Physique B - thermodynamique
Banque PTPT2026
Cherchez d'abord seul. En cas de blocage, ouvrez une indication, réessayez, puis seulement la solution.
Rédigé par IA, non vérifié
Signaler une erreur# Banque PT PT — Physique B (thermodynamique) 2026 · Corrigé guidé
*Corrigé rédigé par IA (La Belle Copie), non officiel. Signalez toute erreur.*
## Présentation du sujet
Le sujet porte sur le procédé **MESMA** (Module d'Énergie Sous-Marin Autonome), un système de propulsion anaérobie. Une chambre de combustion éthanol/oxygène liquide chauffe le circuit secondaire d'eau, qui décrit un **cycle de Rankine** : pompe, générateur de vapeur, turbine et condenseur refroidi par l'eau de mer. L'épreuve dure 2 h, **sans calculatrice**. Le diagramme $(T,s)$ de l'eau figure sur un document réponse à rendre. Les données utiles sont regroupées à la fin de chaque partie, et l'énoncé fournit des aides de calcul ($373/773\approx0{,}48$, $5{,}8/6{,}3\approx0{,}92$).
Découpage :
- **Partie 1, Q1 à Q16 : description thermodynamique du cycle.**
- Q1 à Q4 : modèle du moteur ditherme de Carnot, avec la démonstration du rendement de Carnot et le rendement réel en présence d'entropie créée.
- Q5 à Q16 : étude détaillée avec le premier principe industriel. On place le cycle dans les diagrammes $(P,v)$ et $(T,s)$, on lit les valeurs manquantes, on calcule le titre en sortie de turbine, les transferts et travaux massiques, le rendement, puis le débit d'eau nécessaire pour 200 kW de propulsion.
- **Partie 2, Q17 à Q30 : utilisation de l'oxygène liquide.**
- Q17 à Q22 : résistances thermiques en série et rayon critique d'isolation.
- Q23 à Q27 : débitmètre de Venturi (conservation du débit, Bernoulli, pertes de charge).
- Q28 à Q30 : bilan enthalpique sur une tranche de conduite, qui donne une équation différentielle du premier ordre et une longueur caractéristique.
**Notions mobilisées.** Le sujet fait appel aux premier et second principes sur un cycle, au premier principe industriel, aux changements d'état et au titre en vapeur, aux diagrammes $(P,v)$ et $(T,s)$, au modèle du gaz parfait et à celui de la phase condensée, à la conduction thermique et aux résistances thermiques, à la loi de Newton, à la relation de Bernoulli et à la résolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre.
**Difficulté et longueur.** Le sujet est long pour 2 h (30 questions), mais très proche du cours. Les points délicats sont la lecture du diagramme $(T,s)$ (Q9 à Q11), la discussion du rayon critique (Q20 et Q21) et le passage de la résistance globale à la résistance d'une tranche (Q28).
**Questions à ne pas laisser passer.** Q2, Q3, Q5, Q7, Q12, Q13, Q15, Q16, Q17, Q18, Q23 à Q26, Q29 et Q30 sont des applications directes du cours.
**Gestion du temps.** Comptez environ 1 h 05 pour la partie 1 et 55 min pour la partie 2. Les trois blocs de la partie 2 sont presque indépendants : Q28 à Q30 n'utilisent que les valeurs **données** $R_{th-eq}=1$ K/W et $D_m=1$ kg/s.
## Partie 1 — Description thermodynamique du cycle
On commence par le modèle idéal de Carnot, puis on décrit le cycle réel point par point à l'aide du premier principe industriel et du diagramme $(T,s)$. Les questions s'enchaînent : une erreur sur un état (Q7 à Q10) se propage jusqu'à Q16.
### Question 1
> [!INDICATION]
> Choisissez un système fermé qui revient à son état initial, puis repérez où il est en contact avec la source chaude et avec la source froide.
> [!INDICATION]
> Utilisez la convention « reçu par le système ». Pour un moteur, demandez-vous quels échanges sont effectivement cédés par le fluide.
#### Solution
Le système est l'eau du circuit secondaire, suivie sur un cycle complet. C'est un système fermé qui revient à son état initial.
- $Q_c$ est le transfert thermique reçu dans le **générateur de vapeur**, de la part de la source chaude (gaz de combustion, à $T_{ch}$) : $Q_c>0$.
- $Q_f$ est le transfert thermique reçu dans le **condenseur**, de la part de l'eau de mer (source froide, à $T_{fr}$) : $Q_f<0$.
- $W$ est le travail reçu par l'intermédiaire des arbres de la turbine et de la pompe : $W<0$, car le dispositif est moteur.
> [!PIEGE]
> Ne confondez pas les composants avec les sources. Le générateur de vapeur et le condenseur sont des échangeurs. Les thermostats sont les gaz chauds et l'eau de mer.
### Question 2
> [!INDICATION]
> Écrivez les deux principes sur un cycle, en remarquant que $U$ et $S$ sont des fonctions d'état.
> [!INDICATION]
> Réversible signifie $S_{\text{créée}}=0$. Avec un thermostat, l'entropie échangée s'écrit $Q/T$.
#### Solution
Premier principe sur un cycle : $W+Q_c+Q_f=0$.
Second principe sur un cycle réversible : $\dfrac{Q_c}{T_{ch}}+\dfrac{Q_f}{T_{fr}}=0$.
On en déduit :
$$\eta=\frac{-W}{Q_c}=1+\frac{Q_f}{Q_c}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\eta_C=1-\frac{T_{fr}}{T_{ch}}}$$
> [!METHODE]
> Pour toute machine ditherme, la démarche est toujours la même : définir le rendement ou l'efficacité, puis éliminer $W$ avec le premier principe et un des $Q$ avec le second.
### Question 3
> [!INDICATION]
> Les températures thermodynamiques s'expriment en kelvins. L'énoncé fournit le rapport utile.
#### Solution
On a $T_{ch}=773$ K et $T_{fr}=373$ K, donc $\eta_C=1-373/773\approx1-0{,}48$, soit $\boxed{\eta_C\approx0{,}52}$.
> [!PIEGE]
> Si l'on garde les degrés Celsius, on trouve $1-100/500=0{,}8$, ce qui est faux.
### Question 4
> [!INDICATION]
> Reprenez Q2 en ajoutant $S_{\text{créée}}\ge0$ dans le bilan d'entropie.
#### Solution
Le bilan d'entropie s'écrit $0=\dfrac{Q_c}{T_{ch}}+\dfrac{Q_f}{T_{fr}}+S_{\text{créée}}$, donc $Q_f=-T_{fr}\left(\dfrac{Q_c}{T_{ch}}+S_{\text{créée}}\right)$. On en déduit :
$$\boxed{\eta=1-\frac{T_{fr}}{T_{ch}}-\frac{T_{fr}\,S_{\text{créée}}}{Q_c}}\le\eta_C$$
L'égalité n'a lieu que pour un cycle réversible.
### Question 5
> [!INDICATION]
> Le système à définir est un système **fermé** construit à partir d'un volume de contrôle fixe, en tenant compte de la masse qui entre et de celle qui sort pendant $\mathrm{d}t$.
> [!INDICATION]
> Le travail des forces de pression en entrée et en sortie se regroupe avec $u$ pour former $h$.
#### Solution
On fixe un volume de contrôle, par exemple un composant entre son entrée $E$ et sa sortie $S$. Le système fermé $\Sigma$ est formé, à l'instant $t$, du fluide contenu dans ce volume et de la masse $\delta m$ qui va entrer pendant $\mathrm{d}t$. À l'instant $t+\mathrm{d}t$, il est formé du fluide contenu dans le volume et de la masse $\delta m$ qui vient de sortir. En régime permanent, le contenu du volume de contrôle ne change pas. Le premier principe appliqué à $\Sigma$, avec le travail des forces de pression d'entrée et de sortie $(P_ev_e-P_sv_s)\delta m$, donne :
$$\boxed{\Delta h+\Delta\!\left(\frac{c^2}{2}\right)+g\Delta z=w_u+q}$$
Les termes sont les suivants :
- $h$ est l'enthalpie massique ;
- $c$ est la vitesse d'ensemble et $z$ l'altitude ;
- $w_u$ est le travail utile massique, fourni par les parties mobiles ;
- $q$ est le transfert thermique massique.
Dans le circuit, on néglige l'énergie cinétique et la pesanteur, ce qui donne $\boxed{\Delta h=w_u+q}$. Dans les échangeurs, $\Delta h=q$. Dans la pompe et la turbine, adiabatiques, $\Delta h=w_u$.
> [!METHODE]
> Pour chaque composant, posez-vous deux questions : y a-t-il une pièce mobile, ce qui donne $w_u\ne0$ ? Y a-t-il un échange thermique, ce qui donne $q\ne0$ ? La réponse donne immédiatement la forme du bilan.
### Question 6
> [!INDICATION]
> Quel modèle du programme décrit un liquide ? De quelles variables dépend alors son entropie ?
> [!INDICATION]
> La compression dans la pompe est isentropique.
#### Solution
On modélise l'eau liquide par une phase condensée incompressible et indilatable. Son entropie s'écrit $s=c\ln T+\text{cste}$ et ne dépend que de $T$. Comme $s_2=s_1$, on a $\boxed{T_2=T_1=100\ ^\circ\text{C}}$.
L'enthalpie augmente seulement de $v\Delta P\approx10^{-3}\times49\times10^5\approx5$ kJ·kg⁻¹, donc $h_2\approx445$ kJ·kg⁻¹.
> [!PIEGE]
> Les lois de Laplace ne s'appliquent pas à un liquide : elles concernent le gaz parfait.
### Question 7
> [!INDICATION]
> Le générateur de vapeur et le condenseur sont des échangeurs isobares.
> [!INDICATION]
> Dans un mélange diphasé à l'équilibre, la pression et la température ne sont pas indépendantes.
#### Solution
Les échangeurs sont isobares, donc $\boxed{P_3=P_2=50\text{ bar}}$ et $\boxed{P_4=P_1=1\text{ bar}}$.
L'état 4 est un mélange liquide-vapeur sous 1 bar. Sa température est la température d'équilibre sous cette pression, la même que celle du liquide saturé de l'état 1 : $\boxed{T_4=T_1=100\ ^\circ\text{C}}$.
**Diagramme $(P,v)$**, avec la cloche de saturation :
- 1 est sur la branche liquide, à 1 bar ;
- 1→2 est presque vertical, jusqu'à 50 bar ;
- 2→3 suit l'isobare horizontale à 50 bar : échauffement du liquide, palier de vaporisation sous la cloche (à environ 264 °C), puis surchauffe jusqu'à 500 °C, hors de la cloche à droite ;
- 3→4 est la détente isentropique, une courbe descendante qui rentre dans la cloche ;
- 4→1 est le palier horizontal de condensation à 1 bar.
Le cycle est parcouru dans le sens horaire, comme tout cycle moteur.
> [!PIEGE]
> Dans le diagramme $(P,v)$, l'écart entre 1 et 2 est presque invisible. Le volume massique du liquide vaut environ $10^{-3}$ m³/kg, alors que celui de la vapeur en 4 vaut environ 1,6 m³/kg.
### Question 8
> [!INDICATION]
> Partez de l'identité $\mathrm{d}h=T\mathrm{d}s+v\mathrm{d}P$ et de la loi de Joule $\mathrm{d}h=c_p\mathrm{d}T$.
> [!INDICATION]
> Pour un gaz parfait, de quoi dépend $h$ ? Que deviennent alors les courbes $h=\text{cste}$ ?
#### Solution
Pour un gaz parfait, sur une isobare, $c_p\,\mathrm{d}T=T\,\mathrm{d}s$, d'où $\boxed{T=T_0\,e^{(s-s_0)/c_p}}$. Ce sont des exponentielles croissantes. Comme $(\partial s/\partial P)_T=-r/P$, les isobares de plus haute pression sont plus à gauche.
Toujours pour un gaz parfait, $h=h(T)$ : les isenthalpes sont des isothermes, donc horizontales. À entropie élevée (basse pression, loin de la cloche), la vapeur se comporte comme un gaz parfait, et les isenthalpes du diagramme y deviennent **horizontales**.
> [!METHODE]
> La pente d'une isobare dans le diagramme $(T,s)$ vaut $T/c_p$. Dans le diagramme d'un fluide réel, retenez la correspondance suivante : là où les isenthalpes sont horizontales, le fluide se comporte comme un gaz parfait.
### Question 9
> [!INDICATION]
> Placez d'abord les points connus par $(T,\text{état})$ : 1 et le niveau 100 °C de 4. Placez ensuite 3 à l'intersection d'une isobare et d'une isotherme.
> [!INDICATION]
> Pour les transformations isentropiques, demandez-vous quel type de segment elles donnent dans ce diagramme.
#### Solution
Placement des points :
- **1** : sur la courbe d'ébullition, à 100 °C ($s_1=1{,}3$ kJ·kg⁻¹·K⁻¹).
- **2** : à la verticale de 1 ($s_2=s_1$, $T_2=T_1$), sur l'isobare 5 MPa. Il est pratiquement confondu avec 1, car les isobares du liquide se confondent avec la courbe d'ébullition.
- **3** : à l'intersection de l'isobare 5 MPa et de l'isotherme 500 °C, à droite de la cloche ($s_3\approx7{,}0$ kJ·kg⁻¹·K⁻¹).
- **4** : à la verticale de 3, sur le palier à 100 °C, dans la cloche, entre la courbe $q=0{,}9$ et la courbe de rosée.
Le cycle se décrit ainsi :
- 2→3 suit l'isobare 5 MPa : le long de la courbe d'ébullition jusqu'à environ 264 °C, puis un palier horizontal dans la cloche, puis une montée dans la vapeur sèche ;
- 3→4 est vertical ;
- 4→1 est horizontal.
> [!PIEGE]
> Une isentropique est **verticale** dans le diagramme $(T,s)$. Si le point 4 n'est pas à l'aplomb du point 3, le titre de Q11 sera faux.
### Question 10
> [!INDICATION]
> Comparez la température de chaque état à la température de saturation sous sa pression.
> [!INDICATION]
> Pour $h_3$, utilisez l'isenthalpe qui passe par le point 3 et l'échelle de droite.
#### Solution
L'état 2 est un **liquide comprimé** : $100\ ^\circ$C est inférieur à $T_{\text{sat}}(50\text{ bar})\approx264\ ^\circ$C. L'état 3 est une **vapeur sèche surchauffée**.
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| $h$ (kJ·kg⁻¹) | 440 | $\approx445$ | $\approx3430$ | 2550 |
| $s$ (kJ·kg⁻¹·K⁻¹) | 1,3 | 1,3 | $\approx7{,}0$ | $\approx7{,}0$ |
| état | liquide saturé | liquide comprimé | vapeur surchauffée | mélange liquide-vapeur |
> [!METHODE]
> Une lecture graphique s'annonce avec sa précision, ici environ ±30 kJ/kg et ±0,1 kJ·kg⁻¹·K⁻¹. Les arrondis demandés ensuite en tiennent compte.
### Question 11
> [!INDICATION]
> L'entropie est extensive : le mélange se décompose en $x$ kg de vapeur saturée et $1-x$ kg de liquide saturé.
> [!INDICATION]
> Que vaut $s_4$, compte tenu de la nature de la détente dans la turbine ?
#### Solution
Le mélange se décompose en vapeur saturée et liquide saturé, donc :
$$\boxed{s=x\,s_V(T)+(1-x)\,s_l(T)}$$
La détente est isentropique, donc $s_4=s_3\approx7{,}0$ kJ·kg⁻¹·K⁻¹. On en déduit :
$$x_4=\frac{s_4-s_l}{s_V-s_l}=\frac{7{,}0-1{,}3}{7{,}3-1{,}3}\approx\boxed{0{,}95}$$
L'aide de l'énoncé, $5{,}8/6{,}3\approx0{,}92$, n'est pas cohérente avec $s_V-s_l=6{,}0$. Elle donne une valeur voisine, dans la précision de lecture.
Lecture directe : sur le palier à 100 °C, le point 4 se trouve entre la courbe $q=0{,}9$ et la courbe de rosée, ce qui donne $x\approx0{,}93$ à $0{,}95$. Le calcul et la lecture concordent.
> [!PIEGE]
> Le titre se calcule avec les valeurs de $s_l$ et $s_V$ à la température **du point 4**, ici 100 °C, et non à celle du point 3.
### Question 12
> [!INDICATION]
> Appliquez Q5 à un échangeur, qui ne comporte pas de pièce mobile.
#### Solution
Dans le générateur de vapeur :
$$q_{23}=h_3-h_2\approx3430-445\quad\Longrightarrow\quad\boxed{q_{23}\approx2{,}99\times10^3\ \text{kJ·kg}^{-1}>0}$$
Dans le condenseur :
$$q_{41}=h_1-h_4\quad\Longrightarrow\quad\boxed{q_{41}\approx-2{,}11\times10^3\ \text{kJ·kg}^{-1}<0}$$
Le fluide reçoit de la chaleur côté chaud et en cède côté froid, à l'eau de mer : c'est bien le fonctionnement d'un moteur.
### Question 13
> [!INDICATION]
> Que vaut $\Delta h$ sur un cycle complet ?
> [!INDICATION]
> Quels composants échangent un travail utile ? Ce n'est pas seulement la turbine.
#### Solution
Sur un cycle, $\Delta h=0$, donc :
$$w_{\text{cycle}}=-(q_{23}+q_{41})\quad\Longrightarrow\quad\boxed{w_{\text{cycle}}\approx-875\ \text{kJ·kg}^{-1}}$$
Dans la turbine :
$$w_T=h_4-h_3\quad\Longrightarrow\quad\boxed{w_T\approx-880\ \text{kJ·kg}^{-1}}$$
La différence vient de la **pompe** : $w_P=h_2-h_1\approx+5$ kJ·kg⁻¹, et $w_{\text{cycle}}=w_T+w_P$. Ce travail est faible, car comprimer un liquide coûte peu.
> [!METHODE]
> Le travail de compression d'un liquide se calcule par $v\Delta P$. C'est tout l'intérêt du cycle de Rankine : on comprime un liquide et non un gaz.
### Question 14
> [!INDICATION]
> Utilisez la valeur de $x_4$ trouvée en Q11 et pensez à ce que deviennent des gouttes projetées à grande vitesse.
#### Solution
À la sortie de la turbine, le fluide est un **mélange liquide-vapeur** ($x_4\approx0{,}95$, soit environ 5 % de liquide). Les gouttelettes frappent les aubes à grande vitesse. Elles provoquent une **érosion** des derniers étages, favorisent la corrosion, créent des vibrations et des balourds, et dégradent le rendement de la détente. En pratique, on limite l'humidité en fin de détente, par exemple en augmentant la surchauffe ou en ajoutant une resurchauffe.
### Question 15
> [!INDICATION]
> Le rendement est l'énergie utile sur l'énergie coûteuse. Quelle chaleur paie-t-on ?
> [!INDICATION]
> Pour la comparaison, relisez Q4 : où le cycle réel crée-t-il de l'entropie ?
#### Solution
$$\eta=\frac{-w_{\text{cycle}}}{q_{23}}\approx\frac{875}{2985}\approx0{,}29\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\eta\approx0{,}3}$$
On trouve $\eta\approx0{,}3<\eta_C\approx0{,}52$. Le cycle réel est irréversible, avec $S_{\text{créée}}>0$ au sens de Q4. Dans le générateur, l'eau est chauffée de 100 °C à 500 °C au contact d'une source à $T_{ch}$, donc à travers un écart de température fini. Au condenseur, l'échange se fait au contraire à la température de la source froide.
> [!PIEGE]
> Le rendement à calculer est $|w_{\text{cycle}}|/q_{23}$ et non $|w_T|/q_{23}$. Ici les deux s'arrondissent à 0,3, mais la définition doit être la bonne.
### Question 16
> [!INDICATION]
> Remontez la chaîne de conversion : propulsion, puis électricité, puis arbre de la turbine. Chaque rendement divise.
> [!INDICATION]
> Une puissance s'obtient comme un débit massique multiplié par un travail massique.
#### Solution
On a $P_e=200/0{,}8=250$ kW, puis $P_T=250/0{,}95\approx263$ kW. Comme $P_T=D_m|w_T|$ :
$$D_m=\frac{P_{\text{méca}}}{0{,}8\times0{,}95\times|w_T|}\approx\frac{263}{880}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{D_m\approx0{,}3\ \text{kg·s}^{-1}}$$
Le résultat est identique avec le travail net du cycle.
> [!METHODE]
> En régime permanent, une puissance est toujours le produit d'un débit massique (en kg/s) par une grandeur massique (en J/kg). Gardez ce réflexe pour toutes les machines thermiques.
## Partie 2 — Utilisation de l'oxygène liquide
On étudie l'acheminement de l'oxygène liquide à −185 °C en trois blocs. Le premier porte sur l'isolation, avec les résistances thermiques et le rayon critique. Le deuxième porte sur la mesure du débit par un tube de Venturi, avec la relation de Bernoulli. Le troisième porte sur le réchauffement le long de la conduite, avec un bilan sur une tranche et une équation différentielle.
### Question 17
> [!INDICATION]
> Rappelez l'unité d'une conductivité thermique et celle d'une résistance thermique.
> [!INDICATION]
> Pour la pertinence, demandez-vous dans quel sens chaque paramètre devrait faire varier la résistance. Examinez aussi la limite d'une paroi mince.
#### Solution
**Homogénéité.** $\ln(r_2/r_1)$ est sans dimension et $\lambda_aL$ s'exprime en W·K⁻¹, donc $R_{th1}$ s'exprime en K·W⁻¹. La formule est homogène.
**Pertinence.**
- $R_{th1}$ décroît quand $\lambda_a$ augmente : un bon conducteur isole mal.
- $R_{th1}$ décroît quand $L$ augmente : la surface d'échange augmente, comme des résistances mises en parallèle.
- $R_{th1}$ croît avec $r_2/r_1$, donc avec l'épaisseur.
- Pour une paroi mince, $R_{th1}\approx\dfrac{r_2-r_1}{\lambda_a\,2\pi r_1L}$, ce qui est la résistance d'un mur plan.
Pour l'isolant :
$$\boxed{R_{th2}=\frac{\ln\!\left(\frac{r_2+e}{r_2}\right)}{2\pi\lambda_iL}}$$
> [!METHODE]
> Vérifier la pertinence d'une formule consiste à étudier les sens de variation et les cas limites, par exemple la paroi mince qui redonne le mur plan $e/(\lambda S)$.
### Question 18
> [!INDICATION]
> Écrivez la loi de Newton sous la forme « écart de température / résistance ». Quelle est la surface en contact avec l'air ?
> [!INDICATION]
> Les trois résistances sont traversées par le même flux : quelle association est-ce ?
#### Solution
La surface en contact avec l'air est $S=2\pi(r_2+e)L$, d'où :
$$\boxed{R_{cc}=\frac{1}{2\pi h_{ext}(r_2+e)L}}$$
Les trois résistances sont en série, puisque le même flux les traverse en régime stationnaire :
$$\boxed{R_{th-eq}=\frac{\ln(r_2/r_1)}{2\pi\lambda_aL}+\frac{\ln(1+e/r_2)}{2\pi\lambda_iL}+\frac{1}{2\pi h_{ext}(r_2+e)L}}$$
> [!PIEGE]
> La surface de convection est la surface **extérieure de l'isolant**, de rayon $r_2+e$, et non celle de la conduite. C'est précisément ce qui produit l'effet de rayon critique.
### Question 19
> [!INDICATION]
> Appliquez la loi d'Ohm thermique et précisez le sens du flux.
#### Solution
$$\boxed{\Phi=\frac{\theta_e-\theta_i}{R_{th-eq}}=\frac{2\pi L(\theta_e-\theta_i)}{\dfrac{\ln(r_2/r_1)}{\lambda_a}+\dfrac{\ln(1+e/r_2)}{\lambda_i}+\dfrac{1}{h_{ext}(r_2+e)}}}$$
Le flux est positif de l'air vers l'oxygène. Avec $R_{th-eq}=1{,}0$ K·W⁻¹, on obtient $\Phi\approx205$ W.
### Question 20
> [!INDICATION]
> Seuls deux termes dépendent de $e$. Dérivez-les par rapport à $e$.
> [!INDICATION]
> Factorisez la dérivée pour faire apparaître le signe de $(r_2+e)-\lambda_i/h_{ext}$, puis comparez $r_2$ à $\lambda_i/h_{ext}$.
#### Solution
On pose $r=r_2+e$. La dérivée vaut :
$$\frac{\mathrm{d}R_{th-eq}}{\mathrm{d}e}=\frac{1}{2\pi L\lambda_ir^2}\left(r-\frac{\lambda_i}{h_{ext}}\right)$$
Elle s'annule pour $r_c=\lambda_i/h_{ext}$. On remarque que $\alpha=r_2/r_c$.
- **$\alpha>1$** : $r>r_c$ pour tout $e\ge0$, donc $R_{th-eq}$ est **strictement croissante** en $e$.
- **$\alpha<1$** : $R_{th-eq}$ **décroît** jusqu'à $e_c=r_c-r_2=r_2(1/\alpha-1)$, où elle atteint un **minimum**, puis croît.
Dans le cas $\alpha<1$, la courbe repasse au niveau de $R_{th-eq}(0)$ pour une épaisseur $e_0>e_c$.
### Question 21
> [!INDICATION]
> Rappelez-vous que l'isolant sert à **diminuer** le flux entrant, donc à **augmenter** $R_{th-eq}$. Interprétez physiquement les deux effets antagonistes d'une couche d'isolant.
#### Solution
- **$\alpha>1$** : l'isolant est toujours utile, et plus il est épais, plus le flux est faible. C'est le cas d'une conduite de quelques centimètres de rayon avec un bon isolant, car $r_c\sim0{,}04/10=4$ mm.
- **$\alpha<1$** : une couche mince **augmente** le flux. La surface convective supplémentaire l'emporte sur la résistance de conduction ajoutée. L'isolant ne devient utile qu'au-delà d'une épaisseur $e_0>e_c$ telle que $R_{th-eq}(e_0)=R_{th-eq}(0)$. Il faut alors une forte épaisseur, ou un isolant de plus faible $\lambda_i$, ce qui augmente $\alpha$.
> [!PIEGE]
> Isoler n'est pas toujours bénéfique : autour d'un fil fin, une gaine améliore le refroidissement. Le cas $\alpha<1$ est contre-intuitif mais réel.
### Question 22
> [!INDICATION]
> Pensez au fluide lui-même (changement d'état), à la paroi (matériaux, dimensions), à l'air ambiant et à la sécurité.
#### Solution
Plusieurs effets sont à surveiller :
- la **vaporisation** locale de l'oxygène (point chaud, chute de pression, cavitation), qui donne un écoulement diphasé, des bouchons de vapeur et fausse la mesure de débit ;
- le **givrage** et la condensation de l'humidité sur la paroi extérieure ;
- la **contraction thermique** et les contraintes associées ;
- la **fragilisation** des matériaux aux basses températures ;
- le **risque d'incendie ou d'explosion**, l'oxygène étant un comburant : il faut éviter les graisses et surveiller les fuites ;
- les **pertes de charge** et l'étanchéité.
### Question 23
> [!INDICATION]
> Quelle grandeur se conserve le long d'un tube de courant pour un fluide incompressible en régime permanent ?
#### Solution
Le débit volumique se conserve : $uS=vs$, d'où $\boxed{v=\dfrac{S}{s}u}>u$.
### Question 24
> [!INDICATION]
> Énumérez les hypothèses portant sur le fluide, sur l'écoulement et sur le trajet entre les deux points.
#### Solution
Pour un fluide **parfait**, **incompressible** et homogène, en écoulement **stationnaire**, le long d'une **ligne de courant**, sans machine ni échange thermique :
$$\boxed{P+\tfrac12\rho c^2+\rho gz=\text{cste}}$$
> [!METHODE]
> La relation de Bernoulli est un bilan d'énergie mécanique par unité de volume. Chaque hypothèse supprime un terme : la viscosité supprime les pertes de charge, la stationnarité le terme instationnaire, l'absence de machine le travail utile.
### Question 25
> [!INDICATION]
> Appliquez Bernoulli entre A et B, qui sont à la même altitude, puis éliminez $v$ avec Q23.
#### Solution
$$P_A-P_B=\frac12\rho_d(v^2-u^2)=\frac12\rho_du^2\,\frac{S^2-s^2}{s^2}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u=s\sqrt{\frac{2(P_A-P_B)}{\rho_d(S^2-s^2)}}}$$
### Question 26
> [!INDICATION]
> Le débit massique vaut $D_m=\rho_dSu$. Pour le calcul sans calculatrice, comparez $s^2$ à $S^2$.
#### Solution
$$\boxed{D_m=Ss\sqrt{\frac{2\rho_d(P_A-P_B)}{S^2-s^2}}}$$
Comme $(s/S)^2=1/81$, l'approximation $S^2-s^2\approx S^2$ ne modifie $D_m$ que d'environ 0,6 %. On obtient $D_m\approx s\sqrt{2\rho_d\Delta P}=3\times10^{-4}\sqrt{9{,}7\times10^6}\approx3\times10^{-4}\times3{,}1\times10^3\approx0{,}94$ kg·s⁻¹, donc $\boxed{D_m\approx1\ \text{kg·s}^{-1}}$.
> [!PIEGE]
> Convertissez soigneusement les unités : $0{,}044$ bar $=4400$ Pa et $27$ cm² $=27\times10^{-4}$ m².
### Question 27
> [!INDICATION]
> On distingue deux familles de pertes de charge. Quelle partie du Venturi favorise le décollement de la couche limite ?
#### Solution
Le dispositif entraîne deux types de pertes :
- des pertes de charge **régulières**, par frottement visqueux le long des parois ;
- des pertes de charge **singulières**, aux changements de section, surtout dans le **divergent** où la couche limite peut décoller et former des tourbillons.
La pression ne remonte donc pas entièrement en aval. Le débit réel est un peu inférieur à la formule de Q26, ce que l'on corrige par un coefficient de décharge.
## Évolution de la température le long de la conduite
### Question 28
> [!INDICATION]
> Faites un bilan d'enthalpie en régime permanent sur la tranche de fluide entre $x$ et $x+\mathrm{d}x$.
> [!INDICATION]
> La résistance thermique d'une conduite est inversement proportionnelle à sa longueur. Déduisez-en la résistance d'une tranche de longueur $\mathrm{d}x$.
#### Solution
La tranche $[x,x+\mathrm{d}x]$ a pour résistance $R_{th-eq}L/\mathrm{d}x$. Elle reçoit donc :
$$\delta\Phi=\frac{\theta_e-\theta}{R_{th-eq}L}\,\mathrm{d}x$$
Le premier principe industriel s'applique avec $w_u=0$ et $\mathrm{d}h=c_{dio}\mathrm{d}\theta$ : $D_mc_{dio}\,\mathrm{d}\theta=\delta\Phi$. On obtient :
$$\boxed{\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}x}+\frac{\theta}{D_mc_{dio}R_{th-eq}L}=\frac{\theta_e}{D_mc_{dio}R_{th-eq}L}}$$
> [!PIEGE]
> La résistance d'une tranche plus courte est plus **grande** ($R_{th-eq}L/\mathrm{d}x$), car la conductance est proportionnelle à la longueur. Si l'on écrit $R_{th-eq}\,\mathrm{d}x/L$, l'équation n'est plus homogène.
### Question 29
> [!INDICATION]
> Mettez l'équation sous forme canonique $\theta'+\theta/\delta=\cdots$.
#### Solution
On identifie $\boxed{\delta=D_mc_{dio}R_{th-eq}L}$. Cette grandeur est homogène à une longueur, car $D_mc_{dio}R_{th-eq}$ est sans dimension.
Application numérique : $\delta=1\times1700\times1{,}0\times2$, donc $\boxed{\delta\approx3{,}4\ \text{km}}$.
### Question 30
> [!INDICATION]
> Résolvez l'équation avec la condition $\theta(0)=\theta_i$, puis comparez $L$ à $\delta$.
> [!INDICATION]
> Pour $L\ll\delta$, développez l'exponentielle au premier ordre.
#### Solution
La solution est $\theta(x)=\theta_e+(\theta_i-\theta_e)e^{-x/\delta}$, d'où :
$$\boxed{\Delta\theta=(\theta_e-\theta_i)\left(1-e^{-L/\delta}\right)}$$
Cette variation est négligeable si $L\ll\delta$. On a alors $\Delta\theta\approx(\theta_e-\theta_i)L/\delta$.
Application numérique : $\Delta\theta\approx205\times\dfrac{2}{3400}\approx0{,}12$ K.
**Conclusion** : sur quelques mètres de conduite, l'oxygène se réchauffe d'environ 0,1 K. Il reste liquide, nettement sous sa température d'ébullition (environ −183 °C sous 1 bar). Les conduites isolées du procédé MESMA conviennent, et l'hypothèse $\theta_i$ uniforme des questions Q17 à Q21 est justifiée.
> [!METHODE]
> Vérification rapide : $\Delta\theta\approx\Phi/(D_mc_{dio})=205/1700$. On retrouve le bilan global « puissance entrante = débit × capacité × échauffement ». La longueur $\delta$ ne sert qu'à juger si la linéarisation est légitime.
## Bilan
**Méthodes à retenir.**
- Les deux principes sur un cycle donnent le rendement de Carnot, puis le rendement réel avec $S_{\text{créée}}$. C'est le cadre de comparaison de toute machine thermique.
- Le premier principe industriel s'écrit $\Delta h=w_u+q$ et s'applique composant par composant. Pour une pompe ou une turbine, $q=0$. Pour un échangeur, $w_u=0$.
- Dans le diagramme $(T,s)$, une isentropique est verticale et un palier de changement d'état est horizontal. Le titre se calcule par $x=(s-s_l)/(s_V-s_l)$.
- Les résistances thermiques en série s'ajoutent. La surface de convection se prend à l'extérieur de l'isolant, ce qui fait apparaître le rayon critique $\lambda_i/h_{ext}$.
- Pour un Venturi, on combine la conservation du débit et la relation de Bernoulli.
- Pour un bilan sur une tranche $\mathrm{d}x$, on obtient une équation différentielle du premier ordre et une longueur caractéristique, que l'on compare à la taille du système.
**Prérequis à revoir.** Le modèle de phase condensée ($s=c\ln T$), les lois de Joule pour le gaz parfait, la lecture d'un diagramme $(T,s)$ (isobares, isenthalpes, courbes de titre) et la résistance thermique d'une coquille cylindrique.
**Questions classiques transposables.** Le cycle de Rankine se retrouve dans les centrales thermiques et nucléaires. Le rayon critique d'isolation s'applique aux câbles électriques et aux canalisations. Le Venturi sert aussi pour les carburateurs et les débitmètres. Le réchauffement d'un fluide dans une conduite isolée se traite comme un échangeur à paroi.
Aide sur le corrigé
Connectez-vous pour demander une explication.