Physique-chimie

# CCINP PSI — Physique-chimie 2026 · Corrigé brut

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Épreuve de 4 heures, calculatrices interdites. « Semi-conducteurs et convertisseurs de puissance », quatre parties indépendantes, 36 questions.

## Partie I — Dopage des semi-conducteurs

### Q1

Loi de Fick : $\vec\jmath=-D\,\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,C$, soit à une dimension
$$\boxed{j(x,t)=-D\,\frac{\partial C}{\partial x}(x,t)}$$
Le signe $-$ traduit le transport des zones concentrées vers les zones diluées.

Unités : $C$ (nombre d'atomes par unité de volume) en $\mathrm{m^{-3}}$ ; $j$ (nombre d'atomes traversant l'unité de surface par unité de temps) en $\mathrm{m^{-2}\cdot s^{-1}}$ ; par homogénéité $[D]=[j][x]/[C]$, donc $\boxed{D\ \text{en}\ \mathrm{m^2\cdot s^{-1}}}$.

### Q2

Système : la tranche fixe de substrat comprise entre $x$ et $x+\mathrm dx$, de section droite $S$ perpendiculaire à $(Ox)$. Elle contient $N(t)=C(x,t)\,S\,\mathrm dx$ atomes de phosphore. La diffusion n'ayant lieu que selon $(Ox)$, aucun flux ne traverse les faces latérales.

![Figure 1 — Bilan sur la tranche fixe de substrat entre x et x + dx, de section S : flux j(x, t) entrant, j(x + dx, t) sortant](/figures/corriges/ccinp_psi_physique-chimie_2026/q02-bilan-tranche.svg)

Entre $t$ et $t+\mathrm dt$, il entre $j(x,t)S\,\mathrm dt$ atomes par la face d'abscisse $x$ et il en sort $j(x+\mathrm dx,t)S\,\mathrm dt$ par la face d'abscisse $x+\mathrm dx$. Sans création ni disparition d'atomes :
$$\frac{\partial C}{\partial t}S\,\mathrm dx\,\mathrm dt=\big[j(x,t)-j(x+\mathrm dx,t)\big]S\,\mathrm dt=-\frac{\partial j}{\partial x}S\,\mathrm dx\,\mathrm dt,$$
d'où
$$\boxed{\frac{\partial C}{\partial t}+\frac{\partial j}{\partial x}=0}$$

### Q3

Le substrat est homogène, donc $D$ est uniforme. En reportant la loi de Fick dans la relation de Q2 :
$$\boxed{\frac{\partial C}{\partial t}=D\,\frac{\partial^2 C}{\partial x^2}}$$
C'est l'équation de diffusion.

### Q4

Les deux membres de l'équation ont pour ordres de grandeur $C/\tau_c$ et $DC/L_c^2$. En les égalant, avec des coefficients adimensionnés de l'ordre de l'unité :
$$\boxed{L_c\sim\sqrt{D\,\tau_c}}\qquad\text{soit}\qquad \tau_c\sim\frac{L_c^2}{D}.$$
La longueur de diffusion croît comme la racine carrée de la durée : pour doubler la profondeur, il faut quadrupler la durée.

### Q5

Le substrat occupe le demi-espace $x>0$ (figure 1). Considérons un cylindre de substrat de section unité, d'axe $(Ox)$, appuyé sur le plan $x=0$. Il contient $\sigma$ atomes à $t=0$ et, par conservation, encore $\sigma$ pour tout $t>0$, tous ayant diffusé dans le substrat :
$$\int_0^{+\infty}C(x,t)\,\mathrm dx=\sigma .$$
Avec $u=x/(2\sqrt{Dt})$, $\mathrm dx=2\sqrt{Dt}\,\mathrm du$ :
$$\int_0^{+\infty}\frac{\alpha}{\sqrt t}e^{-x^2/(4Dt)}\,\mathrm dx=\frac{\alpha}{\sqrt t}\,2\sqrt{Dt}\,\frac{\sqrt\pi}{2}=\alpha\sqrt{\pi D}.$$
Le résultat ne dépend pas de $t$, ce qui confirme la cohérence de la solution admise. Donc
$$\boxed{\alpha=\frac{\sigma}{\sqrt{\pi D}}}$$
($\alpha$ en $\mathrm{m^{-3}\cdot s^{1/2}}$, de sorte que $\alpha/\sqrt t$ est bien une concentration.)

### Q6

$C(0,t)=\alpha/\sqrt t$, donc $C(p,t)=C(0,t)/e$ équivaut à $\exp\!\big(-p^2/(4Dt)\big)=e^{-1}$, soit $p^2=4Dt$ et, avec $p>0$,
$$\boxed{p=2\sqrt{Dt}}$$
C'est cohérent avec Q4 : on retrouve $L_c\sim\sqrt{D\tau_c}$, avec un coefficient 2 de l'ordre de l'unité.

### Q7

$C(0,t)=\alpha/\sqrt t$ décroît avec $t$. Les ordonnées à l'origine valent environ 270 (c), 190 (b) et 120 (a) atomes·µm⁻³, d'où
$$\boxed{\mathbf c : t=1\ \mathrm h\ ;\quad \mathbf b : t=2\ \mathrm h\ ;\quad \mathbf a : t=5\ \mathrm h}$$
Contrôle : $270/\sqrt2\simeq191$ et $270/\sqrt5\simeq121$. De plus, $p=2\sqrt{Dt}$ croît avec $t$ : le profil a, le plus étalé, correspond bien à la durée la plus longue.

### Q8

Courbe c : $t=1\ \mathrm h=3\,600$ s et $C(0,t)\simeq270$ atomes·µm⁻³ (l'énoncé écrit « µ·m⁻³ », coquille pour atomes·µm⁻³). On cherche l'abscisse où $C=270/e\simeq270/2{,}7=100$ atomes·µm⁻³. La lecture sur la courbe c donne $p\simeq5{,}4\ \mu$m. D'après Q6, $D=p^2/(4t)$ :
$$D=\frac{(5{,}4\cdot10^{-6})^2}{4\times3\,600}\simeq\frac{29\cdot10^{-12}}{1{,}44\cdot10^{4}},\qquad \boxed{D\simeq2\cdot10^{-15}\ \mathrm{m^2\cdot s^{-1}}}$$
Contrôle : avec $4Dt\simeq29\ \mu$m², $C(10\ \mu\mathrm m)\simeq270\,e^{-3{,}4}\simeq9$ atomes·µm⁻³, conforme à la figure. Cet ordre de grandeur est typique de la diffusion dans un solide.

## Partie II — Forme stable du silicium dans la nature

### Q9

Pour $Z=14$ : $\mathrm{Si} : 1s^2\,2s^2\,2p^6\,3s^2\,3p^2$. Le nombre quantique principal maximal est $n=3$, et la couche de valence $3s^23p^2$ compte 4 électrons, dans le bloc $p$.
$$\boxed{\text{Si : 3}^{\text{e}}\ \text{période, 14}^{\text{e}}\ \text{colonne (famille du carbone)}}$$

### Q10

Loi de Hess, les corps simples dans leur état standard de référence ayant une enthalpie standard de formation nulle :
$$\Delta_rH_1^\circ=\Delta_fH^\circ(\mathrm{SiO_{2(s)}})-\Delta_fH^\circ(\mathrm{Si_{(s)}})-\Delta_fH^\circ(\mathrm{O_{2(g)}}),\qquad\boxed{\Delta_rH_1^\circ=-877{,}4\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}}$$
$\Delta_rH_1^\circ<0$ : la réaction est **exothermique**.

### Q11

$$\Delta_rS_1^\circ=S^\circ(\mathrm{SiO_2})-S^\circ(\mathrm{Si})-S^\circ(\mathrm{O_2})=41{,}8-18{,}8-205{,}0,\qquad\boxed{\Delta_rS_1^\circ=-182{,}0\ \mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}}$$
Ce signe était **prévisible** : la réaction consomme une mole de gaz sans en produire ($\Delta n_{\text{gaz}}=-1$), et l'entropie molaire d'un gaz est très supérieure à celle d'un solide. Le désordre diminue.

### Q12

Dans l'approximation d'Ellingham :
$$\Delta_rG_1^\circ(298)=\Delta_rH_1^\circ-T\Delta_rS_1^\circ=-877\,400+298\times182=-877\,400+54\,236\simeq-823\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.$$
Avec $RT\simeq8{,}31\times298\simeq2{,}48\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}$ :
$$\ln K^\circ=-\frac{\Delta_rG_1^\circ}{RT}\simeq\frac{823}{2{,}48}\simeq3{,}3\cdot10^2,\qquad K^\circ\sim10^{144}.$$
Les solides sont purs (activité 1) et, à l'air sous $P_{\mathrm{atm}}=10^5$ Pa, $P_{\mathrm{O_2}}=0{,}2\,P^\circ$, donc $Q_r=P^\circ/P_{\mathrm{O_2}}=5\ll K^\circ$. L'affinité $\mathcal A=RT\ln(K^\circ/Q_r)$ est très positive : la réaction évolue dans le sens direct jusqu'à disparition du silicium (le dioxygène de l'air est en excès).
$$\boxed{\text{La réaction (1) est quantitative : le silicium est naturellement présent sous forme de silice } \mathrm{SiO_2}.}$$
Pour obtenir $\mathrm{Si_{(s)}}$, il faut réaliser la **réduction** de la silice ($\mathrm{Si}^{+\mathrm{IV}}\to\mathrm{Si}^{0}$), très défavorable thermodynamiquement ($\Delta_rG^\circ\simeq+823$ kJ/mol pour la réaction inverse) et qu'il faut donc forcer par un apport d'énergie électrique. En électrométallurgie, on la réalise industriellement par **réduction carbothermique au four à arc électrique** ($\mathrm{SiO_2+2\,C\to Si+2\,CO}$ à haute température). On peut aussi la mener par **électrolyse** de la silice en bain de sels fondus (réduction à la cathode : $\mathrm{SiO_2+4\,e^-\to Si+2\,O^{2-}}$).

## Partie III — Circuit RLC et hacheurs parallèles

### III.1 — Circuit RLC

### Q13

Soit $i$ le courant dans la bobine, orienté de l'entrée vers la sortie. Loi des mailles : $U_e=L\,\dfrac{\mathrm di}{\mathrm dt}+U_s$. Loi des nœuds en sortie, $C$ et $R$ étant sous la tension $U_s$ : $i=C\,\dfrac{\mathrm dU_s}{\mathrm dt}+\dfrac{U_s}{R}$. En éliminant $i$ :
$$U_e=LC\,\frac{\mathrm d^2U_s}{\mathrm dt^2}+\frac LR\,\frac{\mathrm dU_s}{\mathrm dt}+U_s
\iff\frac{\mathrm d^2U_s}{\mathrm dt^2}+\frac1{RC}\frac{\mathrm dU_s}{\mathrm dt}+\frac1{LC}U_s=\frac1{LC}U_e .$$
Par identification avec la forme canonique ($\omega_0^2=1/(LC)$, $\omega_0/Q=1/(RC)$) :
$$\boxed{\omega_0=\frac1{\sqrt{LC}},\qquad Q=RC\,\omega_0=R\sqrt{\frac CL}}$$
$Q$ est sans dimension ($\sqrt{L/C}$ est une résistance), et $Q\to\infty$ quand $R\to\infty$ (circuit $LC$ non amorti), ce qui est cohérent.

### Q14

Le polynôme caractéristique $r^2+\frac{\omega_0}Qr+\omega_0^2$ a pour discriminant $\omega_0^2(1/Q^2-4)$.

- $Q=3>1/2$ : régime pseudo-périodique, avec dépassement et oscillations. Seule la réponse b oscille. Contrôle : premier dépassement relatif $\exp(-\pi/\sqrt{4Q^2-1})=e^{-\pi/\sqrt{35}}\simeq0{,}59$, d'où un pic à 1,6 V, comme sur la figure 4b.
- $Q=1/2$ : régime critique, réponse monotone $1-(1+\omega_0t)e^{-\omega_0t}$, la plus rapide sans dépassement.
- $Q=0{,}2<1/2$ : régime apériodique, racines réelles $r_{1,2}=-\omega_0\big(\tfrac1{2Q}\mp\sqrt{\tfrac1{4Q^2}-1}\big)$. La racine lente $r_1\simeq-0{,}21\,\omega_0$ impose un établissement environ cinq fois plus lent qu'en régime critique.

À $\omega_0$ commune, la réponse monotone la plus rapide (a, établie vers 10 ms) est le régime critique, et la plus lente (c, établie vers 40 ms) le régime apériodique :
$$\boxed{\mathbf a\leftrightarrow Q=0{,}5\ ;\quad \mathbf b\leftrightarrow Q=3\ ;\quad \mathbf c\leftrightarrow Q=0{,}2}$$
Contrôle : la pseudo-période de b vaut 10 ms, donc $\omega_0\simeq\frac{2\pi}{10^{-2}}\big/\sqrt{1-\frac1{36}}\simeq6{,}4\cdot10^2$ rad/s. Le régime critique atteint alors 99 % en $t\simeq6{,}6/\omega_0\simeq10$ ms, et le régime $Q=0{,}2$ atteint son établissement en $5/|r_1|\simeq38$ ms.

### Q15

Lectures sur la figure 5 : période commune $T=10$ ms (maxima de $U_e$ à 2,5 ; 12,5 ; 22,5 ms) ; maxima de $U_s$ à 5 ; 15 ; 25 ms, donc un retard $\Delta t=2{,}5\ \mathrm{ms}=T/4$ ; amplitudes 1 V en entrée et 2 V en sortie.

D'où $\omega=2\pi/T\simeq6{,}3\cdot10^2$ rad/s et un déphasage $\varphi=-2\pi\,\Delta t/T=-\pi/2$.

Fonction de transfert (Q13) : $\underline H=\dfrac{1}{1-x^2+j\,x/Q}$ avec $x=\omega/\omega_0$. Comme $x/Q>0$, $\arg\underline H=-\pi/2$ si et seulement si $1-x^2=0$, c'est-à-dire $\omega=\omega_0$. Alors $\underline H(j\omega_0)=-jQ$ et $|\underline H|=Q=U_{s,\max}/U_{e,\max}$ :
$$\boxed{\omega_0\simeq6{,}3\cdot10^2\ \mathrm{rad\cdot s^{-1}}\ (f_0=100\ \mathrm{Hz}),\qquad Q=2}$$
Ces valeurs sont cohérentes avec l'ordre de grandeur de $\omega_0$ lu en Q14.

### III.2 — Conception d'un hacheur simple

### Q16

Règles d'interconnexion : on ne relie jamais directement deux sources de tension (ni ne court-circuite une source de tension), et on n'ouvre jamais une source de courant. L'entrée est une source de tension ($U$) et la sortie, imposée par le condensateur, se comporte aussi en source de tension. Sans bobine, la fermeture de $K_1$ court-circuiterait la batterie.

La bobine, en série avec la batterie :

- **transforme la source de tension d'entrée en source de courant** : $i_1$ est continu, et l'ensemble $(U,L)$ peut être relié à la sortie de type tension. Elle stocke de l'énergie magnétique quand $K_1$ est fermé et la restitue à la charge à l'ouverture, ce qui permet $E>U$ ;
- **lisse le courant d'entrée** : $|\mathrm di_1/\mathrm dt|$ est bornée par des tensions divisées par $L$, et une inductance assez grande garantit $\Delta I_1\le10\,\%\,I_1$.

### Q17

Le condensateur, en parallèle sur $R$, impose la continuité de $e(t)$ : il **constitue la source de tension de sortie**. Pendant $[0,\alpha T]$, où la diode est bloquée, il **alimente seul la charge** ; sur l'ensemble de la période, il **filtre** le courant haché délivré par la diode, de sorte que l'ondulation $\Delta E$ reste inférieure à $\Delta E_{\max}$ (avec $\tau=RC\gg T$).

### Q18

Sur $[0,\alpha T]$, $K_1$ est fermé : l'anode de la diode $K_2$ est au potentiel de la masse et sa cathode à $e\simeq E>0$, donc la diode est bloquée. La bobine est soumise à $U$ :
$$\boxed{L\frac{\mathrm di_1}{\mathrm dt}=U\quad\text{sur }[0,\alpha T]}$$
Sur $[\alpha T,T]$, $K_1$ est ouvert. Le courant $i_1$, continu, ne peut s'annuler brutalement et passe par la diode, qui conduit. La loi des mailles donne $U=L\,\mathrm di_1/\mathrm dt+E$ :
$$\boxed{L\frac{\mathrm di_1}{\mathrm dt}=U-E<0\quad\text{sur }[\alpha T,T]}$$

![Figure 2 — Hacheur parallèle : schémas équivalents avec K1 fermé (a) puis K1 ouvert (b), chemins de courant surlignés](/figures/corriges/ccinp_psi_physique-chimie_2026/q18-hacheur-deux-phases.svg)

### Q19

En régime périodique établi, $i_1(T)=i_1(0)$, donc la tension moyenne aux bornes de la bobine est nulle :
$$\alpha T\,U+(1-\alpha)T\,(U-E)=0\iff\boxed{E=\frac{U}{1-\alpha}}$$
On a bien $E>U$ : c'est un hacheur élévateur. Numériquement :
$$\alpha=1-\frac UE=1-\frac{12}{30},\qquad\boxed{\alpha=0{,}6}$$

### Q20

$i_1$ est affine par morceaux : il croît de $I_{1\min}$ à $I_{1\max}$ avec la pente $U/L$ pendant $\alpha T$, puis décroît de $I_{1\max}$ à $I_{1\min}$ avec la pente $(U-E)/L$ pendant $(1-\alpha)T$. C'est un **signal triangulaire** continu, périodique de période $T$, non symétrique (montée sur $0{,}6\,T$, descente sur $0{,}4\,T$), centré sur sa valeur moyenne $I_1$, d'ondulation $\Delta I_1=U\alpha T/L$.

![Figure 3 — Allure triangulaire de i1(t) : pente U/L pendant αT, pente (U − E)/L jusqu'à T, ondulation ΔI1 dilatée](/figures/corriges/ccinp_psi_physique-chimie_2026/q20-courant-i1.svg)

Avec $L=L_{\min}$ (Q22) et $I_1=12{,}5$ A (Q21) : $I_{1\max}\simeq13{,}1$ A et $I_{1\min}\simeq11{,}9$ A.

### Q21

En régime périodique établi, l'énergie stockée dans $L$ et $C$ reprend sa valeur au bout d'une période : leur puissance moyenne est nulle. Les interrupteurs idéaux ne dissipent rien. Donc la puissance moyenne fournie par la batterie, $\langle U i_1\rangle=UI_1$ ($U$ constante), est reçue par la charge : $\langle e\,i_R\rangle\simeq EI_R$. Ainsi $UI_1=EI_R$ et, avec Q19,
$$\boxed{I_1=\frac{I_R}{1-\alpha}}\qquad\text{soit}\qquad I_1=\frac{5}{0{,}4}=12{,}5\ \mathrm A.$$

### Q22

Sur la phase de croissance, $\Delta I_1=U\alpha T/L$. La contrainte $\Delta I_1\le0{,}1\,I_1=0{,}1\,I_R/(1-\alpha)$ donne
$$L\ge\frac{10\,\alpha(1-\alpha)\,U\,T}{I_R},\qquad\boxed{L_{\min}=\frac{10\,\alpha(1-\alpha)\,UT}{I_R}}$$
Application numérique :
$$L_{\min}=\frac{10\times0{,}6\times0{,}4\times12\times50\cdot10^{-6}}{5}=\frac{1{,}44\cdot10^{-3}}{5},\qquad\boxed{L_{\min}\simeq2{,}9\cdot10^{-4}\ \mathrm H=0{,}29\ \mathrm{mH}}$$

### Q23

Sur $[0,\alpha T]$, la diode est bloquée (Q18) : $C$ et $R$ forment un circuit isolé, avec $e=u_c$. La loi des nœuds donne $C\,\dfrac{\mathrm du_c}{\mathrm dt}+\dfrac{u_c}{R}=0$ :
$$\boxed{\tau\frac{\mathrm du_c}{\mathrm dt}+u_c=0,\qquad\tau=RC}$$
La solution $u_c(t)=u_c(0)\,e^{-t/\tau}$ décroît sur $[0,\alpha T]$. Sur $[\alpha T,T]$, la diode conduit et $i_C=i_1-i_R$, avec $i_1\ge I_{1\min}\simeq11{,}9\ \mathrm A>I_R=5$ A : le condensateur se charge et $u_c$ croît. Le maximum de $u_c$ sur une période est donc atteint en $T\equiv0$, d'où $u_c(0)=E_{\max}$ et
$$\boxed{u_c(t)=E_{\max}\,e^{-t/\tau}\quad\text{sur }[0,\alpha T]}$$

![Figure 4 — Allure de e(t) = uc(t) : décharge de C dans R depuis Emax quand la diode est bloquée, recharge quand elle conduit](/figures/corriges/ccinp_psi_physique-chimie_2026/q23-tension-sortie.svg)

### Q24

$e$ décroît de $E_{\max}$ à $E_{\min}=E_{\max}e^{-\alpha T/\tau}$, donc $\Delta E=E_{\max}\big(1-e^{-\alpha T/\tau}\big)$.

Approximations :

1. $\tau\gg T$, donc $\alpha T/\tau\ll1$ et $1-e^{-\alpha T/\tau}\simeq\alpha T/\tau$ ;
2. $\Delta E\ll E$ (100 mV pour 30 V), donc $E_{\max}\simeq E$.

D'où $\Delta E\simeq E\alpha T/(RC)$, et la contrainte $\Delta E\le\Delta E_{\max}$ donne
$$\boxed{C_{\min}=\frac{E\,\alpha\,T}{R\,\Delta E_{\max}}}$$
Ordre de grandeur : avec $R=E/I_R=6\ \Omega$, $C_{\min}=\dfrac{30\times0{,}6\times50\cdot10^{-6}}{6\times0{,}1}=1{,}5\cdot10^{-3}$ F. Alors $\tau=RC_{\min}=9$ ms $\gg T=50\ \mu$s, ce qui valide l'approximation 1.

## Partie IV — Blindage électromagnétique

### IV.1 — Modélisation

(Pas de question dans cette sous-partie.)

### IV.2 — Expressions des champs dans le conducteur

### Q25

Conducteur neutre ($\rho=0$), assimilable au vide sur le plan diélectrique et magnétique :
$$\operatorname{div}\vec E=0,\qquad\operatorname{div}\vec B=0,\qquad\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec E=-\frac{\partial\vec B}{\partial t},\qquad\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec B=\mu_0\vec\jmath+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t},$$
et la loi d'Ohm locale
$$\boxed{\vec\jmath=\gamma\,\vec E}$$

### Q26

En régime sinusoïdal, $\big\|\varepsilon_0\,\partial\vec E/\partial t\big\|/\|\gamma\vec E\|=\varepsilon_0\omega/\gamma$. Pour le cuivre, $\gamma=1/(17\cdot10^{-9})\simeq6\cdot10^7\ \mathrm{S\cdot m^{-1}}$ ; pour $f\le10$ GHz :
$$\frac{\varepsilon_0\omega}{\gamma}\le\frac{2\pi\times8{,}85\cdot10^{-12}\times10^{10}}{6\cdot10^{7}}\simeq\frac{0{,}56}{6\cdot10^7}\sim10^{-8}\ll1 .$$
Les autres métaux du tableau donnent le même ordre de grandeur. Le courant de déplacement est négligeable :
$$\boxed{\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec B=\mu_0\vec\jmath=\mu_0\gamma\vec E}$$

### Q27

On prend le rotationnel de Maxwell-Faraday, en permutant les dérivées spatiales et temporelles :
$$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\big(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec E\big)=-\frac{\partial}{\partial t}\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec B=-\mu_0\gamma\frac{\partial\vec E}{\partial t}.$$
D'après la formule fournie et $\operatorname{div}\vec E=0$, le membre de gauche vaut $-\Delta\vec E$ :
$$\boxed{\Delta\vec E-\mu_0\gamma\frac{\partial\vec E}{\partial t}=\vec 0,\qquad\alpha=\mu_0\gamma}$$

### Q28

Par homogénéité, $[\alpha]=[\Delta\vec E]/[\partial_t\vec E]=\mathrm{s\cdot m^{-2}}$ (et $\mu_0\gamma$ en $\mathrm{H\cdot S\cdot m^{-2}}=\mathrm{s\cdot m^{-2}}$) :
$$\boxed{\alpha\ \text{en}\ \mathrm{s\cdot m^{-2}}}$$
Premier ordre en temps, second ordre en espace : c'est une **équation de diffusion** (phénomène irréversible), de coefficient de diffusion $1/(\mu_0\gamma)$. On la rencontre en **diffusion thermique** (loi de Fourier) et en **diffusion de particules** (loi de Fick, partie I).

### Q29

Pour $\underline{\vec E}=E_0e^{j(\omega t-\underline kz)}\vec e_x$, on a $\Delta\to-\underline k^2$ et $\partial_t\to j\omega$, d'où
$$\boxed{\underline k^2=-j\,\mu_0\gamma\,\omega}$$
Avec $\mu_0\gamma\omega=2/\delta^2$ : $\underline k=\pm(1-j)/\delta$. On retient $\underline k=(1-j)/\delta$, pour laquelle $e^{-j\underline kz}=e^{-z/\delta}e^{-jz/\delta}$ décroît dans le conducteur ($z>0$) ; l'autre racine divergerait.

La vitesse de phase $v_\varphi=\omega/\mathrm{Re}(\underline k)=\omega\delta=\sqrt{2\omega/(\mu_0\gamma)}$ dépend de $\omega$ : **le conducteur ohmique est un milieu dispersif** (et absorbant, puisque $\underline k$ a une partie imaginaire).

### Q30

Avec $-j\underline kz=-z/\delta-jz/\delta$ :
$$\boxed{\underline{\vec E}=E_0\,e^{-z/\delta}\,e^{j(\omega t-z/\delta)}\,\vec e_x,\qquad\underline{\vec\jmath}=\gamma E_0\,e^{-z/\delta}\,e^{j(\omega t-z/\delta)}\,\vec e_x}$$
En réel : $\vec E=E_0e^{-z/\delta}\cos(\omega t-z/\delta)\,\vec e_x$, et $\vec\jmath$ est en phase avec $\vec E$.

### Q31

$\delta=\sqrt{2/(\mu_0\gamma\omega)}$ est l'**épaisseur de peau**, une longueur exprimée **en mètres**.

Pour $z\gg\delta$, le facteur $e^{-z/\delta}$ rend $\vec E$ et $\vec B$ (et $\vec\jmath$) **pratiquement nuls** : les champs sont confinés dans une couche superficielle d'épaisseur de quelques $\delta$ (effet de peau). À $z=5\delta$, l'amplitude est déjà divisée par $e^5\simeq150$.

![Figure 5 — Effet de peau : champ Ex(z) à deux instants sous l'enveloppe ±E0 exp(−z/δ)](/figures/corriges/ccinp_psi_physique-chimie_2026/q31-effet-peau.svg)

Remarque : Maxwell-Faraday donne $\underline B_y=\underline k\,\underline E_x/\omega=\frac{\sqrt2E_0}{\delta\omega}e^{-z/\delta}e^{j(\omega t-z/\delta-\pi/4)}$. Le module coïncide avec l'expression admise, mais le déphasage est $-\pi/4$ et non $+\pi/4$ comme l'écrit l'énoncé. Ce signe n'a pas d'effet sur les valeurs moyennes de Q34 (qui font intervenir $\cos(\pi/4)$, fonction paire). On garde l'expression de l'énoncé.

### IV.3 — Considérations physiques sur l'écrantage

### Q32

$\delta=1/\sqrt{\pi\mu_0\gamma f}$ décroît quand $f$ croît. À épaisseur de dépôt donnée, l'atténuation est d'autant plus forte que la fréquence est élevée : **l'écrantage est plus efficace en haute fréquence**.

À $f=1$ MHz, pour le cuivre ($\gamma\simeq6\cdot10^7\ \mathrm{S\cdot m^{-1}}$, $\omega\simeq6{,}3\cdot10^6$ rad/s) :
$$\mu_0\gamma\omega\simeq1{,}26\cdot10^{-6}\times6\cdot10^7\times6{,}3\cdot10^6\simeq4{,}7\cdot10^8\ \mathrm{m^{-2}},\qquad\delta=\sqrt{\frac{2}{4{,}7\cdot10^8}}\simeq6{,}5\cdot10^{-5}\ \mathrm m .$$
Une épaisseur de $3\delta$ à $5\delta$ atténue l'amplitude d'un facteur 20 à 150 :
$$\boxed{e_{\text{dépôt}}\sim0{,}2\ \text{à}\ 0{,}3\ \mathrm{mm}}$$
Les autres métaux du tableau donnent le même ordre de grandeur ($\delta$ de 64 µm pour l'argent à 124 µm pour le zinc).

### Q33

Le champ électrique met en mouvement les porteurs libres : il crée des courants induits $\vec\jmath=\gamma\vec E$ qui dissipent l'énergie de l'onde par **effet Joule** (puissance volumique $\vec\jmath\cdot\vec E=\gamma E^2>0$). Cette dissipation explique l'atténuation de l'onde dans le conducteur.

### Q34

Champs réels, avec $\theta=\omega t-z/\delta$ :
$$\vec E=E_0e^{-z/\delta}\cos\theta\,\vec e_x,\qquad\vec B=\frac{\sqrt2E_0}{\delta\omega}e^{-z/\delta}\cos\!\Big(\theta+\frac\pi4\Big)\vec e_y .$$
Vecteur de Poynting : $\vec\Pi=\dfrac{\vec E\wedge\vec B}{\mu_0}=\dfrac{\sqrt2E_0^2}{\mu_0\delta\omega}e^{-2z/\delta}\cos\theta\cos\!\big(\theta+\frac\pi4\big)\vec e_z$. D'après la formule de linéarisation, $\big\langle\cos\theta\cos(\theta+\frac\pi4)\big\rangle=\frac12\cos\frac\pi4=\frac{\sqrt2}4$, donc
$$\langle\vec\Pi\rangle=\frac{E_0^2}{2\mu_0\delta\omega}e^{-2z/\delta}\,\vec e_z .$$
Puissance moyenne entrant à travers $S$ en $z=0^+$, avec $1/\delta=\sqrt{\mu_0\gamma\omega/2}$ :
$$\mathcal P_{\text{ent}}=\frac{E_0^2S}{2\mu_0\delta\omega},\qquad\boxed{\mathcal P_{\text{ent}}=\frac{E_0^2S}{2}\sqrt{\frac{\gamma}{2\mu_0\omega}}=\frac{\sqrt2}{4}E_0^2S\sqrt{\frac{\gamma}{\mu_0\omega}}}$$

### Q35

Puissance volumique dissipée : $\vec\jmath\cdot\vec E=\gamma E^2=\gamma E_0^2e^{-2z/\delta}\cos^2\theta$, de moyenne $\frac{\gamma E_0^2}{2}e^{-2z/\delta}$. Sur le volume $S\,\mathrm dz$ :
$$\boxed{\mathrm d\mathcal P_J=\frac{\gamma E_0^2S}{2}\,e^{-2z/\delta}\,\mathrm dz}$$

### Q36

$$\mathcal P_J=\int_0^{+\infty}\frac{\gamma E_0^2S}{2}e^{-2z/\delta}\,\mathrm dz=\frac{\gamma E_0^2S\delta}{4}=\frac{\gamma E_0^2S}{4}\sqrt{\frac{2}{\mu_0\gamma\omega}},\qquad\boxed{\mathcal P_J=\frac{\sqrt2}{4}E_0^2S\sqrt{\frac{\gamma}{\mu_0\omega}}}$$
**Conclusion** : $\mathcal P_J=\mathcal P_{\text{ent}}$. Toute la puissance qui pénètre dans le conducteur y est dissipée par effet Joule, sans rien transmettre en profondeur. Cela confirme la réponse de Q33 : l'atténuation est due à l'effet Joule.