Physique
ATSATS2026
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## Présentation du sujet
**Format.** Épreuve de 3 heures, **calculatrice interdite**, sans document. Douze pages d'énoncé, **46 questions** réparties en quatre parties annoncées comme indépendantes. Les applications numériques sont attendues « en valeur approchée » : il faut savoir mener un calcul à la main avec deux chiffres significatifs.
**Thème.** *Métrologie des masses* : comment, depuis la redéfinition du kilogramme de 2019, on relie une masse à des grandeurs électriques et temporelles mesurables sans masse de référence, et comment on juge la qualité d'une mesure par son incertitude.
**Découpage.**
- *Partie I — Comparaison de masses (Q1 à Q6).* Masse volumique d'un étalon, poussée d'Archimède dans l'air, effet de la différence de hauteur dans le champ de pesanteur. Statique des fluides, gaz parfait, développement limité, et surtout le réflexe de comparer un effet à l'incertitude visée.
- *Partie II — Balance de Kibble (Q7 à Q11).* Un rail de Laplace utilisé en mode moteur (la force de Laplace équilibre le poids) puis en mode générateur (induction à vitesse imposée). Le produit $aB_0$, inconnu, s'élimine entre les deux modes.
- *Partie III — Balance électrostatique (Q12 à Q37).* La plus longue. Électrostatique du plan infini et du condensateur plan par le théorème de Gauss, force entre armatures ; puis deux méthodes de mesure d'une capacité : charge d'un circuit $RC$ confrontée à l'expérience (résistance d'entrée de l'oscilloscope, régression linéaire, résidus, résistance interne du générateur) et régime sinusoïdal forcé ; enfin une pesée.
- *Partie IV — Gravimètre à chute libre (Q38 à Q46).* Chute libre, lecture d'oscillogramme, loi de Faraday, deux scripts Python (moyenne, Monte-Carlo) et écriture d'un résultat de mesure.
**Notions du programme mobilisées.** Poussée d'Archimède, modèle du gaz parfait ; développement limité à l'ordre 1 ; force de Laplace, loi de Faraday, loi de Lenz, orientation d'un circuit ; symétries et invariances, théorème de Gauss, superposition, potentiel, capacité ; circuits du premier ordre, régime sinusoïdal forcé et impédances complexes ; incertitude-type, écart normalisé, régression linéaire, méthode de Monte-Carlo ; Python élémentaire (boucle, accumulation, `numpy`).
**Difficulté et gestion du temps.** Le sujet est long mais très guidé, sans question réellement difficile. Les questions sûres à ne pas laisser passer : Q2, Q3, Q5, Q7, Q11, Q12 à Q17, Q21, Q22, Q25, Q26, Q31 à Q34, Q38 à Q40, Q43, Q45, Q46. Les questions coûteuses sont celles qui demandent une lecture de figure argumentée (Q23, Q24, Q28, Q36, Q42) et la résolution de problème Q29. Les trois schémas demandés (Q8, Q14, Q41) rapportent vite s'ils sont soignés et légendés. Un partage raisonnable : 25 min pour la partie I, 25 min pour la partie II, 1 h 30 pour la partie III, 40 min pour la partie IV.
## Partie I — Comparaison de masses
On évalue deux effets systématiques qui perturbent la comparaison de deux étalons dans l'air. Le fil conducteur : un effet n'est « négligeable » ou « à prendre en compte » que par comparaison avec l'incertitude visée (1 à 10 µg pour un comparateur).
### Question 1
> [!INDICATION]
> Masse volumique = masse / volume. Quel est le volume d'un cylindre ?
> [!INDICATION]
> Passez toutes les longueurs en mètres avant de calculer, et gardez $\pi$ jusqu'au bout : $\pi\times4\times10^{-4}\times4\times10^{-2}$ se simplifie bien.
#### Solution
Le volume du cylindre est $V=\pi R_0^2h$, donc
$$\boxed{\rho=\frac{m}{\pi R_0^2h}}$$
Avec $m=1$ kg, $R_0=2\times10^{-2}$ m, $h=4\times10^{-2}$ m : $V=1{,}6\pi\times10^{-5}\simeq5{,}0\times10^{-5}\ \mathrm{m^3}$ (50 cm³) et
$$\boxed{\rho\simeq2{,}0\times10^{4}\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}}$$
Ordre de grandeur cohérent avec un alliage de platine (environ $21\ \mathrm{g\cdot cm^{-3}}$), les dimensions n'étant données qu'« environ ».
> [!PIEGE]
> Confondre rayon et diamètre : $R_0=2$ cm, donc 4 cm de diamètre. Prendre $R_0=4$ cm divise $\rho$ par quatre.
### Question 2
> [!INDICATION]
> Partez de $pV=nRT$ et exprimez la masse de gaz contenue dans $V$ à l'aide de la masse molaire.
#### Solution
Un volume $V$ d'air contient $n=\dfrac{pV}{RT}$ moles, de masse $nM$. Donc
$$\boxed{\rho_{\rm air}=\frac{pM}{RT}}$$
Avec $p\simeq1{,}0\times10^5$ Pa, $T\simeq293$ K et $M=29\times10^{-3}\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}$ : $\rho_{\rm air}\simeq\dfrac{2{,}9\times10^3}{2{,}4\times10^3}\simeq1{,}2\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$.
> [!PIEGE]
> $M$ doit être en $\mathrm{kg\cdot mol^{-1}}$ : oublier la conversion donne une masse volumique de l'air mille fois trop grande.
### Question 3
> [!INDICATION]
> Théorème d'Archimède : à quoi est égale la poussée ? Quel volume de fluide est déplacé ?
> [!INDICATION]
> Le volume déplacé est celui de l'étalon, déjà calculé en Q1. Convertissez ensuite la force en masse équivalente : c'est ce qui servira en Q4.
#### Solution
La poussée est verticale ascendante, égale au poids de l'air déplacé, de volume $V=\pi R_0^2h$ :
$$\boxed{\Pi=\rho_{\rm air}\,\pi R_0^2h\,g\simeq1\times5\times10^{-5}\times9{,}8\simeq5\times10^{-4}\ \mathrm{N}}$$
Masse équivalente : $\Pi/g=\rho_{\rm air}V\simeq5\times10^{-5}$ kg $=50$ mg.
### Question 4
> [!INDICATION]
> Faites le bilan des forces sur l'étalon posé sur le plateau. Que mesure la balance : le poids, ou la force exercée sur le plateau ?
> [!INDICATION]
> Pour répondre à « est-il nécessaire », comparez l'écart trouvé à l'incertitude du comparateur. Demandez-vous aussi si la poussée se compense quand on compare deux étalons de matériaux différents.
#### Solution
À l'équilibre, la réaction du plateau vaut $N=mg-\rho_{\rm air}Vg$. La balance affiche $N/g$ :
$$m_{\rm aff}=m-\rho_{\rm air}V .$$
**La masse affichée est inférieure à 1 kg, d'environ 50 mg** ($5\times10^{-5}$ kg).
C'est $\sim5\times10^3$ fois l'incertitude d'un comparateur ($\sim10$ µg). Dans une comparaison, les poussées ne se compensent que pour des volumes égaux : un kilogramme en inox ($\rho\simeq8\times10^3\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$, $V\simeq125\ \mathrm{cm^3}$) et un kilogramme en Pt-Ir ($V\simeq50\ \mathrm{cm^3}$) diffèrent de $\rho_{\rm air}\Delta V\simeq75$ mg. **La poussée d'Archimède doit donc être prise en compte.**
> [!METHODE]
> En métrologie, on ne qualifie jamais un effet de « petit » dans l'absolu : on le rapporte à l'incertitude visée. Convertir les forces en masses équivalentes rend la comparaison immédiate.
> [!PIEGE]
> La poussée allège : la balance ne peut pas afficher plus que la masse vraie.
### Question 5
> [!INDICATION]
> Factorisez $R_T^2$ au dénominateur pour faire apparaître une quantité sans dimension petite devant 1.
> [!INDICATION]
> Utilisez $(1+x)^{\alpha}\simeq1+\alpha x$ pour $x\ll1$.
#### Solution
$$F(R_T+a)=mg\left(1+\frac{a}{R_T}\right)^{-2}\simeq mg\left(1-\frac{2a}{R_T}\right),\qquad F(R_T)=mg,$$
$$\boxed{F(R_T)-F(R_T+a)\simeq\frac{2mga}{R_T}}$$
Le signe est attendu : la gravitation diminue quand on s'éloigne de la Terre.
### Question 6
> [!INDICATION]
> La formule porte sur la distance au centre de masse. Où est le centre de masse d'un cylindre homogène posé sur un plateau ?
> [!INDICATION]
> $a$ est alors l'écart entre les deux centres de masse. Convertissez enfin la force en masse équivalente pour conclure.
#### Solution
Les centres de masse sont à mi-hauteur : 2,0 cm (Pt-Ir) et 3,2 cm (inox), d'où $a=1{,}2\times10^{-2}$ m et, pour $m=1$ kg,
$$\boxed{\Delta F=\frac{2mga}{R_T}=\frac{2\times9{,}8\times1{,}2\times10^{-2}}{6{,}4\times10^6}\simeq3{,}7\times10^{-8}\ \mathrm{N}}$$
Masse équivalente : $2ma/R_T\simeq3{,}8\times10^{-9}$ kg $\approx4$ µg. **C'est du même ordre que l'incertitude du comparateur (1 à 10 µg) : il faut en tenir compte.**
> [!PIEGE]
> Prendre $a=2{,}4$ cm (différence des hauteurs) au lieu de l'écart entre centres de masse double le résultat. La conclusion est la même, mais la valeur est fausse.
## Partie II — Balance de Kibble : pesée primaire à l'échelle du kilogramme
La même tige sert deux fois : en mode statique, la force de Laplace équilibre le poids ($mg=IaB_0$) ; en mode dynamique, la tige déplacée à vitesse connue crée une f.é.m. ($e=aB_0v_0$). Le produit $aB_0$, mal connu, s'élimine. Outils : loi de Laplace, loi de Faraday, orientation d'un circuit.
Repère : $\vec e_x$ vers la droite, $\vec e_y$ sortant de la feuille, $\vec e_z$ vers le bas ; la base est directe ($\vec e_x\wedge\vec e_y=\vec e_z$).
### Question 7
> [!INDICATION]
> Force de Laplace sur un élément de conducteur : $\mathrm{d}\vec F=I\,\mathrm{d}\vec\ell\wedge\vec B$.
> [!INDICATION]
> Le sens du courant dans la tige est indiqué sur la figure II.1. Vérifiez le produit vectoriel avec un axe $z$ descendant.
#### Solution
Avec $I$ selon $+\vec e_x$ sur la longueur $a$ et $\vec B=B_0\vec e_y$ uniforme :
$$\boxed{\vec F_{\rm L}=IaB_0\,\vec e_x\wedge\vec e_y=IaB_0\,\vec e_z}$$
La force est descendante, comme sur la figure, et l'équilibre s'écrit $IaB_0=mg$.
> [!PIEGE]
> Avec $z$ vers le bas, $\vec e_x\wedge\vec e_y=+\vec e_z$ : la force est descendante. Le contrôle physique est gratuit : pour équilibrer la masse suspendue à l'autre bras du fléau, la tige doit être tirée vers le bas.
### Question 8
> [!INDICATION]
> Le choix du sens de $I_{\rm d}$ est libre. La normale, elle, ne l'est pas : elle se déduit du sens de parcours.
> [!INDICATION]
> Règle de la main droite : les doigts suivent le sens de parcours du contour, le pouce donne la normale. Choisir un sens qui rendra $u_R$ (fléchée sur la figure II.2) positive simplifie la suite.
#### Solution
Le schéma de la copie doit porter les rails, la tige et sa vitesse, la résistance, $\vec B$ ($\odot$), le repère, le sens choisi pour $I_{\rm d}$ et la normale.
On oriente $I_{\rm d}$ selon $-\vec e_x$ dans la tige, donc selon $+\vec e_x$ dans la résistance : le contour est parcouru dans le sens trigonométrique vu par le lecteur, et
$$\boxed{\vec n=+\vec e_y}$$
(l'orientation opposée donnerait $\vec n=-\vec e_y$ et changerait le signe de $e$).
> [!METHODE]
> Orientation d'un circuit en induction : (1) choisir et dessiner le sens positif du courant ; (2) en déduire la normale par la main droite ; (3) calculer le flux avec cette normale ; (4) appliquer $e=-\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t$, la f.é.m. étant orientée dans le même sens que le courant. Ne plus changer de convention ensuite.
### Question 9
> [!INDICATION]
> Exprimez la surface du circuit en fonction du temps : la tige descend, le bas du circuit est fixe.
> [!INDICATION]
> Calculez le flux avec la normale de Q8, puis appliquez la loi de Faraday. La constante $L_0$ doit disparaître.
#### Solution
$z(t)=v_0t$, donc la hauteur du circuit est $L(t)=L_0-v_0t$ et
$$\Phi=B_0\vec e_y\cdot\vec e_y\;a\,(L_0-v_0t)=aB_0(L_0-v_0t),\qquad\boxed{e=-\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}=aB_0v_0}$$
Contrôle par le champ électromoteur : $(\vec v\wedge\vec B)\cdot(-a\vec e_x)=v_0B_0(\vec e_z\wedge\vec e_y)\cdot(-a\vec e_x)=aB_0v_0$. Loi de Lenz : la force de Laplace sur le courant induit, $-I_{\rm d}aB_0\vec e_z$, est dirigée vers le haut et s'oppose au mouvement.
> [!PIEGE]
> La surface diminue quand la tige descend vers $R$ : écrire $L_0+v_0t$ inverse le signe de $e$.
### Question 10
> [!INDICATION]
> Le circuit ne contient que $R$ et la f.é.m. de la tige. Écrivez la loi des mailles.
> [!INDICATION]
> Vérifiez que la flèche de $u_R$ sur la figure et le sens choisi pour $I_{\rm d}$ sont en convention récepteur.
#### Solution
$I_{\rm d}$ traverse $R$ selon $+\vec e_x$ et $u_R$ est fléchée vers la gauche : convention récepteur, $u_R=RI_{\rm d}$. La loi des mailles donne $RI_{\rm d}=e$, donc $u_R=aB_0v_0$ :
$$\boxed{aB_0=\frac{u_R}{v_0}}$$
Le produit $aB_0$, difficile à mesurer directement, est ramené à une tension et à une vitesse.
### Question 11
> [!INDICATION]
> Vous disposez d'une relation entre $m$ et $aB_0$ (mode statique) et d'une expression de $aB_0$ (mode dynamique).
#### Solution
$mg=IaB_0$ et $aB_0=u_R/v_0$, donc
$$\boxed{m=\frac{I\,u_R}{g\,v_0}}$$
Soit $mgv_0=u_RI$ : la balance égale une puissance mécanique à une puissance électrique (d'où son autre nom de « balance du watt »).
> [!PIEGE]
> $I$ et $u_R$ proviennent de deux expériences différentes : écrire $u_R=RI$ mélange les deux modes et fait apparaître $R$, qui n'a rien à faire dans le résultat.
## Partie III — Balance électrostatique : pesées primaires à l'échelle du milligramme
On établit la force entre les armatures d'un condensateur plan ($\vec F_e=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left(\frac12CU^2\right)\vec e_z$), puis on mesure une capacité par deux méthodes en confrontant modèles et expériences, et on termine par une pesée. Outils : théorème de Gauss, superposition, circuits du premier ordre, impédances complexes, incertitudes.
### III.1 Étude du condensateur plan
### Question 12
> [!INDICATION]
> Invariances d'abord (de quelles variables le champ peut-il dépendre ?), symétries ensuite (quelle direction ?).
> [!INDICATION]
> Un seul plan de symétrie passant par $M$ ne donne qu'un plan ; il en faut deux pour obtenir une droite.
#### Solution
La distribution est invariante par translation selon $\vec e_x$ et $\vec e_y$ : $\vec E$ ne dépend que de $z$. Les plans $(M,\vec e_x,\vec e_z)$ et $(M,\vec e_y,\vec e_z)$ sont plans de symétrie de la distribution et contiennent $M$ ; $\vec E(M)$ est dans leur intersection :
$$\boxed{\vec E(M)=E(z)\,\vec e_z}$$
### Question 13
> [!INDICATION]
> Le plan chargé lui-même est un plan de symétrie de la distribution. Comment se transforme un vecteur porté par $\vec e_z$ dans cette symétrie ?
#### Solution
La symétrie par rapport au plan $z=0$ envoie $M(x,y,z)$ sur $M'(x,y,-z)$ et $\vec E(M)$ sur $\vec E(M')$ ; elle change $\vec e_z$ en $-\vec e_z$. Donc
$$\boxed{\vec E(-z)=-\vec E(z)}$$
($E$ est impaire, le champ n'étant pas défini dans le plan chargé.)
> [!PIEGE]
> Ne pas justifier cette relation par le résultat de Q15 : le calcul de Gauss l'utilise, ce serait circulaire.
### Question 14
> [!INDICATION]
> Il faut une surface fermée sur laquelle le champ est soit tangent, soit normal et de norme uniforme.
> [!INDICATION]
> Un cylindre d'axe $\vec e_z$, à cheval sur le plan, symétrique par rapport à lui.
#### Solution
Le cylindre fermé, d'axe parallèle à $\vec e_z$ et de section $S_c$, a ses bases en $z$ (contenant $M$) et en $-z$ ; $\vec e_z$ est dirigé vers le bas, comme dans le sujet.
Sur la surface latérale, $\vec E$ est tangent : flux nul. Sur chaque base, $\vec E$ est normal et de norme uniforme.
### Question 15
> [!INDICATION]
> Calculez le flux sortant face par face, puis utilisez Q13 pour relier les deux bases.
> [!INDICATION]
> La charge intérieure est celle du morceau de plan découpé par le cylindre.
#### Solution
Flux sortant : $E(z)S_c+(-E(-z))S_c+0=2E(z)S_c$. Charge intérieure : $\sigma S_c$. Le théorème de Gauss donne $E(z)=\sigma/(2\varepsilon_0)$ pour $z>0$ et, par imparité,
$$\boxed{\vec E(M)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_z\ (z>0),\qquad\vec E(M)=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_z\ (z<0)}$$
Le champ est uniforme de chaque côté et subit une discontinuité $\sigma/\varepsilon_0$ à la traversée du plan.
### Question 16
> [!INDICATION]
> Superposition : appliquez Q15 à chacun des deux plans, en faisant attention aux signes des densités et à la position de chaque plan.
#### Solution
Le plan $z=0$ ($-\sigma$) crée $-\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\mathrm{sgn}(z)\vec e_z$ ; le plan $z=d$ ($+\sigma$) crée $\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\mathrm{sgn}(z-d)\vec e_z$.
- $z<0$ : $\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_z-\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_z=\vec 0$ ;
- $0<z<d$ : $-\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_z-\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_z=-\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\vec e_z$ ;
- $z>d$ : $-\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_z+\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_z=\vec 0$.
$$\boxed{\vec E=-\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\vec e_z\ \text{entre les plans},\qquad\vec E=\vec 0\ \text{à l'extérieur}}$$
> [!METHODE]
> Contrôle immédiat : entre les armatures, le champ va de la plaque positive vers la plaque négative (ici de $z=d$ vers $z=0$, donc selon $-\vec e_z$).
### Question 17
> [!INDICATION]
> Reliez $U$ au champ par $\vec E=-\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,V$, puis utilisez $Q=\sigma S$.
#### Solution
$-\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}z}=-\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$, donc $U=V(d)-V(0)=\dfrac{\sigma d}{\varepsilon_0}$, et avec $Q=\sigma S$ :
$$\boxed{C=\frac{\varepsilon_0S}{d}}$$
> [!PIEGE]
> Vérifiez que $U$ et $Q$ ont le même signe : une capacité négative trahit une erreur de signe sur le champ ou sur le gradient.
### Question 18
> [!INDICATION]
> Quelle charge porte $\mathrm{d}S$ ? Dans quel champ est-elle plongée ?
> [!INDICATION]
> Une charge ne subit pas son propre champ : n'utilisez que le champ de la plaque du haut, donné par l'énoncé.
#### Solution
$$\boxed{\mathrm{d}\vec F=\sigma\,\mathrm{d}S\,\vec E_{\rm haut}(M)=-\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}\mathrm{d}S\,\vec e_z}$$
> [!PIEGE]
> Utiliser le champ total $-\sigma/\varepsilon_0$ entre les plaques donne une force deux fois trop grande.
### Question 19
> [!INDICATION]
> Tout est uniforme sur la plaque : l'intégration est une multiplication.
#### Solution
$$\boxed{\vec F_e=-\frac{\sigma^2S}{2\varepsilon_0}\vec e_z}$$
Orientée vers la plaque du haut : **la force est attractive**, comme attendu entre charges opposées.
### Question 20
> [!INDICATION]
> Exprimez $\sigma$ en fonction de $U$ et $z$ grâce à $Q=C(z)U$.
> [!INDICATION]
> Calculez séparément les deux membres et comparez ; la tension $U$ est constante dans la dérivation.
#### Solution
$\sigma=\dfrac{C(z)U}{S}=\dfrac{\varepsilon_0U}{z}$, donc $\vec F_e=-\dfrac{\varepsilon_0SU^2}{2z^2}\vec e_z$. Par ailleurs, à $U$ constante,
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left(\frac12C(z)U^2\right)=\frac{U^2}{2}\cdot\left(-\frac{\varepsilon_0S}{z^2}\right)=-\frac{\varepsilon_0SU^2}{2z^2}.$$
$$\boxed{\vec F_e=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left(\frac12CU^2\right)\vec e_z}$$
Comme $\mathrm{d}C/\mathrm{d}z<0$, la force est selon $-\vec e_z$ : on retrouve l'attraction de Q19.
### III.2 Mesure de la capacité
#### III.2.1 Méthode 1 : charge d'un circuit RC
### Question 21
> [!INDICATION]
> Loi des mailles et relation courant-tension du condensateur en convention récepteur.
#### Solution
$E=Ri+u$ et $i=C\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$, donc
$$\boxed{\tau\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+u=E,\qquad\tau=RC}$$
### Question 22
> [!INDICATION]
> Solution générale de l'équation homogène + solution particulière constante, puis condition initiale.
> [!INDICATION]
> Quelle grandeur est continue aux bornes d'un condensateur ?
#### Solution
$u(t)=E+A\mathrm{e}^{-t/\tau}$ ; continuité de la tension du condensateur, déchargé pour $t<0$ : $u(0^+)=0$, d'où $A=-E$ :
$$\boxed{u(t)=E\left(1-\mathrm{e}^{-t/\tau}\right)}$$
### Question 23
> [!INDICATION]
> Rappelez une méthode graphique de mesure de $\tau$ : valeur atteinte à $t=\tau$, ou tangente à l'origine.
> [!INDICATION]
> Comptez les carreaux à partir du front de montée, pas depuis le bord de l'écran, et convertissez avec les calibres.
#### Solution
Calibres : 100 µs et 2 V par carreau. $u$ part de 0 au front et tend vers $\approx10$ V (5 carreaux). Méthode des 63 % : $u(\tau)\simeq6{,}3$ V, soit environ 3,2 carreaux ; la courbe atteint ce niveau environ un carreau après le front, donc $\tau\simeq100$ µs (la tangente à l'origine coupe l'asymptote au même instant). Avec $R=1\ \mathrm{k\Omega}$ :
$$\boxed{C=\frac{\tau}{R}\simeq1\times10^{-7}\ \mathrm{F}=100\ \mathrm{nF}}$$
On remarque que la trace du générateur ne monte pas d'un coup à 10 V : elle saute à $\approx9{,}5$ V puis rejoint 10 V. Ce détail servira en Q29.
> [!METHODE]
> Une lecture graphique se rédige en trois temps : méthode nommée, carreaux comptés depuis un repère explicite, conversion avec le calibre. Le résultat ne mérite qu'un ou deux chiffres significatifs.
### Question 24
> [!INDICATION]
> Que prédit le premier modèle pour la forme de $\tau(R)$ ? Et pour la valeur de $u$ aux temps longs ?
> [!INDICATION]
> Chiffrez un écart : par exemple la valeur de $RC$ attendue à $500\ \mathrm{k\Omega}$ avec $C\approx100$ nF.
#### Solution
*Gauche* : le modèle prédit $\tau=RC$, une droite par l'origine. Les points s'infléchissent au-delà de $\approx100\ \mathrm{k\Omega}$ : à $500\ \mathrm{k\Omega}$ on attend $RC\simeq50$ ms et on mesure $\approx33$ ms, écart sans commune mesure avec les barres d'incertitude. **$\tau$ n'est pas proportionnel à $R$.**
*Droite* : le modèle prédit $u\to E$, mais le plateau de $u$ reste nettement sous celui du générateur (environ un demi-carreau, $\approx1$ V). **$u$ ne tend pas vers $E$.**
#### Second modèle
### Question 25
> [!INDICATION]
> Identifiez les dipôles en parallèle (même tension) et le courant qui traverse $R$.
#### Solution
$C$ et $R_e$ sont sous la même tension $u$ ; $R$ est traversée par $i_1+i_2$ :
$$\boxed{i_1=C\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t},\qquad i_2=\frac{u}{R_e},\qquad u_R=R\left(C\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\frac{u}{R_e}\right)}$$
### Question 26
> [!INDICATION]
> Écrivez $E=u_R+u$, remplacez $u_R$, puis divisez par $RC$ pour retrouver la forme imposée.
#### Solution
$E=RC\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\left(1+\dfrac{R}{R_e}\right)u$, donc $\dfrac{E}{RC}=\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+u\left(\dfrac{1}{RC}+\dfrac{1}{R_eC}\right)$ :
$$\boxed{\tau'=\frac{RR_e}{R+R_e}\,C}$$
C'est $C$ multipliée par l'association parallèle de $R$ et $R_e$. Contrôle : pour $R=500\ \mathrm{k\Omega}$, $\tau'\simeq333\times10^3\times10^{-7}\simeq33$ ms, comme sur la figure ; pour $R\ll R_e$, on retrouve $\tau'\simeq RC$.
> [!METHODE]
> Vérifier un modèle sur un cas limite et sur un point de mesure chiffré : c'est ce qui prouve qu'il « rend compte » de l'expérience.
### Question 27
> [!INDICATION]
> Aux temps longs, que vaut la dérivée de $u$ ?
> [!INDICATION]
> Contrôlez le résultat par un raisonnement en régime permanent : par quoi peut-on remplacer le condensateur chargé ?
#### Solution
$\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\to0$ donne $u_\infty=\dfrac{\tau'E}{RC}$ :
$$\boxed{u_\infty=\frac{R_e}{R+R_e}E}$$
C'est le pont diviseur $R$, $R_e$ (le condensateur chargé se comporte comme un interrupteur ouvert). Pour $R=100\ \mathrm{k\Omega}$ : $u_\infty=10/1{,}1\simeq9{,}1$ V. **D'où le plateau de $u$ situé $\approx0{,}9$ V sous celui du générateur sur la figure III.7 (droite).**
#### Restriction aux petites valeurs de R
### Question 28
> [!INDICATION]
> Le graphique de droite trace les résidus. Que doivent-ils vérifier, par rapport à leurs barres d'incertitude, pour que le modèle soit acceptable ?
> [!INDICATION]
> Deux critères : l'amplitude des résidus comparée aux incertitudes, et l'absence de tendance.
#### Solution
Les résidus sont compris entre environ $-2$ et $+2$ µs, comparables à leurs incertitudes-types (1 à 2 µs) : chacun est à moins de deux incertitudes-types de zéro. Ils se répartissent de part et d'autre de zéro sans structure marquée. **Le modèle $\tau=aR+b$ est compatible avec les mesures.**
> [!METHODE]
> Juger un ajustement à l'œil sur la droite elle-même est trompeur : un écart de 2 µs sur 100 µs est invisible. Le tracé des résidus normalisés par les barres d'incertitude est l'outil adapté.
### Question 29
> [!INDICATION]
> Pour $R\ll R_e$, le second modèle prédit une droite par l'origine. Quel type d'élément ajouterait une constante à $\tau$ ?
> [!INDICATION]
> Pensez à une résistance en série avec $R$, présente quelle que soit la valeur de $R$. Quel appareil du montage en possède une ?
> [!INDICATION]
> Identifiez pente et ordonnée à l'origine dans $\tau=(R+r)C$. Regardez aussi la trace du générateur de la figure III.6.
#### Solution
$|b|/u(b)=4{,}8/0{,}4=12\gg2$ : $b$ n'est pas nul. Une résistance $r$ en série avec $R$, indépendante de $R$, donne $\tau=(R+r)C=CR+rC$. L'élément négligé est **la résistance interne (de sortie) du générateur**. Avec $a=C$ et $b=rC$ :
$$\boxed{r=\frac{b}{a}=\frac{4{,}8\times10^{-6}}{97\times10^{-9}}\simeq50\ \Omega}$$
C'est la valeur usuelle de la résistance de sortie d'un générateur basse fréquence. Confirmation sur la figure III.6 : au front, le courant $E/(R+r)$ fait chuter la tension de sortie du générateur de $rE/(R+r)\simeq0{,}5$ V, puis cette tension remonte vers $E$ quand le courant s'annule. La résistance d'entrée $R_e$, en parallèle et déjà prise en compte, ne peut pas expliquer $b$.
> [!METHODE]
> Dans une résolution de problème, écrire les pistes envisagées et la raison pour laquelle on les retient ou les écarte fait partie de la réponse.
### Question 30
> [!INDICATION]
> Dans le modèle retenu en Q29, à quoi correspond la pente de la régression ?
#### Solution
$$\boxed{C=a=97\ \mathrm{nF},\qquad u(C)=u(a)=1\ \mathrm{nF}}$$
La régression affine absorbe la résistance du générateur dans l'ordonnée à l'origine et laisse la pente égale à $C$.
#### III.2.2 Méthode 2 : étude en RSF
### Question 31
> [!INDICATION]
> Pont diviseur de tension avec les impédances complexes de $R$ et de $C$.
#### Solution
$$\boxed{\underline u=\frac{1/(\mathrm{j}C\omega)}{R+1/(\mathrm{j}C\omega)}\,\underline e=\frac{\underline e}{1+\mathrm{j}RC\omega}}$$
### Question 32
> [!INDICATION]
> L'amplitude est le module du signal complexe.
#### Solution
$$\boxed{U_0=\frac{E_0}{\sqrt{1+(RC\omega)^2}}}$$
### Question 33
> [!INDICATION]
> Quel terme domine sous la racine ?
#### Solution
$$\boxed{U_0\simeq\frac{E_0}{RC\omega}}$$
Le circuit se comporte alors en intégrateur.
### Question 34
> [!INDICATION]
> Isolez $C$ dans l'expression simplifiée, avec $\omega=2\pi f$.
> [!INDICATION]
> Sans calculatrice, comparez $E_0/U_0$ à $2\pi$ grâce à la valeur de $1/\pi$ fournie.
#### Solution
$$\boxed{C=\frac{E_0}{2\pi fRU_0}}$$
$\dfrac{E_0}{U_0}=\dfrac{2{,}001}{0{,}3185}=2\pi\times\dfrac{2{,}001}{2}\times\dfrac{1}{\pi\times0{,}3185}\simeq2\pi$ (car $\dfrac1\pi\simeq0{,}3183$), donc
$$\boxed{C\simeq\frac{2\pi}{2\pi\times10^3\times10^4}=1{,}0\times10^{-7}\ \mathrm{F}=100\ \mathrm{nF}}$$
On vérifie $RC\omega\simeq6{,}3$ : l'approximation introduit une erreur relative $\simeq1/(2\times6{,}3^2)\simeq1{,}3\,\%$.
### Question 35
> [!INDICATION]
> Utilisez l'écart normalisé défini dans les données. Que faire de l'incertitude de la méthode 2, qui n'est pas fournie ?
#### Solution
$C_1=97$ nF, $u(C_1)=1$ nF ; $C_2=98{,}7$ nF, $u(C_2)$ inconnue. En négligeant $u(C_2)$, on majore l'écart normalisé :
$$\frac{|C_2-C_1|}{\sqrt{u(C_1)^2+u(C_2)^2}}\le\frac{1{,}7}{1}=1{,}7<2.$$
**Les deux mesures sont compatibles.** La valeur approchée de Q34 (100 nF) ne l'aurait pas été (écart normalisé 3) : l'approximation $RC\omega\gg1$ n'était pas assez bonne pour ce niveau de précision.
> [!PIEGE]
> « 97 et 98,7, c'est proche » n'est pas une justification : la compatibilité se juge avec l'écart normalisé et un seuil (ici 2).
### III.3 Exemple d'utilisation
### Question 36
> [!INDICATION]
> Écrivez l'équilibre de l'électrode du bas chargée de $m$, avec la force de Q20.
> [!INDICATION]
> Lisez la pente $\mathrm{d}C/\mathrm{d}z$ sur le graphique de droite en $z=d_0$, et convertissez soigneusement $\mathrm{pF\cdot\mu m^{-1}}$ en $\mathrm{F\cdot m^{-1}}$.
#### Solution
Le poids de l'électrode étant compensé, l'équilibre s'écrit $mg+\dfrac{U^2}{2}\dfrac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}z}=0$ (projection sur $\vec e_z$), donc
$$\boxed{m=\frac{U^2}{2g}\left|\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}z}\right|}$$
À $z=70$ µm, la courbe donne $\dfrac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}z}\simeq-0{,}9\ \mathrm{pF\cdot\mu m^{-1}}=-9\times10^{-7}\ \mathrm{F\cdot m^{-1}}$ (cohérent avec $-C/z\simeq-62/70$). Avec $U^2\simeq210\ \mathrm{V^2}$ :
$$\boxed{m\simeq\frac{210\times9\times10^{-7}}{19{,}6}\simeq9{,}6\times10^{-6}\ \mathrm{kg}\approx10\ \mathrm{mg}}$$
Ordre de grandeur cohérent avec une balance « à l'échelle du milligramme ».
> [!PIEGE]
> $1\ \mathrm{pF\cdot\mu m^{-1}}=10^{-12}/10^{-6}=10^{-6}\ \mathrm{F\cdot m^{-1}}$ : oublier l'une des deux conversions fausse le résultat d'un facteur $10^6$.
### Question 37
> [!INDICATION]
> Quelle hypothèse du modèle du condensateur plan n'est pas réalisée par des électrodes réelles ?
> [!INDICATION]
> Pourquoi l'effet correspondant ne peut-il qu'augmenter la capacité ?
#### Solution
Le modèle suppose des armatures infinies, sans effet de bord. Des électrodes réelles sont finies : le champ déborde sur les bords et la charge accumulée à tension donnée est plus grande. **La raison principale est l'effet de bord, qui augmente la capacité** ; les capacités parasites du montage, en parallèle, s'y ajoutent.
## Partie IV — Mesure de g : gravimètre à chute libre
La chute libre fournit $g$ à partir de deux distances et d'une durée, sans connaître l'instant du lâcher. La partie se termine par l'estimation de l'incertitude par tirages aléatoires et l'écriture d'un résultat de mesure.
### Question 38
> [!INDICATION]
> Deuxième loi de Newton avec le seul poids, puis deux intégrations avec les conditions initiales.
#### Solution
$\ddot z=g$, $z(0)=0$, $\dot z(0)=0$ :
$$\boxed{z(t)=\frac12gt^2}$$
### Question 39
> [!INDICATION]
> Inversez la relation précédente pour $z=d_1$ puis $z=d_2$.
#### Solution
$$\boxed{t_1=\sqrt{\frac{2d_1}{g}},\qquad t_2=\sqrt{\frac{2d_2}{g}}}$$
### Question 40
> [!INDICATION]
> Formez $\Delta t=t_2-t_1$ et factorisez $\sqrt{2/g}$.
#### Solution
$\Delta t=\sqrt{\dfrac2g}\left(\sqrt{d_2}-\sqrt{d_1}\right)$, donc
$$\boxed{g=\frac{2\left(\sqrt{d_2}-\sqrt{d_1}\right)^2}{\Delta t^2}}$$
Contrôle : avec $d_1=0{,}099$ m, $d_2=0{,}632$ m et $\Delta t\simeq0{,}218$ s, on trouve $g\simeq9{,}7\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$, cohérent avec l'énoncé.
> [!METHODE]
> Mesurer une différence de temps élimine l'instant initial, mal connu : c'est le même principe que l'élimination de $aB_0$ dans la balance de Kibble.
### Question 41
> [!INDICATION]
> Les lignes de champ d'un aimant droit ressemblent à celles d'une bobine. D'où sortent-elles, où rentrent-elles ?
> [!INDICATION]
> Quelle grandeur varie dans une bobine quand l'aimant s'en approche puis s'en éloigne ?
#### Solution
Sur la copie : pôles N et S indiqués, lignes fermées et orientées (du Nord au Sud à l'extérieur, du Sud au Nord à l'intérieur), sans croisement, resserrées près des pôles.
Le flux magnétique à travers chaque bobine varie au passage de l'aimant ; la tension induite s'explique par la **loi de Faraday** (loi de Lenz-Faraday), $e=-\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}$.
> [!PIEGE]
> À l'intérieur d'un aimant, les lignes de champ vont du Sud vers le Nord ; elles sont fermées et ne s'arrêtent pas aux pôles.
### Question 42
> [!INDICATION]
> Repérez sur chaque impulsion un point qui correspond au même événement physique pour les deux bobines.
> [!INDICATION]
> L'aimant au centre de la bobine correspond au flux extrémal, donc à une f.é.m. nulle : le passage par zéro entre les deux lobes.
#### Solution
Chaque impulsion a deux lobes de signes opposés ; le passage par zéro central correspond à l'aimant au centre de la bobine. On le lit à environ 2,0 et 8,0 carreaux du bord gauche, soit 6,0 carreaux de 36 ms :
$$\boxed{\Delta t\simeq216\ \mathrm{ms}\simeq0{,}22\ \mathrm{s}}$$
> [!PIEGE]
> Mesurer entre les deux maxima n'est pas rigoureux : l'écart entre le centre d'une impulsion et son maximum dépend de la vitesse de l'aimant, plus grande à la seconde bobine (l'impulsion y est plus brève). Ici l'écart reste de l'ordre de la précision de lecture.
### Question 43
> [!INDICATION]
> Dans la boucle, on accumule ; après la boucle, on divise.
#### Solution
```python
for i in range(N):
somme = somme + liste_Dt[i] # instruction 1
Dt_moy = somme / N # instruction 2
```
Le programme affiche $0{,}217\,73$ s environ.
> [!PIEGE]
> `somme + liste_Dt[i]` sans réaffectation ne modifie pas `somme` ; placer la division dans la boucle est inutile et maladroit.
### Question 44
> [!INDICATION]
> Les distances doivent être tirées comme l'est déjà la durée moyenne : uniformément dans leur intervalle.
> [!INDICATION]
> L'incertitude-type sur $g$ est la dispersion des valeurs simulées. Quelle fonction `numpy` la donne ?
#### Solution
```python
d1_k = np.random.uniform(d1-Delta_d, d1+Delta_d) # instruction 1
d2_k = np.random.uniform(d2-Delta_d, d2+Delta_d) # instruction 2
# (après la boucle)
print(np.std(g_liste)) # instruction 3
```
Les deux distances sont tirées indépendamment à chaque itération ; l'écart-type de la liste des $g$ simulés est l'incertitude-type $u(g)$. Le script ainsi complété renvoie bien $\approx0{,}046\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$.
> [!METHODE]
> Méthode de Monte-Carlo : simuler chaque grandeur d'entrée selon sa loi (ici uniforme sur l'intervalle de demi-étendue donnée), recalculer la grandeur de sortie, et prendre l'écart-type de la distribution obtenue.
### Question 45
> [!INDICATION]
> Un écart-type a la même dimension que les valeurs dont il mesure la dispersion.
#### Solution
$u(g)$ s'exprime en **$\mathrm{m\cdot s^{-2}}$**, comme $g$.
### Question 46
> [!INDICATION]
> Arrondissez d'abord l'incertitude, puis la valeur au même rang décimal.
#### Solution
$u(g)=0{,}045\,949$ arrondi à un chiffre significatif : $0{,}05\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$ (rang des centièmes). Donc
$$\boxed{g=9{,}73\ \mathrm{m\cdot s^{-2}},\qquad u(g)=0{,}05\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}}$$
Comparée à la valeur usuelle $9{,}81\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$, l'écart normalisé vaut $0{,}08/0{,}05\simeq1{,}6<2$ : la mesure est compatible. L'incertitude relative ($\approx0{,}5\,\%$) vient surtout de la position $d_1$ de la première bobine, puis de $\overline{\Delta t}$ (qui intervient au carré) et enfin de $d_2$.
> [!PIEGE]
> Écrire $g=9{,}733\,76$ avec $u(g)=0{,}05$ : les chiffres au-delà des centièmes n'ont aucune signification.
## Bilan
**Méthodes à retenir.**
- Juger un effet systématique en le comparant à l'incertitude visée, après l'avoir converti en masse équivalente (Q4, Q6).
- Orientation en induction : sens du courant, normale par la main droite, flux, $e=-\mathrm{d}\Phi/\mathrm{d}t$, et une seule convention du début à la fin (Q8 à Q10).
- Éliminer une grandeur mal connue entre deux mesures : $aB_0$ (Q11), l'instant du lâcher (Q40), la résistance du générateur via l'ordonnée à l'origine (Q30).
- Électrostatique : invariances, puis symétries, puis Gauss ; superposition pour plusieurs plans ; une charge ne subit pas son propre champ (Q12 à Q19).
- Confronter un modèle à l'expérience : prédiction chiffrée, cas limites, résidus comparés aux barres d'incertitude, écart normalisé (Q24, Q26, Q28, Q35).
- Écrire un résultat de mesure : incertitude à un ou deux chiffres significatifs, valeur arrondie au même rang, unité (Q46).
**Prérequis à revoir si besoin.** Développements limités usuels ; produit vectoriel en base directe ; théorème de Gauss ; circuits du premier ordre et continuité de la tension d'un condensateur ; impédances complexes ; lectures d'oscillogrammes avec calibres ; boucles Python et `numpy.random.uniform`, `numpy.std`.
**Questions transposables.** Le plan infini et le condensateur plan par Gauss, la force entre armatures, le rail de Laplace en modes moteur et générateur, la charge d'un $RC$ avec résistance d'entrée de l'oscilloscope et résistance interne du générateur, le filtre $RC$ en RSF, la chute libre avec deux capteurs et l'incertitude par Monte-Carlo reviennent régulièrement dans les sujets de physique des concours.
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