Maths 2

# Épreuve spécifique — Filière MP

## Mathématiques 2

Session 2026. Code : MP3M2.

Durée : 4 heures.

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

### Rappel des consignes

- Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d’autres couleurs, excepté le vert, bleu clair ou turquoise, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
- Ne pas utiliser de correcteur.
- Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont interdites.

Ce sujet est composé de deux exercices et d’un problème tous indépendants.

## Exercice 1

Soient $a$ et $b$ deux réels, $a \neq 0$,

on considère la matrice

$$
A = \begin{pmatrix} a + b & a & a \\ a & a + b & a \\ a & a & a + b \end{pmatrix}
$$

et on note

$$
J = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
$$

**Q1.** Quel est le rang de la matrice $J$ ? Diagonaliser la matrice $J$ sans calculer de déterminant. On ne demande pas la matrice de passage.

**Q2.** En déduire que la matrice $A$ est semblable à une matrice diagonale que l’on précisera.

**Q3.** Justifier, sans calculs, que le polynôme minimal de la matrice $A$ est : $\pi_A = (X - b)(X - 3a - b)$.

**Q4.** Déterminer les puissances successives de $A$ par deux méthodes différentes :

**a)** En déterminant le reste dans la division euclidienne de $X^n$ par le polynôme $\pi_A = (X - b)(X - 3a - b)$.

On pourra laisser la réponse en fonction des matrices $A$ et $I$.

Pour simplifier les calculs, on posera $\lambda = 3a + b$ et on pourra laisser $\lambda$ dans la réponse.

**b)** Calculer $J^k$ pour tout entier $k \geq 1$, puis utiliser $A = aJ + bI$.

On pourra laisser la réponse en fonction des matrices $J$ et $I$ (*sans le signe somme*).

## Exercice 2

Dans cet exercice $n$ est un entier naturel non nul.

On note $P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \ldots + a_{n-1} X^{n-1}$ un polynôme de degré $n - 1$ à coefficients réels.

On note, pour $k \in \llbracket 0, n - 1 \rrbracket$, $\displaystyle \omega_k = e^{\frac{i 2 k \pi}{n}}$ les $n$ racines $n$-ièmes de l’unité.

Le but de l’exercice est de démontrer le résultat suivant :

$(*)$ le produit $P(\omega_1) P(\omega_2) \ldots P(\omega_{n-1})$ est un nombre réel.

**Q5.** Exemple.

Si on note $\displaystyle j = e^{\frac{i 2 \pi}{3}}$, déterminer ce que vaut $1 + j + j^2$.

Choisir un polynôme de votre choix de degré 2 à coefficients réels tous non nuls et tous différents et vérifier le résultat $(*)$.

**Q6.** On note la matrice $J$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ :

$$
J = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$

(chaque ligne et chaque colonne contient un et un seul 1).

Démontrer que le polynôme caractéristique de la matrice $J$ est $\chi_J = X^n - 1$.

**Q7.** On note

$$
A = \begin{pmatrix}
a_0 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-2} & a_{n-1} \\
a_{n-1} & a_0 & a_1 & \cdots & a_{n-3} & a_{n-2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_2 & a_3 & a_4 & \cdots & a_0 & a_1 \\
a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_{n-1} & a_0
\end{pmatrix}
\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).
$$

(les coefficients du polynôme $P$ se trouvent sur la première ligne, puis sur les lignes suivantes avec un « décalage d’une case vers la droite »).

Comparer la matrice $A$ et la matrice $P(J)$ (on ne demande pas le détail des calculs).

**Q8.** Diagonaliser la matrice $J$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ (on ne demande pas la matrice de passage), puis diagonaliser la matrice $A$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$.

**Q9.** En déduire le résultat $(*)$.

## Problème

**Q10.** Question de cours.

Si $E$ est un espace préhilbertien réel muni d’un produit scalaire $\langle \mid \rangle$ et de sa norme euclidienne associée notée $\lVert \ \rVert$, si $F$ est un sous-espace vectoriel de dimension finie de $E$, on définit le projeté orthogonal sur $F$ d’un vecteur $x$ de $E$ noté $p_F(x)$ ainsi :

$p_F(x)$ est l’unique vecteur de $F$ vérifiant $x - p_F(x) \in F^\perp$.

**a)** Si $(e_0, e_1, e_2, \ldots, e_n)$ est une base orthonormale de $F$, démontrer que

$$
p_F(x) = \sum_{i=0}^{n} \langle x \mid e_i \rangle\, e_i.
$$

**b)** Démontrer que pour tout vecteur $x$ de $E$, $\lVert p_F(x) \rVert^2 \leq \lVert x \rVert^2$ et que

$$
\sum_{i=0}^{n} \langle x \mid e_i \rangle^2 \leq \lVert x \rVert^2.
$$

**Q11.** Justifier que pour tout couple $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ :

$$
|ab| \leq \frac{a^2 + b^2}{2}.
$$

On note désormais $F = \mathbb{R}[X]$, $I = [0, +\infty[$ et $E$ l’ensemble des fonctions continues de $I$ dans $\mathbb{R}$, telles que la fonction $t \mapsto \bigl(f(t)\bigr)^2 e^{-t}$ soit intégrable sur l’intervalle $I$.

Justifier que pour $f$ et $g$ dans $E$, la fonction $t \mapsto f(t) g(t) e^{-t}$ est intégrable sur l’intervalle $I$.

**Q12.** Démontrer que $E$ est un espace vectoriel et que l’on définit un produit scalaire sur $E$ en posant :

$$
\forall (f,g) \in E^2,\quad \langle f \mid g \rangle = \int_0^{+\infty} f(t) g(t) e^{-t}\, \mathrm{d}t.
$$

**Q13.** On identifie $\mathbb{R}[X]$ et les fonctions polynomiales sur $\mathbb{R}$. Justifier que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

Ainsi $\langle \mid \rangle$, défini sur $\mathbb{R}[X]$, par

$$
\forall (P,Q) \in \mathbb{R}[X]^2,\quad \langle P \mid Q \rangle = \int_0^{+\infty} P(t) Q(t) e^{-t}\, \mathrm{d}t
$$

est un produit scalaire sur $\mathbb{R}[X]$.

**Q14.** Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose pour tout réel $x$,

$$
h_n(x) = x^n e^{-x}
\quad\text{et}\quad
L_n(x) = \frac{e^x}{n!}\, h_n^{(n)}(x) = \frac{e^x}{n!}\, \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\bigl(x^n e^{-x}\bigr).
$$

**a)** Calculer pour tout entier naturel $p \leq n$, $h_n^{(p)}(x)$.

Si $p < n$, que vaut $h_n^{(p)}(0)$ ?

**b)** Démontrer que $L_n \in \mathbb{R}[X]$, préciser son degré et son coefficient dominant.

**Q15.** Soit $g$ élément de $\mathbb{R}[X]$, exprimer $\langle g \mid h_n^{(n)} \rangle$ en fonction de $\displaystyle \int_0^{+\infty} g^{(n)}(t) h_n(t)\, \mathrm{d}t$, puis exprimer $\langle g \mid L_n \rangle$ en fonction de $\displaystyle \int_0^{+\infty} g^{(n)}(t)\, t^n e^{-t}\, \mathrm{d}t$.

**Q16.** Si $L_i$ et $L_j$, avec $i < j$, sont deux éléments de $F$, déterminer $\langle L_i \mid L_j \rangle$.

**Q17.** Calculer par des intégrations par parties, $\displaystyle \int_0^{+\infty} t^n e^{-t}\, \mathrm{d}t$, puis pour tout $n \in \mathbb{N}$, calculer $\langle L_n \mid L_n \rangle$.

**Q18.** Que peut-on en conclure concernant la base $(L_0, L_1, L_2, \ldots, L_n)$ de vecteurs de $F$ ?

Exprimer, pour tout $g$ élément de $E$, $P_F(g)$ dans cette base.

**Q19.** Démontrer que la série $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \langle g \mid L_n \rangle^2$ converge et majorer $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \langle g \mid L_n \rangle^2$.

**Q20.** Pour $\alpha > -\dfrac{1}{2}$, on pose $g_\alpha(x) = e^{-\alpha x}$.

Vérifier que pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$, $g_\alpha \in E$.

Démontrer que

$$
\sum_{n=0}^{+\infty} \langle g_\alpha \mid L_n \rangle^2 = \lVert g_\alpha \rVert^2.
$$

FIN