Physique
CCINPMP2026
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## Présentation du sujet
**Cadre.** Épreuve spécifique MP5P, 4 heures, **calculatrices interdites**. Le sujet, « Cahier de bord d'une expédition sur la planète X », compte **51 questions** (Q1 à Q51, souvent subdivisées) en trois parties **totalement indépendantes**. Les données fournissent $e$, $m$, $h$, $c$ et deux aides au calcul mental : $\sqrt{2{,}5}\simeq1{,}6$ et $\pi^2\simeq10$. Notation : l'imaginaire pur $\iota$ de l'énoncé est écrit ici $\mathrm{i}$.
**Partie I — Le ressort, couteau-suisse de la physique (Q1–Q23).**
- *I.1 (Q1–Q13), champ de pesanteur* : gravitation d'une sphère homogène et développement limité, pendule simple, force d'inertie d'entraînement d'un référentiel en rotation, puis ressort vertical : mesure statique et dynamique de $g$, incertitude-type, et correction due à la masse du ressort (le « tiers de la masse du ressort ») par un bilan énergétique.
- *I.2 (Q14–Q21), sismologie* : ondes longitudinales et transversales, équation de d'Alembert, onde amortie par un terme en $\partial_t s$ (vecteur d'onde complexe), sismomètre modélisé par un oscillateur amorti dans un référentiel non galiléen, fonction de transfert passe-haut d'ordre 2, script Python à compléter, lecture d'un diagramme de Bode.
- *I.3 (Q22–Q23), thermodynamique* : loi de Laplace à partir de l'expression de $\mathrm{d}S$, puis analogie ressort–gaz parfait et protocole de mesure de température.
**Partie II — Interaction lumière-matière (Q24–Q42).** Modèle de l'électron élastiquement lié : origine de la force de rappel par le théorème de Gauss (modèle de Thomson), équations de Maxwell dans un diélectrique, structure de l'onde plane, approximations (force magnétique négligeable, champ uniforme à l'échelle atomique), réponse en régime forcé. Puis relation de dispersion avec $\varepsilon_r$ complexe, atténuation, vitesse de phase, vecteur de Poynting moyen et absorbance (loi de Beer-Lambert).
**Partie III — Mesure optique et spectroscopie (Q43–Q51).** Puits de potentiel infini, quantification de l'énergie, application au but-1,3-diène (transition HOMO–LUMO) ; trous d'Young éclairés en lumière parallèle, avec deux cuves, et mesure de l'indice d'un gaz par comptage de franges.
**Notions mobilisées.** Mécanique du point (PFD, référentiels non galiléens, énergie), oscillateurs libres et forcés, filtrage et diagrammes de Bode, ondes, thermodynamique (second principe), électrostatique (Gauss), électromagnétisme (Maxwell, ondes planes, Poynting), mécanique quantique (Schrödinger), optique ondulatoire. Un peu de Python (numpy).
**Difficulté et longueur.** Sujet long (51 questions en 4 heures, environ 4 à 5 minutes par question) mais très progressif ; la plupart des questions sont des applications directes du cours. Les difficultés sont ponctuelles : choix de la racine complexe (Q16.b), résonance d'un passe-haut (Q21.e), estimation de $\alpha$ (Q21.f), moyenne du vecteur de Poynting avec $k$ complexe (Q40), protocole ouvert (Q23.c).
**Questions à ne pas laisser passer.** Q1, Q2, Q5–Q9, Q14, Q15, Q22, Q25, Q27–Q29, Q34–Q37, Q43–Q46, Q47.a, Q49–Q50. Toutes les parties sont indépendantes : en cas de blocage, on change de partie.
**Gestion du temps.** Environ 1 h 45 pour la partie I (la plus longue), 1 h 15 pour la partie II, 45 minutes pour la partie III, et un peu de temps de relecture. Les applications numériques se font de tête : séparer mantisses et puissances de dix.
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## Partie I — Le ressort, couteau-suisse de la physique
### I.1 — Mesures du champ de pesanteur de la planète
On mesure $g$ de trois façons (pendule, ressort statique, ressort dynamique), puis on raffine le modèle du ressort en tenant compte de sa masse. Outils : gravitation, PFD, référentiels non galiléens, énergie mécanique.
### Question 1
> [!INDICATION]
> a) Pour une distribution de masse à symétrie sphérique, que vaut le champ à l'extérieur ? À quelle distance du centre se trouve la masse ?
> [!INDICATION]
> a) Faire apparaître le petit paramètre $z/R_\mathrm{p}$ et utiliser un développement limité à l'ordre un. b) Écrire la variation relative à partir du résultat de a).
#### Solution
**a)** La planète est une sphère homogène, donc à symétrie sphérique : à l'extérieur, son champ de gravitation est celui d'un point matériel de masse $M_\mathrm{p}$ placé en son centre (théorème de Gauss gravitationnel). La masse $m$ est à la distance $R_\mathrm{p}+z$ du centre :
$$F_\text{grav}=\frac{GM_\mathrm{p}m}{(R_\mathrm{p}+z)^2}=\frac{GM_\mathrm{p}m}{R_\mathrm{p}^2}\left(1+\frac{z}{R_\mathrm{p}}\right)^{-2}\simeq mg_\mathrm{o}\left(1-\frac{2z}{R_\mathrm{p}}\right)$$
$$\boxed{g_\mathrm{o}=\frac{GM_\mathrm{p}}{R_\mathrm{p}^2}}$$
**b)** La variation relative vaut $2z/R_\mathrm{p}$ ; elle reste inférieure à $10^{-2}$ si $z\le R_\mathrm{p}/200$ :
$$\boxed{z_\text{max}=\frac{R_\mathrm{p}}{200}=20\ \text{km}}$$
$20$ km est immense devant la taille des dispositifs de mesure : le champ de gravitation peut être considéré comme uniforme dans toutes les expériences de Major Tom.
> [!PIEGE]
> L'altitude est comptée depuis le sol : la distance au centre est $R_\mathrm{p}+z$, pas $z$. Et « commenter » demande de comparer $20$ km à l'échelle des expériences, pas seulement de dire que c'est grand.
### Question 2
> [!INDICATION]
> Choisir la base polaire liée au fil. Sur quel vecteur projeter le PFD pour éliminer la tension inconnue ?
> [!INDICATION]
> Pour la mesure, penser à l'isochronisme des petites oscillations et à la façon de réduire l'erreur due au déclenchement du chronomètre.
#### Solution
Dans le référentiel du sol (galiléen), $\overrightarrow{OM}=\ell\vec u_r$, $\vec a=-\ell\dot\theta^2\vec u_r+\ell\ddot\theta\,\vec u_\theta$. La tension est portée par $\vec u_r$ ; le poids s'écrit $mg_\mathrm{o}(\cos\theta\,\vec u_r-\sin\theta\,\vec u_\theta)$. En projection sur $\vec u_\theta$ :
$$\boxed{\ddot\theta+\frac{g_\mathrm{o}}{\ell}\sin\theta=0}$$
Pour de petites amplitudes, $\sin\theta\simeq\theta$ : période $T_\mathrm{o}=2\pi\sqrt{\ell/g_\mathrm{o}}$, indépendante de l'amplitude.
Protocole : mesurer $\ell$, lancer le pendule à faible amplitude, chronométrer la durée $t_N$ de $N$ oscillations ($N\simeq20$), d'où $T_\mathrm{o}=t_N/N$ et
$$\boxed{g_\mathrm{o}=\frac{4\pi^2\ell}{T_\mathrm{o}^2}}$$
> [!METHODE]
> Pour un mouvement circulaire, projeter le PFD sur $\vec u_\theta$ donne l'équation du mouvement ; la projection sur $\vec u_r$ ne sert qu'à calculer la tension. Chronométrer $N$ périodes divise par $N$ l'incertitude due au temps de réaction.
### Question 3
> [!INDICATION]
> Pour un corps au repos dans un référentiel en rotation uniforme, quelle est la trajectoire du point coïncident dans le référentiel galiléen ?
> [!INDICATION]
> Le rayon du cercle décrit est la distance à l'axe de rotation, à exprimer avec la latitude.
#### Solution
Le point coïncident décrit un cercle de centre $H$ (projeté sur l'axe) et de rayon $HM=R_\mathrm{p}\cos\lambda$, à la vitesse angulaire $\Omega$ constante : $\vec a_e=-\Omega^2\,\overrightarrow{HM}=-\Omega^2R_\mathrm{p}\cos\lambda\,\vec u$. D'où
$$\boxed{\vec F_{ie}=-m\vec a_e=m\Omega^2R_\mathrm{p}\cos\lambda\;\vec u}$$
Force centrifuge, maximale à l'équateur, nulle aux pôles. La force de Coriolis est nulle pour un corps au repos relatif.
> [!PIEGE]
> Le rayon est $R_\mathrm{p}\cos\lambda$ (distance à l'axe), non $R_\mathrm{p}$ (distance au centre).
### Question 4
> [!INDICATION]
> a) Traduire la définition rappelée par l'énoncé, en restant vectoriel.
> [!INDICATION]
> b) Une condition « à toute latitude » se teste à la latitude la plus défavorable. Puis éliminer $g_\mathrm{o}$ avec Q1.
#### Solution
**a)** $m\vec g=m\vec g_\mathrm{o}+\vec F_{ie}$ :
$$\boxed{\vec g=\vec g_\mathrm{o}+\Omega^2R_\mathrm{p}\cos\lambda\;\vec u}$$
**b)** Le terme centrifuge est maximal à l'équateur. On peut prendre $g\simeq g_\mathrm{o}$ partout si $\Omega^2R_\mathrm{p}\ll GM_\mathrm{p}/R_\mathrm{p}^2$ :
$$\boxed{\Omega^2R_\mathrm{p}^3\ll GM_\mathrm{p}}$$
La planète doit tourner beaucoup plus lentement qu'un satellite en orbite rasante.
> [!PIEGE]
> En a), une relation scalaire $g=g_\mathrm{o}+\Omega^2R_\mathrm{p}\cos\lambda$ est fausse : $\vec g_\mathrm{o}$ et $\vec u$ ne sont pas colinéaires en général.
### Question 5
> [!INDICATION]
> Écrire l'équilibre de la masse : deux forces verticales.
#### Solution
À l'équilibre, poids $mg$ vers le bas et tension $kh$ vers le haut (masse du ressort négligée) : $mg=kh$, d'où
$$\boxed{g=\frac{kh}{m}}$$
### Question 6
> [!INDICATION]
> Pour l'incertitude, $g$ est un produit-quotient : comment se composent les incertitudes relatives ?
> [!INDICATION]
> Annoncer une convention pour l'incertitude-type de chaque donnée (à partir du nombre de chiffres écrits), puis repérer le terme dominant.
#### Solution
$$g=\frac{50{,}0\times2{,}0\cdot10^{-2}}{0{,}200}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{g=5{,}0\ \text{m·s}^{-2}}$$
$$\frac{u(g)}{g}=\sqrt{\left(\frac{u(k)}{k}\right)^2+\left(\frac{u(h)}{h}\right)^2+\left(\frac{u(m)}{m}\right)^2}$$
Convention : une unité du dernier chiffre écrit comme étendue d'une loi uniforme, $u=\Delta/(2\sqrt3)$. Alors $u(k)/k\simeq6\cdot10^{-4}$, $u(m)/m\simeq1{,}4\cdot10^{-3}$, $u(h)/h\simeq1{,}4\cdot10^{-2}$. Le terme en $h$ domine :
$$\boxed{\frac{u(g)}{g}\simeq1{,}4\cdot10^{-2},\qquad g=(5{,}00\pm0{,}07)\ \text{m·s}^{-2}}$$
Avec une incertitude de lecture d'un millimètre sur $h$ on trouverait quelques pour cent ; dans tous les cas l'allongement, connu avec deux chiffres significatifs, limite la précision.
> [!METHODE]
> Produit-quotient : somme quadratique des incertitudes relatives. On commence toujours par annoncer d'où viennent les incertitudes-types, puis on identifie le terme dominant.
### Question 7
> [!INDICATION]
> Choisir l'origine à la position d'équilibre : que devient le poids dans l'équation ?
#### Solution
Avec $x$ l'écart à l'équilibre (vers le bas), l'allongement est $h+x$ et $m\ddot x=mg-k(h+x)=-kx$ puisque $mg=kh$ :
$$\boxed{\ddot x+\frac kmx=0}$$
> [!METHODE]
> Pour un oscillateur vertical, repérer la position à partir de l'équilibre fait disparaître le poids et la longueur à vide.
### Question 8
> [!INDICATION]
> Solution générale d'un oscillateur harmonique, puis deux conditions initiales.
#### Solution
$x(t)=A\cos(\omega_\mathrm{o}t)+B\sin(\omega_\mathrm{o}t)$ avec $x(0)=x_\mathrm{o}$, $\dot x(0)=0$ :
$$\boxed{x(t)=x_\mathrm{o}\cos(\omega_\mathrm{o}t),\qquad\omega_\mathrm{o}=\sqrt{\frac km}}$$
### Question 9
> [!INDICATION]
> a) Éliminer le rapport $k/m$ entre Q5 et Q8.
> [!INDICATION]
> b) Combien de périodes dans $N$ allers-retours ? Penser à l'aide $\pi^2\simeq10$.
#### Solution
**a)** $g=kh/m$ et $\omega_\mathrm{o}^2=k/m$ :
$$\boxed{g=\omega_\mathrm{o}^2h}$$
**b)** Un aller-retour est une période : $T=4/10=0{,}40$ s, $\omega_\mathrm{o}=2\pi/T=5\pi$ rad·s⁻¹, et
$$g=25\pi^2\times2{,}0\cdot10^{-2}=0{,}50\,\pi^2\quad\Longrightarrow\quad\boxed{g\simeq5{,}0\ \text{m·s}^{-2}}$$
Même valeur que la méthode statique : les deux mesures sont compatibles. La pesanteur vaut environ la moitié de celle de la Terre. $T_{10}=4$ s n'a qu'un chiffre significatif, ce qui limite la précision de cette mesure.
> [!PIEGE]
> Un aller-retour est une période complète, pas une demi-période ; la confusion donnerait une valeur quatre fois trop petite.
### Question 10
> [!INDICATION]
> a) Dériver $\xi$ par rapport au temps à $\tau$ fixé, puis sommer les énergies cinétiques des éléments de ressort.
> [!INDICATION]
> a) L'intégrale à calculer porte sur $\tau^2$, entre $0$ et $\ell$. b) Quel est le maximum de $\sin^2$ ?
#### Solution
**a)** $\partial_t\xi=-\dfrac\tau\ell x_\mathrm{o}\Gamma\sin(\Gamma t)$, d'où $\mathrm{d}E_c=\dfrac12\dfrac{m_\mathrm{o}\mathrm{d}\tau}{\ell}\dfrac{\tau^2}{\ell^2}x_\mathrm{o}^2\Gamma^2\sin^2(\Gamma t)$ et, avec $\int_0^\ell\tau^2\mathrm{d}\tau=\ell^3/3$ :
$$\boxed{E_c(t)=\frac16m_\mathrm{o}x_\mathrm{o}^2\Gamma^2\sin^2(\Gamma t)}$$
**b)** $\sin^2(\Gamma t)$ atteint $1$ :
$$\boxed{E_{c,\max}=\frac16m_\mathrm{o}x_\mathrm{o}^2\Gamma^2}$$
> [!METHODE]
> Le résultat ne dépend pas de $\ell$ : c'est un contrôle immédiat de l'intégration.
### Question 11
> [!INDICATION]
> Le système comprend le ressort et la masse : écrire l'énergie cinétique totale (la masse est à l'extrémité $\tau=\ell$).
> [!INDICATION]
> Autour de l'équilibre, l'énergie potentielle totale (élastique et pesanteur) se réduit à $\frac12kx^2$ à une constante près. La conservation de l'énergie impose une relation entre les coefficients de $\sin^2$ et $\cos^2$.
#### Solution
La masse $m$ a pour énergie cinétique $\frac12mx_\mathrm{o}^2\Gamma^2\sin^2(\Gamma t)$, d'où
$$E_c^\text{tot}=\frac12\left(m+\frac{m_\mathrm{o}}3\right)x_\mathrm{o}^2\Gamma^2\sin^2(\Gamma t).$$
L'énergie potentielle vaut $\frac12k(h+x)^2-mgx+\text{cte}=\frac12kx^2+\text{cte}$ (car $kh=mg$), soit $\frac12kx_\mathrm{o}^2\cos^2(\Gamma t)+\text{cte}$. L'énergie totale étant constante, les coefficients de $\sin^2$ et $\cos^2$ sont égaux :
$$\left(m+\frac{m_\mathrm{o}}3\right)\Gamma^2=k\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\Gamma=\frac{\omega_\mathrm{o}}{\sqrt{1+\beta}},\qquad\beta=\frac{m_\mathrm{o}}{3m}}$$
Le ressort se comporte comme une masse $m_\mathrm{o}/3$ ajoutée à $m$ ; $\Gamma<\omega_\mathrm{o}$, l'oscillateur alourdi est plus lent.
> [!PIEGE]
> Oublier l'énergie cinétique de $m$, ou garder le terme de pesanteur dans $E_p$ sans utiliser $kh=mg$.
### Question 12
> [!INDICATION]
> La statique ne change pas ; qu'est-ce qui change dans la mesure dynamique ?
> [!INDICATION]
> La pulsation lue au chronomètre est maintenant $\Gamma$ : exprimer $\omega_\mathrm{o}$ en fonction d'elle grâce à Q11.
#### Solution
L'équilibre donne toujours $g=kh/m=\omega_\mathrm{o}^2h$, mais la pulsation mesurée est $\Gamma$, avec $\omega_\mathrm{o}^2=(1+\beta)\Gamma^2$ :
$$\boxed{g=\omega_\mathrm{o}^2h=(1+\beta)\,\Gamma^2h}$$
Si l'on note $\omega_\mathrm{o}$ la pulsation effectivement mesurée, comme en Q9, la formule corrigée s'écrit $g=(1+\beta)\,\omega_\mathrm{o}^2h$.
> [!PIEGE]
> L'énoncé fait figurer $\beta$ dans la réponse : c'est le signe que la grandeur mesurée n'est plus $\omega_\mathrm{o}$. Préciser quelle pulsation on mesure lève l'ambiguïté.
### Question 13
> [!INDICATION]
> Calculer $\beta$, puis réutiliser la mesure de Q9.b, qui est en réalité une mesure de $\Gamma$.
> [!INDICATION]
> Pour commenter, comparer la correction relative à l'incertitude de Q6.
#### Solution
$\beta=1/30$ ; avec $\Gamma^2h\simeq5{,}0$ m·s⁻² :
$$g=\frac{31}{30}\times5{,}0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{g\simeq5{,}2\ \text{m·s}^{-2}}$$
La correction ($\simeq3\,\%$) dépasse l'incertitude relative estimée en Q6 : pour une mesure fine, on ne peut pas négliger la masse du ressort.
> [!METHODE]
> Commenter une correction, c'est la comparer à l'incertitude de mesure : elle n'est négligeable que si elle lui est nettement inférieure.
### I.2 — Que tremble la planète !
On passe aux ondes sismiques, d'abord libres puis amorties, et à l'instrument qui les détecte. Outils : ondes, notation complexe, référentiel non galiléen en translation, fonction de transfert, diagramme de Bode, Python.
### Question 14
> [!INDICATION]
> a) Comparer la direction de la grandeur qui vibre et celle de la propagation. b) Quelle est la dimension de $c_s$ ?
#### Solution
**a)** Onde **longitudinale** : la grandeur vectorielle qui se propage (déplacement de matière) est parallèle à la direction de propagation (son dans un fluide, ondes sismiques P). Onde **transversale** : elle lui est perpendiculaire (corde vibrante, ondes sismiques S, onde électromagnétique dans le vide).
**b)** $c_s$ est la **célérité** de l'onde, vitesse de propagation en m·s⁻¹, indépendante de la fréquence pour l'équation de d'Alembert.
> [!PIEGE]
> Ne pas confondre la célérité de l'onde et la vitesse de déplacement de la matière $\partial s/\partial t$.
### Question 15
> [!INDICATION]
> a) Suivre un plan de phase constante. b) Remplacer les dérivées par des multiplications en notation complexe.
#### Solution
**a)** La phase $\omega t-kz$ est constante sur des plans qui avancent à la vitesse $\omega/k>0$ : propagation **selon $(Oz)$, vers les $z$ croissants**.
**b)** $\partial_t\to\mathrm{i}\omega$, $\partial_z\to-\mathrm{i}k$ :
$$\boxed{k^2=\frac{\omega^2}{c_s^2},\qquad k=\frac\omega{c_s}}$$
Milieu non dispersif.
### Question 16
> [!INDICATION]
> a) Même méthode qu'en Q15.b, en gardant le nouveau terme. b) Mettre $\omega^2/c_s^2$ en facteur pour faire apparaître le petit paramètre, puis développer la racine.
> [!INDICATION]
> b) Une racine carrée complexe a deux déterminations : laquelle décrit une onde qui avance vers $+z$ en s'atténuant ? c) Séparer partie réelle et partie imaginaire de $k$ dans l'exponentielle.
> [!INDICATION]
> d) Penser au tracé d'une sinusoïde « enveloppée » par deux exponentielles.
#### Solution
**a)**
$$\boxed{k^2=\frac{\omega^2}{c_s^2}-\mathrm{i}\eta\omega=\frac{\omega^2}{c_s^2}\left(1-\mathrm{i}\frac{\eta c_s^2}{\omega}\right)}$$
**b)** Avec $\sqrt{1+u}\simeq1+u/2$ : $k=\pm\left(\dfrac{\omega}{c_s}-\mathrm{i}\dfrac{\eta c_s}{2}\right)$. Propagation vers $+z$ : $k_r>0$, donc
$$\boxed{k_r=\frac\omega{c_s},\qquad k_i=-\frac{\eta c_s}{2}}$$
$e^{-\mathrm{i}kz}$ contient $e^{k_iz}$, décroissant avec $z$ : l'onde s'atténue bien dans le sens de propagation.
**c)** $s=\mathrm{Re}\left(S_\mathrm{o}e^{k_iz}e^{\mathrm{i}(\omega t-k_rz)}\right)=S_\mathrm{o}\cos(\omega t-k_rz)e^{k_iz}$ :
$$\boxed{a=\frac\omega{c_s},\qquad b=-\frac1{k_i}=\frac2{\eta c_s}}$$
**d)** $b$ est la **distance caractéristique d'atténuation** : l'amplitude est divisée par $e$ sur la distance $b$. À $t$ fixé ($\omega t=0$), la courbe est une sinusoïde de période spatiale $2\pi/a$ comprise entre les enveloppes $\pm S_\mathrm{o}e^{-z/b}$ ; on fait figurer $S_\mathrm{o}$, la distance $2\pi/a$ entre deux maxima et l'abscisse $b$, où l'enveloppe vaut $S_\mathrm{o}/e\simeq0{,}37\,S_\mathrm{o}$ (figure 1).
> [!PIEGE]
> Le signe de $k_i$ ne se choisit pas au hasard : avec la convention $e^{\mathrm{i}(\omega t-kz)}$, une onde atténuée vers $+z$ impose $k_i<0$, donc $b=-1/k_i>0$.
### Question 17
> [!INDICATION]
> Travailler dans le référentiel du bâti : il est en translation accélérée. Quelles forces d'inertie apparaissent ?
> [!INDICATION]
> Écrire le PFD avec la longueur $\ell$, puis soustraire la condition d'équilibre relatif pour passer à $u$.
#### Solution
$\mathcal R_b$ est en translation par rapport au référentiel galiléen : force d'inertie d'entraînement $-M\ddot X\vec e_x$, pas de force de Coriolis. Avec $\vec e_x$ vers le bas :
$$M\ddot\ell=Mg-k(\ell-\ell_\mathrm{o})-\alpha\dot\ell-M\ddot X.$$
L'équilibre relatif donne $Mg=k(\ell_{eq}-\ell_\mathrm{o})$ ; avec $u=\ell-\ell_{eq}$ :
$$\ddot u+\frac\alpha M\dot u+\frac kMu=-\ddot X\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\Omega_\mathrm{o}=\sqrt{\frac kM},\qquad Q=\frac{\sqrt{kM}}{\alpha}}$$
> [!PIEGE]
> Le frottement porte sur la vitesse relative au bâti, comme le précise l'énoncé.
### Question 18
> [!INDICATION]
> Distinguer le mouvement du sol et le mouvement de la masse par rapport au bâti.
#### Solution
$A$ : amplitude du déplacement du sol (et du bâti), grandeur à mesurer. $B$ : amplitude du déplacement de la masse $M$ par rapport au bâti, grandeur enregistrée. $\phi$ : déphasage de $u$ par rapport à $X$.
### Question 19
> [!INDICATION]
> En complexe, $\ddot X=-\omega^2X$ ; attention aux deux signes moins.
#### Solution
$$\left(\Omega_\mathrm{o}^2-\omega^2+\mathrm{i}\frac{\omega\Omega_\mathrm{o}}{Q}\right)\underline u=\omega^2\underline X$$
$$\boxed{H(\omega)=\frac{\omega^2}{\sqrt{(\Omega_\mathrm{o}^2-\omega^2)^2+(\omega\Omega_\mathrm{o}/Q)^2}}=\frac{x^2}{\sqrt{(1-x^2)^2+(x/Q)^2}},\quad x=\frac\omega{\Omega_\mathrm{o}}}$$
C'est la fonction $g(x,Q)$ du script 1 (figure 6).
### Question 20
> [!INDICATION]
> Le tableau `frequencies` contient des fréquences, pas des pulsations.
> [!INDICATION]
> Choisir une définition de `alpha` (coefficient du terme d'amortissement), puis écrire le gain en décibels de façon cohérente avec ce choix, avec des fonctions numpy vectorielles.
#### Solution
Avec `alpha` $=\omega_0/Q$ :
```python
omega0 = 2*np.pi*f0
alpha = omega0/Q
gain_db = 20*np.log10((2*np.pi*frequencies)**2 / np.sqrt((omega0**2 - (2*np.pi*frequencies)**2)**2 + (alpha*2*np.pi*frequencies)**2))
```
Pour $f_0=10$ Hz et $Q=100$, ce code donne $-40$ dB à $1$ Hz, $0$ dB en haute fréquence et un pic de $+40$ dB vers $10$ Hz : c'est la figure 7.
> [!PIEGE]
> Oublier le facteur $2\pi$, utiliser $10\log_{10}$ (réservé aux puissances) ou `math.sqrt`, qui n'accepte pas de tableau.
### Question 21
> [!INDICATION]
> a) Garder le terme dominant du dénominateur dans chaque limite. b) et c) Prendre $20\log$ des équivalents.
> [!INDICATION]
> e) Plutôt que de dériver $H$, étudier $1/H^2$ en fonction de $X=x^2$ ; ne pas oublier la condition d'existence.
> [!INDICATION]
> f) Que vaut $H$ en $x=1$ ? Lire le pic sur les figures 6 et 7. Pour $\alpha$, il faut une raideur : laquelle connaît-on ?
#### Solution
**a)** $\underline H=\dfrac{x^2}{1-x^2+\mathrm{i}x/Q}$ : en basses fréquences $H\simeq(f/f_0)^2$, en hautes fréquences $H\simeq1$.
**b)**
$$\boxed{G_\mathrm{dB}^\mathrm{BF}=40\log\left(\frac f{f_0}\right),\qquad G_\mathrm{dB}^\mathrm{HF}=0}$$
**c)** Intersection en $\log(f/f_0)=0$, soit $\boxed{f=f_0,\ G_\mathrm{dB}=0}$.
**d)** **Passe-haut du second ordre** : le sismomètre restitue fidèlement les vibrations de fréquence grande devant $f_0$.
**e)** $\Phi(X)=\dfrac{(1-X)^2+X/Q^2}{X^2}$, $\Phi'(X)=\dfrac{1}{X^3}\left(2X-\dfrac X{Q^2}-2\right)$, nulle en $X=\dfrac{2Q^2}{2Q^2-1}$ (si $Q>1/\sqrt2$), où $\Phi$ est minimale :
$$\boxed{\omega_\text{rés}=\frac{\Omega_\mathrm{o}}{\sqrt{1-\dfrac1{2Q^2}}}\quad(Q>1/\sqrt2)}$$
et $H_\text{max}=Q/\sqrt{1-1/(4Q^2)}\simeq Q$ pour $Q\gg1$.
**f)** $H(1)=Q$ et, pour $Q\gg1$, $H_\text{max}\simeq Q$. Figure 6 : pic à $100$ ; figure 7 : pic à $40$ dB, soit $10^2$ :
$$\boxed{Q\simeq100}$$
Figure 7 : $f_0=10$ Hz, $\Omega_\mathrm{o}=20\pi$ rad·s⁻¹. En prenant la raideur $k=50{,}0$ N·m⁻¹ du ressort de Major Tom (initiative à signaler), $M=k/\Omega_\mathrm{o}^2\simeq50/4\,000=1{,}25\cdot10^{-2}$ kg et
$$\alpha=\frac{\sqrt{kM}}Q=\frac{\sqrt{2{,}5}}{2\times100}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\alpha\simeq8\cdot10^{-3}\ \text{kg·s}^{-1}}$$
> [!PIEGE]
> La résonance d'un passe-haut est au-dessus de $\Omega_\mathrm{o}$ : la formule $\Omega_\mathrm{o}\sqrt{1-1/(2Q^2)}$ est celle de la résonance en élongation d'un passe-bas.
> [!METHODE]
> Les aides numériques de l'énoncé indiquent souvent le calcul attendu : ici $\sqrt{2{,}5}$ apparaît exactement dans $\sqrt{kM}$.
### I.3 — Température de l'atmosphère
On établit la loi de Laplace, puis on transpose au ressort par analogie, $(P,V)$ devenant le couple force–longueur. Outils : second principe, intégration d'une forme différentielle.
### Question 22
> [!INDICATION]
> a) Second principe : quels sont les deux termes de $\mathrm{d}S$, et lequel s'annule sous chaque hypothèse ? b) Éliminer $P$ avec l'équation d'état.
> [!INDICATION]
> c) Intégrer une somme de dérivées logarithmiques.
#### Solution
**a)** $\mathrm{d}S=\delta S_\text{e}+\delta S_\text{c}$ ; adiabatique : $\delta S_\text{e}=0$ ; réversible : $\delta S_\text{c}=0$. Donc $\boxed{\mathrm{d}S=0}$ (isentropique).
**b)** $P/T=nR/V$ :
$$\frac{nR}{\gamma-1}\frac{\mathrm{d}T}T+nR\frac{\mathrm{d}V}V=0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\frac{\mathrm{d}T}T+(\gamma-1)\frac{\mathrm{d}V}V=0}$$
**c)** $\boxed{TV^{\gamma-1}=\text{cte}}$ : **loi de Laplace** (gaz parfait, $\gamma$ constant, adiabatique réversible).
### Question 23
> [!INDICATION]
> a) Que devient $\mathrm{d}S$ à longueur constante ? À quoi correspond le coefficient $nR/(\gamma-1)$ pour le gaz ?
> [!INDICATION]
> b) Séparer les variables et intégrer ; le terme en $\ell$ donne un carré. c) Quelle grandeur mesurable avec les moyens de Major Tom dépend de $T$ ?
> [!INDICATION]
> c) La raideur se mesure par une période d'oscillation. Utiliser Q23.b pour discuter l'effet des oscillations sur la température du ressort.
#### Solution
**a)** $C_\ell$ est la **capacité thermique du ressort à longueur constante** (analogue de $C_V$) : à $\ell$ fixée, $\delta Q_\text{rév}=T\mathrm{d}S=C_\ell\mathrm{d}T$ ; unité J·K⁻¹.
**b)** $C_\ell\dfrac{\mathrm{d}T}{T}=-D(\ell-\ell_\mathrm{o})\mathrm{d}\ell$, d'où
$$\boxed{T_f=T_i\exp\left(-\frac D{2C_\ell}\left[(\ell_f-\ell_\mathrm{o})^2-(\ell_i-\ell_\mathrm{o})^2\right]\right)}$$
$\ell_\mathrm{o}$ apparaît nécessairement (imprécision de l'énoncé). Un étirement isentrope refroidit le ressort.
**c)** Les constantes $k_\mathrm{o}$ et $D$ sont connues (mesures préalables). Protocole :
1. laisser le ressort, chargé d'une masse connue $m$, s'équilibrer thermiquement avec l'atmosphère ;
2. chronométrer $N$ petites oscillations, d'où la période $T_\text{osc}$ et $k=4\pi^2m/T_\text{osc}^2$ ;
3. en déduire $\boxed{T=\dfrac{k_\mathrm{o}-k}{D}}$.
D'après Q23.b, les oscillations (rapides, donc adiabatiques, et quasi statiques) sont isentropes : la température du ressort fluctue relativement de l'ordre de $\frac D{C_\ell}(\ell_\text{eq}-\ell_\mathrm{o})x_\mathrm{o}$, négligeable pour de petites amplitudes, de moyenne nulle au premier ordre. Variante sans $k_\mathrm{o}$ : mesurer $k_i$, étirer rapidement et sans à-coups de $\ell_i$ à $\ell_f$, mesurer $k_f$ ; avec $\Delta=\frac{D}{2C_\ell}[(\ell_f-\ell_\mathrm{o})^2-(\ell_i-\ell_\mathrm{o})^2]$, $T=\dfrac{k_f-k_i}{D(1-e^{-\Delta})}$ (peu sensible car $\Delta$ est petit).
> [!METHODE]
> « Rapide » assure l'adiabaticité (pas le temps d'échanger de la chaleur), « sans à-coups » la quasi-staticité : les deux ensemble donnent une transformation isentrope.
---
## Partie II — Interaction lumière-matière
### II.1 — Modèle de l'électron élastiquement lié et propagation du rayonnement
On justifie le modèle de l'électron lié (origine électrostatique de la force de rappel), puis on étudie l'onde dans le milieu et la réponse de l'électron. Outils : théorème de Gauss, équations de Maxwell, notation complexe, oscillateur forcé.
### Question 24
> [!INDICATION]
> Comparer les masses, donc les accélérations sous des forces du même ordre.
#### Solution
La charge positive porte l'essentiel de la masse de l'atome, au moins $m_\text{p}/m\simeq1\,836$ fois celle de l'électron. Soumise à des forces du même ordre (actions réciproques, force électrique proportionnelle à la charge), elle a une accélération au moins mille fois plus faible : on la considère comme fixe, et son référentiel comme galiléen.
> [!METHODE]
> « Motiver un choix de modèle » appelle un argument quantitatif : un rapport de masses, de durées ou de longueurs.
### Question 25
> [!INDICATION]
> a) Invariances pour la dépendance, symétries pour la direction : ce sont deux arguments distincts.
> [!INDICATION]
> b) Théorème de Gauss sur une sphère intérieure : seule la charge contenue compte. c) Calculer la force sur une charge $-e$ et l'écrire en fonction de $\overrightarrow{OM}$.
#### Solution
**a)** Invariance par toute rotation autour de $O$ : $\vec E$ ne dépend que de $r$. Tout plan contenant $O$ et $M$ est plan de symétrie : $\vec E(M)$ est porté par $(OM)$. Donc $\vec E=E(r)\vec u_r$.
**b)** $4\pi r^2E(r)=\dfrac{Q_\mathrm{o}}{\varepsilon_\mathrm{o}}\dfrac{r^3}{R_\mathrm{o}^3}$ :
$$\boxed{\vec E=\frac{Q_\mathrm{o}\,r}{4\pi\varepsilon_\mathrm{o}R_\mathrm{o}^3}\vec u_r\quad(r<R_\mathrm{o})}$$
**c)** $\vec f=-e\vec E=-\dfrac{eQ_\mathrm{o}}{4\pi\varepsilon_\mathrm{o}R_\mathrm{o}^3}\overrightarrow{OM}$ : la force de rappel modélise **l'attraction électrostatique de la charge positive répartie** sur l'électron, avec
$$\boxed{\kappa=\frac{eQ_\mathrm{o}}{4\pi\varepsilon_\mathrm{o}R_\mathrm{o}^3}}$$
> [!PIEGE]
> À l'intérieur d'une distribution volumique, $Q_\text{int}\neq Q_\mathrm{o}$ : c'est le facteur $(r/R_\mathrm{o})^3$ qui rend la force proportionnelle à $r$.
### Question 26
> [!INDICATION]
> Écrire les équations dans le vide (sans charge ni courant) et repérer celle qui diffère.
#### Solution
Dans le vide : $\mathrm{div}\,\vec E=0$, $\mathrm{div}\,\vec B=0$, $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec E=-\partial_t\vec B$, $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec B=\mu_\mathrm{o}\varepsilon_\mathrm{o}\partial_t\vec E$. Seule Maxwell-Ampère change, par $\varepsilon_\mathrm{o}\to\varepsilon_\mathrm{o}\varepsilon_r$ : le milieu neutre et isolant se comporte comme un vide de permittivité $\varepsilon_\mathrm{o}\varepsilon_r$, la réponse des électrons liés étant contenue dans $\varepsilon_r$ (complexe).
> [!PIEGE]
> Dans le vide il n'y a ni $\rho$ ni $\vec\jmath$ : comparer avec la forme générale des équations ne répond pas à la question.
### Question 27
> [!INDICATION]
> Lire la phase et la direction du vecteur champ.
#### Solution
Propagation selon $+\vec u_z$, vecteur d'onde $\vec k=k\vec u_z$, polarisation rectiligne selon $\vec u_x$.
### Question 28
> [!INDICATION]
> Pour une onde plane, que devient l'opérateur divergence ? Utiliser Maxwell-Gauss dans le milieu.
#### Solution
$\mathrm{div}\,\underline{\vec E}=-\mathrm{i}\vec k\cdot\underline{\vec E}=0$ : $\vec E$ est orthogonal à la direction de propagation, il est **transverse**.
### Question 29
> [!INDICATION]
> Maxwell-Faraday en notation complexe, puis un produit vectoriel.
#### Solution
$-\mathrm{i}\vec k\wedge\underline{\vec E}=-\mathrm{i}\omega\underline{\vec B}$ :
$$\boxed{\underline{\vec B}=\frac{\vec k\wedge\underline{\vec E}}\omega=\frac k\omega E_\mathrm{o}e^{\mathrm{i}(\omega t-kz)}\vec u_y}$$
$\underline{\vec B}\perp\vec k$ : transverse.
> [!METHODE]
> Pour une onde plane, $\nabla\to-\mathrm{i}\vec k$ et $\partial_t\to\mathrm{i}\omega$ transforment les équations de Maxwell en relations algébriques.
### Question 30
> [!INDICATION]
> Comparer $\|\vec v\wedge\vec B\|$ à $\|\vec E\|$ en utilisant la relation de structure de Q29.
#### Solution
$\|\vec B\|\sim\|\vec E\|/v$ avec $v=\omega/|k|\sim c$ ; le rapport des forces est au plus $v_e/v$ :
$$\boxed{v_e\ll c}$$
l'électron doit rester non relativiste (champ d'amplitude modérée).
### Question 31
> [!INDICATION]
> Donner un ordre de grandeur de la taille atomique, puis comparer à la longueur d'onde (ou calculer la variation de phase sur l'atome).
#### Solution
Taille d'un atome : $d\sim10^{-10}$ m. Pour $\lambda=200$ nm, la phase varie sur l'atome de $2\pi d/\lambda\simeq3\cdot10^{-3}$ rad $\ll1$ ($d/\lambda\sim5\cdot10^{-4}$) : le champ est **uniforme à l'échelle atomique**.
### Question 32
> [!INDICATION]
> Bilan des forces dans le référentiel de la charge positive, en utilisant les deux approximations précédentes.
> [!INDICATION]
> L'équation porte sur la grandeur réelle $\vec r(t)$ : écrire le champ réel au niveau de l'atome.
#### Solution
$$\boxed{m\ddot{\vec r}+\alpha\dot{\vec r}+\kappa\vec r=-eE_\mathrm{o}\cos(\omega t)\vec u_x}$$
(atome en $z=0$, force magnétique négligée par Q30, champ uniforme par Q31, poids négligeable).
> [!PIEGE]
> Le second membre porte la charge $-e$ ; un signe faux ne change pas les modules mais fausse les phases.
### Question 33
> [!INDICATION]
> Passer en complexe, puis identifier terme à terme avec la forme donnée.
#### Solution
$$\left(\frac\kappa m-\omega^2+\mathrm{i}\frac\alpha m\omega\right)\underline{\vec r}=-\frac em\underline{\vec E}$$
$$\boxed{\omega_\mathrm{o}=\sqrt{\frac\kappa m},\qquad Q=\frac{\sqrt{m\kappa}}\alpha}$$
> [!METHODE]
> C'est la même identification que pour le sismomètre (Q17) : un oscillateur amorti se résume toujours à $(\omega_\mathrm{o},Q)$.
### II.2 — Solution des équations de Maxwell et aspect énergétique
On exploite $\varepsilon_r$ complexe : $k$ devient complexe, l'onde s'atténue, et l'absorbance mesure la partie imaginaire. Outils : notation complexe, moyenne temporelle de grandeurs quadratiques.
### Question 34
> [!INDICATION]
> Injecter l'onde plane dans l'équation de propagation.
#### Solution
$$\boxed{k^2=\varepsilon_r\frac{\omega^2}{c^2}}$$
### Question 35
> [!INDICATION]
> Développer $(k_1-\mathrm{i}k_2)^2$ et identifier parties réelles et imaginaires (licite car les quatre grandeurs sont réelles).
#### Solution
$$\boxed{k_1^2-k_2^2=\frac{\omega^2}{c^2}\varepsilon_1,\qquad2k_1k_2=\frac{\omega^2}{c^2}\varepsilon_2}$$
$\varepsilon_2>0$ : $k_1$ et $k_2$ de même signe ; avec $k_1>0$, $k_2>0$ (onde atténuée).
### Question 36
> [!INDICATION]
> Séparer $e^{-\mathrm{i}kz}$ en un terme oscillant et un terme réel, puis prendre la partie réelle.
#### Solution
$$\boxed{\vec E=E_\mathrm{o}e^{-k_2z}\cos(\omega t-k_1z)\vec u_x}$$
### Question 37
> [!INDICATION]
> Sur quelle distance l'amplitude est-elle divisée par $e$ ?
#### Solution
$\delta=1/k_2$ est la **distance caractéristique d'atténuation** (profondeur de pénétration) de l'amplitude ; l'énergie décroît sur $\delta/2$.
### Question 38
> [!INDICATION]
> Traduire « peu absorbant » par une inégalité entre $k_2$ et $k_1$, simplifier la première relation de Q35, puis reporter dans la seconde.
#### Solution
$$\boxed{k_1\simeq\frac\omega c\sqrt{\varepsilon_1},\qquad k_2\simeq\frac\omega c\frac{\varepsilon_2}{2\sqrt{\varepsilon_1}}}$$
Vérification : $k_2/k_1=\varepsilon_2/(2\varepsilon_1)\ll1$.
> [!METHODE]
> Raisonnement d'auto-cohérence : on suppose une approximation, on calcule, puis on vérifie que le résultat la respecte.
### Question 39
> [!INDICATION]
> Vitesse des plans de phase constante ; le critère de dispersion est la dépendance en $\omega$.
#### Solution
$$\boxed{v_\varphi=\frac\omega{k_1}=\frac c{\sqrt{\varepsilon_1(\omega)}}}$$
$\varepsilon_1$ dépend de $\omega$ : **milieu dispersif**.
### Question 40
> [!INDICATION]
> Le vecteur de Poynting est quadratique : utiliser la formule de la moyenne avec un complexe conjugué.
> [!INDICATION]
> La relation de Q29 reste vraie avec $k$ complexe ; c'est la partie réelle de $k^*$ qui subsiste.
#### Solution
$\underline{\vec B}=\dfrac k\omega E_\mathrm{o}e^{-k_2z}e^{\mathrm{i}(\omega t-k_1z)}\vec u_y$ et $\langle\vec\Pi\rangle=\dfrac1{2\mu_\mathrm{o}}\mathrm{Re}(\underline{\vec E}\wedge\underline{\vec B}^*)$, avec $\underline{\vec E}\wedge\underline{\vec B}^*=\dfrac{k_1+\mathrm{i}k_2}{\omega}E_\mathrm{o}^2e^{-2k_2z}\vec u_z$ :
$$\boxed{\langle\vec\Pi\rangle=\frac{k_1E_\mathrm{o}^2}{2\mu_\mathrm{o}\omega}e^{-2k_2z}\vec u_z}$$
> [!PIEGE]
> Multiplier les complexes sans conjuguer, ou écrire $e^{-k_2z}$ au lieu de $e^{-2k_2z}$.
### Question 41
> [!INDICATION]
> Former le rapport des normes en $z+L$ et $z$ ; il ne dépend pas de $z$.
#### Solution
Le rapport vaut $e^{-2k_2L}$ :
$$\boxed{\mathcal A_L=\frac{2L}{\ln10}k_2(\omega)}$$
proportionnelle à $k_2$ : loi de Beer-Lambert.
### Question 42
> [!INDICATION]
> Remonter la chaîne $\mathcal A_L\to k_2\to\varepsilon_2$, puis regarder où $\varepsilon_2$ est grand.
#### Solution
L'absorbance donne $k_2(\omega)$, donc $\varepsilon_2(\omega)$, maximal au voisinage de $\omega_\mathrm{o}$ (largeur $\sim\omega_\mathrm{o}/Q$). En balayant $\omega$, Major Tom obtient le **spectre d'absorption** : la position des pics identifie les espèces (pulsations propres), leur largeur renseigne sur l'amortissement, leur hauteur (via $\Omega$) sur la quantité d'espèce absorbante.
---
## Partie III — Mesure optique et spectroscopie
### III.1 — Spectroscopie Ultra-Violette/Visible (UV/Vis)
On quantifie l'énergie d'une particule dans un puits infini et l'on applique le résultat aux électrons délocalisés d'une molécule conjuguée. Outils : équation de Schrödinger, conditions aux limites, relation de Planck-Einstein.
### Question 43
> [!INDICATION]
> Forme de la fonction d'onde, puis ce qui est indépendant du temps.
#### Solution
État de fonction d'onde $\Psi(x,t)=\varphi(x)e^{-\mathrm{i}Et/\hbar}$ : énergie bien définie $E$, densité de probabilité $|\Psi|^2=|\varphi|^2$ indépendante du temps.
> [!PIEGE]
> C'est $|\Psi|^2$ qui est stationnaire, pas $\Psi$, dont la phase dépend du temps.
### Question 44
> [!INDICATION]
> Question de cours : soigner les signes et le facteur $\hbar^2/(2m)$.
#### Solution
$$\boxed{\mathrm{i}\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+V(x)\Psi}$$
En y injectant $\Psi=\varphi e^{-\mathrm{i}Et/\hbar}$, on retrouve l'équation stationnaire de l'énoncé.
### Question 45
> [!INDICATION]
> Avec $V=0$, l'équation stationnaire est celle d'un oscillateur harmonique ; utiliser le signe de $E$.
#### Solution
$\varphi''+\kappa^2\varphi=0$ avec $\kappa^2>0$ :
$$\boxed{\varphi(x)=A\cos(\kappa x)+B\sin(\kappa x)}$$
### Question 46
> [!INDICATION]
> La fonction d'onde est nulle hors du puits et continue : conditions en $x=0$ et $x=a$.
> [!INDICATION]
> Exclure la solution identiquement nulle, puis passer de $\kappa$ à $E$.
#### Solution
$\varphi(0)=0$ donne $A=0$ ; $\varphi(a)=0$ avec $B\neq0$ donne $\kappa a=n\pi$, $n\in\mathbb N^*$ :
$$\boxed{E_n=\frac{n^2h^2}{8ma^2},\qquad E_1=\frac{h^2}{8ma^2},\qquad E_n=n^2E_1}$$
> [!METHODE]
> Confinement $\Rightarrow$ quantification : ce sont les conditions aux limites qui sélectionnent les valeurs de l'énergie.
### Question 47
> [!INDICATION]
> a) Compter les intervalles entre carbones, pas les carbones. b) Pour $N=4$, quels sont les niveaux HOMO et LUMO ?
> [!INDICATION]
> b) Égaler l'écart d'énergie à l'énergie du photon. c) Séparer mantisses et puissances de dix.
#### Solution
**a)** $\boxed{a=3\,d_{cc}}$.
**b)** HOMO $n=2$, LUMO $n=3$ : $\Delta E=5E_1=\dfrac{5h^2}{72md_{cc}^2}=\dfrac{hc}\lambda$, d'où
$$\boxed{\lambda=\frac{72\,m\,c\,d_{cc}^2}{5h}}$$
**c)** $\lambda=\dfrac{72\times9{,}1\times3{,}0}{5\times6{,}6}\cdot10^{-31+8-20+34}\ \text{m}\simeq60\cdot10^{-9}$ m :
$$\boxed{\lambda\sim6\cdot10^{-8}\ \text{m}=60\ \text{nm}}$$
Ultraviolet : la référence d'étalonnage est dans l'UV. Le modèle est grossier ($\lambda\propto d_{cc}^2$).
> [!PIEGE]
> HOMO et LUMO sont $n=N/2$ et $N/2+1$, pas $1$ et $2$ ; et $a=(N-1)d_{cc}$, pas $Nd_{cc}$.
### III.2 — Interféromètre d'Young : mesure de l'indice optique
Trous d'Young en lumière parallèle, observation à l'infini, puis mesure d'un très petit écart d'indice par défilement de franges. Outils : chemin optique, théorème de Malus, ordre d'interférence.
### Question 48
> [!INDICATION]
> Que devient le faisceau issu d'une source au foyer objet ? Conséquence sur l'éclairement des deux fentes et sur la traversée des cuves.
#### Solution
Le faisceau émergent est parallèle à l'axe : une onde plane en incidence normale. Les fentes sont sur un même plan d'onde, donc éclairées en phase : pas de terme de source dans la différence de marche. Les deux faisceaux traversent les cuves sous incidence normale, sur la même longueur $\ell$.
> [!PIEGE]
> Translater la source dans le plan focal incline l'onde plane et translate les franges : c'est la position de la source sur l'axe qui place l'ordre zéro au centre.
### Question 49
> [!INDICATION]
> L'écran est dans le plan focal image : en $M$ convergent des rayons parallèles entre eux. Relier leur inclinaison à $x$.
> [!INDICATION]
> Théorème de Malus : la différence de marche entre deux rayons parallèles issus des fentes est une projection de $\overrightarrow{S_1S_2}$.
#### Solution
$x=f_2'\tan\theta\simeq f_1'\theta$ ; avec $S_1$ (côté $C_1$) en $-a/2$ et $S_2$ en $+a/2$, la différence de chemin optique est $a\sin\theta\simeq a\theta$ :
$$\boxed{\delta(M)=(SS_1M)-(SS_2M)=\frac{ax}{f_1'}}$$
Franges rectilignes parallèles à $(Oy)$, interfrange $\lambda f_1'/a$.
### Question 50
> [!INDICATION]
> Que valent les contributions des deux cuves quand elles sont identiques ?
#### Solution
Les chemins optiques dans les cuves se compensent : l'ordre nul est en $\boxed{x=0}$, sur l'axe, au foyer $F_2'$ (frange brillante).
### Question 51
> [!INDICATION]
> a) Ajouter à $\delta$ la différence de chemin optique due aux cuves ; chercher où elle s'annule.
> [!INDICATION]
> b) Au point fixe $x=0$, suivre l'ordre d'interférence pendant la vidange : de combien varie-t-il quand une frange brillante défile ?
#### Solution
**a)** $\delta=\dfrac{ax}{f_1'}+(n_\text{gaz}-1)\ell$, nul en
$$\boxed{x_0=-\frac{(n_\text{gaz}-1)\ell f_1'}a}$$
déplacement du côté de $C_1$ (bras de plus grand chemin optique), interfrange inchangé.
**b)** En $x=0$, $p$ passe de $0$ à $(n_\text{gaz}-1)\ell/\lambda$ ; chaque frange brillante qui défile correspond à $\Delta p=1$ et l'état final est brillant :
$$\boxed{n_\text{gaz}=1+\frac{N\lambda}\ell}=1+\frac{100\times6{,}00\cdot10^{-7}}{0{,}200}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{n_\text{gaz}=1{,}000\,30}$$
Ordre de grandeur typique d'un gaz ($n-1\sim10^{-4}$) ; seule une méthode interférentielle mesure un écart aussi faible.
> [!METHODE]
> Compter des franges qui défilent en un point fixe, c'est mesurer la variation de l'ordre d'interférence, donc de la différence de marche, en unités de $\lambda$.
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## Bilan
**Méthodes à retenir.**
- Oscillateur vertical : prendre l'origine à l'équilibre pour éliminer poids et longueur à vide (Q7, Q17).
- Correction de masse d'un ressort : bilan d'énergie avec un champ de déplacement affine, d'où la masse effective $m+m_\mathrm{o}/3$ (Q10–Q11).
- Référentiel non galiléen : en rotation uniforme, force d'inertie d'entraînement centrifuge $m\Omega^2HM$ ; en translation, $-M\vec A$ sans Coriolis (Q3, Q17).
- Onde amortie : $k$ complexe, choix de la détermination par l'argument physique (propagation et atténuation dans le même sens) (Q16, Q35–Q36).
- Résonance : étudier $1/H^2$ en fonction de $x^2$, ne pas oublier la condition d'existence (Q21.e).
- Moyenne d'une grandeur quadratique : $\frac12\mathrm{Re}(\underline a\,\underline b^*)$ (Q40).
- Puits infini : conditions aux limites $\Rightarrow$ quantification $E_n=n^2E_1$ ; HOMO–LUMO pour une molécule conjuguée (Q46–Q47).
- Interférences : différence de marche par le théorème de Malus en observation à l'infini, défilement de franges $=$ variation d'ordre (Q49–Q51).
**Prérequis à revoir.** Théorème de Gauss et symétries, équations de Maxwell et structure de l'onde plane, second principe et loi de Laplace, filtres du second ordre et diagrammes de Bode, incertitudes-types composées, numpy vectoriel.
**Questions classiques transposables.** Pendule simple et mesure de $g$ ; « un tiers de la masse du ressort » ; sismomètre passe-haut ; électron élastiquement lié et indice complexe ; loi de Beer-Lambert ; modèle de la particule dans une boîte pour les polyènes ; réfractomètre interférentiel de Jamin ou de Rayleigh (mesure d'indice d'un gaz par comptage de franges).
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