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CCINPTSI2026
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Signaler une erreur# CCINP TSI — Mathématiques 2026 · Corrigé guidé
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## Présentation du sujet
**Format.** Épreuve de 4 heures, calculatrice interdite, deux problèmes indépendants, 40 questions numérotées Q1 à Q40 (beaucoup avec sous-questions). Les parties de chaque problème sont « globalement indépendantes » : on peut avancer en admettant un résultat.
**Problème 1 — Calcul d'une intégrale via les nombres complexes (Q1–Q19).** On calcule $\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{\cos(nt)}{a-\cos t}\,\mathrm dt$ pour $|a|>1$ en développant la même fonction $f:t\mapsto\frac1{a-\cos t}$ de deux façons en série de cosinus, puis en identifiant les coefficients.
- *Partie I (Q1–Q5)* : racines $\alpha,\beta$ du trinôme $z^2-2az+1$ ; l'une, notée $\alpha$, est de module $<1$.
- *II.1 (Q6–Q9)* : $f$ est continue, paire, $2\pi$-périodique ; théorème de Dirichlet : $f=\sum a_n\cos(nt)$.
- *II.2 (Q10–Q15)* : formules d'Euler, décomposition en éléments simples et série géométrique donnent $f=\sum\gamma_n\cos(nt)$ avec des $\gamma_n$ explicites.
- *II.3 (Q16–Q19)* : la différence $u_n=a_n-\gamma_n$ vérifie les hypothèses d'un théorème d'unicité admis (Q17 : convergence absolue par deux intégrations par parties), d'où la formule et un calcul explicite.
**Problème 2 — Matrices aléatoires (Q20–Q40).** Matrices $2\times2$ dont les coefficients sont des variables aléatoires discrètes.
- *Partie I (Q20–Q24)* : produit scalaire $\mathrm{Tr}(AB^\top)$, décomposition symétrique + antisymétrique, distance à $\mathcal S_2(\mathbb R)$.
- *Partie II (Q25–Q27)* : lois de la trace et du déterminant pour des coefficients de Rademacher.
- *Partie III (Q28–Q31)* : distance à $\mathcal S_2(\mathbb R)$ d'une matrice à coefficients géométriques, Bienaymé-Tchebychev.
- *Partie IV (Q32–Q40)* : coefficients de Poisson ; inversibilité, loi de la trace (somme de Poisson), éléments propres, probabilité de diagonalisabilité $g(\lambda)$, approximation numérique (Python, reste de Taylor), série entière, valeurs intermédiaires et dichotomie.
**Notions mobilisées.** Trinôme et nombres complexes ; séries de Fourier (coefficients, théorème de Dirichlet) ; séries géométriques et séries entières (rayon, continuité) ; intégration par parties ; comparaison de séries ; produit scalaire, orthogonalité, projection ; lois usuelles discrètes, indépendance, $\sigma$-additivité, Bienaymé-Tchebychev ; réduction en dimension 2 ; formule de Taylor avec reste intégral ; Python ; théorème des valeurs intermédiaires, dichotomie.
**Difficulté et gestion du temps.** Sujet long mais très guidé, sans piège conceptuel profond. Les questions de cours (Q8, Q12, Q25, Q28, Q32) et les calculs directs (Q1–Q7, Q20–Q27, Q29–Q36) doivent être tous traités : ils représentent l'essentiel de l'épreuve. Les questions plus techniques sont Q11 (éléments simples), Q17 c) (deux intégrations par parties), Q37 b) (récurrence et intégration par parties) et Q39 (choisir le bon point où minorer $g$). Compter environ 1 h 40 pour le problème 1 et 2 h 10 pour le problème 2, dont la partie IV est la plus longue.
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# Problème 1 — Calcul d'une intégrale via les nombres complexes
## Partie I — Lemme préliminaire
Un trinôme réel à discriminant positif, ses relations coefficients-racines, et une petite inégalité sur les modules : c'est ce qui permettra en partie II de développer en série géométrique.
### Question 1
> [!INDICATION]
> Calculez le discriminant du trinôme et utilisez l'hypothèse sur $a$.
> [!INDICATION]
> L'égalité est demandée pour tout complexe $z$ : invoquez la factorisation d'un trinôme unitaire par ses racines, pas seulement l'existence de racines.
#### Solution
Le trinôme $P(z)=z^2-2az+1$ a pour discriminant $\Delta=4a^2-4=4(a^2-1)>0$ puisque $a^2>1$. Il admet deux racines réelles distinctes $a-\sqrt{a^2-1}$ et $a+\sqrt{a^2-1}$ ; en les notant $\alpha$ et $\beta$, la factorisation d'un trinôme unitaire donne
$$\boxed{\forall z\in\mathbb C,\quad z^2-2az+1=(z-\alpha)(z-\beta),\qquad \{\alpha,\beta\}=\{a-\sqrt{a^2-1},\ a+\sqrt{a^2-1}\}.}$$
Retenir : $\alpha$ et $\beta$ sont **réels**, ce qui servira constamment.
### Question 2
> [!INDICATION]
> Développez le produit de Q1 et identifiez les coefficients.
#### Solution
Pour tout $z$, $(z-\alpha)(z-\beta)=z^2-(\alpha+\beta)z+\alpha\beta$ ; deux polynômes égaux ont mêmes coefficients, donc
$$\boxed{\alpha+\beta=2a,\qquad\alpha\beta=1.}$$
> [!METHODE]
> La relation $\alpha\beta=1$ est l'information utile de toute la partie : elle donne $\alpha\neq0$, $\beta=1/\alpha$ et $|\alpha|\,|\beta|=1$, ce qui évite de manipuler les radicaux.
### Question 3
> [!INDICATION]
> Passez aux modules dans $\alpha\beta=1$ et combinez avec les deux hypothèses.
> [!INDICATION]
> Sur le cercle unité, l'inverse d'un complexe est son conjugué ; reliez alors $a$ à une partie réelle.
#### Solution
On a $|\alpha|\,|\beta|=1$. Si $|\alpha|\ge1$ et $|\beta|\ge1$, alors $1=|\alpha|\,|\beta|\ge|\alpha|\ge1$, donc $|\alpha|=1$ et $|\beta|=1/|\alpha|=1$ :
$$|\alpha|=|\beta|=1.$$
Alors $\alpha\bar\alpha=1=\alpha\beta$ et $\alpha\neq0$, donc $\beta=\bar\alpha$. Par Q2, $2a=\alpha+\bar\alpha=2\,\mathrm{Re}(\alpha)$, et comme $|\mathrm{Re}(\alpha)|\le|\alpha|$ :
$$\boxed{|a|\le1.}$$
> [!PIEGE]
> Ne pas utiliser ici les expressions explicites $a\pm\sqrt{a^2-1}$ (ni le fait que les racines sont réelles) : la question teste un raisonnement sur les modules. Et l'implication « produit égal à 1 et chacun $\ge1$ donc chacun égal à 1 » doit être écrite, c'est le cœur de la question.
### Question 4
> [!INDICATION]
> Lisez Q3 comme une implication et regardez sa contraposée.
#### Solution
Q3 montre : ($|\alpha|\ge1$ et $|\beta|\ge1$) $\Rightarrow|a|\le1$. Par contraposition, comme $|a|>1$ :
$$\boxed{|\alpha|<1\quad\text{ou}\quad|\beta|<1.}$$
Les deux ne peuvent avoir lieu ensemble ($|\alpha||\beta|=1$). Avec la convention $|\alpha|<1$ de l'énoncé : $\alpha$ est réel, non nul, donc $\alpha\in\,]-1,1[\setminus\{0\}$, $|\beta|=1/|\alpha|>1$ et $0<1-\alpha^2<1$. Cette remarque légitime toutes les divisions par $1-\alpha^2$ de la suite.
### Question 5
> [!INDICATION]
> Appliquez Q1 avec $a=2$ et repérez la racine de module strictement inférieur à 1.
#### Solution
Pour $a=2$, les racines de $z^2-4z+1$ sont $2\pm\sqrt3$. Comme $1<\sqrt3<2$ : $0<2-\sqrt3<1<2+\sqrt3$. Donc
$$\boxed{\alpha=2-\sqrt3,\qquad\beta=2+\sqrt3.}$$
Contrôle : $\alpha+\beta=4=2a$ et $\alpha\beta=4-3=1$.
> [!PIEGE]
> Inverser les rôles de $\alpha$ et $\beta$ fausserait Q19 (on obtiendrait une intégrale négative d'une fonction positive).
## Partie II — Calcul d'une intégrale
On va écrire $f$ comme somme d'une série de cosinus de deux manières : par le cours (II.1), puis par un calcul explicite (II.2) ; II.3 identifie les deux.
### II.1 — Une première expression en série trigonométrique
### Question 6
> [!INDICATION]
> Comparez $|a|$ et $|\cos t|$ avec l'inégalité triangulaire.
#### Solution
Pour tout réel $t$, $|\cos t|\le1$, donc
$$|a-\cos t|\ge|a|-|\cos t|\ge|a|-1>0,\qquad\boxed{a-\cos t\neq0.}$$
> [!PIEGE]
> L'hypothèse est $|a|>1$, pas $a>1$ : le cas $a<-1$ existe (alors $f<0$). L'inégalité triangulaire traite les deux cas à la fois.
### Question 7
> [!INDICATION]
> Trois vérifications séparées, chacune héritée d'une propriété du cosinus ; pour la continuité, Q6 est indispensable.
#### Solution
- *Continuité* : $t\mapsto a-\cos t$ est continue et ne s'annule pas (Q6), donc $f$, son inverse, est continue sur $\mathbb R$.
- *Parité* : $f(-t)=\frac1{a-\cos(-t)}=f(t)$ ($\cos$ paire).
- *Périodicité* : $f(t+2\pi)=f(t)$ ($\cos$ est $2\pi$-périodique).
**$f$ est continue, paire et $2\pi$-périodique sur $\mathbb R$.** (Pour $a=2$, $f$ oscille entre $\frac13$, atteint en $t\equiv\pi$, et $1$, atteint en $t\equiv0$.)
### Question 8
> [!INDICATION]
> Rappelez les formules pour une fonction $T$-périodique avec ici $T=2\pi$. Attention au coefficient constant.
> [!INDICATION]
> Regardez la forme de la somme annoncée en Q9 pour savoir quelle normalisation de $a_0$ est attendue.
#### Solution
$f$ est $2\pi$-périodique et continue par morceaux. Ses coefficients de Fourier sont
$$\boxed{a_0=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\,\mathrm dt,\qquad a_n=\frac1\pi\int_0^{2\pi}f(t)\cos(nt)\,\mathrm dt,\qquad b_n=\frac1\pi\int_0^{2\pi}f(t)\sin(nt)\,\mathrm dt\quad(n\ge1).}$$
Comme $f$ est paire, $t\mapsto f(t)\sin(nt)$ est impaire et $2\pi$-périodique, donc $b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(nt)\,\mathrm dt=0$.
> [!PIEGE]
> Avec la normalisation $a_0=\frac1\pi\int_0^{2\pi}f$, la série de Fourier s'écrit $\frac{a_0}2+\sum_{n\ge1}\dots$ et l'égalité de Q9 serait fausse. L'énoncé impose implicitement $a_0$ = valeur moyenne de $f$.
### Question 9
> [!INDICATION]
> Quel théorème donne la convergence ponctuelle d'une série de Fourier ? Vérifiez soigneusement sa régularité.
> [!INDICATION]
> La limite fournie par ce théorème est une demi-somme de limites à droite et à gauche : que vaut-elle pour une fonction continue ?
#### Solution
$t\mapsto a-\cos t$ est $\mathcal C^\infty$ et ne s'annule pas, donc $f$ est $\mathcal C^\infty$, a fortiori $\mathcal C^1$ par morceaux, et $2\pi$-périodique. Par le théorème de Dirichlet, la série de Fourier de $f$ converge en tout $t$ vers $\frac12\big(f(t^+)+f(t^-)\big)=f(t)$, puisque $f$ est continue. Avec $b_n=0$ :
$$\boxed{\forall t\in\mathbb R,\quad f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{+\infty}a_n\cos(nt)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\cos(nt).}$$
> [!JURY]
> Pour un théorème de convergence, on attend la liste explicite des hypothèses vérifiées (périodicité, régularité $\mathcal C^1$ par morceaux, continuité pour identifier la limite), pas seulement le nom du théorème.
### II.2 — Une seconde expression en série trigonométrique
### Question 10
> [!INDICATION]
> Formule d'Euler pour $\cos t$, puis multipliez par une quantité non nulle bien choisie.
#### Solution
Soit $t\in\mathbb R$. Avec $\cos t=\frac{e^{it}+e^{-it}}2$ :
$$2e^{it}(a-\cos t)=2ae^{it}-e^{2it}-1=-\big((e^{it})^2-2ae^{it}+1\big).$$
Le membre de gauche est non nul (Q6 et $e^{it}\neq0$), donc le trinôme aussi, et
$$\boxed{\forall t\in\mathbb R,\quad\frac1{a-\cos t}=\frac{-2e^{it}}{(e^{it})^2-2ae^{it}+1}.}$$
### Question 11
> [!INDICATION]
> Première égalité : Q1 en $z=e^{it}$. Seconde : utilisez $\beta=1/\alpha$ pour tout écrire avec $\alpha$.
> [!INDICATION]
> Plutôt que de chercher les éléments simples, vous pouvez partir du membre de droite et réduire au même dénominateur.
#### Solution
Par Q1 en $z=e^{it}$, et Q10 :
$$\frac1{a-\cos t}=\frac{-2e^{it}}{(e^{it}-\alpha)(e^{it}-\beta)}.$$
Comme $\beta=1/\alpha$ : $e^{it}-\alpha=e^{it}(1-\alpha e^{-it})$ et $e^{it}-\beta=-\frac{1-\alpha e^{it}}\alpha$ (non nuls car $|e^{it}|=1$ alors que $|\alpha|<1<|\beta|$). D'où
$$\frac1{a-\cos t}=\frac{2\alpha}{(1-\alpha e^{-it})(1-\alpha e^{it})}.$$
Par ailleurs
$$\frac{\alpha e^{-it}}{1-\alpha e^{-it}}+\frac1{1-\alpha e^{it}}=\frac{\alpha e^{-it}(1-\alpha e^{it})+1-\alpha e^{-it}}{(1-\alpha e^{-it})(1-\alpha e^{it})}=\frac{1-\alpha^2}{(1-\alpha e^{-it})(1-\alpha e^{it})}.$$
Comme $1-\alpha^2\neq0$ :
$$\boxed{\forall t\in\mathbb R,\quad\frac1{a-\cos t}=\frac{2\alpha}{1-\alpha^2}\left(\frac{\alpha e^{-it}}{1-\alpha e^{-it}}+\frac1{1-\alpha e^{it}}\right).}$$
> [!METHODE]
> Quand le résultat d'une décomposition est donné, le vérifier en réduisant au même dénominateur est plus sûr et plus rapide que de recalculer les coefficients.
### Question 12
> [!INDICATION]
> Question de cours : série géométrique.
#### Solution
$\sum z^n$ converge pour $|z|<1$, et son terme général ne tend pas vers 0 si $|z|\ge1$ :
$$\boxed{R=1,\qquad\sum_{n=0}^{+\infty}z^n=\frac1{1-z}\quad(|z|<1).}$$
### Question 13
> [!INDICATION]
> Appliquez Q12 à deux complexes de module $|\alpha|$.
> [!INDICATION]
> Pour la seconde égalité, décalez l'indice dans la première série et regroupez les termes de même indice.
#### Solution
Soit $t$ réel. On a $|\alpha e^{\pm it}|=|\alpha|<1$, donc
$$\frac{\alpha e^{-it}}{1-\alpha e^{-it}}=\alpha e^{-it}\sum_{n=0}^{+\infty}\alpha^ne^{-int}=\sum_{n=0}^{+\infty}\alpha^{n+1}e^{-i(n+1)t},\qquad\frac1{1-\alpha e^{it}}=\sum_{n=0}^{+\infty}\alpha^ne^{int},$$
ce qui donne la première égalité. Les deux séries convergent ; en posant $m=n+1$ dans la première et en isolant le terme $n=0$ de la seconde :
$$\sum_{m=1}^{+\infty}\alpha^me^{-imt}+1+\sum_{m=1}^{+\infty}\alpha^me^{imt}=1+\sum_{m=1}^{+\infty}\alpha^m(e^{imt}+e^{-imt})=1+2\sum_{m=1}^{+\infty}\alpha^m\cos(mt).$$
$$\boxed{\frac{\alpha e^{-it}}{1-\alpha e^{-it}}+\frac1{1-\alpha e^{it}}=\sum_{n=0}^{+\infty}\alpha^{n+1}e^{-i(n+1)t}+\sum_{n=0}^{+\infty}\alpha^ne^{int}=1+2\sum_{n=1}^{+\infty}\alpha^n\cos(nt).}$$
> [!PIEGE]
> Additionner deux séries terme à terme n'est licite que si les deux convergent : le dire. Et $\alpha$ réel est utilisé pour écrire $\alpha^m(e^{imt}+e^{-imt})=2\alpha^m\cos(mt)$ sans partie imaginaire parasite.
### Question 14
> [!INDICATION]
> Reportez Q13 dans Q11 et distribuez la constante.
#### Solution
Pour tout $t$ :
$$f(t)=\frac{2\alpha}{1-\alpha^2}\Big(1+2\sum_{n=1}^{+\infty}\alpha^n\cos(nt)\Big)=\frac{2\alpha}{1-\alpha^2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{4\alpha^{n+1}}{1-\alpha^2}\cos(nt),$$
$$\boxed{f(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}\gamma_n\cos(nt),\qquad\gamma_0=\frac{2\alpha}{1-\alpha^2},\quad\gamma_n=\frac{4\alpha^{n+1}}{1-\alpha^2}\ (n\ge1).}$$
### Question 15
> [!INDICATION]
> Reconnaissez une série géométrique dans $|\gamma_n|$.
#### Solution
Pour $n\ge1$, $|\gamma_n|=\frac{4|\alpha|}{1-\alpha^2}|\alpha|^n$ : constante fois terme d'une série géométrique de raison $|\alpha|\in[0,1[$, convergente. **$\sum\gamma_n$ converge absolument.**
### II.3 — Conclusion
### Question 16
> [!INDICATION]
> Les deux séries convergent vers la même valeur en chaque point : raisonnez sur les sommes partielles.
#### Solution
Pour $t$ fixé, $\sum a_n\cos(nt)$ et $\sum\gamma_n\cos(nt)$ convergent, de somme $f(t)$ (Q9, Q14). Les sommes partielles de $\sum u_n\cos(nt)$ sont les différences de leurs sommes partielles ; par linéarité de la limite :
$$\boxed{\forall t\in\mathbb R,\quad\sum_{n=0}^{+\infty}u_n\cos(nt)=f(t)-f(t)=0.}$$
### Question 17
> [!INDICATION]
> a) Dérivez la relation de périodicité. b) Opérations sur les fonctions de classe $\mathcal C^k$.
> [!INDICATION]
> c) Partez de $\int f''\cos(nt)$ et intégrez deux fois par parties en dérivant le cosinus ; les crochets disparaissent grâce à a). Le cas $n=0$ est à part.
> [!INDICATION]
> d) Reliez $\int f\cos(nt)$ à $a_n$ par Q8, puis inégalité triangulaire. e) Série de Riemann, puis inégalité triangulaire sur $u_n$.
#### Solution
**a)** Si $g$ est $\mathcal C^1$ et $T$-périodique, $g(t+T)=g(t)$ pour tout $t$ ; en dérivant (composée avec $t\mapsto t+T$), $g'(t+T)=g'(t)$ : **$g'$ est $T$-périodique.**
**b)** $t\mapsto a-\cos t$ est $\mathcal C^\infty$ et ne s'annule pas (Q6) ; son inverse est donc $\mathcal C^\infty$. **$f$ est de classe $\mathcal C^2$ sur $\mathbb R$.**
**c)** Par a), $f'$ est $2\pi$-périodique, donc $f'(2\pi)=f'(0)$.
*Cas $n=0$* : $0=-\int_0^{2\pi}f''=-(f'(2\pi)-f'(0))$, l'égalité est vraie.
*Cas $n\ge1$* : par intégrations par parties (fonctions $\mathcal C^1$ sur $[0,2\pi]$),
$$\int_0^{2\pi}f''(t)\cos(nt)\,\mathrm dt=\big[f'(t)\cos(nt)\big]_0^{2\pi}+n\int_0^{2\pi}f'(t)\sin(nt)\,\mathrm dt=n\int_0^{2\pi}f'(t)\sin(nt)\,\mathrm dt,$$
$$\int_0^{2\pi}f'(t)\sin(nt)\,\mathrm dt=\big[f(t)\sin(nt)\big]_0^{2\pi}-n\int_0^{2\pi}f(t)\cos(nt)\,\mathrm dt=-n\int_0^{2\pi}f(t)\cos(nt)\,\mathrm dt.$$
Le premier crochet vaut $f'(2\pi)-f'(0)=0$, le second est nul car $\sin(2n\pi)=\sin0=0$. D'où
$$\boxed{\forall n\in\mathbb N,\quad n^2\int_0^{2\pi}f(t)\cos(nt)\,\mathrm dt=-\int_0^{2\pi}f''(t)\cos(nt)\,\mathrm dt.}$$
**d)** Pour $n\ge1$, $\int_0^{2\pi}f(t)\cos(nt)\,\mathrm dt=\pi a_n$ (Q8), donc
$$n^2\pi|a_n|=\Big|\int_0^{2\pi}f''(t)\cos(nt)\,\mathrm dt\Big|\le\int_0^{2\pi}|f''(t)|\,\mathrm dt,\qquad\boxed{|a_n|\le\frac1{n^2\pi}\int_0^{2\pi}|f''(t)|\,\mathrm dt.}$$
**e)** Avec $M=\int_0^{2\pi}|f''|$, fini car $f''$ est continue sur un segment : $0\le|a_n|\le\frac M\pi\cdot\frac1{n^2}$. La série de Riemann $\sum\frac1{n^2}$ converge, donc par comparaison **$\sum a_n$ converge absolument**. Puis $|u_n|\le|a_n|+|\gamma_n|$ et $\sum|\gamma_n|$ converge (Q15) : **$\sum u_n$ converge absolument.**
> [!PIEGE]
> Dans c), le crochet $[f'(t)\cos(nt)]_0^{2\pi}$ ne s'annule pas « parce que le cosinus vaut 1 aux bornes » : il vaut $f'(2\pi)-f'(0)$, et c'est la périodicité de $f'$, donc a), qui le tue. C'est la raison d'être de a).
> [!METHODE]
> Chaque intégration par parties contre $\cos(nt)$ ou $\sin(nt)$ fait gagner un facteur $1/n$ : une fonction périodique de classe $\mathcal C^2$ a des coefficients de Fourier en $O(1/n^2)$, donc absolument sommables.
### Question 18
> [!INDICATION]
> Le théorème admis donne $a_n=\gamma_n$. Revenez à la définition intégrale de $a_n$ en distinguant $n=0$ et $n\ge1$.
#### Solution
Par Q16, Q17 e) et le théorème admis, $u_n=0$, donc $a_n=\gamma_n$ pour tout $n$.
- $n\ge1$ : $\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{\cos(nt)}{a-\cos t}\,\mathrm dt=\pi a_n=\pi\gamma_n=\frac{4\pi\alpha^{n+1}}{1-\alpha^2}$.
- $n=0$ : $\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm dt}{a-\cos t}=2\pi a_0=2\pi\gamma_0=\frac{4\pi\alpha}{1-\alpha^2}$, qui est la même formule pour $n=0$.
$$\boxed{\forall n\in\mathbb N,\quad\int_0^{2\pi}\frac{\cos(nt)}{a-\cos t}\,\mathrm dt=\frac{4\pi\alpha^{n+1}}{1-\alpha^2},}$$
avec $\alpha=a-\sqrt{a^2-1}$ si $a>1$ et $\alpha=a+\sqrt{a^2-1}$ si $a<-1$.
> [!PIEGE]
> Le cas $n=0$ n'est pas automatique : le facteur $2\pi$ (au lieu de $\pi$) devant $a_0$ compense exactement le $2$ (au lieu de $4$) de $\gamma_0$. Il faut l'écrire.
### Question 19
> [!INDICATION]
> Appliquez Q18 avec $n=0$, $a=2$, et la valeur de $\alpha$ trouvée en Q5.
> [!INDICATION]
> Factorisez $1-\alpha^2$ pour faire apparaître $2-\sqrt3$.
#### Solution
Avec $\alpha=2-\sqrt3$ : $\alpha^2=7-4\sqrt3$, $1-\alpha^2=4\sqrt3-6=2\sqrt3(2-\sqrt3)$. Donc
$$\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm dt}{2-\cos t}=\frac{4\pi(2-\sqrt3)}{2\sqrt3(2-\sqrt3)}=\frac{2\pi}{\sqrt3},\qquad\boxed{\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm dt}{2-\cos t}=\frac{2\pi\sqrt3}3\approx3{,}63.}$$
Contrôle de vraisemblance : $\frac13\le f\le1$, donc l'intégrale est entre $\frac{2\pi}3\approx2{,}09$ et $2\pi\approx6{,}28$.
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# Problème 2 — Matrices aléatoires
On note $\mathcal A_2(\mathbb R)$ le sous-espace des matrices antisymétriques.
## Partie I — Généralités sur l'espace vectoriel $\mathcal M_2(\mathbb R)$
Le produit $\mathrm{Tr}(AB^\top)$ n'est autre que le produit scalaire canonique de $\mathbb R^4$ ; symétriques et antisymétriques sont supplémentaires orthogonaux, ce qui donne la distance à $\mathcal S_2(\mathbb R)$.
### Question 20
> [!INDICATION]
> Calcul direct de $AB^\top$ ; seuls les coefficients diagonaux comptent.
#### Solution
$AB^\top=\begin{pmatrix}a_1&a_2\\a_3&a_4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_1&b_3\\b_2&b_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1b_1+a_2b_2&a_1b_3+a_2b_4\\a_3b_1+a_4b_2&a_3b_3+a_4b_4\end{pmatrix}$, donc
$$\boxed{\langle A,B\rangle=\sum_{k=1}^4a_kb_k.}$$
### Question 21
> [!INDICATION]
> Quatre propriétés à vérifier ; l'expression de Q20 les rend immédiates.
#### Solution
Par Q20 : symétrie ($\sum b_ka_k=\sum a_kb_k$) ; linéarité à gauche (les coefficients de $A+\lambda A'$ sont $a_k+\lambda a'_k$), donc bilinéarité avec la symétrie ; positivité ($\langle A,A\rangle=\sum a_k^2\ge0$) ; caractère défini (une somme de carrés réels nulle impose $a_k=0$ pour tout $k$, soit $A=0$). **$\langle\cdot,\cdot\rangle$ est un produit scalaire.**
> [!JURY]
> Pour un produit scalaire, les quatre propriétés (symétrie, bilinéarité, positivité, caractère défini) doivent toutes apparaître explicitement ; l'oubli du caractère défini est l'omission la plus courante.
### Question 22
> [!INDICATION]
> Transposez. Pour l'orthogonalité, calculez $\langle S,T\rangle$ de deux façons grâce à la symétrie du produit scalaire.
#### Solution
Avec $M=\frac{A+A^\top}2$, $N=\frac{A-A^\top}2$ : $M^\top=\frac{A^\top+A}2=M$ et $N^\top=\frac{A^\top-A}2=-N$.
Soient $S$ symétrique et $T$ antisymétrique : $\langle S,T\rangle=\mathrm{Tr}(ST^\top)=-\mathrm{Tr}(ST)$, et aussi $\langle S,T\rangle=\langle T,S\rangle=\mathrm{Tr}(TS^\top)=\mathrm{Tr}(TS)=\mathrm{Tr}(ST)$. Donc $\langle S,T\rangle=0$, en particulier
$$\boxed{M\in\mathcal S_2(\mathbb R),\quad N\in\mathcal A_2(\mathbb R),\quad\langle M,N\rangle=0.}$$
> [!METHODE]
> On a même démontré plus que demandé : $\mathcal A_2(\mathbb R)\subset\mathcal S_2(\mathbb R)^\perp$. C'est cette version générale qui sert en Q24.
### Question 23
> [!INDICATION]
> Existence : Q22. Unicité : transposez une décomposition quelconque.
#### Solution
*Existence* : $M+N=A$ avec $M$ symétrique et $N$ antisymétrique.
*Unicité* : si $A=M'+N'$ ($M'$ symétrique, $N'$ antisymétrique), alors $A^\top=M'-N'$, d'où $M'=\frac{A+A^\top}2$ et $N'=\frac{A-A^\top}2$.
$$\boxed{N=\frac{A-A^\top}2,\qquad\mathcal M_2(\mathbb R)=\mathcal S_2(\mathbb R)\oplus\mathcal A_2(\mathbb R).}$$
### Question 24
> [!INDICATION]
> Pour $B$ symétrique, décomposez $A-B$ en une partie symétrique et une partie antisymétrique.
> [!INDICATION]
> Théorème de Pythagore, puis cherchez le cas d'égalité.
#### Solution
Pour $B\in\mathcal S_2(\mathbb R)$ : $A-B=(M-B)+N$, avec $M-B$ symétrique et $N$ antisymétrique, orthogonaux (Q22). Par Pythagore :
$$\|A-B\|^2=\|M-B\|^2+\|N\|^2\ge\|N\|^2,$$
avec égalité pour $B=M$. La borne inférieure est atteinte en $M$, projeté orthogonal de $A$ sur $\mathcal S_2(\mathbb R)$ :
$$\boxed{d(A,\mathcal S_2(\mathbb R))=\|N\|=\frac12\|A-A^\top\|.}$$
> [!METHODE]
> Distance à un sous-espace : si l'on dispose d'une décomposition $A=p+q$ avec $p$ dans le sous-espace et $q$ orthogonal à tout le sous-espace, alors la distance vaut $\|q\|$ (Pythagore). On peut aussi citer le théorème du projeté orthogonal.
## Partie II — Matrice de Rademacher
Calculs de lois finies : bien décomposer chaque événement en réunion disjointe d'intersections, puis utiliser l'indépendance.
### Question 25
> [!INDICATION]
> Définition de l'espérance, puis formule de König-Huygens ; que vaut $X_1^2$ ?
#### Solution
$E(X_1)=-\frac12+\frac12=0$ ; $X_1^2=1$ donc $V(X_1)=E(X_1^2)-E(X_1)^2=1$.
$$\boxed{E(X_1)=0,\qquad V(X_1)=1.}$$
### Question 26
> [!INDICATION]
> Listez les valeurs possibles de $X_1+Y_1$ et décrivez chaque événement en termes de $X_1$ et $Y_1$.
#### Solution
$T_1(\Omega)=\{-2,0,2\}$ ; par indépendance, $P(T_1=-2)=P(X_1=-1)P(Y_1=-1)=\frac14$, $P(T_1=2)=\frac14$, et $[T_1=0]=([X_1=-1]\cap[Y_1=1])\sqcup([X_1=1]\cap[Y_1=-1])$ donne $P(T_1=0)=\frac12$.
$$\boxed{P(T_1=-2)=\tfrac14,\ P(T_1=0)=\tfrac12,\ P(T_1=2)=\tfrac14;\qquad E(T_1)=0,\ V(T_1)=2.}$$
($E(T_1^2)=4\cdot\frac14+4\cdot\frac14=2$.) Contrôle : $V(X_1+Y_1)=V(X_1)+V(Y_1)=2$ par indépendance.
### Question 27
> [!INDICATION]
> $X_1Y_1=1$ signifie que $X_1$ et $Y_1$ ont le même signe.
#### Solution
$Z_1(\Omega)=\{-1,1\}$ et $[Z_1=1]=([X_1=1]\cap[Y_1=1])\sqcup([X_1=-1]\cap[Y_1=-1])$, d'où $P(Z_1=1)=\frac12=P(Z_1=-1)$. **$Z_1$ suit la loi de Rademacher**, donc comme en Q25 :
$$\boxed{E(Z_1)=0,\qquad V(Z_1)=1.}$$
En particulier $\det\Sigma_1=\pm1$ : $\Sigma_1$ est toujours inversible.
## Partie III — Matrice géométrique
La partie I donne une expression simple de la distance, puis on applique Bienaymé-Tchebychev.
### Question 28
> [!INDICATION]
> Question de cours.
#### Solution
$$\boxed{E(X_2)=\frac1p,\qquad V(X_2)=\frac{1-p}{p^2}.}$$
### Question 29
> [!INDICATION]
> a) Appliquez Q24 à $\Sigma_2$ et calculez la norme avec Q20. Que dire du signe de $Y_2$ ?
> [!INDICATION]
> b) $T_2$ est un multiple constant de $Y_2$.
#### Solution
**a)** $\Sigma_2-\Sigma_2^\top=\begin{pmatrix}0&-2Y_2\\2Y_2&0\end{pmatrix}$, donc $\|\Sigma_2-\Sigma_2^\top\|^2=8Y_2^2$ et, puisque $Y_2\ge1>0$, $\|\Sigma_2-\Sigma_2^\top\|=2\sqrt2\,Y_2$. Par Q24 :
$$\boxed{T_2=\sqrt2\,Y_2.}$$
**b)** Par linéarité et $V(cY)=c^2V(Y)$ :
$$\boxed{E(T_2)=\frac{\sqrt2}p,\qquad V(T_2)=\frac{2(1-p)}{p^2}.}$$
> [!PIEGE]
> $\sqrt{8Y_2^2}=2\sqrt2\,|Y_2|$ : la valeur absolue disparaît parce que $Y_2$ est à valeurs dans $\mathbb N^*$, il faut le dire.
### Question 30
> [!INDICATION]
> Reconnaissez une inégalité de concentration du cours faisant intervenir la variance.
#### Solution
$T_2$ admet une variance ; par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et Q29 b), pour tout $\delta>0$ :
$$\boxed{P\Big(\Big|T_2-\frac{\sqrt2}p\Big|\ge\delta\Big)\le\frac{V(T_2)}{\delta^2}=\frac{2(1-p)}{\delta^2p^2}.}$$
### Question 31
> [!INDICATION]
> a) Spécialisez Q30 et résolvez une inégalité en $\delta$. b) Événement contraire.
#### Solution
**a)** Pour $p=\frac12$ : $E(T_2)=2\sqrt2$ et la majoration vaut $\frac4{\delta^2}$, qui est $\le\frac14$ dès que $\delta\ge4$. **$\delta=4$ convient** : $P(|T_2-2\sqrt2|\ge4)\le\frac14$.
**b)** $P(|T_2-2\sqrt2|<4)=1-P(|T_2-2\sqrt2|\ge4)\ge\frac34$, et $T_2=d(\Sigma_2,\mathcal S_2(\mathbb R))$ :
$$\boxed{P\Big(\big|d(\Sigma_2,\mathcal S_2(\mathbb R))-2\sqrt2\big|<4\Big)\ge\frac34.}$$
(La probabilité réelle est $P(Y_2\le4)=\frac{15}{16}$ : Bienaymé-Tchebychev est une majoration grossière mais universelle.)
## Partie IV — Matrice de Poisson
La partie la plus longue : probabilités (crible, convolution de lois de Poisson, $\sigma$-additivité), réduction d'une matrice triangulaire, puis analyse et numérique autour de $g(\lambda)=P(D_\lambda)$.
### Question 32
> [!INDICATION]
> Question de cours.
#### Solution
$$\boxed{E(X_3)=\lambda,\qquad V(X_3)=\lambda.}$$
### Question 33
> [!INDICATION]
> a) Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs l'est : la réunion obtenue n'est pas disjointe.
> [!INDICATION]
> b) Lien entre déterminant et inversibilité, puis événement contraire.
#### Solution
**a)** $[Z_3=0]=[X_3=0]\cup[Y_3=0]$. Par la formule du crible et l'indépendance :
$$\boxed{P(Z_3=0)=e^{-\lambda}+e^{-\lambda}-e^{-2\lambda}=2\exp(-\lambda)-\exp(-2\lambda).}$$
**b)** $\det\Sigma_3=X_3Y_3=Z_3$ et $\Sigma_3$ est inversible si et seulement si $Z_3\neq0$ :
$$\boxed{P(\Sigma_3\ \text{inversible})=1-2e^{-\lambda}+e^{-2\lambda}=(1-e^{-\lambda})^2.}$$
### Question 34
> [!INDICATION]
> a) Deux inclusions pour $T_3(\Omega)$ ; pour la formule, décomposez $[T_3=n]$ selon la valeur de $X_3$.
> [!INDICATION]
> b) Factorisez par $\frac{\lambda^n}{n!}$ pour faire apparaître des coefficients binomiaux.
#### Solution
**a)** $T_3(\Omega)\subset\mathbb N$, et pour $n\in\mathbb N$, $P([X_3=n]\cap[Y_3=0])=e^{-2\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}>0$, donc il existe $\omega$ avec $T_3(\omega)=n$ : **$T_3(\Omega)=\mathbb N$.** Comme $Y_3\ge0$, $[T_3=n]=\bigsqcup_{k=0}^n([X_3=k]\cap[Y_3=n-k])$ ; par additivité et indépendance,
$$\boxed{P(T_3=n)=\sum_{k=0}^nP(X_3=k)P(Y_3=n-k).}$$
**b)**
$$P(T_3=n)=e^{-2\lambda}\sum_{k=0}^n\frac{\lambda^k\lambda^{n-k}}{k!(n-k)!}=e^{-2\lambda}\frac{\lambda^n}{n!}\sum_{k=0}^n\binom nk=e^{-2\lambda}\frac{(2\lambda)^n}{n!}.$$
**$T_3$ suit la loi de Poisson de paramètre $2\lambda$.**
> [!METHODE]
> Somme de deux variables indépendantes à valeurs entières : décomposition selon la valeur de l'une (produit de convolution), puis reconnaissance d'une loi. Le résultat (somme de Poisson indépendantes) est classique et réutilisable.
### Question 35
> [!INDICATION]
> a) Calculez le produit matrice-vecteur et vérifiez que le vecteur n'est pas nul.
> [!INDICATION]
> b) La matrice est triangulaire ; essayez un vecteur de la base canonique.
#### Solution
**a)** Avec $V=\begin{pmatrix}X_3-Y_3\\1\end{pmatrix}\neq0$ (seconde coordonnée égale à 1) :
$$\Sigma_3V=\begin{pmatrix}X_3(X_3-Y_3)\\(X_3-Y_3)+Y_3\end{pmatrix}=X_3V.$$
**$V$ est vecteur propre associé à la valeur propre $X_3$.**
**b)** $\Sigma_3\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\Y_3\end{pmatrix}=Y_3\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ : **$Y_3$ est valeur propre, de vecteur propre $\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$.**
### Question 36
> [!INDICATION]
> a) Partition de $[X_3=Y_3]$ selon la valeur commune, puis $\sigma$-additivité.
> [!INDICATION]
> b) Deux cas : valeurs propres distinctes, ou valeur propre double. Dans le second, que serait une matrice diagonalisable n'ayant qu'une valeur propre ?
> [!INDICATION]
> c) Événement contraire, puis développez $P(X_3=k)^2$.
#### Solution
**a)** $[X_3=Y_3]=\bigsqcup_{k\ge0}([X_3=k]\cap[Y_3=k])$ (système complet $([Y_3=k])_k$). Par $\sigma$-additivité, indépendance et égalité des lois :
$$\boxed{P(X_3=Y_3)=\sum_{k=0}^{+\infty}P(X_3=k)^2.}$$
**b)** À $\omega$ fixé, $x=X_3(\omega)$, $y=Y_3(\omega)$.
- Si $x\neq y$ : $\Sigma_3$ d'ordre 2 a deux valeurs propres réelles distinctes (Q35), donc est diagonalisable dans $\mathbb R$.
- Si $x=y=c$ : $\Sigma_3=\begin{pmatrix}c&0\\1&c\end{pmatrix}$ a $c$ pour seule valeur propre ; diagonalisable, elle serait semblable à $cI_2$, donc égale à $cI_2$, ce qui est faux (coefficient $(2,1)$ égal à $1$).
$$\boxed{\Sigma_3\ \text{diagonalisable dans}\ \mathbb R\iff X_3\neq Y_3.}$$
**c)** $P(D_\lambda)=1-P(X_3=Y_3)=1-\sum_k e^{-2\lambda}\frac{\lambda^{2k}}{(k!)^2}$ :
$$\boxed{P(D_\lambda)=1-e^{-2\lambda}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\lambda^{2k}}{(k!)^2}.}$$
> [!PIEGE]
> Une valeur propre double n'empêche pas, à elle seule, la diagonalisabilité ($cI_2$ est diagonale) : il faut un argument spécifique, ici « seule matrice diagonalisable de spectre $\{c\}$ : $cI_2$ ».
### Question 37
> [!INDICATION]
> a) Boucle `for` avec accumulateur ; attention à la borne de `range`. b) Récurrence sur $n$ avec une intégration par parties qui abaisse l'exposant de $(x-t)$.
> [!INDICATION]
> c) Majorez $e^t$ sur $[0,x]$. d) Cas particulier de c). e) Comparez $(k!)^2$ et $k!$. f) Cherchez quand la majoration de e) passe sous $10^{-2}$.
> [!INDICATION]
> g) La valeur affichée est un arrondi : combinez l'incertitude d'arrondi et l'erreur de troncature. h) Combien de multiplications coûte chaque appel à la factorielle ?
#### Solution
**a)**
```python
import math
def Approx_Sum(N):
S = 0
for k in range(N + 1): # k = 0, 1, ..., N
S = S + math.exp(-2) / math.factorial(k) ** 2
return S
```
**b)** À $x\ge0$ fixé, notons $R_n=\frac1{n!}\int_0^x(x-t)^ne^t\,\mathrm dt$. *Initialisation* : $R_0=\int_0^xe^t\,\mathrm dt=e^x-1$. *Hérédité* : par intégration par parties,
$$\int_0^x(x-t)^{n+1}e^t\,\mathrm dt=\big[(x-t)^{n+1}e^t\big]_0^x+(n+1)\int_0^x(x-t)^ne^t\,\mathrm dt=-x^{n+1}+(n+1)\int_0^x(x-t)^ne^t\,\mathrm dt,$$
donc $R_{n+1}=R_n-\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$, ce qui propage l'égalité :
$$\boxed{\exp(x)-\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}=\frac1{n!}\int_0^x(x-t)^n\exp(t)\,\mathrm dt.}$$
**c)** Pour $t\in[0,x]$, $0\le(x-t)^ne^t\le(x-t)^ne^x$ et $\int_0^x(x-t)^n\,\mathrm dt=\frac{x^{n+1}}{n+1}$, donc
$$\boxed{0\le\exp(x)-\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\le\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\exp(x).}$$
**d)** En $x=1$ : $0\le e-\sum_{k=0}^n\frac1{k!}\le\frac e{(n+1)!}\to0$, donc $\sum_{k\ge0}\frac1{k!}=e$ et
$$\boxed{\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac1{k!}\le\frac e{(n+1)!}.}$$
**e)** $\frac1{(k!)^2}\le\frac1{k!}$ ; la série converge et son reste, positif, vérifie
$$\boxed{0\le\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{e^{-2}}{(k!)^2}-\sum_{k=0}^n\frac{e^{-2}}{(k!)^2}=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{e^{-2}}{(k!)^2}\le e^{-2}\frac e{(n+1)!}=\frac{e^{-1}}{(n+1)!}.}$$
**f)** Il suffit que $(N_0+1)!\ge100e^{-1}$, et comme $100e^{-1}\le37$, que $(N_0+1)!\ge37$ : $4!=24$, $5!=120$.
$$\boxed{N_0=4\ \text{convient}\quad\Big(\text{erreur}\le\frac{e^{-1}}{120}\le\frac{0{,}37}{120}<10^{-2}\Big).}$$
**g)** Avec $S=\sum_{k\ge0}\frac{e^{-2}}{(k!)^2}$ : la valeur affichée $0{,}31$ est un arrondi au centième, donc $\texttt{Approx\_Sum}(4)\in[0{,}305\,;0{,}315[$, et $0\le S-\texttt{Approx\_Sum}(4)\le10^{-2}$ ; ainsi $S\in[0{,}305\,;0{,}325]$ et $P(D_1)=1-S\in[0{,}675\,;0{,}695]$ (Q36 c) avec $\lambda=1$).
$$\boxed{S\approx0{,}3\quad\text{et}\quad P(D_1)\approx0{,}7\quad\text{à }10^{-1}\text{ près.}}$$
(Valeurs précises : $S\approx0{,}3085$, $P(D_1)\approx0{,}6915$.)
**h)** Non, ce n'est pas judicieux en général : chaque appel recalcule $k!$ depuis le début (environ $k$ multiplications), soit de l'ordre de $\frac{N(N+1)}2$ multiplications au total, alors qu'en conservant la factorielle précédente ($k!=(k-1)!\times k$) on en fait $N$ :
```python
def Approx_Sum_bis(N):
S, f = 0, 1 # f vaut k! au début du tour k
for k in range(N + 1):
if k > 0:
f = f * k
S = S + math.exp(-2) / f ** 2
return S
```
Pour $N_0=4$, la boucle fait 5 tours sur des entiers minuscules : le surcoût (une dizaine de multiplications au lieu de quatre) est négligeable.
> [!PIEGE]
> En g), lire « $\simeq0{,}31$ » comme une valeur exacte conduit à des encadrements faux ($S$ vaut en réalité $0{,}3085<0{,}31$). Une valeur affichée arrondie porte sa propre incertitude, à ajouter à l'erreur de troncature.
> [!METHODE]
> Majorer un reste de série par celui d'une série connue (ici $\sum1/k!$, contrôlée par Taylor avec reste intégral) permet de choisir à l'avance un rang de troncature garanti : c'est le schéma de toute approximation numérique certifiée.
### Question 38
> [!INDICATION]
> a) Règle de d'Alembert. b) Propriété de la somme d'une série entière sur son intervalle ouvert de convergence. c) Écrivez $g$ à l'aide de la fonction de b) composée avec $\lambda\mapsto\lambda^2$.
#### Solution
**a)** Pour $x\neq0$ : $\frac{|x|^{k+1}/((k+1)!)^2}{|x|^k/(k!)^2}=\frac{|x|}{(k+1)^2}\to0<1$, donc la série converge absolument pour tout $x$ (d'Alembert) :
$$\boxed{R=+\infty.}$$
**b)** La somme d'une série entière est continue sur son intervalle ouvert de convergence, ici $\mathbb R$ : **$h:x\mapsto\sum_{k\ge0}\frac{x^k}{(k!)^2}$ est continue sur $\mathbb R$.**
**c)** Pour $\lambda\ge0$, $g(\lambda)=1-e^{-2\lambda}h(\lambda^2)$ ; par composition, produit et somme de fonctions continues, **$g$ est continue sur $[0,+\infty[$.**
### Question 39
> [!INDICATION]
> Traduisez la question en une équation $g(\mu)=\frac12$, puis pensez au théorème des valeurs intermédiaires.
> [!INDICATION]
> $g(0)$ se calcule directement. Pour trouver un point où $g>\frac12$, inutile d'étudier la limite en $+\infty$ : un point bien choisi et la comparaison de Q37 e) suffisent.
#### Solution
Par Q36 c), pour $\lambda>0$, la probabilité que la matrice soit diagonalisable vaut $g(\lambda)$ ; on cherche $\mu>0$ avec $g(\mu)=\frac12$.
- $g(0)=1-1=0$.
- $\sum_{k\ge0}\frac1{(k!)^2}\le\sum_{k\ge0}\frac1{k!}=e$, donc $g(1)\ge1-e^{-2}e=1-e^{-1}\ge1-0{,}37=0{,}63>\frac12$.
$g$ est continue sur $[0,1]$ (Q38 c) et $g(0)<\frac12<g(1)$ ; par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $\mu\in[0,1]$ avec $g(\mu)=\frac12$, et $\mu\neq0$ puisque $g(0)=0$.
$$\boxed{\exists\,\mu\in\,]0,1[,\quad P\left(\begin{pmatrix}X_3&0\\1&Y_3\end{pmatrix}\text{ diagonalisable}\right)=g(\mu)=\frac12\quad(X_3,Y_3\sim\mathcal P(\mu)\ \text{indépendantes}).}$$
> [!PIEGE]
> $g(0)$ n'est pas une probabilité (la loi de Poisson exige un paramètre $>0$) : c'est la valeur de la fonction continue $g$, ce qui suffit pour le théorème des valeurs intermédiaires ; la conclusion $\mu>0$ ramène dans le cadre probabiliste.
### Question 40
> [!INDICATION]
> Vous disposez d'une fonction continue qui change de signe sur un intervalle connu.
> [!INDICATION]
> Décrivez l'algorithme et sa condition d'arrêt, puis expliquez comment évaluer $g$ en pratique, puisque c'est la somme d'une série.
#### Solution
**Méthode de dichotomie** appliquée à $\varphi=g-\frac12$, continue sur $[0,1]$ avec $\varphi(0)<0<\varphi(1)$ (Q39) :
1. $u\leftarrow0$, $v\leftarrow1$ ;
2. tant que $v-u>\varepsilon$ : $m\leftarrow\frac{u+v}2$ ; si $\varphi(m)<0$ alors $u\leftarrow m$, sinon $v\leftarrow m$ ;
3. renvoyer $\frac{u+v}2$, valeur approchée de $\mu$ à $\varepsilon$ près.
Justification : l'invariant $\varphi(u)<0\le\varphi(v)$ et le théorème des valeurs intermédiaires garantissent qu'un zéro reste dans $[u,v]$, dont la longueur est divisée par 2 à chaque étape ; il faut $\lceil\log_2(1/\varepsilon)\rceil$ étapes (une dizaine pour $\varepsilon=10^{-3}$).
Évaluation de $g(m)$ : on tronque, $g(m)\simeq1-e^{-2m}\sum_{k=0}^K\frac{m^{2k}}{(k!)^2}$ ; pour $m\in[0,1]$, l'erreur est majorée par $\sum_{k>K}\frac1{k!}\le\frac e{(K+1)!}$ (Q37 d–e), donc $K=8$ suffit pour une erreur $<10^{-5}$, avec mise à jour incrémentale de la factorielle (Q37 h). On trouverait $\mu\approx0{,}44$.
> [!METHODE]
> Valeurs intermédiaires et dichotomie vont de pair : la preuve d'existence fournit l'intervalle de départ et l'invariant de l'algorithme. Quand la fonction est elle-même une somme de série, il faut aussi contrôler l'erreur d'évaluation.
---
## Bilan
**Méthodes à retenir.**
- Calculer une intégrale en **identifiant deux développements** d'une même fonction (Fourier contre série géométrique) ; l'identification demande un théorème d'unicité et donc ses hypothèses (convergence absolue).
- **Formules d'Euler + série géométrique** : la voie standard pour développer $\frac1{a-\cos t}$, $\frac1{1-\alpha e^{it}}$, etc. ; vérifier $|\text{raison}|<1$.
- **Intégrations par parties successives** contre $\cos(nt)$ : décroissance en $1/n^2$ des coefficients de Fourier d'une fonction $\mathcal C^2$ périodique, les crochets s'annulant par périodicité.
- **Supplémentaires orthogonaux** symétriques/antisymétriques et distance par Pythagore.
- Lois discrètes : **réunion disjointe + indépendance**, formule du crible, convolution de lois de Poisson, Bienaymé-Tchebychev.
- **Reste de Taylor intégral** pour majorer un reste de série et choisir un rang de troncature ; **valeurs intermédiaires** puis **dichotomie**.
**Prérequis à revoir.** Convention des coefficients de Fourier ($a_0$ = valeur moyenne) et énoncé précis du théorème de Dirichlet ; lois géométrique et de Poisson (espérance, variance) ; critère de diagonalisabilité en dimension 2 ; règle de d'Alembert et continuité de la somme d'une série entière ; coût des boucles en Python.
**Questions transposables.** $\int_0^{2\pi}\frac{\mathrm dt}{a-\cos t}=\frac{2\pi}{\sqrt{a^2-1}}$ pour $a>1$ (on le retrouve à partir de Q18) ; somme de deux Poisson indépendantes ; distance à $\mathcal S_n(\mathbb R)$ égale à $\frac12\|A-A^\top\|$ en toute dimension ; majoration $\sum_{k>n}\frac1{k!}\le\frac e{(n+1)!}$ ; recherche d'un paramètre par valeurs intermédiaires et dichotomie.
Aide sur le corrigé
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