Maths
CCINPPC2026
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# CCINP PC — Mathématiques 2026 · Corrigé guidé
*Corrigé rédigé par IA (La Belle Copie), non officiel. Signalez toute erreur.*
## Présentation du sujet
L'épreuve (PC1M, 4 heures, sans calculatrice) comporte **trois exercices indépendants** de longueur comparable, pour 37 questions au total. Le sujet est classique, très guidé, et couvre trois grands blocs du programme de PC : réduction, probabilités, séries entières.
- **Exercice 1 — Réduction de matrices par blocs (Q1 à Q12).** La partie I étudie $M=\begin{pmatrix}A&A\\A&A\end{pmatrix}$. Elle commence par un exemple $4\times4$ (théorème spectral, valeurs propres, matrice positive), puis réduit $M$ dans le cas général à $D=\mathrm{diag}(O_n,2A)$ par une conjugaison explicite. On en tire le polynôme caractéristique de $M$, puis l'équivalence « $M$ diagonalisable si et seulement si $A$ l'est », par les polynômes annulateurs. La partie II étudie $M=\begin{pmatrix}A&A\\O_n&A\end{pmatrix}$ : un calcul de puissances donne $Q(M)$ pour tout polynôme $Q$, et on montre que $M$ n'est diagonalisable que si $A=O_n$. Notions : calcul par blocs, similitude, polynôme caractéristique, polynôme annulateur scindé à racines simples, théorème spectral, matrices symétriques positives.
- **Exercice 2 — Autour de la loi géométrique (Q13 à Q25).** La partie I obtient la loi de la somme $S_n$ de $n$ variables géométriques indépendantes (loi de Pascal) par la fonction génératrice et le développement en série entière de $(1-x)^{-n}$. La partie II donne la loi du maximum $V_n$ par sa fonction de répartition, ainsi que la formule $E(V_n)=\sum P(V_n>k)$. La partie III donne l'équivalent $E(V_n)\sim\ln n/\ln(1/q)$ par comparaison série-intégrale et changement de variable. Notions : loi géométrique, indépendance, fonction génératrice, série entière, $\sigma$-additivité, intégrales impropres.
- **Exercice 3 — L'équation $f'(x)=f(\lambda x)$ (Q26 à Q37).** La partie I traite les cas $\lambda\in\{1,0,-1\}$ par des équations différentielles usuelles. La partie II détermine les solutions développables en série entière : ce sont les multiples d'une série $\varphi$ explicite. La partie III montre, par la formule de Taylor avec reste intégral, que toute solution est développable en série entière. Conclusion : $\dim S_\lambda=1$.
**Difficulté.** Elle est modérée et régulière. Les questions les plus délicates sont Q8 (bien manier les polynômes annulateurs), Q12, Q20 (justifier la formule de l'espérance) et Q35-Q36 (majoration uniforme, puis reste de Taylor).
**À ne pas laisser passer** : Q1, Q4, Q5, Q9, Q10, Q13, Q14, Q15, Q18, Q19, Q21, Q26 à Q28, Q30 et Q31 sont presque des questions de cours ou de calcul direct.
**Gestion du temps** : environ 1 h 15 par exercice, et un quart d'heure de relecture. Les exercices sont indépendants, et l'énoncé précise les dépendances internes (Q37 utilise les parties II et III de l'exercice 3 ; la partie III de l'exercice 2 peut admettre la partie II) : une question bloquante peut être admise.
Convention utilisée partout : $\chi_B(X)=\det(XI_p-B)$.
## Exercice 1, Partie I — Étude d'une première forme
On commence par un exemple numérique où tout se calcule, puis on dégage le mécanisme général : $M$ agit comme $2A$ sur les vecteurs $(x,x)$ et comme $0$ sur les vecteurs $(x,-x)$. La matrice $P$ de la sous-partie I.2 n'est rien d'autre que le changement de base correspondant.
### Question 1
> [!INDICATION]
> On ne demande pas les valeurs propres : y a-t-il un théorème qui donne la diagonalisabilité sans aucun calcul ?
> [!INDICATION]
> Regarder la transposée de $M$, en raisonnant par blocs.
#### Solution
$A=\mathrm{diag}(1,2)$ est symétrique, donc
$$M^\top=\begin{pmatrix}A^\top&A^\top\\A^\top&A^\top\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&A\\A&A\end{pmatrix}=M.$$
$M$ est une matrice symétrique **réelle** ; par le théorème spectral, elle est diagonalisable (et même dans une base orthonormée).
$$\boxed{M\text{ est diagonalisable.}}$$
> [!PIEGE]
> Le théorème spectral concerne les matrices symétriques **réelles**. Une matrice symétrique à coefficients complexes n'est pas forcément diagonalisable : il faut écrire « réelle ».
### Question 2
> [!INDICATION]
> Écrire un vecteur de $\mathbb R^4$ sous la forme $(x,y)$ avec $x,y\in\mathbb R^2$, et calculer $M(x,y)$ par blocs.
> [!INDICATION]
> Deux familles de vecteurs se comportent très simplement : celles où $y=x$ et celles où $y=-x$. Penser à vérifier à la fin que les dimensions des sous-espaces propres trouvés font bien $4$.
#### Solution
Explicitement,
$$M=\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&2&0&2\\1&0&1&0\\0&2&0&2\end{pmatrix},\qquad M\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A(x+y)\\A(x+y)\end{pmatrix}.$$
- Les vecteurs $(x,-x)$ forment un plan contenu dans $\ker M$. Comme les colonnes 1 et 3 sont égales, de même que les colonnes 2 et 4, et que les colonnes 1 et 2 sont libres, $\mathrm{rg}\,M=2$ : $\ker M$ est exactement ce plan, de dimension 2.
- Pour $y=x$, $M(x,x)=(2Ax,2Ax)$. Avec $u_1=(1,0,1,0)$ et $u_2=(0,1,0,1)$, on a $Mu_1=2u_1$ et $Mu_2=4u_2$.
La somme des dimensions vaut $2+1+1=4$, donc il n'y a pas d'autre valeur propre.
$$\boxed{\mathrm{Sp}(M)=\{0,2,4\},\quad\dim E_0=2,\ \dim E_2=\dim E_4=1.}$$
> [!METHODE]
> Pour une matrice par blocs répétitifs, chercher des vecteurs « symétriques » et « antisymétriques » $(x,\pm x)$ avant de développer un polynôme caractéristique $4\times4$. Clore toujours par le décompte des dimensions, qui garantit qu'on a trouvé tout le spectre.
> [!PIEGE]
> Les valeurs propres sont $2$ et $4$, pas $1$ et $2$ : sur les vecteurs $(x,x)$, $M$ agit comme $2A$.
### Question 3
> [!INDICATION]
> Calculer $X^\top MX$ par blocs pour $X=(x,y)$ : une seule variable combinée apparaît.
> [!INDICATION]
> Pour « non défini », il suffit d'exhiber un vecteur non nul qui annule la forme quadratique. La question 2 en fournit.
#### Solution
$M$ est symétrique (Q1). Pour $X=(x,y)$, avec $z=x+y$ :
$$X^\top MX=x^\top Az+y^\top Az=z^\top Az=z_1^2+2z_2^2\ge0 .$$
Donc $M$ est symétrique positive. Pour $X_0=(1,0,-1,0)\ne0$, on a $z=0$, donc $X_0^\top MX_0=0$ : $M$ n'est pas définie positive.
$$\boxed{M\in\mathcal S_4^+(\mathbb R)\setminus\mathcal S_4^{++}(\mathbb R).}$$
> [!METHODE]
> Deux routes équivalentes pour une matrice symétrique réelle : le signe de la forme quadratique, ou le spectre (positive si et seulement si $\mathrm{Sp}\subset\mathbb R_+$, définie positive si et seulement si $\mathrm{Sp}\subset\mathbb R_+^*$). Avec la Q2, $0\in\mathrm{Sp}(M)$ conclut immédiatement.
> [!PIEGE]
> « Positive » ne signifie pas « à coefficients positifs ».
### Question 4
> [!INDICATION]
> On connaît le candidat pour l'inverse : il suffit de faire un produit.
#### Solution
Avec $Q=\frac12\begin{pmatrix}I_n&-I_n\\I_n&I_n\end{pmatrix}$, le produit par blocs donne
$$PQ=\frac12\begin{pmatrix}I_n+I_n&-I_n+I_n\\-I_n+I_n&I_n+I_n\end{pmatrix}=I_{2n}.$$
Une matrice carrée qui admet un inverse à droite est inversible, d'inverse celui-ci :
$$\boxed{P^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}I_n&-I_n\\I_n&I_n\end{pmatrix}.}$$
### Question 5
> [!INDICATION]
> Il s'agit de calculer $P^{-1}MP$. Commencer par $MP$.
#### Solution
$$MP=\begin{pmatrix}A-A&A+A\\A-A&A+A\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}O_n&2A\\O_n&2A\end{pmatrix},\qquad P^{-1}MP=\frac12\begin{pmatrix}O_n&2A-2A\\O_n&2A+2A\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}O_n&O_n\\O_n&2A\end{pmatrix}.$$
$$\boxed{P^{-1}MP=D,\ \text{donc } M \text{ et } D \text{ sont semblables.}}$$
> [!METHODE]
> Les $n$ premières colonnes de $P$ engendrent les vecteurs $(x,-x)$, qui sont dans le noyau ; les $n$ dernières engendrent les vecteurs $(x,x)$, sur lesquels $M$ agit comme $2A$. Lire une matrice de passage comme une base adaptée aide à retrouver les calculs.
> [!PIEGE]
> Ne pas confondre $P^{-1}MP$ et $PMP^{-1}$ : avec ce $P$, seul le premier vaut $D$.
### Question 6
> [!INDICATION]
> Des matrices semblables ont le même polynôme caractéristique : calculer celui de $D$.
> [!INDICATION]
> $\lambda I_{2n}-D$ est diagonale par blocs. Pour faire sortir $2^n$, utiliser l'homogénéité du déterminant.
#### Solution
$\chi_M=\chi_D$ (Q5). Pour $\lambda\in\mathbb R$,
$$\lambda I_{2n}-D=\begin{pmatrix}\lambda I_n&O_n\\O_n&\lambda I_n-2A\end{pmatrix}.$$
Le seul coefficient éventuellement non nul de la première colonne est $\lambda$, en position $(1,1)$. En développant $n$ fois selon la première colonne,
$$\chi_M(\lambda)=\lambda^n\det(\lambda I_n-2A)=\lambda^n\,2^n\det\!\left(\tfrac\lambda2I_n-A\right).$$
$$\boxed{\chi_M(\lambda)=\lambda^n2^n\chi_A\!\left(\tfrac\lambda2\right),\qquad \mathrm{Sp}(M)=\{0\}\cup\{2\mu\,;\,\mu\in\mathrm{Sp}(A)\}.}$$
Le réel $0$ est toujours valeur propre, puisque $n\ge1$.
> [!PIEGE]
> $\det(2B)=2^n\det B$ pour $B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$, et non $2\det B$. Autre oubli fréquent : le $0$ dans le spectre de $M$, même quand $A$ est inversible.
> [!JURY]
> Annoncer la convention $\chi_A=\det(XI_n-A)$ : avec $\det(A-XI_n)$, la formule demandée serait fausse d'un signe $(-1)^n$.
### Question 7
> [!INDICATION]
> Calculer $R(D)$ pour un polynôme $R$ quelconque, en traitant à part le terme constant ($D^0=I_{2n}$).
> [!INDICATION]
> Appliquer ce calcul à $R=Q(X/2)$ et identifier ce que deviennent $R(0)$ et $R(2A)$.
#### Solution
On a $D^k=\begin{pmatrix}O_n&O_n\\O_n&(2A)^k\end{pmatrix}$ pour $k\ge1$ et $D^0=I_{2n}$. Pour $R=\sum r_kX^k$,
$$R(D)=\begin{pmatrix}R(0)I_n&O_n\\O_n&R(2A)\end{pmatrix}.$$
Avec $R=Q(X/2)=\sum_kq_k2^{-k}X^k$, on a $R(0)=Q(0)$ et $R(2A)=\sum q_kA^k=Q(A)$. Donc
$$Q\!\left(\tfrac X2\right)(D)=\begin{pmatrix}Q(0)I_n&O_n\\O_n&Q(A)\end{pmatrix},$$
et cette matrice est nulle si et seulement si $Q(0)=0$ et $Q(A)=O_n$.
$$\boxed{\text{(i)}\iff\text{(ii)}.}$$
> [!PIEGE]
> Si l'on oublie que $D^0=I_{2n}$, et non $\mathrm{diag}(O_n,I_n)$, la condition $Q(0)=0$ disparaît et l'équivalence devient fausse.
### Question 8
> [!INDICATION]
> Utiliser la caractérisation : une matrice est diagonalisable si et seulement si elle admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. Comme $M$ et $D$ sont semblables, travailler avec $D$.
> [!INDICATION]
> Sens « $A$ diagonalisable » : la Q7 exige $Q(0)=0$. Que faire si le polynôme annulateur de $A$ ne s'annule pas en $0$ ?
> [!INDICATION]
> Sens réciproque : partir d'un polynôme $R$ annulateur de $D$ et poser $Q=R(2X)$. Vérifier que le caractère « scindé à racines simples » est conservé.
#### Solution
$M$ est diagonalisable si et seulement si $D$ l'est (Q5).
*Si $A$ est diagonalisable*, elle admet un polynôme annulateur $\pi$ scindé à racines simples. On pose $Q=\pi$ si $\pi(0)=0$, et $Q=X\pi$ sinon. Le polynôme $Q$ est scindé à racines simples, annule $A$ et vérifie $Q(0)=0$. Par la Q7, $Q(X/2)$ annule $D$. Si $Q=c\prod(X-\alpha_i)$ avec des $\alpha_i$ distincts, alors $Q(X/2)=c\,2^{-\deg Q}\prod(X-2\alpha_i)$ est scindé à racines simples. Donc $D$ est diagonalisable.
*Si $D$ est diagonalisable*, soit $R=c\prod(X-\nu_j)$ un polynôme annulateur de $D$ à racines distinctes. Alors $Q=R(2X)=c\,2^{\deg R}\prod(X-\nu_j/2)$ est scindé à racines simples et $Q(X/2)=R$ annule $D$. Par la Q7, $Q(A)=O_n$. Donc $A$ est diagonalisable.
$$\boxed{M\text{ diagonalisable}\iff A\text{ diagonalisable}.}$$
> [!METHODE]
> Une autre voie, directe : une matrice diagonale par blocs est diagonalisable si et seulement si chaque bloc l'est, et $2A$ est diagonalisable si et seulement si $A$ l'est. Mais « En déduire » renvoie à la Q7 : mieux vaut suivre la voie polynomiale et ne citer l'autre qu'en remarque.
> [!PIEGE]
> Multiplier $\pi$ par $X$ alors que $0$ est déjà racine de $\pi$ crée une racine double : il faut distinguer les deux cas.
## Exercice 1, Partie II — Étude d'une seconde forme
La matrice est maintenant triangulaire par blocs. Ses puissances font apparaître un facteur $k$, et donc une dérivée dans $Q(M)$. Cette dérivée empêche la diagonalisabilité, sauf dans le cas trivial $A=O_n$.
### Question 9
> [!INDICATION]
> Récurrence sur $k$, avec l'initialisation $k=0$ ($A^0=I_n$).
#### Solution
Pour $k=0$, la formule donne $I_{2n}$. Si elle est vraie au rang $k$,
$$M^{k+1}=\begin{pmatrix}A^k&kA^k\\O_n&A^k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A&A\\O_n&A\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A^{k+1}&(k+1)A^{k+1}\\O_n&A^{k+1}\end{pmatrix}.$$
$$\boxed{\forall k\in\mathbb N,\ M^k=\begin{pmatrix}A^k&kA^k\\O_n&A^k\end{pmatrix}.}$$
### Question 10
> [!INDICATION]
> Combiner linéairement les formules de la Q9 avec les coefficients de $Q$. Reconnaître ensuite $\sum kq_kA^k$.
#### Solution
Pour $Q=\sum_{k=0}^dq_kX^k$,
$$Q(M)=\begin{pmatrix}\sum q_kA^k&\sum kq_kA^k\\O_n&\sum q_kA^k\end{pmatrix},\qquad \sum_{k\ge1}kq_kA^k=A\sum_{k\ge1}kq_kA^{k-1}=AQ'(A).$$
$$\boxed{Q(M)=\begin{pmatrix}Q(A)&AQ'(A)\\O_n&Q(A)\end{pmatrix}.}$$
> [!METHODE]
> C'est la version matricielle de $(a+\varepsilon)^k=a^k+ka^{k-1}\varepsilon$ avec $\varepsilon^2=0$ : une perturbation nilpotente fait apparaître la dérivée.
### Question 11
> [!INDICATION]
> Appliquer la Q10 à $S$ et lire l'égalité $S(M)=O_{2n}$ bloc par bloc : on obtient deux relations.
> [!INDICATION]
> L'une d'elles montre que $A$ est diagonalisable. Écrire alors $A=P\Delta P^{-1}$ et calculer $S'(A)$.
#### Solution
$S(M)=O_{2n}$ donne $S(A)=O_n$ et $AS'(A)=O_n$ $(\dagger)$. Le polynôme $S$, scindé à racines simples, annule $A$ : $A$ est diagonalisable, $A=P\Delta P^{-1}$ avec $\Delta=\mathrm{diag}(\mu_1,\dots,\mu_n)$. Pour tout polynôme $T$, $T(A)=P\,T(\Delta)\,P^{-1}$, d'où
$$S'(A)=P\,\mathrm{diag}\big(S'(\mu_1),\dots,S'(\mu_n)\big)P^{-1}.$$
$$\boxed{S'(A)\text{ est diagonalisable},\quad \mathrm{Sp}(S'(A))=\{S'(\mu)\,;\,\mu\in\mathrm{Sp}(A)\}.}$$
> [!PIEGE]
> L'inclusion $T(\mathrm{Sp}(A))\subset\mathrm{Sp}(T(A))$ est toujours vraie. L'inclusion réciproque, elle, peut tomber en défaut sur $\mathbb R$ sans hypothèse : pour la rotation d'angle $\pi/2$, $\mathrm{Sp}_{\mathbb R}(A)=\emptyset$, mais $\mathrm{Sp}(A^2)=\{-1\}$. Ici, c'est la diagonalisation explicite qui donne l'égalité.
### Question 12
> [!INDICATION]
> Montrer d'abord que toute valeur propre de $A$ est racine de $S$.
> [!INDICATION]
> Que vaut la dérivée d'un polynôme en une racine **simple** ? Conclure avec la relation $AS'(A)=O_n$.
#### Solution
Si $Ax=\mu x$ avec $x\ne0$, alors $0=S(A)x=S(\mu)x$, donc $S(\mu)=0$. Écrivons $S=c\prod_i(X-\alpha_i)$ avec des $\alpha_i$ distincts. Alors $S'(\alpha_j)=c\prod_{i\ne j}(\alpha_j-\alpha_i)\ne0$. Ainsi $S'(\mu)\ne0$ pour tout $\mu\in\mathrm{Sp}(A)$, et $0\notin\mathrm{Sp}(S'(A))$ : $S'(A)$ est diagonalisable sans valeur propre nulle, donc **inversible**.
En multipliant $AS'(A)=O_n$ à droite par $S'(A)^{-1}$, on obtient $A=O_n$. Réciproquement, $A=O_n$ donne $M=O_{2n}$, qui est diagonale.
$$\boxed{M\text{ diagonalisable}\iff A=O_n.}$$
> [!METHODE]
> Contrôle sur le cas $n=1$, $A=(1)$ : $M=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ a pour seule valeur propre $1$ et n'est pas égale à $I_2$, donc elle n'est pas diagonalisable. C'est cohérent.
> [!JURY]
> Une condition nécessaire et suffisante demande les deux sens : la réciproque, même immédiate, doit être écrite.
## Exercice 2, Partie I — Étude de la variable aléatoire $S_n$
On calcule la loi de la somme de $n$ variables géométriques indépendantes par la fonction génératrice : on transforme la somme en produit, puis on développe en série entière et on identifie les coefficients.
Convention : $P(X_k=j)=pq^{j-1}$ pour $j\in\mathbb N^*$.
### Question 13
> [!INDICATION]
> Minorer $S_n$, puis montrer que chaque valeur possible est effectivement atteinte avec une probabilité non nulle.
#### Solution
$X_k\ge1$, donc $S_n\ge n$ et $S_n$ est entière. Pour $k\ge n$, l'événement $(X_1=k-n+1)\cap(X_2=1)\cap\dots\cap(X_n=1)$ est inclus dans $(S_n=k)$ et, par indépendance, sa probabilité vaut $p^nq^{k-n}>0$.
$$\boxed{S_n(\Omega)=[\![n,+\infty[\![ .}$$
### Question 14
> [!INDICATION]
> Résultats de cours pour la loi géométrique. Pour $S_n$ : linéarité de l'espérance, et quelle hypothèse pour la variance ?
#### Solution
$E(X_1)=\frac1p$ et $V(X_1)=\frac q{p^2}$. L'espérance est linéaire, et la variance d'une somme de variables indépendantes est la somme des variances :
$$\boxed{E(S_n)=\frac np,\qquad V(S_n)=\frac{nq}{p^2}.}$$
> [!PIEGE]
> L'indépendance (deux à deux suffit) est indispensable pour la variance, inutile pour l'espérance. Il faut la citer au bon endroit.
### Question 15
> [!INDICATION]
> Que vaut la série en $t=1$ ? On peut aussi utiliser la caractérisation du rayon par les suites $(a_kr^k)$ bornées.
#### Solution
$0\le P(Y=k)\le1$, donc la suite $(P(Y=k)\cdot1^k)$ est bornée ; par le lemme d'Abel, le rayon $R$ vérifie $\boxed{R\ge1}$. (On peut aussi dire que $\sum P(Y=k)=1$ converge.)
> [!PIEGE]
> On ne peut pas conclure $R=1$ : pour une variable bornée, $R=+\infty$.
### Question 16
> [!INDICATION]
> Fonction génératrice d'une somme de variables indépendantes : passer de deux variables à $n$ variables avec le lemme des coalitions.
> [!INDICATION]
> $G_{X_1}$ est la somme d'une série géométrique : vérifier que sa raison est de module $<1$.
#### Solution
Par le lemme des coalitions, $S_{m-1}$ et $X_m$ sont indépendantes. Comme $G_{U+V}=G_UG_V$ pour des variables indépendantes à valeurs dans $\mathbb N$, une récurrence donne $G_{S_n}=\prod_kG_{X_k}=G_{X_1}^n$ sur $]-1,1[$. Pour $|t|<1$, on a $|qt|<1$ et
$$G_{X_1}(t)=\sum_{k\ge1}pq^{k-1}t^k=\frac{pt}{1-qt}.$$
$$\boxed{G_{S_n}(t)=\left(\frac{pt}{1-qt}\right)^n.}$$
> [!METHODE]
> Contrôle immédiat : $G_{S_n}(1)=1$.
### Question 17
> [!INDICATION]
> Utiliser le développement de $(1+x)^\alpha$ avec un exposant entier négatif.
> [!INDICATION]
> Simplifier le coefficient en un coefficient binomial, décaler l'indice pour tenir compte du facteur $t^n$, puis invoquer l'unicité du développement en série entière.
#### Solution
Avec $\alpha=-n$ et $x=-qt$ :
$$\frac{(-n)(-n-1)\cdots(-n-j+1)}{j!}(-q)^j=\binom{n+j-1}{j}q^j,$$
donc
$$(pt)^n(1-qt)^{-n}=\sum_{j\ge0}\binom{n+j-1}{j}p^nq^jt^{n+j}=\sum_{k\ge n}\binom{k-1}{n-1}p^nq^{k-n}t^k\quad(|t|<1).$$
Cette fonction est égale à $G_{S_n}(t)=\sum P(S_n=k)t^k$ sur $]-1,1[$. Par unicité des coefficients :
$$\boxed{\forall k\ge n,\quad P(S_n=k)=\binom{k-1}{n-1}p^nq^{k-n}.}$$
> [!METHODE]
> Contrôle pour $n=1$ : on retrouve $pq^{k-1}$. Interprétation : $S_n$ est le rang du $n$-ième succès (loi de Pascal). Pour $k\ge n$, l'événement $(S_n=k)$ demande $n-1$ succès parmi les $k-1$ premières épreuves, puis un succès à la $k$-ième.
> [!PIEGE]
> Le coefficient est $\binom{k-1}{n-1}$ et non $\binom{k}{n}$ : le décalage d'indice $k=n+j$ est l'endroit où l'on se trompe.
## Exercice 2, Partie II — Loi de la variable aléatoire $V_n$
Pour un maximum, on passe toujours par $P(V_n\le k)$, qui est une intersection. On en déduit l'espérance (formule des queues) et la loi.
### Question 18
> [!INDICATION]
> Écrire $(X_1>k)$ comme une réunion disjointe d'événements $(X_1=j)$.
#### Solution
$$P(X_1>k)=\sum_{j\ge k+1}pq^{j-1}=pq^k\sum_{i\ge0}q^i=\frac{pq^k}{1-q}=\boxed{q^k}.$$
(Interprétation : les $k$ premières épreuves sont des échecs.)
### Question 19
> [!INDICATION]
> Le maximum est inférieur ou égal à $k$ si et seulement si...
#### Solution
$(V_n\le k)=\bigcap_{i=1}^n(X_i\le k)$. Par indépendance et parce que les $X_i$ ont même loi,
$$\boxed{P(V_n\le k)=(1-q^k)^n.}$$
La formule reste vraie pour $k=0$.
> [!PIEGE]
> L'événement $(V_n\ge k)$ n'est pas une intersection : c'est $(V_n\le k)$ qui se factorise.
### Question 20
> [!INDICATION]
> Majorer $1-(1-q^k)^n$ par un terme géométrique : factoriser $1-v^n$.
> [!INDICATION]
> Pour relier $E(V_n)$ à la somme des $P(V_n>k)$, écrire $k=\sum_{j=0}^{k-1}1$ et intervertir des **sommes finies** jusqu'au rang $N$, puis faire tendre $N$ vers l'infini.
#### Solution
Notons $u_k=P(V_n>k)=1-(1-q^k)^n$. Puisque $1-v^n=(1-v)(1+v+\dots+v^{n-1})\le n(1-v)$ sur $[0,1]$, on a $0\le u_k\le nq^k$, donc $\sum u_k$ converge.
Pour $N\ge1$,
$$\sum_{k=1}^NkP(V_n=k)=\sum_{j=0}^{N-1}\sum_{k=j+1}^NP(V_n=k)=\sum_{j=0}^{N-1}u_j-Nu_N\le\sum_{j\ge0}u_j .$$
La série à termes positifs $\sum kP(V_n=k)$ a ses sommes partielles bornées : $V_n$ est d'espérance finie. De plus $0\le Nu_N\le nNq^N\to0$, donc
$$\boxed{E(V_n)=\sum_{k=0}^{+\infty}\Big(1-(1-q^k)^n\Big).}$$
> [!METHODE]
> La formule $E(X)=\sum_{k\ge0}P(X>k)$ pour $X$ à valeurs dans $\mathbb N$ resservira souvent. Savoir la redémontrer par sommes finies évite toute discussion sur l'interversion.
> [!PIEGE]
> Le terme $k=0$ vaut $1$ (et non $0$) : la somme commence bien à $k=0$.
### Question 21
> [!INDICATION]
> Suivre la piste de l'énoncé : $(V_n\le k)$ se découpe en deux événements disjoints.
#### Solution
$(V_n\le k)=(V_n\le k-1)\sqcup(V_n=k)$, donc pour $k\in\mathbb N^*$ :
$$\boxed{P(V_n=k)=(1-q^k)^n-(1-q^{k-1})^n.}$$
Ces nombres sont strictement positifs ($P(V_n=1)=p^n$, et $1-q^{k-1}<1-q^k$), donc $V_n(\Omega)=\mathbb N^*$. Contrôle par télescopage : $\sum_{k=1}^KP(V_n=k)=(1-q^K)^n\to1$.
## Exercice 2, Partie III — Équivalent de l'espérance de $V_n$
On remplace la série $\sum\varphi_n(k)$ par une intégrale, que l'on calcule exactement par changement de variable : on obtient la série harmonique.
### Question 22
> [!INDICATION]
> Dériver, ou voir $\varphi_n$ comme une composée de fonctions monotones. Pour l'intégrabilité, réutiliser la majoration de la Q20.
#### Solution
$$\varphi_n'(x)=n\ln(q)\,q^x(1-q^x)^{n-1}\le0\quad(\ln q<0),$$
donc **$\varphi_n$ est décroissante**. Elle est continue, et $0\le\varphi_n(x)\le nq^x=ne^{x\ln q}$, fonction intégrable sur $[0,+\infty[$. Par comparaison, **$\varphi_n$ est intégrable**.
> [!PIEGE]
> La majoration $\varphi_n\le1$ ne suffit pas pour l'intégrabilité sur un intervalle non borné.
### Question 23
> [!INDICATION]
> Pour une fonction décroissante, comparer $\varphi_n(k)$ aux intégrales sur $[k,k+1]$ et sur $[k-1,k]$.
> [!INDICATION]
> Isoler le terme $k=0$ : c'est lui qui produit le « $1+$ ».
#### Solution
Par décroissance, $\int_k^{k+1}\varphi_n\le\varphi_n(k)$ pour $k\ge0$, et $\varphi_n(k)\le\int_{k-1}^k\varphi_n$ pour $k\ge1$. On somme, puis on passe à la limite (tout converge, Q20 et Q22). Avec $E(V_n)=\sum_{k\ge0}\varphi_n(k)$ et $\varphi_n(0)=1$ :
$$\boxed{\int_0^{+\infty}\varphi_n\le E(V_n)\le1+\int_0^{+\infty}\varphi_n .}$$
> [!METHODE]
> Faire le dessin de la figure 2 : c'est le premier rectangle, de hauteur $\varphi_n(0)=1$, laissé dehors après décalage, qui produit le « $1+$ ».
### Question 24
> [!INDICATION]
> L'intégrande en $u$ est la somme d'une progression géométrique finie : la convergence est immédiate et l'intégrale se calcule.
> [!INDICATION]
> Pour le changement de variable, travailler sur un segment $[0,T]$, exprimer $\mathrm du$ en fonction de $1-u$, puis faire $T\to+\infty$.
#### Solution
$\frac{1-u^n}{1-u}=\sum_{j=0}^{n-1}u^j$ se prolonge par continuité sur $[0,1]$, donc l'intégrale converge et vaut $\sum_{k=1}^n\frac1k=H_n$.
Sur $[0,T]$, $u=\psi(x)=1-q^x$ est une bijection $\mathcal C^1$ strictement croissante sur $[0,1-q^T]$, et $\mathrm du=-\ln(q)\,q^x\,\mathrm dx=-\ln(q)(1-u)\,\mathrm dx$. D'où
$$\int_0^{1-q^T}\frac{1-u^n}{1-u}\,\mathrm du=-\ln(q)\int_0^T\big(1-(1-q^x)^n\big)\,\mathrm dx .$$
En faisant $T\to+\infty$ :
$$\boxed{\int_0^1\frac{1-u^n}{1-u}\,\mathrm du=-\ln(q)\int_0^{+\infty}\varphi_n,\qquad \int_0^{+\infty}\varphi_n=\frac{H_n}{-\ln q}.}$$
> [!PIEGE]
> Signe : $-\ln q>0$. Une intégrale d'une fonction positive qui sortirait négative trahit une erreur.
### Question 25
> [!INDICATION]
> Diviser l'encadrement de la Q23 par l'intégrale. Que faut-il savoir sur son comportement pour conclure ?
#### Solution
$I_n=\frac{H_n}{-\ln q}\sim\frac{\ln n}{-\ln q}\to+\infty$. De $I_n\le E(V_n)\le1+I_n$, on tire $1\le E(V_n)/I_n\le1+1/I_n\to1$, donc $E(V_n)\sim I_n$ :
$$\boxed{E(V_n)\underset{n\to+\infty}{\sim}\frac{\ln n}{\ln(1/q)}.}$$
> [!PIEGE]
> Deux suites dont la différence est bornée ne sont pas forcément équivalentes (penser à $1$ et $2$) : c'est parce que $I_n\to+\infty$ que l'écart borné devient négligeable, et il faut l'écrire.
> [!METHODE]
> Contrôle numérique pour $p=0{,}3$ et $n=3$ : $I_3=\frac{11/6}{-\ln0{,}7}\approx5{,}14$ et $E(V_3)\approx5{,}64$, bien dans $[I_3,I_3+1]$. Le maximum croît comme $\ln n$, alors que la somme croît comme $n$.
## Exercice 3, Partie I — Généralités
L'équation $f'(x)=f(\lambda x)$ relie la dérivée en $x$ à la valeur en un autre point. Les cas $\lambda=1,0,-1$ se ramènent à des équations différentielles du cours.
### Question 26
> [!INDICATION]
> Caractérisation des sous-espaces vectoriels : contenir le vecteur nul et être stable par combinaison linéaire.
#### Solution
$S_\lambda\subset\mathcal D(\mathbb R,\mathbb R)$ et la fonction nulle est dans $S_\lambda$. Pour $f,g\in S_\lambda$ et $\alpha,\beta$ réels, $h=\alpha f+\beta g$ est dérivable et $h'(x)=\alpha f(\lambda x)+\beta g(\lambda x)=h(\lambda x)$. **$S_\lambda$ est un sous-espace vectoriel.**
### Question 27
> [!INDICATION]
> Pour $\lambda=1$, c'est une équation différentielle du cours.
#### Solution
$f'=f$, d'où $\boxed{S_1=\mathrm{Vect}(\exp)}$.
### Question 28
> [!INDICATION]
> Pour $\lambda=0$, le membre de droite ne dépend plus de $x$.
> [!INDICATION]
> Une fois $f$ affine, la condition $f'(x)=f(0)$ impose une relation entre ses deux coefficients. Ne pas oublier la synthèse.
#### Solution
$f'(x)=f(0)=c$ pour tout $x$. Sur l'intervalle $\mathbb R$, on en déduit $f(x)=cx+b$, donc $f$ est affine ; puis $b=f(0)=c$. Réciproquement, $x\mapsto c(x+1)$ convient.
$$\boxed{S_0=\mathrm{Vect}(x\mapsto x+1).}$$
> [!PIEGE]
> $S_0$ n'est pas l'ensemble de toutes les fonctions affines : la contrainte $b=c$ retire une dimension.
### Question 29
> [!INDICATION]
> Le membre de droite $x\mapsto f(-x)$ est dérivable : que peut-on en déduire pour $f'$ ?
> [!INDICATION]
> Après avoir résolu $f''+f=0$, reporter la solution générale dans $(E_{-1})$ : toutes ne conviennent pas.
#### Solution
$f'=g$ avec $g(x)=f(-x)$, qui est dérivable. Donc $f$ est deux fois dérivable et $f''(x)=-f'(-x)=-f(x)$, par $(E_{-1})$ au point $-x$. Ainsi $f=\alpha\cos+\beta\sin$. La condition $f'(x)=f(-x)$ s'écrit $(\beta-\alpha)(\cos x+\sin x)=0$ pour tout $x$, soit $\beta=\alpha$.
$$\boxed{S_{-1}=\mathrm{Vect}(\cos+\sin).}$$
> [!PIEGE]
> $f''+f=0$ n'est qu'une condition nécessaire. Sans la synthèse, on trouve un espace de dimension 2, ce qui est faux.
## Exercice 3, Partie II — Solutions développables en série entière
On cherche $f=\sum a_nx^n$. L'équation se traduit par une récurrence sur les coefficients, qui détermine tout à partir de $a_0$.
### Question 30
> [!INDICATION]
> Les coefficients sont non nuls (car $\lambda\ne0$) : la règle de d'Alembert s'applique. Simplifier l'exposant de $\lambda$ dans le quotient.
#### Solution
$$\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|=\frac{|\lambda|^{\frac{(n+1)n}2-\frac{n(n-1)}2}}{n+1}=\frac{|\lambda|^n}{n+1}\le\frac1{n+1}\to0,$$
donc $\boxed{R=+\infty}$. (Variante : $|c_nx^n|\le|x|^n/n!$, car $|\lambda|\le1$.)
### Question 31
> [!INDICATION]
> Dériver terme à terme, décaler l'indice, et comparer avec la série de $\varphi(\lambda x)$.
#### Solution
$$\varphi'(x)=\sum_{m\ge0}\lambda^{\frac{(m+1)m}2}\frac{x^m}{m!},\qquad\varphi(\lambda x)=\sum_{m\ge0}\lambda^{\frac{m(m-1)}2+m}\frac{x^m}{m!}.$$
Comme $\frac{m(m-1)}2+m=\frac{m(m+1)}2$, les deux séries coïncident : $\boxed{\varphi\in S_\lambda}$.
> [!METHODE]
> L'identité $\frac{m(m-1)}2+m=\frac{m(m+1)}2$ explique le choix de l'exposant : chaque dérivation multiplie l'argument par $\lambda$ une fois de plus.
### Question 32
> [!INDICATION]
> Écrire $f'$ et $x\mapsto f(\lambda x)$ comme des séries entières de rayon infini, puis identifier les coefficients.
#### Solution
$f'(x)=\sum_n(n+1)a_{n+1}x^n$ et $f(\lambda x)=\sum_n\lambda^na_nx^n$ sur $\mathbb R$. Par unicité du développement en série entière :
$$\boxed{(n+1)a_{n+1}=\lambda^na_n\quad(n\in\mathbb N).}$$
### Question 33
> [!INDICATION]
> Résoudre la récurrence de la Q32 en exprimant $a_n$ en fonction de $a_0$. Pour la réciproque, utiliser les Q26 et Q31.
#### Solution
Par récurrence, $a_n=a_0\frac{\lambda^{n(n-1)/2}}{n!}$, car $\frac{n(n-1)}2+n=\frac{n(n+1)}2$. Donc $f=a_0\varphi$. Réciproquement, $\mathrm{Vect}(\varphi)\subset S_\lambda$ (Q26 et Q31).
$$\boxed{f\in S_\lambda\iff f\in\mathrm{Vect}(\varphi).}$$
> [!METHODE]
> Contrôles : pour $\lambda=1$, $\varphi=\exp$ ; pour $\lambda=-1$, les signes $(-1)^{n(n-1)/2}$ suivent le motif $+,+,-,-$, et $\varphi=\cos+\sin$. On retrouve la partie I.
## Exercice 3, Partie III — Détermination de toutes les solutions
Il reste à montrer qu'il n'y a pas d'autre solution que les séries entières : $f$ est de classe $\mathcal C^\infty$, ses dérivées sont uniformément bornées sur tout segment, et le reste de Taylor tend vers $0$.
### Question 34
> [!INDICATION]
> Récurrence sur $n$, avec un prédicat qui contient à la fois la régularité et la formule.
> [!INDICATION]
> Pour l'hérédité, dériver $t\mapsto f(\lambda^nt)$ et appliquer $(E_\lambda)$ au point $\lambda^nt$.
#### Solution
$\mathcal P(0)$ est vraie, car $f$ est continue. Si $\mathcal P(n)$ est vraie, $t\mapsto\lambda^{n(n-1)/2}f(\lambda^nt)$ est dérivable, de dérivée $\lambda^{n(n-1)/2}\lambda^nf'(\lambda^nt)=\lambda^{n(n+1)/2}f(\lambda^{n+1}t)$, qui est continue. Donc $f\in\mathcal C^{n+1}$ et la formule est vraie au rang $n+1$.
$$\boxed{f\in\mathcal C^n(\mathbb R)\ \text{et}\ f^{(n)}(t)=\lambda^{\frac{n(n-1)}2}f(\lambda^nt)\ \text{pour tout } n.}$$
> [!PIEGE]
> Oublier la régularité dans le prédicat : c'est elle qui permet d'appliquer ensuite la formule de Taylor, valable pour une fonction $\mathcal C^\infty$.
### Question 35
> [!INDICATION]
> Majorer $|f^{(n+1)}(t)|$ indépendamment de $n$ et de $t$ grâce à la Q34. Où se trouve $\lambda^{n+1}t$ quand $t\in[-a,a]$ ?
> [!INDICATION]
> Il reste $\frac{(2a)^n}{n!}$ : quelle est sa limite ?
#### Solution
$f$ est bornée sur le segment $[-a,a]$ par $M_a$. Comme $|\lambda|\le1$, $\lambda^{n+1}t\in[-a,a]$ et $|\lambda|^{n(n+1)/2}\le1$, donc $|f^{(n+1)}(t)|\le M_a$. Avec $|x-t|\le2a$ :
$$\sup_{[-a,a]}|g_n|\le\frac{(2a)^n}{n!}M_a\to0 .$$
**Convergence uniforme de $(g_n)$ vers $0$ sur $[-a,a]$.**
> [!METHODE]
> L'hypothèse $|\lambda|\le1$ sert exactement ici : elle confine $\lambda^{n+1}t$ dans le segment où $f$ est bornée. Pour $|\lambda|>1$, cet argument ne fonctionne plus.
### Question 36
> [!INDICATION]
> Écrire la formule de Taylor admise au point $x$ et majorer le reste intégral à l'aide de la Q35, avec un $a$ choisi en fonction de $x$.
#### Solution
Pour $x\in\mathbb R$, prenons $a=|x|+1$. Alors
$$\left|f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k\right|=\left|\int_0^xg_n\right|\le|x|\sup_{[-a,a]}|g_n|\to0 .$$
La série de Taylor de $f$ converge vers $f(x)$ pour tout réel $x$ : **$f$ est développable en série entière sur $\mathbb R$**, avec un rayon infini. (Et $f=f(0)\varphi$, par la Q34 en $0$.)
> [!PIEGE]
> Il ne suffit pas que la série de Taylor converge : il faut qu'elle converge **vers $f$**. C'est exactement ce que donne la limite nulle du reste.
### Question 37
> [!INDICATION]
> Combiner les parties II et III. Ne pas oublier le cas $\lambda=0$, exclu de ces parties.
#### Solution
Pour $\lambda\ne0$ : toute $f\in S_\lambda$ est somme d'une série entière de rayon infini (Q36), donc $f\in\mathrm{Vect}(\varphi)$ (Q33). Réciproquement, $\mathrm{Vect}(\varphi)\subset S_\lambda$. Ainsi $S_\lambda=\mathrm{Vect}(\varphi)$, avec $\varphi(0)=1\ne0$. Pour $\lambda=0$, $S_0=\mathrm{Vect}(x\mapsto1+x)$ (Q28).
$$\boxed{\dim S_\lambda=1\ \text{pour tout }\lambda\in[-1,1].}$$
> [!JURY]
> Justifier que la famille $(\varphi)$ est libre, c'est-à-dire $\varphi\ne0$ : c'est ce qui distingue la dimension $1$ de la dimension $0$.
## Bilan
**Méthodes à retenir**
- Pour une matrice par blocs répétitifs, chercher une base adaptée (vecteurs $(x,\pm x)$) ou une conjugaison explicite. Des matrices semblables ont même polynôme caractéristique et la même diagonalisabilité.
- Diagonalisable si et seulement s'il existe un polynôme annulateur scindé à racines simples. Savoir transporter un tel polynôme par $X\mapsto X/2$ et contrôler le caractère « racines simples ». En une racine simple, la dérivée ne s'annule pas.
- $Q\begin{pmatrix}A&A\\O&A\end{pmatrix}$ fait apparaître $AQ'(A)$ : c'est la signature d'une partie nilpotente, qui empêche la diagonalisabilité.
- Loi d'une somme de variables indépendantes : fonction génératrice, produit, développement en série entière, unicité des coefficients.
- Loi d'un maximum : passer par $P(\max\le k)=\prod P(X_i\le k)$.
- $E(X)=\sum_{k\ge0}P(X>k)$ pour $X$ à valeurs entières, démontrée par sommes finies.
- Comparaison série-intégrale pour une fonction décroissante, et équivalent par encadrement quand l'intégrale tend vers l'infini.
- Équation fonctionnelle : solutions développables en série entière par récurrence sur les coefficients, puis majoration du reste de Taylor pour montrer qu'il n'y en a pas d'autres.
**Prérequis à revoir** : calcul par blocs, déterminant et homogénéité, théorème spectral et matrices positives, lemme des coalitions, série du binôme $(1+x)^\alpha$, changement de variable dans une intégrale impropre, dérivation terme à terme, formule de Taylor avec reste intégral.
**Questions transposables** : le spectre de $\begin{pmatrix}A&A\\A&A\end{pmatrix}$ et ses variantes $\begin{pmatrix}\alpha A&\beta A\\\gamma A&\delta A\end{pmatrix}$, que l'on réduit en diagonalisant la petite matrice $\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\\gamma&\delta\end{pmatrix}$, la loi de Pascal par fonction génératrice, l'équivalent $\ln n/\ln(1/q)$ du maximum de lois géométriques, et l'équation $f'(x)=f(\lambda x)$ (fonction « exponentielle déformée »).
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