Maths D

# ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D’ADMISSION 2021

JEUDI 15 AVRIL 2021

08h00 - 14h00

FILIERE MP - Epreuve n° 7

MATHEMATIQUES D (U)

Durée : 6 heures

L’utilisation des calculatrices n’est pas

autorisée pour cette épreuve

Le sujet comprend 7 pages, num´erot´ees de 1 `a 7.

***

D´ebut du sujet

Produit de matrices al´eatoires: le th´eor`eme de

Furstenberg–Kesten

Notations : Dans tout le probl`eme, d > 1 est un entier fix´e. On note Md(C) l’ensemble des

matrices carr´ees d ⇥d `a coefficients dans C et GLd(C) le sous-ensemble des matrices inversibles.

qPd

i=1 |xi|2 sur Cd et |||·||| sa norme op´erateur associ´ee i.e

On note k · k la norme usuelle kxk =

|||A||| = sup{kAxk : x 2 Cd tel que kxk = 1}, pour A 2 Md(C).

Si (Xn)n>1 sont des variables al´eatoires r´eelles, on dit que (Xn) converge en probabilit´e vers

(P) −−−!

` 2 R, et on note Xn

n!1 `, si

8" > 0, P(|Xn −`| > ") −−−!

n!1 0.

On consid`ere µ une mesure de probabilit´e sur GLd(C) de support S = {s1, s2, . . . , sk} fini, i.e.

pour 1 6 i 6 k

µ({si}) = pi avec p1, p2, · · · , pk > 0, p1 + · · · + pk = 1.

On suppose construit, sur un espace probabilis´e (⌦, F, P), une suite M(1), M(2), . . . , M(n), . . .

de matrices al´eatoires ind´ependantes et `a valeurs dans S identiquement distribu´ees de loi µ. Le

but principal du probl`eme est d’´etudier le produit de matrices al´eatoires inversibles

n := M(n) · M(n−1) · · · M(1)

quand n ! 1 et d’´etablir le th´eor`eme de Furstenberg–Kesten (1960): il existe une constante

`(µ) 2 R telle que

1 n log ||| n|||

(P) −−−!

n!1 `(µ). (1)

Les parties I,II, III et IV sont relativement ind´ependantes. Les r´esultats n´ecessaires sont

rappel´es en d´ebut de chaque partie. `A part dans la question pr´eliminaire ci-dessous on suppose

d > 2.

0). Question pr´eliminaire. Dans cette question uniquement, d = 1, c’est-`a-dire que l’on

consid`ere un produit n = Z(n) · · · Z(1) de nombres al´eatoires ind´ependants de loi µ sur

R⇤`a support fini. En appliquant la loi faible des grands nombres, montrer que

1 n log | n|

(P) −−−!

n!1 E[log |Z(1)|].

Partie I. Puissance d’une matrice et th´eor`eme de Gelfand

Fixons A 2 Md(C) une matrice non nulle. Dans cette section, on ´etudie le comportement du

produit An pour n > 1. On introduit

⇢(A) = max{|λ| : λ 2 Spec(A)},

o`u Spec(A) est l’ensemble des valeurs propres (complexes) de A. Le but de cette partie est de

montrer le th´eor`eme de Gelfand en question I.4).

1). Soit A, B 2 Md(C). Montrer que |||AB||| 6 |||A||| · |||B|||.

2). Montrer que pour tout n > 1 on a ⇢(A)n 6 |||An|||.

3). On suppose que A = (ai,j)16i,j6d est triangulaire sup´erieure.

a). Montrer que pour i 6 j on peut ´ecrire

X

(An)i,j =

ai1,j1ai2,j2 . . . ain,jn,

i1,j1,i2,j2,...,in,jn2En(i,j)

o`u En(i, j) est l’ensemble des indices 1 6 i1, j1, . . . , in, jn 6 d satisfaisant

• i = i1, j1 = i2, j2 = i3, . . . , jn−1 = in et jn = j,

• ik 6 jk pour tout 1 6 k 6 n,

• ik 6= jk pour au plus d −1 valeurs de 1 6 k 6 n.

b). En reliant #En(i, j) au cardinal des suites (ui)06i6n strictement croissantes de n + 1

entiers telles que u0 = 0 et un = n + (j −i), montrer que

✓n −1 + (j −i)

◆

#En(i, j) =

.

n −1

c). En d´eduire qu’il existe une constante CA > 0 telle que pour tout n > d, les coefficients

de An sont born´es en valeur absolue par

CA · nd−1 · ⇢(A)n.

4). (On revient au cas g´en´eral, A n’est plus forc´ement triangulaire sup´erieure). En d´eduire le

th´eor`eme de Gelfand (1941)

1 n log|||An||| = log ⇢(A) 2 R [ {−1}.

lim n!1

5). Soit N(·) une norme quelconque sur Md(C). Montrer que l’on a ´egalement 1 n log N(An) !

log ⇢(A) quand n ! 1.

Les derni`eres questions de cette partie donnent des raffinements autour du th´eor`eme de Gelfand.

Les r´esultats ne seront pas utilis´es dans la suite.

6). a). En utilisant le th´eor`eme de Cayley–Hamilton, montrer que

✓d

◆

d X

|||Ad||| 6

⇢(A)k|||Ad−k|||

k

k=1

et en d´eduire que |||Ad||| 6 (2d −1)⇢(A)|||A|||d−1.

b). Si A 6= 0, montrer que pour tout n > 1 on a

|||And|||

(2d −1)|||An|||d−1 6 ⇢(A)n 6 |||An|||,

⇣

⌘1/n

|||And||| (2d−1)|||An|||d−1

et que

! ⇢(A) quand n ! 1.

c). Montrer que A 7! ⇢(A) est continue.

Partie II. Exposants de Lyapunov via la sous-additivit´e

Dans cette partie, on montre une version “en esp´erance” de (1) en utilisant les propri´et´es des

suites sous-additives. Soit (un)n>1 une suite prenant ses valeurs dans R [ {−1}. On dit que

(un)n>1 est sous-additive si pour tout n, m > 1 on a

un+m 6 un + um.

1). Soit (un)n>1 une suite sous-additive.

a). Soit k0 > 1, en utilisant la division Euclidienne de n par k0 montrer que pour tout

n > 1 on a

un

n 6 uk0

+ max16i6k0−1 ui

n .

k0

b). Lemme de Fekete. En d´eduire que

un

uk

k 2 R [ {−1}.

n −−−!

n!1 inf

k>1

uk

k = −1 de celui o`u il est fini.

On pourra traiter s´epar´ement le cas o`u infk>1

2). Applications aux matrices al´eatoires. Avec les notations introduites au d´ebut du sujet.

a). Montrer qu’il existe des constantes ↵, β > 0 d´ependantes de S seulement telles que

pour tout ! 2 ⌦on a

8n > 1, ↵n 6 ||| n(!)||| 6 βn.

b). Montrer que

(E [log||| n|||])n>1 et (log E [||| n|||])n>1

sont sous-additives.

c). En d´eduire qu’il existe des constantes `(µ), ⇠(µ) 2 [log ↵, log β] telles que

1 nE [log ||| n|||] −−−!

n!1 `(µ) et 1 n log E [||| n|||] −−−!

n!1 ⇠(µ). (2)

3). Premi`eres propri´et´es.

a). Montrer que `(µ) 6 ⇠(µ) et donner un exemple o`u l’in´egalit´e est stricte.

⇥

)

|det(M(1))|1/d*⇤

b). Montrer que `(µ) > E

et que ⇠(µ) > log E[|det(M(1))|1/d].

log

c). Pour A = (ai,j)16i,j6d 2 Md(C) on introduit la norme

X

N(A) =

16i,j6d |ai,j|.

Si M est une variable al´eatoire `a valeurs dans Md(C) on notera E[M] la matrice des

esp´erances des coefficients de M.

i. Montrer que l’on a

1 nE [log N ( n)] −−−!

n!1 `(µ) et 1 n log E [N ( n)] −−−!

n!1 ⇠(µ).

ii. On suppose dans cette question seulement que la matrice al´eatoire M(1) n’a que

des coefficients positifs, c’est-`a-dire que les matrices {s1, . . . , sk} du support de

µ sont toutes `a coefficients positifs. Montrer alors que

⇣⇣

⌘n⌘

E[N( n)] = N

E[M(1)]

et en d´eduire que ⇠(µ) = log ⇢(E[M(1)]).

iii. Dans le cas g´en´eral du sujet montrer que

⇠(µ) 6 log ⇢(E[|M(1)|])

o`u pour A = (ai,j)16i,j6d on note |A| = (|ai,j|)16i,j6d.

Partie III. Calcul de `(µ) et ⇠(µ) dans des cas particuliers

On rappelle la d´efinition de `(µ) et ⇠(µ) vue en II.2.c). Bien entendu, dans le cas o`u les

matrices M(i) sont d´eterministes et ´egales `a A, on obtient ⇠(µ) = `(µ) = log ⇢(A) d’apr`es le

th´eor`eme de Gelfand I.4). Dans cette section, on trouve une formule explicite de `(µ) et de ⇠(µ)

dans certains cas tr`es particuliers.

1). Matrices diagonales. On suppose dans cette question que Supp(µ) est un sous ensemble

fini des matrices diagonales de GLd(C). C’est-`a-dire que l’on peut ´ecrire pour tout ! 2 ⌦

M(i)

1,1(!) 0 ...

B B @

C C A avec M(i)

M(i)(!) =

k,k(!) 6= 0.

0 M(i)

d,d(!)

a). Montrer que

16k6d E[log |M(1) k,k|] et ⇠(µ) > max

16k6d log E[|M(1) k,k|].

`(µ) > max

16k6d log E[|M(1) k,k|].

b). Montrer que ⇠(µ) = max

16k6d E[log |M(1) k,k|].

c). Montrer que `(µ) = max

2). Matrices commutantes. On suppose cette fois-ci que toutes les matrices du support S

de µ commutent.

a). Montrer qu’on peut trouver une base B dans laquelle toutes les matrices de S sont

triangulaires sup´erieures.

b). Montrer que

16k6d E[log |M(1) k,k|] et ⇠(µ) = max

16k6d log E[|M(1) k,k|]

`(µ) > max

o`u M(1) = (M(1)

i,j )16i,j6d est l’´ecriture de la matrice al´eatoire M(1) dans la base B de

la question pr´ec´edente.

16k6d E[log |M(1) k,k|] `a la fin de la partie IV.

Nous montrerons que `(µ) = max

3). L’´echangeur. Dans cette question, on consid`ere la mesure de probabilit´e µp pour p 2 [0, 1]

d´efinie par µp = pδD + (1 −p)δR o`u

!

!

2 0

0 −1

D =

et R =

0 1 2

1 0

et on notera M(i) pour i ≥1 (la d´ependance en p est implicite) des matrices al´eatoires

ind´ependantes identiquement distribu´ees de loi µp. C’est-`a-dire que M(i) = D avec probabilit´e p et M(i) = R avec probabilit´e (1 −p) ind´ependamment pour tout i > 1. On ´ecrira

e1 = (1, 0) et e2 = (0, 1) pour la base canonique de R2.

a). Calculer `(µ0), ⇠(µ0), `(µ1) et ⇠(µ1).

On fixe maintenant p 2]0, 1[ et pour 1 6 i 6 n on note les variables al´eatoires

8 > > <

0 si M(i) = R

1 si M(i) = D et #{1 6 j 6 i : M(j) = R} est pair

χi =

> > :

−1 si M(i) = D et #{1 6 j 6 i : M(j) = R} est impair.

b). Montrer que

Pn

i=1 χi et k ne2k = 2−Pn

i=1 χi,

k ne1k = 2

et en d´eduire que ||| n||| = 2| Pn

i=1 χi|.

c). Pour i > 1 prouver que E[χi] = p(2p −1)i−1 et en d´eduire E[χiχj] = p2(2p −1)j−i−1

pour 1 6 i < j 6 n.

d). Montrer que

!23

n X

1 n

E

5 ! 0 quand n ! 1.

χi

i=1

e). En d´eduire que `(µp) = 0 pour p 2]0, 1[.

f). Avec les notations de la question II.3).c), montrer que pour tout n > 1 on a

⇣)

*n⌘ .

E[N( n)] = N

E[|M(1)|]

g). En d´eduire que pour tout p 2]0, 1[ on a

!

5p + p

16 −32p + 25p2

⇠(µp) = log

.

Dans la suite du probl`eme, on se focalisera sur la constante `(µ) d´efinie en II.2).c). Nous

allons voir que cette constante gouverne le comportement “typique” (i.e. avec grande probabilit´e)

de la norme de ||| n|||, contrairement `a ⇠(µ) qui peut ˆetre influenc´ee par les valeurs “atypiques”

de ||| n|||.

Partie IV. Le th´eor`eme de Furstenberg–Kesten

Dans cette section, on ´etablit le th´eor`eme de Furstenberg–Kesten (1) en “renfor¸cant” la convergence en esp´erance obtenue dans II.2) en une convergence en probabilit´e. On rappelle que

n = M(n) · · · M(1) est un produit de n matrices al´eatoires, identiquement distribu´ees et de

mˆeme loi µ de support fini S ⇢GLd(C).

1). Soit k0 > 1, n > 1 et ´ecrivons n = qk0 + r la division Euclidienne de n par k0. Montrer

que l’on peut ´ecrire

||| n||| 6 |||Q(1)

k0 ||| · |||Q(2)

k0 ||| · · · |||Q(q)

k0 ||| · |||Qr|||,

o`u les Q(i)

k0 sont ind´ependantes, de mˆeme loi que k0, et ´egalement ind´ependantes de Qr qui a la mˆeme loi que r.

2). En appliquant la loi faible des grands nombres, d´eduire que pour tout " > 0 on a

✓1

◆

n log||| n||| > `(µ) + "

P

−−−!

n!1 0.

3). Soit (Xn)n>1 des variables al´eatoires `a valeurs dans [a, b] ⇢R satisfaisant pour un certain

` 2 [a, b]:

• limn!1 E[Xn] = `,

• 8" > 0, limn!1 P(Xn 6 ` + ") = 1.

Prouver que Xn ! ` en probabilit´e quand n ! 1.

4). En d´eduire le Th´eor`eme de Furstenberg–Kesten (1960) : 1 n log ||| n|||

(P) −−−!

n!1 `(µ).

Voyons une application de ce r´esultat `a l’exemple ´etudi´e en III. 2).

5). Avec les mˆemes hypoth`eses et notations qu’en III.2).b), nous allons montrer que

`(µ) 6 max

16k6d E[log |M(1) k,k|].

On commencera par le cas d = 2 et on ´ecrira

!

X(n)

1,1 X(n)

1,2 0 X(n)

n =

.

2,2

Raisonnons par l’absurde et supposons que `(µ) > max16k62 E[log |M(1)

k,k|].

1,2 | (P) −−−!

n log |X(n)

a). Montrer alors que 1

n!1 `(µ).

b). En ´ecrivant

X(2n)

1,2 = X(n)

1,1 ˜X(n) 1,2 + X(n) 1,2 ˜X(n) 2,2 ,

o`u ( ˜X(n)

i,j )16i,j62 et (X(n)

i,j )16i,j62 sont deux copies ind´ependantes de n, aboutir `a une

contradiction.

c). Comment proc´ederiez-vous dans le cas g´en´eral d > 2 ?

***

Fin du sujet.

Ce th´eor`eme ´etabli en 1960 par Hillel Furstenberg (1935–) et Harry Kesten (1931–2019) peut

ˆetre vu comme une g´en´eralisation de la loi des grands nombres au cas du produit non-commutatif

de matrices al´eatoires. Il a de nombreuses applications dans la th´eorie des syst`emes dynamiques.

H´elas, le calcul explicite de `(µ), mˆeme dans des cas tr`es simples, est souvent impossible.