Maths

# SESSION 2026 PC8M

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

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MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures ____________________

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

• Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d’autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats. • Ne pas utiliser de correcteur. • Écrire le mot FIN à la fin de votre composition. ________________________________________________________________________________

Les calculatrices sont interdites.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.

EXERCICE 1

On rappelle que si A est une matrice, alors A⊺désigne sa transposée.

Questions préliminaires

Soit g un endomorphisme d’un espace vectoriel réel H.

1. Soit µ une valeur propre de g. Montrer que µ2 est valeur propre de g2 = g ○g.

2. Montrer que si x est vecteur propre de g2 associé à une valeur propre non nulle, alors g(x) est un vecteur propre de g2.

3. Démontrer que deux sous-espaces propres de g associés à des valeurs propres distinctes sont en somme directe.

4. Soit A une matrice carrée d’ordre n ⩾2 à coefficients réels. Exprimer, sans démonstration, det(−A) et det(A⊺) en fonction de det(A).

* * * * *

On note E = R5 muni du produit scalaire usuel noté (x∣y) = X⊺Y, où X et Y sont les matrices colonnes des coordonnées des vecteurs x et y dans la base canonique B = (ej)j∈⟦1,5⟧, orthonormale pour ce produit scalaire. Soit f l’endomorphisme de E défini par sa matrice M dans la base B :

0 −1 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 1 0 −1 0 0 0 1 0

⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠

M =

.

5. Premières propriétés de l’endomorphisme f

5.1. Déterminer la matrice M + M⊺.

5.2. Montrer que f n’est pas un automorphisme de E.

5.3. Déterminer le rang de la matrice M.

5.4. Prouver que f 2 est un endomorphisme symétrique de E.

5.5. Justifier alors que la matrice M2 est diagonalisable dans M5(R).

5.6. Montrer que f vérifie la propriété : ∀(x,y) ∈E2, (f(x)∣y) = −(x∣f(y)).

6. Étude des éléments propres de l’endomorphisme f

6.1. Montrer que 0 est la seule valeur propre de f. On pourra utiliser la question précédente.

6.2. En déduire que l’endomorphisme f n’est pas diagonalisable.

6.3. Démontrer que les valeurs propres non nulles de f 2 sont strictement négatives. On admet dans la suite que les valeurs propres distinctes de f 2 sont 0, -1 et -3.

7. Prouver que : E = Ker(f) ⊕Im(f).

8. Soient λ une valeur propre non nulle de f 2 et x un vecteur propre associé.

8.1. Montrer que les vecteurs x et f(x) forment une famille libre.

8.2. Justifier que (x, f(x)) engendre un plan vectoriel de Im(f).

9. Soient u un vecteur propre de f 2 associé à la valeur propre −1 et v un vecteur propre de f 2 associé à la valeur propre −3. Montrer que (u, f(u),v, f(v)) est une base de Im(f). On pourra utiliser des questions préliminaires.

10. Déterminer des réels α, β, γ et δ tels que la matrice M soit semblable à la matrice :

⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝

⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠

0 0 0 0 0 0 0 α 0 0 0 β 0 0 0 0 0 0 0 γ 0 0 0 δ 0

T =

.

EXERCICE 2

Questions préliminaires

1. Écrire le développement limité à l’ordre 2 de la fonction t ↦et en 0.

2. Soient h une fonction continue sur R∗ + à valeurs dans R et a ∈R∗

+.

Justifier que la fonction H ∶x ↦∫

a h(t)dt est de classe C1 sur R∗

x

+ et déterminer sa dérivée.

x+1

3. En déduire que la fonction G ∶x ↦∫

x h(t)dt est de classe C1 sur R∗

+ et calculer sa dérivée.

* * * * *

4. Soit f une fonction continue sur [0,1] à valeurs dans R.

0 f(t) x + t dt est définie sur R∗

Justifier que la fonction F ∶x ↦∫

+.

Soit l’application T qui à toute fonction f, continue sur [0,1], associe la fonction F :

T(f) = F.

5. Un premier exemple On pose pour tout entier naturel n, fn ∶t ∈[0,1] ↦tn et Fn = T (fn). Soit x ∈R∗

+.

5.1. Calculer F0(x).

5.2. Calculer, pour tout k ∈N∗, Fk(x) + xFk−1(x).

5.3. Soit k ∈N∗. Démontrer que :

Fk(x) (−x)k −Fk−1(x)

(−x)k−1 = (−1)k

k

k (1

x)

.

5.4. En déduire que, pour tout entier naturel n, il existe un polynôme Pn, que l’on déterminera, tel que :

Fn(x) = (−x)n (ln(1 + 1

x) −Pn (1

x)).

6. Un deuxième exemple Soient g ∶t ∈[0,1] ↦et et G = T(g), c’est-à-dire :

G ∶x ↦∫

0 et

x + t dt.

6.1. En effectuant le changement de variable u = x + t, prouver que G est de classe C1 sur R∗ +. 6.2. On pose, lorsque cela existe :

0 et −1

0 et

J(x) = ∫

x

t dt et K(x) = ∫

x

1 + t dt.

6.2.1. Montrer que J et K sont de classe C1 sur R+. 6.2.2. Montrer que la fonction L ∶x ↦G(x)ex −e K(x) + J(x) + ln(x) est constante sur R∗ +. 6.2.3. En déduire enfin la limite de lim x→0+ G(x) et un équivalent de G(x) lorsque x tend vers 0+.

EXERCICE 3

Soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (Ω,A ,P) à valeurs dans {1,2,3}. On pose, pour tout k ∈⟦1,3⟧, pk = P(X = k) ∈[0,1] et on se propose de déterminer pour quelles valeurs des (pk)k∈⟦1,3⟧, la variance V(X) est maximale, puis minimale.

1. Déterminer les valeurs possibles pour la variable aléatoire X2. 2. Calculer E(X2), l’espérance de la variable aléatoire X2. 3. Exprimer la variance V(X) de la variable aléatoire X à l’aide des seuls paramètres p1 et p2. 4. On considère la fonction f de R2 dans R définie par :

∀(x,y) ∈R2, f(x,y) = 4x + y −4x2 −y2 −4xy.

On note T l’ensemble fermé et borné défini par : T = {(x,y) ∈[0,1]2, x + y ⩽1}.

4.1. Représenter graphiquement T dans le plan muni d’un repère orthonormé. 4.2. Justifier que f est de classe C2 dans R2. 4.3. Montrer que f possède des extrema dans T. 4.4. Soit m = (x,y) un point de R2. Déterminer le vecteur gradient ∇f(m), de f, en m. 4.5. Prouver que f ne possède pas de point critique dans l’intérieur de T. 4.6. On note g la fonction réelle de la variable réelle qui à tout x réel associe g(x) = x(1−x). Dresser le tableau des variations de la fonction g sur l’intervalle [0,1] et en donner une représentation graphique dans le plan muni d’un repère orthonormé. 4.7. Déterminer alors les extrema de f dans T.

I M P R I M E R I E N A T I O N A L E – 26 1013 – D’après documents fournis

5. Résoudre alors le problème posé au début de l’exercice. 6. Que peut-on dire de la variable aléatoire X lorsque sa variance est minimale?

FIN