Modélisation et ingénierie numérique
CCINPPSI2026
Cherchez d'abord seul. En cas de blocage, ouvrez une indication, réessayez, puis seulement la solution.
# CCINP PSI — Modélisation et ingénierie numérique 2026 · Corrigé guidé
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## Présentation du sujet
**Thème.** « Modélisation de l'entretien automatisé d'une piscine privée ». Épreuve PSI3MO, **4 heures, calculatrice interdite**, 14 pages, 46 questions en **deux parties indépendantes**. Le sujet suit l'eau du bassin : une pompe la fait circuler (partie I), puis un électrolyseur au sel, une sonde redox et un pH-mètre en contrôlent la qualité chimique (partie II). La même démarche revient deux fois : on construit un modèle, on en tire une prédiction chiffrée et on la compare à un relevé expérimental (figure 3 pour le débit, figure 11 pour le potentiel).
**Partie I — Régulation du débit de la pompe de circulation (Q1–Q17), sciences industrielles.**
- Q1 : dimensionnement du débit et du diamètre des conduites à partir du cahier des charges.
- I.1 (Q2–Q9) : système bielle-manivelle. Loi entrée-sortie par fermeture géométrique, tracé, cylindrée, vitesse du piston, débit instantané puis moyen, fonction Python `moyenne`, validation du modèle sur un relevé.
- I.2 (Q10–Q12) : schéma-bloc avec perturbation (pertes de charge). Réglage de l'adaptateur, fonctions de transfert en poursuite et en régulation, précision du système non corrigé.
- I.3 (Q13–Q17) : correcteur proportionnel intégral réglé par compensation du pôle dominant. Précision, marges, amortissement, rapidité.
**Partie II — Régulation des paramètres physico-chimiques de l'eau (Q18–Q46), physique-chimie et ingénierie numérique.**
- Q18–Q27 : électrolyse du chlorure de sodium, diagramme potentiel-pH du chlore, dismutation, répartition $\mathrm{HClO}/\mathrm{ClO^-}$, sonde redox (Nernst), effet sur le pH.
- Q28–Q29 : chaîne de mesure du pH (capteur et convertisseur analogique-numérique 12 bits).
- Q30–Q37 : photolyse du chlore par les UV. Beer-Lambert, lecture de spectres, absorption par l'eau, Planck-Einstein, vitesse de disparition.
- Q38–Q44 : modèle différentiel de la concentration en $\mathrm{HClO}$, résolution par la méthode d'Euler (une ligne de Python à compléter), confrontation à la mesure, durée de fonctionnement de l'électrolyseur.
- Q45–Q46 : tension d'électrolyse sur des courbes intensité-potentiel, énergie consommée, intérêt du volet roulant.
**Notions mobilisées.** Fermeture géométrique, dérivation composée, moyenne temporelle ; schémas-blocs, théorème de la valeur finale, classe d'un système, correcteur PI, marges de gain et de phase, premier ordre ; titres massique et molaire, loi de Faraday ; diagrammes E-pH, dismutation, stabilité dans l'eau, blocage cinétique ; relation de Nernst ; quantification d'un CAN ; loi de Beer-Lambert, photon ; bilan de matière, schéma d'Euler ; courbes intensité-potentiel.
**Difficulté et longueur.** Sujet long (46 questions en 4 heures, soit environ 5 minutes par question), sans question vraiment difficile. On gagne des points sur la rigueur des justifications et la propreté des calculs à la main. **Deux anomalies d'énoncé** sont à signaler sur la copie, comme le demande la consigne : l'intervalle de potentiel donné après Q26 (calculé avec un seul électron) et l'unité du volume dans le programme de Q41.
**Questions à ne pas laisser passer.** Q1, Q4, Q10, Q14, Q15, Q17, Q18, Q19, Q22, Q25, Q28, Q29, Q30, Q35, Q44 : courtes, presque mécaniques. Q21 et Q24 se traitent vite si le diagramme E-pH est maîtrisé.
**Gestion du temps.** Environ 1 h 30 pour la partie I et 2 h 30 pour la partie II, qui est plus longue mais faite de questions courtes. Les blocs de la partie II sont assez indépendants : en cas de blocage sur Beer-Lambert, on peut passer à Q42–Q46, qui demandent surtout des lectures de figures.
## Partie I — Régulation du débit de la pompe de circulation
On part du cahier des charges (renouveler l'eau en 8 heures) pour dimensionner l'installation, puis on modélise la pompe à piston et son asservissement de débit. Outils : cinématique plane, calcul intégral, schémas-blocs et correcteurs.
### Question 1
> [!INDICATION]
> Un débit volumique est un volume divisé par une durée, et c'est aussi une vitesse multipliée par une section.
> [!INDICATION]
> Le diamètre varie comme la racine carrée du débit : inutile de refaire le calcul pour le second diamètre.
#### Solution
Le volume du bassin doit passer dans la pompe en $\Delta t=8\ \text{h}=2{,}88\cdot10^4$ s, donc $q=V/\Delta t$ :
$$q_{\min}=\frac{30}{2{,}88\cdot10^4}=1{,}04\cdot10^{-3}\ \mathrm{m^3\cdot s^{-1}},\qquad q_{\max}=\frac{120}{2{,}88\cdot10^4}=4{,}17\cdot10^{-3}\ \mathrm{m^3\cdot s^{-1}}$$
$$\boxed{q_{\min}\simeq1{,}0\ \mathrm{L\cdot s^{-1}},\qquad q_{\max}\simeq4{,}2\ \mathrm{L\cdot s^{-1}}}$$
Avec une vitesse uniforme $v=1{,}5\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ sur une section circulaire, $q=v\,\pi d^2/4$, d'où $d=\sqrt{4q/(\pi v)}$ :
$$d_{\min}=\sqrt{\frac{4\times1{,}04\cdot10^{-3}}{\pi\times1{,}5}}\simeq\sqrt{8{,}8\cdot10^{-4}}\simeq2{,}97\cdot10^{-2}\ \text{m},\qquad d_{\max}=\sqrt{\frac{q_{\max}}{q_{\min}}}\,d_{\min}=2\,d_{\min}$$
$$\boxed{d_{\min}\simeq30\ \text{mm},\qquad d_{\max}\simeq59\ \text{mm}}$$
> [!PIEGE]
> Le débit se calcule sur les 8 heures de fonctionnement, pas sur 24 heures. Et l'énoncé impose les unités : L·s⁻¹ et mm. Un résultat en m³·s⁻¹ ne répond pas complètement.
### I.1 — Modélisation mécanique du système d'aspiration de la pompe
Système bielle-manivelle à une seule boucle : on en tire la loi entrée-sortie, puis le débit, qu'on confronte à la mesure.
### Question 2
> [!INDICATION]
> Écrire la fermeture géométrique de la boucle $O\to A\to B\to O$ et la projeter sur $\vec x_0$ et $\vec y_0$.
> [!INDICATION]
> La projection sur $\vec y_0$ élimine $x_3$ et donne $\sin\theta_2$. Il reste une ambiguïté de signe sur $\cos\theta_2$ : examiner si $\cos\theta_2$ peut s'annuler au cours du mouvement.
> [!INDICATION]
> Une fonction continue qui ne s'annule jamais garde un signe constant : il suffit de la connaître à $t=0$.
#### Solution
Fermeture géométrique : $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}$, soit $R\,\vec x_1+L\,\vec x_2=x_3\,\vec x_0$. En projection :
$$\left\{\begin{aligned}R\cos\theta_1+L\cos\theta_2&=x_3\\ R\sin\theta_1+L\sin\theta_2&=0\end{aligned}\right.$$
D'où $\sin\theta_2=-\frac RL\sin\theta_1$, $L\cos\theta_2=\pm\sqrt{L^2-R^2\sin^2\theta_1}$ et
$$x_3=R\cos\theta_1\pm\sqrt{L^2-(R\sin\theta_1)^2}.$$
Comme $R<L$, $|\sin\theta_2|\le R/L<1$ : $\cos\theta_2$ ne s'annule jamais. Cette fonction continue du temps garde donc un signe constant (théorème des valeurs intermédiaires). À $t=0$, $\theta_1=0$ et $B$ est à droite de $A$ sur la figure 2 : $\theta_2=0$, $\cos\theta_2=1$. Donc $\cos\theta_2>0$ à chaque instant :
$$\boxed{x_3=R\cos\theta_1+\sqrt{L^2-(R\sin\theta_1)^2}}$$
La racine écartée, $R\cos\theta_1-\sqrt{L^2-R^2\sin^2\theta_1}$, est égale à $-x_3^{+}(\pi-\theta_1)$ et reste inférieure à $-(L-R)<0$ : elle place $B$ à gauche de $O$. C'est l'autre montage du mécanisme (symétrique par rapport à $(O,\vec y_0)$), incompatible avec la figure 2.
> [!METHODE]
> Pour lever une ambiguïté de signe dans une loi entrée-sortie : montrer que la quantité concernée ne s'annule jamais (ici grâce à $R<L$), puis lire son signe sur la configuration de la figure. C'est l'argument de continuité, qui vaut pour tous les mécanismes à une boucle.
> [!JURY]
> « Justifier que la relation est la seule solution » demande un argument écrit. Garder le signe $+$ sans un mot ne traite que la moitié de la question.
### Question 3
> [!INDICATION]
> Diviser par $L$ : seul le rapport $R/L$ reste comme paramètre.
> [!INDICATION]
> Chercher la période, la parité et les valeurs en $0$, $\pi/2$, $\pi$. L'inégalité triangulaire dans le triangle $OAB$ encadre $OB$.
#### Solution
$$\boxed{\frac{x_3}{L}=\frac RL\cos\theta_1+\sqrt{1-\Big(\frac RL\Big)^2\sin^2\theta_1}}$$
Pour $R/L=1/2$ : $\dfrac{x_3}{L}=\dfrac12\cos\theta_1+\sqrt{1-\dfrac14\sin^2\theta_1}$, fonction $2\pi$-périodique et paire. Par l'inégalité triangulaire, $L-R\le OB\le L+R$, avec égalité quand $O$, $A$, $B$ sont alignés :
- $\theta_1=0$, $2\pi$, $4\pi$ : $\boxed{x_3/L=3/2}$ (maximum) ;
- $\theta_1=\pi$, $3\pi$ : $\boxed{x_3/L=1/2}$ (minimum) ;
- $x_3/L(\pi/2)=\sqrt3/2\simeq0{,}87$ et $x_3/L(3\pi/4)\simeq0{,}58$.
| $\theta_1$ | $0$ | $\pi/2$ | $3\pi/4$ | $\pi$ | $3\pi/2$ | $2\pi$ | $3\pi$ | $4\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $x_3/L$ | $1{,}5$ | $0{,}87$ | $0{,}58$ | $0{,}5$ | $0{,}87$ | $1{,}5$ | $0{,}5$ | $1{,}5$ |
Allure (figure 1) : deux oscillations entre $1/2$ et $3/2$ sur $[0,4\pi]$. Ce n'est pas une sinusoïde : les maxima sont plus pointus et les minima plus aplatis, parce que le terme en racine déforme la courbe.
> [!PIEGE]
> Tracer une sinusoïde « propre » n'est acceptable que si $R/L\ll1$. Ici $R/L=1/2$ : la dissymétrie se voit et doit apparaître, avec les valeurs $3/2$ et $1/2$ portées sur le graphe.
### Question 4
> [!INDICATION]
> Volume balayé = course × section. La course se lit sur les extrema de Q3.
#### Solution
Sur un tour, $x_3$ décrit $[L-R;L+R]$ : la course vaut $2R$, et la section vaut $\pi d_p^2/4$.
$$C=2R\cdot\frac{\pi d_p^2}{4}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{C=\frac{\pi R\,d_p^2}{2}}$$
La longueur $L$ de la bielle n'intervient pas, ce que l'énoncé laissait prévoir.
### Question 5
> [!INDICATION]
> Le piston est en translation : sa vitesse est la dérivée de $x_3$ par rapport au temps.
> [!INDICATION]
> Dériver par rapport à $\theta_1$ puis multiplier par $\dot\theta_1=\Omega_m$. Vérifier que le radicande ne s'annule pas.
#### Solution
$v_3=\dot x_3=\Omega_m\,\dfrac{\mathrm dx_3}{\mathrm d\theta_1}$. Comme $L^2-R^2\sin^2\theta_1\ge L^2-R^2>0$, la racine est dérivable et
$$\boxed{v_3=-R\,\Omega_m\sin\theta_1\left(1+\frac{R\cos\theta_1}{\sqrt{L^2-(R\sin\theta_1)^2}}\right)}$$
Contrôles : $v_3$ s'annule aux points morts $\theta_1=0$ et $\pi$. Le facteur entre parenthèses est positif ($R/\sqrt{L^2-R^2}\simeq0{,}58<1$ avec les valeurs du sujet), donc $v_3\le0$ sur $[0,\pi]$ et $v_3\ge0$ sur $[\pi,2\pi]$.
> [!PIEGE]
> Donner $\mathrm dx_3/\mathrm d\theta_1$ comme vitesse : le résultat n'est pas homogène à une vitesse. Il manque le facteur $\Omega_m$.
### Question 6
> [!INDICATION]
> Pendant $\mathrm dt$, le piston chasse un cylindre de section $\pi d_p^2/4$ et de longueur $v_3\,\mathrm dt$.
> [!INDICATION]
> Vérifier le signe de $v_3$ sur l'intervalle de refoulement, pour savoir s'il faut un signe moins ou une valeur absolue.
#### Solution
D'après Q5, $v_3\ge0$ sur $[\pi,2\pi]$ :
$$\boxed{q=0\ \ \text{pour }\theta_1\in[0,\pi],\qquad q=\frac{\pi d_p^2}{4}\,v_3\ \ \text{pour }\theta_1\in[\pi,2\pi]}$$
Le débit est positif ou nul sur tout le cycle. Avec les données numériques, le maximum vaut $8{,}3\cdot10^{-3}\ \mathrm{m^3\cdot s^{-1}}$ vers $\theta_1\simeq292^\circ$, soit $t\simeq19{,}5$ ms, comme sur la figure 3.
### Question 7
> [!INDICATION]
> Inutile d'intégrer l'expression de $q$ : $q\,\mathrm dt$ est un volume élémentaire balayé.
> [!INDICATION]
> L'intégrale du débit sur un tour est la cylindrée. Il reste à diviser par la bonne durée.
#### Solution
Avec $T=2\pi/\Omega_m$ et $q\,\mathrm dt=\frac{\pi d_p^2}{4}\,\mathrm dx_3$ sur $[\pi,2\pi]$ :
$$q_{moy}=\frac1T\int_0^Tq\,\mathrm dt=\frac1T\,\frac{\pi d_p^2}{4}\big[x_3(2\pi)-x_3(\pi)\big]=\frac{C}{T}=\frac{\pi R d_p^2}{2}\cdot\frac{\Omega_m}{2\pi}$$
$$\boxed{q_{moy}=\frac{R\,d_p^2\,\Omega_m}{4}}$$
> [!METHODE]
> Reconnaître une dérivée exacte sous l'intégrale ($q=S_p\,\dot x_3$) transforme un calcul pénible en une différence de valeurs aux bornes.
> [!PIEGE]
> La moyenne se prend sur la période entière $T$, pas sur la demi-période de refoulement : diviser par $T/2$ double le résultat.
### Question 8
> [!INDICATION]
> Avec un pas de temps constant, la moyenne temporelle sur une période est la moyenne arithmétique des échantillons.
#### Solution
Le relevé de la figure 3 couvre une période ($T=60/2500=24$ ms), échantillonnée à pas constant. La somme de Riemann $\frac{1}{N\Delta t}\sum q_k\Delta t$ se réduit à $\frac1N\sum q_k$ :
```python
def moyenne(q):
"""Débit moyen (m3/s) d'une liste de débits relevés à pas de temps constant."""
s = 0.0
for qi in q:
s = s + qi
return s / len(q)
```
`sum(q)/len(q)` convient aussi.
> [!PIEGE]
> Le `return` doit être hors de la boucle, sinon la fonction renvoie la première valeur. Et il faut diviser par `len(q)`, pas par une constante écrite en dur.
### Question 9
> [!INDICATION]
> Convertir $\Omega_m$ en rad·s⁻¹ avant tout calcul.
> [!INDICATION]
> Sans calculatrice : séparer mantisses et puissances de dix, puis comparer l'écart relatif à la précision du relevé.
#### Solution
$\Omega_m=2500\times\dfrac{2\pi}{60}\simeq262\ \mathrm{rad\cdot s^{-1}}$ ; $0{,}04\times9\cdot10^{-4}=3{,}6\cdot10^{-5}$, puis
$$q_{moy}=\frac{3{,}6\cdot10^{-5}\times262}{4}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{q_{moy}\simeq2{,}36\cdot10^{-3}\ \mathrm{m^3\cdot s^{-1}}}$$
L'écart relatif avec $2{,}4\cdot10^{-3}$ est d'environ 2 %, du même ordre que la précision de la valeur mesurée. La forme du débit modélisé (nul puis en cloche, maximum vers $8{,}3\cdot10^{-3}$) correspond aussi à la figure 3. **Le modèle (piston étanche, fluide incompressible, clapets parfaits) est validé.** Ce débit appartient à $[q_{\min};q_{\max}]$.
> [!PIEGE]
> Oublier la conversion tr·min⁻¹ → rad·s⁻¹ fausse le résultat d'un facteur $2\pi/60\simeq0{,}1$.
> [!JURY]
> « Conclure quant à la validité » demande une phrase argumentée : un écart relatif chiffré, comparé à la précision des données, et le rappel des hypothèses validées.
### I.2 — Modélisation de la régulation sous la forme d'un schéma-bloc
Schéma-bloc classique avec une perturbation additive en sortie. On établit les deux fonctions de transfert, puis on constate que le système sans correcteur est inutilisable.
### Question 10
> [!INDICATION]
> Écrire $\varepsilon$ en fonction de $Q_c$ et $Q_s$, puis exiger $\varepsilon=0$ lorsque $Q_s=Q_c$.
#### Solution
$\varepsilon=K_aQ_c-K_qQ_s$. Pour que $\varepsilon=0$ équivaille à $Q_s=Q_c$, quelle que soit la consigne :
$$\boxed{K_a=K_q=1\ \mathrm{V\cdot s\cdot m^{-3}}}$$
> [!PIEGE]
> $K_a$ a une unité : il convertit un débit en tension. Et ce réglage garantit seulement que $\varepsilon=0$ signifie $Q_s=Q_c$. Que $\varepsilon$ tende vers 0 dépend de la classe de la boucle (Q12–Q13).
### Question 11
> [!INDICATION]
> Système linéaire : écrire l'équation de boucle, ou superposer les deux entrées.
> [!INDICATION]
> Lire attentivement le signe de $Q_{pc}$ au sommateur de sortie. « Forme canonique » : 1 comme terme constant au dénominateur.
#### Solution
Avec $G(p)=C(p)K_vH(p)K_{pom}=\dfrac{C(p)K_vK_mK_{pom}}{1+\tau_mp}$ : $Q_s=G\varepsilon-Q_{pc}$ et $\varepsilon=K_aQ_c-K_qQ_s$, d'où $Q_s(1+K_qG)=K_aGQ_c-Q_{pc}$. Avec $C=1$ et $K=K_qK_vK_mK_{pom}=9\cdot10^{-4}$ :
$$\boxed{H_1(p)=\frac{\dfrac{K_aK_vK_mK_{pom}}{1+K}}{1+\dfrac{\tau_m}{1+K}\,p},\qquad H_2(p)=-\frac{1}{1+K}\cdot\frac{1+\tau_mp}{1+\dfrac{\tau_m}{1+K}\,p}}$$
Numériquement, $H_1(p)\simeq\dfrac{9\cdot10^{-4}}{1+p}$ et $H_2(p)\simeq-1$.
> [!PIEGE]
> Le « $-$ » sur $Q_{pc}$ traduit la « diminution du débit » annoncée : $H_2$ est négative. Écrire $H_1=9\cdot10^{-4}/(1{,}0009+p)$ n'est pas une forme canonique.
### Question 12
> [!INDICATION]
> Exprimer $\varepsilon(p)$ en fonction des deux entrées, puis appliquer le théorème de la valeur finale à des échelons.
> [!INDICATION]
> Vérifier d'abord la stabilité. Penser à la classe de la boucle ouverte.
#### Solution
On lit « non asservi » comme « sans correction » ($C=1$). Alors
$$\varepsilon(p)=\frac{K_aQ_c(p)+K_qQ_{pc}(p)}{1+K_qG(p)}.$$
Le pôle $-(1+K)/\tau_m$ est négatif : le système est stable et le théorème de la valeur finale s'applique. Pour des échelons $Q_{c0}/p$ et $Q_{pc0}/p$ :
$$\varepsilon_s=\frac{K_aQ_{c0}}{1+K}\simeq Q_{c0}\neq0,\qquad\varepsilon_{pert}=\frac{K_qQ_{pc0}}{1+K}\simeq Q_{pc0}\neq0.$$
**Les exigences de précision ne sont pas respectées.** La boucle ouverte est de classe 0 et son gain $K=9\cdot10^{-4}$ est si faible que le débit obtenu vaut environ $9\cdot10^{-4}\,Q_{c0}$. Si l'on comprend « non asservi » au sens de boucle ouverte, la conclusion est la même : rien ne corrige la perturbation.
> [!PIEGE]
> $1/(1+K)\simeq1$ ne veut pas dire « écart nul » : l'écart vaut presque toute la consigne. Et il faut traiter les deux critères, consigne et perturbation.
### I.3 — Mise en place d'un correcteur
Un correcteur PI apporte l'intégrateur qui manquait. Son zéro, placé sur le pôle du moteur, ramène la boucle ouverte à un intégrateur pur : tout le réglage en découle.
### Question 13
> [!INDICATION]
> Que devient la classe de la boucle ouverte ? Où l'intégrateur est-il placé par rapport à l'entrée de la perturbation ?
#### Solution
$$\mathrm{FTBO}(p)=\frac{K_pK_qK_vK_mK_{pom}}{T_i}\cdot\frac{1+T_ip}{p(1+\tau_mp)}$$
est de classe 1, et l'intégrateur est **en amont** du point d'entrée de $Q_{pc}$. Si le système corrigé est stable (vérifié en Q15–Q16), le théorème de la valeur finale donne, pour des échelons :
$$\varepsilon_s=\lim_{p\to0}\frac{K_aQ_{c0}}{1+\mathrm{FTBO}(p)}=0,\qquad\varepsilon_{pert}=\lim_{p\to0}\frac{K_qQ_{pc0}}{1+\mathrm{FTBO}(p)}=0.$$
**L'exigence de précision est respectée.**
> [!METHODE]
> Pour annuler l'écart dû à une perturbation en échelon, il faut un intégrateur **entre le comparateur et le point d'entrée de la perturbation**. La classe de la boucle ouverte ne suffit pas à elle seule.
### Question 14
> [!INDICATION]
> Hors intégrateur, combien de pôles a la boucle ouverte ? Placer le zéro du correcteur pour qu'il simplifie l'un d'eux.
#### Solution
Le seul pôle non nul, $-1/\tau_m$, est le pôle dominant. On le compense :
$$\boxed{T_i=\tau_m=1\ \text{s}}\qquad\Longrightarrow\qquad\boxed{H_{BO}(p)=\frac{K_{BO}}{p},\quad K_{BO}=\frac{K_pK_qK_vK_mK_{pom}}{T_i}=9\cdot10^{-4}K_p\ \ (\mathrm{s^{-1}})}$$
C'est bien la valeur que l'énoncé donne à la question suivante.
> [!PIEGE]
> La compensation est une simplification exacte du modèle. En pratique, $\tau_m$ n'est connu qu'approximativement et la simplification reste imparfaite.
### Question 15
> [!INDICATION]
> Rappeler les définitions avec les pulsations où elles s'évaluent. Quelle est la phase d'un intégrateur pur ?
#### Solution
$$MG=-20\log|H_{BO}(j\omega_{180})|\ \ \text{où}\ \arg H_{BO}(j\omega_{180})=-180^\circ;\qquad MP=180^\circ+\arg H_{BO}(j\omega_{0\,\text{dB}})\ \ \text{où}\ |H_{BO}(j\omega_{0\,\text{dB}})|=1.$$
Pour $H_{BO}=K_{BO}/p$, la phase vaut $-90^\circ$ à toute pulsation : elle n'atteint jamais $-180^\circ$, donc $\boxed{MG=+\infty>10\ \text{dB}}$. Le gain coupe 0 dB en $\omega=K_{BO}$, donc $\boxed{MP=90^\circ>45^\circ}$. Les deux critères sont respectés, quel que soit $K_p>0$.
> [!PIEGE]
> « La marge de gain n'existe pas » ne veut pas dire « critère non respecté » : la phase n'atteignant jamais $-180^\circ$, la marge est infinie.
### Question 16
> [!INDICATION]
> Le retour n'est pas unitaire : partir de $H_1=K_aG/(1+K_qG)$ et utiliser le réglage de Q10.
> [!INDICATION]
> Quel est l'ordre du système bouclé ? Un tel système peut-il présenter un dépassement ?
#### Solution
Avec $K_qG=H_{BO}$ et $K_a=K_q$ :
$$H_{BF}(p)=\frac{K_a}{K_q}\cdot\frac{K_{BO}/p}{1+K_{BO}/p}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{H_{BF}(p)=\frac{1}{1+\dfrac{p}{K_{BO}}},\quad\tau_{BF}=\frac1{K_{BO}}}$$
Premier ordre de gain statique 1 : la réponse indicielle $Q_{c0}\big(1-e^{-t/\tau_{BF}}\big)$ est strictement croissante, donc **sans dépassement**. Le critère d'amortissement est respecté.
> [!METHODE]
> Un intégrateur pur bouclé par un retour proportionnel donne toujours un premier ordre : stable, sans dépassement, de constante de temps $1/K_{BO}$.
### Question 17
> [!INDICATION]
> Temps de réponse à 5 % d'un premier ordre : combien de constantes de temps ?
#### Solution
$t_{r5\%}=\tau_{BF}\ln20\simeq3/K_{BO}<1$ s, donc $K_{BO}>3\ \mathrm{s^{-1}}$, soit $9\cdot10^{-4}K_p>3$ :
$$\boxed{K_{p,\min}=\frac{3}{9\cdot10^{-4}}\simeq3{,}3\cdot10^3}$$
Les marges, l'absence de dépassement et la précision ne dépendent pas de $K_p$ : toutes les exigences sont satisfaites dès que $K_p>3{,}3\cdot10^3$.
> [!PIEGE]
> $t_{r5\%}$ diminue quand $K_{BO}$ augmente : l'exigence donne une borne **inférieure** sur $K_p$. Et la question demande une valeur : il faut conclure par un nombre.
## Partie II — Régulation des paramètres physico-chimiques de l'eau
On suit l'élément chlore : produit par électrolyse, il se dismute en acide hypochloreux désinfectant, qui est détruit par les UV. On le mesure par une sonde redox et on modélise sa concentration au cours de la journée. Outils : oxydoréduction, E-pH, Beer-Lambert, bilan de matière, Euler.
### Question 18
> [!INDICATION]
> Écrire la dissolution du sel pour justifier la stœchiométrie, puis diviser le titre massique par la bonne masse molaire.
#### Solution
$M(\mathrm{NaCl})=58{,}5\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$ ; $\mathrm{NaCl(s)}\to\mathrm{Na^+}+\mathrm{Cl^-}$ (totale) :
$$c_0=\frac{5{,}0}{58{,}5}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{c_0\simeq8{,}5\cdot10^{-2}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}}$$
> [!PIEGE]
> Diviser par $M(\mathrm{Cl})=35{,}5$ seule surestime $c_0$ de 65 % : la masse dissoute est celle du sel.
### Question 19
> [!INDICATION]
> Comparer à la salinité de l'eau de mer, que l'on connaît à peu près.
#### Solution
L'eau contient $5\ \mathrm{g\cdot L^{-1}}$ de chlorure de sodium, le sel de l'eau de mer, dont la salinité est d'environ $35\ \mathrm{g\cdot L^{-1}}$ : sept fois moins salée que la mer, l'eau a un **goût salé perceptible mais léger**.
### Question 20
> [!INDICATION]
> Identifier l'oxydation à l'anode et la réduction à la cathode (l'eau ou les ions sodium ?).
> [!INDICATION]
> Relier l'intensité au débit d'électrons avec $F$, puis appliquer la stœchiométrie de la demi-équation.
#### Solution
Anode : $2\,\mathrm{Cl^-}=\mathrm{Cl_2}+2e^-$. Cathode : $2\,\mathrm{H_2O}+2e^-=\mathrm{H_2}+2\,\mathrm{HO^-}$. Bilan :
$$\boxed{2\,\mathrm{Cl^-}+2\,\mathrm{H_2O}\longrightarrow\mathrm{Cl_2}+\mathrm{H_2}+2\,\mathrm{HO^-}}$$
$I=jS=4{,}0\cdot10^3\times20\cdot10^{-4}=8{,}0$ A, et deux électrons par $\mathrm{Cl_2}$ :
$$v(\mathrm{Cl_2})=\frac{I}{2F}=\frac{8{,}0}{1{,}93\cdot10^5}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{v(\mathrm{Cl_2})\simeq4{,}1\cdot10^{-5}\ \mathrm{mol\cdot s^{-1}}}\ \ (0{,}15\ \mathrm{mol\cdot h^{-1}})$$
> [!PIEGE]
> $20\ \mathrm{cm^2}=20\cdot10^{-4}\ \mathrm m^2$, pas $20\cdot10^{-2}$. On retrouve $I=8$ A à la ligne 1 du programme de la figure 10 : bon contrôle.
### Question 21
> [!INDICATION]
> Calculer le nombre d'oxydation du chlore dans chaque espèce : plus il est grand, plus le domaine est haut.
> [!INDICATION]
> Une frontière verticale ne fait intervenir aucun électron. Les pentes des autres frontières permettent de vérifier l'attribution.
#### Solution
Nombres d'oxydation : $\mathrm{Cl^-}$ ($-\mathrm I$), $\mathrm{Cl_2}$ ($0$), $\mathrm{HClO}$ et $\mathrm{ClO^-}$ ($+\mathrm I$).
- **III = $\mathrm{Cl^-}$** : domaine le plus bas.
- **I = $\mathrm{HClO}$**, **IV = $\mathrm{ClO^-}$** : domaines supérieurs séparés par une verticale (frontière acido-basique), forme acide à gauche.
- **II = $\mathrm{Cl_2}$** : degré intermédiaire, entre $\mathrm{Cl^-}$ et $\mathrm{HClO}$, en milieu très acide.
Vérification par les pentes ($-0{,}06\,m/n$ V par unité de pH) : II/III ($\mathrm{Cl_2}/\mathrm{Cl^-}$, sans $\mathrm{H^+}$) horizontale ; I/II ($2\mathrm{HClO}+2\mathrm{H^+}+2e^-$) pente $-0{,}06$ ; I/III ($\mathrm{HClO}+\mathrm{H^+}+2e^-$) pente $-0{,}03$ ; IV/III ($\mathrm{ClO^-}+2\mathrm{H^+}+2e^-$) pente $-0{,}06$. Ces valeurs correspondent à la figure 5.
> [!METHODE]
> Attribuer les domaines d'un diagramme E-pH : nombre d'oxydation croissant vers le haut, forme acide à gauche d'une frontière verticale, puis contrôle par les pentes $-0{,}06\,m/n$.
> [!PIEGE]
> Mettre $\mathrm{Cl_2}$ tout en haut « parce que c'est un oxydant fort » : $\mathrm{HClO}$, de degré $+\mathrm I$, est au-dessus.
### Question 22
> [!INDICATION]
> Que vaut le pH sur la frontière entre la forme acide et la forme basique ?
#### Solution
Sur la verticale I/IV, $[\mathrm{HClO}]=[\mathrm{ClO^-}]$, donc $\mathrm{pH}=\mathrm pK_a$. Elle se situe aux sept huitièmes de l'intervalle $[4;8]$ :
$$\boxed{\mathrm pK_a\simeq7{,}5}$$
Cette valeur est confirmée par la donnée $10^{-0,3}=0{,}5$ de Q25 ($7{,}2-7{,}5=-0{,}3$).
### Question 23
> [!INDICATION]
> Superposer au diagramme la frontière du couple $\mathrm{O_2/H_2O}$.
> [!INDICATION]
> Des domaines disjoints signifient une réaction thermodynamiquement favorable. Pourquoi ne l'observe-t-on pas ?
#### Solution
La frontière $\mathrm{O_2/H_2O}$ est $E=1{,}23-0{,}06\,\mathrm{pH}$. Les domaines de $\mathrm{HClO}$ et $\mathrm{ClO^-}$ sont entièrement au-dessus (à pH 7,2 : au-dessus de 1,24 V contre 0,80 V ; à pH 14 : 0,84 V contre 0,39 V). Domaines disjoints : **$\mathrm{HClO}$ et $\mathrm{ClO^-}$ oxydent l'eau** :
$$2\,\mathrm{HClO}\longrightarrow2\,\mathrm{Cl^-}+\mathrm{O_2}+2\,\mathrm{H^+},\qquad2\,\mathrm{ClO^-}\longrightarrow2\,\mathrm{Cl^-}+\mathrm{O_2}.$$
On peut les négliger parce qu'elles sont **cinétiquement bloquées** : l'oxydation de l'eau en dioxygène est très lente (forte surtension). Ces espèces sont métastables, comme l'eau de Javel qui se conserve des mois.
> [!METHODE]
> Thermodynamiquement possible ne veut pas dire observé. Quand une prévision E-pH contredit l'expérience, l'explication attendue est cinétique.
### Question 24
> [!INDICATION]
> Le dichlore est l'oxydant d'un couple et le réducteur d'un autre. Comparer les deux frontières à pH 7,2.
#### Solution
$\mathrm{Cl_2}$ n'existe que si $E>1{,}45$ V (frontière $\mathrm{Cl_2/Cl^-}$) et $E<1{,}53-0{,}06\,\mathrm{pH}$ (frontière $\mathrm{HClO/Cl_2}$). Ces conditions sont incompatibles au-delà de pH 1,3 (point A). À pH 7,2, $1{,}53-0{,}06\times7{,}2\simeq1{,}10<1{,}45$ V. **Le dichlore n'est pas stable : il se dismute**, car les domaines de $\mathrm{HClO}$ et de $\mathrm{Cl^-}$ ont une partie commune :
$$\boxed{\mathrm{Cl_2}+\mathrm{H_2O}\longrightarrow\mathrm{HClO}+\mathrm{Cl^-}+\mathrm{H^+}}$$
À pH $7{,}2<\mathrm pK_a$, c'est bien $\mathrm{HClO}$ qui est majoritaire parmi les espèces de degré $+\mathrm I$.
> [!PIEGE]
> Il faut écrire le $\mathrm{H^+}$ produit : il sert à la question 27. Et c'est une dismutation, pas une médiamutation (réaction inverse).
### Question 25
> [!INDICATION]
> Le rapport $[\mathrm{ClO^-}]/[\mathrm{HClO}]$ ne dépend que de $\mathrm{pH}-\mathrm pK_a$. La donnée $10^{-0,3}$ indique la démarche.
#### Solution
$[\mathrm{ClO^-}]/[\mathrm{HClO}]=10^{7,2-7,5}=0{,}5$, donc $c_t=1{,}5\,[\mathrm{HClO}]$ :
$$[\mathrm{HClO}]=\frac{60}{1{,}5}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{[\mathrm{HClO}]=40\ \mu\mathrm{mol\cdot L^{-1}}}$$
**L'eau est bien désinfectée**, à la limite haute de la plage $[10;40]\ \mu\mathrm{mol\cdot L^{-1}}$. Une hausse du pH ferait baisser la fraction de $\mathrm{HClO}$ : d'où l'importance de réguler le pH.
> [!PIEGE]
> Confondre le rapport ($0{,}5$) et la fraction de $\mathrm{HClO}$ ($1/1{,}5=2/3$).
### Question 26
> [!INDICATION]
> La tension mesurée est la différence entre le potentiel de l'électrode de platine et celui de la référence.
> [!INDICATION]
> Écrire la demi-équation du couple $\mathrm{HClO/Cl^-}$ en milieu acide et compter les électrons avant d'écrire Nernst.
#### Solution
$U=E_{\mathrm{Pt}}-E_{ref}$, avec $\mathrm{HClO}+\mathrm{H^+}+2e^-=\mathrm{Cl^-}+\mathrm{H_2O}$ :
$$E_{\mathrm{Pt}}=E^\circ+\frac{0{,}06}{2}\log\frac{[\mathrm{HClO}][\mathrm{H^+}]}{[\mathrm{Cl^-}]}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{U=E^\circ-E_{ref}-0{,}03\,\mathrm{pH}+0{,}03\log\frac{[\mathrm{HClO}]}{c_0}}$$
(concentrations rapportées à $c^\circ=1\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$, $[\mathrm{Cl^-}]=c_0$ constant). Pour pH 7,2 et $[\mathrm{HClO}]$ entre 10 et $40\ \mu\mathrm{mol\cdot L^{-1}}$, on obtient $957<U<975$ mV.
**Erreur d'énoncé à signaler.** L'intervalle annoncé ($633$–$669$ mV) se retrouve (634 et 670 mV) avec le coefficient $0{,}059$ au lieu de $0{,}059/2$, c'est-à-dire avec un seul électron. Or $n=2$ : la pente $-0{,}03$ V/pH de la frontière I/III (Q21) le confirme. On garde l'expression juste et on poursuit avec l'intervalle de l'énoncé, qui a servi à construire la figure 11.
> [!JURY]
> La consigne de l'épreuve demande de signaler une erreur d'énoncé et d'expliquer les initiatives prises. Une phrase claire, avec le calcul qui la justifie, vaut mieux qu'un silence ou qu'un résultat ajusté pour tomber sur la valeur attendue.
### Question 27
> [!INDICATION]
> Que devient le dichlore au pH de la piscine ? Quelle espèce acido-basique la réaction libère-t-elle ?
> [!INDICATION]
> Penser aussi à ce que produit la cathode, et à la conséquence d'une dérive du pH sur la répartition entre $\mathrm{HClO}$ et $\mathrm{ClO^-}$.
#### Solution
Le dichlore se dismute (Q24) en libérant un $\mathrm{H^+}$ par molécule : **la production de dichlore acidifie l'eau, le pH baisse**. Si l'on considère tout l'électrolyseur, la cathode produit deux $\mathrm{HO^-}$ par $\mathrm{Cl_2}$ : le bilan global, $\mathrm{Cl^-}+2\,\mathrm{H_2O}\to\mathrm{HClO}+\mathrm{H_2}+\mathrm{HO^-}$, est basique, et c'est ce qu'on observe en pratique sur les électrolyseurs au sel. Dans les deux cas, **le pH dérive** hors de $[7{,}0;7{,}4]$. Cela modifie la fraction de $\mathrm{HClO}$ (Q25), donc l'efficacité de la désinfection, et le confort des baigneurs. **Conséquence : il faut mesurer le pH en continu et injecter un correcteur** avec la pompe péristaltique, ce qui justifie la chaîne de mesure étudiée ensuite.
> [!PIEGE]
> Préciser le périmètre du raisonnement (dismutation seule ou électrolyseur complet) : les deux bilans ne donnent pas le même sens de variation.
### Question 28
> [!INDICATION]
> Quelle est la nature de chaque signal (chimique, électrique, analogique, numérique) ? Qui exploite l'information en bout de chaîne ?
> [!INDICATION]
> Gain = variation de la sortie / variation de l'entrée sur la plage utile. Sur 12 bits, combien de valeurs possibles ?
#### Solution
Entrée du capteur : le pH, grandeur chimique sans dimension. Sortie : la tension $U$, grandeur électrique analogique. Le boîtier est un calculateur numérique (affichage, commande de la pompe) : le **CAN** convertit la tension en un nombre binaire de 12 bits.
$$\boxed{K_{cap}=\frac{10}{14}\simeq0{,}71\ \mathrm{V\ par\ unité\ de\ pH}},\qquad\boxed{K_{CAN}=\frac{2^{12}}{10}\simeq4{,}1\cdot10^2\ \mathrm{V^{-1}}}$$
La convention $(2^{12}-1)/10$ donne le même résultat à 0,02 % près.
### Question 29
> [!INDICATION]
> La plus petite variation mesurable fait changer $N$ d'une unité. La ramener à l'entrée par les gains.
#### Solution
$$\Delta\mathrm{pH}_{\min}=\frac{1}{K_{cap}K_{CAN}}=\frac{14}{4096}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\Delta\mathrm{pH}_{\min}\simeq3{,}4\cdot10^{-3}}$$
C'est environ 30 fois plus fin que les 0,1 requis : **la chaîne de mesure est pertinente**, et la numérisation n'est pas le facteur limitant.
> [!PIEGE]
> La résolution n'est pas la précision : celle-ci dépend surtout de l'électrode (étalonnage, dérive, température).
### Question 30
> [!INDICATION]
> Loi de cours : préciser le logarithme utilisé et l'unité de chaque grandeur.
#### Solution
$$\boxed{A=\log\frac{I_0}{I}=\sum_i\varepsilon_i\,\ell\,c_i}$$
$A$ : absorbance, sans unité ; $I_0$, $I$ : intensités incidente et transmise ($\mathrm{W\cdot m^{-2}}$) ; $\varepsilon_i$ : coefficient d'absorption molaire ($\mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot cm^{-1}}$) ; $\ell$ : longueur traversée (cm) ; $c_i$ : concentration ($\mathrm{mol\cdot L^{-1}}$). Loi valable en solution diluée et en lumière monochromatique, et les absorbances sont additives.
### Question 31
> [!INDICATION]
> Identifier les courbes avec la légende (trait épais et trait fin) avant de lire.
#### Solution
À 290 nm, la courbe fine ($\mathrm{ClO^-}$) est presque à son maximum et la courbe épaisse ($\mathrm{HClO}$) sur un épaulement faible :
$$\boxed{\varepsilon_{\mathrm{ClO^-}}\simeq3{,}8\cdot10^2\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot cm^{-1}}},\qquad\boxed{\varepsilon_{\mathrm{HClO}}\simeq35\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot cm^{-1}}}$$
### Question 32
> [!INDICATION]
> Additionner les absorbances des deux formes, puis exprimer $[\mathrm{ClO^-}]$ à l'aide de $K_a$.
#### Solution
$A=\big(\varepsilon_{\mathrm{HClO}}[\mathrm{HClO}]+\varepsilon_{\mathrm{ClO^-}}[\mathrm{ClO^-}]\big)z$ avec $[\mathrm{ClO^-}]=\dfrac{K_a}{[\mathrm{H^+}]}[\mathrm{HClO}]$ :
$$A=\alpha_t[\mathrm{HClO}]\,z,\qquad\boxed{\alpha_t=\varepsilon_{\mathrm{HClO}}+\varepsilon_{\mathrm{ClO^-}}\frac{K_a}{[\mathrm{H^+}]}}$$
Contrôle : $35+380\times0{,}5\simeq2{,}2\cdot10^2\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot cm^{-1}}=2{,}2\cdot10^4\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot m^{-1}}$, en accord avec la valeur de l'énoncé.
> [!PIEGE]
> Les $\varepsilon$ sont lus par centimètre et $\alpha_t$ est donné par mètre : il y a un facteur 100. $\alpha_t$ dépend du pH : c'est un coefficient effectif.
### Question 33
> [!INDICATION]
> Lire $\alpha_e$ sur l'échelle logarithmique, puis le comparer à une grandeur de même unité.
> [!INDICATION]
> La grandeur à comparer est $\alpha_t[\mathrm{HClO}]$ (en m⁻¹), pas $\alpha_t$ seul.
#### Solution
À 290 nm, la figure 8 donne $\alpha_e\simeq0{,}1\ \mathrm{m^{-1}}$ (à un facteur 2 près, sur un flanc raide). Pour $[\mathrm{HClO}]$ entre 10 et $40\ \mu\mathrm{mol\cdot L^{-1}}$, $\alpha_t[\mathrm{HClO}]$ va de $0{,}23$ à $0{,}92\ \mathrm{m^{-1}}$. L'eau représente donc 10 à 30 % de l'absorption : **on ne peut pas la négliger**. Le programme garde d'ailleurs `alpha_e = 0.1`.
> [!PIEGE]
> Comparer $\alpha_e$ à $\alpha_t=2{,}3\cdot10^4$ : les unités diffèrent et la conclusion serait fausse.
### Question 34
> [!INDICATION]
> Les absorptions de l'eau et du chlore s'ajoutent dans le logarithme décimal. Inverser ensuite.
#### Solution
$\log\dfrac{I(0)}{I(z)}=\big(\alpha_e+\alpha_t[\mathrm{HClO}]\big)z$, avec $[\mathrm{HClO}]$ uniforme :
$$\boxed{I(z)=I_0\,10^{-(\alpha_e+\alpha_t[\mathrm{HClO}])\,z}}$$
Pour $[\mathrm{HClO}]=33\ \mu\mathrm{mol\cdot L^{-1}}$, il ne reste qu'environ 5 % de l'intensité au fond ($L=1{,}5$ m).
> [!PIEGE]
> Écrire $e^{-(\alpha_e+\alpha_tc)z}$ oublie le facteur $\ln10$ : la définition est en logarithme décimal.
### Question 35
> [!INDICATION]
> Énergie d'un photon en fonction de sa fréquence, puis de sa longueur d'onde.
#### Solution
$$\boxed{E=h\nu=\frac{hc}{\lambda}}$$
$h$ constante de Planck (J·s), $\nu$ fréquence (Hz), $c$ vitesse de la lumière dans le vide ($\mathrm{m\cdot s^{-1}}$), $\lambda$ longueur d'onde (m). À 300 nm, $E\simeq6{,}6\cdot10^{-19}$ J, soit environ 4 eV, l'ordre de grandeur d'une énergie de liaison.
### Question 36
> [!INDICATION]
> Deux absorbants en compétition dans la même tranche $\mathrm dz$ : la proportion revenant à l'un est le rapport de sa probabilité à la probabilité totale.
#### Solution
$$\boxed{\tau=\frac{\alpha_t[\mathrm{HClO}]}{\alpha_e+\alpha_t[\mathrm{HClO}]}}$$
Ce rapport est indépendant de $z$ (milieu uniforme), donc valable pour toute la colonne d'eau. Pour $[\mathrm{HClO}]=33\ \mu\mathrm{mol\cdot L^{-1}}$, $\tau\simeq0{,}88$.
> [!PIEGE]
> Une proportion est comprise entre 0 et 1 : $\alpha_t[\mathrm{HClO}]/\alpha_e$ n'en est pas une.
### Question 37
> [!INDICATION]
> Faire un bilan de puissance absorbée dans la colonne d'eau de section $S_e$, puis compter les photons.
> [!INDICATION]
> Rendement 1 : un photon absorbé par le chlore détruit une molécule. Passer en moles avec $\mathcal N_A$.
#### Solution
Puissance absorbée : $S_e\big(I(0)-I(L)\big)$, dont la part $\tau$ par le chlore. Nombre de photons par seconde : $\tau S_e\big(I(0)-I(L)\big)\lambda/(hc)$. D'où
$$v_d=\tau\,\frac{S_e\lambda}{hc\,\mathcal N_A}\big(I(0)-I(L)\big),\qquad\boxed{K_d=\frac{S_e\,\lambda}{h\,c\,\mathcal N_A}}$$
Unités : $K_d$ en $\mathrm{mol\cdot m^2\cdot J^{-1}}$, $I$ en $\mathrm{W\cdot m^{-2}}$, donc $v_d$ en $\mathrm{mol\cdot s^{-1}}$. Avec $\lambda=300$ nm : $K_d\simeq7{,}0\cdot10^{-5}\ \mathrm{mol\cdot m^2\cdot J^{-1}}$, ce que code la ligne 12 du programme (multiplié par 3600 pour un temps en heures).
> [!METHODE]
> Pour passer d'un flux lumineux à une vitesse de réaction : puissance absorbée, puis $\div\,(hc/\lambda)$ pour obtenir des photons par seconde, puis $\div\,\mathcal N_A$ pour obtenir des moles, multiplié par le rendement quantique.
### Question 38
> [!INDICATION]
> Combiner la vitesse de production du dichlore (Q20) et la stœchiométrie de sa dismutation (Q24).
#### Solution
Chaque $\mathrm{Cl_2}$ produit à la vitesse $I/(2F)$ donne un $\mathrm{HClO}$ :
$$\boxed{v_p=\frac{I}{2F}=\frac{jS}{2F}\simeq4{,}1\cdot10^{-5}\ \mathrm{mol\cdot s^{-1}}}\quad(\text{ligne 7 du programme, en mol}\cdot\text{h}^{-1}).$$
### Question 39
> [!INDICATION]
> Variation de la quantité de matière dans le bassin = production − disparition. L'électrolyseur ne fonctionne pas en permanence.
> [!INDICATION]
> Remplacer $\tau$ et $I(L)$ par leurs expressions en fonction de $c$, pour que l'équation ne contienne que l'inconnue $c$.
#### Solution
Avec $e(t)\in\{0,1\}$ l'état de l'électrolyseur et $V$ constant :
$$\boxed{V\frac{\mathrm dc}{\mathrm dt}=e(t)\frac{I}{2F}-\frac{\alpha_t\,c}{\alpha_e+\alpha_t\,c}\,K_d\,I_0(t)\left[1-10^{-(\alpha_e+\alpha_t c)L}\right]}\qquad(1)$$
Équation du premier ordre, non linéaire et non autonome : on la résout numériquement. Ordre de grandeur en plein soleil : $v_d\simeq0{,}27\ \mathrm{mol\cdot h^{-1}}>v_p=0{,}15\ \mathrm{mol\cdot h^{-1}}$, donc la concentration baisse même électrolyseur allumé.
> [!PIEGE]
> Oublier $V$ rend l'équation non homogène : $v_p$ et $v_d$ sont en $\mathrm{mol\cdot s^{-1}}$, $c$ est une concentration.
### Question 40
> [!INDICATION]
> Relier la courbe au mouvement apparent du Soleil. Pourquoi le maximum est-il à 14 h en été ?
> [!INDICATION]
> La courbe est parfaitement lisse : à quel temps qu'il fait correspond-elle ?
#### Solution
Intensité nulle la nuit (avant 6 h environ, après 22 h), puis une cloche maximale vers 14 h ($1{,}3\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}$). L'éclairement d'une surface horizontale croît avec la hauteur du Soleil, et un Soleil bas traverse plus d'atmosphère, où l'ozone absorbe l'UV. Le maximum est au midi solaire, vers 14 h en heure d'été (UTC+2). **Phénomène non pris en compte : la couverture nuageuse** (la variabilité météorologique). La courbe décrit un ciel clair idéal.
### Question 41
> [!INDICATION]
> Euler explicite : $c_{k+1}=c_k+\Delta t\cdot\dfrac{\mathrm dc}{\mathrm dt}(t_k,c_k)$, avec la dérivée tirée de (1).
> [!INDICATION]
> `c` est une liste : `c += [...]` ajoute un élément. Les fonctions `electrolyseur` et `phi` attendent un temps, pas un indice.
#### Solution
```python
for k in range(0, len(T)-1) :
c += [c[k] + dt*(electrolyseur(T[k])*v_p
- K_d*phi(T[k])*alpha_t*c[k]/(alpha_e + alpha_t*c[k])
*(1 - 10**(-(alpha_e + alpha_t*c[k])*L)))/V]
```
**Signalement.** `V = 1.5*S_eau` vaut 42 (en m³), alors que `c` est en $\mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ (`alpha_t*c` doit être en m⁻¹, comme `alpha_e`). Il faut diviser par `V*1000`, le volume en litres. Avec cette correction, la simulation donne $c$ entre $2\cdot10^{-5}$ et $4\cdot10^{-5}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ et reproduit la figure 11. Sans elle, la concentration croît mille fois trop vite.
> [!PIEGE]
> `c += c[k] + ...` sans crochets lève une erreur (on ne peut pas ajouter un flottant à une liste). Utiliser `c[k+1]` à droite : l'élément n'existe pas encore.
### Question 42
> [!INDICATION]
> Lire le minimum et le maximum de la figure 11 et regarder l'unité réelle des graduations.
#### Solution
Les valeurs vont de $0{,}634$ à $0{,}666$ : ce sont des volts, malgré la légende « mV ». Donc $634\le U\le666$ mV et
$$\boxed{[634;666]\ \text{mV}\subset[633;669]\ \text{mV}}$$
**Les valeurs sont conformes** : $[\mathrm{HClO}]$ reste dans la plage de désinfection toute la journée, au plus bas vers 17–18 h après la photolyse diurne. Le modèle suit bien les mesures. Il est légèrement au-dessus des points de 13 h à 22 h, donc sous-estime un peu la disparition du chlore (consommation par les matières organiques, non modélisée). Avec l'expression correcte de Q26, l'intervalle serait $[957;975]$ mV : on compare ici dans la convention commune à l'énoncé et à la figure.
### Question 43
> [!INDICATION]
> Suivre l'élément chlore dans toutes les réactions du modèle : que devient-il après la photolyse ?
> [!INDICATION]
> Comparer l'ordre de grandeur de $c_t$ à celui de $c_0$. Pour la réalité : le bassin est-il fermé ?
#### Solution
Dans le modèle, le chlore suit un cycle : l'électrolyse et la dismutation consomment un $\mathrm{Cl^-}$ par $\mathrm{HClO}$ formé, la photolyse en restitue un. Donc $[\mathrm{Cl^-}]+[\mathrm{HClO}]+[\mathrm{ClO^-}]$ est constant, et $[\mathrm{Cl^-}]$ varie au plus de $c_t\sim6\cdot10^{-5}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$, soit moins de 0,1 % de $c_0=8{,}5\cdot10^{-2}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ : **$[\mathrm{Cl^-}]$ reste constante**.
En réalité, le bassin perd de l'eau salée (lavage du filtre à contre-courant, éclaboussures, baigneurs, débordements, vidanges partielles), une partie du chlore sort du cycle (chloramines, chlorates) et les appoints d'eau douce diluent le sel. La salinité baisse lentement : on la contrôle au moins une fois par saison et on rajoute du sel.
### Question 44
> [!INDICATION]
> Repérer les instants des fronts sur la figure 12 et additionner les durées à l'état 1.
#### Solution
Allumé de 0 h à 2 h et de 11 h à 24 h :
$$\boxed{\Delta t_{on}=2+13=15\ \text{h}}$$
Contrôle croisé : sur la figure 11, la concentration reste à peu près constante la nuit, électrolyseur éteint (entre 2 h et 8 h).
### Question 45
> [!INDICATION]
> Identifier les réactions réellement mises en jeu à chaque électrode : à l'anode, celle qui démarre au potentiel le plus bas ; à la cathode, celle qui démarre au potentiel le plus haut.
> [!INDICATION]
> Lire les potentiels à $+4$ et $-4\ \mathrm{kA\cdot m^{-2}}$ ; la tension est leur différence. Énergie = puissance × durée de fonctionnement.
#### Solution
À l'anode, l'oxydation de $\mathrm{Cl^-}$ démarre vers 1,4 V, avant celle de l'eau (vers 1,7 V). À la cathode, l'eau est réduite dès $-0{,}8$ V, bien avant $\mathrm{Na^+}$ (vers $-2{,}7$ V). À $|j|=4{,}0\ \mathrm{kA\cdot m^{-2}}$ (un carreau = 0,2 V et $1\ \mathrm{kA\cdot m^{-2}}$) : $E_a\simeq+1{,}6$ V et $E_c\simeq-1{,}3$ V. Sans chute ohmique :
$$U=E_a-E_c\quad\Longrightarrow\quad\boxed{U\simeq2{,}9\ \text{V}}$$
$P=UI=2{,}9\times8{,}0\simeq23$ W pendant le fonctionnement. Sur 15 h (Q44) :
$$W=P\,\Delta t_{on}\simeq23\times15\simeq3{,}5\cdot10^2\ \text{Wh}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{W\simeq0{,}35\ \text{kWh par jour}}$$
> [!PIEGE]
> Le kWh mesure une énergie : il faut multiplier la puissance par les 15 h de fonctionnement, pas par 24 h. La tension d'électrolyse est une différence de potentiels, donc la somme des deux valeurs absolues ici.
### Question 46
> [!INDICATION]
> Dans l'équation (1), quel terme dépend de l'éclairement ?
#### Solution
Le volet occulte la surface : $I_0\simeq0$, donc $v_d\simeq0$. **La photodégradation du chlore libre par les UV est supprimée.** Le chlore se maintient sans production, donc l'électrolyseur fonctionne moins longtemps : économie d'électricité (Q45) et moindre usure des électrodes. Effets secondaires : le volet limite l'évaporation et les pertes thermiques, et empêche l'entrée de débris qui consomment du chlore.
## Bilan
**Méthodes à retenir.**
- Mécanismes : fermeture géométrique, projection, levée d'ambiguïté par continuité ; un débit moyen sur un cycle se calcule comme volume balayé / période, sans intégrer.
- Asservissements : un intégrateur placé en amont de la perturbation annule les deux écarts statiques ; la compensation du pôle dominant ramène la boucle ouverte à $K_{BO}/p$, ce qui donne $MG$ infinie, $MP=90^\circ$, une boucle fermée du premier ordre et $t_{r5\%}=3/K_{BO}$.
- Chimie des solutions : attribuer un diagramme E-pH par les nombres d'oxydation puis le vérifier par les pentes ; reconnaître une dismutation et un blocage cinétique ; écrire Nernst après avoir compté les électrons.
- Photochimie : Beer-Lambert additif, puis passage de la puissance absorbée à un débit de photons et à une vitesse molaire.
- Numérique : écrire un schéma d'Euler sur une liste et vérifier la cohérence des unités du programme fourni.
**Prérequis à revoir.** Théorème de la valeur finale et classe d'un système ; définitions des marges ; nombre d'oxydation et pentes des frontières E-pH ; quantification d'un CAN ; loi de Beer-Lambert avec ses unités.
**Questions classiques transposables.** Loi entrée-sortie bielle-manivelle (moteurs, compresseurs) ; réglage d'un PI par compensation de pôle ; stabilité d'une espèce dans l'eau et dismutation (chlore, iode, cuivre) ; tension d'électrolyse lue sur des courbes intensité-potentiel ; bilan de matière non linéaire résolu par Euler.
**Erreurs d'énoncé.** Elles se signalent brièvement, avec le calcul qui les établit, puis on poursuit (Q26, Q41). Cette attitude est explicitement demandée par la consigne.
Aide sur le corrigé
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