Physique

# CCINP PC — Physique 2026 · Corrigé guidé

*Corrigé rédigé par IA (La Belle Copie), non officiel. Signalez toute erreur.*

## Présentation du sujet

L'épreuve (PC2P, 4 heures, **calculatrice interdite**) porte sur un **appareil à force dynamique de surface** (dSFA). Une sphère oscille à quelques dizaines de hertz, à une distance de quelques nanomètres à quelques centaines de nanomètres d'un plan. On mesure la force que le film de liquide confiné exerce sur le plan. Le sujet comporte 45 questions, en trois parties indépendantes qui suivent la chaîne de mesure.

- **Partie I — Le capteur de force (Q1 à Q21).** La sous-partie I.1 traite de l'interférométrie : un Michelson en lame d'air (différence de marche, anneaux, contact optique), puis en coin d'air (localisation, franges d'égale épaisseur). On établit ensuite la formule de Fresnel, on choisit le point de fonctionnement à sensibilité maximale et on étudie la détection par deux photodiodes et un convertisseur courant-tension à ALI. La sous-partie I.2 modélise le cantilever comme un oscillateur forcé amorti : fonction de transfert du second ordre, résonance, puis exploitation de deux graphes expérimentaux (lecture de $\omega_0$ et $Q$, méthode de Cleveland).
- **Partie II — Le capteur de déplacement (Q22 à Q42).** La sous-partie II.1 traite du condensateur plan (symétries, invariances, équations de Maxwell, énergie, capacité) et du circuit $LC$, dont la fréquence mesure la distance entre armatures. La sous-partie II.2 est de la mécanique des fluides : conservation de la masse, incompressibilité, puis écoulement d'air écrasé entre les armatures. On y fait des ordres de grandeur (Reynolds, terme instationnaire), on simplifie l'équation de Navier-Stokes, on obtient un profil de Poiseuille, le champ de pression et enfin la force parasite.
- **Partie III — La nanorhéologie (Q43 à Q45).** On définit l'impédance hydrodynamique à partir de la force de Reynolds, puis on confronte le modèle à des données réelles et on mesure une longueur de glissement.

**Notions mobilisées** : interférences à deux ondes par division d'amplitude, lentilles minces, ALI idéal, oscillateur forcé et notation complexe, électrostatique (symétries, Maxwell-Gauss et Maxwell-Faraday, énergie), circuit $LC$, bilans de masse, dérivée particulaire, Navier-Stokes, nombre de Reynolds, analyse en ordres de grandeur.

**Difficulté.** Elle est moyenne et régulière. Beaucoup de questions sont des questions de cours bien posées : Q1, Q2, Q8, Q11, Q16 à Q18, Q22 à Q27, Q30 à Q32. Les points délicats sont les lectures graphiques (Q19 à Q21, Q44, Q45), les signes (Q7, Q12, Q41, Q43) et les raisonnements en échelles de la sous-partie II.2 (Q35 à Q37). Les applications numériques doivent être données avec **un seul chiffre significatif** et sans calculatrice : il faut arrondir tôt et compter les puissances de dix à part.

**À ne pas laisser passer** : Q1, Q4, Q8, Q11, Q12, Q15 à Q17, Q22 à Q28, Q30 à Q33, Q38, Q43.

**Gestion du temps** : environ 1 h 30 pour la partie I (21 questions, dont plusieurs lectures de graphes), 1 h 45 pour la partie II, 30 min pour la partie III, et un quart d'heure de relecture. Les parties sont indépendantes. Les résultats intermédiaires sont presque tous donnés (Q8, Q10, Q16, Q28, Q34, Q37, Q39, Q40, force de Reynolds), ce qui permet de repartir à tout moment.

## Partie I — Mesure de la force s'exerçant sur le plan

La sous-partie I.1 convertit un déplacement de quelques picomètres en tension. On passe d'abord en lame d'air pour régler le contact optique, puis en coin d'air pour travailler à mi-frange avec deux photodiodes. La sous-partie I.2 relie ce déplacement à la force par la fonction de transfert de l'oscillateur, qu'il faut étalonner.

### Question 1
> [!INDICATION]
> Commencer par le modèle équivalent du Michelson : remplacer l'un des miroirs par son image à travers la séparatrice.

> [!INDICATION]
> Les deux rayons émergents sont parallèles. Utiliser un plan d'onde commun (théorème de Malus) pour comparer leurs chemins optiques.

#### Solution
On remplace $M_2$ par son image $M_2'$ par la séparatrice. Le miroir à 45° ne fait que replier le bras 1. L'interféromètre équivaut alors à une **lame d'air** d'épaisseur $e$, limitée par $M_1$ et $M_2'$ parallèles.

![Figure 1 — Lame d'air équivalente : le rayon d'incidence i donne (1), réfléchi en I sur M₂′, et (2), réfléchi en J sur M₁ ; KH est un plan d'onde commun](/figures/corriges/ccinp_pc_physique_2026/q01-lame-air.svg)

Ce schéma est à reproduire sur la copie. $H$ est le pied de la perpendiculaire abaissée de $K$ sur le rayon (1).

Le plan $KH$, orthogonal aux rayons émergents, est un plan d'onde. D'après le théorème de Malus, la différence de marche à l'infini vaut, avec $n=1$ et sans déphasage de réflexion,
$$\delta=(IJ+JK)-IH .$$
Or $IJ=JK=e/\cos i$, $IK=2e\tan i$ et $IH=IK\sin i=2e\sin^2 i/\cos i$, d'où
$$\boxed{\delta=\frac{2e}{\cos i}(1-\sin^2 i)=2e\cos i}$$

> [!PIEGE]
> Oublier le segment $IH$ donne $2e/\cos i$, qui croît avec $i$. Contrôle : on doit trouver une différence de marche maximale en incidence normale, puisque l'ordre d'interférence est maximal au centre des anneaux.

> [!JURY]
> Le schéma est explicitement demandé : il doit faire apparaître la lame équivalente, l'angle $i$, les deux rayons et le plan d'onde qui sert au calcul.

### Question 2
> [!INDICATION]
> De quelle variable dépend $\delta$ à épaisseur fixée ?

> [!INDICATION]
> Une lentille associe un point de son plan focal image à chaque direction de rayons. Que reste-t-il si le faisceau ne contient qu'une seule direction ?

#### Solution
À $e$ fixé, $\delta=2e\cos i$ ne dépend que de l'inclinaison $i$. Tous les rayons de même inclinaison ont le même état d'interférence : ce sont des **franges d'égale inclinaison**. Le système est invariant par rotation autour de la normale aux miroirs, donc les rayons de même inclinaison forment un cône d'axe cette normale. La lentille les fait converger sur le cercle de rayon $f'\tan i$ centré au foyer, d'où des anneaux concentriques.

Sans condenseur, le faisceau laser est parallèle et n'éclaire les miroirs que sous l'incidence $i\simeq0$. La lentille concentre tout au foyer image : on n'observe **qu'un point lumineux**, dont l'éclairement dépend de $2e/\lambda$, et aucun anneau. Le condenseur fournit la diversité d'incidences qui permet de voir les anneaux.

### Question 3
> [!INDICATION]
> Faire un développement limité de $\cos i$ aux petits angles et écrire l'ordre d'interférence $p(i)$.

> [!INDICATION]
> Distinguer deux choses : le rayon d'un anneau d'ordre $p$ fixé, et le rayon du $k$-ième anneau compté depuis le centre. Comment chacun varie-t-il quand $e$ diminue ?

#### Solution
Au contact optique, $e=0$. Aux petits angles,
$$p(i)=\frac{2e\cos i}{\lambda}\simeq p_0-\frac{e\,i^2}{\lambda},\qquad p_0=\frac{2e}{\lambda}.$$
L'ordre est maximal au centre. Un anneau d'ordre $p$ fixé est défini par $\cos i=p\lambda/(2e)$ : quand $e$ diminue, $\cos i$ doit augmenter, donc $i$ diminue. **Les anneaux rentrent vers le centre et y disparaissent**, et le champ en contient de moins en moins.

Le $k$-ième anneau brillant compté depuis le centre vérifie $p_0-p=k-\varepsilon$ ($\varepsilon\in[0,1[$ fixé par $p_0$), d'où
$$\rho_k\simeq f'\sqrt{\frac{(k-\varepsilon)\lambda}{e}}\propto e^{-1/2}.$$
Les anneaux qui restent sont donc de plus en plus grands et espacés.

**Pour atteindre le contact optique, il faut translater $M_1$ dans le sens qui augmente le rayon des anneaux.** À la limite, l'écran est uniformément éclairé (teinte plate).

> [!PIEGE]
> « Les anneaux grossissent » ne veut pas dire « les anneaux sortent du centre ». Quand $e$ diminue, les anneaux grossissent **et** rentrent vers le centre ; quand $e$ augmente, ils sortent du centre et se resserrent.

> [!METHODE]
> En lame d'air, on se repère toujours par l'ordre au centre $p_0=2e/\lambda$ : chaque fois qu'un anneau disparaît au centre, $e$ a diminué de $\lambda/2$.

### Question 4
> [!INDICATION]
> Écrire la longueur de chaque bras depuis la séparatrice en lisant la figure 2.

#### Solution
Le contact optique correspond à des bras de même longueur optique. Le bras 1 mesure $d$ (de la séparatrice au miroir à 45°) plus $d_1$ (jusqu'à $M_1$). Le bras 2 mesure $d_2$ (pour $x=0$) :
$$\boxed{d+d_1=d_2}$$

### Question 5
> [!INDICATION]
> Où sont localisées les franges d'un coin d'air éclairé sous incidence quasi normale ?

> [!INDICATION]
> L'écran doit recevoir l'image de ce lieu de localisation : relation de conjugaison de Descartes, en faisant attention aux signes.

#### Solution
En coin d'air, les franges sont **localisées sur les miroirs** (au voisinage de $M_2$, à la distance $D$ de la lentille). L'écran doit être conjugué de ce plan par $(\mathcal L')$. Avec $\overline{OA}=-D$ et $\overline{OA'}=D'$, la relation $\dfrac{1}{\overline{OA'}}-\dfrac1{\overline{OA}}=\dfrac1{f'}$ donne
$$\frac1{D'}+\frac1D=\frac1{f'},\qquad\boxed{D'=\frac{Df'}{D-f'}}$$
L'image est réelle si $D>f'$, ce que permet une lentille de courte focale.

> [!PIEGE]
> Placer l'écran dans le plan focal image, c'est le réglage de la lame d'air (franges à l'infini), pas celui du coin d'air.

### Question 6
> [!INDICATION]
> Exprimer l'épaisseur locale $e_0(y)$ pour un petit angle, puis chercher les lieux d'égale différence de marche.

> [!INDICATION]
> L'interfrange demandé est celui de l'écran : penser au grandissement de la lentille.

#### Solution
Pour $\alpha$ petit, $e_0(y)\simeq\alpha y$, donc $\delta=2\alpha y$ ne dépend que de $y$. Les franges sont **rectilignes, parallèles à l'arête du coin** : ce sont des **franges d'égale épaisseur**. Sur les miroirs, deux franges brillantes consécutives sont séparées de $\Delta y=\lambda/(2\alpha)$. Le grandissement de la lentille vaut $\gamma=-D'/D$, donc l'interfrange sur l'écran est
$$\boxed{i_e=\frac{D'}{D}\cdot\frac{\lambda}{2\alpha}}$$

> [!PIEGE]
> Répondre $\lambda/(2\alpha)$, c'est donner l'interfrange sur les miroirs. L'énoncé fournit $D$ et $D'$ justement pour qu'on applique le grandissement.

### Question 7
> [!INDICATION]
> Seul le bras 2 change. De combien varie son chemin optique, sachant qu'il est parcouru à l'aller et au retour ?

> [!INDICATION]
> Fixer une convention pour $\delta$ (bras 1 moins bras 2, par exemple) et s'y tenir. La forme imposée en Q8 permet de contrôler le résultat.

#### Solution
On pose $\delta=\mathcal L_1-\mathcal L_2$. La longueur du bras 2 passe de $d_2$ à $d_2-x$, et ce bras est parcouru deux fois : $\mathcal L_2$ diminue de $2x$. Ni le bras 1, ni l'inclinaison $\alpha$, ni la position $y$ du point ne changent. Donc
$$\boxed{\delta(x)=\delta_0+2x}$$
Avec la convention $\delta=\mathcal L_2-\mathcal L_1$, on aurait $\delta=\delta_0-2x$ : seul le signe de $\Psi$ changerait en Q8.

### Question 8
> [!INDICATION]
> Partir de l'éclairement de la somme de deux ondes cohérentes : moyenne temporelle du carré de la somme des signaux.

> [!INDICATION]
> Particulariser à deux ondes de même éclairement, puis reporter $\delta(x)$ et identifier terme à terme avec la forme donnée.

#### Solution
Pour deux ondes synchrones et cohérentes $s_i=A_i\cos(\omega t-\varphi_i)$, on a $\mathcal E=K\langle(s_1+s_2)^2\rangle$. Le terme croisé vaut $2K\langle s_1s_2\rangle=KA_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)$, d'où la **formule de Fresnel**
$$\mathcal E=\mathcal E_1+\mathcal E_2+2\sqrt{\mathcal E_1\mathcal E_2}\cos\varphi,\qquad\varphi=\frac{2\pi\delta}{\lambda}.$$
Avec $\mathcal E_1=\mathcal E_2=\mathcal E_0$ et $\delta=\delta_0+2x$ :
$$\mathcal E=2\mathcal E_0\left[1+\cos\left(\frac{4\pi x}{\lambda}+\frac{2\pi\delta_0}{\lambda}\right)\right],$$
$$\boxed{\mathcal E_{max}=4\mathcal E_0,\qquad\Psi=\frac{2\pi\delta_0}{\lambda}}$$

> [!PIEGE]
> $\mathcal E_{max}=4\mathcal E_0$ et non $2\mathcal E_0$ : en interférence constructive, l'amplitude double, donc l'éclairement quadruple.

### Question 9
> [!INDICATION]
> Dériver par rapport à $x$, puis regarder le module en $x=0$ comme une fonction de $\Psi$.

#### Solution
$$\boxed{S=\left|\frac{\mathrm d\mathcal E}{\mathrm dx}\right|=\frac{2\pi\mathcal E_{max}}{\lambda}\left|\sin\left(\frac{4\pi x}{\lambda}+\Psi\right)\right|}$$
En $x=0$, $S=\dfrac{2\pi\mathcal E_{max}}{\lambda}|\sin\Psi|$, maximale pour
$$\boxed{\Psi=\frac\pi2+n\pi,\ n\in\mathbb Z}$$
Ce sont des points à mi-frange ($\mathcal E=\mathcal E_{max}/2$), là où la sinusoïde a la plus forte pente.

> [!METHODE]
> Pour mesurer finement une petite variation, on se place là où la réponse est la plus raide (mi-frange), pas là où le signal est le plus grand (frange brillante, où la sensibilité est nulle).

### Question 10
> [!INDICATION]
> Choisir deux valeurs consécutives de la famille trouvée en Q9, puis développer au premier ordre en $x/\lambda$.

#### Solution
On prend $\Psi_1=\pi/2$ et $\Psi_2=3\pi/2$. Alors $\cos(u+\pi/2)=-\sin u$ et $\cos(u+3\pi/2)=\sin u$, avec $u=4\pi x/\lambda\ll1$ puisque $x\ll\lambda$, donc $\sin u\simeq u$ :
$$\boxed{\mathcal E_1=\frac{\mathcal E_{max}}{2}\left(1-\frac{4\pi x}{\lambda}\right),\qquad\mathcal E_2=\frac{\mathcal E_{max}}{2}\left(1+\frac{4\pi x}{\lambda}\right)}$$
Les deux points de l'écran sont distants d'une demi-interfrange.

![Figure 2 — Éclairements des deux photodiodes (Ψ = π/2 et Ψ = 3π/2) : en x = 0, mi-frange et pentes opposées](/figures/corriges/ccinp_pc_physique_2026/q09-points-fonctionnement.svg)

### Question 11
> [!INDICATION]
> Sur quelle entrée de l'ALI la sortie est-elle rebouclée ?

> [!INDICATION]
> En régime linéaire, que vaut $V_+-V_-$ pour un ALI idéal, et à quels potentiels sont reliées les bornes de la photodiode ?

#### Solution
$R_1$ relie la sortie à l'entrée inverseuse : c'est une rétroaction négative, indice d'un fonctionnement en régime linéaire. L'ALI idéal impose alors $V_+=V_-$. Comme $V_+=0$, on a $V_-=0$ (masse virtuelle). La photodiode est branchée entre l'entrée inverseuse et la masse, deux points au même potentiel : la tension à ses bornes est nulle, **elle est en court-circuit** et débite $I_{cc}=\beta\mathcal E$.

> [!JURY]
> On attend la chaîne complète des arguments : rétroaction sur l'entrée inverseuse, donc régime linéaire, donc $V_+=V_-$, donc tension nulle aux bornes de la photodiode. Écrire seulement $V_+=V_-$ sans le justifier ne démontre rien.

### Question 12
> [!INDICATION]
> Loi des nœuds à l'entrée inverseuse, avec des courants d'entrée nuls. Lire attentivement le sens de la flèche $I_{cc}$.

#### Solution
Aucun courant n'entre dans l'ALI. Sur la figure 4, $I_{cc}$ circule de la photodiode vers la masse : ce courant quitte le nœud inverseur à travers la photodiode, il y arrive donc par $R_1$ depuis la sortie. D'où $U_s-0=R_1I_{cc}$ :
$$\boxed{U_s=\beta R_1\,\mathcal E}$$

> [!PIEGE]
> Recopier par réflexe le signe « $-$ » du montage inverseur usuel. Le signe se lit sur la figure, et il conditionne le signe de $U_{opt}$.

### Question 13
> [!INDICATION]
> Reporter $\mathcal E_1$ et $\mathcal E_2$ dans les tensions : quelles grandeurs disparaissent dans le rapport ?

> [!INDICATION]
> Pour l'application numérique, isoler la mantisse et les puissances de dix ; $4\pi\simeq13$.

#### Solution
$U_2-U_1=\beta R_1\mathcal E_{max}\,\dfrac{4\pi x}{\lambda}$ et $U_1+U_2=\beta R_1\mathcal E_{max}$, d'où
$$\boxed{U_{opt}=\frac{4\pi K}{\lambda}x}$$
La mesure est linéaire en $x$ et ne dépend ni de la puissance du laser, ni de $\beta$, ni de $R_1$. On en déduit
$$x_{min}=\frac{\lambda U_{opt,min}}{4\pi K}=\frac{633\cdot10^{-9}\times2\cdot10^{-4}}{4\pi\times10}\simeq\frac{1{,}3\cdot10^{-10}}{1{,}3\cdot10^2},\qquad\boxed{x_{min}\simeq1\cdot10^{-12}\ \text{m}}$$
C'est environ cent fois moins qu'un diamètre atomique. L'hypothèse $x\ll\lambda$ est très largement vérifiée.

> [!METHODE]
> Le rapport (différence)/(somme) de deux signaux en opposition est un montage différentiel classique : il double la sensibilité et élimine les fluctuations communes (puissance de la source, gain des détecteurs).

### Question 14
> [!INDICATION]
> Que représentent physiquement le ressort et l'amortisseur de la figure 5 dans le dispositif réel de la figure 1 ?

#### Solution
$\vec F_r$ traduit l'**élasticité du cantilever** $L_2$. La lame fléchie exerce une force de rappel, proportionnelle à la déformation tant que celle-ci reste petite (loi de Hooke). $\vec f_v$ traduit la **dissipation d'énergie** : frottement fluide de l'air sur le porte-plan en mouvement et frottements internes de la lame. À faible vitesse, ces frottements sont proportionnels à la vitesse.

### Question 15
> [!INDICATION]
> Signal complexe = amplitude complexe $\times\,e^{j\omega t}$, et la grandeur physique en est la partie réelle.

#### Solution
$$\boxed{\underline F(t)=\underline{F_1}e^{j\omega t},\ \underline{F_1}=F_1e^{j\psi};\qquad\underline x(t)=\underline{x_1}e^{j\omega t},\ \underline{x_1}=x_1e^{j\varphi}}$$
avec $F=\mathrm{Re}\,\underline F$ et $x=\mathrm{Re}\,\underline x$.

### Question 16
> [!INDICATION]
> Principe fondamental de la dynamique pour le solide, dans le référentiel galiléen du bâti, projeté sur $\vec u_x$.

> [!INDICATION]
> En régime sinusoïdal forcé, dériver par rapport au temps revient à multiplier par $j\omega$. Diviser par $k$ et identifier.

#### Solution
On a $m\ddot x=-kx-\mu\dot x+F(t)$ (le poids et la réaction n'ont pas de composante selon $\vec u_x$). En complexes, $(k-m\omega^2+j\mu\omega)\underline{x_1}=\underline{F_1}$, donc
$$\underline H_m=\frac{k\underline{x_1}}{\underline{F_1}}=\frac{1}{1+j\dfrac{\mu\omega}{k}-\dfrac{m\omega^2}{k}},\qquad\boxed{\omega_0=\sqrt{\frac km},\quad Q=\frac{k}{\mu\omega_0}=\frac{\sqrt{km}}{\mu}}$$
$\omega_0$ est la pulsation des oscillations libres non amorties. $Q$ mesure la faiblesse de l'amortissement : il donne l'ordre du nombre d'oscillations visibles en régime libre et l'acuité de la résonance (largeur relative $\simeq1/Q$, $|\underline H_m(\omega_0)|=Q$).

> [!PIEGE]
> Vérifier l'homogénéité : $\sqrt{km}$ et $\mu$ s'expriment tous deux en kg·s⁻¹. Écrire $Q=\mu/\sqrt{km}$ (l'inverse) conduirait à un facteur de qualité absurde en Q19.

### Question 17
> [!INDICATION]
> Module d'un quotient : $1/|\text{dénominateur}|$.

#### Solution
$$\boxed{|\underline H_m|=\frac{1}{\sqrt{(1-\xi^2)^2+\xi^2/Q^2}}}$$
Contrôles : $|\underline H_m|\to1$ quand $\xi\to0$ (régime quasi statique, $F_1=kx_1$) et $|\underline H_m|\sim1/\xi^2$ à haute fréquence.

### Question 18
> [!INDICATION]
> Maximiser $|\underline H_m|$ revient à minimiser le dénominateur. Poser $X=\xi^2$.

> [!INDICATION]
> Le point critique doit correspondre à une pulsation réelle non nulle : c'est de là que vient la condition sur $Q$.

#### Solution
On pose $D(X)=(1-X)^2+X/Q^2$ pour $X\ge0$. Alors $D'(X)=-2(1-X)+1/Q^2$ s'annule en $X_r=1-\dfrac1{2Q^2}$, qui est un minimum car $D''=2>0$. La résonance existe si et seulement si $X_r>0$ :
$$\boxed{Q>\frac1{\sqrt2},\qquad\omega_r=\omega_0\sqrt{1-\frac1{2Q^2}}}$$
Si $Q\le1/\sqrt2$, $D$ croît sur $\mathbb R_+$ et il n'y a pas de résonance. On a $\omega_r\simeq\omega_0$ si $\boxed{Q\gg1}$ : l'écart relatif vaut $\simeq1/(4Q^2)$, soit 1 % pour $Q=5$.

> [!PIEGE]
> Ne pas confondre avec $Q>1/2$, qui est la condition du régime libre pseudo-périodique. La résonance en élongation exige $Q>1/\sqrt2$.

### Question 19
> [!INDICATION]
> Repérer sur le graphe le plateau basse fréquence et la position du pic. Que valent-ils dans le modèle de Q17 et Q18 ?

> [!INDICATION]
> Pour $Q\gg1$, que vaut $|\underline H_m|$ au maximum ? Attention à l'échelle logarithmique de l'axe vertical.

#### Solution
Le plateau vaut 1, conformément à Q17, ce qui valide la lecture. Le pic, très fin, se situe à $f\simeq35$ Hz. On a donc $Q\gg1$, puis $f_0\simeq f_r$ et
$$\omega_0\simeq2\pi\times35\simeq2{,}2\cdot10^2\ \text{rad·s}^{-1},\qquad\boxed{\omega_0\simeq2\cdot10^2\ \text{rad·s}^{-1}}$$
Au maximum, $|\underline H_m|_{max}=\dfrac{2Q^2}{\sqrt{4Q^2-1}}\simeq Q$. Le sommet se lit vers 90, donc
$$\boxed{Q\simeq1\cdot10^2}$$

> [!PIEGE]
> Vouloir mesurer $Q$ par la largeur de la bande passante : elle vaut ici $f_0/Q\simeq0{,}4$ Hz, ce qui est illisible sur ce graphe. La hauteur du pic rapportée au plateau est la bonne méthode.

### Question 20
> [!INDICATION]
> Avant de lire le graphe, écrire $1/\omega_0^2$ en fonction de $m_a$ : quelle forme le modèle prévoit-il ?

> [!INDICATION]
> Identifier la pente et l'ordonnée à l'origine. Attention aux facteurs $10^{-6}$ et $10^{-3}$ portés par les axes, et à l'axe vertical qui ne part pas de zéro.

#### Solution
On a $\omega_0^2=k/(m+m_a)$, donc
$$\frac1{\omega_0^2}=\frac mk+\frac{m_a}k :$$
c'est une droite de pente $1/k$ et d'ordonnée à l'origine $m/k$. Sur la figure 7, la droite passe par $(0\,;\,19{,}2\cdot10^{-6})$ et environ $(4{,}1\cdot10^{-3}\,;\,20{,}65\cdot10^{-6})$ :
$$\frac1k\simeq\frac{1{,}45\cdot10^{-6}}{4{,}1\cdot10^{-3}}\simeq3{,}5\cdot10^{-4}\ \text{s}^2\text{·kg}^{-1},\qquad\boxed{k\simeq3\cdot10^3\ \text{N·m}^{-1}}$$
L'ordonnée à l'origine donne la **masse $m$ du plan et du porte-plan** : $m=k\times19{,}2\cdot10^{-6}\simeq\boxed{6\cdot10^{-2}\ \text{kg}}$ (entre 5 et $6\cdot10^{-2}$ kg selon la lecture). Contrôle : $1/\sqrt{19{,}2\cdot10^{-6}}\simeq2{,}3\cdot10^2$ rad/s, soit $f_0\simeq36$ Hz, en accord avec Q19.

> [!METHODE]
> Méthode de Cleveland : on linéarise une loi en $1/\sqrt{m}$ en traçant $1/\omega_0^2$ en fonction de la masse ajoutée. La pente donne la raideur, et l'ordonnée à l'origine donne la masse propre, inaccessible directement.

### Question 21
> [!INDICATION]
> La relation entre $F_1$ et $x_1$ fait intervenir $|\underline H_m|$ à la fréquence de travail. Est-on loin de la résonance à 40 Hz ?

> [!INDICATION]
> Lire $|\underline H_m|(40\text{ Hz})$ sur la figure 6, en déduire $k$ et comparer à Q20.

#### Solution
En module, $F_1=kx_1/|\underline H_m|$, donc $k=F_1|\underline H_m|(40\text{ Hz})/x_1$. La figure 6 donne $|\underline H_m|\simeq3$ à 40 Hz, juste au-dessus du pic :
$$k\simeq\frac{2\cdot10^{-6}\times3}{2\cdot10^{-9}},\qquad\boxed{k\simeq3\cdot10^3\ \text{N·m}^{-1}}$$
**Commentaire** : cette valeur coïncide avec celle de la méthode de Cleveland (Q20), ce qui valide l'étalonnage du capteur. À 40 Hz, on est trop près de la résonance pour utiliser la relation statique $F_1=kx_1$, qui donnerait $10^3$ N/m, trois fois moins. La pente de $|\underline H_m|$ est forte à cette fréquence : selon que $f_0$ vaut 35 ou 36 Hz, le modèle donne $|\underline H_m|$ entre 3 et 5. L'accord n'est donc garanti qu'à environ 50 % près.

> [!PIEGE]
> Lire $|\underline H_m|$ au sommet du pic (environ 100) au lieu de 40 Hz conduit à $k\sim10^5$ N/m, en contradiction flagrante avec Q20.

## Partie II — Mesure du déplacement relatif entre la sphère et le plan

La sous-partie II.1 est de l'électrostatique de base : on obtient la capacité d'un condensateur plan, puis la sensibilité d'une mesure de distance par la fréquence d'un circuit $LC$. La sous-partie II.2 est le cœur du sujet. Un film d'air écrasé produit une force visqueuse. On l'obtient par une suite de simplifications en ordres de grandeur, qui préparent le modèle de Reynolds de la partie III.

### Question 22
> [!INDICATION]
> Comparer les deux longueurs du problème pour justifier l'approximation des armatures infinies.

> [!INDICATION]
> Plans de symétrie passant par $M$ pour la direction du champ, invariances de la distribution pour ses variables.

#### Solution
On a $\ell/R\simeq5\cdot10^{-5}/3\cdot10^{-2}\simeq2\cdot10^{-3}\ll1$. Les effets de bord ne concernent qu'une couronne de largeur de l'ordre de $\ell$. Ailleurs, les armatures se comportent comme des plans infinis.

Sous cette hypothèse, en un point $M$ entre les armatures, les plans $(M,\vec u_r,\vec u_x)$ et $(M,\vec u_\theta,\vec u_x)$ sont des plans de symétrie de la distribution. $\vec E(M)$ appartient à leur intersection, donc $\vec E=E\,\vec u_x$. La distribution est invariante par rotation autour de $(Ox)$, donc $E$ ne dépend pas de $\theta$. Elle est aussi invariante par toute translation parallèle aux armatures, donc $E$ ne dépend pas de $r$ :
$$\boxed{\vec E=E(x)\,\vec u_x}$$

> [!PIEGE]
> Les plans de symétrie donnent la **direction** du champ, les invariances donnent les **variables** dont il dépend. Ne pas mélanger les deux arguments. Le plan médian $x=\ell/2$ est un plan d'antisymétrie (il échange $+Q$ et $-Q$), mais il n'apporte rien de plus ici.

### Question 23
> [!INDICATION]
> Quelle équation de Maxwell fait intervenir la densité volumique de charge ? Que vaut celle-ci entre les armatures ?

#### Solution
Les charges sont portées par les surfaces des armatures : entre elles, $\rho=0$. L'équation de Maxwell-Gauss donne $\mathrm{div}\,\vec E=\dfrac{\mathrm dE}{\mathrm dx}=0$ (formulaire, avec $b_r=b_\theta=0$). **Le champ est uniforme.**

### Question 24
> [!INDICATION]
> Maxwell-Faraday en régime statique : que peut-on dire d'un champ de rotationnel nul ?

> [!INDICATION]
> Intégrer $E=-\mathrm dV/\mathrm dx$ entre les deux armatures, avec l'orientation de $(Ox)$ de la figure 8 (de $O$ vers $A$).

#### Solution
En statique, $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec E=-\partial\vec B/\partial t=\vec0$, donc $\vec E$ dérive d'un potentiel :
$$\boxed{\vec E=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,V}$$
Avec $E$ uniforme, $V_A-V_O=-E\ell$, d'où
$$\boxed{\vec E=\frac{U}{\ell}\vec u_x}$$
Le champ va de l'armature positive $O$ vers l'armature négative $A$.

> [!JURY]
> La relation doit être justifiée : il faut citer Maxwell-Faraday et le passage à la limite statique, et ne pas se contenter d'écrire $\vec E=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,V$.

### Question 25
> [!INDICATION]
> La densité d'énergie est uniforme : l'intégrale se réduit à un produit par un volume.

#### Solution
$$\boxed{E_e=\frac{\varepsilon_0}{2}\left(\frac U\ell\right)^2\pi R^2\ell=\frac{\varepsilon_0\pi R^2U^2}{2\ell}}$$

### Question 26
> [!INDICATION]
> Identifier avec l'expression de cours de l'énergie d'un condensateur, valable pour tout $U$.

#### Solution
$E_e=\dfrac12CU^2$. L'identification pour tout $U$ donne
$$\boxed{C=\frac{\varepsilon_0\pi R^2}{\ell}}$$
Ordre de grandeur : $C\simeq\pi\times9\cdot10^{-12}\times9\cdot10^{-4}/5\cdot10^{-5}\simeq5\cdot10^{-10}$ F.

### Question 27
> [!INDICATION]
> Une seule maille : loi des mailles et relations courant-tension de $C$ et de $L$, en convention récepteur.

#### Solution
On oriente $i$ dans la maille, en convention récepteur pour les deux dipôles : $u_c+u_L=0$, avec $i=C\dot u_c$ et $u_L=L\,\mathrm di/\mathrm dt=LC\ddot u_c$ :
$$\boxed{\ddot u_c+\frac1{LC}u_c=0,\qquad f_{LC}=\frac1{2\pi\sqrt{LC}}}$$

> [!PIEGE]
> Écrire $u_c=u_L$ avec des conventions incompatibles donne $\ddot u_c=+u_c/(LC)$, soit des solutions exponentielles : un résultat absurde qui doit alerter.

### Question 28
> [!INDICATION]
> Injecter $C(\ell)$ dans $f_{LC}$ et isoler $\ell$.

#### Solution
$$f_{LC}^2=\frac{1}{4\pi^2LC}=\frac{\ell}{4\pi^3\varepsilon_0R^2L}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\ell=4\pi^3\varepsilon_0R^2L\,f_{LC}^2}$$
Tous les autres facteurs sont des constantes du montage : mesurer $f_{LC}$ revient à mesurer $\ell$.

### Question 29
> [!INDICATION]
> Différentier la relation de Q28 : la différentielle logarithmique est la plus rapide.

> [!INDICATION]
> Pour le calcul sans calculatrice, regrouper les mantisses d'un côté et les puissances de dix de l'autre ; $\pi^3\simeq31$.

#### Solution
$$\boxed{\mathrm d\ell=8\pi^3\varepsilon_0R^2L\,f_{LC}\,\mathrm df}\qquad\left(\frac{\mathrm d\ell}{\ell}=2\frac{\mathrm df}{f_{LC}}\right)$$
Avec $8\pi^3\simeq2{,}5\cdot10^2$ :
$$\mathrm d\ell\simeq2{,}5\cdot10^2\times9\cdot10^{-12}\times9\cdot10^{-4}\times2\cdot10^{-6}\times10^7\times0{,}2\simeq81\cdot10^{-13}\ \text{m},\qquad\boxed{\mathrm d\ell_{min}\simeq8\cdot10^{-12}\ \text{m}}$$
Remarque de cohérence : avec $\ell=50\ \mu$m, la formule de Q28 donne $f_{LC}\simeq5$ MHz et non 10 MHz. La forme $2\ell\,\mathrm df/f$ donnerait alors $2\cdot10^{-12}$ m. Les données de l'énoncé ne sont donc qu'approximativement cohérentes, mais la conclusion tient : le capteur capacitif a une **résolution picométrique**, comparable à celle de l'interféromètre.

> [!METHODE]
> Pour une loi de puissance $\ell\propto f^2$, la différentielle logarithmique $\mathrm d\ell/\ell=2\,\mathrm df/f$ donne immédiatement la sensibilité relative, sans calcul de dérivée.

### Question 30
> [!INDICATION]
> Faire un bilan de masse entre $t$ et $t+\mathrm dt$ sur une tranche fixe $[x,x+\mathrm dx]$ de section $S$.

#### Solution
Le système est ouvert et fixe : la tranche $[x,x+\mathrm dx]$ de section $S$, avec $\vec v=v(x,t)\vec u_x$. On écrit que la variation de masse est égale à la masse entrée en $x$ moins la masse sortie en $x+\mathrm dx$ :
$$\frac{\partial\rho}{\partial t}S\,\mathrm dx\,\mathrm dt=\left[(\rho v)(x)-(\rho v)(x+\mathrm dx)\right]S\,\mathrm dt\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\frac{\partial\rho}{\partial t}+\frac{\partial(\rho v)}{\partial x}=0}$$

> [!JURY]
> La démonstration est exigible en géométrie unidimensionnelle cartésienne. Il faut préciser le système (ouvert, fixe), la durée du bilan et le débit massique $\rho vS$.

### Question 31
> [!INDICATION]
> Développer $\mathrm{div}(\rho\vec v)$ avec l'identité du formulaire.

#### Solution
$$\boxed{\frac{\mathrm D\rho}{\mathrm Dt}=\frac{\partial\rho}{\partial t}+(\vec v\cdot\overrightarrow{\mathrm{grad}})\rho}$$
D'après le formulaire, $\mathrm{div}(\rho\vec v)=\rho\,\mathrm{div}\,\vec v+\vec v\cdot\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,\rho$. L'équation de conservation s'écrit donc $\dfrac{\mathrm D\rho}{\mathrm Dt}+\rho\,\mathrm{div}\,\vec v=0$. L'écoulement est incompressible si $\mathrm D\rho/\mathrm Dt=0$ (chaque particule de fluide garde sa masse volumique). Comme $\rho\ne0$, cela équivaut à
$$\boxed{\mathrm{div}\,\vec v=0}$$

> [!PIEGE]
> Ne pas confondre incompressible ($\mathrm D\rho/\mathrm Dt=0$), homogène ($\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,\rho=\vec0$) et stationnaire ($\partial\rho/\partial t=0$).

### Question 32
> [!INDICATION]
> Un théorème d'analyse vectorielle transforme un flux à travers une surface fermée en intégrale de volume.

#### Solution
Par le théorème de Green-Ostrogradski, pour une surface fermée fixe $\Sigma$ délimitant $\mathcal V$ :
$$\boxed{D_V=\oint_\Sigma\vec v\cdot\mathrm d\vec S=\iiint_{\mathcal V}\mathrm{div}\,\vec v\,\mathrm d\tau=0}$$

### Question 33
> [!INDICATION]
> Que vaut la vitesse normale du fluide au contact d'une paroi solide ? Les deux armatures n'ont pas la même vitesse dans le référentiel choisi.

#### Solution
Au contact d'une paroi, le fluide a la même vitesse normale que celle-ci. L'armature $O$ ($x=0$) est fixe et l'armature $A$ ($x=\ell(t)$) se déplace à la vitesse $\dot\ell\,\vec u_x$ :
$$\boxed{v_x(r,0,t)=0,\qquad v_x(r,\ell,t)=\dot\ell(t)}$$

### Question 34
> [!INDICATION]
> Faire la liste des trois parties de la surface fermée (deux disques, une surface latérale) et calculer le flux sortant à travers chacune.

> [!INDICATION]
> L'une des faces bouge : justifier qu'on peut appliquer Q32 au premier ordre. Pour l'ordre de grandeur, l'amplitude de $\dot\ell$ vaut $\ell_1\omega$.

#### Solution
On prend le cylindre de rayon $r$ compris entre les armatures. Comme $\ell_1\ll\ell_0$, on le traite comme une surface fixe de hauteur $\ell\simeq\ell_0$, avec une erreur relative de l'ordre de $\ell_1/\ell_0$. Les flux sortants sont :

- à travers le disque $x=0$ : nul, puisque $v_x=0$ ;
- à travers le disque $x=\ell$ : $\pi r^2\dot\ell$ ;
- à travers la surface latérale : $2\pi r\ell_0\,u(r,t)$, par définition de $u$.

Leur somme est nulle :
$$\boxed{u(r,t)\simeq-\frac{r\dot\ell(t)}{2\ell_0}}$$
Quand les armatures se rapprochent ($\dot\ell<0$), $u>0$ : l'air est chassé vers l'extérieur.

![Figure 3 — Bilan de débit sur le cylindre de rayon r entre les armatures (écart exagéré) : l'air chassé par A sort latéralement à la vitesse u(r, t)](/figures/corriges/ccinp_pc_physique_2026/q34-bilan-debit.svg)

Ordre de grandeur : avec $\ell_1\sim10^{-9}$ m et $\omega\sim2\cdot10^2$ rad/s, $|\dot\ell|\sim2\cdot10^{-7}$ m/s, puis
$$|u(R)|\sim\frac{3\cdot10^{-2}\times2\cdot10^{-7}}{10^{-4}}\sim6\cdot10^{-5}\ \text{m/s},\qquad\boxed{|u(R)|\sim10^{-4}\ \text{m·s}^{-1}}$$
Le facteur géométrique $R/(2\ell_0)\sim3\cdot10^2$ amplifie fortement la vitesse : c'est l'origine de la force parasite.

### Question 35
> [!INDICATION]
> Le nombre de Reynolds compare le terme convectif au terme visqueux. Estimer chacun avec une vitesse caractéristique et la longueur $\ell_0$.

#### Solution
$$\frac{\rho_a|(\vec v\cdot\overrightarrow{\mathrm{grad}})\vec v|}{\eta_a|\Delta\vec v|}\sim\frac{\rho_aU^2/\ell_0}{\eta_aU/\ell_0^2}=\mathrm{Re}=\frac{\rho_aU\ell_0}{\eta_a}\sim\frac{1\times10^{-4}\times5\cdot10^{-5}}{2\cdot10^{-5}},\qquad\boxed{\mathrm{Re}\sim10^{-4}}$$
**Le terme convectif est négligeable.**

> [!PIEGE]
> La question porte sur le terme de l'équation qu'on peut supprimer, pas sur le caractère laminaire de l'écoulement. Et $\mathrm{Re}\ll1$ ne dit rien du terme instationnaire : c'est l'objet de Q36.

### Question 36
> [!INDICATION]
> L'échelle de temps est imposée par l'excitation sinusoïdale. Quelle est l'échelle de longueur qui contrôle le laplacien ?

#### Solution
L'échelle de temps est $1/\omega$, l'échelle d'espace $\ell_0$ (c'est la plus petite, sur laquelle $v_r$ varie le plus vite) :
$$\frac{\rho_a|\partial\vec v/\partial t|}{\eta_a|\Delta\vec v|}\sim\frac{\rho_aU\omega}{\eta_aU/\ell_0^2}=\frac{\rho_a\omega\ell_0^2}{\eta_a}\sim\frac{1\times2\cdot10^2\times2{,}5\cdot10^{-9}}{2\cdot10^{-5}}\sim\boxed{10^{-2}}$$
**Le terme instationnaire est négligeable.** Il reste l'équation de Stokes quasi statique $\vec0=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,P+\eta_a\Delta\vec v$.

> [!METHODE]
> Le rapport $\rho\omega\ell_0^2/\eta$ vaut $(\ell_0/\delta_v)^2$, où $\delta_v=\sqrt{\eta/(\rho\omega)}$ est la profondeur de pénétration visqueuse ($\simeq3\cdot10^{-4}$ m ici). Si l'entrefer est très inférieur à $\delta_v$, le profil de vitesse s'établit instantanément.

### Question 37
> [!INDICATION]
> Écrire le laplacien vectoriel de $v_r\vec u_r$ avec le formulaire : quelles composantes sont nulles ?

> [!INDICATION]
> Selon $\vec u_r$, comparer les dérivées par rapport à $r$ (échelle $R$) à la dérivée seconde par rapport à $x$ (échelle $\ell_0$).

#### Solution
Pour $\vec v=v_r(r,x,t)\vec u_r$, le formulaire donne $\Delta\vec v=\left(\Delta v_r-\dfrac{v_r}{r^2}\right)\vec u_r$ (les termes en $\partial/\partial\theta$ sont nuls).

- Selon $\vec u_x$ : $\partial P/\partial x=0$, donc **$P=P(r,t)$**.
- Selon $\vec u_r$ : $\dfrac{\partial P}{\partial r}=\eta_a\left[\dfrac1r\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r\dfrac{\partial v_r}{\partial r}\right)-\dfrac{v_r}{r^2}+\dfrac{\partial^2v_r}{\partial x^2}\right]$.

Les deux premiers termes du crochet sont d'ordre $U/R^2$, le troisième d'ordre $U/\ell_0^2$. Leur rapport vaut $(\ell_0/R)^2\sim4\cdot10^{-6}$. Il reste
$$\boxed{\eta_a\frac{\partial^2v_r}{\partial x^2}=\frac{\partial P}{\partial r}}$$

> [!PIEGE]
> Ne pas oublier le terme $-v_r/r^2$ du laplacien vectoriel. Il disparaît ici pour la même raison que les dérivées radiales, mais il faut le dire.

### Question 38
> [!INDICATION]
> De quelles variables dépend le second membre ? Intégrer en conséquence.

#### Solution
$\partial P/\partial r$ ne dépend que de $(r,t)$ (Q37). À $r$ et $t$ fixés, on intègre deux fois par rapport à $x$, les constantes d'intégration étant des fonctions de $(r,t)$ :
$$\boxed{v_r=a(r,t)x^2+b(r,t)x+c(r,t),\qquad a=\frac1{2\eta_a}\frac{\partial P}{\partial r}}$$

### Question 39
> [!INDICATION]
> La moyenne sur la surface latérale se ramène à une moyenne sur la seule variable $x$.

> [!INDICATION]
> Quelle est la vitesse **radiale** de chacune des deux armatures ? En déduire deux conditions aux limites, puis relier $a$ à $u$ par l'intégrale.

#### Solution
$v_r$ ne dépend pas de $\theta$, donc
$$\boxed{u(r,t)=\frac1{\ell_0}\int_0^{\ell_0}v_r\,\mathrm dx}$$
Les armatures ne bougent que selon $\vec u_x$ : leur vitesse radiale est nulle. Le non-glissement impose donc $v_r(r,0,t)=0$, d'où $c=0$, et $v_r(r,\ell_0,t)=0$, d'où $b=-a\ell_0$. Ainsi $v_r=-a\,x(\ell_0-x)$, et
$$u=-\frac a{\ell_0}\int_0^{\ell_0}x(\ell_0-x)\,\mathrm dx=-\frac{a\ell_0^2}{6},\qquad a=-\frac{6u}{\ell_0^2},$$
$$\boxed{v_r=\frac{6u(r,t)}{\ell_0}x\left(1-\frac x{\ell_0}\right)}$$
La vitesse maximale, au milieu de l'entrefer, vaut $3u/2$ : c'est le profil de Poiseuille plan.

![Figure 4 — Profil de Poiseuille de v_r entre les armatures : nul sur les parois, de moyenne u et de maximum 3u/2 en ℓ₀/2](/figures/corriges/ccinp_pc_physique_2026/q39-profil-poiseuille.svg)

> [!PIEGE]
> Écrire $v_r(\ell_0)=\dot\ell$ : l'armature mobile a une vitesse selon $\vec u_x$, pas selon $\vec u_r$. Ce sont $v_x$ (Q33) et $v_r$ (Q39) qui obéissent chacune à leur propre condition.

### Question 40
> [!INDICATION]
> Combiner Q37, Q38 et Q39 pour obtenir $\partial P/\partial r$ en fonction de $u$, puis utiliser Q34.

> [!INDICATION]
> La constante d'intégration est fixée par la pression au bord des armatures.

#### Solution
$$\frac{\partial P}{\partial r}=2\eta_aa=-\frac{12\eta_au}{\ell_0^2}=\frac{6\eta_a\dot\ell}{\ell_0^3}\,r .$$
Par continuité de la pression à la sortie du film, $P(R,t)=P_0$. On intègre de $r$ à $R$ :
$$\boxed{P(r,t)=P_0-\frac{3\eta_a\dot\ell}{\ell_0^3}(R^2-r^2)}$$
Contrôle : pour $\dot\ell<0$ (rapprochement), $P>P_0$, l'air comprimé résiste au rapprochement.

### Question 41
> [!INDICATION]
> Intégrer la force de pression élémentaire sur le disque, en orientant bien la normale. De quel côté de l'armature $O$ se trouve le film ?

> [!INDICATION]
> L'autre face de l'armature est elle aussi soumise à une pression.

#### Solution
Le film est du côté $x>0$ de l'armature $O$. Il exerce sur sa face intérieure $-\left(\int_0^RP\,2\pi r\,\mathrm dr\right)\vec u_x$, et la face extérieure reçoit $+P_0\pi R^2\vec u_x$. Comme $\int_0^R(R^2-r^2)2\pi r\,\mathrm dr=\pi R^4/2$ :
$$\boxed{\vec F_v=\frac{3\pi\eta_aR^4}{2\ell_0^3}\,\dot\ell(t)\,\vec u_x}$$
Si l'on ne compte que la face intérieure, il faut y ajouter $-P_0\pi R^2\vec u_x$. Cette force est proportionnelle à la vitesse : c'est un amortissement par film écrasé (*squeeze film*). L'armature $A$, solidaire du plan, subit $-\vec F_v$, qui s'ajoute au bilan de I.2. Ordre de grandeur, avec $|\dot\ell|\sim2\cdot10^{-7}$ m/s :
$$F_v\sim\frac{3\pi\times2\cdot10^{-5}\times8\cdot10^{-7}}{2\times1{,}25\cdot10^{-13}}\times2\cdot10^{-7}\sim10^{-4}\ \text{N},$$
compatible avec les « plusieurs dizaines de µN » annoncées par l'énoncé.

> [!METHODE]
> La loi $F\propto\eta R^4\dot\ell/\ell_0^3$ est typique des films minces écrasés : la force croît très vite avec la taille latérale et lorsque l'entrefer diminue. La force de Reynolds de la partie III a la même origine.

### Question 42
> [!INDICATION]
> D'après Q41, de quelle longueur la force dépend-elle le plus fortement ? Que change un trou dans l'armature pour une particule d'air du film ?

#### Solution
La force parasite $F_v\propto R^4/\ell_0^3$ est du même ordre que les forces à mesurer. Elle provient du chemin, de longueur $R$, que l'air doit parcourir pour s'échapper. Les trous offrent des sorties locales : le chemin de drainage tombe à la demi-distance $a$ entre trous. Si l'on découpe l'armature en $N\sim(R/a)^2$ cellules donnant chacune $\propto a^4/\ell_0^3$, la force totale devient $\propto R^2a^2/\ell_0^3$, réduite d'un facteur $(a/R)^2\sim10^{-3}$ pour $a\sim1$ mm. **Percer les armatures supprime l'essentiel de la force visqueuse parasite**, au prix d'une légère baisse de la capacité.

![Figure 5 — Armature pleine (drainage sur la distance R) et armature percée (drainage sur la demi-distance a entre trous)](/figures/corriges/ccinp_pc_physique_2026/q42-armatures-percees.svg)

## Partie III — Application à la nanorhéologie

On transpose le modèle de film écrasé à la géométrie sphère-plan (force de Reynolds). On l'écrit en complexes, puis on le confronte à deux séries de mesures : le glycérol, pour valider le modèle, et l'eau, pour mesurer un glissement à la paroi.

### Question 43
> [!INDICATION]
> Relier $\dot h$ à $\dot h_1$ en faisant attention au signe, puis passer en complexes.

#### Solution
$h=h_0-h_1(t)$ donne $\dot h=-\dot h_1$, donc $\vec F=\dfrac{6\pi\eta R_0^2}{h_0}\dot h_1\,\vec u_x$. En complexes, $\dot{\underline h}_1=j\omega\underline{h_1}e^{j\omega t}$ :
$$\boxed{\underline Z=j\frac{6\pi\eta\omega R_0^2}{h_0},\qquad Z'=0,\qquad Z''=\frac{6\pi\eta\omega R_0^2}{h_0}}$$
L'impédance est purement imaginaire : la force est en phase avec la vitesse. La réponse est purement visqueuse ($Z''$), sans composante élastique ($Z'$).

> [!PIEGE]
> Oublier le signe de $\dot h=-\dot h_1$ donne $Z''<0$, ce que contredisent les figures 12 et 13.

### Question 44
> [!INDICATION]
> Traduire Q43 en deux prédictions testables sur les graphes : que doivent valoir $Z'$ et $1/Z''$ en fonction de $h_0$ ?

> [!INDICATION]
> Regarder où ces prédictions cessent d'être vérifiées, et utiliser aussi la courbe de force statique de la figure 13.

#### Solution
Le modèle prévoit $Z'=0$ et $\dfrac1{Z''}=\dfrac{h_0}{6\pi\eta\omega R_0^2}$, une droite passant par l'origine.

- Figure 12 : $Z''$ décroît en $1/h_0$ et $Z'$ reste très petit devant $Z''$.
- Figure 13 : $1/Z''$ est une droite passant par l'origine, de pente $\simeq0{,}27/800\simeq3\cdot10^{-4}$ (nm/µN)/nm, et la force statique est nulle.

**Le modèle de Reynolds est validé de quelques nanomètres (environ 10 nm) jusqu'à 800 nm.**

Aux très faibles distances ($h_0\lesssim$ quelques nm), $1/Z''$ ne tend plus vers 0, $Z'$ devient non négligeable et la force statique croît brutalement. Interprétation : les surfaces arrivent au contact. La surpression du film, qui varie comme $1/h_0^2$, devient énorme et déforme élastiquement le Pyrex : la réponse acquiert une composante élastique ($Z'\ne0$) et la dissipation est limitée. La rugosité nanométrique des surfaces et la taille finie des molécules font aussi perdre son sens à la description continue à cette échelle.

> [!METHODE]
> Pour tester un modèle sur des données, on transforme d'abord la loi en une relation linéaire (ici $1/Z''$ en fonction de $h_0$). Un écart à la droite se voit alors immédiatement, et l'on chiffre le domaine de validité avec les graduations du graphe.

### Question 45
> [!INDICATION]
> Si la surface de non-glissement est reportée de $b$ dans le plan, quelle est l'épaisseur effective du film ? Comment la droite de Q44 est-elle modifiée ?

> [!INDICATION]
> Pour la seconde question, raisonner sur le rapport sans dimension entre $b$ et l'épaisseur du film.

#### Solution
L'entrefer effectif devient $h_0+b$, donc
$$\frac1{Z''}=\frac{h_0+b}{6\pi\eta\omega R_0^2} :$$
c'est une droite de même pente, translatée de $-b$ selon $h_0$. Sur la figure 14, les points noirs (Pyrex mouillant) passent par l'origine : $b\simeq0$. Les points gris (Pyrex silanisé) suivent une droite parallèle, dont l'extrapolation en tirets coupe l'axe des abscisses vers $h_0\simeq-20$ nm :
$$\boxed{b\simeq2\cdot10^{-8}\ \text{m}}$$

![Figure 6 — Allure de 1/Z″ en fonction de h₀ : le glissement translate la droite de −b, l'extrapolation coupe l'axe en −b](/figures/corriges/ccinp_pc_physique_2026/q45-longueur-glissement.svg)

La correction relative vaut $b/h_0$, puisque $Z''_{\text{glissement}}/Z''_{\text{adhérence}}=1/(1+b/h_0)$. Pour un écoulement macroscopique ($h_0\sim1$ mm), $b/h_0\sim10^{-5}$ et le glissement est indétectable. En nanorhéologie ($h_0\sim10$ à 100 nm), $b/h_0$ vaut de 0,2 à 2 : la force change d'un facteur allant jusqu'à 3, et le glissement ne peut plus être négligé.

> [!PIEGE]
> Lire l'écart **vertical** entre les deux droites au lieu du décalage **horizontal**. C'est l'abscisse à l'origine de l'extrapolation qui donne $-b$.

## Bilan

**Méthodes à retenir**

- Interféromètre de Michelson : modèle équivalent (lame d'air ou coin d'air), $\delta=2e\cos i$, localisation des franges (à l'infini ou sur les miroirs) et choix de l'écran en conséquence. Pour la sensibilité, se placer à mi-frange.
- ALI idéal : rétroaction sur l'entrée inverseuse, donc régime linéaire et $V_+=V_-$. Pour les signes, lire attentivement les flèches du schéma.
- Oscillateur forcé : mise sous forme canonique, condition de résonance $Q>1/\sqrt2$. Sur un graphe, lire $\omega_0$ et $Q$ par la position et la hauteur du pic, rapportées au plateau.
- Linéarisation des données (méthode de Cleveland, $1/Z''$ en fonction de $h_0$) : pente, ordonnée ou abscisse à l'origine.
- Électrostatique : symétries pour la direction, invariances pour les variables, puis Maxwell-Gauss, Maxwell-Faraday et l'énergie pour obtenir la capacité.
- Mécanique des fluides des films minces : bilan de débit sur un cylindre, $\mathrm{Re}$ et terme instationnaire estimés sur la plus petite échelle, Stokes, profil de Poiseuille, pression, force. On retiendra la loi en $R^4/\ell_0^3$.

**Prérequis à revoir** : relation de conjugaison et grandissement, formule de Fresnel, notation complexe, laplacien vectoriel en cylindriques (avec le terme $-v_r/r^2$), dérivée particulaire et incompressibilité.

**Questions classiques transposables** : différence de marche de la lame d'air (Q1), sensibilité d'un capteur interférométrique (Q9, Q10), convertisseur courant-tension (Q11, Q12), résonance du second ordre (Q18), condensateur plan par l'énergie (Q25, Q26), équation de conservation de la masse à une dimension (Q30), film écrasé (*squeeze film*) entre deux disques (Q34 à Q41), impédance mécanique complexe (Q43).