{n_i}-E_{n_f}}{hc}=\frac{E_0}{hc}\left(\frac14-\frac1{(k+2)^2}\right)=\frac{E_0}{4hc}-\frac{E_0}{hc}\cdot\frac1{(k+2)^2}.$$
Avec $X=1/(k+2)^2$ :
$$\boxed{\frac1{\lambda_0}=b-\alpha X,\qquad b=\frac{E_0}{4hc}>0,\quad \alpha=\frac{E_0}{hc}=4b}$$
C'est une fonction affine décroissante de $X$, comme la droite en pointillés de la figure 1. Le contrôle quantitatif porte sur le rapport pente/ordonnée à l'origine, qui doit valoir $n_f^2=4$. Sur la figure : $b\simeq2{,}7\ \mu\text{m}^{-1}$, et la droite passe par le point $k=1$ ($X=1/9\simeq0{,}111$, $1/\lambda_0=1/0{,}66\simeq1{,}5\ \mu\text{m}^{-1}$), d'où $\alpha\simeq(2{,}7-1{,}5)/0{,}111\simeq11\ \mu\text{m}^{-1}\simeq4b$. Les cinq points tombent sur la droite aux barres d'erreur près. **La figure 1 est compatible avec (2)** (avec $n_f=2$ et une énergie en $-1/n^2$ ; la constante additive des énergies, elle, ne se voit pas sur un spectre, le choix $E_n\to0$ pour $n\to\infty$ étant une convention).
### Question 3
L'ordonnée à l'origine se lit $b\simeq2{,}7\ \mu\text{m}^{-1}$. Donc $E_0=4hc\,b$, et avec $hc\simeq1{,}2$ eV·µm :
$$E_0\simeq4\times1{,}2\times2{,}7\ \text{eV}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{E_0\simeq13\ \text{eV}}$$
(La pente donne la même valeur : $hc\,\alpha\simeq1{,}2\times11\simeq13$ eV.)
### Question 4
Pour une transition $n_i\to n_f$ avec $n_i>n_f$, les questions 1 et (2) donnent
$$\frac1{\lambda_0}=\frac1{hc}\left(-\frac{E_0}{n_i^2}+\frac{E_0}{n_f^2}\right)=\frac{E_0}{hc}\left(\frac1{n_f^2}-\frac1{n_i^2}\right),$$
ce qui est la relation (3) avec
$$\boxed{R_\infty=\frac{E_0}{hc}}$$
La condition $n_i>n_f$ assure $1/\lambda_0>0$. Numériquement $R_\infty\simeq13/1{,}2\simeq11\ \mu\text{m}^{-1}$ et
$$\boxed{\frac1{R_\infty}=\frac{hc}{E_0}\simeq9{,}2\times10^{-2}\ \mu\text{m}=92\ \text{nm}}$$
Contrôle : pour $3\to2$, $\lambda_0=\frac{36}{5}\times92\simeq6{,}6\times10^2$ nm ($\text{H}_\alpha$) ; pour $4\to2$, $\frac{16}3\times92\simeq4{,}9\times10^2$ nm ($\text{H}_\beta$).
### Question 5
**Cas $n_f=1$.** $\dfrac1{\lambda_0}=R_\infty\left(1-\dfrac1{n_i^2}\right)$ avec $n_i\geqslant2$ ; la fonction $n_i\mapsto1-1/n_i^2$ est croissante, minimale en $n_i=2$ où elle vaut $3/4$. Donc $1/\lambda_0\geqslant3R_\infty/4$ et
$$\boxed{\lambda_0\leqslant\lambda_{\max}=\frac4{3R_\infty}\simeq1{,}2\times10^{2}\ \text{nm}}$$
borne atteinte pour la transition $2\to1$. Toutes ces raies (série de Lyman) sont dans l'**ultraviolet**.
**Cas $n_f>2$**, soit $n_f\geqslant3$ et $n_i>n_f$ :
$$\frac1{\lambda_0}=R_\infty\left(\frac1{n_f^2}-\frac1{n_i^2}\right)<\frac{R_\infty}{n_f^2}\leqslant\frac{R_\infty}9,$$
donc
$$\boxed{\lambda_0>\lambda_{\min}=\frac9{R_\infty}\simeq8{,}3\times10^{2}\ \text{nm}}$$
(borne non atteinte, approchée pour $n_f=3$, $n_i\to\infty$). Ces raies sont dans l'**infrarouge**.
**Conclusion.** Les raies visibles ($400$–$800$ nm) appartiennent toutes à la série $n_f=2$ (Balmer). Pour celle-ci, $\frac{5R_\infty}{36}\leqslant\frac1{\lambda_0}<\frac{R_\infty}4$, soit $370\ \text{nm}<\lambda_0\leqslant660$ nm : **les seules raies visibles sont celles de la série de Balmer avec $n_i=3$ à $7$**, c'est-à-dire les cinq raies $\text{H}_\alpha$ à $\text{H}_\epsilon$ du tableau ; les suivantes ($n_i\geqslant8$, $\lambda_0<400$ nm) s'accumulent vers $370$ nm dans le proche ultraviolet.
## II. Le modèle de Bohr pour l'atome d'hydrogène
### II.A Énergie potentielle effective
### Question 6
La force exercée par le noyau sur l'électron est $\vec F=\dfrac{(+e)(-e)}{4\pi\varepsilon_0r^2}\vec e_r=-\dfrac{k_e}{r^2}\vec e_r$. Son travail élémentaire vaut $\delta W=\vec F\cdot d\vec r=-\dfrac{k_e}{r^2}dr=-dE_p$, d'où $E_p=-\dfrac{k_e}r+C$, et $E_p\to0$ en $r\to\infty$ impose $C=0$ :
$$\boxed{E_p(r)=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\,r}}$$
### Question 7
Dans le référentiel galiléen où $O$ est fixe, avec $\vec p=m_e\vec v$ :
$$\frac{d\vec s}{dt}=\underbrace{\vec v\wedge m_e\vec v}_{=\vec 0}+\vec r\wedge\frac{d\vec p}{dt}=\vec r\wedge\vec F=\vec0,$$
car $\vec F$ (seule force, PFD) est colinéaire à $\vec r$ (force centrale). **$\vec s$ est un vecteur constant.**
Par construction $\vec r\cdot\vec s=\vec r\cdot(\vec r\wedge\vec p)=0$ à tout instant. Si $\vec s\neq\vec0$, $M$ reste donc dans le plan fixe passant par $O$ et orthogonal à $\vec s$ : **le mouvement est plan et son plan contient $O$**. (Si $\vec s=\vec0$, $\vec v$ est colinéaire à $\vec r$ : mouvement rectiligne sur une droite passant par $O$, cas dégénéré écarté dans la suite.)
### Question 8
En polaires dans le plan du mouvement, $\vec v=\dot r\,\vec e_r+r\dot\theta\,\vec e_\theta$ et $\vec s=m_er^2\dot\theta\,\vec e_z$, donc $s=m_er^2|\dot\theta|$ et $r^2\dot\theta^2=s^2/(m_e^2r^2)$. L'électron n'étant soumis qu'à une force conservative, son énergie mécanique est conservée :
$$E=\frac12m_e\left(\dot r^2+r^2\dot\theta^2\right)+E_p(r)=\frac12m_e\dot r^2+U(r),$$
$$\boxed{U(r)=\frac{s^2}{2m_er^2}-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\,r}}$$
### Question 9
**Allure de $U$.** $U(r)\to+\infty$ quand $r\to0^+$ (terme en $1/r^2$), $U(r)\to0^-$ quand $r\to+\infty$. $U'(r)=\dfrac1{r^3}\left(k_er-\dfrac{s^2}{m_e}\right)$ s'annule en changeant de signe en un seul point $r_c$ : $U$ décroît sur $]0,r_c]$, croît sur $[r_c,+\infty[$, et présente un puits de minimum $U_{\min}=U(r_c)<0$. Elle s'annule en $r_c/2$.
**Les quatre types d'orbites.** Comme $\frac12m_e\dot r^2=E-U(r)\geqslant0$, le mouvement radial est restreint à $\{r : U(r)\leqslant E\}$.
1. $E=U_{\min}$ : $r$ est bloqué en $r_c$, trajectoire **circulaire** de rayon $r_c$, parcourue uniformément.
2. $U_{\min}<E<0$ : $r$ oscille entre deux racines $r_{\min}<r_c<r_{\max}$ de $U(r)=E$, soit $r_{\min,\max}=\dfrac{k_e\mp\sqrt{k_e^2-2|E|s^2/m_e}}{2|E|}$ : état **lié**, trajectoire **elliptique** de foyer $O$ (péricentre $r_{\min}$, apocentre $r_{\max}$).
3. $E=0$ : un seul point de rebroussement $r_{\min}=r_c/2$ ; l'électron vient de l'infini et y repart avec une vitesse tendant vers $0$ : trajectoire **parabolique** (état de diffusion limite).
4. $E>0$ : un seul point de rebroussement $r_{\min}=\dfrac{-k_e+\sqrt{k_e^2+2Es^2/m_e}}{2E}$ ; l'électron arrive de l'infini et y repart avec une vitesse non nulle : trajectoire **hyperbolique** (état de diffusion).
(La nature conique des trajectoires est un résultat de cours admis.)
**Trajectoires circulaires.** $U'(r_c)=0$ donne
$$\boxed{r_c(s)=\frac{4\pi\varepsilon_0\,s^2}{m_ee^2}}$$
Sur un cercle, $\vec r\perp\vec p$ donc $s=r_cp_c$ :
$$\boxed{p_c(s)=\frac{s}{r_c}=\frac{m_ee^2}{4\pi\varepsilon_0\,s}}$$
et $E_c=U(r_c)=\dfrac{k_e}{2r_c}-\dfrac{k_e}{r_c}=-\dfrac{k_e}{2r_c}$ :
$$\boxed{E_c(s)=-\frac{m_ee^4}{32\pi^2\varepsilon_0^2\,s^2}}$$
On note que $E_c=-p_c^2/(2m_e)=\frac12E_p(r_c)$.
### II.B L'hypothèse de quantification de Bohr
### Question 10
Le périmètre contient $n$ longueurs d'onde de de Broglie : $2\pi r_c=n\lambda=nh/p_c$, donc $r_cp_c=nh/(2\pi)$. Or $s=r_cp_c$ sur une orbite circulaire :
$$\boxed{s=\frac{nh}{2\pi}=n\hbar,\qquad n\in\mathbb N^*}$$
### Question 11
En reportant $s^2=n^2h^2/(4\pi^2)$ dans les résultats de Q9 :
$$\boxed{r_c(n)=\frac{\varepsilon_0h^2}{\pi m_ee^2}\,n^2,\qquad p_c(n)=\frac{m_ee^2}{2\varepsilon_0h}\cdot\frac1n,\qquad E_c(n)=-\frac{m_ee^4}{8\varepsilon_0^2h^2}\cdot\frac1{n^2}}$$
On retrouve exactement la loi (2), $E_n=-E_0/n^2$, avec
$$\boxed{E_0=\frac{m_ee^4}{8\varepsilon_0^2h^2}}$$
Numériquement $E_0=\dfrac{9{,}1\times10^{-31}\times(1{,}6\times10^{-19})^4}{8\times(8{,}9\times10^{-12})^2\times(6{,}6\times10^{-34})^2}\simeq2{,}2\times10^{-18}$ J $\simeq14$ eV ($13{,}5$ eV avant arrondi), en accord avec les $13$ eV lus en Q3 à la précision de la lecture graphique et des données. Le modèle exprime la constante de Rydberg à l'aide des constantes fondamentales : $R_\infty=\dfrac{m_ee^4}{8\varepsilon_0^2h^3c}$.
### Question 12
$r_c(n)$ croît comme $n^2$ : le rayon minimal est obtenu pour $n=1$,
$$\boxed{r_{c,\min}=\frac{\varepsilon_0h^2}{\pi m_ee^2}=\frac{8{,}9\times10^{-12}\times(6{,}6\times10^{-34})^2}{\pi\times9{,}1\times10^{-31}\times(1{,}6\times10^{-19})^2}\simeq5\times10^{-11}\ \text{m}}$$
C'est le rayon de Bohr ($0{,}05$ nm) : il donne le bon ordre de grandeur de la taille des atomes (dixième de nanomètre) à partir des seules constantes fondamentales, la constante de Planck fixant l'échelle. L'existence d'un rayon minimal non nul rend l'atome stable, ce que le modèle planétaire classique ne pouvait expliquer (une charge accélérée rayonne et l'électron devrait s'effondrer sur le noyau). Le modèle reste toutefois semi-classique : il conserve la notion de trajectoire et postule la quantification sans la justifier.
## III. Ondes de matière en physique microscopique
### III.A États quantiques stationnaires
### Question 13
$|\Psi(x,t)|^2S\,dx$ est la probabilité de trouver la particule dans la tranche $[x,x+dx]$ du cylindre à l'instant $t$ ; l'intégrale sur $\mathscr D$ est donc **la probabilité de trouver la particule dans le domaine, égale à $1$** puisqu'elle y est confinée (condition de normalisation).
Une probabilité est sans dimension et $S\,dx$ est un volume : $|\Psi|^2$ est une densité volumique de probabilité et
$$\boxed{[\Psi]=L^{-3/2}}$$
En reportant $\Psi=\psi(x)e^{-i\omega t}$ dans (4) : $i\hbar\,\partial_t\Psi=\hbar\omega\Psi$ et, après simplification par $e^{-i\omega t}\neq0$,
$$\boxed{-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+V(x)\,\psi(x)=E\,\psi(x)}$$
(équation de Schrödinger stationnaire), et l'énergie de la particule est
$$\boxed{E=\hbar\omega=\frac{h\omega}{2\pi}}$$
### Question 14
Avec $V=V_0$ : $\psi''+\dfrac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}\psi=0$.
- Si $E<V_0$, les solutions sont des combinaisons de $e^{\pm x/\delta}$ avec $\delta=\hbar/\sqrt{2m(V_0-E)}$ : onde évanescente, pas de propagation.
- Si $E=V_0$, $\psi$ est affine : pas de propagation.
- Si $E>V_0$, en posant $k=\sqrt{2m(E-V_0)}/\hbar$ :
$$\boxed{\psi(x)=A\,e^{ikx}+B\,e^{-ikx},\qquad \Psi=A\,e^{i(kx-\omega t)}+B\,e^{-i(kx+\omega t)}}$$
superposition de deux ondes progressives d'amplitude constante.
Il y a propagation sans atténuation si et seulement si $\boxed{E>V_0}$. La longueur d'onde est
$$\boxed{\lambda=\frac{2\pi}k=\frac{h}{\sqrt{2m(E-V_0)}}}$$
Pour une propagation dans un seul sens ($B=0$ par exemple), la relation de de Broglie donne $p=h/\lambda=\hbar k=\sqrt{2m(E-V_0)}$, soit
$$\boxed{K=E-V_0=\frac{p^2}{2m}}$$
**C'est la même relation qu'en mécanique classique non relativiste** ; seule change l'interprétation de $p$, liée à la périodicité spatiale de l'onde et non plus à une trajectoire.
### III.B Ondes stationnaires et états liés
### Question 15
Non, les deux conditions ne sont pas identiques, même si elles procèdent du même principe (une onde stationnaire n'existe que si un nombre entier de « motifs » tient sur la longueur disponible).
- Chez Bohr (figure 3), l'onde se referme sur un cercle : elle doit se retrouver en phase avec elle-même après un tour, soit $2\pi r_c=n\lambda$ : **un nombre entier de longueurs d'onde**, sans nœud imposé (condition de périodicité).
- Sur le segment (figure 4), $\Psi$ s'annule aux deux extrémités ; $n+1$ nœuds distants de $\lambda/2$ découpent $n$ intervalles : $\ell=n\lambda/2$, **un nombre entier de demi-longueurs d'onde** (condition aux limites).
Si l'on déroule le cercle en un segment de longueur $2\pi r_c$, la condition de Bohr n'autorise qu'un nombre pair de demi-longueurs d'onde.
### Question 16
Sur $[0,\ell]$, $V=0$. Si $E\leqslant0$, les solutions de Q14 (exponentielles réelles ou fonction affine) ne s'annulent en $0$ et $\ell$ que si $\psi\equiv0$ : on a donc $E>0$ et, avec $k=\sqrt{2mE}/\hbar$, $\psi=C\sin(kx)+D\cos(kx)$. $\psi(0)=0$ impose $D=0$ ; $\psi(\ell)=0$ avec $C\neq0$ impose $\sin(k\ell)=0$, soit $k\ell=n\pi$, $n\in\mathbb N^*$ ($n=0$ redonnant $\psi\equiv0$). Alors $E=\dfrac{\hbar^2k^2}{2m}=\dfrac{h^2}{8\pi^2m}\cdot\dfrac{n^2\pi^2}{\ell^2}$ :
$$\boxed{E_n=\frac{n^2h^2}{8m\ell^2},\qquad n\in\mathbb N^*}$$
(Cohérent avec $\ell=n\lambda/2$, $p=h/\lambda$ et $E=p^2/2m$.)
### Question 17
$\Delta E=E_2-E_1=\dfrac{3h^2}{8m_n\ell^2}$, donc
$$\ell=h\sqrt{\frac3{8m_n\Delta E}},\qquad \Delta E=30\times10^6\times1{,}6\times10^{-19}=4{,}8\times10^{-12}\ \text{J},$$
$$\ell=6{,}6\times10^{-34}\sqrt{\frac3{8\times1{,}7\times10^{-27}\times4{,}8\times10^{-12}}}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\ell\simeq4{,}5\times10^{-15}\ \text{m}\simeq4{,}5\ \text{fm}}$$
C'est la taille d'un **noyau atomique** (quelques femtomètres), environ $10^4$ fois plus petite que l'atome : la situation décrite est celle d'un **nucléon confiné dans un noyau**, et l'écart de quelques dizaines de MeV est l'ordre de grandeur des énergies nucléaires. Le neutron étant neutre, l'interaction électromagnétique ne peut pas le confiner, et la gravitation est beaucoup trop faible : c'est l'**interaction forte** (nucléaire), attractive et de très courte portée (de l'ordre du femtomètre), qui le retient. Le puits infini à une dimension n'en est qu'un modèle grossier, valable en ordre de grandeur.
### III.C Ondes progressives et diffraction
### Question 18
Un cristal isolé recevant des électrons se charge négativement. Cette charge crée entre les grilles et le cristal un champ qui n'existe pas dans le dispositif idéal : les électrons sont freinés (et déviés) avant l'impact, leur impulsion et donc leur longueur d'onde $\lambda=h/p$ ne sont plus fixées par $V_A$, et cet effet croît au cours du temps jusqu'à repousser complètement le faisceau. **On perd le contrôle de $\lambda$, qui est le paramètre de l'expérience.**
Il faut **relier le cristal aux électrodes A et B** (potentiel $V_A$), et non à la masse. Par conservation de l'énergie, un électron parti de K (potentiel nul, vitesse négligeable) a, en un point de potentiel $V$, l'énergie cinétique $eV$. Cristal relié à A et B : la région B–cristal est équipotentielle, sans champ, et les électrons arrivent avec l'énergie cinétique $eV_A$ (hypothèse de l'énoncé). Cristal à la masse (potentiel $0$) : leur énergie cinétique au niveau du cristal serait nulle, ils seraient intégralement freinés entre B et le cristal et rebrousseraient chemin.
### Question 19
Entre K ($V=0$, vitesse négligeable) et A ($V_A$), seule la force électrique travaille ; le théorème de l'énergie cinétique donne $\frac12m_ev^2=(-e)(0-V_A)=eV_A$. Donc
$$\boxed{p=\sqrt{2m_e\,e\,V_A}}$$
Au-delà de A, la région est équipotentielle et $p$ se conserve. En prenant l'origine des énergies potentielles dans cette région (onde plane libre $\Psi_\text{inc}$ de l'énoncé, $V(x)=0$) :
$$\boxed{E=\frac{p^2}{2m_e}=e\,V_A}$$
### Question 20
$[|\Psi|^2]=L^{-3}$ (Q13) et $[\vec p/m_e]=L\,T^{-1}$, donc
$$\boxed{[\vec J]=L^{-2}\,T^{-1}}$$
$\vec J=|\Psi|^2\vec v$ est une densité de courant de probabilité : produit d'une densité volumique par une vitesse, son flux à travers une surface est le **nombre d'électrons (ou la probabilité) traversant cette surface par unité de temps**. Pour l'onde incidente, $|\Psi_\text{inc}|^2=\psi_0^2$ et $J=\psi_0^2p/m_e$ ; c'est exactement $\Phi_0$ (nombre d'électrons par unité de section droite et de temps) :
$$\boxed{\psi_0=\sqrt{\frac{m_e\,\Phi_0}{p}}}$$
Il n'y a **pas de perte de généralité** : une amplitude complexe $|\psi_0|e^{i\varphi}$ ne diffère que par un facteur de phase global, constant, qui disparaît de $|\Psi|^2$, de $\vec J$ et de toute grandeur observable.
### Question 21
Sur la figure 6, la flèche qui mesure $a$ est portée par la droite en pointillés, perpendiculaire aux alignements d'atomes : les pointillés sont la **normale** aux plans réticulaires, bissectrice de l'angle $\theta$ entre la direction de retour vers la source et le faisceau diffracté (loi de la réflexion). L'angle d'incidence, mesuré par rapport à la normale, vaut donc $\theta/2$.
Soient $I$ et $J$ deux points de réflexion sur deux plans consécutifs, sur une même normale ($\vec{IJ}=a\vec n$), $\vec u$ et $\vec u\,'$ les directions incidente et diffractée. La différence de marche du rayon passant par $J$ vaut
$$\delta=\vec{IJ}\cdot(\vec u-\vec u\,')=a\left(\cos\frac\theta2+\cos\frac\theta2\right)$$
$$\boxed{\delta=2a\cos\frac\theta2}$$
Les plans étant équidistants et très nombreux, l'intensité diffractée est maximale quand les ondes réfléchies par deux plans consécutifs sont en phase :
$$\boxed{2a\cos\frac\theta2=q\,\lambda,\qquad q\in\mathbb N^*}$$
### Question 22
D'après Q19, $\lambda=\dfrac h{\sqrt{2m_eeV}}$, donc à $\theta$ fixé la condition de Q21 s'écrit
$$q=\frac{2a\cos(\theta/2)\sqrt{2m_ee}}{h}\,\sqrt V :$$
l'ordre est proportionnel à $\sqrt V$, et **les maxima sont équidistants sur un axe en $\sqrt V$**, ce qui justifie ce choix d'abscisse.
Sur la figure 7, les maxima se lisent à $\sqrt V\simeq8{,}0$ ; $11{,}4$ ; $14{,}7$ ; $18{,}2$ ; $21{,}2$ ; $24{,}3\ \text{V}^{1/2}$, soit un écart moyen $\Delta\sqrt V\simeq(24{,}3-8{,}0)/5\simeq3{,}3\ \text{V}^{1/2}$ correspondant à $\Delta q=1$ :
$$a=\frac{h}{2\cos(\theta/2)\sqrt{2m_ee}\;\Delta\sqrt V}=\frac{6{,}6\times10^{-34}}{2\times0{,}91\times5{,}4\times10^{-25}\times3{,}3}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{a\simeq2\times10^{-10}\ \text{m}}$$
avec $\sqrt{2m_ee}=\sqrt{2\times9{,}1\times10^{-31}\times1{,}6\times10^{-19}}\simeq5{,}4\times10^{-25}$ SI.
Cette distance de $0{,}2$ nm est l'ordre de grandeur des distances interatomiques dans un solide (quelques rayons de Bohr) ; elle est comparable à la longueur d'onde des électrons ($\lambda\simeq1{,}5\times10^{-10}$ m à $64$ V), condition nécessaire à l'observation de la diffraction. L'expérience confirme ainsi quantitativement la relation de de Broglie. Les positions absolues des maxima ne sont pas des multiples entiers de $\Delta\sqrt V$ ($8{,}0/3{,}3\simeq2{,}5$) : le modèle néglige notamment la modification de la longueur d'onde des électrons à l'intérieur du cristal ; c'est pourquoi on exploite l'écart entre maxima.
### III.D Retour sur l'atome d'hydrogène
### Question 23
$|\Psi|^2=\psi_0^2e^{-2r/R}$ ne dépend que de $r$. En intégrant sur la coquille $[r,r+dr]$, de volume $4\pi r^2dr$ (intégrale angulaire donnée) : $\rho(r)=4\pi\psi_0^2r^2e^{-2r/R}$. La normalisation $\int_0^\infty\rho\,dr=1$, avec $x=2r/R$, donne $4\pi\psi_0^2\cdot\dfrac{R^3}8\cdot2=1$, soit $\psi_0^2=\dfrac1{\pi R^3}$ :
$$\boxed{\rho(r)=\frac4{R^3}\,r^2\,e^{-2r/R}}$$
$\rho(0)=0$, $\rho\to0$ en $+\infty$, et $\rho'(r)=\dfrac{8r}{R^3}e^{-2r/R}\left(1-\dfrac rR\right)$ : $\rho$ croît sur $[0,R]$, décroît ensuite, maximum $\rho(R)=4e^{-2}/R\simeq0{,}54/R$.
**$R$ est la distance électron–noyau la plus probable** (rayon de la coquille où la probabilité de présence par unité d'épaisseur est maximale).
### Question 24
$f$ vérifie l'équation de Schrödinger stationnaire à trois dimensions avec le potentiel de Q6 :
$$-\frac{\hbar^2}{2m_e}\Delta f-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}f=Ef.$$
Seul le terme radial du laplacien subsiste : $f'=-f/R$, $\dfrac{d}{dr}\left(r^2f'\right)=\left(-\dfrac{2r}R+\dfrac{r^2}{R^2}\right)f$, donc $\Delta f=\left(\dfrac1{R^2}-\dfrac2{Rr}\right)f$. Après division par $f\neq0$ :
$$\left(-\frac{\hbar^2}{2m_eR^2}-E\right)+\left(\frac{\hbar^2}{m_eR}-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\right)\frac1r=0\quad\text{pour tout }r>0.$$
Les fonctions $1$ et $1/r$ étant indépendantes (faire $r\to\infty$ puis $r\to0$), les deux coefficients sont nuls :
$$\boxed{R=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_ee^2}=\frac{\varepsilon_0h^2}{\pi m_ee^2}},\qquad\boxed{E=-\frac{\hbar^2}{2m_eR^2}=-\frac{m_ee^4}{8\varepsilon_0^2h^2}}$$
Ce sont exactement le rayon $r_c(1)\simeq5\times10^{-11}$ m et l'énergie $E_c(1)=-E_0$ du niveau fondamental de Bohr (Q11, Q12). Mais $R$ n'est plus le rayon d'une trajectoire : c'est la distance la plus probable (Q23), l'électron étant délocalisé ; et la quantification découle de l'équation d'onde (forme normalisable imposée) au lieu d'être postulée.
### Question 25
$$\langle V\rangle=\int_0^\infty\left(-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}\right)\rho(r)\,dr=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac4{R^3}\int_0^\infty r\,e^{-2r/R}dr=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac4{R^3}\cdot\frac{R^2}4$$
(avec $x=2r/R$ et $\int_0^\infty xe^{-x}dx=1$), d'où, avec $R$ de Q24,
$$\boxed{\langle V\rangle=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R}=-\frac{m_ee^4}{4\varepsilon_0^2h^2}=-2E_0=2E\simeq-27\ \text{eV}}$$
L'énergie totale $E=\langle K\rangle+\langle V\rangle$ vaut $-E_0$ (Q24), donc
$$\boxed{\langle K\rangle=E-\langle V\rangle=-E=E_0\simeq13{,}5\ \text{eV}}$$
**Commentaire.** $\langle K\rangle>0$ et $\langle V\rangle<0$ : l'électron est lié ($E<0$) bien que son énergie cinétique moyenne soit positive. On a $2\langle K\rangle+\langle V\rangle=0$ : c'est la même répartition que sur l'orbite circulaire classique ($E_c=\frac12E_p$, Q9), propre aux potentiels en $1/r$ (théorème du viriel). L'énergie d'ionisation de l'atome dans son état fondamental vaut $E_0$. Enfin $\sqrt{\langle v^2\rangle}=\sqrt{2E_0/m_e}\simeq2\times10^6$ m/s $\approx c/140$ : le traitement non relativiste est justifié.
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