Maths
e3a-PolytechPC2026
Cherchez d'abord seul. En cas de blocage, ouvrez une indication, réessayez, puis seulement la solution.
Rédigé par IA, non vérifié
Signaler une erreur# e3a-Polytech PC — Mathématiques 2026 · Corrigé guidé
*Corrigé rédigé par IA (La Belle Copie), non officiel. Signalez toute erreur.*
## Présentation du sujet
L'épreuve (code PC8M) dure **4 heures**, sans calculatrice ni document. Elle comporte **trois exercices indépendants**, soit **42 questions** courtes et très guidées. Chaque exercice suit le même schéma : des questions préliminaires de cours isolent les outils, puis un exemple les met en œuvre. Le sujet ne contient aucun piège technique lourd : la note se joue sur la **rigueur des justifications** (vecteur propre non nul, hypothèses des théorèmes, intervalle de travail) et sur la **propreté des calculs**.
| Exercice | Questions | Contenu | Notions du programme PC |
|---|---|---|---|
| 1 – Un endomorphisme antisymétrique de $\mathbb R^5$ | 1–4, 5.1–5.6, 6.1–6.3, 7, 8.1, 8.2, 9, 10 (18 questions) | $M^\top=-M$ : $f$ non inversible, non diagonalisable, $f^2$ symétrique ; $E=\operatorname{Ker}f\oplus\operatorname{Im}f$ ; base adaptée formée de plans stables. | Déterminant, rang, éléments propres, somme directe, espaces euclidiens, endomorphismes symétriques, théorème spectral, matrices semblables |
| 2 – Une transformation intégrale | 1–3, 4, 5.1–5.4, 6.1, 6.2.1–6.2.3 (12 questions) | $F(x)=\int_0^1\frac{f(t)}{x+t}dt$ : formule exacte pour $f(t)=t^n$, puis pour $f=\exp$, régularité, limite et équivalent en $0^+$. | Développements limités, théorème fondamental de l'analyse, changement de variable, prolongement par continuité, relations de comparaison |
| 3 – Variance extrémale | 1–3, 4.1–4.7, 5, 6 (12 questions) | La variance d'une variable à valeurs dans $\{1,2,3\}$ est une fonction de deux variables sur un triangle ; extrema atteints sur le bord. | Espérance, formule de transfert, variance, fonctions de deux variables, gradient, points critiques, théorème des bornes atteintes |
**Difficulté.** Le sujet est d'un niveau modeste, mais long à rédiger proprement. Les points qui demandent de l'attention :
- Ex. 1, Q2 et Q8.1 : vérifier qu'un vecteur propre est **non nul**, et exploiter le **signe** de $\lambda$ ;
- Ex. 1, Q9 : combiner trois résultats antérieurs pour obtenir une famille libre ;
- Ex. 2, Q5.3 : un calcul de signes avec les puissances de $-x$ ;
- Ex. 2, Q6.2.2 : une dérivation où tout doit se simplifier exactement ;
- Ex. 3, Q4.7 : justifier que les extrema sont sur le bord, puis étudier les **trois** côtés.
**Questions abordables à ne pas laisser passer** : Ex. 1, Q1, 3, 4, 5.1 à 5.6, 6.2 et 10 ; Ex. 2, Q1 à 4, 5.1, 5.2 et 6.1 ; Ex. 3, Q1 à 3 et 4.1 à 4.6. Elles représentent plus de la moitié du barème probable.
**Gestion du temps.** Comptez environ 90 minutes pour l'exercice 1, le plus long, 75 minutes pour l'exercice 2 et 60 minutes pour l'exercice 3, et gardez 15 minutes de relecture. Les trois exercices sont indépendants : commencez par celui qui vous inspire le plus. Dans l'exercice 1, les questions 7 à 10 n'utilisent que des résultats énoncés (dont le spectre admis de $f^2$) : on peut les traiter même si l'on a calé avant.
## Exercice 1 — Un endomorphisme antisymétrique de $\mathbb R^5$
Les préliminaires établissent quatre faits généraux sur les valeurs propres de $g$ et $g^2$ et sur les déterminants. On les applique ensuite à $f$, dont la matrice vérifie $M^\top=-M$. Cette antisymétrie, traduite en $(f(x)\mid y)=-(x\mid f(y))$, est le seul ingrédient de presque toutes les preuves. On aboutit à une décomposition de $E$ en une droite (le noyau) et deux plans stables, sur lesquels $f$ agit comme une « rotation d'un quart de tour suivie d'une dilatation ».
### Question 1
> [!INDICATION]
> Revenez à la définition : une valeur propre, c'est un vecteur non nul $x$ tel que $g(x)=\mu x$. Appliquez $g$ une seconde fois.
#### Solution
Soit $\mu$ une valeur propre de $g$ et $x\neq0$ tel que $g(x)=\mu x$. Par linéarité de $g$ :
$$g^2(x)=g(\mu x)=\mu\,g(x)=\mu^2x.$$
Comme $x\neq0$, **$\mu^2$ est valeur propre de $g^2$**, et $x$ est un vecteur propre associé.
### Question 2
> [!INDICATION]
> Calculez $g^2(g(x))$ en faisant commuter $g$ et $g^2$.
> [!INDICATION]
> Un vecteur propre doit être non nul : que se passerait-il si $g(x)=0$ ? Utilisez l'hypothèse « valeur propre non nulle ».
#### Solution
Soit $x\neq0$ avec $g^2(x)=\lambda x$ et $\lambda\neq0$. On a
$$g^2(g(x))=g^3(x)=g(g^2(x))=g(\lambda x)=\lambda\,g(x).$$
Il reste à voir que $g(x)\neq0$. Si $g(x)=0$, alors $\lambda x=g^2(x)=g(0)=0$, et comme $\lambda\neq0$, $x=0$ : contradiction. Donc $g(x)\neq0$, et **$g(x)$ est un vecteur propre de $g^2$ associé à la même valeur propre $\lambda$.**
> [!PIEGE]
> Écrire seulement $g^2(g(x))=\lambda g(x)$ ne suffit pas : c'est la non-nullité de $g(x)$ qui fait de lui un vecteur propre. C'est précisément là que sert l'hypothèse $\lambda\neq0$ : si $\lambda=0$, $g(x)$ peut être nul (prendre $g$ nilpotent).
### Question 3
> [!INDICATION]
> Pour **deux** sous-espaces, être en somme directe équivaut à avoir une intersection réduite à $\{0\}$.
#### Solution
Soient $\mu_1\neq\mu_2$ deux valeurs propres de $g$ et $x\in E_{\mu_1}(g)\cap E_{\mu_2}(g)$. Alors $\mu_1x=g(x)=\mu_2x$, d'où $(\mu_1-\mu_2)x=0$, puis $x=0$ car $\mu_1-\mu_2\neq0$. L'intersection est réduite à $\{0\}$, donc **les sous-espaces propres $E_{\mu_1}(g)$ et $E_{\mu_2}(g)$ sont en somme directe.**
> [!PIEGE]
> Le critère « intersection nulle » ne vaut que pour deux sous-espaces. Pour trois sous-espaces ou plus, les intersections deux à deux nulles ne suffisent pas à garantir une somme directe.
### Question 4
> [!INDICATION]
> Le déterminant est linéaire par rapport à chacune des $n$ colonnes.
#### Solution
$$\boxed{\det(-A)=(-1)^n\det(A)}\qquad\boxed{\det(A^\top)=\det(A)}$$
> [!PIEGE]
> $\det(-A)$ vaut $-\det(A)$ seulement si $n$ est impair ; pour $n$ pair, $\det(-A)=\det(A)$. Le facteur $(-1)^n$ vient de ce qu'on sort un signe $-1$ de chacune des $n$ colonnes.
### Question 5 — Premières propriétés de l'endomorphisme $f$
Six vérifications rapides, qui reposent toutes sur l'identité $M^\top=-M$.
### Question 5.1
> [!INDICATION]
> Transposer échange la sur-diagonale et la sous-diagonale.
#### Solution
$M$ est tridiagonale, de diagonale nulle, avec des $-1$ sur la sur-diagonale et des $1$ sur la sous-diagonale. Sa transposée a des $1$ sur la sur-diagonale et des $-1$ sur la sous-diagonale. Terme à terme :
$$\boxed{M+M^\top=0_5},\qquad\text{soit } M^\top=-M\ (M\text{ est antisymétrique}).$$
### Question 5.2
> [!INDICATION]
> Inutile de calculer $\det M$ : combinez $M^\top=-M$ avec la question 4, en tenant compte de la parité de $5$.
#### Solution
D'après 5.1 et la question 4 avec $n=5$ :
$$\det M=\det(M^\top)=\det(-M)=(-1)^5\det M=-\det M.$$
Donc $2\det M=0$, $\det M=0$ : $M$ n'est pas inversible, et **$f$ n'est pas un automorphisme de $E$.**
> [!METHODE]
> Toute matrice antisymétrique réelle de taille impaire a un déterminant nul. L'argument « $\det A=\det A^\top=\det(-A)$ » est à retenir.
### Question 5.3
> [!INDICATION]
> Déterminez le noyau en résolvant $MX=0$ ligne par ligne, puis appliquez le théorème du rang.
#### Solution
Pour $X=(x_1,\dots,x_5)^\top$, le système $MX=0$ s'écrit
$$-x_2=0,\quad x_1-x_3=0,\quad x_2-x_4=0,\quad x_3-x_5=0,\quad x_4=0.$$
Les lignes $1$ et $5$ donnent $x_2=x_4=0$ ; les lignes $2$ et $4$ donnent $x_1=x_3=x_5$ ; la ligne $3$ est alors satisfaite. Donc $\operatorname{Ker}M=\operatorname{Vect}(w)$ avec $w=(1,0,1,0,1)^\top$, et par le théorème du rang
$$\boxed{\operatorname{rg}M=5-\dim\operatorname{Ker}M=4}.$$
> [!METHODE]
> On peut aussi remarquer que les colonnes $1,2,4,5$ de $M$ sont visiblement libres (chacune a un coefficient non nul sur une ligne où les précédentes n'en ont pas), mais déterminer le noyau sert à la question 10 : autant le faire tout de suite.
### Question 5.4
> [!INDICATION]
> Dans une base orthonormale, un endomorphisme est symétrique si et seulement si sa matrice l'est.
#### Solution
La base $\mathscr B$ est orthonormale et la matrice de $f^2$ dans $\mathscr B$ est $M^2$. Or
$$(M^2)^\top=(MM)^\top=M^\top M^\top=(-M)(-M)=M^2.$$
$M^2$ est symétrique, donc **$f^2$ est un endomorphisme symétrique de $E$.**
> [!PIEGE]
> L'équivalence « endomorphisme symétrique $\iff$ matrice symétrique » exige une base **orthonormale**. Il faut le mentionner.
### Question 5.5
> [!INDICATION]
> Le mot « alors » renvoie à un théorème du cours sur les matrices symétriques réelles.
#### Solution
D'après 5.4, $M^2$ est une matrice symétrique à coefficients réels. Par le théorème spectral, elle est diagonalisable au moyen d'une matrice de passage orthogonale. En particulier, **$M^2$ est diagonalisable dans $\mathcal M_5(\mathbb R)$.**
### Question 5.6
> [!INDICATION]
> Écrivez $(f(x)\mid y)$ comme un produit matriciel $(MX)^\top Y$.
#### Solution
Pour $x,y\in E$ de coordonnées $X,Y$ dans la base orthonormale $\mathscr B$, on a $(x\mid y)=X^\top Y$, donc
$$(f(x)\mid y)=(MX)^\top Y=X^\top M^\top Y=X^\top(-M)Y=-X^\top(MY)=-(x\mid f(y)).$$
$$\boxed{\forall (x,y)\in E^2,\ (f(x)\mid y)=-(x\mid f(y))}$$
> [!METHODE]
> Cette identité remplace tout calcul matriciel dans la suite : elle sert aux questions 6.1, 6.3 et 7. Le cas $y=x$ donne $(f(x)\mid x)=0$ : un endomorphisme antisymétrique envoie tout vecteur sur un vecteur qui lui est orthogonal.
### Question 6 — Étude des éléments propres de l'endomorphisme $f$
On montre que le spectre de $f$ est réduit à $\{0\}$, d'où la non-diagonalisabilité, puis que $f^2$ n'a que des valeurs propres négatives.
### Question 6.1
> [!INDICATION]
> Prenez $y=x$ dans la question 5.6.
> [!INDICATION]
> Appliquez ensuite le résultat à un vecteur propre. N'oubliez pas de montrer que $0$ **est** valeur propre.
#### Solution
Avec $y=x$ dans 5.6 : $(f(x)\mid x)=-(x\mid f(x))=-(f(x)\mid x)$, donc
$$\forall x\in E,\quad (f(x)\mid x)=0.$$
Soit $\mu$ une valeur propre de $f$ (réelle, puisque $E$ est un espace vectoriel réel) et $x\neq0$ tel que $f(x)=\mu x$. Alors $0=(f(x)\mid x)=\mu\|x\|^2$ et $\|x\|^2>0$, donc $\mu=0$.
Réciproquement, $0$ est valeur propre de $f$ puisque $\operatorname{Ker}f=\operatorname{Vect}(w)\neq\{0\}$ (5.3, ou 5.2). **$0$ est la seule valeur propre de $f$.**
> [!PIEGE]
> « Seule valeur propre » contient deux affirmations : toute valeur propre est nulle, **et** $0$ en est une. La seconde est souvent oubliée.
### Question 6.2
> [!INDICATION]
> Que serait la matrice de $f$ dans une base de vecteurs propres ?
#### Solution
Si $f$ était diagonalisable, sa matrice dans une base de vecteurs propres serait diagonale, avec sur la diagonale les valeurs propres de $f$, toutes nulles d'après 6.1. Ce serait la matrice nulle, et l'on aurait $f=0$. Or la première colonne de $M$ donne $f(e_1)=e_2\neq0$. Contradiction : **$f$ n'est pas diagonalisable.**
> [!METHODE]
> Un endomorphisme diagonalisable qui n'a qu'une valeur propre $\mu$ est l'homothétie $\mu\,\mathrm{Id}$. C'est un argument standard pour réfuter la diagonalisabilité.
### Question 6.3
> [!INDICATION]
> Pour un vecteur propre $x$ de $f^2$, calculez $\|f(x)\|^2$ à l'aide de la question 5.6.
#### Solution
Soit $\lambda\neq0$ une valeur propre de $f^2$ et $x\neq0$ tel que $f^2(x)=\lambda x$. La question 5.6, appliquée au couple $(x,f(x))$, donne
$$\|f(x)\|^2=(f(x)\mid f(x))=-(x\mid f(f(x)))=-(x\mid\lambda x)=-\lambda\|x\|^2.$$
Le membre de gauche est positif et $\|x\|^2>0$, donc $\lambda\le0$. Comme $\lambda\neq0$, **les valeurs propres non nulles de $f^2$ sont strictement négatives.**
> [!METHODE]
> On retrouve un fait général : si $f$ est antisymétrique, $f^2=-f^*\circ f$ est symétrique négatif, puisque $(f^2(x)\mid x)=-\|f(x)\|^2\le0$.
L'énoncé admet ensuite que les valeurs propres distinctes de $f^2$ sont $0$, $-1$ et $-3$.
### Question 7
> [!INDICATION]
> Le théorème du rang règle la question des dimensions : il suffit de prouver que l'intersection est nulle.
> [!INDICATION]
> Pour $z=f(y)$ dans le noyau, calculez $\|z\|^2=(f(y)\mid z)$ avec la question 5.6.
#### Solution
Par le théorème du rang, $\dim\operatorname{Ker}f+\dim\operatorname{Im}f=\dim E=5$ (ici $1+4$). Il suffit donc de montrer que $\operatorname{Ker}f\cap\operatorname{Im}f=\{0\}$.
Soit $z\in\operatorname{Ker}f\cap\operatorname{Im}f$ : il existe $y\in E$ tel que $z=f(y)$, et $f(z)=0$. Par 5.6 :
$$\|z\|^2=(f(y)\mid z)=-(y\mid f(z))=-(y\mid0)=0,$$
donc $z=0$. L'intersection est nulle et la somme des dimensions vaut $\dim E$ :
$$\boxed{E=\operatorname{Ker}(f)\oplus\operatorname{Im}(f)}.$$
> [!PIEGE]
> L'égalité des dimensions ne suffit pas : pour $f:(x,y)\mapsto(y,0)$ dans $\mathbb R^2$, on a $\operatorname{Ker}f=\operatorname{Im}f$. C'est l'antisymétrie qui garantit ici l'intersection nulle.
> [!METHODE]
> Plus généralement, on a $\operatorname{Im}f\subset(\operatorname{Ker}f)^\perp$ par 5.6, et l'égalité des dimensions donne même $\operatorname{Im}f=(\operatorname{Ker}f)^\perp$ : la somme directe est orthogonale.
### Question 8 — Vecteurs propres de $f^2$ associés à une valeur propre non nulle
On fixe $\lambda\neq0$ valeur propre de $f^2$ et $x$ un vecteur propre associé.
### Question 8.1
> [!INDICATION]
> Supposez une relation $ax+bf(x)=0$ et distinguez les cas $b=0$ et $b\neq0$.
> [!INDICATION]
> Si $b\neq0$, $x$ serait vecteur propre de $f$ : appliquez $f$ une seconde fois et confrontez le résultat au signe de $\lambda$.
#### Solution
Soit $\lambda\neq0$ une valeur propre de $f^2$, donc $\lambda<0$ par 6.3, et $x\neq0$ avec $f^2(x)=\lambda x$. Soient $a,b$ réels tels que $ax+bf(x)=0$.
- Si $b=0$, il reste $ax=0$, donc $a=0$ puisque $x\neq0$.
- Si $b\neq0$, alors $f(x)=kx$ avec $k=-a/b\in\mathbb R$, puis $f^2(x)=kf(x)=k^2x$. Comme $x\neq0$, $\lambda=k^2\ge0$, ce qui contredit $\lambda<0$.
Donc $a=b=0$ : **la famille $(x,f(x))$ est libre.**
> [!METHODE]
> Autre rédaction possible : si la famille était liée, $x$ serait vecteur propre de $f$, donc associé à la valeur propre $0$ (6.1) ; alors $f^2(x)=0=\lambda x$ avec $\lambda\neq0$, d'où $x=0$, ce qui est absurde.
### Question 8.2
> [!INDICATION]
> $f(x)$ est évidemment dans $\operatorname{Im}f$. Pour $x$, écrivez-le comme l'image d'un vecteur en utilisant $\lambda\neq0$.
#### Solution
On a $f(x)\in\operatorname{Im}f$. Comme $\lambda\neq0$,
$$x=\frac1\lambda f^2(x)=f\!\left(\frac1\lambda f(x)\right)\in\operatorname{Im}f.$$
$\operatorname{Im}f$ étant un sous-espace vectoriel, $\operatorname{Vect}(x,f(x))\subset\operatorname{Im}f$. Ce sous-espace est de dimension $2$ puisque $(x,f(x))$ est libre (8.1) : **$(x,f(x))$ engendre un plan vectoriel de $\operatorname{Im}(f)$.**
### Question 9
> [!INDICATION]
> Les préliminaires 2 et 3 vous disent dans quel sous-espace propre de $f^2$ se trouvent $f(u)$ et $f(v)$, et que ces sous-espaces se coupent en $\{0\}$.
> [!INDICATION]
> Partez d'une combinaison nulle $au+bf(u)+cv+df(v)=0$, isolez la partie qui vit dans $E_{-1}$ et celle qui vit dans $E_{-3}$, puis comptez les dimensions.
#### Solution
Notons $E_{-1}$ et $E_{-3}$ les sous-espaces propres de $f^2$ associés à $-1$ et $-3$.
- Par la question préliminaire 2 appliquée à $g=f$ (valeurs propres $-1$ et $-3$ non nulles), $f(u)\in E_{-1}$ et $f(v)\in E_{-3}$. Ainsi $\operatorname{Vect}(u,f(u))\subset E_{-1}$ et $\operatorname{Vect}(v,f(v))\subset E_{-3}$.
- Par la question préliminaire 3 appliquée à $g=f^2$, $E_{-1}\cap E_{-3}=\{0\}$.
- Par 8.1, $(u,f(u))$ et $(v,f(v))$ sont libres.
Soient $a,b,c,d$ réels avec $au+bf(u)+cv+df(v)=0$. Le vecteur $au+bf(u)=-\bigl(cv+df(v)\bigr)$ appartient à $E_{-1}\cap E_{-3}=\{0\}$. Donc $au+bf(u)=0$ et $cv+df(v)=0$, puis $a=b=0$ et $c=d=0$. La famille $(u,f(u),v,f(v))$ est libre.
Ses quatre vecteurs sont dans $\operatorname{Im}f$ (8.2), et $\dim\operatorname{Im}f=4$ (5.3). Une famille libre de $4$ vecteurs dans un espace de dimension $4$ en est une base : **$(u,f(u),v,f(v))$ est une base de $\operatorname{Im}(f)$.**
> [!PIEGE]
> $f(u)$ n'est pas colinéaire à $u$ (sinon $u$ serait vecteur propre de $f$, ce qu'exclut 8.1). C'est bien la question préliminaire 2, et non une colinéarité, qui place $f(u)$ dans $E_{-1}$.
### Question 10
> [!INDICATION]
> Complétez la base de $\operatorname{Im}f$ obtenue en 9 par un vecteur du noyau, en choisissant soigneusement l'ordre des vecteurs.
> [!INDICATION]
> Lisez la matrice colonne par colonne : la colonne $j$ contient les coordonnées de l'image du $j$-ième vecteur de base. Utilisez $f^2(u)=-u$ et $f^2(v)=-3v$.
#### Solution
Par 7, $E=\operatorname{Ker}f\oplus\operatorname{Im}f$. En concaténant la base $(w)$ de $\operatorname{Ker}f$ (5.3) et la base $(u,f(u),v,f(v))$ de $\operatorname{Im}f$ (9), on obtient une base de $E$ :
$$\mathscr B'=(w,\ u,\ f(u),\ v,\ f(v)).$$
Images des vecteurs de $\mathscr B'$ :
$$f(w)=0,\qquad f(u)=f(u),\qquad f(f(u))=f^2(u)=-u,\qquad f(v)=f(v),\qquad f(f(v))=f^2(v)=-3v.$$
La matrice de $f$ dans $\mathscr B'$ est donc
$$T=\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\0&0&-1&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&0&-3\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}.$$
$M$ et $T$ représentent le même endomorphisme dans deux bases : elles sont semblables, avec
$$\boxed{\alpha=-1,\quad\beta=1,\quad\gamma=-3,\quad\delta=1}.$$
Exemple explicite : $w=(1,0,1,0,1)$, $u=(0,1,0,1,0)$ et $v=(0,-1,0,1,0)$ vérifient $Mw=0$, $M^2u=-u$ et $M^2v=-3v$ ; pour la matrice de passage $P$ de colonnes $w,u,Mu,v,Mv$, on vérifie $\det P=12\neq0$ et $P^{-1}MP=T$.
> [!METHODE]
> Contrôle rapide : chaque bloc diagonal $\begin{pmatrix}0&\alpha\\\beta&0\end{pmatrix}$ a pour carré $\alpha\beta\,I_2$, qui doit valoir $-I_2$ pour le premier et $-3I_2$ pour le second.
> [!PIEGE]
> La réponse n'est pas unique : en remplaçant $f(u)$ par $c\,f(u)$ ($c\neq0$) dans la base, on obtient $\beta=c$ et $\alpha=-1/c$. Toute solution vérifie $\alpha\beta=-1$ et $\gamma\delta=-3$ (ou l'inverse si l'on échange les blocs). Une seule solution est demandée, mais il faut préciser la base qui la donne.
Schéma de synthèse de l'exercice :
```text
E = R^5
___________/ | \___________
/ | \
Ker f Vect(u, f(u)) Vect(v, f(v))
dim 1 dim 2 dim 2
f = 0 f^2 = -Id f^2 = -3 Id
\__________ Im f __________/
```
## Exercice 2 — Une transformation intégrale
On étudie $F(x)=\int_0^1\frac{f(t)}{x+t}\,dt$ pour $x>0$. Pour $f(t)=t^n$, une relation de récurrence télescopique donne une formule exacte faisant apparaître le développement limité de $\ln(1+X)$. Pour $f=\exp$, on ne calcule pas $G$ : on montre qu'une combinaison de $G$ et de primitives est constante, ce qui suffit à obtenir le comportement de $G$ en $0^+$. Les préliminaires fournissent exactement les outils nécessaires.
### Question 1
> [!INDICATION]
> Formule de Taylor-Young, ou développement de référence.
#### Solution
$$\boxed{e^t=1+t+\frac{t^2}{2}+\underset{t\to0}{o}(t^2)}$$
### Question 2
> [!INDICATION]
> Quel théorème garantit qu'une fonction continue sur un intervalle possède une primitive, et sous quelle forme ?
#### Solution
$h$ est continue sur l'**intervalle** $\mathbb R_+^*$ et $a\in\mathbb R_+^*$. D'après le théorème fondamental de l'analyse, $H:x\mapsto\int_a^xh(t)\,dt$ est l'unique primitive de $h$ sur $\mathbb R_+^*$ qui s'annule en $a$. $H$ est donc dérivable, de dérivée $h$ continue :
$$\boxed{H\in\mathcal C^1(\mathbb R_+^*),\qquad\forall x>0,\ H'(x)=h(x)}.$$
> [!PIEGE]
> Les deux hypothèses comptent : $h$ continue sur un **intervalle** contenant $a$ et $x$. Ici $\mathbb R_+^*$ est un intervalle et $a$, $x$, $x+1$ y sont.
### Question 3
> [!INDICATION]
> Exprimez $G$ à l'aide de $H$ par la relation de Chasles.
#### Solution
Pour $x>0$, $x+1>0$ et la relation de Chasles donne
$$G(x)=\int_a^{x+1}h(t)\,dt-\int_a^xh(t)\,dt=H(x+1)-H(x).$$
$H$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R_+^*$ (question 2) et $x\mapsto x+1$ est de classe $\mathcal C^1$ de $\mathbb R_+^*$ dans $\mathbb R_+^*$. Par composition et différence, **$G$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R_+^*$**, et
$$\boxed{G'(x)=h(x+1)-h(x)}.$$
> [!METHODE]
> Pour dériver $x\mapsto\int_{u(x)}^{v(x)}h(t)\,dt$, on écrit $H(v(x))-H(u(x))$ avec une primitive $H$ : la dérivée vaut $v'(x)h(v(x))-u'(x)h(u(x))$.
### Question 4
> [!INDICATION]
> À $x>0$ fixé, l'intégrale porte sur un segment : il suffit que l'intégrande soit continue.
#### Solution
Soit $x>0$. Pour tout $t\in[0,1]$, $x+t\ge x>0$, donc le dénominateur ne s'annule pas et $t\mapsto\frac{f(t)}{x+t}$ est continue sur le segment $[0,1]$ comme quotient de fonctions continues. Son intégrale existe : **$F$ est définie sur $\mathbb R_+^*$.**
> [!PIEGE]
> En $x=0$, l'intégrande $f(t)/t$ n'est en général pas définie en $t=0$ : c'est pourquoi on se limite à $x>0$. La question 6.2.3 montre que $G$ diverge bien en $0^+$.
### Question 5 — Un premier exemple
On calcule $F_n=T(t\mapsto t^n)$ par récurrence.
### Question 5.1
> [!INDICATION]
> Une primitive de $t\mapsto\frac1{x+t}$ est immédiate.
#### Solution
$$F_0(x)=\int_0^1\frac{dt}{x+t}=\bigl[\ln(x+t)\bigr]_0^1=\ln(x+1)-\ln x,\qquad\boxed{F_0(x)=\ln\!\left(1+\frac1x\right)}.$$
### Question 5.2
> [!INDICATION]
> Réunissez les deux intégrales en une seule et factorisez le numérateur.
#### Solution
Par linéarité de l'intégrale, pour $k\ge1$ :
$$F_k(x)+xF_{k-1}(x)=\int_0^1\frac{t^k+xt^{k-1}}{x+t}\,dt=\int_0^1\frac{t^{k-1}(t+x)}{x+t}\,dt=\int_0^1t^{k-1}\,dt,$$
$$\boxed{F_k(x)+xF_{k-1}(x)=\frac1k}.$$
### Question 5.3
> [!INDICATION]
> Divisez la relation de 5.2 par $(-x)^k$.
> [!INDICATION]
> Écrivez $x=-(-x)$ pour faire apparaître $(-x)^{k-1}$ au dénominateur.
#### Solution
D'après 5.2, $F_k(x)=\frac1k+(-x)F_{k-1}(x)$. On divise par $(-x)^k\neq0$, en utilisant $\frac{-x}{(-x)^k}=\frac{1}{(-x)^{k-1}}$ :
$$\frac{F_k(x)}{(-x)^k}=\frac{1}{k(-x)^k}+\frac{F_{k-1}(x)}{(-x)^{k-1}}.$$
Enfin $\frac{1}{(-x)^k}=\frac{1}{(-1)^kx^k}=\frac{(-1)^k}{x^k}$, donc
$$\boxed{\frac{F_k(x)}{(-x)^k}-\frac{F_{k-1}(x)}{(-x)^{k-1}}=\frac{(-1)^k}{k}\left(\frac1x\right)^k}.$$
> [!PIEGE]
> Ne confondez pas $(-x)^k$ et $-x^k$, qui diffèrent quand $k$ est pair. Vérification sur $k=1$ : $F_1(x)=1-xF_0(x)$, donc $\frac{F_1(x)}{-x}-F_0(x)=-\frac1x$, ce que donne bien la formule.
### Question 5.4
> [!INDICATION]
> La relation de 5.3 est de la forme $u_k-u_{k-1}=a_k$ : sommez-la.
> [!INDICATION]
> Isolez $F_n(x)/(-x)^n$ et regroupez les signes pour faire apparaître un polynôme en $\frac1x$ que vous reconnaîtrez.
#### Solution
Soit $n\ge1$. En sommant 5.3 pour $k=1,\dots,n$, la somme télescope :
$$\frac{F_n(x)}{(-x)^n}-\frac{F_0(x)}{(-x)^0}=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{k}\left(\frac1x\right)^k.$$
Avec 5.1 :
$$\frac{F_n(x)}{(-x)^n}=\ln\!\left(1+\frac1x\right)-\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}}{k}\left(\frac1x\right)^k.$$
En posant
$$\boxed{P_n(X)=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k-1}}{k}X^k=X-\frac{X^2}2+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}X^n},$$
on a $F_n(x)=(-x)^n\bigl(\ln(1+\frac1x)-P_n(\frac1x)\bigr)$ pour $n\ge1$. Pour $n=0$, la formule vaut avec $P_0=0$ d'après 5.1. Elle est donc vraie pour tout $n\in\mathbb N$.
> [!METHODE]
> $P_n$ est la partie régulière du développement limité de $\ln(1+X)$ à l'ordre $n$ en $0$. On peut en tirer, pour $x$ grand, $\ln(1+\frac1x)-P_n(\frac1x)=O(x^{-n-1})$, ce qui est cohérent avec $F_n(x)\sim\frac{1}{(n+1)x}$ quand $x\to+\infty$.
### Question 6 — Un deuxième exemple
Pour $g=\exp$, on établit la régularité de $G=T(g)$, puis une identité « $L$ constante » qui donne le comportement de $G$ en $0^+$ sans calculer $G$.
### Question 6.1
> [!INDICATION]
> Après le changement de variable, la variable $x$ apparaît dans les bornes et dans un facteur $e^{-x}$ que l'on sort de l'intégrale.
> [!INDICATION]
> L'intégrale restante est de la forme étudiée à la question préliminaire 3.
#### Solution
Soit $x>0$. Le changement de variable affine $u=x+t$ ($du=dt$ ; $t=0\mapsto u=x$, $t=1\mapsto u=x+1$) donne
$$G(x)=\int_x^{x+1}\frac{e^{u-x}}{u}\,du=e^{-x}\,\Phi(x),\qquad\Phi(x)=\int_x^{x+1}\frac{e^u}{u}\,du.$$
La fonction $\varphi:u\mapsto e^u/u$ est continue sur $\mathbb R_+^*$. D'après la question préliminaire 3 (avec $h=\varphi$), $\Phi$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R_+^*$ et
$$\Phi'(x)=\frac{e^{x+1}}{x+1}-\frac{e^x}{x}.$$
$G$ est le produit de $x\mapsto e^{-x}$ et de $\Phi$, toutes deux de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R_+^*$ : **$G$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R_+^*$**, et
$$G'(x)=-e^{-x}\Phi(x)+e^{-x}\Phi'(x)=-G(x)+\frac{e}{x+1}-\frac1x.$$
> [!METHODE]
> Quand le paramètre apparaît à l'intérieur de l'intégrande mais sous une forme « translation », un changement de variable le transfère dans les bornes : on évite ainsi le théorème de dérivation sous l'intégrale.
### Question 6.2.1
> [!INDICATION]
> Pour $K$, rien de particulier : l'intégrande est continue sur $\mathbb R_+$.
> [!INDICATION]
> Pour $J$, l'intégrande n'est pas définie en $0$ : utilisez le développement limité de la question 1 pour la prolonger par continuité.
#### Solution
*Cas de $K$.* $t\mapsto\frac{e^t}{1+t}$ est continue sur l'intervalle $\mathbb R_+$, car $1+t\ge1$. Par le théorème fondamental de l'analyse, $K$ est sa primitive nulle en $0$ : $K$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R_+$, avec $K'(x)=\frac{e^x}{1+x}$.
*Cas de $J$.* Posons $\psi(t)=\frac{e^t-1}{t}$ pour $t>0$. D'après la question 1, $e^t-1=t+\frac{t^2}2+o(t^2)$, donc $\psi(t)=1+\frac t2+o(t)\xrightarrow[t\to0^+]{}1$. En posant $\psi(0)=1$, on obtient une fonction continue sur $\mathbb R_+$. L'intégrale $J(x)=\int_0^x\psi(t)\,dt$ existe donc pour tout $x\ge0$, et par le théorème fondamental, $J$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R_+$, avec
$$J'(x)=\frac{e^x-1}{x}\ (x>0),\qquad J'(0)=1.$$
**$J$ et $K$ sont de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R_+$.**
> [!PIEGE]
> Le « lorsque cela existe » de l'énoncé attend que l'on justifie l'existence de $J(x)$ : c'est le prolongement par continuité en $0$ qui le fait. Sans lui, on ne peut pas appliquer le théorème fondamental sur $\mathbb R_+$.
### Question 6.2.2
> [!INDICATION]
> Dérivez $L$ terme à terme et utilisez l'expression de $G'$ obtenue en 6.1.
> [!INDICATION]
> Regroupez d'abord $G'(x)e^x+G(x)e^x$ : les termes en $G$ disparaissent.
#### Solution
$G$, $\exp$, $K$, $J$ et $\ln$ sont de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R_+^*$, donc $L$ aussi. Pour $x>0$ :
$$L'(x)=\bigl(G'(x)+G(x)\bigr)e^x-e\,K'(x)+J'(x)+\frac1x.$$
D'après 6.1, $G'(x)+G(x)=\frac{e}{x+1}-\frac1x$, donc $\bigl(G'(x)+G(x)\bigr)e^x=\frac{e^{x+1}}{x+1}-\frac{e^x}{x}$. D'autre part $e\,K'(x)=\frac{e^{x+1}}{1+x}$. Ainsi
$$L'(x)=\frac{e^{x+1}}{x+1}-\frac{e^x}{x}-\frac{e^{x+1}}{x+1}+\frac{e^x-1}{x}+\frac1x=\frac{-e^x+e^x-1+1}{x}=0.$$
$L'$ est nulle sur l'**intervalle** $\mathbb R_+^*$ : **$L$ est constante sur $\mathbb R_+^*$.**
> [!METHODE]
> Pour montrer qu'une fonction est constante, on dérive et l'on conclut sur un intervalle. Si le calcul ne donne pas exactement $0$, une erreur s'est glissée : c'est un auto-contrôle gratuit.
### Question 6.2.3
> [!INDICATION]
> Isolez $G(x)e^x$ dans l'égalité $L(x)=C$.
> [!INDICATION]
> Quand $x\to0^+$, que deviennent $J(x)$ et $K(x)$ (question 6.2.1), et $\ln x$ ?
#### Solution
Notons $C$ la valeur constante de $L$. Pour $x>0$ :
$$G(x)e^x=C+e\,K(x)-J(x)-\ln x.$$
$J$ et $K$ sont continues en $0$ (6.2.1) et $J(0)=K(0)=0$, donc $C+eK(x)-J(x)\to C$ quand $x\to0^+$, tandis que $-\ln x\to+\infty$. Donc $G(x)e^x\to+\infty$ et, comme $e^{-x}\to1$,
$$\boxed{\lim_{x\to0^+}G(x)=+\infty}.$$
Pour l'équivalent :
$$\frac{G(x)e^x}{-\ln x}=1+\frac{C+eK(x)-J(x)}{-\ln x}\xrightarrow[x\to0^+]{}1,$$
car le numérateur de la fraction tend vers $C$ et le dénominateur vers $+\infty$. Donc $G(x)e^x\sim-\ln x$, et comme $e^x\to1$ :
$$\boxed{G(x)\underset{x\to0^+}{\sim}-\ln x=\ln\frac1x}.$$
> [!PIEGE]
> On n'a pas besoin de connaître $C$. Il faut en revanche justifier l'équivalent (par un quotient qui tend vers $1$, ou en disant qu'une quantité bornée est négligeable devant $-\ln x\to+\infty$), et non le déduire de la seule limite.
> [!METHODE]
> En faisant tendre $x$ vers $0^+$ dans $L$, on obtient $C=\lim_{x\to0^+}\bigl(G(x)+\ln x\bigr)$. Numériquement $C\approx1{,}318$ : ainsi $G(x)=-\ln x+C+o(1)$, un développement plus précis que l'équivalent demandé.
## Exercice 3 — Variance extrémale d'une variable à trois valeurs
La variance de $X$ s'écrit comme une fonction polynomiale $f(p_1,p_2)$ sur le triangle $T$ des lois possibles. $f$ n'a aucun point critique : ses extrema sont sur le bord, où elle se ramène à la fonction $g(x)=x(1-x)$. On conclut en revenant aux probabilités.
### Question 1
> [!INDICATION]
> Élevez au carré chaque valeur possible de $X$. Attention : « à valeurs dans » ne signifie pas que chaque valeur est prise.
#### Solution
$X(\Omega)\subset\{1,2,3\}$, donc $X^2(\Omega)\subset\{1^2,2^2,3^2\}=\{1,4,9\}$. **Les valeurs possibles de $X^2$ sont $1$, $4$ et $9$**, la valeur $k^2$ étant prise avec la probabilité $p_k$ (puisque $X^2=k^2\iff X=k$ pour $X$ à valeurs positives).
### Question 2
> [!INDICATION]
> Formule de transfert.
#### Solution
Par la formule de transfert :
$$\boxed{\mathbb E(X^2)=\sum_{k=1}^3k^2\,\mathbb P(X=k)=p_1+4p_2+9p_3}.$$
### Question 3
> [!INDICATION]
> Éliminez $p_3$ grâce à $p_1+p_2+p_3=1$, puis utilisez la formule de König-Huygens.
#### Solution
Comme $p_3=1-p_1-p_2$ :
$$\mathbb E(X^2)=p_1+4p_2+9(1-p_1-p_2)=9-8p_1-5p_2,$$
$$\mathbb E(X)=p_1+2p_2+3(1-p_1-p_2)=3-2p_1-p_2.$$
Par la formule de König-Huygens, $\mathbb V(X)=\mathbb E(X^2)-\mathbb E(X)^2$. Avec
$$(3-2p_1-p_2)^2=9+4p_1^2+p_2^2-12p_1-6p_2+4p_1p_2,$$
on obtient
$$\boxed{\mathbb V(X)=4p_1+p_2-4p_1^2-p_2^2-4p_1p_2}.$$
> [!METHODE]
> Contrôles rapides : pour $p_1=1$ ($X=1$ presque sûrement), on trouve $4-4=0$ ; pour $p_2=1$, $1-1=0$ ; pour $p_1=p_2=0$, $0$. Une variable constante a bien une variance nulle.
On reconnaît $\mathbb V(X)=f(p_1,p_2)$, où $f$ est la fonction de la question 4.
### Question 4 — Extrema de $f$ sur le triangle $T$
On étudie $f(x,y)=4x+y-4x^2-y^2-4xy$ sur $T=\{(x,y)\in[0,1]^2,\ x+y\le1\}$.
### Question 4.1
> [!INDICATION]
> Tracez les trois droites $x=0$, $y=0$ et $x+y=1$.
#### Solution
$T$ est le triangle plein, bord compris, de sommets $O(0,0)$, $A(1,0)$ et $B(0,1)$ : c'est la moitié du carré $[0,1]^2$ située sous la diagonale $x+y=1$ (les contraintes $x\le1$ et $y\le1$ sont alors automatiques).
### Question 4.2
> [!INDICATION]
> De quelle nature est l'expression de $f$ ?
#### Solution
$f$ est une fonction polynomiale des deux variables $x$ et $y$. Les fonctions polynomiales sont de classe $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbb R^2$ ; en particulier **$f$ est de classe $\mathcal C^2$ sur $\mathbb R^2$.**
### Question 4.3
> [!INDICATION]
> Théorème des bornes atteintes : vérifiez chacune de ses hypothèses.
#### Solution
$f$ est continue sur $\mathbb R^2$ (4.2), donc sur $T$. $T$ est non vide, borné (inclus dans $[0,1]^2$) et fermé (intersection des demi-plans fermés $\{x\ge0\}$, $\{y\ge0\}$, $\{x+y\le1\}$, et du fermé $[0,1]^2$). D'après le théorème des bornes atteintes, une fonction continue sur une partie fermée bornée non vide de $\mathbb R^2$ est bornée et atteint ses bornes : **$f$ admet sur $T$ un maximum et un minimum.**
> [!PIEGE]
> L'énoncé dit que $T$ est fermé et borné ; il est néanmoins bon de rappeler pourquoi en une ligne, et de citer le théorème par son nom.
### Question 4.4
> [!INDICATION]
> Calculez les deux dérivées partielles ; attention au terme croisé.
#### Solution
$\partial_xf(x,y)=4-8x-4y$ et $\partial_yf(x,y)=1-2y-4x$, donc
$$\boxed{\nabla f(m)=\begin{pmatrix}4-8x-4y\\1-4x-2y\end{pmatrix}}.$$
### Question 4.5
> [!INDICATION]
> Écrivez le système $\nabla f=0$ et comparez les deux équations.
#### Solution
Un point critique vérifierait
$$\begin{cases}8x+4y=4\\4x+2y=1\end{cases}$$
En multipliant la seconde équation par $2$, on obtient $8x+4y=2$, incompatible avec $8x+4y=4$. Le système n'a aucune solution : **$f$ n'a aucun point critique dans $\mathbb R^2$, a fortiori dans l'intérieur de $T$.**
> [!METHODE]
> Les deux lignes de la matrice hessienne $\begin{pmatrix}-8&-4\\-4&-2\end{pmatrix}$ sont proportionnelles : le système linéaire $\nabla f=0$ est alors soit sans solution, soit à une infinité de solutions. Ici il est incompatible.
### Question 4.6
> [!INDICATION]
> Étudiez le signe de $g'$ sur $[0,1]$ ; pour le graphe, repérez le sommet et les tangentes aux extrémités.
#### Solution
$g(x)=x-x^2$ est dérivable sur $\mathbb R$, avec $g'(x)=1-2x$, positive sur $[0,\frac12]$ et négative sur $[\frac12,1]$. $g$ est strictement croissante sur $[0,\frac12]$, strictement décroissante sur $[\frac12,1]$, avec $g(0)=g(1)=0$ et $g(\frac12)=\frac14$.
| $x$ | $0$ | | $\frac12$ | | $1$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $g'(x)$ | $1$ | $+$ | $0$ | $-$ | $-1$ |
| $g(x)$ | $0$ | croissante | $\frac14$ | décroissante | $0$ |
Représentation graphique : arc de parabole tourné vers le bas, symétrique par rapport à la droite $x=\frac12$ (figure 2).
En particulier, $0\le g(x)\le\frac14$ pour $x\in[0,1]$, avec égalité à gauche seulement en $0$ et $1$, à droite seulement en $\frac12$.
### Question 4.7
> [!INDICATION]
> Commencez par expliquer pourquoi les extrema ne peuvent pas être atteints à l'intérieur de $T$.
> [!INDICATION]
> Paramétrez chacun des trois côtés du triangle par une seule variable dans $[0,1]$ : vous devez retrouver la fonction $g$ de la question précédente, éventuellement multipliée par une constante.
#### Solution
*Localisation des extrema.* L'intérieur $\mathring T=\{x>0,\ y>0,\ x+y<1\}$ est un ouvert. Si un extremum de $f$ sur $T$ était atteint en un point de $\mathring T$, ce serait un extremum local de $f$ sur cet ouvert, donc un point critique (condition nécessaire du premier ordre), ce qu'exclut 4.5. Les extrema de $f$ sur $T$, qui existent d'après 4.3, sont donc atteints sur le bord de $T$, réunion des trois côtés.
*Étude sur les côtés.*
- Côté $[OB]$ : $x=0$, $y\in[0,1]$, $f(0,y)=y-y^2=g(y)$.
- Côté $[OA]$ : $y=0$, $x\in[0,1]$, $f(x,0)=4x-4x^2=4g(x)$.
- Côté $[AB]$ : $y=1-x$, $x\in[0,1]$ :
$$f(x,1-x)=4x+(1-x)-4x^2-(1-2x+x^2)-4x(1-x)=x-x^2=g(x).$$
D'après 4.6, sur le bord, $f$ prend ses valeurs dans $[0,\frac14]$ sur $[OB]$ et $[AB]$, et dans $[0,1]$ sur $[OA]$. La valeur $1$ n'est atteinte qu'au milieu $(\frac12,0)$ de $[OA]$ ; la valeur $0$ n'est atteinte qu'aux extrémités des côtés, c'est-à-dire aux trois sommets. Donc
$$\boxed{\max_Tf=f\!\left(\tfrac12,0\right)=1,\qquad\min_Tf=0\ \text{atteint exactement en }(0,0),\ (1,0),\ (0,1)}.$$
> [!PIEGE]
> Il faut étudier les **trois** côtés, y compris l'hypoténuse $x+y=1$, et comparer les valeurs obtenues. Oublier un côté peut faire manquer un extremum.
> [!METHODE]
> Schéma général pour les extrema d'une fonction continue sur un compact : existence par les bornes atteintes, recherche des points critiques intérieurs, étude de la restriction au bord, puis comparaison de toutes les valeurs candidates.
### Question 5
> [!INDICATION]
> Traduisez les contraintes sur $(p_1,p_2,p_3)$ en une condition sur $(p_1,p_2)$, et revenez à la question 3.
#### Solution
Les conditions « $p_1,p_2,p_3\in[0,1]$ et $p_1+p_2+p_3=1$ » équivalent à « $(p_1,p_2)\in T$ et $p_3=1-p_1-p_2$ » : en effet, si $(p_1,p_2)\in T$, alors $p_3=1-p_1-p_2\in[0,1]$, et réciproquement. Toute loi sur $\{1,2,3\}$ correspond donc à un point de $T$, et $\mathbb V(X)=f(p_1,p_2)$ (question 3). D'après 4.7 :
- **$\mathbb V(X)$ est maximale, égale à $1$, si et seulement si $(p_1,p_2,p_3)=(\frac12,0,\frac12)$** : $X$ vaut $1$ ou $3$ avec probabilité $\frac12$ chacune ;
- **$\mathbb V(X)$ est minimale, égale à $0$, si et seulement si $(p_1,p_2,p_3)\in\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$.**
> [!METHODE]
> Le résultat est intuitif : la variance mesure la dispersion, maximale quand la masse est répartie à parts égales sur les deux valeurs extrêmes ; on retrouve d'ailleurs $\mathbb V(X)=\bigl(\frac{3-1}{2}\bigr)^2=1$.
### Question 6
> [!INDICATION]
> Regardez la loi de $X$ dans chacun des trois cas obtenus.
#### Solution
Dans chacun des trois cas, l'un des $p_k$ vaut $1$ et les deux autres sont nuls : **$X$ est presque sûrement constante** (égale à $1$, $2$ ou $3$). C'est conforme à la propriété générale : $\mathbb V(X)=0$ si et seulement si $X=\mathbb E(X)$ presque sûrement.
> [!PIEGE]
> Dire « $X$ est constante » est un abus : $X$ peut prendre d'autres valeurs sur un ensemble de probabilité nulle. La formulation correcte est « presque sûrement constante ».
## Bilan
**Méthodes à retenir.**
- *Antisymétrie* ($M^\top=-M$) : déterminant nul en taille impaire ; $(f(x)\mid x)=0$, d'où un spectre réel réduit à $\{0\}$ ; $f^2$ symétrique à valeurs propres négatives ; $\operatorname{Ker}f$ et $\operatorname{Im}f$ supplémentaires orthogonaux. La réduction obtenue (droite noyau et plans stables sur lesquels $f^2=\lambda\,\mathrm{Id}$, $\lambda<0$) est le modèle de la réduction des matrices antisymétriques réelles.
- *Familles libres* : pour montrer que $(x,f(x))$ est libre, on suppose une relation et l'on distingue selon le coefficient de $f(x)$ ; pour recoller deux familles libres, on utilise une somme directe.
- *Intégrales dépendant d'un paramètre dans les bornes* : se ramener à une primitive $H$ et dériver $H(v(x))-H(u(x))$ ; un changement de variable $u=x+t$ fait passer le paramètre de l'intégrande dans les bornes.
- *Relation de récurrence télescopique* : diviser par le bon facteur ($(-x)^k$) pour obtenir $u_k-u_{k-1}=a_k$, puis sommer.
- *Fonction constante* : dériver sur un intervalle ; une combinaison bien choisie évite tout calcul explicite.
- *Extrema sur un compact* : bornes atteintes, points critiques intérieurs, étude du bord, comparaison.
**Prérequis à revoir.** Définition d'un vecteur propre (non nul) ; théorème du rang ; caractérisation d'un endomorphisme symétrique par sa matrice en base orthonormale ; théorème spectral ; théorème fondamental de l'analyse ; prolongement par continuité ; équivalents et négligeabilité ; formule de transfert et formule de König-Huygens ; théorème des bornes atteintes et condition nécessaire d'extremum local sur un ouvert.
**Questions transposables.** « Une matrice antisymétrique de taille impaire n'est pas inversible », « un endomorphisme diagonalisable à une seule valeur propre est une homothétie », « $\operatorname{Ker}f\oplus\operatorname{Im}f$ via une intersection nulle », « $F_k+xF_{k-1}=\frac1k$ » (même technique pour $\int_0^1\frac{t^n}{1+t}dt$ et le développement de $\ln2$), « extrema d'une fonction polynomiale de degré $2$ sur un triangle » : ces gestes reviennent régulièrement aux concours PC.
Aide sur le corrigé
Connectez-vous pour demander une explication.