Sciences industrielles

**SESSION 2026**

**TSI7SI**

**Épreuve spécifique — filière TSI**

# Sciences industrielles de l'ingénieur

**Durée : 6 heures**

*N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.*

**Rappel des consignes**

- Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
- Ne pas utiliser de correcteur.
- Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

**Les calculatrices sont interdites.**

Le sujet est composé de sept parties, toutes indépendantes.

Énoncé : 22 pages

Annexes : 5 pages

Document Réponse (DR) : 24 pages

**Seul le Document Réponse doit être rendu dans son intégralité (le QR Code doit être collé sur la première page du DR).**

# Unité de traitement plasma robotisée

## Présentation générale

Le système étudié est conçu et fabriqué par l'entreprise ISYTECH spécialisée dans le développement de solutions de traitement plasma. Le traitement plasma est une technique permettant d'obtenir un dépôt de matière en couche mince sur une surface afin de changer ses propriétés de porosité, d'adhérence, de dureté, etc.

Les applications sont multiples :

- préparation de surface et nettoyage avant collage ;
- peinture, métallisation ;
- soudure ;
- revêtement de surface en couches minces fonctionnelles.

## Principe du dépôt plasma en couche mince

Les matériaux à traiter sont placés dans une chambre sous vide d'air appelée réacteur dans lequel on injecte un gaz à une pression comprise entre 0,01 et 1 mbar. La création d'un champ électrique provoque la décomposition partielle du gaz : c'est l'état de plasma.

Dans le cas présent, les gaz utilisés sont de l'acétylène et du r134A (tétrafluoréthane) afin d'obtenir un dépôt de carbone fluoré sur les parois des pièces à traiter. Le temps de traitement varie de quelques secondes à quelques minutes. Lors du traitement, une fine couche de quelques microns se dépose sur les surfaces. L'avantage principal du plasma à basse pression porte sur la quantité de gaz utilisée lors du traitement qui est très faible. Ceci rend cette technologie très intéressante sur le plan écologique par rapport à d'autres techniques nécessitant des bains chimiques.

## Présentation de la machine en version initiale

Le système initial est représenté en **figure 1** et **figure 2**. Il s'agit d'appliquer un traitement plasma sur des bouteilles en PET (polytéréphtalate d'éthylène) afin d'obtenir un gain en perméabilité.

Les bouteilles à traiter arrivent par un convoyeur d'entrée. Lorsqu'elles arrivent sur une butée (non représentée en **figure 1**) en bout de convoyeur, elles sont saisies quatre par quatre pour être placées dans les réacteurs de traitement, puis sont évacuées en fin de cycle vers un convoyeur de sortie.

**Figure 1 — Système initial**

Légendes : Réacteurs de traitement (x4) ; Convoyeur de sortie ; Convoyeur d'entrée.

La préhension et le déplacement des bouteilles s'effectuent par un mécanisme à chariots croisés \((\overrightarrow{X}, \overrightarrow{Y}, \overrightarrow{Z})\) embarqué sur un portique surmontant les convoyeurs et les réacteurs (**figure 2**).

**Figure 2 — Portique de la solution initiale**

Légendes : Portique ; Pantographe ; Convoyeur de sortie ; Convoyeur d'entrée ; Réacteurs ; axes \(\overrightarrow{X}\), \(\overrightarrow{Y}\), \(\overrightarrow{Z}\).

Cette configuration nécessite de pouvoir gérer l'entraxe de prise des bouteilles au niveau du préhenseur :

- en entrée, l'entraxe est dépendant du diamètre des bouteilles (83 à 106 mm) (**figure 3**) ;
- sur les réacteurs, l'entraxe est constant et égal à 230 mm (**figure 4**) ;
- en sortie, l'entraxe sera maintenu à 230 mm (**figure 5**).

**Figure 3 — Entraxes des bouteilles**

Cotes imprimées : entraxe 83 mm ; entraxe 106 mm.

**Figure 4 — Entraxe réacteurs**

Cote imprimée : 230.

**Figure 5 — Disposition des bouteilles en entrée et en sortie**

Légendes : Entraxe de sortie ; Butée ; Bouteilles ; Entraxe d'entrée. Cote 230 portée sur les entraxes des réacteurs.

Le préhenseur doit pouvoir s'adapter à l'entraxe nécessaire en entrée, comme en sortie, afin de saisir les bouteilles à l'aide de ventouses coniques inversées. Cette adaptation de l'entraxe s'effectue à l'aide du système de pantographe représenté en **figure 6** et en **figure 7** (principe détaillé en **annexe 1**).

**Figure 6 — Pantographe position entrée**

Légendes : Extrémité mobile ; Entraxe d'entrée ; Pantographe.

**Figure 7 — Pantographe position sortie**

Légendes : Entraxe de sortie ; Ventouse inversée ; Pantographe.

Le déplacement de l'extrémité mobile du pantographe est effectué à l'aide d'un vérin électrique.

L'entreprise envisage de supprimer le portique de manutention (**figure 2**) pour le remplacer par un robot polyarticulé 6 axes FANUC M20 (**figure 8**) sur lequel sera embarqué le préhenseur.

Cette solution permettra, à terme, de rayonner sur 2 unités de traitement simultanément (2 x 4 réacteurs).

Le sujet va traiter de cette innovation, notamment la partie relative à son intégration sur le robot.

**Figure 8 — Robot de manutention du pantographe**

Le sujet est composé de sept parties indépendantes :

- **Partie I** : détermination de la relation entre le déplacement du vérin et l'entraxe des bouteilles ;
- **Partie II** : détermination de l'entraxe ;
- **Partie III** : alimentation du réacteur plasma ;
- **Partie IV** : limites dynamiques du déplacement ;
- **Partie V** : validation des contraintes sur l'axe linéaire ;
- **Partie VI** : contrôle de la position de sortie du vérin pour adapter l'entraxe ;
- **Partie VII** : validation des capacités du moteur d'axe linéaire.

Le diagramme des exigences concernant la préhension et le déplacement des bouteilles est fourni en **annexe 2**.

## Partie I — Détermination de la relation entre le déplacement du vérin et l'entraxe des bouteilles

**Objectif :** déterminer la relation entre le déplacement du vérin et l'entraxe de préhension afin de valider l'exigence **1.1.2**.

Le pantographe est fixé sur un châssis en profilé aluminium lui-même fixé sur la bride du robot (**figure 9**).

**Figure 9 — Châssis support du pantographe**

Légendes : Bride du robot ; Châssis ; Pantographe.

Lors d'un cycle de fonctionnement, le préhenseur doit s'adapter aux variations d'entraxe par une translation de l'extrémité mobile du pantographe relié à un vérin électrique (**figure 10**).

**Figure 10 — Vérin électrique d'ajustement de l'entraxe du pantographe**

Légendes : Extrémité fixe ; Vérin électrique ; Extrémité mobile.

La valeur de déplacement du vérin électrique sera calculée en fonction de l'entraxe souhaité au niveau des 4 ventouses de préhension.

Cet entraxe est, soit égal à la distance séparant 2 bouteilles côte à côte (**figure 3**), soit égal à la distance séparant 2 réacteurs (**figure 4**).

La position du vérin est notée \(\lambda\). Avec le vérin dans la position correspondant à la valeur \(\lambda = 0\), la distance \(D\) entre les extrémités fixe et mobile du pantographe est de 400 mm. Dans cette position, l'entraxe \(E\) est égal à 80 mm (**figures 11 et 12**).

**Figure 11 — Modélisation du pantographe**

Légendes et cotes imprimées : Butée ; Extrémité fixe ; Bouteille ; Extrémité mobile ; Châssis ; distance \(D\) ; entraxe \(E\) ; déplacement \(\lambda\) ; repères \((\overrightarrow{X_0}, \overrightarrow{Y_0})\) et \((\overrightarrow{X_1}, \overrightarrow{Y_1})\).

**Figure 12 — Positions minimum et maximum du pantographe**

Légendes et cote imprimée : Entraxe maxi ; Course du vérin ; Entraxe mini (80 mm) ; Point de dégagement ; Point d'approche ; Point de prise ; Approche rapide du robot ; Approche lente sur point de prise des bouteilles.

**Q1.** Déterminer les valeurs \(\lambda_{\mathrm{bmin}}\) (permettant d'obtenir la valeur d'entraxe de 83 mm pour les bouteilles les plus petites), \(\lambda_{\mathrm{bmax}}\) (permettant d'obtenir la valeur d'entraxe de 106 mm pour les bouteilles les plus grandes) et \(\lambda_{\mathrm{réac}}\) (permettant d'obtenir la valeur d'entraxe de 230 mm des réacteurs). En déduire la course minimum (**figure 12**) que doit avoir le vérin électrique pour satisfaire aux exigences de fonctionnement.

L'adaptation de l'entraxe au niveau du pantographe décale le point de prise de la première bouteille (**figure 13**). Ce point sert de référence pour la création de la trajectoire de prise de bouteilles. La trajectoire de prise doit donc être décalée d'une valeur \(\Delta_x\) en fonction du diamètre des bouteilles devant être saisies.

**Figure 13 — Décalage résultant de l'adaptation d'entraxe**

Légendes et cotes imprimées : Bouteilles Ø 83 mm ; Bouteilles Ø 106 mm ; Butée ; Entraxe pour bouteilles de Ø 83 mm ; Entraxe pour bouteilles de Ø 106 mm ; Position identique de l'ensemble robot-châssis et de la butée sur les 2 vues ; Décalage \(\Delta_x\) à effectuer à la trajectoire du robot ; Déplacement de la première ventouse.

**Q2.** Déterminer la valeur du déplacement du vérin \(\Delta_\lambda\) pour passer d'un entraxe de 83 mm à un entraxe de 106 mm.

**Q3.** À l'aide d'un schéma explicatif simple, vu de dessus vis-à-vis des bouteilles, donner la valeur du décalage engendré sur la première ventouse par cette adaptation d'entraxe du préhenseur entre les 2 positions correspondant aux diamètres minimum et maximum des bouteilles.

**Q4.** Donner la relation entre le déplacement du vérin \(\Delta_\lambda\) et le décalage \(\Delta_x\) à affecter à la trajectoire de prise de bouteilles pour avoir toujours la première ventouse au-dessus de la première bouteille sous la forme \(\Delta_x = f(\Delta_\lambda)\).

## Partie II — Détermination de l'entraxe

**Objectif :** déterminer numériquement l'entraxe à partir de mesures sur le chariot de déplacement afin de valider l'exigence **1.1.2**.

Afin de déterminer l'entraxe, un capteur à ultrasons est positionné sur le convoyeur d'entrée (**figure 14**). Il permet de détecter la distance à laquelle est située la bouteille devant elle. En couplant cette information de distance mesurée dans le temps avec la vitesse du convoyeur, il est possible de déterminer la valeur de l'entraxe.

### Hypothèses et notations

- Un moteur permet le déplacement du convoyeur.
- Le moteur entraîne un réducteur de rapport de réduction \(k = \dfrac{\omega_{\mathrm{convoyeur}}}{\omega_{\mathrm{moteur}}}\).
- Ce réducteur entraîne un système poulie-courroie (rayon de la poulie \(R_p\)) qui entraîne directement le convoyeur.
- Une génératrice tachymétrique permet de mesurer la vitesse de rotation du moteur. Elle possède une constante électrique \(K_{gt}\) donnée en \(\mathrm{V \cdot min \cdot tr^{-1}}\).
- Il n'y a pas d'espace entre les bouteilles présentes sur le convoyeur.

**Figure 14 — Schéma du principe de mesure d'entraxe sur le convoyeur d'entrée**

Légendes : Capteur à ultrason ; Déplacement ; Réducteur ; Moteur + génératrice tachymétrique.

La **figure 15** montre la mesure brute (en pointillés) issue du capteur ultrasons en fonction du temps pour le passage de quatre bouteilles. Cette mesure brute est filtrée afin d'être exploitée.

Le signal issu du capteur est bruité. Afin de réduire ce bruit, un filtrage est réalisé. Le filtre utilisé est un filtre à moyenne glissante dont le principe est ébauché en **figure 16**.

**Figure 15 — Distance mesurée par le capteur pour quatre bouteilles passant devant le capteur**

Axes imprimés : Mesure (mm), graduations 40, 60, 80, 100, 120 ; Temps (ms), graduations 0, 200, 400, 600, 800, 1000, 1200, 1400, 1600. Légende : Mesure (pointillés) ; Mesure filtrée (trait continu).

**Figure 16 — Principe d'un filtre à moyenne glissante pour \(nb\_ech = 5\) échantillons**

Repères imprimés : ordonnées \(y[n+2]\), \(y[n+1]\), \(y[n]\), \(y[n-1]\), \(y[n-2]\) ; abscisses Échantillons, de \(n-5\) à \(n+5\) ; annotation \(\mathrm{mesure\_filtree} = [\ldots,\ \text{moyenne des } y \text{ considérés},\ \ldots]\) pointant le \(n^{\text{ième}}\) terme.

La moyenne est réalisée sur \(nb\_ech\). Pour les termes qui ne peuvent pas être calculés (les premiers et les derniers, où le nombre d'échantillons est inférieur à \(nb\_ech\)), l'entrée sera recopiée telle quelle.

Une liste `temps` contient les valeurs de temps où sont réalisées les différentes mesures (synchronisées).

**Q5.** Comment doit être \(nb\_ech\) pour que ce filtre fonctionne ? Justifier votre réponse.

Pour les questions suivantes, les fonctions devront être écrites en langage Python.

**Q6.** Compléter la fonction `moyenne_glissante(mesure, nb_ech)` permettant de filtrer le signal. Cette fonction a pour entrées la liste à filtrer et le nombre d'échantillons \(nb\_ech\) sur lesquels la moyenne glissante doit être réalisée. Elle renvoie la liste filtrée.

Il est considéré qu'un seul minimum est présent par passage de bouteille sur la mesure filtrée. Afin de déterminer l'entraxe, les emplacements des minimums locaux sont cherchés.

**Q7.** Créer une fonction `trouver_minimum(mesure_filtree)` qui renvoie une liste contenant les échantillons correspondant aux minimums de la liste `mesure_filtree`.

Soit `tension_gt` la liste (synchronisée avec `mesure`) qui contient les valeurs de la tension de sortie de la génératrice tachymétrique.

**Q8.** En se basant sur la liste `tension_gt` et les paramètres de transmission du système, créer la liste `vitesse_chariot` qui contiendra les valeurs de vitesse du chariot en \(\mathrm{m \cdot s^{-1}}\).

À partir de la liste des emplacements des minimums locaux `echantillons_min`, de la liste `vitesse_chariot` et de la liste `temps`, il est possible d'estimer l'entraxe entre deux bouteilles.

**Q9.** Créer une fonction `trouver_entraxe(echantillons_min, vitesse_chariot, temps)` renvoyant une liste contenant les valeurs estimées de l'entraxe.

**Q10.** Décrire en un schéma et quelques lignes une autre solution technologique permettant de trouver l'entraxe des bouteilles.

## Partie III — Alimentation du réacteur plasma

**Objectif :** étudier la chaîne de conversion de puissance utilisée pour alimenter le réacteur plasma.

Le réacteur plasma où se déroule le traitement des bouteilles (entre les points C et D de la **figure 17**) est alimenté par un courant sinusoïdal haute fréquence. Il peut être, d'un point de vue électrique, représenté par une impédance composée d'une résistance \(R_p\) et d'une inductance \(L_p\).

\(R_p\) modélise la perte d'énergie du plasma due aux collisions entre les électrons et les ions ou neutres, ainsi que la dissipation de l'énergie électromagnétique en chaleur.

\(L_p\) représente l'effet des inerties des électrons face aux changements du courant électrique traversant le plasma. Les électrons en mouvement créent des courants induits qui génèrent à leur tour des champs magnétiques. Cette inductance modélise cette interaction entre le courant et le champ magnétique induit.

Les valeurs de \(R_p\) et \(L_p\) dépendent de plusieurs paramètres (pression, densité d'électrons, température, etc.) et varient donc lors du traitement plasma.

### III.1 — Adapter la charge pour maximiser le transfert de puissance

**Objectif :** déterminer le principe d'ajustement des condensateurs de l'adaptation d'impédance.

**Figure 17 — Alimentation du réacteur plasma**

Légendes : Générateur haute fréquence ; Adaptation d'impédance ; points A, B, C, D ; Électrode ; Plasma ; Réacteur plasma ; Gaz ; Pompe de mise sous vide.

Afin de maximiser le transfert de puissance entre le générateur haute fréquence et le réacteur plasma, un ajustement réactif est réalisé grâce à l'adaptation d'impédance. Cette adaptation d'impédance a pour objectif de faire en sorte que l'association « Adaptation d'impédance » et « Réacteur plasma », c'est-à-dire l'impédance vue des points A et B, soit constante du point de vue du générateur haute fréquence.

Le schéma équivalent de l'adaptateur d'impédance et du plasma est donné en **figure 18**.

\(C_s\) et \(C_p\) sont des condensateurs contrôlables (dont la capacité peut varier grâce à des moteurs contrôlant la distance entre les deux électrodes), l'un en série et l'autre en parallèle à la charge.

La charge (le plasma) est représentée par \(R_p\) et \(L_p\) en série, comme indiqué en début de partie.

L'asservissement des motorisations contrôlant \(C_s\) et \(C_p\) n'est pas étudié dans ce sujet.

La pulsation à laquelle le circuit fonctionne est notée \(\omega\).

**Figure 18 — Schéma électrique de l'adaptation d'impédance associée au modèle équivalent électrique du plasma**

Repères imprimés : points A, E, C, B, F, D ; condensateurs variables \(C_s\) et \(C_p\) ; charge \(R_p\), \(L_p\) ; cadres « Adaptation d'impédance » et « Modèle équivalent du plasma ».

**Q11.** Donner l'impédance équivalente, notée \(\underline{Z}_{\mathrm{plasma}}\), du modèle équivalent du plasma vue entre les points C et D. Mettre sous la forme \(\underline{Z}_{\mathrm{plasma}} = a_1 + \mathrm{j} \cdot b_1\). Exprimer \(a_1\) et \(b_1\) en fonction de \(R_p\), \(L_p\) et de \(\omega\).

**Q12.** Donner l'impédance équivalente, notée \(\underline{Z}_{\mathrm{EF}}\), de \(\underline{Z}_{\mathrm{plasma}}\) et de \(C_p\) en parallèle vue entre les points E et F. Mettre sous la forme \(\underline{Z}_{\mathrm{EF}} = a_2 + \mathrm{j} \cdot b_2\). Exprimer \(a_2\) et \(b_2\) en fonction de \(a_1\), \(b_1\), \(C_p\) et de \(\omega\).

**Q13.** Donner l'impédance équivalente notée \(\underline{Z}_{\mathrm{AB}}\) de \(\underline{Z}_{\mathrm{EF}}\) et de \(C_s\) en série vue entre les points A et B. Mettre sous la forme \(\underline{Z}_{\mathrm{AB}} = a_3 + \mathrm{j} \cdot b_3\). Exprimer \(a_3\) et \(b_3\) en fonction de \(a_2\), \(b_2\), \(C_s\) et de \(\omega\).

Afin de maximiser la puissance transmise par le générateur, il faut imposer \(\underline{Z}_{\mathrm{AB}} = 50\,\Omega\) qui correspond à l'impédance de sortie du générateur (la partie imaginaire doit donc être nulle).

**Q14.** Sur quelle partie (\(a_3\) ou \(b_3\)) influe \(C_p\) ? De même pour \(C_s\) ? Laquelle des deux valeurs de \(C_p\) ou \(C_s\) doit être choisie en premier pour imposer une valeur fixe pour \(\underline{Z}_{\mathrm{AB}}\) ?

### III.2 — Fonctionnement du générateur haute fréquence

**Objectif :** choisir le rapport de transformation du transformateur afin de transmettre la puissance nécessaire au réacteur plasma.

Le schéma électrique (simplifié) de la structure d'électronique de puissance permettant de réaliser un générateur haute fréquence est donné en **figure 19**. Il transforme la tension alternative issue du réseau en tension alternative haute fréquence.

**Figure 19 — Modélisation simplifiée de la conversion de puissance électrique associée à la charge**

Repères imprimés : Réseau 230 V / 50 Hz ; \(v_r\) ; transformateur ; \(v_{r2}\) ; Redresseur ; Filtre \(L_f\), \(C_f\) ; tension de bus \(V_e\) ; Onduleur, interrupteurs \(K_1\), \(K_2\), \(K_3\), \(K_4\) ; points M, N ; \(v_{MN}\) ; \(i_{MN}\) ; \(C_t\) ; \(L_t\) ; \(v_{R_{AB}}\) ; \(R_{AB}\) ; points A, B. Charge : Réacteur plasma + filtre LC.

Le convertisseur débite sur le réacteur plasma représenté par \(R_{AB}\), à travers le circuit \(C_t\) et \(L_t\). Ce circuit permet de filtrer la tension \(v_{MN}\) issue de l'onduleur. La fonction de transfert entre la tension aux bornes du réacteur et la tension en sortie de l'onduleur est la suivante :

\[
\underline{H}(\mathrm{j}\omega) = \frac{\underline{V}_{R_{AB}}}{\underline{V}_{MN}} = \frac{R_{AB} C_t \cdot \mathrm{j}\omega}{1 + R_{AB} C_t \cdot \mathrm{j}\omega + L_t C_t \cdot (\mathrm{j}\omega)^2} = \frac{\mathrm{j}\omega \cdot \dfrac{2\xi}{\omega_0}}{1 + \mathrm{j}\omega \cdot \dfrac{2\xi}{\omega_0} + \left(\mathrm{j}\dfrac{\omega}{\omega_0}\right)^2},
\]

avec :

- \(v_r\) la tension provenant du réseau (230 V, 50 Hz) ;
- \(v_{r2}\) la tension du secondaire du transformateur ;
- \(V_e\) la tension du bus continu supposée constante ;
- \(v_{MN}\) la tension et \(i_{MN}\) le courant de sortie de l'onduleur ;
- \(R_{AB}\) la résistance modélisant le réacteur étudié à la partie précédente, \(R_{AB} = 50\,\Omega\) ;
- \(C_t\) le condensateur et \(L_t\) l'inductance permettant de filtrer la tension \(v_{MN}\) ;
- \(K_1\), \(K_2\), \(K_3\), \(K_4\) des interrupteurs, chacun composé d'un transistor et d'une diode.

Les chronogrammes de la tension et du courant en sortie de l'onduleur sont donnés en **figure 20**.

**Figure 20 — Chronogrammes de \(v_{MN}\) et \(i_{MN}\) en sortie de l'onduleur**

Axes imprimés : temps, graduations \(0\), \(T/2\), \(T\), \(3T/2\), \(2T\) ; ordonnées \(+V_e\), \(0\), \(-V_e\) et \(+I_m\), \(0\), \(-I_m\). Légende : Tension (V), trait continu ; Courant (A), pointillés.

**Q15.** Au vu des chronogrammes, indiquer quels sont les éléments passants aux différents instants (pour \(K_1\), préciser si c'est le transistor T1 ou la diode D1, ainsi de suite).

En réalité, un transistor ne commute pas instantanément. Dans le cas d'un MOSFET, la tension drain-source a l'allure présentée en **figure 21**.

**Figure 21 — Allure temporelle de \(V_{DS}\) lors de la fermeture/ouverture d'un transistor MOSFET**

Repères imprimés : Drain, Gate, Source, \(V_{DS}\) ; « Transistor commandé à la fermeture » ; « Transistor commandé à l'ouverture » ; temps.

**Q16.** Quel est l'intérêt de commuter lorsque le courant est nul ?

**Q17.** Donner les expressions de \(\xi\) et de \(\omega_0\) en fonction de \(R_{AB}\), \(C_t\) et de \(L_t\) pour \(\underline{H}(\mathrm{j}\omega)\).

Pour les questions suivantes, les valeurs suivantes sont choisies :

\[
\xi = 0{,}05 \quad \text{et} \quad \omega_0 = 2\pi \cdot f_{\mathrm{plasma}} = 85{,}2 \cdot 10^{6}\ \mathrm{rad \cdot s^{-1}}.
\]

Si besoin, les formules suivantes sont données dans le cadre d'une résonance avec \(\omega_r\) la pulsation de résonance et \(Q_{dB}\) le coefficient de surtension :

\[
\omega_r = \omega_0 \cdot \sqrt{1 - 2\xi^{2}} \qquad Q_{dB} = 20 \cdot \log\left(\frac{1}{2\xi\sqrt{1 - \xi^{2}}}\right).
\]

**Q18.** Tracer le diagramme de Bode asymptotique de \(\underline{H}(\mathrm{j}\omega)\). À partir de quelle valeur de \(\xi\) y-a-t-il la présence d'une résonance ?

**Q19.** Que valent \(\left|\underline{H}(\mathrm{j}\omega_0)\right|\) et \(\arg\left(\underline{H}(\mathrm{j}\omega_0)\right)\) ? Esquisser l'allure du diagramme de Bode réel.

**Q20.** Quel est le type de filtre créé ? Justifier son utilisation ainsi que l'intérêt d'avoir (ou non) une résonance.

**Q21.** Au vu de la question **Q16** et des **figures 20 et 21**, justifier le fait d'avoir mis ce filtre et non un filtre passe-bas.

En faisant l'hypothèse que seul le fondamental reste après filtrage, la tension aux bornes de \(R_{AB}\) peut s'écrire en fonction de \(V_e\) de la manière suivante :

\[
v_{R_{AB}}(t) = v_{MN_1}(t) = \frac{4 \cdot V_e}{\pi} \cdot \sin(\omega_0 t).
\]

**Q22.** Rappeler la relation de la puissance active consommée par une résistance en fonction de sa valeur et de la tension à ses bornes. Donner la valeur efficace de la tension \(v_{R_{AB}}\), notée \(V_{R_{AB}}\), aux bornes de \(R_{AB}\) nécessaire pour transmettre une puissance \(P_{R_{AB}}\) de 2 kW.

\(V_e\) est considérée constante et le transformateur a un rapport de transformation \(m\), il est alors possible d'écrire, avec \(V_{r2}\) la valeur efficace de la tension \(v_{r2}(t)\) (**figure 19**) :

\[
V_e = \frac{2 V_{r2} \sqrt{2}}{\pi} \qquad \text{et} \qquad v_{r2}(t) = m \cdot v_r(t).
\]

**Q23.** Exprimer \(V_e\) en fonction de \(V_{R_{AB}}\). Faire l'application numérique.

**Q24.** Donner l'expression du rapport de transformation \(m\) en fonction de \(P_{R_{AB}}\) de manière à fournir 2 kW à la charge. Faire l'application numérique.

## Partie IV — Limites dynamiques du déplacement

**Objectif :** vérifier que les accélérations du robot n'entraînent pas une chute des bouteilles tenues par les ventouses afin de valider l'exigence **1.1.1**.

Afin de limiter les temps de cycle, on cherchera à exploiter au maximum les capacités de vitesse et d'accélération du robot en cours de production. À l'inverse, il faut veiller à ne pas avoir des accélérations trop importantes pour ne pas risquer une perte de bouteille par les ventouses.

Le mouvement du robot le plus contraignant sur ce point s'effectue dans le plan \((O, \overrightarrow{Y_0}, \overrightarrow{Z_0})\) et concerne des mouvements sur les axes 2, 3 et 5 uniquement (**annexe 3**). Le mouvement sur l'axe 5 étant une rotation de faible amplitude effectuée à faible vitesse, il sera négligé dans la modélisation proposée.

Le modèle utilisé pour l'étude est présenté en **figure 22**. Il est composé de 3 solides différents :

- solide 0 : base du robot + socle,
- solide 1 : bras du robot,
- solide 2 : avant-bras du robot + poignet + préhenseur + bouteilles.

**Données :**

- \(R_0\left(O, \overrightarrow{X_0}, \overrightarrow{Y_0}, \overrightarrow{Z_0}\right)\) : repère associé au solide 0 ;
- \(R_1\left(O, \overrightarrow{X_1}, \overrightarrow{Y_1}, \overrightarrow{Z_1}\right)\) : repère associé au solide 1 en liaison pivot d'axe \((O, \overrightarrow{X_0})\) avec le solide 0 tel que \(\left(\overrightarrow{Y_0}, \overrightarrow{Y_1}\right) = \left(\overrightarrow{Z_0}, \overrightarrow{Z_1}\right) = \alpha\) ;
- \(R_2\left(A, \overrightarrow{X_2}, \overrightarrow{Y_2}, \overrightarrow{Z_2}\right)\) : repère associé au solide 2 en liaison pivot d'axe \((A, \overrightarrow{X_0})\) avec le solide 1 tel que \(\left(\overrightarrow{Y_1}, \overrightarrow{Y_2}\right) = \left(\overrightarrow{Z_1}, \overrightarrow{Z_2}\right) = \beta\) ;
- \(\overrightarrow{OA} = L_1 \overrightarrow{Z_1}\) : longueur du bras du robot ;
- \(\overrightarrow{AB} = L_2 \overrightarrow{Y_2}\) : longueur de l'avant-bras + poignet + préhenseur.

**Figure 22 — Paramétrage de l'ensemble robot + préhenseur**

Repères imprimés : solides 0, 1, 2 ; points \(O\), \(A\), \(B\) ; angles \(\alpha\), \(\beta\) ; vecteurs \(\overrightarrow{Y_0}\), \(\overrightarrow{Y_1}\), \(\overrightarrow{Y_2}\), \(\overrightarrow{Z_0}\), \(\overrightarrow{Z_1}\), \(\overrightarrow{Z_2}\).

**Q25.** Donner l'expression de la vitesse \(\overrightarrow{V_{A_{1/0}}}\).

**Q26.** Donner l'expression de la vitesse \(\overrightarrow{V_{B_{2/0}}}\).

**Q27.** Donner l'expression de l'accélération \(\overrightarrow{\Gamma_{B_{2/0}}}\).

Les accélérations suivant \(\overrightarrow{Z_0}\) ne sont pas problématiques concernant la tenue des bouteilles par les ventouses. Dans le cadre d'un mouvement contenu dans le plan \((O, \overrightarrow{Y_0}, \overrightarrow{Z_0})\), on s'intéressera uniquement aux accélérations suivant la direction \(\overrightarrow{Y_0}\).

On admet que la composante d'accélération maximale en projection sur \(\overrightarrow{Y_0}\) est obtenue dans la position suivante du robot : \(\alpha = 0\) ; \(\beta = 0\).

**Q28.** Démontrer que l'accélération maximale du point B en projection sur \(\overrightarrow{Y_0}\), notée \(\overrightarrow{\Gamma_{B_{2/0}}} \cdot \overrightarrow{Y_0}\), peut se mettre sous la forme suivante : \(\overrightarrow{\Gamma_{B_{2/0}}} \cdot \overrightarrow{Y_0} = a \cdot \ddot{\alpha} + b \cdot \left(\dot{\alpha} + \dot{\beta}\right)^{2}\). Donner les expressions de \(a\) et de \(b\).

Les tests effectués ont montré que l'accélération maximale permettant de garantir une bonne saisie des bouteilles est de \(10\ \mathrm{m \cdot s^{-2}}\).

| Valeurs maximales de vitesses et d'accélérations angulaires lors du mouvement étudié | |
| --- | --- |
| \(\dot{\alpha}\) | \(2\ \mathrm{rad \cdot s^{-1}}\) |
| \(\dot{\beta}\) | \(2\ \mathrm{rad \cdot s^{-1}}\) |
| \(\ddot{\alpha}\) | \(4\ \mathrm{rad \cdot s^{-2}}\) |
| \(\ddot{\beta}\) | \(4\ \mathrm{rad \cdot s^{-2}}\) |
| **Dimensions du robot** | |
| \(L_1\) | \(0{,}6\ \mathrm{m}\) |
| \(L_2\) | \(0{,}75\ \mathrm{m}\) |

**Tableau 1 :** Dimensions, vitesses et accélération angulaires du robot

**Q29.** Calculer, à partir des valeurs proposées dans le **tableau 1**, la valeur numérique de \(\overrightarrow{\Gamma_{B_{2/0}}} \cdot \overrightarrow{Y_0}\), puis conclure vis-à-vis de l'exigence du cahier des charges en rapport avec la tenue des bouteilles par les ventouses.

## Partie V — Validation des contraintes sur l'axe linéaire

**Objectif :** vérifier que les effets dynamiques sur le pantographe n'engendrent pas d'efforts supérieurs à ceux préconisés par le constructeur de l'axe linéaire afin de valider l'exigence **1.3.4**.

L'axe linéaire est un vérin électrique de la marque I.A.I. Lors de la phase de trajectoire horizontale (déplacement selon la direction \(\overrightarrow{Y_0}\)) du robot pour la dépose des bouteilles dans les réacteurs, l'accélération subie par l'ensemble bouteilles + pantographe engendre un moment préjudiciable au fonctionnement du vérin (**figure 23**).

Le constructeur donne des valeurs maximales de moment à ne pas dépasser afin de garantir la durée de vie du composant (**annexe 4**).

L'étude sera effectuée avec les bouteilles les plus lourdes, donc les plus contraignantes vis-à-vis des effets dynamiques.

**Figure 23 — Modèle adopté pour l'étude dynamique**

Légendes imprimées : Châssis ; Vérin électrique (3) ; Pantographe (4) ; Ensemble de 4 bouteilles \((B_{tot})\) ; centres \(G\), \(G_p\), \(G_b\) ; cotes \(H_{G_p}\), \(H_{G_b}\), \(X_G\), \(Z_G\) ; point \(B\) ; repères \((O, \overrightarrow{Y_0}, \overrightarrow{Z_0})\) et \((\overrightarrow{X_3}, \overrightarrow{Y_3}, \overrightarrow{Z_3})\) ; Sens du déplacement.

| Grandeurs caractéristiques | | |
| --- | --- | --- |
| \(G\) | Centre de gravité de l'ensemble E (4 bouteilles + pantographe) | |
| \(G_p\) | Centre de gravité du pantographe | |
| \(G_b\) | Centre de gravité d'une bouteille | |
| \(X_G\) | Distance horizontale entre B et le centre de gravité G de l'ensemble E | 100 mm |
| \(Z_G\) | Distance verticale entre B et le centre de gravité G de l'ensemble E | 200 mm |
| \(m_b\) | Masse d'une bouteille vide | 100 g |
| \(m_p\) | Masse de la totalité des pièces du pantographe | 2 kg |

**Tableau 2 :** Caractéristiques dimensionnelles du pantographe + bouteilles

**Hypothèses :**

- mouvement de translation de l'ensemble châssis, vérin, pantographe, bouteilles suivant \(\overrightarrow{Y_0}\) ;
- problème plan dans le plan \((B, \overrightarrow{Y_0}, \overrightarrow{Z_0})\) ;
- O est un point fixe par rapport au sol. Une base orthonormée directe \((\overrightarrow{X_0}, \overrightarrow{Y_0}, \overrightarrow{Z_0})\) lui est associée. Le repère \(R_0\left(O, \overrightarrow{X_0}, \overrightarrow{Y_0}, \overrightarrow{Z_0}\right)\) est supposé galiléen ;
- B est un point fixe du vérin électrique. Une base orthonormée directe \((\overrightarrow{X_3}, \overrightarrow{Y_3}, \overrightarrow{Z_3})\) lui est associée ;
- l'ensemble des pièces composant le pantographe est assimilé à un solide rigide de centre de gravité \(G_p\) ;
- les bouteilles sont considérées en liaison encastrement avec le pantographe ;
- on considère que l'accélération maximale de l'ensemble {châssis, vérin, pantographe, bouteilles} suivant \(\overrightarrow{Y_0}\) notée \(\Gamma_B\) est : \(\Gamma_B = 10\ \mathrm{m \cdot s^{-2}}\) (avec \(\Gamma_B = \Gamma_{G_{b_1}} = \Gamma_{G_p}\)) ;
- les solides sont indéformables.

**Q30.** Donner l'expression de la résultante dynamique d'une bouteille \((b_1)\), notée \(\overrightarrow{R_D\, b_1/0}\), dans le cadre de son déplacement en translation par rapport à 0.

**Q31.** Donner l'expression du moment dynamique en \(G_b\) des 4 bouteilles \((B_{tot})\), noté \(\overrightarrow{\delta_{G_b}\, B_{tot}/0}\), dans le cadre de leur mouvement en translation par rapport à 0.

Le torseur dynamique de l'ensemble E exprimé en G (avec E = 4 bouteilles + pantographe) est donné sous la forme suivante :

\[
\{\mathcal{D}\, E/0\} = \begin{Bmatrix} \overrightarrow{R_D E/0} \\ \vec{0} \end{Bmatrix}_G = \begin{Bmatrix} -(4 \cdot m_b + m_p) \cdot \Gamma_B \cdot \overrightarrow{Y_0} \\ \vec{0} \end{Bmatrix}_G.
\]

**Q32.** Donner l'expression du torseur dynamique de l'ensemble E exprimé en B dans le cadre de son mouvement par rapport à 0 en fonction des caractéristiques du système et de l'accélération, noté

\[
\{\mathcal{D}\, E/0\} = \begin{Bmatrix} \overrightarrow{R_D E/0} \\ \overrightarrow{\delta_B E/0} \end{Bmatrix}_B.
\]

**Q33.** Faire l'application numérique du moment dynamique \(\overrightarrow{\delta_B E/0}\). À partir de la documentation du constructeur (**annexe 4**), conclure sur la capacité du vérin à supporter les contraintes liées aux accélérations.

## Partie VI — Contrôle de la position de sortie du vérin pour adapter l'entraxe

**Objectif :** choisir le correcteur permettant au vérin de sortie du pantographe de suivre une loi de vitesse trapézoïdale afin de valider l'exigence **1.3.2**.

Il est nécessaire d'asservir la position du vérin contrôlant le déplacement de l'extrémité mobile du pantographe afin d'adapter l'entraxe pour la bonne préhension des bouteilles.

Le pantographe est mis en mouvement grâce à une machine à courant continu (MCC), alimentée par un hacheur. La vitesse de rotation de la MCC est ensuite réduite et la rotation est transformée en translation grâce à un système vis-écrou qui déplace alors le pantographe.

La **figure 24** présente le schéma-bloc de l'asservissement en position du pantographe.

**Figure 24 — Schéma-bloc de l'asservissement en position**

Chaîne directe : \(\lambda_c(p) \to k_t \to N_c(p)\) ; comparateur (\(+\) sur \(N_c\), \(-\) sur \(N_m\)) \(\to \varepsilon(p) \to C(p) \to U_h(p) \to k_h \to U_m(p) \to H_m(p)\), avec entrée de perturbation \(C_r(p)\) sur \(H_m(p)\), \(\to \Omega_m(p) \to \dfrac{1}{p} \to \Theta_m(p) \to k_r \to \Theta_r(p) \to k_{ve} \to \lambda(p)\).

Le retour \(k_{cod}\) est pris sur \(\Theta_m(p)\) et fournit \(N_m(p)\) au comparateur.

**Notations et données :**

- \(C(p)\) : fonction de transfert du correcteur ;
- \(\lambda_c(p)\) : transformée de Laplace de la consigne de position ;
- \(\lambda(p)\) : transformée de Laplace de la position du vérin ;
- \(k_h\) : gain modélisant le hacheur, en \(\mathrm{V \cdot pt^{-1}}\), la sortie varie de \(-U\) à \(U\) (\(U = 12\ \mathrm{V}\)) pour une entrée codée sur \(n_b = 10\) bits ;
- \(H_m(p)\) : fonction de transfert de la machine à courant continu ;
- \(k_r\) : gain du réducteur dont le rapport de réduction est \(k_r = \omega_r / \omega_m = 1/3\) ;
- \(k_{ve}\) : gain du système vis-écrou, en \(\mathrm{m \cdot rad^{-1}}\), dont le pas est \(p_{vis} = 8 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{m}\) ;
- \(k_{cod}\) : gain du codeur absolu, en \(\mathrm{pt \cdot rad^{-1}}\), permettant de mesurer la position, le codeur est composé de \(n_p = 10\) pistes.

**Q34.** Quelle est la fonction du bloc \(k_t\) ? Donner son expression en fonction de \(k_{cod}\), \(k_r\) et de \(k_{ve}\).

**Q35.** Donner les expressions de \(k_{cod}\), \(k_h\) et de \(k_{ve}\) en fonction de \(p_{vis}\), \(U\), \(n_p\) et de \(n_b\).

**Q36.** Quelle est la précision de mesure théorique, notée \(p_\lambda\), amenée par le codeur absolu (c'est-à-dire pour un incrément du codeur) au niveau de la position du vérin ?

**Q37.** Justifier l'intérêt d'utiliser un codeur absolu.

Les équations régissant la machine à courant continu sont rappelées ci-dessous :

\[
\begin{aligned}
u_m(t) &= R \cdot i(t) + e(t) \\
c_{em}(t) &= k_t \cdot i(t) \\
e(t) &= k_e \cdot \omega_m(t) \\
J \frac{d\omega_m(t)}{dt} &= c_{em}(t) - c_r(t),
\end{aligned}
\]

avec :

- \(u_m\) : tension de l'induit ;
- \(i\) : courant de l'induit ;
- \(c_{em}\) : couple électromagnétique fourni par la MCC ;
- \(e\) : force contre-électromotrice ;
- \(c_r\) : couple résistant ;
- \(\omega_m\) : vitesse de rotation du moteur ;
- \(R\) : résistance de l'induit ;
- \(J\) : inertie de l'ensemble des éléments mobiles ramenés à l'arbre moteur ;
- \(k_t\) et \(k_e\) : constantes électromécaniques de la MCC ;
- l'inductance de l'induit négligée dans cette étude.

**Q38.** Remplir le schéma-bloc correspondant à la MCC.

Le schéma-bloc de la machine à courant continu peut se mettre sous la forme correspondant à la **figure 25**.

**Figure 25 — Schéma-bloc de la machine à courant continu**

\(C_r(p) \to H_1(p)\) arrive sur l'entrée \(-\) du comparateur ; \(U_m(p)\) arrive sur l'entrée \(+\) ; la sortie du comparateur entre dans \(H_2(p)\) et fournit \(\Omega_m(p)\).

**Q39.** Exprimer \(H_1(p)\) et \(H_2(p)\) en fonction des données de la machine à courant continu.

Pour la suite, \(H_2(p)\) est considéré tel que : \(H_2(p) = \dfrac{K_2}{1 + \tau_2\, p}\).

Le schéma-bloc de l'asservissement peut ainsi se mettre sous le format de la **figure 26**.

**Figure 26 — Schéma-bloc de l'asservissement de position**

Même chaîne que la **figure 24**, avec \(H_m(p)\) remplacé par un comparateur puis \(H_2(p)\) : \(U_m(p)\) sur l'entrée \(+\), \(C_r(p) \to H_1(p)\) sur l'entrée \(-\). Le retour \(k_{cod}\) est pris sur \(\Theta_m(p)\).

Une commande en trapèze de vitesse (**figure 27**) est réalisée pour commander ce vérin.

Deux correcteurs sont envisagés :

- un correcteur proportionnel (P) : \(C_P(p) = K_p\) ;
- un correcteur proportionnel-intégral (PI) : \(C_{PI}(p) = K_c \dfrac{1 + T_i\, p}{T_i\, p}\).

**Figure 27 — Consigne de vitesse en trapèze**

Axes imprimés : \(\dot{\lambda}_c\), palier \(\dot{\lambda}_0\), temps \(t\) avec les instants \(0\), \(t_1\), \(t_2\), \(t_3\).

Pour les questions suivantes, le couple résistant est considéré nul : \(C_r(p) = 0\).

**Q40.** Pour les deux correcteurs, préciser si les erreurs statiques et de traînage sont nulles ou non (aucun calcul n'est attendu).

Afin d'améliorer les performances, le choix se porte sur le correcteur proportionnel-intégral.

Rappel : \(C_{PI}(p) = K_c \dfrac{1 + T_i\, p}{T_i\, p}\) et \(H_2(p) = \dfrac{K_2}{1 + \tau_2\, p}\).

**Q41.** Exprimer la fonction de transfert en boucle ouverte sous la forme : \(H_{BO}(p) = K \dfrac{1 + T\, p}{p^{2}(1 + \tau\, p)}\). Donner les expressions de \(K\), de \(T\) et de \(\tau\) en fonction des paramètres du schéma-bloc de la **figure 26**.

**Q42.** Sur les diagrammes de Bode de la fonction de transfert en boucle ouverte fournis dans le **DR**, indiquer sur chacun :

- si \(T\) est inférieur, égal ou supérieur à \(\tau\) ;
- la marge de phase si elle existe, sinon indiquer « non définie » ;
- la marge de gain si elle existe, sinon indiquer « non définie ».

Indiquer la/les configuration(s) du correcteur PI à garder pour répondre aux exigences sur les marges (**1.3.3**).

La **figure 28** montre, dans le cadre d'une simulation, les réponses temporelles de la position et de la vitesse pour une consigne trapézoïdale de vitesse.

**Figure 28 — Réponses temporelles de la position et de la vitesse — Simulation**

Graphe de gauche : position (m) en fonction du temps (s), graduations de temps 0 à 5 ; légende consigne (pointillés) et position (trait). Graphe de droite : vitesse (m/s) en fonction du temps (s), graduations de temps 0 à 5, ordonnée comportant la graduation \(-0{,}2\) ; légende consigne (pointillés) et vitesse (trait).

**Q43.** Les exigences de rapidité, précision et stabilité (1.3.1, 1.3.2 et 1.3.3) sont-elles vérifiées ? Justifier.

## Partie VII — Validation des capacités du moteur d'axe linéaire

**Objectif :** choisir l'actionneur permettant de garantir la dynamique souhaitée pour le pantographe afin de valider l'exigence **1.3.1**.

Les cadences de production imposées nécessitent une grande dynamique de mouvement sur l'axe linéaire avec des accélérations et décélérations répétées. La validation des performances du moteur est nécessaire pour garantir le respect des temps imposés par les cadences à respecter.

**Figure 29 — Modélisation adoptée pour l'étude cinétique**

Légendes : Châssis (0) ; Vérin électrique ; Extrémité mobile ; Extrémité fixe ; Bouteille \(b_1\) ; bouteilles \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\), \(b_4\) ; \(G_{b_1}\) ; repères \((\overrightarrow{X_0}, \overrightarrow{Y_0})\) et \((\overrightarrow{X_1}, \overrightarrow{Y_1})\) ; déplacement \(\lambda\) ; Châssis préhenseur.

**Hypothèses :**

- dans cette partie, on considère que le mouvement du vérin électrique s'effectue sans mouvement du robot. Le châssis (0) sera donc considéré comme solide de référence fixe ;
- l'ensemble des biellettes du pantographe sera assimilé à une masse équivalente ramenée sur l'extrémité mobile du pantographe ;
- la masse équivalente des biellettes, l'écrou et l'extrémité mobile du vérin se déplaçant à la même vitesse, ils seront assimilés à un solide 5 ;
- la vitesse de déplacement de la bouteille \(b_1\) par rapport à la partie fixe du vérin électrique, notée \(V_{b_1}\), est égale à \(\dfrac{1}{5}\) de la vitesse de déplacement de l'extrémité mobile notée \(\dot{\lambda}\) ;
- l'ensemble des 4 bouteilles sera noté \(B_{tot}\).

| Élément | Inertie / Masse | Repère |
| --- | --- | --- |
| Bouteilles \((b_1, b_2, b_3, b_4) = B_{tot}\) | \(m_b\) pour une bouteille | |
| Extrémité mobile du pantographe + écrou + masse équivalente biellettes | \(m_e\) | 5 |
| Axe moteur + pignon | \(J_{mot}\) | 6 |
| Axe réducteur + vis | \(J_{red}\) | 7 |
| Ventouses | négligées | |

**Tableau 3 :** Notations relatives à la partie VII

**Q44.** En se basant sur la distance parcourue par chacune des bouteilles lors d'un déplacement du vérin et sur les hypothèses formulées, exprimer la vitesse de déplacement de la bouteille \(b_1\) (notée \(V_{b_1}\)), \(b_2\) (notée \(V_{b_2}\)), \(b_3\) (notée \(V_{b_3}\)) et \(b_4\) (notée \(V_{b_4}\)) en fonction de \(\dot{\lambda}\).

**Q45.** Donner l'expression du torseur cinématique de la bouteille \(b_1\) au point \(B_{b_1}\) dans le cadre de son mouvement par rapport au châssis du pantographe (0).

**Q46.** Donner l'expression du torseur cinétique de la bouteille \(b_1\) au point \(G_{b_1}\) dans le cadre de son mouvement par rapport au châssis du pantographe (0).

**Q47.** Donner l'expression de l'énergie cinétique de \(b_1\) dans le cadre de son mouvement par rapport au châssis du pantographe notée \(E_c\, b_1/0\).

**Q48.** Démontrer que l'énergie cinétique de l'ensemble \(B_{tot} = \{b_1, b_2, b_3, b_4\}\) dans le cadre de son mouvement par rapport au châssis peut se mettre sous la forme suivante :

\[
E_c\, B_{tot}/0 = \frac{1}{2} \cdot (C) \cdot \dot{\lambda}^{2}.
\]

Donner l'expression de \(C\).

Le modèle cinématique du vérin électrique est présenté sur la **figure 30**.

**Figure 30 — Modèle cinématique du vérin électrique**

Repères imprimés : solide 0 ; solides 5, 6 et 7 ; Moteur ; Extrémité mobile ; \(\overrightarrow{X_0}\), \(\overrightarrow{Z_0}\).

Le déplacement de l'extrémité mobile du vérin est obtenu à partir d'un moteur (vitesse de rotation \(\omega_m\) en \(\mathrm{rad \cdot s^{-1}}\)), entraînant un réducteur de rapport de transmission \(k_r = \omega_7 / \omega_6 = \dfrac{1}{3}\), puis d'un système vis/écrou à billes de pas \(p_{vis} = 8 \cdot 10^{-3}\ \mathrm{m}\).

**Q49.** Donner l'expression en \(\mathrm{m \cdot s^{-1}}\) de la vitesse de déplacement de l'extrémité mobile du pantographe \(\dot{\lambda}\) par rapport à 0 en fonction de \(\omega_m\), \(k_r\) et de \(p_{vis}\).

**Q50.** En déduire l'expression de l'énergie cinétique de l'ensemble \(B_{tot}\), notée \(E_c\, B_{tot}/0\), en fonction de \(C\), \(\omega_m\), \(k_r\) et de \(p_{vis}\).

**Q51.** Exprimer l'énergie cinétique de l'axe du moteur + pignon, notée \(E_c\, 6/0\), en fonction de \(J_m\) et de \(\omega_m\).

**Q52.** Exprimer l'énergie cinétique de l'axe du réducteur + vis, notée \(E_c\, 7/0\), en fonction de \(J_{red}\), \(k_r\) et de \(\omega_m\).

**Q53.** Exprimer l'énergie cinétique de l'écrou + extrémité mobile + masse équivalente des biellettes, notée \(E_c\, 5/0\), en fonction de \(m_e\), \(k_r\), \(p_{vis}\) et de \(\omega_m\).

**Q54.** Donner l'expression de l'énergie cinétique de la totalité des pièces mises en mouvement par le vérin électrique, notée \(E_c\, tot/0\), sous la forme \(\dfrac{1}{2} J_{eq} \cdot \omega_m^{2}\). Donner l'expression de \(J_{eq}\).

Pour la suite de cette partie, l'inertie équivalente \(J_{eq}\) aura la valeur suivante : \(J_{eq} = 15 \cdot 10^{-6}\ \mathrm{kg \cdot m^{2}}\).

Le détail de la loi de vitesse en trapèze utilisée pour la vitesse de déplacement de l'extrémité mobile du vérin \(V_{em}\) est présenté sur la **figure 31**. Cette loi en trapèze permet de garantir le respect des exigences de cadence de production.

**Figure 31 — Vitesse de déplacement du vérin**

Axes imprimés : \(V_{em}\) (m/s), graduations de 0 à 1 par pas de 0,1 ; \(t\) (s), graduations de 0 à 2 par pas de 0,2. Le palier horizontal du trapèze est confondu avec la graduation 0,7 m/s. La vitesse s'annule sur la graduation \(t = 1{,}4\ \mathrm{s}\). Des verticales en pointillés marquent les ruptures de pente.

- Les frottements présents dans les liaisons entre biellettes seront assimilés à une force résistante notée \(f\), de direction \(\overrightarrow{X_0}\), appliquée sur l'extrémité mobile de valeur 10 N.
- Le couple exercé par le moteur sur le pignon 6 sera noté \(C_m\).

**Q55.** Donner l'expression de la puissance développée par les forces de frottement, notée \(P_f\), ainsi que la puissance du moteur, notée \(P_m\).

**Q56.** En appliquant le théorème de l'énergie cinétique à l'ensemble des pièces en mouvement dans le cadre de l'étude, montrer que la relation entre le couple moteur \(C_m\) et l'accélération angulaire de l'axe du moteur \(\dot{\omega}_m\) est :

\[
C_m = J_{eq} \cdot \dot{\omega}_m + f \cdot k_r \cdot \frac{p_{vis}}{2\pi}.
\]

**Q57.** Donner la valeur numérique du couple moteur minimum garantissant le fonctionnement suivant la loi de vitesse en trapèze.

**Q58.** Pour des raisons de compatibilité de matériel, de masse embarquée sur le préhenseur et d'encombrement, seuls les 3 moteurs proposés en **annexe 5** sont envisageables sur le système. Choisir le moteur correspondant dans la gamme du constructeur donnée en **annexe 5** et conclure sur la capacité du système à respecter les cadences relatives à la **figure 31**.

# Annexe 1 — Principe de fonctionnement du pantographe

Deux schémas du pantographe : distance \(D\) entre l'extrémité fixe et l'extrémité mobile, entraxe \(E\) répété entre les points de préhension. Légende : Extrémité mobile.

Le déplacement de l'extrémité mobile du vérin électrique entraîne une augmentation de la distance \(D\). L'entraxe \(E\) de préhension des bouteilles s'adapte en fonction de \(D\) sur le principe du parallélogramme déformable.

# Annexe 2 — Diagramme des exigences

`req` ReqDiagram **Préhension et déplacement des bouteilles**.

Les exigences portent le stéréotype `<<requirement>>`. Les liens de composition sont marqués par le symbole \(\oplus\). Trois liens `<<refine>>` aboutissent à des blocs sans stéréotype.

- **Id = 1 — Manipuler les bouteilles.** text = « La manipulation des bouteilles à traiter sur l'unité de traitement plasma sera assurée par un préhenseur monté sur un robot industriel polyarticulé. »
  - **Id = 1.1 — Saisir les bouteilles.** text = « Saisir tous les types de bouteilles sur les convoyeurs d'entrée et dans les réacteurs. »
    - **Id = 1.1.1 — Maintenir.** text = « Les bouteilles ne doivent pas tomber lors des mouvements du robot et du pantographe. »
    - **Id = 1.1.2 — S'adapter.** text = « Le préhenseur doit adapter l'entraxe de prise des bouteilles en fonction des différents produits à traiter. »
      - `<<refine>>` : Le diamètre des bouteilles est compris entre 83 mm et 106 mm.
  - **Id = 1.2 — Déplacer les bouteilles.** text = « Déplacer les bouteilles entre les réacteurs et les convoyeurs avec un robot polyarticulé Fanuc M20. »
    - **Id = 1.2.1 — Masse embarquée.** text = « L'ensemble préhenseur+bouteilles à manipuler ne doit pas dépasser une masse de 20 kg et respecter les préconisations de charge embarquée au poignet du robot. »
  - **Id = 1.3 — Cadence.** text = « L'ensemble robot+préhenseur doit suivre la cadence imposée par deux chaînes de fabrication différentes. »
    - **Id = 1.3.1 — Rapidité.** text = « Le déplacement du préhenseur doit s'effectuer suffisamment rapidement pour s'adapter à l'entraxe de prise des bouteilles. »
      - `<<refine>>` : Le temps de réponse à 5 % du déplacement du préhenseur doit être inférieur à 2 secondes.
    - **Id = 1.3.2 — Précision.** text = « L'écart statique ainsi que l'écart de traînage doivent être nuls sur l'adaptation de position de l'entraxe. »
    - **Id = 1.3.3 — Stabilité.** text = « L'asservissement en position du préhenseur doit être stable. »
      - `<<refine>>` : marge de phase \(\geq 20^{\circ}\) ; marge de gain \(\geq 10\ \mathrm{dB}\).
    - **Id = 1.3.4 — Axe linéaire.** text = « Les effets dynamiques imposés par la cadence de production ne doivent pas détériorer le matériel embarqué sur le préhenseur. »

# Annexe 3 — Caractéristiques dimensionnelles du robot Fanuc M10

Plan d'encombrement (cotes en mm, telles qu'imprimées) et vue du robot.

Légendes : Plage de mouvement du centre de rotation de l'axe J5 ; Centre de rotation de l'axe J5.

Cotes et coordonnées imprimées du plan :

- hauteur 1720 ; cote verticale partielle 784 ;
- coordonnées \((-50,\ 1690)\), \((-1090,\ 650)\), \((-251,\ -207)\), \((-285,\ 314)\), \((0,\ 0)\), \((1420,\ 450)\), \((1390,\ 250)\), \((588,\ -743)\) ;
- cotes 150, 640, 100, 90,56, 199,94, 600, 354 ;
- embase : 140 et 143 ;
- chaîne de cotes inclinée : 200, 180 et 640 ;
- vue de côté : 227 et 123 ; 140 et 143 ; 206 et 181.

Vue du robot, légendes : Axe 1, Socle ; Axe 2 ; Axe 3, Bras ; Axe 4, Avant-bras ; Axe 5 ; Axe 6, Poignet.

# Annexe 4 — Caractéristiques du vérin électrique

| | Description |
| --- | --- |
| Drive system | Vis à bille diamètre 10 mm |
| Dispersion | 0,1 mm ou moins |
| Matériaux | Aluminium |
| Guidage | Guidage linéaire |
| Moments dynamiques autorisés (\*) | Ma : 4,9 N.m ; Mb : 6,8 N.m ; Mc : 11,7 N.m |
| Déport autorisé | 150 mm ou moins |
| Conditions ambiantes | 0 à \(40^{\circ}\) ; 85 % humidité, pas de condensation |

(\*) Données pour une distance d'usage de 5000 km

Schémas des moments Ma, Mb, Mc et des déports repérés par la cote \(L\).

# Annexe 5 — Motorisations du vérin électrique

Valeurs à \(22^{\circ}\mathrm{C}\) et à tension nominale. La colonne d'identification de la série (3056 K, 0824 K, 1628 T) ne porte pas de valeurs numériques ; les valeurs ci-dessous sont celles des variantes de tension.

## Série 3056 … B

Courant à vide, typ. (avec l'arbre ø 4 mm).

| n° | Grandeur | Symbole | 012 B | 024 B | 036 B | 048 B | Unité |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | Tension nominale | \(U_N\) | 12 | 24 | 36 | 48 | V |
| 2 | Résistance de phase | \(R\) | 1,5 | 6,4 | 12,3 | 23,6 | \(\Omega\) |
| 3 | Rendement, max. | \(\eta_{max}\) | 76 | 77 | 77 | 76 | % |
| 4 | Vitesse à vide | \(n_0\) | 8 800 | 8 100 | 8 900 | 8 900 | \(\mathrm{min^{-1}}\) |
| 5 | Courant à vide, typ. | \(I_0\) | 0,128 | 0,057 | 0,044 | 0,033 | A |
| 6 | Couple de démarrage | \(M_H\) | 102 | 104 | 111 | 103 | mNm |
| 7 | Couple de frottement statique | \(C_0\) | 0,81 | 0,81 | 0,81 | 0,81 | mNm |
| 8 | Coefficient de frottement dynamique | \(C_V\) | \(9{,}5 \cdot 10^{-5}\) | \(9{,}5 \cdot 10^{-5}\) | \(9{,}5 \cdot 10^{-5}\) | \(9{,}5 \cdot 10^{-5}\) | \(\mathrm{mNm/min^{-1}}\) |
| 9 | Constante de vitesse | \(k_n\) | 742 | 343 | 251 | 188 | \(\mathrm{min^{-1}/V}\) |
| 10 | Constante FEM | \(k_E\) | 1,35 | 2,91 | 3,99 | 5,32 | \(\mathrm{mV/min^{-1}}\) |
| 11 | Constante de couple | \(k_M\) | 12,9 | 27,8 | 38,1 | 50,8 | mNm/A |
| 12 | Constante de courant | \(k_I\) | 0,078 | 0,036 | 0,026 | 0,02 | A/mNm |
| 13 | Pente de la courbe n/M | \(\Delta n / \Delta M\) | 87 | 79 | 81 | 87 | \(\mathrm{min^{-1}/mNm}\) |
| 14 | Inductance de phase | \(L\) | 160 | 740 | 1 400 | 2 600 | \(\mu\mathrm{H}\) |
| 15 | Constante de temps mécanique | \(\tau_m\) | 13,6 | 12,4 | 12,7 | 13,7 | ms |
| 16 | Inertie du rotor | \(J\) | 15 | 15 | 15 | 15 | \(\mathrm{gcm^{2}}\) |

## Série 0824 … B

Courant à vide, typ. (avec l'arbre ø 1 mm).

| n° | Grandeur | Symbole | 006 B | 012 B | Unité |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | Tension nominale | \(U_N\) | 6 | 12 | V |
| 2 | Résistance de phase | \(R\) | 2,91 | 10,7 | \(\Omega\) |
| 3 | Rendement, max. | \(\eta_{max}\) | 70 | 70 | % |
| 4 | Vitesse à vide | \(n_0\) | 35 100 | 37 500 | \(\mathrm{min^{-1}}\) |
| 5 | Courant à vide, typ. | \(I_0\) | 0,055 | 0,031 | A |
| 6 | Couple de démarrage | \(M_H\) | 3,28 | 3,34 | mNm |
| 7 | Couple de frottement statique | \(C_0\) | 0,021 | 0,021 | mNm |
| 8 | Coefficient de frottement dynamique | \(C_V\) | \(1{,}89 \cdot 10^{-6}\) | \(1{,}89 \cdot 10^{-6}\) | \(\mathrm{mNm/min^{-1}}\) |
| 9 | Constante de vitesse | \(k_n\) | 5 968 | 3 183 | \(\mathrm{min^{-1}/V}\) |
| 10 | Constante FEM | \(k_E\) | 0,168 | 0,314 | \(\mathrm{mV/min^{-1}}\) |
| 11 | Constante de couple | \(k_M\) | 1,6 | 3 | mNm/A |
| 12 | Constante de courant | \(k_I\) | 0,625 | 0,333 | A/mNm |
| 13 | Pente de la courbe n/M | \(\Delta n / \Delta M\) | 10 855 | 11 353 | \(\mathrm{min^{-1}/mNm}\) |
| 14 | Inductance de phase | \(L\) | 30 | 107 | \(\mu\mathrm{H}\) |
| 15 | Constante de temps mécanique | \(\tau_m\) | 2,4 | 2,5 | ms |
| 16 | Inertie du rotor | \(J\) | 0,0285 | 0,0285 | \(\mathrm{gcm^{2}}\) |

## Série 1628 … B

Courant à vide, typ. (avec l'arbre ø 1,5 mm).

| n° | Grandeur | Symbole | 012 B | 024 B | Unité |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | Tension nominale | \(U_N\) | 12 | 24 | V |
| 2 | Résistance de phase | \(R\) | 4,36 | 15,2 | \(\Omega\) |
| 3 | Rendement, max. | \(\eta_{max}\) | 68 | 69 | % |
| 4 | Vitesse à vide | \(n_0\) | 30 800 | 31 600 | \(\mathrm{min^{-1}}\) |
| 5 | Courant à vide, typ. | \(I_0\) | 0,087 | 0,045 | A |
| 6 | Couple de démarrage | \(M_H\) | 9,79 | 11 | mNm |
| 7 | Couple de frottement statique | \(C_0\) | 0,148 | 0,148 | mNm |
| 8 | Coefficient de frottement dynamique | \(C_V\) | \(5{,}33 \cdot 10^{-6}\) | \(5{,}33 \cdot 10^{-6}\) | \(\mathrm{mNm/min^{-1}}\) |
| 9 | Constante de vitesse | \(k_n\) | 2 645 | 1 349 | \(\mathrm{min^{-1}/V}\) |
| 10 | Constante FEM | \(k_E\) | 0,378 | 0,741 | \(\mathrm{mV/min^{-1}}\) |
| 11 | Constante de couple | \(k_M\) | 3,61 | 7,08 | mNm/A |
| 12 | Constante de courant | \(k_I\) | 0,277 | 0,141 | A/mNm |
| 13 | Pente de la courbe n/M | \(\Delta n / \Delta M\) | 3 195 | 2 896 | \(\mathrm{min^{-1}/mNm}\) |
| 14 | Inductance de phase | \(L\) | 134 | 517 | \(\mu\mathrm{H}\) |
| 15 | Constante de temps mécanique | \(\tau_m\) | 18,1 | 16,4 | ms |
| 16 | Inertie du rotor | \(J\) | 0,54 | 0,54 | \(\mathrm{gcm^{2}}\) |

FIN