Maths 2

# Mathématiques 2

Concours Centrale-Supélec. Filières MP, MPI. Session 2026.

Durée : 4 heures.

Calculatrice autorisée.

On note $|x|$ la partie entière d’un nombre réel $x$. On rappelle qu’il s’agit de l’unique nombre entier pour lequel l’encadrement suivant est satisfait : $|x| \leqslant x < |x| + 1$.

Pour $s$ un nombre complexe, on note $\operatorname{Re}(s)$ et $\operatorname{Im}(s)$ ses parties réelle et imaginaire respectivement.

Le sujet utilise abondamment la lettre grecque $\zeta$ (« zeta »). Pour $s$ un nombre réel strictement supérieur à 1, on note :

$$
\zeta(s) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^s}.
$$

Divers prolongements de cette fonction $\zeta$ sont étudiés au cours du sujet.

Pour $k$ un entier supérieur ou égal à 2, on définit la fonction $f_k$ sur $]0, 1]$ par :

$$
f_k(t) = \frac{1}{k}\left|\frac{1}{t}\right| - \left|\frac{1}{kt}\right|.
$$

Le problème vise à établir une condition suffisante pour que la fonction $\zeta$ ne s’annule pas sur l’ensemble des nombres complexes de partie réelle strictement supérieure à $\dfrac{1}{2}$ (cette non annulation étant une forme de l’hypothèse de Riemann), la condition considérée portant sur la géométrie des fonctions $f_k$ dans un espace ad hoc.

## Partie A — Questions préliminaires

### I — La fonction $\zeta$ sur l’intervalle $]1, +\infty[$

Pour $k$ entier naturel non nul, on définit $u_k(s) = \dfrac{1}{k^s}$ sur $\mathbb{R}$.

**Q1.** La série de fonctions $\displaystyle\sum_{k \geqslant 1} u_k$ converge-t-elle normalement sur l’intervalle $]1, +\infty[$ ?

**Q2.** Montrer que la fonction $s \mapsto \zeta(s) = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^s}$ est continue sur l’intervalle $]1, +\infty[$.

**Q3.** Montrer que la fonction $\zeta$ ne s’annule pas sur l’intervalle $]1, +\infty[$. Préciser son signe.

### II — Cas de la variable complexe

**Q4.** Soit $s$ un nombre complexe et $t$ un nombre réel strictement positif. On note $t^s = e^{s \ln(t)}$. Exprimer le module $|t^s|$ à l’aide de $t$ et du couple $\bigl(\operatorname{Re}(s), \operatorname{Im}(s)\bigr)$.

Soit $s$ un nombre complexe tel que $\operatorname{Re}(s) > 1$.

**Q5.** Établir que la série $\displaystyle\sum_{k \geqslant 1} \dfrac{1}{k^s}$ converge absolument.

On note encore $\zeta(s)$ la somme de cette série : $\zeta(s) = \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^s}$.

On note $(p_i)_{i \geqslant 1}$ la suite des nombres premiers rangés par ordre croissant. Ainsi, $p_1 = 2$, $p_2 = 3$, $p_3 = 5$, $p_4 = 7$. On utilisera librement le fait que $\lim_n p_n = +\infty$.

**Q6.** Soit $n$ un entier naturel non nul. Justifier que la famille $\left(\dfrac{1}{\bigl(p_1^{m_1} \ldots p_n^{m_n}\bigr)^s}\right)_{(m_1, \ldots, m_n) \in \mathbb{N}^n}$ est une famille sommable et que la somme de cette famille, notée $S_n(s)$, est donnée par

$$
S_n(s) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{1 - p_i^{-s}}.
$$

Pour $n$ entier naturel non nul, on note $\mathrm{N}_n$ l’ensemble des entiers naturels non nuls dont la factorisation en nombres premiers ne fait intervenir que les nombres $p_1, \ldots, p_n$.

**Q7.** En considérant la somme $\displaystyle\sum_{k \in \mathrm{N}_n} \dfrac{1}{k^s}$, exprimer la limite de $S_n(s)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ à l’aide d’une valeur de la fonction $\zeta$.

On note $x$ la partie réelle du nombre $s$. On rappelle qu’on travaille sous l’hypothèse $x > 1$.

**Q8.** Déterminer la nature de la série $\displaystyle\sum_i \dfrac{1}{p_i^x}$. On pourra justifier et exploiter la convergence de la suite $(S_n(s))_n$.

On note $\displaystyle a_n = \prod_{i=1}^{n} \frac{p_i^x}{p_i^x + 1}$.

**Q9.** Montrer que la suite $(a_n)_n$ converge et que sa limite est un réel strictement positif. On considérera la suite de terme général $\ln(a_n)$.

**Q10.** Pour tout $n \geqslant 1$, établir l’inégalité $|S_n(s)| \geqslant a_n$ et en déduire que le nombre $\zeta(s)$ est non nul.

### III — Un calcul d’intégrale

Dans cette question, la lettre $s$ désigne un nombre complexe tel que $\operatorname{Re}(s) > \dfrac{1}{2}$.

**Q11.** Établir que la fonction $t \mapsto t^{2(s-1)}$ est intégrable sur $]0, 1]$, puis calculer l’intégrale $\displaystyle\int_0^1 \bigl|t^{s-1}\bigr|^2\, \mathrm{d}t$.

### IV — Une étude géométrique

Pour tout nombre réel $d$ dans l’intervalle $]0, 1]$, on considère $\Delta_d$ l’ensemble des points $M$ du plan complexe dont l’affixe $s$ satisfait l’inégalité $d^2 |s|^2 \geqslant 2\operatorname{Re}(s) - 1$.

**Q12.** Soit $d \in ]0, 1]$. Montrer que $\Delta_d$ est égal au complémentaire dans le plan complexe d’un disque $\mathcal{D}_d$ dont on précisera le centre $O_d$ et le rayon $R_d$ en fonction de $d$.

**Q13.** Pour $d \in ]0, 1]$, on pose $\displaystyle g(d) = \frac{1}{d^2} - \frac{\sqrt{1-d^2}}{d^2}$. Déterminer l’image par la fonction $g$ de l’intervalle $]0, 1]$. On pourra procéder par étude des variations.

**Q14.** Déterminer l’intersection $\displaystyle\bigcap_{d \in ]0, 1]} \Delta_d$.

## Partie B — Étude analytique

### I — Transformée de Mellin des fonctions $f_k$

Soit $k$ un entier supérieur ou égal à 2. On rappelle l’expression :

$$
f_k(t) = \frac{1}{k}\left|\frac{1}{t}\right| - \left|\frac{1}{kt}\right|.
$$

**Q15.** Calculer $f_k\left(\dfrac{1}{i}\right)$ pour $i$ entier compris entre 1 et $k$.

**Q16.** Pour $t$ dans l’intervalle $]0, 1]$, établir l’encadrement :

$$
0 \leqslant f_k(t) \leqslant \frac{k-1}{k}.
$$

On pourra commencer en utilisant la définition de la partie entière $\left|\dfrac{1}{kt}\right|$, dont on déduira un encadrement de $\dfrac{1}{t}$ qu’on interprétera au vu de la définition de $\left|\dfrac{1}{t}\right|$.

**Q17.** Déduire des deux questions précédentes l’ensemble des valeurs prises par $f_k$ sur l’intervalle $]0, 1]$.

**Q18.** Justifier que la fonction $f_k$ est continue par morceaux et intégrable sur $]0, 1]$.

Dans les questions suivantes, $s$ désigne un nombre réel strictement supérieur à 1.

**Q19.** Dans cette question uniquement, on élargit l’étude au cas $k = 1$ (et donc $k$ est un entier naturel non nul).

Montrer que l’intégrale $\displaystyle\int_0^1 \left|\frac{1}{kt}\right| t^{s-1}\, \mathrm{d}t$ converge.

On note :

$$
F(s) = \int_0^1 \left|\frac{1}{t}\right| t^{s-1}\, \mathrm{d}t.
$$

**Q20.** Établir :

$$
F(s) = \sum_{j=1}^{+\infty} j \int_{1/(j+1)}^{1/j} t^{s-1}\, \mathrm{d}t = \frac{1}{s}\zeta(s).
$$

**Q21.** Pour $k$ entier supérieur ou égal à 2 et $s > 1$, établir l’égalité :

$$
\int_0^1 f_k(t)\, t^{s-1}\, \mathrm{d}t = \frac{1}{s}\left(\frac{1}{k} - \frac{1}{k^s}\right)\zeta(s).
$$

### II — Prolongement de la fonction $\zeta$

Soit $s$ un nombre réel strictement positif.

**Q22.** Soit $k$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $h$ sur $]0, +\infty[$ définie par $h(t) = \dfrac{1}{t^s}$. Déterminer le maximum de $|h'(t)|$ sur le segment $[k, k+1]$.

**Q23.** Montrer que la série $\displaystyle\sum_{k \geqslant 1} \int_k^{k+1} \left(\frac{1}{k^s} - \frac{1}{t^s}\right)\, \mathrm{d}t$ est une série à termes positifs convergente et que sa somme $G(s)$ vérifie :

$$
0 \leqslant G(s) \leqslant s\zeta(s+1).
$$

**Q24.** Dans cette question, on suppose $s > 1$. Établir l’égalité :

$$
\zeta(s) - G(s) = \frac{1}{s-1},
$$

puis l’estimation asymptotique $\zeta(s) = \dfrac{1}{s-1} + O(1)$ lorsque $s$ tend vers 1 par valeurs supérieures.

On admet que les résultats de cette partie se généralisent, au prix de quelques menues adaptations, au cas où $s$ est un nombre complexe de partie réelle strictement positive. On peut alors définir $\zeta(s)$ pour $s$ un nombre complexe distinct de 1 dont la partie réelle satisfait $0 < \operatorname{Re}(s) \leqslant 1$ par

$$
\zeta(s) = \frac{1}{s-1} + G(s).
$$

### III — Intégrale des fonctions $f_k$

**Q25.** Montrer que $\displaystyle\int_0^1 f_k(t)\, t^{s-1}\, \mathrm{d}t$ tend vers $\displaystyle\int_0^1 f_k(t)\, \mathrm{d}t$ lorsque $s$ tend vers 1 par valeurs réelles strictement supérieures.

**Q26.** En utilisant la question précédente et les questions **Q21** et **Q24**, établir l’égalité :

$$
\int_0^1 f_k(t)\, \mathrm{d}t = \frac{\ln(k)}{k}.
$$

## Partie C — Étude algébrique et géométrique

On note $E$ l’espace des fonctions continues par morceaux sur $]0, 1]$ et à valeurs réelles. On définit en outre le sous-ensemble $L^2$ des fonctions $f$ de $E$ telles que l’intégrale $\displaystyle\int_0^1 f(t)^2\, \mathrm{d}t$ converge.

### I — Une forme bilinéaire symétrique positive

**Q27.** On considère des fonctions continues par morceaux sur $]0, 1]$, sans qu’il soit besoin de le spécifier à chaque fois.

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie en justifiant complètement :

a) toute fonction bornée appartient à $L^2$ ;

b) les ensembles $E$ et $L^2$ sont égaux ;

c) toute fonction intégrable sur $]0, 1]$ appartient à $L^2$.

**Q28.** Pour $f$ et $g$ dans l’ensemble $L^2$, montrer que l’intégrale $\displaystyle\int_0^1 f(t)g(t)\, \mathrm{d}t$ converge absolument, puis établir que l’ensemble $L^2$ est un sous-espace vectoriel de $E$ (là encore, on ne demande pas de relever le caractère continu par morceaux des fonctions considérées).

On pourra établir et utiliser l’inégalité $|f(t)g(t)| \leqslant \dfrac{1}{2}\bigl(f(t)^2 + g(t)^2\bigr)$.

**Q29.** Vérifier qu’on définit une forme bilinéaire symétrique positive sur $L^2$ en posant :

$$
(f|g) = \int_0^1 f(t)g(t)\, \mathrm{d}t.
$$

Justifier que ce n’est pas un produit scalaire sur $L^2$, en fournissant un contre-exemple à l’aspect « défini ».

### II — Un espace préhilbertien réel

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. Soit $(\lambda_k)_{2 \leqslant k \leqslant n}$ une famille de nombres réels tels que :

$$
\sum_{k=2}^{n} \lambda_k f_k = 0 \text{ sur } ]0, 1].
$$

**Q30.** En évaluant la relation précédente pour $t \in \bigl]\tfrac{1}{2}, 1\bigr]$, établir l’égalité $\displaystyle\sum_{k=2}^{n} \frac{\lambda_k}{k} = 0$.

**Q31.** Soit $\ell$ un entier compris entre 2 et $n-1$. En évaluant en un nombre $t$ bien choisi, établir l’égalité :

$$
\sum_{k=\ell+1}^{n} \lambda_k \frac{\ell}{k} + \sum_{k=2}^{\ell-1} \lambda_k\left(\frac{\ell}{k} - \left|\frac{\ell}{k}\right|\right) = 0.
$$

Dans le cas $\ell = 2$, la deuxième somme étant indicée par $k$ allant de 2 à $2-1$, on la considère vide, donc nulle.

**Q32.** Montrer l’égalité $\lambda_2 = 0$ en combinant le résultat de **Q30** et celui de **Q31** pour $\ell = 2$, puis montrer que tous les scalaires $\lambda_k$ sont nuls. Quelle propriété de la famille $(f_k)_{k \geqslant 2}$ a-t-on ainsi établie ?

On considère maintenant le sous-espace $F$ de $L^2$ engendré par les fonctions $f_k$ pour $k \geqslant 2$, et la fonction constante égale à 1, qu’on note $\mathbf{1}$.

**Q33.** Montrer que $(\cdot|\cdot)$ (voir notation **Q29**) définit un produit scalaire sur $F$.

### III — Distance d’un vecteur à des sous-espaces

On rappelle que $\mathbf{1}$ désigne la fonction constante égale à 1. On travaille dans l’espace $F = \operatorname{Vect}(\mathbf{1}, f_2, \ldots, f_n, \ldots)$ muni du produit scalaire $(\cdot|\cdot)$ (selon **Q29** et **Q33**).

**Q34.** Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2. Montrer l’existence d’une unique famille orthonormale $(e_k)_{2 \leqslant k \leqslant n}$ d’éléments de $L^2$ telle que pour chaque entier $p$ compris entre 2 et $n$, les sous-espaces engendrés $\operatorname{Vect}(e_2, \ldots, e_p)$ et $\operatorname{Vect}(f_2, \ldots, f_p)$ sont égaux, et $(e_p|f_p) > 0$.

Pour $n \geqslant 2$ entier, on note $d_n$ la distance de la fonction $\mathbf{1}$ au sous-espace engendré par $(f_2, \ldots, f_n)$.

**Q35.** Montrer l’égalité :

$$
d_n^2 = 1 - \sum_{k=2}^{n} (\mathbf{1}|e_k)^2.
$$

**Q36.** Montrer que la suite $(d_n)_n$ converge.

## Partie D — Synthèse

On admet que l’inégalité de Cauchy-Schwarz s’étend aux fonctions continues par morceaux sur $]0, 1]$ de carré intégrable, dans le cas de fonctions à valeurs complexes, sous la forme suivante (les fonctions $f$ et $g$ ci-dessous sont donc supposées vérifier les conditions précédentes, en particulier, $f^2$ et $g^2$ sont supposées intégrables sur $]0, 1]$) :

$$
\left|\int_0^1 f(t)g(t)\, \mathrm{d}t\right|^2 \leqslant \int_0^1 |f(t)|^2\, \mathrm{d}t \times \int_0^1 |g(t)|^2\, \mathrm{d}t.
$$

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2.

**Q37.** Soit $(\lambda_k)_{2 \leqslant k \leqslant n}$ une famille de nombres réels. Soit $s$ un nombre complexe de partie réelle strictement supérieure à $\dfrac{1}{2}$. Justifier l’inégalité :

$$
\left|\int_0^1 \left(1 - \sum_{k=2}^{n} \lambda_k f_k(t)\right) t^{s-1}\, \mathrm{d}t\right|^2 \leqslant \int_0^1 \left(1 - \sum_{k=2}^{n} \lambda_k f_k(t)\right)^2 \mathrm{d}t \times \int_0^1 \bigl|t^{2(s-1)}\bigr|\, \mathrm{d}t.
$$

On souhaite maintenant démontrer que, si la suite $(d_n)_n$ admet pour limite 0, alors la fonction $\zeta$, prolongée selon la Partie BII, ne s’annule en aucun nombre complexe $s$ tel que $\operatorname{Re}(s) > \dfrac{1}{2}$. Pour cela, on procède par l’absurde, et on suppose que $s$ est un nombre complexe distinct de 1 tel que $\operatorname{Re}(s) > \dfrac{1}{2}$ et $\zeta(s) = 0$. On admet que l’égalité **Q21** est encore vraie pour tout nombre complexe $s$ distinct de 1, de partie réelle strictement positive.

**Q38.** Établir l’inégalité $d_n^2 |s|^2 \geqslant 2\operatorname{Re}(s) - 1$, puis, en supposant $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} d_n = 0$, conclure.

Fin