Physique
CCINPMP2026
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Épreuve MP5P, 4 heures, calculatrices interdites. Notation : l'imaginaire pur noté $\iota$ dans l'énoncé est écrit ici $\mathrm{i}$ ($\mathrm{i}^2=-1$). La charge de l'électron est $-e$ avec $e=1{,}6\cdot10^{-19}$ C.
## Partie I — Le ressort, couteau-suisse de la physique
### I.1 — Mesures du champ de pesanteur de la planète
**Q1. a)** La planète est une sphère à répartition de masse homogène (donc à symétrie sphérique) : à l'extérieur, son champ de gravitation est celui d'un point matériel de masse $M_\mathrm{p}$ placé en son centre (théorème de Gauss gravitationnel). La masse $m$ est à la distance $R_\mathrm{p}+z$ du centre :
$$F_\text{grav}=\frac{GM_\mathrm{p}m}{(R_\mathrm{p}+z)^2}=\frac{GM_\mathrm{p}m}{R_\mathrm{p}^2}\left(1+\frac{z}{R_\mathrm{p}}\right)^{-2}.$$
Comme $z\ll R_\mathrm{p}$, $(1+u)^{-2}\simeq1-2u$ avec $u=z/R_\mathrm{p}$ :
$$\boxed{F_\text{grav}\simeq mg_\mathrm{o}\left(1-\frac{2z}{R_\mathrm{p}}\right),\qquad g_\mathrm{o}=\frac{GM_\mathrm{p}}{R_\mathrm{p}^2}}$$
$g_\mathrm{o}$ est l'intensité du champ de gravitation au sol.
**b)** La variation relative vaut $\dfrac{|F_\text{grav}(z)-F_\text{grav}(0)|}{F_\text{grav}(0)}=\dfrac{2z}{R_\mathrm{p}}$. Elle reste inférieure à $1\,\%$ si $z\le z_\text{max}=\dfrac{R_\mathrm{p}}{200}$ :
$$\boxed{z_\text{max}=\frac{R_\mathrm{p}}{200}=\frac{4\,000\ \text{km}}{200}=20\ \text{km}}$$
**Commentaire :** $20$ km est très grand devant la taille de tout dispositif de mesure (pendule, ressort, laboratoire) : le champ de gravitation peut être considéré comme uniforme pour toutes les expériences de Major Tom, ce qui justifie l'hypothèse $\vec F=m\vec g_\mathrm{o}$ uniforme faite ensuite.
**Q2.** Référentiel du sol galiléen, base polaire $(\vec u_r,\vec u_\theta)$ de la figure 1, $\overrightarrow{OM}=\ell\vec u_r$ avec $\ell$ constant : $\vec a=-\ell\dot\theta^2\vec u_r+\ell\ddot\theta\,\vec u_\theta$. Forces : tension $\vec T=-T\vec u_r$ et $\vec F=mg_\mathrm{o}(\cos\theta\,\vec u_r-\sin\theta\,\vec u_\theta)$. La projection du principe fondamental de la dynamique sur $\vec u_\theta$ élimine $T$ :
$$\boxed{\ddot\theta+\frac{g_\mathrm{o}}{\ell}\sin\theta=0}$$
Pour de petites oscillations, $\sin\theta\simeq\theta$ : oscillateur harmonique de pulsation $\sqrt{g_\mathrm{o}/\ell}$ et de période $T_\mathrm{o}=2\pi\sqrt{\ell/g_\mathrm{o}}$, indépendante de l'amplitude.
**Mesure de $g_\mathrm{o}$ :** on mesure $\ell$ à la règle, on lance le pendule avec une faible amplitude (quelques degrés) et on chronomètre la durée $t_N$ de $N$ oscillations (par exemple $N=20$, pour réduire l'effet du temps de réaction) ; $T_\mathrm{o}=t_N/N$ et
$$\boxed{g_\mathrm{o}=\frac{4\pi^2\ell}{T_\mathrm{o}^2}}$$
**Q3.** Le référentiel lié au sol tourne uniformément à la vitesse angulaire $\Omega$ autour de l'axe des pôles, fixe dans le référentiel planétocentrique supposé galiléen. Pour un point au repos relatif, le point coïncident décrit un cercle de centre $H$ (projeté sur l'axe) et de rayon $HM=R_\mathrm{p}\cos\lambda$ ; son accélération d'entraînement est $\vec a_e=-\Omega^2\,\overrightarrow{HM}=-\Omega^2R_\mathrm{p}\cos\lambda\,\vec u$. D'où
$$\boxed{\vec F_{ie}=-m\vec a_e=m\Omega^2R_\mathrm{p}\cos\lambda\;\vec u}$$
force centrifuge, maximale à l'équateur et nulle aux pôles (la force de Coriolis est nulle au repos relatif).
**Q4. a)** Le poids est $m\vec g=m\vec g_\mathrm{o}+\vec F_{ie}$, d'où
$$\boxed{\vec g=\vec g_\mathrm{o}+\Omega^2R_\mathrm{p}\cos\lambda\;\vec u}$$
relation vectorielle : $\vec g_\mathrm{o}$ (vers le centre) et $\vec u$ ne sont colinéaires qu'à l'équateur et aux pôles.
**b)** On peut confondre $\vec g$ et $\vec g_\mathrm{o}$ à toute latitude si le terme centrifuge est négligeable dans le cas le plus défavorable, l'équateur ($\cos\lambda=1$) : $\Omega^2R_\mathrm{p}\ll g_\mathrm{o}=GM_\mathrm{p}/R_\mathrm{p}^2$, soit
$$\boxed{\Omega^2R_\mathrm{p}^3\ll GM_\mathrm{p}}$$
La planète doit tourner beaucoup plus lentement qu'un satellite en orbite rasante.
**Q5.** À l'équilibre, la masse $m$ est soumise à son poids $mg$ (vers le bas) et à la tension du ressort $kh$ (vers le haut), la masse du ressort étant négligée : $mg=kh$, d'où
$$\boxed{g=\frac{kh}{m}}$$
**Q6.** $g=\dfrac{50{,}0\times2{,}0\cdot10^{-2}}{0{,}200}$, soit $\boxed{g=5{,}0\ \text{m·s}^{-2}}$.
$g$ étant un produit-quotient de grandeurs indépendantes,
$$\frac{u(g)}{g}=\sqrt{\left(\frac{u(k)}{k}\right)^2+\left(\frac{u(h)}{h}\right)^2+\left(\frac{u(m)}{m}\right)^2}.$$
Faute d'indication, on prend pour chaque donnée une demi-unité du dernier chiffre écrit comme demi-étendue d'une loi uniforme ($u=\Delta/(2\sqrt3)$, $\Delta$ = une unité du dernier chiffre) : $u(k)/k\simeq6\cdot10^{-4}$, $u(m)/m\simeq1{,}4\cdot10^{-3}$, $u(h)/h=\dfrac{0{,}1}{2\sqrt3\times2{,}0}\simeq1{,}4\cdot10^{-2}$. Le terme en $h$ (deux chiffres significatifs seulement) domine :
$$\boxed{\frac{u(g)}{g}\simeq1{,}4\cdot10^{-2}\approx1\ \text{à}\ 2\,\%,\qquad g=(5{,}00\pm0{,}07)\ \text{m·s}^{-2}}$$
(Si l'on retient une incertitude de lecture d'un millimètre sur $h$, on obtient $u(g)/g$ de quelques pour cent ; la conclusion « l'incertitude est dominée par $h$ » ne change pas.)
**Q7.** On repère la masse par son écart $x$ à la position d'équilibre, axe orienté vers le bas. L'allongement vaut $h+x$ et le principe fondamental de la dynamique (référentiel du sol galiléen) donne $m\ddot x=mg-k(h+x)=-kx$ puisque $mg=kh$ (Q5) :
$$\boxed{\ddot x+\frac{k}{m}x=0}$$
**Q8.** Avec $\omega_\mathrm{o}=\sqrt{k/m}$, $x(t)=A\cos(\omega_\mathrm{o}t)+B\sin(\omega_\mathrm{o}t)$ ; les conditions initiales $x(0)=x_\mathrm{o}$, $\dot x(0)=0$ donnent
$$\boxed{x(t)=x_\mathrm{o}\cos(\omega_\mathrm{o}t),\qquad\omega_\mathrm{o}=\sqrt{\frac km}}$$
**Q9. a)** $g=kh/m$ et $\omega_\mathrm{o}^2=k/m$, donc
$$\boxed{g=\omega_\mathrm{o}^2\,h}$$
Il suffit de mesurer une longueur et une durée ; ni $k$ ni $m$ ne sont nécessaires.
**b)** Un aller-retour est une période : $T=T_{10}/N=0{,}40$ s, $\omega_\mathrm{o}=2\pi/T=5\pi$ rad·s⁻¹. Avec $\pi^2\simeq10$ :
$$g=(5\pi)^2\times2{,}0\cdot10^{-2}=0{,}50\,\pi^2\quad\Longrightarrow\quad\boxed{g\simeq5{,}0\ \text{m·s}^{-2}}$$
**Commentaire :** la méthode dynamique redonne la valeur de la méthode statique (Q6) ; les deux mesures sont compatibles. La pesanteur de la planète X vaut environ la moitié de celle de la Terre. La durée $T_{10}=4$ s n'est donnée qu'avec un chiffre significatif, ce qui limite la précision de cette seconde mesure.
**Q10. a)** $\xi(\tau,t)=\dfrac{\tau}{\ell}x_\mathrm{o}\cos(\Gamma t)$, donc à $\tau$ fixé $\dfrac{\partial\xi}{\partial t}=-\dfrac{\tau}{\ell}x_\mathrm{o}\Gamma\sin(\Gamma t)$ et
$$\mathrm{d}E_c=\frac12\,\frac{m_\mathrm{o}\,\mathrm{d}\tau}{\ell}\,\frac{\tau^2}{\ell^2}x_\mathrm{o}^2\Gamma^2\sin^2(\Gamma t).$$
En sommant sur $\tau\in[0,\ell]$ avec $\int_0^\ell\tau^2\,\mathrm{d}\tau=\ell^3/3$ :
$$\boxed{E_c(t)=\frac16\,m_\mathrm{o}\,x_\mathrm{o}^2\,\Gamma^2\sin^2(\Gamma t)}$$
**b)** $\sin^2(\Gamma t)$ atteint la valeur $1$ (en $\Gamma t=\pi/2$) :
$$\boxed{E_{c,\max}=\frac16\,m_\mathrm{o}\,x_\mathrm{o}^2\,\Gamma^2}$$
**Q11.** L'extrémité $\tau=\ell$ porte la masse $m$, qui se déplace de $\xi(\ell,t)=x_\mathrm{o}\cos(\Gamma t)$ : son énergie cinétique est $\frac12mx_\mathrm{o}^2\Gamma^2\sin^2(\Gamma t)$. Énergie cinétique totale :
$$E_c^\text{tot}=\frac12\left(m+\frac{m_\mathrm{o}}{3}\right)x_\mathrm{o}^2\Gamma^2\sin^2(\Gamma t).$$
L'énergie potentielle (élastique + pesanteur), avec $x$ compté depuis l'équilibre et $kh=mg$, vaut $E_p=\frac12kx^2+\text{cte}=\frac12kx_\mathrm{o}^2\cos^2(\Gamma t)+\text{cte}$. Le système est conservatif ; $E_c^\text{tot}+E_p$ constante impose l'égalité des coefficients de $\sin^2$ et $\cos^2$ :
$$\frac12\left(m+\frac{m_\mathrm{o}}3\right)\Gamma^2=\frac12k\quad\Longrightarrow\quad\Gamma^2=\frac{k/m}{1+\dfrac{m_\mathrm{o}}{3m}}$$
$$\boxed{\Gamma=\frac{\omega_\mathrm{o}}{\sqrt{1+\beta}},\qquad\beta=\frac{m_\mathrm{o}}{3m}}$$
Tout se passe comme si un tiers de la masse du ressort s'ajoutait à $m$.
**Q12.** La loi de Hooke étant inchangée, l'équilibre statique donne toujours $g=kh/m=\omega_\mathrm{o}^2h$. Mais la pulsation mesurée au chronomètre est maintenant $\Gamma$, avec $\omega_\mathrm{o}^2=(1+\beta)\Gamma^2$ :
$$\boxed{g=\omega_\mathrm{o}^2h=(1+\beta)\,\Gamma^2h}$$
Autrement dit, si l'on note $\omega_\mathrm{o}$ la pulsation effectivement mesurée (comme en Q9), il faut corriger la formule de Q9.a en $g=(1+\beta)\,\omega_\mathrm{o}^2h$.
**Q13.** $m_\mathrm{o}=m/10$ donne $\beta=1/30$. La pulsation mesurée en Q9.b est $\Gamma=5\pi$ rad·s⁻¹, avec $\Gamma^2h\simeq5{,}0$ m·s⁻² :
$$g=\left(1+\frac1{30}\right)\times5{,}0=\frac{31}{30}\times5{,}0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{g\simeq5{,}2\ \text{m·s}^{-2}}$$
**Commentaire :** la correction relative, $\beta\simeq3\,\%$, est du même ordre que (et même supérieure à) l'incertitude estimée en Q6 : négliger la masse du ressort sous-estime $g$ de façon non négligeable pour une mesure fine. La masse du ressort doit donc être prise en compte dès que l'on vise une précision de l'ordre du pour cent.
### I.2 — Que tremble la planète !
**Q14. a)** Une onde est **longitudinale** si la grandeur vectorielle qui se propage (ici le déplacement de la matière) est parallèle à la direction de propagation ; elle est **transversale** si cette grandeur est perpendiculaire à la direction de propagation. Exemples : onde sonore dans un fluide, ondes sismiques P (longitudinales) ; onde sur une corde vibrante, ondes sismiques S, onde électromagnétique dans le vide (transversales).
**b)** $c_s$ est la **célérité** de l'onde (vitesse de propagation, en m·s⁻¹). Elle ne dépend pas de la fréquence : la propagation se fait sans déformation.
**Q15. a)** La phase $\omega t-kz$ est constante sur les plans $z=(\omega t-\text{cte})/k$, qui se déplacent à la vitesse $\omega/k>0$ : l'onde se propage **selon $(Oz)$, dans le sens des $z$ croissants**.
**b)** Avec $\partial_t\to\mathrm{i}\omega$ et $\partial_z\to-\mathrm{i}k$, l'équation de d'Alembert donne $-\dfrac{\omega^2}{c_s^2}\underline s=-k^2\underline s$, d'où (avec $\underline s\neq0$)
$$\boxed{k^2=\frac{\omega^2}{c_s^2},\quad k=\frac{\omega}{c_s}}$$
relation linéaire : milieu non dispersif.
**Q16. a)** La même substitution dans la nouvelle équation donne $-\dfrac{\omega^2}{c_s^2}+\mathrm{i}\eta\omega=-k^2$ :
$$\boxed{k^2=\frac{\omega^2}{c_s^2}-\mathrm{i}\eta\omega=\frac{\omega^2}{c_s^2}\left(1-\mathrm{i}\frac{\eta c_s^2}{\omega}\right)}$$
**b)** Avec $\eta c_s^2/\omega\ll1$ et $\sqrt{1+u}\simeq1+u/2$ :
$$k=\pm\frac{\omega}{c_s}\left(1-\mathrm{i}\frac{\eta c_s^2}{2\omega}\right)=\pm\left(\frac{\omega}{c_s}-\mathrm{i}\frac{\eta c_s}{2}\right).$$
L'onde se propage vers les $z$ croissants (Q15.a) : on garde $k_r>0$. Alors
$$\boxed{k_r=\frac{\omega}{c_s},\qquad k_i=-\frac{\eta c_s}{2}}$$
Le signe de $k_i$ est cohérent : $e^{-\mathrm{i}kz}$ contient $e^{k_iz}$, qui décroît avec $z$ (onde atténuée dans le sens de propagation).
**c)** $\underline s=S_\mathrm{o}e^{k_iz}e^{\mathrm{i}(\omega t-k_rz)}$ ; en prenant la partie réelle ($S_\mathrm{o}$ réel) :
$$s(z,t)=S_\mathrm{o}\cos(\omega t-k_rz)\,e^{k_iz}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{a=k_r=\frac{\omega}{c_s},\qquad b=-\frac1{k_i}=\frac{2}{\eta c_s}}$$
**d)** $b$ est la **distance caractéristique d'atténuation** de l'onde : l'amplitude est divisée par $e$ sur une distance $b$.
À $t$ fixé (ici $\omega t=0$), la courbe $z\mapsto S_\mathrm{o}\cos(\omega t-az)e^{-z/b}$ est une sinusoïde de période spatiale $2\pi/a$ comprise entre les enveloppes $\pm S_\mathrm{o}e^{-z/b}$, qu'elle touche là où $\cos(\omega t-az)=\pm1$ (juste après chaque extremum). On y fait apparaître $S_\mathrm{o}$, la distance $2\pi/a$ entre deux maxima successifs et l'abscisse $b$ (figure 1).
**Q17.** Dans le référentiel $\mathcal R_b$ du bâti, en translation par rapport au référentiel galiléen de la planète, s'ajoute la force d'inertie d'entraînement $-M\ddot X\vec e_x$ (pas de force de Coriolis : pas de rotation). Axe $\vec e_x$ vers le bas, $M$ repérée par la longueur $\ell$ du ressort. Forces : poids $Mg\,\vec e_x$, rappel $-k(\ell-\ell_\mathrm{o})\vec e_x$, frottement $-\alpha\dot\ell\,\vec e_x$ (vitesse relative au bâti), inertie $-M\ddot X\vec e_x$ :
$$M\ddot\ell=Mg-k(\ell-\ell_\mathrm{o})-\alpha\dot\ell-M\ddot X.$$
À l'équilibre relatif (sans excitation), $Mg=k(\ell_{eq}-\ell_\mathrm{o})$. Avec $u=\ell-\ell_{eq}$ :
$$\ddot u+\frac{\alpha}{M}\dot u+\frac kMu=-\ddot X\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\Omega_\mathrm{o}=\sqrt{\frac kM},\qquad Q=\frac{M\Omega_\mathrm{o}}{\alpha}=\frac{\sqrt{kM}}{\alpha}}$$
**Q18.** $A$ est l'amplitude du déplacement du sol (donc du bâti) au passage de l'onde sismique, grandeur que l'on cherche à mesurer. $B$ est l'amplitude du déplacement de la masse $M$ par rapport au bâti, grandeur enregistrée par l'appareil. $\phi$ est le déphasage du mouvement relatif $u$ par rapport au mouvement du sol $X$.
**Q19.** En régime sinusoïdal forcé, $\underline{\ddot X}=-\omega^2\underline X$, $\underline{\dot u}=\mathrm{i}\omega\underline u$, $\underline{\ddot u}=-\omega^2\underline u$ :
$$\left(\Omega_\mathrm{o}^2-\omega^2+\mathrm{i}\frac{\omega\Omega_\mathrm{o}}{Q}\right)\underline u=\omega^2\underline X\quad\Longrightarrow\quad\frac{\underline u}{\underline X}=\frac{\omega^2}{\Omega_\mathrm{o}^2-\omega^2+\mathrm{i}\,\omega\Omega_\mathrm{o}/Q}$$
$$\boxed{H(\omega)=\frac{\omega^2}{\sqrt{\left(\Omega_\mathrm{o}^2-\omega^2\right)^2+\left(\dfrac{\omega\Omega_\mathrm{o}}{Q}\right)^2}}=\frac{x^2}{\sqrt{(1-x^2)^2+(x/Q)^2}},\quad x=\frac{\omega}{\Omega_\mathrm{o}}}$$
C'est la fonction $g(x,Q)$ du script 1 (figure 4), tracée en figure 6.
**Q20.** Avec $\omega_0=2\pi f_0$, $\alpha=\omega_0/Q$ (coefficient de $\dot u$ dans l'équation réduite) et $\omega=2\pi f$ :
```python
omega0 = 2*np.pi*f0
alpha = omega0/Q
gain_db = 20*np.log10((2*np.pi*frequencies)**2 / np.sqrt((omega0**2 - (2*np.pi*frequencies)**2)**2 + (alpha*2*np.pi*frequencies)**2))
```
Avec $f_0=10$ Hz et $Q=100$, ce code donne $-40$ dB à $1$ Hz, $0$ dB à $10^5$ Hz et un pic d'environ $+40$ dB vers $10$ Hz, comme la figure 7.
**Q21. a)** $\underline H=\dfrac{x^2}{1-x^2+\mathrm{i}x/Q}$ avec $x=f/f_0$.
- Basses fréquences ($x\ll1$) : $\underline H\simeq x^2$, donc $H\simeq\left(\dfrac{f}{f_0}\right)^2\to0$.
- Hautes fréquences ($x\gg1$) : $\underline H\simeq-1$, donc $H\simeq1$.
**b)** $G_\mathrm{dB}=20\log H$ :
$$\boxed{G_\mathrm{dB}^\mathrm{BF}=40\log\left(\frac f{f_0}\right),\qquad G_\mathrm{dB}^\mathrm{HF}=0}$$
pente $+40$ dB par décade en basse fréquence, asymptote horizontale en haute fréquence.
**c)** Intersection : $40\log(f/f_0)=0$, soit
$$\boxed{\log\left(\frac f{f_0}\right)=0\ (f=f_0),\qquad G_\mathrm{dB}=0\ \text{dB}}$$
**d)** Gain nul en basse fréquence, égal à $1$ en haute fréquence, pente $+40$ dB/décade, dénominateur du second degré : **filtre passe-haut du second ordre**. Le sismomètre restitue fidèlement ($B\simeq A$) les vibrations de fréquence grande devant $f_0$.
**e)** On pose $X=x^2$ et $\Phi(X)=\dfrac1{H^2}=\dfrac{(1-X)^2+X/Q^2}{X^2}$. Le calcul donne
$$\Phi'(X)=\frac{1}{X^3}\left(2X-\frac{X}{Q^2}-2\right),$$
négative puis positive, qui s'annule en $X_\text{rés}=\dfrac{2Q^2}{2Q^2-1}$, à condition que $Q>1/\sqrt2$. $H$ y est maximale :
$$\boxed{\omega_\text{rés}=\frac{\Omega_\mathrm{o}}{\sqrt{1-\dfrac1{2Q^2}}}\quad(\text{résonance si et seulement si }Q>1/\sqrt2)}$$
La résonance a lieu au-dessus de $\Omega_\mathrm{o}$, avec $H_\text{max}=\dfrac{Q}{\sqrt{1-1/(4Q^2)}}\simeq Q$ pour $Q\gg1$.
**f)** Pour $Q\gg1$, $\omega_\text{rés}\simeq\Omega_\mathrm{o}$ et $H_\text{max}\simeq H(\Omega_\mathrm{o})=Q$. La figure 6 montre un pic de hauteur $100$ en $x=1$ ; la figure 7 montre un maximum de $+40$ dB, soit $H_\text{max}=10^{40/20}=100$ :
$$\boxed{Q\simeq100}$$
La figure 7 donne aussi $f_0=10$ Hz, donc $\Omega_\mathrm{o}=2\pi f_0=20\pi\simeq63$ rad·s⁻¹. La raideur du sismomètre n'est pas donnée en I.2 : on prend celle du ressort de Major Tom, $k=50{,}0$ N·m⁻¹ (initiative signalée). Alors $M=k/\Omega_\mathrm{o}^2=\dfrac{50}{400\pi^2}\simeq\dfrac{50}{4\,000}=1{,}25\cdot10^{-2}$ kg et
$$\alpha=\frac{\sqrt{kM}}{Q}=\frac{\sqrt{0{,}625}}{100}=\frac{\sqrt{2{,}5}}{2\times100}\simeq\frac{1{,}6}{200}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\alpha\simeq8\cdot10^{-3}\ \text{kg·s}^{-1}}$$
(De façon équivalente, $\alpha=k/(Q\Omega_\mathrm{o})$ ; et le coefficient réduit du script vaut $\alpha/M=\Omega_\mathrm{o}/Q\simeq0{,}63$ s⁻¹.)
### I.3 — Température de l'atmosphère
**Q22. a)** $\mathrm{d}S=\delta S_\text{e}+\delta S_\text{c}$ avec $\delta S_\text{e}=\delta Q/T_\text{ext}$. Adiabatique : $\delta Q=0$ ; réversible : $\delta S_\text{c}=0$. Donc
$$\boxed{\mathrm{d}S=0\ \text{(transformation isentropique)}}$$
**b)** Avec $PV=nRT$, $P/T=nR/V$ ; $\mathrm{d}S=0$ s'écrit $\dfrac{nR}{\gamma-1}\dfrac{\mathrm{d}T}{T}+nR\dfrac{\mathrm{d}V}{V}=0$, et en multipliant par $(\gamma-1)/(nR)$ :
$$\boxed{\frac{\mathrm{d}T}{T}+(\gamma-1)\frac{\mathrm{d}V}{V}=0}$$
**c)** En intégrant ($T,V>0$, $\gamma$ constant) : $\ln T+(\gamma-1)\ln V=\text{cte}$, soit
$$\boxed{TV^{\gamma-1}=\text{cte}}$$
C'est la **loi de Laplace** (gaz parfait, $\gamma$ constant, transformation adiabatique réversible).
**Q23. a)** Par analogie avec le gaz parfait, où $nR/(\gamma-1)=C_V$, $C_\ell$ est la **capacité thermique du ressort à longueur constante** : à $\ell$ fixée, $\delta Q_\text{rév}=T\,\mathrm{d}S=C_\ell\,\mathrm{d}T$. Elle s'exprime en J·K⁻¹.
**b)** Isentropique : $C_\ell\dfrac{\mathrm{d}T}{T}+D(\ell-\ell_\mathrm{o})\,\mathrm{d}\ell=0$. Avec $C_\ell$ et $D$ constants, on intègre de $(T_i,\ell_i)$ à $(T_f,\ell_f)$ :
$$C_\ell\ln\frac{T_f}{T_i}+\frac D2\left[(\ell_f-\ell_\mathrm{o})^2-(\ell_i-\ell_\mathrm{o})^2\right]=0$$
$$\boxed{T_f=T_i\exp\left(-\frac{D}{2C_\ell}\left[(\ell_f-\ell_\mathrm{o})^2-(\ell_i-\ell_\mathrm{o})^2\right]\right)}$$
La longueur à vide $\ell_\mathrm{o}$, constante du ressort, figure nécessairement dans le résultat (imprécision de l'énoncé). Un étirement isentrope ($|\ell_f-\ell_\mathrm{o}|>|\ell_i-\ell_\mathrm{o}|$) refroidit le ressort.
**c)** Protocole proposé (les constantes $k_\mathrm{o}$ et $D$ ont été établies préalablement par Major Tom) :
1. laisser le ressort, muni d'une masse connue $m$, en contact prolongé avec l'atmosphère pour qu'il soit à la température $T$ de celle-ci ;
2. mesurer au chronomètre la durée de $N$ petites oscillations, d'où la période $T_\text{osc}$ et la raideur $k=4\pi^2m/T_\text{osc}^2$ ;
3. en déduire $\boxed{T=\dfrac{k_\mathrm{o}-k}{D}}$.
Le résultat de Q23.b justifie la mesure : les oscillations, rapides devant les échanges thermiques et quasi statiques, sont isentropes ; pour de faibles amplitudes autour de $\ell_\text{eq}$, l'exposant de Q23.b est petit et la température du ressort reste égale à $T$ à mieux que $\frac{D}{C_\ell}(\ell_\text{eq}-\ell_\mathrm{o})\,x_\mathrm{o}$ près en valeur relative. Variante qui n'utilise pas $k_\mathrm{o}$ : mesurer $k_i$ à $T_i=T$, étirer rapidement (adiabatique) mais sans à-coups (réversible) de $\ell_i$ à $\ell_f$, mesurer aussitôt $k_f$ ; avec $\Delta=\frac{D}{2C_\ell}[(\ell_f-\ell_\mathrm{o})^2-(\ell_i-\ell_\mathrm{o})^2]$, on a $k_f-k_i=DT(1-e^{-\Delta})$, d'où $T=\dfrac{k_f-k_i}{D(1-e^{-\Delta})}$ ; cette variante est peu sensible car $\Delta$ est petit.
## Partie II — Interaction lumière-matière
### II.1 — Modèle de l'électron élastiquement lié et propagation du rayonnement
**Q24.** La charge positive porte l'essentiel de la masse de l'atome : sa masse est au moins $m_\text{p}/m\simeq1\,836$ fois celle de l'électron. Soumise à des forces du même ordre (actions réciproques, force électrique proportionnelle à la charge), elle subit une accélération au moins mille fois plus faible ; son mouvement est négligeable et on la considère comme fixe, le référentiel qui lui est lié étant galiléen.
**Q25. a)** **Invariances** : la boule uniformément chargée est invariante par toute rotation autour de $O$ ; en coordonnées sphériques de centre $O$, le champ ne dépend que de $r$. **Symétries** : tout plan contenant $O$ et $M$ est plan de symétrie de la distribution ; $\vec E(M)$ appartient à tous ces plans, donc à leur intersection, la droite $(OM)$. Ainsi $\vec E(M)=E(r)\,\vec u_r$.
**b)** Théorème de Gauss sur la sphère de centre $O$ et de rayon $r<R_\mathrm{o}$ : $4\pi r^2E(r)=Q_\text{int}/\varepsilon_\mathrm{o}$ avec $Q_\text{int}=Q_\mathrm{o}r^3/R_\mathrm{o}^3$ :
$$\boxed{\vec E(M)=\frac{Q_\mathrm{o}\,r}{4\pi\varepsilon_\mathrm{o}R_\mathrm{o}^3}\,\vec u_r\qquad(r<R_\mathrm{o})}$$
**c)** L'électron (charge $-e$) placé dans la boule subit $\vec f=-e\vec E=-\dfrac{eQ_\mathrm{o}}{4\pi\varepsilon_\mathrm{o}R_\mathrm{o}^3}\,\overrightarrow{OM}$. La force de rappel modélise donc **l'attraction électrostatique exercée sur l'électron par la distribution de charge positive** dans laquelle il baigne, avec
$$\boxed{\kappa=\frac{eQ_\mathrm{o}}{4\pi\varepsilon_\mathrm{o}R_\mathrm{o}^3}}$$
**Q26.** Dans le vide (sans charge ni courant) : $\mathrm{div}\,\vec E=0$, $\mathrm{div}\,\vec B=0$, $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec E=-\partial_t\vec B$, $\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec B=\mu_\mathrm{o}\varepsilon_\mathrm{o}\partial_t\vec E$. Les trois premières sont identiques dans le milieu ; seule Maxwell-Ampère change, par la substitution $\varepsilon_\mathrm{o}\to\varepsilon_\mathrm{o}\varepsilon_r$. Le milieu (neutre, isolant) se comporte comme un vide de permittivité $\varepsilon_\mathrm{o}\varepsilon_r$ : la réponse des électrons liés (polarisation) est entièrement contenue dans $\varepsilon_r$, qui est complexe.
**Q27.** Propagation selon $+\vec u_z$ ; vecteur d'onde $\vec k=k\,\vec u_z$ (avec $k$ éventuellement complexe) ; polarisation rectiligne selon $\vec u_x$.
**Q28.** Pour une onde plane en $e^{\mathrm{i}(\omega t-kz)}$, $\mathrm{div}\,\underline{\vec E}=-\mathrm{i}\vec k\cdot\underline{\vec E}$. Maxwell-Gauss dans le milieu, $\mathrm{div}\,\vec E=0$, donne $\vec k\cdot\underline{\vec E}=0$ : $\vec E$ n'a pas de composante selon la direction de propagation, il est **transverse**.
**Q29.** Maxwell-Faraday : $-\mathrm{i}\vec k\wedge\underline{\vec E}=-\mathrm{i}\omega\underline{\vec B}$, donc
$$\boxed{\underline{\vec B}=\frac{\vec k\wedge\underline{\vec E}}{\omega}=\frac{k}{\omega}E_\mathrm{o}e^{\mathrm{i}(\omega t-kz)}\,\vec u_y}$$
$\underline{\vec B}$ est orthogonal à $\vec k$ (produit vectoriel ; on le retrouve aussi par $\mathrm{div}\,\vec B=0$) : il est transverse.
**Q30.** D'après Q29, $\|\vec B\|\sim\dfrac{|k|}{\omega}\|\vec E\|=\dfrac{\|\vec E\|}{v}$ avec $v=\omega/|k|$ de l'ordre de $c$ dans un milieu peu dense. Alors $\dfrac{\|q_e\vec v_e\wedge\vec B\|}{\|q_e\vec E\|}\le\dfrac{v_e}{v}$ : la force magnétique est négligeable si
$$\boxed{v_e\ll c}$$
c'est-à-dire si l'électron reste non relativiste (champ d'amplitude modérée).
**Q31.** La taille d'un atome est de l'ordre de $d\sim10^{-10}$ m. Pour $\lambda=200$ nm, la phase $kz$ varie sur l'atome de $2\pi d/\lambda=2\pi\times10^{-10}/(2\cdot10^{-7})\simeq3\cdot10^{-3}$ rad $\ll1$ ($d/\lambda\sim5\cdot10^{-4}$). Le champ électrique est donc **uniforme à l'échelle atomique** : $\vec E(M,t)\simeq\vec E(O,t)$.
**Q32.** Dans le référentiel de la charge positive, galiléen (Q24), l'électron subit $-\kappa\vec r$, $-\alpha\dot{\vec r}$ et $-e\vec E(O,t)$ (force magnétique négligée d'après Q30, champ uniforme d'après Q31, poids négligeable). Avec l'atome en $z=0$, $\vec E(O,t)=E_\mathrm{o}\cos(\omega t)\,\vec u_x$ :
$$\boxed{m\frac{\mathrm{d}^2\vec r}{\mathrm{d}t^2}+\alpha\frac{\mathrm{d}\vec r}{\mathrm{d}t}+\kappa\vec r=-eE_\mathrm{o}\cos(\omega t)\,\vec u_x}$$
**Q33.** En régime sinusoïdal forcé, $\underline{\dot{\vec r}}=\mathrm{i}\omega\underline{\vec r}$, $\underline{\ddot{\vec r}}=-\omega^2\underline{\vec r}$ :
$$\left(\frac\kappa m-\omega^2+\mathrm{i}\frac\alpha m\omega\right)\underline{\vec r}=-\frac em\underline{\vec E}\quad\Longrightarrow\quad\underline{\vec r}=\frac{-e/m}{\omega_\mathrm{o}^2-\omega^2+\mathrm{i}\,\omega\omega_\mathrm{o}/Q}\,\underline{\vec E}$$
$$\boxed{\omega_\mathrm{o}=\sqrt{\frac\kappa m},\qquad Q=\frac{m\omega_\mathrm{o}}{\alpha}=\frac{\sqrt{m\kappa}}{\alpha}}$$
### II.2 — Solution des équations de Maxwell et aspect énergétique
**Q34.** $\Delta\underline{\vec E}=-k^2\underline{\vec E}$ et $\partial_t^2\underline{\vec E}=-\omega^2\underline{\vec E}$ ; l'équation de propagation donne
$$\boxed{k^2=\varepsilon_r\frac{\omega^2}{c^2}}$$
**Q35.** $(k_1-\mathrm{i}k_2)^2=k_1^2-k_2^2-2\mathrm{i}k_1k_2$ et $\varepsilon_r\omega^2/c^2=(\varepsilon_1-\mathrm{i}\varepsilon_2)\omega^2/c^2$. Les quatre grandeurs étant réelles, on identifie parties réelles et imaginaires :
$$\boxed{k_1^2-k_2^2=\frac{\omega^2}{c^2}\varepsilon_1(\omega),\qquad2k_1k_2=\frac{\omega^2}{c^2}\varepsilon_2(\omega)}$$
$\varepsilon_2>0$ impose $k_1$ et $k_2$ de même signe ; pour une propagation vers $+z$ ($k_1>0$), $k_2>0$.
**Q36.** $\mathrm{i}(\omega t-kz)=\mathrm{i}(\omega t-k_1z)-k_2z$, d'où
$$\boxed{\vec E(z,t)=E_\mathrm{o}\,e^{-k_2z}\cos(\omega t-k_1z)\,\vec u_x}$$
**Q37.** $\delta=1/k_2$ est la **distance caractéristique d'atténuation** (épaisseur de pénétration) de l'onde : l'amplitude du champ est divisée par $e$ sur la distance $\delta$ ; l'énergie, quadratique en champ, décroît sur $\delta/2$.
**Q38.** Milieu peu absorbant : $k_2\ll k_1$, ce qui revient à $\varepsilon_2\ll\varepsilon_1$. On néglige $k_2^2$ dans la première relation, puis on reporte dans la seconde :
$$\boxed{k_1\simeq\frac\omega c\sqrt{\varepsilon_1(\omega)},\qquad k_2\simeq\frac{\omega}{c}\,\frac{\varepsilon_2(\omega)}{2\sqrt{\varepsilon_1(\omega)}}}$$
On vérifie a posteriori $k_2/k_1=\varepsilon_2/(2\varepsilon_1)\ll1$.
**Q39.** La vitesse de phase est la vitesse de déplacement des plans d'égale phase $\omega t-k_1z=\text{cte}$ :
$$\boxed{v_\varphi=\frac{\omega}{k_1(\omega)}=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_1(\omega)}}}$$
$\varepsilon_1$ dépend de $\omega$, donc $v_\varphi$ aussi : **le milieu est dispersif**.
**Q40.** Q29 reste valable avec $k$ complexe : $\underline{\vec B}=\dfrac k\omega E_\mathrm{o}e^{-k_2z}e^{\mathrm{i}(\omega t-k_1z)}\vec u_y$. Pour des grandeurs sinusoïdales de même pulsation, $\langle\vec\Pi\rangle=\dfrac{1}{2\mu_\mathrm{o}}\mathrm{Re}\left(\underline{\vec E}\wedge\underline{\vec B}^*\right)$, avec $\underline{\vec E}\wedge\underline{\vec B}^*=\dfrac{k_1+\mathrm{i}k_2}{\omega}E_\mathrm{o}^2e^{-2k_2z}\vec u_z$ :
$$\boxed{\langle\vec\Pi\rangle=\frac{k_1(\omega)\,E_\mathrm{o}^2}{2\mu_\mathrm{o}\,\omega}\,e^{-2k_2(\omega)z}\,\vec u_z}$$
**Q41.** $\dfrac{\|\langle\vec\Pi\rangle(z+L)\|}{\|\langle\vec\Pi\rangle(z)\|}=e^{-2k_2L}$, indépendant de $z$. Donc
$$\boxed{\mathcal A_L=-\log_{10}\left(e^{-2k_2L}\right)=\frac{2L}{\ln10}\,k_2(\omega)}$$
proportionnelle à $k_2$ à $\omega$ (et $L$) fixés : c'est la loi de Beer-Lambert.
**Q42.** La mesure de $\mathcal A_L$ donne $k_2(\omega)$, donc $\varepsilon_2(\omega)$ par Q38. Or $\varepsilon_2$ présente un pic marqué au voisinage de $\omega_\mathrm{o}$, de largeur $\sim\omega_\mathrm{o}/Q$. En balayant $\omega$, Major Tom obtient le **spectre d'absorption** de l'échantillon : la position des pics donne les pulsations propres $\omega_\mathrm{o}$ caractéristiques des espèces présentes (identification), leur largeur renseigne sur l'amortissement ($Q$), leur hauteur (via $\Omega$, liée à la densité d'électrons oscillants) sur la quantité d'espèce absorbante.
## Partie III — Mesure optique et spectroscopie
### III.1 — Spectroscopie Ultra-Violette/Visible (UV/Vis)
**Q43.** Un état stationnaire est un état dont la fonction d'onde s'écrit $\Psi(x,t)=\varphi(x)e^{-\mathrm{i}Et/\hbar}$ : l'énergie y est parfaitement définie (égale à $E$) et la densité de probabilité de présence $|\Psi(x,t)|^2=|\varphi(x)|^2$ est indépendante du temps.
**Q44.**
$$\boxed{\mathrm{i}\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}(x,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}(x,t)+V(x)\Psi(x,t)}$$
**Q45.** Sur $]0,a[$, $V=0$ : $\varphi''+\kappa^2\varphi=0$ avec $\kappa^2=2mE/\hbar^2>0$ ($E>0$). D'où
$$\boxed{\varphi(x)=A\cos(\kappa x)+B\sin(\kappa x),\quad(A,B)\in\mathbb C^2}$$
**Q46.** Hors du segment, la particule ne peut pas se trouver : $\varphi=0$. Par continuité de la fonction d'onde, $\varphi(0)=\varphi(a)=0$. La première condition donne $A=0$ ; la seconde $B\sin(\kappa a)=0$ avec $B\neq0$ (sinon $\varphi\equiv0$, non normalisable), d'où $\kappa a=n\pi$, $n\in\mathbb N^*$ ($n=0$ donne $\varphi\equiv0$, $n<0$ ne donne pas de nouvel état). Avec $E=\hbar^2\kappa^2/(2m)$ :
$$\boxed{E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}=\frac{n^2h^2}{8ma^2},\qquad E_1=\frac{h^2}{8ma^2},\qquad E_n=n^2E_1}$$
**Q47. a)** Les $4$ atomes de carbone alignés délimitent $3$ intervalles :
$$\boxed{a=3\,d_{cc}}$$
(en général $a=(N-1)d_{cc}$).
**b)** Pour $N=4$, les niveaux $n=1$ et $n=2$ sont occupés : HOMO $n=2$, LUMO $n=3$. $\Delta E=E_3-E_2=5E_1=\dfrac{5h^2}{8m(3d_{cc})^2}=\dfrac{5h^2}{72\,m\,d_{cc}^2}$. Avec $\Delta E=hc/\lambda$ :
$$\boxed{\lambda=\frac{hc}{\Delta E}=\frac{72\,m\,c\,d_{cc}^2}{5\,h}}$$
(En général, HOMO $n=N/2$, LUMO $N/2+1$, $\Delta E=(N+1)E_1$ et $\lambda=\dfrac{8mc(N-1)^2d_{cc}^2}{(N+1)h}$.)
**c)** $\lambda=\dfrac{72\times9{,}1\cdot10^{-31}\times3{,}0\cdot10^8\times10^{-20}}{5\times6{,}6\cdot10^{-34}}=\dfrac{72\times9{,}1\times3{,}0}{33}\cdot10^{-9}\ \text{m}\simeq\dfrac{1\,970}{33}\cdot10^{-9}$ m :
$$\boxed{\lambda\sim6\cdot10^{-8}\ \text{m}=60\ \text{nm}}$$
La transition est dans l'ultraviolet (UV lointain) : c'est la longueur d'onde de référence pour l'étalonnage. Le modèle est grossier (la valeur dépend fortement de $d_{cc}$, $\lambda\propto d_{cc}^2$).
### III.2 — Interféromètre d'Young : mesure de l'indice optique
**Q48.** $S$ étant au foyer objet de $(\mathcal L_1)$, le faisceau émergent est parallèle à l'axe : une onde plane arrive en incidence normale sur les cuves et les fentes. Le plan des fentes est un plan d'onde : les deux fentes sont éclairées en phase, les chemins $(SS_1)$ et $(SS_2)$ sont égaux hors cuves, et la différence de marche ne dépend plus que du point d'observation et du contenu des cuves. De plus, les deux faisceaux traversent les cuves sous incidence normale, sur la même longueur $\ell$, ce qui rend la contribution des cuves simple ($n\ell$ chacune).
**Q49.** L'écran étant dans le plan focal image de $(\mathcal L_2)$, au point $M(x,y,0)$ convergent les rayons issus des fentes parallèles à la direction d'angle $\theta$ telle que $x=f_2'\tan\theta\simeq f_1'\theta$ ($f_2'=f_1'$, conditions de Gauss). Soit $S_1$ (côté $C_1$, en $x=-a/2$) et $S_2$ (côté $C_2$, en $x=+a/2$). Par le théorème de Malus et le stigmatisme de $(\mathcal L_2)$, la différence de chemin optique entre les deux rayons est la projection de $\overrightarrow{S_1S_2}$ sur la direction de propagation, $a\sin\theta\simeq a\theta$. Les cuves étant initialement identiques :
$$\boxed{\delta(M)=(SS_1M)-(SS_2M)=\frac{a\,x}{f_1'}}$$
indépendante de $y$ : franges rectilignes parallèles à $(Oy)$, d'interfrange $i=\lambda f_1'/a$.
**Q50.** Les deux cuves sont identiques et remplies du même gaz à la même pression : leurs chemins optiques se compensent, et la frange d'ordre nul ($\delta=0$) est en
$$\boxed{x=0\ :\ \text{sur l'axe optique, en } O=F_2'}$$
C'est une frange brillante.
**Q51. a)** $C_2$ vide (indice $1$), $C_1$ toujours remplie (indice $n_\text{gaz}$) : le chemin optique par $S_1$ augmente de $(n_\text{gaz}-1)\ell$ par rapport à celui par $S_2$ :
$$\delta(M)=\frac{ax}{f_1'}+(n_\text{gaz}-1)\ell=0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{x_0=-\frac{(n_\text{gaz}-1)\,\ell\,f_1'}{a}}$$
La frange d'ordre nul s'est déplacée du côté de la cuve $C_1$ (bras de plus grand chemin optique) ; l'interfrange est inchangé.
**b)** Au capteur fixe ($x=0$), l'ordre d'interférence $p=\delta(0)/\lambda=(n_\text{gaz}-n_2)\ell/\lambda$ varie continûment de $0$ (cuves identiques) à $(n_\text{gaz}-1)\ell/\lambda$ ($C_2$ vide). Chaque frange brillante qui défile correspond à une variation d'une unité de $p$ ; l'intensité étant maximale à l'état final, $p_f$ est l'entier $N$ :
$$\frac{(n_\text{gaz}-1)\ell}{\lambda}=N\quad\Longrightarrow\quad\boxed{n_\text{gaz}=1+\frac{N\lambda}{\ell}}$$
$$n_\text{gaz}=1+\frac{100\times600\cdot10^{-9}}{0{,}200}=1+3{,}0\cdot10^{-4}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{n_\text{gaz}=1{,}000\,30}$$
Valeur typique d'un gaz à pression ordinaire (l'air terrestre a $n-1\simeq2{,}9\cdot10^{-4}$).
FIN
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