Modélisation et ingénierie numérique

# CCINP PSI — Modélisation et ingénierie numérique 2026 · Corrigé

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Épreuve PSI3MO, 4 heures, calculatrice interdite. « Modélisation de l'entretien automatisé d'une piscine privée ». Deux parties indépendantes.

## Partie I — Régulation du débit de la pompe de circulation

### Q1

Le volume du bassin doit passer dans la pompe en $\Delta t=8\ \text{h}=2{,}88\cdot10^4$ s, d'où $q=V/\Delta t$ :

$$q_{\min}=\frac{30}{2{,}88\cdot10^4}=1{,}04\cdot10^{-3}\ \mathrm{m^3\cdot s^{-1}},\qquad q_{\max}=\frac{120}{2{,}88\cdot10^4}=4{,}17\cdot10^{-3}\ \mathrm{m^3\cdot s^{-1}}$$

$$\boxed{q_{\min}\simeq1{,}0\ \mathrm{L\cdot s^{-1}},\qquad q_{\max}\simeq4{,}2\ \mathrm{L\cdot s^{-1}}}$$

Avec une vitesse uniforme $v=1{,}5\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$ sur une section circulaire, $q=v\,\pi d^2/4$, donc $d=\sqrt{4q/(\pi v)}$ :

$$d_{\min}=\sqrt{\frac{4\times1{,}04\cdot10^{-3}}{\pi\times1{,}5}}=\sqrt{8{,}8\cdot10^{-4}}\simeq2{,}97\cdot10^{-2}\ \text{m},\qquad d_{\max}=\sqrt{\frac{q_{\max}}{q_{\min}}}\,d_{\min}=2\,d_{\min}$$

$$\boxed{d_{\min}\simeq30\ \text{mm},\qquad d_{\max}\simeq59\ \text{mm}}$$

### I.1 — Modélisation mécanique du système d'aspiration de la pompe

### Q2

Fermeture géométrique : $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}$, soit $R\,\vec x_1+L\,\vec x_2=x_3\,\vec x_0$. En projection sur $\vec x_0$ et $\vec y_0$ :

$$\left\{\begin{aligned}R\cos\theta_1+L\cos\theta_2&=x_3\\ R\sin\theta_1+L\sin\theta_2&=0\end{aligned}\right.$$

La seconde équation donne $\sin\theta_2=-\frac{R}{L}\sin\theta_1$, d'où $L\cos\theta_2=\pm\sqrt{L^2-R^2\sin^2\theta_1}$ et

$$x_3=R\cos\theta_1\pm\sqrt{L^2-(R\sin\theta_1)^2}.$$

**Choix du signe.** Comme $R<L$, $|\sin\theta_2|\le R/L<1$ : $\cos\theta_2$ ne s'annule jamais. Cette fonction continue du temps garde donc un signe constant (théorème des valeurs intermédiaires). À $t=0$, $\theta_1=0$ et, sur la figure 2, $B$ est à droite de $A$ : $\theta_2=0$, $\cos\theta_2=1>0$. Donc $\cos\theta_2>0$ à chaque instant et seul le signe $+$ convient. L'autre racine, $R\cos\theta_1-\sqrt{L^2-R^2\sin^2\theta_1}$, est égale à $-x_3^{+}(\pi-\theta_1)$, où $x_3^{+}\ge L-R$ désigne la racine retenue : elle vaut au plus $-(L-R)<0$ et elle place $B$ à gauche de $O$, ce qui correspond à l'autre montage du mécanisme (symétrique par rapport à $(O,\vec y_0)$), incompatible avec la figure 2.

$$\boxed{x_3=R\cos\theta_1+\sqrt{L^2-(R\sin\theta_1)^2}}$$

### Q3

$$\boxed{\frac{x_3}{L}=\frac{R}{L}\cos\theta_1+\sqrt{1-\Big(\frac{R}{L}\Big)^2\sin^2\theta_1}}$$

Pour $R/L=1/2$ : $\dfrac{x_3}{L}=\dfrac12\cos\theta_1+\sqrt{1-\dfrac14\sin^2\theta_1}$, fonction $2\pi$-périodique et paire.

- $\theta_1=0$ (et $2\pi$, $4\pi$) : $\boxed{x_3/L=3/2}$, maximum ($O$, $A$, $B$ alignés, bielle dans le prolongement de la manivelle) ;
- $\theta_1=\pi$ (et $3\pi$) : $\boxed{x_3/L=1/2}$, minimum (manivelle repliée sur la bielle) ;
- valeurs intermédiaires : $x_3/L(\pi/2)=\sqrt3/2\simeq0{,}87$, $x_3/L(3\pi/4)\simeq0{,}58$.

Allure sur $[0,4\pi]$ (figure 1) : deux périodes entre $1/2$ et $3/2$, de valeur moyenne voisine de $0{,}93$. Ce n'est pas une sinusoïde : les maxima (en $0$, $2\pi$, $4\pi$) sont plus pointus et les minima (en $\pi$, $3\pi$) plus aplatis.

![Figure 1 — Loi entrée-sortie x₃/L(θ₁) pour R/L = 1/2 sur deux tours, comparée à une sinusoïde de mêmes extrema](/figures/corriges/ccinp_psi_modelisation-et-ingenierie-numerique_2026/q03-course-piston.svg)

| $\theta_1$ | $0$ | $\pi/2$ | $3\pi/4$ | $\pi$ | $3\pi/2$ | $2\pi$ | … | $4\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $x_3/L$ | $1{,}5$ | $0{,}87$ | $0{,}58$ | $0{,}5$ | $0{,}87$ | $1{,}5$ | (périodique) | $1{,}5$ |

### Q4

D'après Q3, $x_3$ décrit $[L-R\,;L+R]$ : la course vaut $2R$. Avec la section $S_p=\pi d_p^2/4$ :

$$C=2R\cdot\frac{\pi d_p^2}{4}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{C=\frac{\pi R\,d_p^2}{2}}$$

### Q5

Le piston est en translation de direction $\vec x_0$ : $v_3=\dot x_3=\Omega_m\,\dfrac{\mathrm dx_3}{\mathrm d\theta_1}$. Le radicande vérifie $L^2-R^2\sin^2\theta_1\ge L^2-R^2>0$, donc la racine est dérivable, et

$$\boxed{v_3=-R\,\Omega_m\sin\theta_1\left(1+\frac{R\cos\theta_1}{\sqrt{L^2-(R\sin\theta_1)^2}}\right)},\qquad\theta_1=\Omega_m t.$$

Le facteur entre parenthèses est strictement positif ($R/\sqrt{L^2-R^2}<1$ pour les valeurs numériques du sujet) : $v_3\le0$ sur $[0,\pi]$, $v_3\ge0$ sur $[\pi,2\pi]$.

### Q6

Pendant $\mathrm dt$, le piston de section $S_p=\pi d_p^2/4$ chasse le volume $S_p\,v_3\,\mathrm dt$, avec $v_3\ge0$ sur $[\pi,2\pi]$ (Q5) :

$$\boxed{q=0\ \ \text{pour }\theta_1\in[0,\pi],\qquad q=\frac{\pi d_p^2}{4}\,v_3\ \ \text{pour }\theta_1\in[\pi,2\pi]}$$

soit, sur $[\pi,2\pi]$, $q=-\dfrac{\pi d_p^2}{4}R\Omega_m\sin\theta_1\left(1+\dfrac{R\cos\theta_1}{\sqrt{L^2-R^2\sin^2\theta_1}}\right)\ge0$.

### Q7

Sur une période $T=2\pi/\Omega_m$, avec $q\,\mathrm dt=S_p\,\mathrm dx_3$ pendant le refoulement :

$$q_{moy}=\frac1T\int_0^Tq\,\mathrm dt=\frac{1}{T}\,\frac{\pi d_p^2}{4}\big[x_3(2\pi)-x_3(\pi)\big]=\frac{1}{T}\,\frac{\pi d_p^2}{4}\,2R=\frac{C\,\Omega_m}{2\pi}$$

$$\boxed{q_{moy}=\frac{R\,d_p^2\,\Omega_m}{4}}\qquad(\mathrm{m^3\cdot s^{-1}},\ \Omega_m\ \text{en rad}\cdot\text{s}^{-1})$$

### Q8

Les mesures sont prises à pas de temps constant sur une période entière (figure 3 : de 0 à 24 ms, soit $T=60/2500$ s). La moyenne temporelle est donc la moyenne arithmétique des échantillons.

```python
def moyenne(q):
    """Débit moyen (m3/s) d'une liste de débits relevés à pas de temps constant."""
    s = 0.0
    for qi in q:
        s = s + qi
    return s / len(q)
```

### Q9

$\Omega_m=2500\times\dfrac{2\pi}{60}\simeq2{,}62\cdot10^2\ \mathrm{rad\cdot s^{-1}}$, puis

$$q_{moy}=\frac{0{,}04\times(0{,}03)^2\times262}{4}=\frac{3{,}6\cdot10^{-5}\times262}{4}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{q_{moy}\simeq2{,}36\cdot10^{-3}\ \mathrm{m^3\cdot s^{-1}}}$$

Écart relatif à la mesure : $\dfrac{2{,}4-2{,}36}{2{,}4}\simeq2\ \%$, du même ordre que la précision de la valeur expérimentale (deux chiffres significatifs). La forme de la courbe confirme l'accord : débit nul pendant la première demi-période, maximum modélisé $8{,}3\cdot10^{-3}\ \mathrm{m^3\cdot s^{-1}}$ vers $t\simeq19{,}5$ ms, comme sur la figure 3. **Le modèle cinématique (piston étanche, fluide incompressible, clapets parfaits) est validé pour le calcul du débit moyen.** Ce débit appartient d'ailleurs à $[q_{\min};q_{\max}]$.

![Figure 2 — Débit instantané modélisé sur un tour de manivelle (T = 24 ms) et débit moyen q_moy ≈ 2,36·10⁻³ m³·s⁻¹](/figures/corriges/ccinp_psi_modelisation-et-ingenierie-numerique_2026/q09-debit-instantane.svg)

### I.2 — Modélisation de la régulation sous la forme d'un schéma-bloc

### Q10

$\varepsilon=U_c-U_{mes}=K_aQ_c-K_qQ_s$. Pour que $\varepsilon=0$ corresponde exactement à $Q_s=Q_c$, il faut $K_aQ_c-K_qQ_c=0$ pour toute consigne :

$$\boxed{K_a=K_q=1\ \mathrm{V\cdot s\cdot m^{-3}}}$$

### Q11

Soit $G(p)=C(p)K_vH(p)K_{pom}=\dfrac{C(p)K_vK_mK_{pom}}{1+\tau_mp}$. Le schéma-bloc donne $Q_s=G\varepsilon-Q_{pc}$ (la perturbation est retranchée) et $\varepsilon=K_aQ_c-K_qQ_s$, d'où $Q_s(1+K_qG)=K_aGQ_c-Q_{pc}$ :

$$H_1=\frac{K_aG}{1+K_qG},\qquad H_2=\frac{-1}{1+K_qG}.$$

Avec $C(p)=1$ et $K=K_qK_vK_mK_{pom}=1\times10\times10\times9\cdot10^{-6}=9\cdot10^{-4}$ :

$$\boxed{H_1(p)=\frac{\dfrac{K_aK_vK_mK_{pom}}{1+K}}{1+\dfrac{\tau_m}{1+K}\,p},\qquad H_2(p)=-\frac{1}{1+K}\cdot\frac{1+\tau_mp}{1+\dfrac{\tau_m}{1+K}\,p}}$$

Numériquement, $H_1(p)\simeq\dfrac{9\cdot10^{-4}}{1+p}$ (gain en $\mathrm{m^3\cdot s^{-1}}$ par $\mathrm{m^3\cdot s^{-1}}$ puisque $K_a=K_q$) et $H_2(p)\simeq-1$.

### Q12

On interprète « non asservi » comme « sans correction » ($C(p)=1$). On a

$$\varepsilon(p)=\frac{K_aQ_c(p)+K_qQ_{pc}(p)}{1+K_qG(p)}.$$

Le système bouclé est stable (pôle $-(1+K)/\tau_m<0$), le théorème de la valeur finale s'applique. Pour des échelons $Q_{c0}/p$ et $Q_{pc0}/p$ :

$$\varepsilon_s=\frac{K_aQ_{c0}}{1+K}\simeq Q_{c0}\neq0,\qquad\varepsilon_{pert}=\frac{K_qQ_{pc0}}{1+K}\simeq Q_{pc0}\neq0.$$

La boucle ouverte $K/(1+\tau_mp)$ est de classe 0 et de gain très faible : le débit obtenu vaut $H_1(0)Q_{c0}\simeq9\cdot10^{-4}Q_{c0}$. **Les exigences de précision ne sont pas respectées.** (En boucle ouverte au sens strict, la conclusion est la même : rien ne corrige l'écart ni la perturbation.)

### I.3 — Mise en place d'un correcteur

### Q13

Avec $C(p)=K_p\dfrac{1+T_ip}{T_ip}$, la boucle ouverte

$$\mathrm{FTBO}(p)=\frac{K_pK_qK_vK_mK_{pom}}{T_i}\cdot\frac{1+T_ip}{p(1+\tau_mp)}$$

est de classe 1. L'intégrateur est placé en amont du point d'entrée de la perturbation $Q_{pc}$. Pour des échelons, si le système corrigé est stable (vérifié en Q15–Q16) :

$$\varepsilon_s=\lim_{p\to0}\frac{K_aQ_{c0}}{1+\mathrm{FTBO}(p)}=0,\qquad\varepsilon_{pert}=\lim_{p\to0}\frac{K_qQ_{pc0}}{1+\mathrm{FTBO}(p)}=0.$$

**Le correcteur PI respecte les deux exigences de précision.**

### Q14

Hors intégrateur, la boucle ouverte n'a qu'un pôle, $-1/\tau_m$, qui est donc le pôle dominant. On place le zéro du correcteur dessus :

$$\boxed{T_i=\tau_m=1\ \text{s}}\qquad\Longrightarrow\qquad\boxed{H_{BO}(p)=\frac{K_{BO}}{p},\quad K_{BO}=\frac{K_pK_qK_vK_mK_{pom}}{T_i}=9\cdot10^{-4}K_p\ \ (\mathrm{s^{-1}})}$$

### Q15

$$MG=-20\log|H_{BO}(j\omega_{180})|\ \text{avec}\ \arg H_{BO}(j\omega_{180})=-180^\circ,\qquad MP=180^\circ+\arg H_{BO}(j\omega_{0\,\text{dB}})\ \text{avec}\ |H_{BO}(j\omega_{0\,\text{dB}})|=1.$$

Ici $H_{BO}(j\omega)=K_{BO}/(j\omega)$ : la phase vaut $-90^\circ$ pour tout $\omega$ et n'atteint jamais $-180^\circ$, d'où $\boxed{MG=+\infty>10\ \text{dB}}$. Le gain coupe 0 dB en $\omega=K_{BO}$, d'où $\boxed{MP=90^\circ>45^\circ}$. Les critères de stabilité sont respectés quel que soit $K_p>0$.

### Q16

Avec $Q_{pc}=0$, $K_qG=H_{BO}$ et $K_a=K_q$ :

$$H_{BF}(p)=\frac{K_a}{K_q}\cdot\frac{H_{BO}}{1+H_{BO}}=\frac{K_{BO}}{p+K_{BO}}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{H_{BF}(p)=\frac{1}{1+\dfrac{p}{K_{BO}}},\quad\tau_{BF}=\frac{1}{K_{BO}}}$$

Premier ordre de gain unitaire : la réponse indicielle $Q_{c0}\big(1-e^{-t/\tau_{BF}}\big)$ est strictement croissante, donc **sans dépassement**. Le critère d'amortissement est respecté pour tout $K_p>0$.

### Q17

Pour un premier ordre, $t_{r5\%}=\tau_{BF}\ln20\simeq3\tau_{BF}=3/K_{BO}$. L'exigence $t_{r5\%}<1$ s impose $K_{BO}>3\ \mathrm{s^{-1}}$, soit $9\cdot10^{-4}K_p>3$ :

$$\boxed{K_{p,\min}=\frac{3}{9\cdot10^{-4}}\simeq3{,}3\cdot10^3}$$

Les marges (Q15), l'absence de dépassement (Q16) et la précision (Q13) ne dépendent pas de $K_p$ : le cahier des charges est entièrement respecté pour $K_p>3{,}3\cdot10^3$.

## Partie II — Régulation des paramètres physico-chimiques de l'eau

### Q18

$M(\mathrm{NaCl})=23{,}0+35{,}5=58{,}5\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}$. La dissolution $\mathrm{NaCl(s)}\to\mathrm{Na^+}+\mathrm{Cl^-}$ est totale et libère une mole de $\mathrm{Cl^-}$ par mole de sel :

$$c_0=\frac{c_m}{M(\mathrm{NaCl})}=\frac{5{,}0}{58{,}5}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{c_0\simeq8{,}5\cdot10^{-2}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}}$$

### Q19

L'eau contient $5\ \mathrm{g\cdot L^{-1}}$ de chlorure de sodium, le sel de l'eau de mer. La salinité de l'eau de mer est d'environ $35\ \mathrm{g\cdot L^{-1}}$, soit sept fois plus : **le goût salé est perceptible mais léger**.

### Q20

Anode (oxydation) : $2\,\mathrm{Cl^-}=\mathrm{Cl_2}+2e^-$. Cathode (réduction de l'eau) : $2\,\mathrm{H_2O}+2e^-=\mathrm{H_2}+2\,\mathrm{HO^-}$. Équation-bilan :

$$\boxed{2\,\mathrm{Cl^-}+2\,\mathrm{H_2O}\longrightarrow\mathrm{Cl_2}+\mathrm{H_2}+2\,\mathrm{HO^-}}$$

$I=jS=4{,}0\cdot10^3\times20\cdot10^{-4}=8{,}0$ A. Deux électrons par molécule de $\mathrm{Cl_2}$ :

$$v(\mathrm{Cl_2})=\frac{I}{2F}=\frac{8{,}0}{1{,}93\cdot10^5}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{v(\mathrm{Cl_2})\simeq4{,}1\cdot10^{-5}\ \mathrm{mol\cdot s^{-1}}\ \ (0{,}15\ \mathrm{mol\cdot h^{-1}})}$$

### Q21

Nombres d'oxydation : $\mathrm{Cl^-}$ ($-\mathrm I$), $\mathrm{Cl_2}$ ($0$), $\mathrm{HClO}$ et $\mathrm{ClO^-}$ ($+\mathrm I$). Le nombre d'oxydation croît vers les potentiels élevés.

- **III = $\mathrm{Cl^-}$** : domaine le plus bas.
- **I = $\mathrm{HClO}$** et **IV = $\mathrm{ClO^-}$** : domaines supérieurs séparés par une frontière verticale (acido-basique, sans échange d'électron), la forme acide à pH faible.
- **II = $\mathrm{Cl_2}$** : petit domaine de degré intermédiaire, entre $\mathrm{Cl^-}$ et $\mathrm{HClO}$, en milieu très acide.

Les pentes le confirment ($E=E^\circ-0{,}06\,\frac mn\,\mathrm{pH}$) : II/III, $\mathrm{Cl_2}+2e^-=2\mathrm{Cl^-}$, horizontale vers 1,45 V ; I/II, $2\mathrm{HClO}+2\mathrm{H^+}+2e^-=\mathrm{Cl_2}+2\mathrm{H_2O}$, pente $-0{,}06$ (de 1,53 à 1,45 V entre pH 0 et 1,3) ; I/III, $\mathrm{HClO}+\mathrm{H^+}+2e^-=\mathrm{Cl^-}+\mathrm{H_2O}$, pente $-0{,}03$ (de 1,45 à 1,23 V entre pH 1,3 et 7,5) ; IV/III, $\mathrm{ClO^-}+2\mathrm{H^+}+2e^-=\mathrm{Cl^-}+\mathrm{H_2O}$, pente $-0{,}06$ (de 1,23 à 0,84 V entre pH 7,5 et 14).

![Figure 3 — Diagramme E-pH du chlore : domaines attribués, droite O₂/H₂O et pH de travail 7,2](/figures/corriges/ccinp_psi_modelisation-et-ingenierie-numerique_2026/q21-diagramme-e-ph.svg)

### Q22

La frontière verticale I/IV est la droite $\mathrm{pH}=\mathrm pK_a$ (égalité des concentrations des deux formes). Elle se situe aux sept huitièmes de l'intervalle $[4;8]$ :

$$\boxed{\mathrm pK_a(\mathrm{HClO/ClO^-})\simeq7{,}5}$$

### Q23

La frontière $\mathrm{O_2/H_2O}$ est $E=1{,}23-0{,}06\,\mathrm{pH}$. Les domaines de $\mathrm{HClO}$ et $\mathrm{ClO^-}$ sont entièrement au-dessus (par exemple, à pH 7,2 : $\mathrm{HClO}$ existe au-dessus de 1,24 V, l'eau n'est stable comme réducteur qu'en dessous de 0,80 V ; à pH 14 : 0,84 V contre 0,39 V). Les domaines sont disjoints : **$\mathrm{HClO}$ et $\mathrm{ClO^-}$ oxydent thermodynamiquement l'eau** :

$$2\,\mathrm{HClO}\longrightarrow2\,\mathrm{Cl^-}+\mathrm{O_2}+2\,\mathrm{H^+},\qquad2\,\mathrm{ClO^-}\longrightarrow2\,\mathrm{Cl^-}+\mathrm{O_2}.$$

On peut néanmoins négliger ces réactions parce qu'elles sont **cinétiquement bloquées** : l'oxydation de l'eau en dioxygène est très lente (forte surtension du couple $\mathrm{O_2/H_2O}$), si bien que ces espèces sont métastables à l'échelle de la journée, comme l'eau de Javel qui se conserve plusieurs mois.

### Q24

$\mathrm{Cl_2}$ n'existe que s'il est à la fois au-dessus de la frontière $\mathrm{Cl_2/Cl^-}$ (1,45 V) et en dessous de la frontière $\mathrm{HClO/Cl_2}$ ($\simeq1{,}53-0{,}06\,\mathrm{pH}$). Ces conditions sont incompatibles pour $\mathrm{pH}>1{,}3$ (point A) : à pH 7,2, $1{,}53-0{,}06\times7{,}2\simeq1{,}10<1{,}45$ V. **Le dichlore n'est pas stable : il se dismute** en $\mathrm{HClO}$ ($+\mathrm I$) et $\mathrm{Cl^-}$ ($-\mathrm I$), dont les domaines ont une partie commune :

$$\boxed{\mathrm{Cl_2}+\mathrm{H_2O}\longrightarrow\mathrm{HClO}+\mathrm{Cl^-}+\mathrm{H^+}}$$

À pH $7{,}2<\mathrm pK_a$, l'espèce de degré $+\mathrm I$ majoritaire est bien $\mathrm{HClO}$.

### Q25

$\dfrac{[\mathrm{ClO^-}]}{[\mathrm{HClO}]}=10^{\mathrm{pH}-\mathrm pK_a}=10^{-0,3}=0{,}5$, donc $c_t=1{,}5\,[\mathrm{HClO}]$ et

$$[\mathrm{HClO}]=\frac{60}{1{,}5}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{[\mathrm{HClO}]=40\ \mu\mathrm{mol\cdot L^{-1}}}$$

**L'eau est bien désinfectée**, mais à la limite haute de la plage $[10;40]\ \mu\mathrm{mol\cdot L^{-1}}$.

### Q26

$U=E_{\mathrm{Pt}}-E_{ref}$. Pour $\mathrm{HClO}+\mathrm{H^+}+2e^-=\mathrm{Cl^-}+\mathrm{H_2O}$, à 25 °C ($c^\circ=1\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$) :

$$E_{\mathrm{Pt}}=E^\circ+\frac{0{,}06}{2}\log\frac{[\mathrm{HClO}][\mathrm{H^+}]}{[\mathrm{Cl^-}]}$$

$$\boxed{U=E^\circ-E_{ref}-0{,}03\,\mathrm{pH}+0{,}03\log\frac{[\mathrm{HClO}]}{c_0}}$$

avec $[\mathrm{Cl^-}]=c_0$ constant (Q43). Numériquement, pour pH 7,2 et $[\mathrm{HClO}]\in[10;40]\ \mu\mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ : $957\ \text{mV}<U<975\ \text{mV}$.

**Signalement d'une erreur d'énoncé.** L'intervalle annoncé, $633$–$669$ mV, s'obtient (634 et 670 mV) en prenant le coefficient $0{,}059$ au lieu de $0{,}059/2$, c'est-à-dire en comptant un seul électron. Or $n=2$, comme le confirme la pente $-0{,}03$ V/pH de la frontière I/III (Q21). On garde l'expression littérale ci-dessus et on utilise l'intervalle de l'énoncé pour la comparaison de Q42, la figure 11 ayant été construite avec la même convention.

### Q27

Le dichlore produit se dismute (Q24) en libérant un ion $\mathrm{H^+}$ par molécule : **la production de dichlore acidifie l'eau, le pH tend à baisser**. Si l'on écrit le bilan global de l'électrolyseur, la cathode produit des ions $\mathrm{HO^-}$ en quantité double : $\mathrm{Cl^-}+2\,\mathrm{H_2O}\to\mathrm{HClO}+\mathrm{H_2}+\mathrm{HO^-}$, et l'effet global est basique (c'est ce que l'on observe en pratique sur les électrolyseurs au sel). Dans les deux cas, **le pH dérive hors de la plage $[7{,}0;7{,}4]$**. Cela modifie la répartition $\mathrm{HClO}/\mathrm{ClO^-}$ (Q25), donc l'efficacité de la désinfection et le confort des baigneurs. Il faut **mesurer le pH en continu et injecter un correcteur de pH** avec la pompe péristaltique.

### Q28

Entrée du capteur : le pH, grandeur chimique sans dimension. Sortie : une tension $U$ (en V), grandeur électrique analogique. Le boîtier de contrôle est un calculateur numérique qui affiche et pilote l'injection : il faut convertir la tension en un nombre binaire, d'où le **CAN** (échantillonnage et quantification sur 12 bits).

$$\boxed{K_{cap}=\frac{10}{14}\simeq0{,}71\ \mathrm{V\ par\ unité\ de\ pH}},\qquad\boxed{K_{CAN}=\frac{2^{12}}{10}=409{,}6\simeq4{,}1\cdot10^2\ \mathrm{V^{-1}}}$$

(La convention $(2^{12}-1)/10=409{,}5\ \mathrm{V^{-1}}$ est équivalente à $0{,}02\ \%$ près.)

### Q29

Le quantum du CAN vaut $q_U=10/4096\simeq2{,}4$ mV ; ramené au pH :

$$\Delta\mathrm{pH}_{\min}=\frac{q_U}{K_{cap}}=\frac{14}{4096}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\Delta\mathrm{pH}_{\min}\simeq3{,}4\cdot10^{-3}}$$

C'est environ 30 fois plus fin que la précision requise (0,1) : **la numérisation n'est pas le maillon limitant, la chaîne de mesure est pertinente**. La précision réelle dépend surtout de l'électrode (étalonnage, dérive).

### Q30

Pour une solution diluée traversée sur une longueur $\ell$ par un rayonnement monochromatique :

$$\boxed{A=\log\frac{I_0}{I}=\sum_i\varepsilon_i\,\ell\,c_i}$$

$A$ absorbance, sans unité ; $I_0$, $I$ intensités incidente et transmise ($\mathrm{W\cdot m^{-2}}$) ; $\varepsilon_i$ coefficient d'absorption molaire de l'espèce $i$ ($\mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot cm^{-1}}$) ; $\ell$ longueur traversée (cm) ; $c_i$ concentration ($\mathrm{mol\cdot L^{-1}}$).

### Q31

À 290 nm, sur la figure 7 :

$$\boxed{\varepsilon_{\mathrm{ClO^-}}\simeq3{,}8\cdot10^2\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot cm^{-1}}},\qquad\boxed{\varepsilon_{\mathrm{HClO}}\simeq35\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot cm^{-1}}}$$

### Q32

Par additivité, $A=\big(\varepsilon_{\mathrm{HClO}}[\mathrm{HClO}]+\varepsilon_{\mathrm{ClO^-}}[\mathrm{ClO^-}]\big)z$, et $[\mathrm{ClO^-}]=\dfrac{K_a}{[\mathrm{H^+}]}[\mathrm{HClO}]$ :

$$A=\alpha_t[\mathrm{HClO}]\,z\qquad\text{avec}\qquad\boxed{\alpha_t=\varepsilon_{\mathrm{HClO}}+\varepsilon_{\mathrm{ClO^-}}\frac{K_a}{[\mathrm{H^+}]}}$$

Contrôle : $35+380\times0{,}5\simeq2{,}2\cdot10^2\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot cm^{-1}}=2{,}2\cdot10^4\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot m^{-1}}$, en accord avec la valeur $2{,}3\cdot10^4$ de l'énoncé.

### Q33

Sur la figure 8, à 290 nm, $\alpha_e\simeq0{,}1\ \mathrm{m^{-1}}$ (lecture à un facteur 2 près, sur le flanc raide qui suit 200 nm). Pour le chlore, $\alpha_t[\mathrm{HClO}]$ vaut $0{,}23\ \mathrm{m^{-1}}$ à $10\ \mu\mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ et $0{,}92\ \mathrm{m^{-1}}$ à $40\ \mu\mathrm{mol\cdot L^{-1}}$. L'eau représente donc 10 à 30 % de l'absorption totale : **on ne peut pas négliger l'absorption des UV par l'eau** (le programme conserve d'ailleurs `alpha_e = 0.1`).

### Q34

$\log\dfrac{I(0)}{I(z)}=\big(\alpha_e+\alpha_t[\mathrm{HClO}]\big)z$ ($[\mathrm{HClO}]$ uniforme), d'où

$$\boxed{I(z)=I_0\,10^{-(\alpha_e+\alpha_t[\mathrm{HClO}])\,z}}$$

### Q35

$$\boxed{E=h\nu=\frac{hc}{\lambda}}$$

$E$ énergie d'un photon (J), $h$ constante de Planck (J·s), $\nu$ fréquence (Hz), $c$ célérité de la lumière dans le vide ($\mathrm{m\cdot s^{-1}}$), $\lambda$ longueur d'onde (m). À 300 nm, $E\simeq6{,}6\cdot10^{-19}$ J, environ 4 eV.

### Q36

Sur une tranche $\mathrm dz$, les probabilités d'absorption d'un photon par l'eau et par le chlore libre sont proportionnelles à $\alpha_e$ et à $\alpha_t[\mathrm{HClO}]$, avec le même facteur. La proportion de photons absorbés par le chlore est donc

$$\boxed{\tau=\frac{\alpha_t[\mathrm{HClO}]}{\alpha_e+\alpha_t[\mathrm{HClO}]}}$$

indépendante de $z$ puisque le milieu est uniforme.

![Figure 4 — Bilan de photons UV dans la colonne d'eau et profil I(z)/I₀ calculé](/figures/corriges/ccinp_psi_modelisation-et-ingenierie-numerique_2026/q36-bilan-photons.svg)

### Q37

La puissance absorbée dans la colonne d'eau de section $S_e$ vaut $S_e\big(I(0)-I(L)\big)$ ; la part $\tau$ est absorbée par le chlore. Chaque photon porte $hc/\lambda$ ; le rendement photochimique vaut 1, donc chaque photon absorbé détruit une molécule. En divisant par $\mathcal N_A$ :

$$v_d=\frac{\tau\,S_e\big(I(0)-I(L)\big)\lambda}{h\,c\,\mathcal N_A}=\tau K_d\big(I(0)-I(L)\big),\qquad\boxed{K_d=\frac{S_e\,\lambda}{h\,c\,\mathcal N_A}}$$

$K_d$ s'exprime en $\mathrm{mol\cdot m^2\cdot J^{-1}}$, donc $K_dI$ en $\mathrm{mol\cdot s^{-1}}$. Avec $\lambda=300$ nm (valeur du programme) : $K_d=\dfrac{28\times3\cdot10^{-7}}{6{,}63\cdot10^{-34}\times3\cdot10^8\times6{,}02\cdot10^{23}}\simeq7{,}0\cdot10^{-5}\ \mathrm{mol\cdot m^2\cdot J^{-1}}$, ce que code la ligne 12 (multiplié par 3600 pour un temps en heures).

### Q38

L'électrolyseur produit $\mathrm{Cl_2}$ à la vitesse $I/(2F)$ (Q20). Chaque $\mathrm{Cl_2}$ se dismute en un $\mathrm{HClO}$ (Q24) :

$$\boxed{v_p=\frac{I}{2F}=\frac{jS}{2F}\simeq4{,}1\cdot10^{-5}\ \mathrm{mol\cdot s^{-1}}}\quad(0{,}15\ \mathrm{mol\cdot h^{-1}},\ \text{ligne 7 du programme}).$$

### Q39

Bilan de matière sur le bassin de volume $V$ constant, de composition uniforme, avec $e(t)\in\{0,1\}$ l'état de l'électrolyseur (figure 12) : $\mathrm d(cV)=e(t)\,v_p\,\mathrm dt-v_d\,\mathrm dt$. En reportant $\tau$ (Q36), $v_d$ (Q37) et $I(L)$ (Q34) :

$$\boxed{V\frac{\mathrm dc}{\mathrm dt}=e(t)\frac{I}{2F}-\frac{\alpha_t\,c}{\alpha_e+\alpha_t\,c}\,K_d\,I_0(t)\left[1-10^{-(\alpha_e+\alpha_t c)L}\right]}\qquad(1)$$

Équation différentielle du premier ordre, non linéaire et non autonome, à résoudre numériquement. (Le modèle de l'énoncé fait porter production et disparition sur $c=[\mathrm{HClO}]$.)

### Q40

L'intensité UV est nulle la nuit (avant 6 h environ et après 22 h), puis suit une cloche maximale vers 14 h, à $1{,}3\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}$. L'éclairement d'une surface horizontale croît avec la hauteur du Soleil, et plus le Soleil est bas, plus le trajet dans l'atmosphère est long (absorption de l'UV par l'ozone, diffusion). Le maximum est au midi solaire, vers 14 h en heure légale d'été (UTC+2). **Phénomène non pris en compte : la couverture nuageuse** (variabilité météorologique). La courbe lisse décrit un ciel clair idéal.

### Q41

Schéma d'Euler explicite $c_{k+1}=c_k+\Delta t\,F(t_k,c_k)$, avec $F$ tirée de (1) :

```python
for k in range(0, len(T)-1) :

    c += [c[k] + dt*(electrolyseur(T[k])*v_p
                     - K_d*phi(T[k])*alpha_t*c[k]/(alpha_e + alpha_t*c[k])
                       *(1 - 10**(-(alpha_e + alpha_t*c[k])*L)))/V]
```

`c += [x]` ajoute l'élément `x` à la liste. **Signalement.** `V = 1.5*S_eau` est en m³ alors que `c` est en $\mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ (`alpha_t*c` doit être en m⁻¹) : il faut diviser par `V*1000` (volume en litres). Avec cette correction, la simulation reproduit la figure 11 ($c$ entre $2\cdot10^{-5}$ et $4\cdot10^{-5}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$). Avec `V`, $c$ croît mille fois trop vite.

### Q42

Les valeurs de la figure 11 vont de $0{,}634$ à $0{,}666$ (les graduations sont en volts malgré la légende « mV ») : $634\ \text{mV}\le U\le666\ \text{mV}$, contenu dans l'intervalle annoncé après Q26 :

$$\boxed{[634;666]\ \text{mV}\subset[633;669]\ \text{mV}}$$

**Les valeurs sont conformes** : la concentration en $\mathrm{HClO}$ reste dans la plage de désinfection toute la journée, en la balayant presque entièrement (minimum vers 17–18 h après la journée de photolyse, maximum la nuit). Le modèle suit bien les mesures. Il est un peu au-dessus des points l'après-midi (de 13 h à 22 h), donc sous-estime légèrement la disparition du chlore (consommation par les matières organiques, non modélisée). Avec l'expression correcte de Q26 ($n=2$), l'intervalle serait $[957;975]$ mV : la comparaison n'a de sens qu'avec la convention commune à l'intervalle annoncé et à la figure 11.

### Q43

Dans le modèle, l'élément chlore suit un cycle fermé : l'électrolyse consomme deux $\mathrm{Cl^-}$ par $\mathrm{Cl_2}$, et la dismutation en restitue un, soit un $\mathrm{Cl^-}$ consommé par $\mathrm{HClO}$ formé ; la photolyse de $\mathrm{HClO}$ ou $\mathrm{ClO^-}$ restitue un $\mathrm{Cl^-}$. Donc $[\mathrm{Cl^-}]+[\mathrm{HClO}]+[\mathrm{ClO^-}]$ est constant, et la variation de $[\mathrm{Cl^-}]$ est au plus de l'ordre de $c_t\sim6\cdot10^{-5}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$, négligeable devant $c_0=8{,}5\cdot10^{-2}\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}$ (moins de 0,1 %). **$[\mathrm{Cl^-}]$ est constante.**

![Figure 5 — Cycle de l'élément chlore dans le modèle : électrolyse, dismutation, photolyse](/figures/corriges/ccinp_psi_modelisation-et-ingenierie-numerique_2026/q43-cycle-chlore.svg)

En réalité, le bassin n'est pas fermé. Le sel part avec l'eau (lavages du filtre à contre-courant, éclaboussures, baigneurs, débordements par temps de pluie, vidanges partielles), et une partie du chlore sort du cycle (chloramines avec les matières azotées, chlorates formés à l'anode). Les appoints d'eau douce diluent le sel. D'où un contrôle au moins une fois par saison et un ajout de sel si nécessaire.

### Q44

Sur la figure 12, l'électrolyseur fonctionne de 0 h à 2 h et de 11 h à 24 h :

$$\Delta t_{on}=2+13\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\Delta t_{on}=15\ \text{h}}$$

### Q45

À l'anode, la vague $\mathrm{Cl^-}\to\mathrm{Cl_2}$ (à partir de 1,4 V) précède celle de l'oxydation de l'eau (à partir de 1,7 V) : c'est le dichlore qui se forme. À la cathode, l'eau est réduite (à partir de $-0{,}8$ V) bien avant $\mathrm{Na^+}$ (vers $-2{,}7$ V). À $|j|=4{,}0\ \mathrm{kA\cdot m^{-2}}$ (0,2 V et $1\ \mathrm{kA\cdot m^{-2}}$ par carreau), on lit $E_a\simeq+1{,}6$ V et $E_c\simeq-1{,}3$ V. Sans chute ohmique :

$$U=E_a-E_c\quad\Longrightarrow\quad\boxed{U\simeq2{,}9\ \text{V}}$$

Puissance pendant le fonctionnement : $P=UI=2{,}9\times8{,}0\simeq23$ W. Énergie consommée sur une journée (15 h, Q44) :

$$W=P\,\Delta t_{on}=23\times15\simeq3{,}5\cdot10^2\ \text{Wh}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{W\simeq0{,}35\ \text{kWh}}$$

(Le kWh est une unité d'énergie : c'est l'énergie consommée qui est demandée.)

### Q46

Le volet occulte la surface : $I_0\simeq0$, donc $v_d\simeq0$, et **la photodégradation du chlore libre par les UV est supprimée**. Le chlore actif se maintient sans production, si bien que la durée de fonctionnement de l'électrolyseur, sa consommation électrique (Q45) et l'usure des électrodes diminuent. Effets secondaires : le volet limite l'évaporation et les pertes thermiques, et empêche l'entrée de débris qui consomment du chlore.

**FIN**