Maths C

# ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D’ADMISSION 2021

VENDREDI 16 AVRIL 2021

08h00 - 12h00

FILIERE MP - Epreuve n° 9

MATHEMATIQUES C (ULCR)

Durée : 4 heures

L’utilisation des calculatrices n’est pas

autorisée pour cette épreuve

Le thème de ce problème est l’étude des intersections atypiques: étant donnés deux ensembles A et B, une fonction f : A →B et un sous-ensemble "exceptionnel" C de A × B, le graphe de f ne peut pas rencontrer C en beaucoup de points, sauf si la fonction f est elle-même "exceptionnelle". La première partie, de nature plus algébrique, étudie le cas où la fonction f est donnée par une fraction rationnelle, l’ensemble “exceptionnel” étant soit {(x, y) ∈C2| |x| = |y| = 1}, soit l’ensemble des points du plan dont les coordonnées sont des racines de l’unité. La deuxième partie, plus analytique et totalement indépendante de la première, étudie le cas d’une fonction "transcendante" f (par exemple f(x) = ex), l’ensemble exceptionnel C étant un réseau du plan.

Notations

Si X est un ensemble fini, on note |X| son cardinal. Si X est un ensemble infini on pose |X| = ∞. Par convention ∞est strictement supérieur à tout nombre réel.

Si K est un sous-corps de C on note K[X]n l’ensemble des polynômes à coefficients dans K, de degré inférieur ou égal à n, et on note K(X) l’ensemble des fractions rationnelles F(X) = P(X)/Q(X) avec P, Q ∈K[X] et Q̸ = 0. L’inclusion de K[X] dans C[X] se prolonge en une injection de corps K(X) →C(X), et on se permettra dans la suite d’identifier K(X) à un sous-corps de C(X).

Si I est un intervalle de R non vide et non réduit à un point on note C ∞(I, R) l’ensemble des fonctions numériques de classe C ∞sur I. Si f ∈C ∞(I, R) et si n est un entier naturel on note f (n) la n-ième dérivée de f.

Si A est un ensemble et si f : A →C est une fonction on note

Z(f) = {x ∈A | f(x) = 0}

l’ensemble de ses zéros et

Γ(f) = {(x, f(x)) | x ∈A} ⊂A × C

son graphe.

Question préliminaire

1. Soit I ⊂R un intervalle et n ≥2 un entier. Montrer que si g ∈C ∞(I, R) vérifie |Z(g)| ≥n, alors |Z(g(i))| ≥n −i pour tout 1 ≤i ≤n −1.

I Intersections atypiques et fractions rationnelles

Pour G(X) = P(X)/Q(X) ∈C(X), avec P, Q ∈C[X] premiers entre eux et Q̸ = 0, on note P(G) = {x ∈C | Q(x) = 0} l’ensemble des pôles de G et on note abusivement G : C ∖P(G) →C la fonction envoyant x sur P(x)/Q(x).

Fractions rationnelles et rationalité

Soit K un sous-corps de C et soit F ∈C(X) telle que F(K \ P(F)) ∩K soit un ensemble infini. On se propose de montrer que F ∈K(X). On écrit F(X) = P(X)/Q(X) ∈C(X), avec P ∈C[X]p et Q ∈C[X]q ∖{0} pour certains entiers p, q ≥0. On note d = p + q + 1.

2. (a) Soient x1, . . . , xd, y1, . . . , yd ∈K. Montrer que l’application linéaire

ϕ : K[X]p × K[X]q →Kd, ϕ(U, V ) := (U(xi) −yiV (xi))1≤i≤d

n’est pas injective.

(b) Soient x1, . . . , xd ∈K ∖P(F) deux à deux distincts tels que

F(x1), . . . , F(xd) ∈K.

Montrer qu’il existe U ∈K[X]p et V ∈K[X]q tels que (U, V )̸ = (0, 0) et P(xi)V (xi) = Q(xi)U(xi) pour 1 ≤i ≤d. En déduire que F ∈K(X).

(c) Soit F ∈C(X) telle que F(K\P(F))∩K soit un ensemble infini. Montrer

que F ∈K(X).

Intersections avec le cercle unité

Soit U = {z ∈C | |z| = 1}. On dit qu’une fraction rationnelle F ∈C(X) est spéciale si l’ensemble

{z ∈U ∖P(F) | F(z) ∈U}

est infini. On se propose de décrire les fractions rationnelles spéciales.

i=0 aiXi ∈C[X] on note

Si z ∈C on note z son conjugué. Si P(X) = Pd

d X

aiXi.

P(X) =

i=0

Dans les questions 3 à 5 on fixe F(X) = P(X)/Q(X) ∈C(X), avec P, Q ∈C[X] et Q̸ = 0. On pose F(X) = P(X)/Q(X) et G(X) = F(1/X).

3. (a) Soit z ∈U∖P(F). Montrer que F(z) ∈U si et seulement si F(z)G(z) =

1.

(b) En déduire que F est spéciale si et seulement si G(X) · F(X) = 1.

4. Montrer que si α ∈C alors Bα(X) = X−α 1−αX est spéciale. Que vaut Bα(X) pour α = 0 et pour α ∈U?

5. On suppose que F est spéciale.

(a) Soit α ∈C∗∖P(F). Montrer que F(α) = 0 si et seulement si 1/α ∈

P(F).

(b) Montrer que si F ∈C[X] alors il existe c ∈U et d ∈N tels que F(X) =

cXd.

(c) Montrer qu’il existe des entiers d, n avec n ≥0 et α1, . . . , αn ∈C tels que

n Y

F(X) = Xd

Bαi(X).

i=1

On pourra écrire F(X) = P(X)/Q(X) et raisonner par récurrence sur le nombre de racines de P.

Racines de l’unité

Soit Λ l’ensemble des z ∈C tels qu’il existe un entier n ≥1 vérifiant zn = 1, i.e. Λ est l’ensemble des racines de l’unité dans C. On se propose de décrire les fractions rationnelles F ∈C(X) telles que F(Λ ∖P(F)) ⊂Λ.

Pour n ≥1 on pose ζn = exp(2iπ/n) ∈Λ et on note

Q(ζn) = {F(ζn) | F ∈Q(X) et ζn /∈P(F)}.

Ainsi Q(ζn) est un sous-corps de C.

On note ϕ l’indicatrice d’Euler et on rappelle que ϕ(1) = 1 et que si n = pk1

1 . . . pkr r est la factorisation de n ≥2, alors ϕ(n) = Qr

i=1 pki−1

i (pi −1). On admet le résultat suivant:

Théorème 1 (admis). Pour tout n ≥1 le corps Q(ζn) est un Q-espace vectoriel de dimension ϕ(n).

On fixe dans les questions 6 à 12 une fraction rationnelle F ∈C(X) telle que F(1) = 1. On suppose qu’il existe une suite strictement croissante d’entiers (nj)j≥1 tels que pour tout j ≥1 on a nj ≥1, ζnj̸ ∈P(F) et F(ζnj) ∈Λ.

6. Montrer que pour tout j ≥1 il existe un unique qj ∈Q ∩ i

i

−1

2, 1 2

tel que

F(ζnj) = exp(2iπqj).

7. Montrer que limj→+∞qj = 0.

8. (a) Soit P ∈C[X] un polynôme tel que P(1) = 0. Calculer limn→+∞nP(ζn).

(b) Calculer limj→+∞nj(F(ζnj) −1) et en déduire que la suite (njqj)j≥1 converge.

9. On suppose qu’il existe un entier c ≥1 tel que cnjqj ∈Z pour tout j ≥1. Montrer qu’il existe d ∈Z tel que F(X) = Xd.

10. En utilisant le résultat établi dans la question 2b, montrer qu’il existe un entier p ≥1 tel que F ∈Q(ζp)(X).

11. Soit N ≥1 un entier, q ∈Q et notons ζ = exp(2iπq). On suppose que ζ ∈Q(ζN). On écrit q = u/v avec u, v ∈Z premiers entre eux et v̸ = 0. Soit l le PPCM de v et N.

(a) Montrer qu’il existe a, b ∈Z tels que ζl = ζa · ζb

N.

(b) En utilisant le théorème admis, montrer que ϕ(l) ≤ϕ(N), puis que l | 2N

et que 2Nq ∈Z.

12. Montrer qu’il existe un entier c ≥1 tel que cnjqj ∈Z pour tout j ≥1 et qu’il existe d ∈Z tel que F(X) = Xd.

13. Décrire les fractions rationnelles F ∈C(X) telles que F(Λ ∖P(F)) ⊂Λ.

II Intersections atypiques: le cas transcendant

Courbes et fonctions transcendantes

Un intervalle I de R sera appelé non trivial si I est non vide et non réduit à un point. Si I est un intervalle non trivial et si f ∈C ∞(I, R), on dit:

• que f est plate en un point x ∈I si f (n)(x) = 0 pour tout n ≥0, c’est-à-dire si toutes les dérivées successives de f s’annulent en x;

• que f est transcendante si pour tout d ≥1 et tous polynômes P0, . . . , Pd ∈R[X], non tous nuls, la fonction x 7→Pd

i=0 Pi(x)f(x)i n’est plate en aucun point de I.

14. Soit (an)n≥0 une suite de nombres réels telle que la série P n≥0 anxn converge pour tout réel x. On note f(x) =

n≥0 anxn pour x ∈R, obtenant ainsi une fonction f : R →R. Montrer que f ∈C ∞(R, R) et que si f est plate en 0 alors an = 0 pour tout n ≥0.

P

15. Soit n ≥1 un entier, α1 < · · · < αn des réels et P1, . . . , Pn ∈R[X] des polynômes non nuls. Soit f : R →R la fonction définie par f(x) = Pn

i=1 Pi(x)eαix.

f(x) xNeax pour N ∈Z et a ∈R convenables, montrer que f n’est pas identiquement nulle.

(a) En calculant limx→+∞

(b) En déduire que f n’est plate en aucun x ∈R. On pourra commencer par

traiter le cas x = 0.

16. Montrer que si P ∈R[X] et α ∈R sont non nuls, alors pour tout intervalle non trivial I ⊂R la fonction f : I →R définie par f(x) = P(x) exp(αx) est transcendante.

On fixe pour la suite de cette partie un entier d ≥1 et un segment non trivial I ⊂R. On note ℓ(I) = max I −min I la longueur de I. On a donc ℓ(I) > 0. Un sous-ensemble C de R2 est appelé d-courbe s’il existe des nombres réels (ai,j)1≤i,j≤d, non tous nuls et tels que

 

 

d X

d X

ai,jxi−1yj−1 = 0

(x, y) ∈R2

C =

.

i=1

j=1

On se propose de démontrer le résultat suivant:

Théorème 2. Soient I un segment non trivial et f ∈C ∞(I, R) une fonction transcendante, de graphe Γ(f). Il existe c1 ≥1 tel que |Γ(f)∩C| ≤c1 pour toute d-courbe C.

On fixe f comme dans l’énoncé du théorème à démontrer et on note V ⊂C ∞(I, R) le R-espace vectoriel engendré par les fonctions x 7→xi−1f(x)j−1 pour 1 ≤i, j ≤d. On raisonne par l’absurde en supposant qu’il existe une suite de d-courbes (Cr)r≥1 telles que |Γ(f) ∩Cr| ≥r2 pour tout r ≥1.

17. Soit g ∈V une fonction non identiquement nulle. Montrer que g n’est plate en aucun x ∈I.

18. Soit r ≥1 un entier. Montrer qu’il existe g ∈V non identiquement nulle telle que |Z(g)| ≥r2. Montrer que pour toute telle fonction g il existe un segment K ⊂I de longueur inférieure ou égale à ℓ(I)/r tel que |Z(g) ∩K| ≥r.

Soient n = dim V , g1, . . . , gn une base de V et

n X

Sn = {(ai)1≤i≤n ∈Rn |

|ai| = 1}.

i=1

Pour a = (ai)1≤i≤n ∈Sn posons Ga = a1g1 + · · · + angn.

19. Montrer qu’il existe une suite (ar)r≥1 d’éléments de Sn, ainsi qu’une suite (Kr)r≥1 de segments inclus dans I dont les longueurs tendent vers 0 quand r →+∞et tels que |Z(Gar) ∩Kr| ≥r pour tout r ≥1.

20. Montrer que Sn est compact. En déduire qu’il existe a ∈Sn, x ∈I et une suite strictement croissante d’entiers (rs)s≥1 avec r1 ≥1 tels que lims→+∞ars = a et lims→+∞min Krs = x.

21. En utilisant la question 1, montrer que Ga est plate en x et conclure la preuve du théorème 2.

Une inégalité

On fixe un segment non trivial I ⊂R, un entier n ≥2 et des fonctions f1, . . . , fn ∈ C ∞(I, R). Pour x1, . . . , xn ∈I on note

A(x1, . . . , xn) = (fi(xj))1≤i,j≤n ∈Mn(R).

On se propose de démontrer le résultat suivant:

Théorème 3. Il existe c2 > 0 tel que pour tous x1, . . . , xn ∈I deux à deux distincts, on a

Y

| det A(x1, . . . , xn)| ≤c2

1≤i<j≤n |xj −xi|.

Dans les questions 22 et 23 on fixe x1, . . . , xn ∈I deux à deux distincts et on note

n−1 Y

β =

(xn −xi) = (xn −x1) . . . (xn −xn−1).

i=1

22. Soit f ∈C ∞(I, R).

(a) Montrer que si f(x1) = · · · = f(xn−1) = 0 alors il existe y ∈I tel que

f(xn) = f(n−1)(y)

(n−1)! β. On pourra considérer la fonction g définie par g(x) = βf(x) −Qn−1

i=1 (x −xi)f(xn).

(b) En déduire qu’il existe y ∈I tel que

n−1 X

n−1 Y

= f (n−1)(y)

xn −xj

f(xn) −

f(xi)

(n −1)! β.

xi −xj

i=1

j=1

j̸=i

23. Montrer qu’il existe (y1, . . . , yn) ∈In tel que

f1(x1) . . . f1(xn−1) f (n−1)





1 (y1) ... ... ... fn(x1) . . . fn(xn−1) f (n−1)

det A(x1, . . . , xn) = β (n −1)! · det

  

  

n (yn)

24. Conclure la preuve du théorème 3.

Intersections atypiques: le cas transcendant

On fixe un segment non trivial I ⊂R et une fonction transcendante f ∈C ∞(I, R), dont on note Γ(f) le graphe. Pour un entier n ≥1 on note 1

nZ2 = {( x

n)| x, y ∈Z}. On se propose de démontrer le résultat suivant.

n, y

Théorème 4. Pour tout ε > 0 il existe un réel c3 > 0 tel que pour tout n ≥1 on a

Γ(f) ∩1

≤c3nε.

nZ2

On fixe pour la suite ε > 0 et un entier d > 1 tel que 2 d+1 < ε. Pour P = (x, y) ∈R2 on note vP ∈Rd2 le vecteur dont les coordonnées (numérotées de 1 à d2) sont définies par la formule vP

i+dj+1 = xiyj pour 0 ≤i, j < d. Par exemple, si d = 2 on a vP = (1, x, y, yx) et pour d = 3 on a vP = (1, x, x2, y, yx, yx2, y2, y2x, y2x2).

Si P1, . . . , Pn ∈R2 on note B(P1, . . . , Pn) la matrice de taille d2 × n dont les vecteurs colonnes sont vP1, . . . , vPn.

25. Soient n ≥1 un entier et P1, . . . , Pn ∈R2. Montrer qu’il existe une d-courbe contenant P1, . . . , Pn si et seulement si

rang(B(P1, . . . , Pn)) < d2.

26. En utilisant le théorème 3, montrer qu’il existe un réel c > 1 tel que pour tous points P1 = (x1, y1), . . . , Pd2 = (xd2, yd2) deux à deux distincts de Γ(f) on a

! d2(d2−1)

2 ,

| det B(P1, . . . , Pd2)| ≤

c · max 1≤i<j≤d2 |xi −xj|

On fixe un tel réel c pour la suite.

27. Soient P1 = (x1, y1), . . . , Pd2 = (xd2, yd2) des points deux à deux distincts appartenant à Γ(f) ∩1

nZ2.

(a) Montrer que nd2(d−1) · det B(P1, . . . , Pd2) est un entier.

(b) En déduire que si P1, . . . , Pd2 n’appartiennent pas à une même d-courbe,

alors

max 1≤i<j≤d2 |xi −xj| ≥c−1n− 2 d+1.

28. Soit J un segment contenu dans I et de longueur strictement inférieure à c−1n− 2 d+1. Montrer qu’il existe une d-courbe contenant tous les points de Γ(f) ∩1

nZ2 dont l’abscisse appartient à J.

29. Finir la preuve du théorème 4.