Maths D

# ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D’ADMISSION 2020

JEUDI 23 AVRIL 2020 - 8h00 – 14h00

FILIERE MP - Epreuve n° 7

MATHEMATIQUES D

(U)

Durée : 6 heures

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve

Le sujet comprend 9 pages, num´erot´ees de 1 `a 9

* * *

D´ebut du sujet

D´efinitions et notations

• Si A est un ensemble fini, on note Card A son cardinal.

• Pour n ∈N∗, on note ∆n = {1, . . . , n}. Si A est une partie de R de cardinal n, on note βA l’unique bijection croissante de A sur ∆n.

• On note Σn le groupe des bijections de ∆n sur ∆n. Si n ≥2, on note MD(n) l’ensemble des ´el´ements σ ∈Σn qui v´erifient la condition (de mont´ee-descente) :

pour 1 ≤k ≤n−1 : σ(k) < σ(k+1) si k est impair, σ(k) > σ(k+1) si k est pair ;

et on note DM(n) l’ensemble des ´el´ements σ ∈Σn qui v´erifient la condition (de descentemont´ee) :

pour 1 ≤k ≤n−1 : σ(k) > σ(k+1) si k est impair, σ(k) < σ(k+1) si k est pair.

• Soit f une fonction de R dans R. Un maximum (resp. minimum) relatif de f est un r´eel x tel qu’il existe ε > 0 tel que f(y) ≤f(x) (resp. f(y) ≥f(x)) pour tout y ∈]x −ε, x + ε[. Un maximum (resp. minimum) relatif strict de f est un r´eel x tel qu’il existe ε > 0 tel que f(y) < f(x) (resp. f(y) > f(x)) pour tout y ∈]x −ε, x + ε[\{x}. Un extremum relatif est un point de R qui est soit un maximum relatif, soit un minimum relatif. Un extremum relatif strict est un point de R qui est soit un maximum relatif strict, soit un minimum relatif strict.

• La droite r´eelle sera toujours munie de la norme associ´ee `a la valeur absolue.

• Une fonction f de R dans R est dite simple si elle est continue, si l’ensemble E(f) des extremums relatifs de f est fini et si la restriction de f `a E(f) est injective.

• On note S l’ensemble des fonctions simples de R dans R, et, pour n ∈N, on note Sn l’ensemble des fonctions f ∈S telles que Card E(f) = n. On note enfin S∗= ∪n≥2Sn.

• Les composantes connexes par arcs d’une partie d’un espace norm´e seront simplement appel´ees les composantes de cette partie.

• On note R[X] l’espace des polynˆomes `a coefficients r´eels. Si P = ∑n i=0 aiXi ∈R[X] et si A est une alg`ebre sur R, pour x ∈A on pose P(x) = ∑n

i=0 aixi.

Les parties II, III, IV, V sont ind´ependantes.

Partie I

1. a. V´erifier que les extremums relatifs des fonctions de S sont stricts.

b. Soit f ∈S. Montrer que la restriction de f `a l’adh´erence de chaque composante de R\E(f) est strictement monotone. En d´eduire que si x ∈E(f)\{Max E(f)} est un maximum (resp. minimum) relatif, le plus petit ´el´ement y de E(f) v´erifiant y > x est un minimum (resp. maximum) relatif.

(

)

c. Soit f ∈Sn avec n ≥2. On pose E (f) = f

E(f)

. Soit σf l’´el´ement de Σn d´efini par

σf = βE (f) ◦f ◦β−1

E(f).

Montrer que σf ∈MD(n) ∪DM(n).

2. On d´efinit une relation ∼sur S de la mani`ere suivante : pour tout couple (f, g) de S2, f ∼g si et seulement si il existe deux bijections continues φ : R →R et ψ : R →R, strictement croissantes, qui v´erifient f = ψ ◦g ◦φ.

a. V´erifier que ∼est une relation d’´equivalence sur S et montrer que chaque classe d’´equivalence de ∼est contenue dans l’un des ensembles Sn, n ∈N.

b. Soient n ∈N∗et {u1, . . . , un}, {v1, . . . , vn} des parties de R qui v´erifient u1 < · · · < un et v1 < · · · < vn. V´erifier qu’il existe une bijection continue χ : R →R strictement croissante telle que χ(uk) = vk pour 1 ≤k ≤n.

c. On suppose que f et g sont dans S∗et que

lim x→±∞|f(x)| = +∞, lim x→±∞|g(x)| = +∞.

D´emontrer que f ∼g si et seulement si σf = σg.

d. L’´equivalence pr´ec´edente subsiste-t-elle pour deux fonctions f et g quelconques de S∗?

3. On note C0

b l’espace des fonctions continues born´ees de R dans R, que l’on munit de la norme uniforme : ∥f∥= Sup

|f(x)| pour f ∈C0

b .

x∈R

a. Soient n ∈N∗, {u1, . . . , un} ⊂R et {v1, . . . , vn} ⊂R avec u1 < · · · < un et v1 < · · · < vn. Montrer qu’il existe une application continue ζ : [0, 1] × R →R telle que :

– pour s ∈[0, 1], la fonction x 7→ζ(s, x) est une bijection strictement croissante de R sur R, – ζ(0, x) = x pour x ∈R et ζ(1, uk) = vk, 1 ≤k ≤n.

b. D´emontrer que les classes d’´equivalence de la restriction de ∼`a S∗∩C0

b sont connexes par arcs.

c. Donner un exemple d’arc continu γ : [0, 1] →S ∩C0

b tel que γ(0) ∈S0 et γ(1) ∈S2.

Partie II

Dans cette partie, pour n ∈N, on note Pn l’espace des fonctions polynˆomiales de R dans R de degr´e au plus n.

1. Soit n ∈N∗. On note Id l’application identique de Rn. On munit Rn d’une norme not´ee ∥∥et l’espace des applications lin´eaires de Rn dans Rn de la norme associ´ee, encore not´ee ∥∥. Pour x ∈Rn et r ∈R+, on note B(x, r) (resp. B(x, r]) la boule ouverte (resp. ferm´ee) de centre x et de rayon r. Soit O un ouvert de Rn contenant 0 et soit f : O →Rn une application de classe C1 telle que f(0) = 0 et dont la diff´erentielle φ en 0 est inversible.

a. On pose

g = Id −φ−1 ◦f.

Montrer que g est de classe C1 sur O et qu’il existe ε > 0 tel que B(0, ε) ⊂O et ∥Dg(x)∥≤1

2 pour x ∈B(0, ε). En d´eduire que f est injective dans B(0, ε).

b. Soit 0 < r < ε et soit z0 ∈B(0, r/2). On pose h(x) = g(x) + z0 pour x ∈O. Montrer que

(

)

h

B(0, r]

⊂B(0, r].

c. Montrer qu’il existe a ∈B(0, r] tel que f(a) = φ(z0).

(

)

et V = f −1(W) ∩B(0, ε). Montrer que V et W sont ouverts et que f|V est un hom´eomorphisme de V sur W.

d. Soient W = φ

B(0, r/2)

2. Soit O un ouvert de Rn et soit f : O →Rn une application de classe C1 dont la diff´erentielle en x est inversible pour tout x ∈O. D´emontrer que l’image par f d’un ouvert de O est un ouvert de Rn.

3. Pour n ≥2, soit On−1 = {

}

(x1, . . . , xn−1) ∈Rn−1 | 0 < x1 < x2 < · · · < xn−1

et soit Un−1 l’ensemble des (n −1)-uples (y1, . . . , yn−1) ∈Rn−1 tels que

0 < y1, yi > yi+1 si i ∈{1, . . . , n −2} est impair, yi < yi+1 si i ∈{1, . . . , n −2} est pair.

Pour x ∈On−1, on d´efinit la fonction πx ∈Pn par πx(t) = t(x1 −t) · · · (xn−1 −t). On d´efinit l’application Y = (Y1, . . . , Yn−1) : On−1 →Rn−1 par

∫xi

Yi(x) =

0 πx(u) du, x = (x1, . . . , xn−1) ∈On−1.

a. Soient j ∈{1, . . . , n −1} et x ∈On−1. Montrer que

∫t

∏

dx,j : t 7→

0 u

1≤ℓ≤n−1, ℓ̸=j (xℓ−u) du

est dans Pn et s’annule avec sa d´eriv´ee en 0. En d´eduire l’existence de χx,j ∈Pn−2 v´erifiant

∀t ∈R, dx,j(t) = t2χx,j(t).

b. Pour x ∈On−1 et (i, j) ∈{1, . . . , n −1}2, montrer l’existence de ∂Yi

(x) et v´erifier que

∂xj

∂Yi ∂xj

(x) = dx,j(xi).

En d´eduire que Y est une application de classe C1 sur l’ouvert On−1, `a valeurs dans Un−1.

{

}

c. D´emontrer que pour x ∈On−1, la partie

χx,j | j ∈{1, . . . , n−1}

est une base de Pn−2.

d. En d´eduire que la diff´erentielle de Y au point x est inversible.

4. Pour n ∈N, une fonction de Pn est dite unitaire lorsque le coefficient de son terme de degr´e n est 1. On note Pu

{ ∫1

0 |f(t)| dt | f ∈Pu n}.

n l’ensemble de ces fonctions. On note Cn = Inf

a. Montrer que Cn > 0. b. Pour n ≥2, d´emontrer que si x ∈On−1

[

)]

n−2 ∑

(−1)i(

(xn−1)n+1 ≤1

Yi+1(x) −Yi(x)

Y1(x) +

.

Cn

i=1

c. V´erifier que l’application Y se prolonge continˆument `a l’adh´erence de On−1.

d. Montrer que si K est un compact de Rn−1 contenu dans Un−1, Y −1(K) est compact.

5. Montrer que Y (On−1) est ouverte et ferm´ee dans Un−1 et en d´eduire que Y est surjective.

6. Montrer que pour tout n ∈N, pour toute fonction f de Sn v´erifiant limx→±∞|f(x)| = ±∞, il existe un ´el´ement g ∈Pn+1 tel que f ∼g (o`u ∼est la relation d´efinie en I.2).

Partie III

Soit n ∈N∗. Pour k ∈N, on note B(n, k) l’ensemble des applications σ ∈MD(n + 1) telles que

σ(2) −σ(1) = k + 1

Pour k ∈N et s ∈N, on note C(n, s, k) l’ensemble des ´el´ements σ de MD(n + 2) tels que

σ(2) −σ(1) = s + 1, n + 2 −σ(2) = k.

1. Pour m ≥2 v´erifier que l’application Opp : Σm →Σm, qui `a σ ∈Σm associe η ∈Σm d´efini par

η(i) = m + 1 −σ(i),

(

)

(

)

= MD(m). V´erifier que si σ ∈Σm et si i, j sont des ´el´ements de {1, . . . , m} v´erifiant σ(j) > σ(i),

est une bijection v´erifiant Opp

MD(m)

= DM(m) et Opp

DM(m)

{

}

σ(j) −σ(i) = 1 + Card

k ∈∆m | σ(i) < σ(k) < σ(j)

.

2. `A quelle condition (n´ecessaire et suffisante) sur n et k l’ensemble B(n, k) est-il non vide ? `A quelle condition (n´ecessaire et suffisante) sur n, s et k l’ensemble C(n, s, k) est-il non vide ?

3. Dans cette question et la suivante, on fixe n ≥2, 1 ≤k ≤n −1 et 1 ≤s ≤n −k. On se propose de construire une bijection de C(n, s, k) sur B(n, k). Soit σ ∈C(n, s, k).

a. V´erifier que le nombre m d’entiers j ≥4 tels que σ(j) > σ(3) v´erifie m ≥k. On note j1, . . . , jm ces entiers, que l’on ordonne de telle mani`ere que σ(j1) < σ(j2) < · · · < σ(jm).

b. On consid`ere la fonction ξ : ∆n+1 →N ∪{σ(jk) + 1

2} d´efinie par

ξ(1) = σ(jk) + 1

2, ξ(2) = σ(3), . . . , ξ(n + 1) = σ(n + 2).

Montrer que ξ v´erifie

ξ(p) > ξ(p + 1) pour p impair, ξ(p) < ξ(p + 1) pour p pair,

et que l’intervalle ]ξ(2), ξ(1)[ contient exactement k ´el´ements de {ξ(3), . . . , ξ(n + 1)}.

c. On note A = ξ(∆n+1) et on pose ξ = βA ◦ξ (on rappelle que βA d´esigne l’unique bijection croissante de A sur ∆n+1). Montrer que ξ ∈DM(n + 1).

d. Soit η = Opp(ξ). V´erifier que η ∈B(n, k).

On note Ψn,s,k l’application de C(n, s, k) dans B(n, k) d´efinie par Ψn,s,k(σ) = η.

4. Soit η ∈B(n, k) et soit ξ = Opp(η).

a. V´erifier que le nombre m d’entiers j ≥3 tels que ξ(j) > ξ(2) v´erifie m ≥k. On note j1, . . . , jm ces entiers, avec ξ(j1) > ξ(j2) · · · > ξ(jm).

2 > ξ(2). Montrer que le nombre m′ d’entiers i ≥2 tels que ξ(i) < u2 v´erifie m′ ≥s. On les note i1, . . . , im′, avec ξ(i1) > · · · > ξ(im′) et on pose u1 = ξ(is) −1

b. On pose u2 = ξ(jk)−1

2.

c. En consid´erant l’application θ d´efinie par

θ(1) = u1, θ(2) = u2, θ(3) = ξ(2), . . . , θ(n + 2) = ξ(n + 1),

montrer l’existence de σ ∈C(n, s, k) v´erifiant Ψn,s,k(σ) = η.

d. Montrer que Ψn,s,k est bijective.

5. Donner un proc´ed´e de calcul de Card MD(n) par r´ecurrence.

Partie IV

1. On note En = Card MD(n) et In l’ensemble des nombres impairs de ∆n.

( n i −1

)

∑

a. D´emontrer que pour n ≥1 : En+1 =

Ei−1En+1−i.

i∈In+1

( n

)

n ∑

b. En d´eduire que pour n ≥1 : 2En+1 =

EiEn−i.

i

i=0

2. a. Montrer que le rayon de convergence de la s´erie enti`ere ∑En n! xn est ≥1.

b. Pour |x| < 1, on note f(x) la somme de la s´erie enti`ere pr´ec´edente. D´emontrer que

2f ′(x) = f 2(x) + 1, ∀x ∈] −1, 1[.

(x

)

2 + π 4

= 1 cos x + tan x, ∀x ∈] −1, 1[, puis que

c. En d´eduire que f(x) = tan

∞ ∑

∞ ∑

1 cos x =

E2n (2n)!x2n, tan x =

E2n+1 (2n + 1)!x2n+1, ∀x ∈] −1, 1[.

n=0

n=0

3. Pour une fonction f : R →R de classe C∞et n ∈N, on note f (n) la d´eriv´ee d’ordre n de f, avec la convention f (0) = f. On note D : R[X] →R[X] l’unique application lin´eaire telle que

D(X0) = 0, D(Xk) = k(Xk−1 + Xk+1), ∀k ∈N∗.

Pour n ∈N∗, on note Dn la compos´ee d’ordre n de D, avec la convention D0 = Id.

a. Soit Pn = Dn(X). D´emontrer que pour n ∈N, tan(n)(x) = Pn(tan x) pour x ∈] −π

2, π 2[.

b. Pour m ∈N∗, soit Vm le sous-espace de R[X] engendr´e par {X, . . . , Xm}. Soit ιm l’injection canonique de Vm dans R[X] et soit τm : R[X] →Vm la projection lin´eaire d´efinie par τm(Xk) = Xk si k ∈{1, . . . , m} et τm(Xk) = 0 sinon. On pose enfin δm = τm ◦D ◦ιm. V´erifier que δm est une application lin´eaire de Vm dans Vm et ´ecrire sa matrice Mm dans la base (

X, . . . , Xm)

.

4. Soit Cm ∈R[Y ] le polynˆome caract´eristique de Mm.

a. V´erifier que C1 = Y , C2 = Y 2 −2 et

Cm = Y Cm−1 −m(m −1)Cm−2, m ≥3.

b. Calculer le d´eterminant de Mm.

c. D´emontrer que, si em d´esigne la partie enti`ere de m/2,

em ∑

(−1)kcm,kY m−2k,

Cm =

k=0

avec

∑

cm,0 = 1; cm,k =

a1(a1 + 1)a2(a2 + 1) · · · ak(ak + 1), 1 ≤k ≤em;

(a1,...,ak)∈Jk(m)

o`u Jk(m) d´esigne l’ensemble des k-uples d’entiers de {1, . . . , m −1} tels que ai + 2 ≤ai+1 pour 1 ≤i ≤k −1.

5. Dans la suite de cette partie, p d´esigne un entier premier impair fix´e. On pourra utiliser sans d´emonstration le th´eor`eme de Wilson :

(p −1)! + 1 ≡0 [p].

On note Zp le corps Z/pZ et si a ∈Z, on note a sa classe dans Zp. Pour 1 ≤k ≤ep, on note Pk l’ensemble des parties P `a k ´el´ements de Zp v´erifiant la condition

∀α ∈P, α + 1 /∈P.

a. Pour P = {α1, . . . , αk} ∈Pk et α ∈Zp, on pose τα(P) = {α1 + α, . . . , αk + α}. Montrer que l’application α 7→τα est un morphisme de (Zp, +) dans le groupe des bijections de Pk.

b. On d´efinit une relation R entre ´el´ements de Pk de la mani`ere suivante : si A, B sont dans Pk, A R B si et seulement si il existe α ∈Zp tel que B = τα(A). Montrer que R est une relation d’´equivalence sur Pk, et que chaque classe d’´equivalence est de cardinal p et admet un repr´esentant de la forme {0, a2, . . . , ak} avec 0 < a2 < · · · < ak < p. On choisit un tel repr´esentant pour chaque classe et on note R l’ensemble des repr´esentants ainsi choisis.

c. D´emontrer que

∑

∑

cp−1,k =

1≤ℓ≤p−1 ℓℓ+ 1 a2 + ℓa2 + ℓ+ 1 · · · ak + ℓak + ℓ+ 1.

{0,...,ak}∈R

(

(ℓ+ 1)q+1 −ℓq+1)

6. a. Pour q ∈N, on pose Sq = ∑p−1 ℓ=0 ℓq. Observer que p divise ∑p−1

et en d´eduire par r´ecurrence que p divise Sq pour 0 ≤q ≤p −2.

ℓ=0

b. Soient Z = [zij] et Z′ = [z′

ij] deux matrices carr´ees d’ordre N `a ´el´ements dans Z. On d´efinit la relation Z ≡Z′ [p] par zij ≡z′

ij [p] pour 1 ≤i, j ≤N. D´emontrer que

(Mp−1)(p−1) ≡(−1)(p−1)/2Id [p].

c. Que peut-on dire d’un polynˆome Q `a coefficients entiers tel que Q(Mp−1) ≡0 [p] ?

7. On rappelle que En d´esigne la classe de En = Card MD(n) dans Zp.

a. Montrer que E2n+1 ≡u2n [p], o`u um est le coefficient sur le terme X de la d´ecomposition de δm

p−1(X) dans la base (X, . . . , Xp−1).

b. D´emontrer que la suite (E2n+1)n∈N est p´eriodique, de p´eriode minimale (p −1)/2 si p ≡1 [4] et de p´eriode minimale (p −1) si p ≡3 [4].

c. Indiquer les modifications `a apporter aux questions pr´ec´edentes pour montrer un r´esultat analogue pour la suite (E2n)n∈N.

Partie V

On note bS l’ensemble des f ∈S∗v´erifiant limx→−∞f(x) = −∞et limx→+∞f(x) = +∞. Dans cette partie, on dira simplement ≪minimum ≫pour ≪minimum relatif ≫et ≪maximum ≫pour ≪maximum relatif ≫. On note Mi(f) l’ensemble des minimums de f et Ma(f) l’ensemble des maximums de f, donc E(f) = Mi(f) ∪Ma(f).

1. Soit f ∈bS.

a. V´erifier que Card Mi(f) = Card Ma(f) et que pour y ∈R, f −1(

)

est la r´eunion d’intervalles ouverts non vides et deux `a deux disjoints. On note I (y) leur ensemble.

] −∞, y[

(

)

b. Montrer que pour tout ´el´ement M de Ma(f), il existe un unique couple

I−(M), I+(M)

(

)

d’´el´ements de I

f(M)

tels que M = Sup I−(M) = Inf I+(M).

c. Montrer que I+(M) est de la forme ]M, b[ avec b ∈]M, +∞[ v´erifiant f(b) = f(M). Que peut-on dire de I−(M) ?

2. Soit f ∈bS. On note Ma(f) = {M1, . . . , Mµ} avec f(M1) < f(M2) < · · · < f(Mµ). Montrer qu’il est possible de d´efinir une bijection Φ de Ma(f) dans Mi(f) par r´ecurrence de la mani`ere suivante :

— Φ(M1) est le minimum de f contenu dans I−(M1) ∪I+(M1) dont l’image par f est la

plus grande des images par f des minimums contenus dans I−(M1) ∪I+(M1) ; — pour 2 ≤k ≤µ, Φ(Mk) est le minimum de f contenu dans I−(Mk)∪I+(Mk) dont l’image

par f est la plus grande des images par f des minimums contenus dans I−(Mk)∪I+(Mk) et n’appartenant pas `a Φ

(

)

. On dira que Φ est la bijection associ´ee `a f.

{M1, . . . , Mk−1}

3. Soit f ∈bS. On fixe R ∈R∗+ tel que E(f) ⊂] −R, R[ et on note bS(f, R) l’ensemble des fonctions g de bS qui co¨ıncident avec f sur le compl´ementaire de ] −R, R[. Pour g ∈bS(f, R), on pose

∥g −f∥R = Sup

|g(x) −f(x)| .

x∈R

a. Montrer qu’il existe ε0 > 0 tel que si g ∈bS(f, R) v´erifie ∥g −f∥R < ε0,

Card E(g) ≥Card E(f).

b. Montrer que pour tout ε > 0 et tout entier pair µ ≥E(f), il existe g ∈bS(f, R) v´erifiant ∥g −f∥R < ε et telle que Card E(g) = µ.

4. Soit f ∈bS et soit Φ sa bijection associ´ee. Le code de f est l’ensemble

{

(

)

}

f(M) −f

| M ∈Ma(f)

∪{0}.

C(f) =

Φ(M)

On se propose dans la suite de cette partie de montrer que le code varie continˆument avec la fonction, dans un sens appropri´e.

On fixe f ∈bS et un r´eel R > 0 comme dans la question pr´ec´edente, dont on conserve les notations. On fixe ε > 0.

a. On pose

2 Min (

)

Min (x,x′)∈E(f)2, x̸=x′ |x −x′| , R −Max E(f), Min E(f) + R

γ0(f, R) = 1

.

V´erifier que γ0(f, R) > 0 et v´erifier qu’il existe

γ ∈]0, γ0(f, R)[ (1)

tel que

∀x ∈E(f), |f(x) −f(x −γ)| < ε/4, |f(x) −f(x + γ)| < ε/4. (2)

Dans la suite de cette question on suppose que γ est ainsi choisi.

Pour une fonction h ∈S et pour tout ´el´ement x ∈E(h) \ {Max E(h)}, on appellera successeur de x pour h le plus petit ´el´ement de E(h) qui est strictement sup´erieur `a x.

b. Soit m ∈Mi(f) \ {Max E(f)} et soit M ∈Ma(f) le successeur de m pour f. Montrer l’existence de α0 > 0 tel que pour g ∈bS(f, R) v´erifiant ∥g −f∥R < α0, pour tout maximum M de g dans [m −γ, M −γ], le successeur de M pour g est dans [m −γ, M].

c. On conserve les hypoth`eses de la question pr´ec´edente sur m et M. Montrer l’existence de α1 ∈]0, α0[ tel que pour g ∈bS(f, R) v´erifiant ∥g −f∥R < α1, pour tout maximum M de g dans [m −γ, M −γ], le successeur m de M pour g v´erifie g(M) −g(m) < ε.

d. Soit M ∈Ma(f) \ {Max E(f)} et soit m ∈Mi(f) le successeur de M pour f. Montrer bri`evement l’existence de α2 > 0 tel que pour g ∈bS(f, R) v´erifiant ∥g −f∥R < α2, pour tout minimum m de g dans [M −γ, m −γ], le successeur M de m pour g v´erifie g(M) −g(m) < ε.

e. ´Etudier sans d´emonstration le cas des maximums et minimums contenus dans les intervalles [−R, Min E(f) −γ] ou de la forme [Max E(f) −γ, R].

5. On fixe f ∈bS, de bijection associ´ee Φ, et un r´eel R > 0 comme dans la question pr´ec´edente.

a. Montrer qu’il existe ε0 tel que si 0 < ε < ε0 et si γ > 0 v´erifie (1) et (2), il existe α > 0 tel que pour toute fonction g ∈bS(f, R) v´erifiant ∥g −f∥R < α, pour tout couple (m, M) ∈Mi(f) × Ma(f) v´erifiant m = Φ(M), alors

mg = Φg(Mg)

o`u

g(mg) = Min x∈[m−γ,m+γ] g(x), g(Mg) = Max x∈[M−γ,M+γ] g(x),

et o`u Φg est la bijection associ´ee `a g.

{

}

. Si C et C′ sont deux parties finies de R, on pose

b. Pour une partie finie C de R et un r´eel x, on pose dC(x) = Min

|x −y| | y ∈C

(

)

H(C, C′) = Max

x′∈C′ dC(x′), Max

Max

x∈C dC′(x)

.

(

)

Montrer qu’il existe α > 0 tel que si g ∈bS(f, R) v´erifie ∥g −f∥R < α, alors H

C(g), C(f)

< ε.

* * *

Fin du sujet