Maths 1

# Mathématiques 1

Concours Centrale-Supélec. Filières MP, MPI. Session 2026.

Durée : 4 heures.

Calculatrice autorisée.

## Sur quelques sous-groupes de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$

Dans tout le sujet, $n$ désigne un entier supérieur ou égal à 2. On note :

- $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ l’ensemble des matrices de taille $n \times n$ à coefficients dans $\mathbb{R}$, $I_n$ sa matrice identité.
- $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ le groupe des matrices inversibles de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
- $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ (resp. $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$) l’ensemble des matrices symétriques positives de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ (resp. définies positives).
- $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$ le groupe des matrices orthogonales de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, et $\mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$ celui des matrices orthogonales de déterminant 1.
- La transposée d’une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ sera notée $M^{\mathsf{T}}$ et sa trace $\operatorname{tr} M$.
- On note $|X|$ le cardinal d’un ensemble $X$, en convenant que $|X| = +\infty$ si $X$ est un ensemble infini.
- Si $\mathcal{A}$ est une partie finie d’un groupe $G$, on note $\langle \mathcal{A} \rangle$ le sous-groupe de $G$ engendré par $\mathcal{A}$.

Le problème comporte trois parties indépendantes.

## Partie A — Sous-groupes finis de $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$

Soit $G$ un groupe de neutre $e$. On dit que $G$ est d’exposant fini si et seulement si :

$$
\exists m \in \mathbb{N}^*\quad \forall x \in G\quad x^m = e.
$$

De plus, si $G$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$, on note $\operatorname{tr} G$ la trace du groupe $G$, qui est l’ensemble :

$$
\operatorname{tr} G = \{\operatorname{tr} A : A \in G\}.
$$

### I — Généralités

Soit $G$ un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$.

**Q1.** Montrer que si $G$ est fini, alors $G$ est d’exposant fini et $\operatorname{tr} G$ est fini.

**Q2.** Donner un exemple de sous-groupe infini de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ dont la trace soit finie.

**Q3.** Donner un exemple (pas nécessairement matriciel) de groupe infini qui soit d’exposant fini.

### II — Cas particulier : les sous-groupes finis de $\mathrm{O}_2(\mathbb{R})$

Pour tout $\theta \in \mathbb{R}$, on note $R_\theta$ et $S_\theta$ les matrices :

$$
R_\theta = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}
\qquad
S_\theta = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{pmatrix}.
$$

On pourra utiliser sans démonstration les relations suivantes, valables pour tout $(\theta, \varphi) \in \mathbb{R}^2$ :

$$
R_\theta R_\varphi = R_{\theta+\varphi}
\qquad
R_\theta S_\varphi = S_{\theta+\varphi}
\qquad
S_\varphi R_\theta = S_{\varphi-\theta}
\qquad
S_\theta S_\varphi = R_{\theta-\varphi}.
$$

**Q4.** Soit $A \in \mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$. Montrer qu’il existe un unique réel $\theta \in [0, 2\pi[$ tel que $A = R_\theta$.

**Q5.** Soit $\theta \in \mathbb{R}$. Dans cette question, $G = \langle R_\theta \rangle$.

a) Vérifier que $G = \{R_{k\theta} : k \in \mathbb{Z}\}$.

b) Dans le cas où $\theta = \dfrac{2\pi}{m}$ avec $m \in \mathbb{N}^*$, déterminer $|G|$.

c) Montrer que $G$ est fini si et seulement si $\dfrac{\theta}{\pi} \in \mathbb{Q}$.

d) Montrer que si $G$ est d’exposant fini, alors $G$ est fini.

e) Montrer que si $\operatorname{tr} G$ est fini, alors $G$ est fini.

**Q6.** Soient $\theta$ et $\theta'$ deux réels. Dans cette question $G = \langle R_\theta, R_{\theta'} \rangle$.

a) Montrer que $|G| = \bigl|(\theta\mathbb{Z} + \theta'\mathbb{Z}) \cap [0, 2\pi[\bigr|$.

b) En déduire, pour $p$ et $q$ deux entiers non nuls premiers entre eux, que $\bigl|\langle R_{\frac{\pi}{p}}, R_{\frac{\pi}{q}} \rangle\bigr| = 2pq$.

c) Déterminer $\bigl|\langle R_{\frac{\pi}{p}}, R_{\frac{\pi}{q}} \rangle\bigr|$ dans le cas général (où $p$ et $q$ ne sont pas forcément premiers entre eux).

**Q7.** Soit $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$. Montrer que $G$ est monogène.

**Q8.** Pour $m \in \mathbb{N}^*$, on note $\mathcal{D}_m$ le sous-groupe de $\mathrm{O}_2(\mathbb{R})$ engendré par $R_{\frac{2\pi}{m}}$ et $S_{\frac{\pi}{2}}$.

a) Déterminer le cardinal de $\mathcal{D}_m$.

On pourra montrer que $\mathcal{D}_m \cap \mathrm{SO}_2(\mathbb{R}) = \bigl\langle R_{\frac{2\pi}{m}} \bigr\rangle$, puis chercher une bijection entre $\mathcal{D}_m \cap \mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$ et $\mathcal{D}_m \setminus \mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$.

b) Soit $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{O}_2(\mathbb{R})$ qui n’est pas inclus dans $\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})$. Montrer qu’il existe $m \in \mathbb{N}^*$ tel que $G$ soit isomorphe à $\mathcal{D}_m$.

### III — Une caractérisation des sous-groupes finis de $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$

Dans cette partie, $G$ est un sous-groupe de $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$. On désire montrer que :

$$
G \text{ fini} \Longleftrightarrow G \text{ d’exposant fini} \Longleftrightarrow \operatorname{tr} G \text{ fini}.
$$

**Q9.** Rappeler le théorème de réduction des matrices orthogonales.

**Q10.** On suppose dans cette question que $G$ est d’exposant fini. Montrer, en utilisant le théorème de réduction précédent, que $\operatorname{tr} G$ est fini.

Jusqu’à la fin de cette partie, on suppose maintenant que $\operatorname{tr} G$ est fini. On munit $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de son produit scalaire usuel :

$$
(A|B) = \operatorname{tr} A^{\mathsf{T}} B.
$$

On note $\mathcal{F}$ le sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ engendré par $G$ et $d = \dim \mathcal{F}$.

**Q11.** Montrer qu’il existe une famille $\mathcal{B} = (A_i)_{i \in \llbracket 1, d \rrbracket}$ de matrices de $G$ qui forme une base de $\mathcal{F}$.

**Q12.** Soit $B = \bigl((A_i|A_j)\bigr)_{(i,j) \in \llbracket 1, d \rrbracket^2}$. On considère la matrice $C$ des coordonnées des matrices $A_i$ dans la base canonique de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.

a) Quelle est la taille de la matrice $C$ ?

b) Montrer que $B = C^{\mathsf{T}} C$.

c) Montrer que $B$ et $C$ sont de même rang. En déduire que $B$ est inversible.

**Q13.** Soit $M \in G$. On peut décomposer $M$ dans la base $\mathcal{B}$ :

$$
M = \sum_{j=1}^{d} x_j A_j.
$$

On note alors $\displaystyle X_M = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_d \end{pmatrix}$ et $\displaystyle Y_M = \begin{pmatrix} (A_1|M) \\ \vdots \\ (A_d|M) \end{pmatrix}$. Montrer que $X_M = B^{-1} Y_M$.

**Q14.** Montrer que $\{Y_M : M \in G\}$ est un ensemble fini. En déduire que $G$ est fini.

## Partie B — Sous-groupes compacts de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$

On note $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ l’espace vectoriel des matrices colonnes de taille $n \times 1$ à coefficients dans $\mathbb{R}$.

Dans cette partie, on se place dans $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$, muni de son produit scalaire canonique noté $(\cdot|\cdot)$ et de sa norme associée $\|\cdot\|$. Pour $r \geqslant 0$, on note $\mathcal{B}(0, r)$ la boule fermée de centre $0$ et de rayon $r$ de $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ pour cette norme, et $\mathcal{B} = \mathcal{B}(0, 1)$ la boule unité fermée.

### I — Quelques propriétés utiles

Soient $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ et $B \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$.

**Q15.** On pose, pour $X$ et $Y$ dans $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ :

$$
\langle X, Y \rangle_A = (AX \mid Y).
$$

Montrer que $\langle \cdot, \cdot \rangle_A$ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$.

On note alors $\|\cdot\|_A$ la norme associée à ce produit scalaire et $\mathcal{B}_A$ la boule unité fermée pour cette norme. Existe-t-il une matrice $A$ telle que $\mathcal{B}(0, r) = \mathcal{B}_A$ ?

**Q16.** Vérifier que $X \mapsto A^{-1}BX$ est autoadjoint pour le produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle_A$. Que peut-on en déduire pour la matrice $A^{-1}B$ ?

Soient $A$ et $B$ dans $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. On note $B \preccurlyeq A$ si et seulement si pour tout $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$, $(BX \mid X) \leqslant (AX \mid X)$.

**Q17.** Montrer que $B \preccurlyeq A$ si et seulement si $A - B \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$.

**Q18.** Soient $A$ et $B$ dans $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$. Montrer que $B \preccurlyeq A$ si et seulement si le spectre de $A^{-1}B$ est inclus dans $]0, 1]$.

Pour la réciproque, on pourra utiliser une base orthonormée pour le produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle_A$ bien choisie.

**Q19.** On suppose toujours que $A$ et $B$ sont deux matrices de $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$, et que $B \preccurlyeq A$. Montrer que $\det B \leqslant \det A$, avec égalité si et seulement si $A = B$.

**Q20.** Montrer que $B \preccurlyeq A$ si et seulement si $\mathcal{B}_A \subset \mathcal{B}_B$.

**Q21.** Soit $\mathcal{K}$ une partie de $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$. Montrer que $\mathcal{K}$ est une partie bornée de $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ si et seulement s’il existe $\alpha \in \mathbb{R}_+^*$ telle que pour tout $A \in \mathcal{K}$, $A \preccurlyeq \alpha I_n$.

### II — Stricte log-concavité de l’application $\det$

Soit $\mathcal{C}$ une partie convexe de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $\varphi : \mathcal{C} \to \mathbb{R}$ une fonction. On dit que $\varphi$ est strictement concave si et seulement si :

$$
\forall (A, B) \in \mathcal{C}^2\quad \forall t \in [0, 1]\qquad \varphi\bigl(tA + (1-t)B\bigr) \geqslant t\varphi(A) + (1-t)\varphi(B)
$$

avec égalité si et seulement si $A = B$ ou $t = 0$ ou $t = 1$.

**Q22.** Montrer que $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ est une partie convexe de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.

**Q23.** Montrer que $\varphi : A \mapsto \ln(\det A)$ est une fonction strictement concave sur $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$.

On pourra utiliser le résultat de la question **Q16**.

### III — Groupe orthogonal associé à une matrice symétrique définie positive

À toute matrice $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ on associe son groupe orthogonal :

$$
\mathrm{O}(A) = \{ M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) : M^{\mathsf{T}} A M = A \}.
$$

**Q24.** Montrer que $\mathrm{O}(A)$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$, isomorphe à $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$.

On pourra montrer qu’il existe une matrice $B$ telle que $A = B^{\mathsf{T}} B$, et chercher un isomorphisme sous la forme $M \mapsto B^{-1} M B$.

**Q25.** Montrer que $\mathrm{O}(A)$ est une partie compacte de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.

### IV — Sous-groupes compacts de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$

Dans cette partie, $G$ désigne un sous-groupe compact de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$. On désire montrer que $G$ est alors isomorphe à un sous-groupe de $\mathrm{O}_n(\mathbb{R})$.

**Q26.** Montrer que pour tout $M \in G$, $|\det M| = 1$.

**Q27.** On pose :

$$
\mathcal{C} = \{ MX : (M, X) \in G \times \mathcal{B} \}.
$$

Montrer que $\mathcal{C}$ est compact, et que $0$ est un point intérieur à $\mathcal{C}$.

**Q28.** Montrer qu’il existe une unique matrice $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ telle que $\mathcal{C} \subset \mathcal{B}_A$ et qui soit de déterminant maximal.

On pourra commencer par montrer que $\mathcal{E} = \{ A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}) : \mathcal{C} \subset \mathcal{B}_A \}$ est non vide, compact et convexe, puis utiliser la question **Q23** pour démontrer l’unicité.

**Q29.** Montrer que $G$ est un sous-groupe de $\mathrm{O}(A)$.

## Partie C — Croissance du groupe de Heisenberg discret

### I — Croissance d’un groupe

Soit $G$ un groupe de neutre $e$, engendré par une partie finie $\mathcal{S} = \{s_i\}_{i \in \llbracket 1, N \rrbracket}$. À tout élément $g \in G \setminus \{e\}$ on associe sa longueur relativement à $\mathcal{S}$ par :

$$
\ell_{\mathcal{S}}(g) = \min\left\{ \sum_{i=1}^{k} |a_i| : g = s_1^{a_1} \ldots s_k^{a_k},\ s_i \in \mathcal{S},\ a_i \in \mathbb{Z} \right\}.
$$

$\ell_{\mathcal{S}}(g)$ est le nombre minimal d’éléments de $\mathcal{S}$ permettant d’obtenir $g$. Par convention, on pose $\ell_{\mathcal{S}}(e) = 0$. On note alors, pour $p \in \mathbb{N}$ :

$$
\mathcal{V}_{\mathcal{S}}(p) = \{ g \in G : \ell_{\mathcal{S}}(g) \leqslant p \}.
$$

$\mathcal{V}_{\mathcal{S}}(p)$ est l’ensemble des éléments de $G$ s’obtenant à partir d’au maximum $p$ éléments de $\mathcal{S}$.

Nous dirons que $G$ est un groupe à croissance polynomiale de degré $d \in \mathbb{N}$ si et seulement si il existe deux réels strictement positifs $\alpha$ et $\beta$ tels que, pour tout $p \geqslant 1$ :

$$
\alpha p^d \leqslant |\mathcal{V}_{\mathcal{S}}(p)| \leqslant \beta p^d.
$$

**Q30.** Montrer que pour tous $g$ et $h$ dans $G$, $\ell_{\mathcal{S}}(g^{-1}) = \ell_{\mathcal{S}}(g)$ et $\ell_{\mathcal{S}}(gh) \leqslant \ell_{\mathcal{S}}(g) + \ell_{\mathcal{S}}(h)$.

**Q31.** Soit $\Sigma$ une autre partie finie génératrice de $G$. Montrer qu’il existe deux constantes $C$ et $C'$ strictement positives telles que, pour tout $g \in G$ :

$$
C \ell_{\mathcal{S}}(g) \leqslant \ell_{\Sigma}(g) \leqslant C' \ell_{\mathcal{S}}(g).
$$

En déduire que le fait que $G$ soit un groupe à croissance polynomiale de degré $d$ ne dépend pas du système $\mathcal{S}$ de générateurs choisis.

**Q32.** Soit $p \in \mathbb{N}$. Dénombrer le nombre de triplets $(x, y, z) \in \mathbb{N}^3$ tels que $x + y + z \leqslant p$. En déduire que $(\mathbb{Z}^3, +)$ est un groupe à croissance polynomiale et déterminer son degré.

### II — Le groupe de Heisenberg discret

Dans cette partie, $n = 3$. On considère les trois matrices suivantes :

$$
S = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\qquad
T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\qquad
U = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
$$

On note $\mathcal{A} = \{S, T, U\}$. $\mathbb{H}$ désigne alors le sous-groupe de $\mathrm{GL}_3(\mathbb{R})$ engendré par $\mathcal{A}$.

**Q33.** Pour tout $(i, j, k) \in \mathbb{Z}^3$, calculer $S^i T^j U^k$.

**Q34.** Pour $(i, j, k, i', j', k') \in \mathbb{Z}^6$, déterminer un triplet $(i'', j'', k'') \in \mathbb{Z}^3$ tel que :

$$
S^i T^j U^k S^{i'} T^{j'} U^{k'} = S^{i''} T^{j''} U^{k''}.
$$

**Q35.** Vérifier que $U$ commute avec tous les éléments de $\mathbb{H}$, et que pour tout $(i, j) \in \mathbb{Z}^2$ :

$$
S^i T^j U^{ij} = T^j S^i.
$$

**Q36.** Le groupe $\mathbb{H}$ est-il commutatif ? Quel est le groupe engendré par $(S, T)$ ?

**Q37.** Montrer que l’application $f$ définie par :

$$
\begin{array}{ccc}
f : & \mathbb{Z}^3 & \longrightarrow & \mathbb{H} \\
& (i, j, k) & \longmapsto & S^i T^j U^k
\end{array}
$$

est bien définie et bijective. Est-ce un isomorphisme de groupe (en munissant $\mathbb{Z}^3$ de sa structure usuelle) ?

Peut-on munir $\mathbb{Z}^3$ d’une structure de groupe telle que $f$ soit un isomorphisme ?

**Q38.** Soit $M \in \mathbb{H}$ et $p \in \mathbb{N}^*$. Montrer que si $\ell_{\mathcal{A}}(M) \leqslant p$, alors il existe $(i, j, k, z) \in \mathbb{Z}^4$ tels que $M = S^i T^j U^{k+z}$ avec $|i| + |j| + |k| \leqslant p$ et $|z| \leqslant |ij|$. En déduire que $|\mathcal{V}_{\mathcal{A}}(p)| = O(p^4)$ quand $p$ tend vers $+\infty$.

On pourra utiliser les résultats de la question **Q35**.

**Q39.** Montrer que, pour tout $(i, j, k) \in \mathbb{Z}^3$, si $|i| + |j| \leqslant p$ et $|k| \leqslant |ij|$, alors $\ell_{\mathcal{A}}(S^i T^j U^k) \leqslant p$.

**Q40.** Montrer que :

$$
\operatorname{card}\bigl\{(i, j, k) \in \mathbb{N}^3 : i + j \leqslant p \text{ et } k \leqslant ij\bigr\} \geqslant \frac{p^3}{2} \sum_{i=0}^{p} \frac{i}{p} \left(1 - \frac{i}{p}\right)^2
$$

et déterminer un équivalent de cette dernière quantité quand $p$ tend vers $+\infty$.

**Q41.** En déduire que $\mathbb{H}$ est un groupe à croissance polynomiale de degré 4.

Fin