Physique
ATSATS2026
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Épreuve de 3 h, calculatrice interdite. Sujet : *Métrologie des masses*. Les applications numériques sont menées à la main, en valeur approchée, comme le demande l'énoncé.
## I. Comparaison de masses
### Question 1
L'étalon est un cylindre plein de rayon $R_0$ et de hauteur $h$, de volume $V=\pi R_0^2h$. Sa masse volumique est
$$\boxed{\rho=\frac{m}{\pi R_0^2h}}$$
Avec $m=1$ kg, $R_0=2\times10^{-2}$ m, $h=4\times10^{-2}$ m : $V=\pi\times4\times10^{-4}\times4\times10^{-2}=1{,}6\pi\times10^{-5}\simeq5{,}0\times10^{-5}\ \mathrm{m^3}$ (50 cm³), d'où
$$\boxed{\rho\simeq2{,}0\times10^{4}\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}}$$
Ordre de grandeur cohérent avec un alliage de platine (environ $21\ \mathrm{g\cdot cm^{-3}}$), compte tenu des dimensions données « environ ».
### Question 2
Pour un volume $V$ d'air contenant $n$ moles : $pV=nRT$ et la masse correspondante est $nM$. Donc
$$\boxed{\rho_{\rm air}=\frac{nM}{V}=\frac{pM}{RT}}$$
avec $M=29\times10^{-3}\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}$. Pour $p=1{,}0\times10^5$ Pa et $T\simeq293$ K : $\rho_{\rm air}=\dfrac{2{,}9\times10^3}{2{,}4\times10^3}\simeq1{,}2\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$, cohérent avec la valeur $\approx1\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ annoncée.
### Question 3
D'après le théorème d'Archimède, la poussée est verticale ascendante et égale au poids de l'air déplacé, de volume $V=\pi R_0^2h$ (étalon entièrement immergé) :
$$\boxed{\Pi=\rho_{\rm air}Vg=\rho_{\rm air}\pi R_0^2h\,g\simeq1\times5\times10^{-5}\times9{,}8\simeq5\times10^{-4}\ \mathrm{N}}$$
Cela correspond à une masse équivalente $\Pi/g=\rho_{\rm air}V\simeq5\times10^{-5}$ kg $=50$ mg.
### Question 4
Sur le plateau, l'étalon subit son poids $mg$ (vers le bas), la poussée $\Pi$ (vers le haut) et la réaction $N$ du plateau. À l'équilibre $N=mg-\rho_{\rm air}Vg$. La balance affiche $N/g$, donc
$$m_{\rm aff}=m-\rho_{\rm air}V .$$
**La masse affichée est inférieure à 1 kg, d'environ $\rho_{\rm air}V\simeq5\times10^{-5}$ kg $=50$ mg.**
Pour un comparateur, d'incertitude-type 1 à 10 µg, cet écart est $5\times10^{-5}/10^{-8}\sim5\times10^{3}$ fois plus grand que l'incertitude visée. Même si l'on compare deux masses, les poussées ne se compensent que si les volumes sont égaux : un étalon de 1 kg en inox ($\rho\simeq8\times10^3\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$, $V\simeq125\ \mathrm{cm^3}$) et un étalon en Pt-Ir ($V\simeq50\ \mathrm{cm^3}$) diffèrent de $\rho_{\rm air}\Delta V\simeq75$ mg. **Il est donc nécessaire de prendre en compte la poussée d'Archimède dans un comparateur de masse.**
### Question 5
$F(R_T)=mg$ et
$$F(R_T+a)=\frac{mgR_T^2}{(R_T+a)^2}=mg\left(1+\frac{a}{R_T}\right)^{-2}\simeq mg\left(1-\frac{2a}{R_T}\right)\quad(a\ll R_T).$$
D'où
$$\boxed{F(R_T)-F(R_T+a)\simeq\frac{2mga}{R_T}}$$
### Question 6
$r$ repère le centre de masse. Les deux étalons, posés sur le même plateau, ont leur centre de masse à mi-hauteur : $2{,}0$ cm (Pt-Ir) et $3{,}2$ cm (inox). Donc $a=1{,}2\times10^{-2}$ m et, pour $m=1$ kg,
$$\boxed{F(R_T)-F(R_T+a)=\frac{2mga}{R_T}=\frac{2\times9{,}8\times1{,}2\times10^{-2}}{6{,}4\times10^{6}}\simeq3{,}7\times10^{-8}\ \mathrm{N}}$$
soit une masse équivalente $\Delta F/g=2ma/R_T\simeq3{,}8\times10^{-9}$ kg $\approx4$ µg. **C'est du même ordre que l'incertitude-type du comparateur (1 à 10 µg) : il faut en tenir compte** lorsqu'on compare un étalon en platine iridié à un étalon en inox.
## II. Balance de Kibble : pesée primaire à l'échelle du kilogramme
Base $(\vec e_x,\vec e_y,\vec e_z)$ directe : $\vec e_x$ horizontal vers la droite, $\vec e_y$ sortant de la feuille (sens de $\vec B$), $\vec e_z$ vertical descendant ; on vérifie $\vec e_x\wedge\vec e_y=\vec e_z$.
### II.1 Mode statique
### Question 7
Loi de Laplace sur la tige rectiligne de longueur utile $a$, parcourue par $I$ selon $+\vec e_x$ (sens de la figure II.1), dans le champ uniforme $B_0\vec e_y$ :
$$\vec F_{\rm L}=\int_0^a I\,\mathrm{d}x\,\vec e_x\wedge B_0\vec e_y\qquad\Longrightarrow\qquad\boxed{\vec F_{\rm L}=IaB_0\,\vec e_z}$$
Force verticale descendante, comme sur la figure ; l'équilibre donne $IaB_0=mg$.
### II.2 Mode dynamique
### Question 8
On oriente le courant induit $I_{\rm d}$ selon $-\vec e_x$ dans la tige (de droite à gauche), donc selon $+\vec e_x$ dans la résistance : le circuit est parcouru dans le sens trigonométrique vu par le lecteur. La règle de la main droite donne
$$\boxed{\vec n=+\vec e_y}$$
(normale sortant de la feuille). Avec l'orientation opposée, on aurait $\vec n=-\vec e_y$ et tous les signes suivants seraient changés.
### Question 9
Avec $z(t)=v_0t$, la distance entre la tige et le bas du circuit est $L(t)=L_0-v_0t$ et la surface du circuit $S(t)=aL(t)$. Le champ étant uniforme :
$$\Phi(t)=\vec B\cdot\vec n\,S(t)=B_0a\,(L_0-v_0t).$$
Loi de Faraday :
$$\boxed{e=-\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}=aB_0v_0}$$
Contrôle par la circulation du champ électromoteur : $\int_{\rm tige}(\vec v\wedge\vec B)\cdot\mathrm{d}\vec\ell=v_0B_0(\vec e_z\wedge\vec e_y)\cdot(-a\,\vec e_x)=aB_0v_0$. Loi de Lenz : la force de Laplace sur la tige, $I_{\rm d}(-a\vec e_x)\wedge B_0\vec e_y=-I_{\rm d}aB_0\vec e_z$, est dirigée vers le haut et freine la descente.
### Question 10
Le circuit ne comporte que $R$ (toute autre résistance négligée). Avec l'orientation choisie, $I_{\rm d}$ traverse $R$ selon $+\vec e_x$ ; la tension $u_R$ fléchée vers la gauche (figure II.2) est en convention récepteur : $u_R=RI_{\rm d}$. La loi des mailles donne $RI_{\rm d}=e$, donc $u_R=e=aB_0v_0$ et
$$\boxed{aB_0=\frac{u_R}{v_0}}$$
### II.3 Mise ensemble
### Question 11
Mode statique : $mg=IaB_0$. Mode dynamique : $aB_0=u_R/v_0$. En éliminant $aB_0$ :
$$\boxed{m=\frac{I\,u_R}{g\,v_0}}$$
Homogénéité : $\mathrm{A\cdot V}/(\mathrm{m\cdot s^{-2}\cdot m\cdot s^{-1}})=\mathrm{W\cdot s^3\cdot m^{-2}}=\mathrm{kg}$. La relation s'écrit aussi $mgv_0=u_RI$ : égalité d'une puissance mécanique et d'une puissance électrique.
## III. Balance électrostatique : pesées primaires à l'échelle du milligramme
### III.1 Étude du condensateur plan
### Question 12
*Invariances* : la distribution est invariante par toute translation selon $\vec e_x$ et $\vec e_y$, donc $\vec E$ ne dépend ni de $x$ ni de $y$.
*Symétries* : pour un point $M$ quelconque, les plans $(M,\vec e_x,\vec e_z)$ et $(M,\vec e_y,\vec e_z)$ sont des plans de symétrie de la distribution ; $\vec E(M)$ appartient à leur intersection, la droite $(M,\vec e_z)$.
$$\boxed{\vec E(M)=E(z)\,\vec e_z}$$
### Question 13
Le plan $z=0$ est un plan de symétrie de la distribution. Le champ en $M'(x,y,-z)$, symétrique de $M(x,y,z)$, est le symétrique de $\vec E(M)$ ; la symétrie change $\vec e_z$ en $-\vec e_z$, donc $E(-z)\vec e_z=-E(z)\vec e_z$ :
$$\boxed{\vec E(z)=-\vec E(-z)}$$
($E$ est impaire en $z$ pour $z\neq0$ ; le champ n'est pas défini dans le plan chargé lui-même.)
### Question 14
La surface de Gauss est un cylindre fermé d'axe parallèle à $\vec e_z$ passant par $M$, de section $S_c$, de bases en $z$ (contenant $M$) et en $-z$. Comme dans le sujet, $\vec e_z$ est dirigé vers le bas : la base en $z>0$ est dessinée sous le plan.
Sur la surface latérale, $\vec E$ est tangent (flux nul) ; sur chaque base, $\vec E$ est normal et de norme uniforme.
### Question 15
Flux sortant : base en $z$ : $E(z)S_c$ ; base en $-z$ : $-E(-z)S_c=E(z)S_c$ ; surface latérale : 0. Charge intérieure : $\sigma S_c$. Théorème de Gauss : $2E(z)S_c=\sigma S_c/\varepsilon_0$, donc pour $z>0$, $E(z)=\sigma/(2\varepsilon_0)$, puis par imparité :
$$\boxed{\vec E(M)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_z\ \ (z>0),\qquad \vec E(M)=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_z\ \ (z<0)}$$
### Question 16
Par superposition, le plan $z=0$ (densité $-\sigma$) crée $-\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\mathrm{sgn}(z)\,\vec e_z$ et le plan $z=d$ (densité $+\sigma$) crée $\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\mathrm{sgn}(z-d)\,\vec e_z$.
- $z<0$ : $\vec E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_z-\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_z=\vec 0$ ;
- $0<z<d$ : $\vec E=-\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_z-\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_z=-\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\vec e_z$ ;
- $z>d$ : $\vec E=-\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_z+\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_z=\vec 0$.
$$\boxed{\vec E=\vec 0\ \text{hors du condensateur},\qquad\vec E=-\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\vec e_z\ \text{pour }0<z<d}$$
Le champ intérieur va bien de l'armature positive vers l'armature négative.
### Question 17
Entre les armatures, $E_z=-\dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}z}=-\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$, donc $U=V(d)-V(0)=\dfrac{\sigma d}{\varepsilon_0}$. Avec $Q=\sigma S$ (plan $z=d$) :
$$\boxed{C=\frac{Q}{U}=\frac{\varepsilon_0S}{d}}$$
### Question 18
L'élément $\mathrm{d}S$ de la plaque du bas porte $\mathrm{d}q=\sigma\,\mathrm{d}S$ et subit le champ créé par la plaque du haut (une charge ne subit pas son propre champ) :
$$\boxed{\mathrm{d}\vec F=\sigma\,\mathrm{d}S\,\vec E_{\rm haut}(M)=-\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}\,\mathrm{d}S\,\vec e_z}$$
### Question 19
$\sigma$ et $\vec E_{\rm haut}$ étant uniformes sur la plaque :
$$\boxed{\vec F_e=-\frac{\sigma^2S}{2\varepsilon_0}\,\vec e_z}$$
Cette force est dirigée vers la plaque du haut ($-\vec e_z$) : **elle est attractive**, ce qui est attendu entre charges opposées.
### Question 20
À tension $U$ et distance $z$ : $Q=C(z)U=\sigma S$, donc $\sigma=\dfrac{\varepsilon_0U}{z}$ et
$$\vec F_e=-\frac{S}{2\varepsilon_0}\left(\frac{\varepsilon_0U}{z}\right)^2\vec e_z=-\frac{\varepsilon_0SU^2}{2z^2}\vec e_z .$$
Par ailleurs, à $U$ constante, $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left(\dfrac12C(z)U^2\right)=\dfrac{U^2}{2}\left(-\dfrac{\varepsilon_0S}{z^2}\right)=-\dfrac{\varepsilon_0SU^2}{2z^2}$. Les deux expressions coïncident :
$$\boxed{\vec F_e=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left(\frac12CU^2\right)\vec e_z}$$
### III.2 Mesure de la capacité
#### III.2.1 Méthode 1 : charge d'un circuit RC
### Question 21
Loi des mailles : $E=Ri+u$ ; condensateur en convention récepteur : $i=C\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$. D'où
$$\boxed{\tau\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+u=E,\qquad\tau=RC}$$
### Question 22
Solution : $u(t)=E+A\,\mathrm{e}^{-t/\tau}$. La tension aux bornes d'un condensateur est continue et le condensateur est déchargé pour $t<0$ : $u(0^+)=0$, donc $A=-E$.
$$\boxed{u(t)=E\left(1-\mathrm{e}^{-t/\tau}\right)\quad(t\ge0)}$$
### Question 23
Calibres : 100 µs par carreau horizontalement, 2 V par carreau verticalement. La courbe $u(t)$ part de 0 au front de montée et tend vers $\approx10$ V (5 carreaux). D'après Q22, $u(\tau)=(1-\mathrm{e}^{-1})E\simeq0{,}63E\simeq6{,}3$ V, soit environ 3,2 carreaux au-dessus de la ligne de base. La courbe atteint ce niveau environ **un carreau après le front**, donc $\tau\simeq100$ µs (la tangente à l'origine coupe l'asymptote au même instant, et le régime permanent est atteint au bout de 4 à 5 carreaux, soit $\approx5\tau$). Avec $\tau=RC$ :
$$\boxed{C=\frac{\tau}{R}\simeq\frac{1\times10^{-4}}{1\times10^{3}}=1\times10^{-7}\ \mathrm{F}=100\ \mathrm{nF}}$$
On note que la trace du générateur ne monte pas instantanément à 10 V : elle saute à $\approx9{,}5$ V puis rejoint 10 V, indice d'une résistance interne du générateur (exploité en Q29).
### Question 24
*Graphique de gauche* : le modèle prédit $\tau=RC$, droite passant par l'origine. Les points sont alignés jusqu'à $\approx100\ \mathrm{k\Omega}$ puis s'infléchissent nettement : à $500\ \mathrm{k\Omega}$, $RC\simeq50$ ms alors que l'on mesure $\approx33$ ms, écart très supérieur aux incertitudes (« à peine visibles »). **$\tau$ n'est pas proportionnel à $R$.**
*Graphique de droite* : le modèle prédit $u\to E$. Or le plateau final de $u(t)$ reste nettement en dessous de celui du générateur (d'environ un demi-carreau, soit $\approx1$ V). **La tension ne tend pas vers $E$.**
#### Second modèle
### Question 25
$C$ et $R_e$ sont en parallèle sous la tension $u$ ; la loi des nœuds donne le courant $i_1+i_2$ dans $R$ :
$$\boxed{i_1=C\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t},\qquad i_2=\frac{u}{R_e},\qquad u_R=R\left(C\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\frac{u}{R_e}\right)}$$
### Question 26
Loi des mailles : $E=u_R+u=RC\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\dfrac{R}{R_e}u+u$. En divisant par $RC$ :
$$\frac{E}{RC}=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+u\left(\frac1{RC}+\frac1{R_eC}\right)=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\frac{u}{\tau'}$$
$$\boxed{\tau'=\frac{RR_e}{R+R_e}\,C}$$
Pour $R=500\ \mathrm{k\Omega}$ et $C\approx0{,}1$ µF : $\tau'\simeq333\times10^3\times10^{-7}\simeq33$ ms, en accord avec la figure III.7.
### Question 27
Aux temps longs, $\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\to0$, donc $u_\infty=\dfrac{\tau'E}{RC}$ :
$$\boxed{u_\infty=\frac{R_e}{R+R_e}\,E}$$
(pont diviseur entre $R$ et $R_e$, le condensateur chargé se comportant comme un interrupteur ouvert). Pour $R=100\ \mathrm{k\Omega}$, $R_e=1\ \mathrm{M\Omega}$, $E=10$ V : $u_\infty=10/1{,}1\simeq9{,}1$ V. **La tension $u$ se stabilise $\approx0{,}9$ V sous celle du générateur, ce que montre la figure III.7 (droite)** ; la constante de temps correspondante, $\tau'\simeq9$ ms, est également cohérente avec l'acquisition (10 ms par carreau).
#### Restriction aux petites valeurs de R
### Question 28
Sur la figure III.10 (droite), les résidus $\tau-(aR+b)$ sont compris entre environ $-2$ et $+2$ µs, du même ordre que leurs incertitudes-types (1 à 2 µs) : chaque résidu est à moins de deux incertitudes-types de zéro (la plupart des barres coupent l'axe nul). Ils sont répartis de part et d'autre de zéro sans tendance systématique marquée. **Le modèle $\tau=aR+b$ est compatible avec les mesures sur cette plage.**
### Question 29
Pour $R\le1\ \mathrm{k\Omega}\ll R_e$, le second modèle donne $\tau'\simeq RC$, droite passant par l'origine. Or $b=4{,}8$ µs avec $u(b)=0{,}4$ µs : $|b-0|/u(b)=12\gg2$, $b$ n'est pas compatible avec zéro.
Une ordonnée à l'origine non nulle est produite par une résistance $r$ **en série** avec $R$, indépendante de $R$ : $\tau=(R+r)C=CR+rC$. L'élément négligé est **la résistance interne (de sortie) du générateur**. L'identification donne $a=C$ et $b=rC$ :
$$\boxed{r=\frac{b}{a}=\frac{4{,}8\times10^{-6}}{97\times10^{-9}}\simeq50\ \Omega}$$
Valeur typique de la résistance de sortie d'un générateur basse fréquence ($50\ \Omega$). Elle est corroborée par la figure III.6 : à l'instant du front, le courant $E/(R+r)$ fait chuter la tension du générateur de $rE/(R+r)\simeq0{,}5$ V, qui remonte ensuite à $E$ à mesure que le courant s'annule.
### Question 30
Dans le modèle $\tau=(R+r)C$, la pente vaut $C$ :
$$\boxed{C=a=97\ \mathrm{nF},\qquad u(C)=u(a)=1\ \mathrm{nF}}$$
#### III.2.2 Méthode 2 : étude en RSF
### Question 31
Pont diviseur de tension avec $\underline Z_R=R$ et $\underline Z_C=\dfrac{1}{\mathrm{j}C\omega}$ :
$$\boxed{\underline u=\frac{\underline Z_C}{\underline Z_R+\underline Z_C}\,\underline e=\frac{\underline e}{1+\mathrm{j}RC\omega}}$$
### Question 32
$$\boxed{U_0=|\underline u|=\frac{E_0}{\sqrt{1+(RC\omega)^2}}}$$
### Question 33
Si $RC\omega\gg1$, $\sqrt{1+(RC\omega)^2}\simeq RC\omega$ :
$$\boxed{U_0\simeq\frac{E_0}{RC\omega}}$$
### Question 34
$$\boxed{C=\frac{E_0}{R\omega U_0}=\frac{E_0}{2\pi fRU_0}}$$
Application numérique : $\dfrac{E_0}{U_0}=\dfrac{2{,}001}{0{,}3185}=2\pi\times\dfrac{2{,}001}{2}\times\dfrac{1}{\pi\times0{,}3185}\simeq2\pi\times1{,}0005\times\dfrac{0{,}3183}{0{,}3185}\simeq2\pi$, donc
$$\boxed{C\simeq\frac{2\pi}{2\pi\times10^3\times10^4}=1{,}0\times10^{-7}\ \mathrm{F}=100\ \mathrm{nF}}$$
On vérifie a posteriori $RC\omega\simeq6{,}3$ : l'approximation est assez grossière (erreur relative $\simeq1/(2\times6{,}3^2)\simeq1{,}3\,\%$).
### Question 35
Méthode 1 : $C_1=97$ nF, $u(C_1)=1$ nF. Méthode 2 sans approximation : $C_2=98{,}7$ nF, d'incertitude non fournie. L'écart normalisé, majoré en négligeant $u(C_2)$ :
$$\frac{|C_2-C_1|}{\sqrt{u(C_1)^2+u(C_2)^2}}\le\frac{98{,}7-97}{1}=1{,}7<2 .$$
**Les deux valeurs sont compatibles.** (La valeur approchée de Q34, 100 nF, donnerait un écart normalisé de 3 avec $u(C_1)$ seule : c'est le biais de l'approximation $RC\omega\gg1$, que le calcul exact supprime.)
### III.3 Exemple d'utilisation
### Question 36
Système {électrode du bas + masse} ; le poids de l'électrode est compensé par le dispositif. Forces restantes : $mg\,\vec e_z$ et $\vec F_e=\dfrac{U^2}{2}\dfrac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}z}\vec e_z$ (Q20, $U$ constante), avec $\dfrac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}z}<0$. À l'équilibre :
$$\boxed{m=\frac{U^2}{2g}\left|\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}z}\right|_{z=d_0}}$$
Lecture sur la figure III.12 (droite) à $d_0=70$ µm : $\dfrac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}z}\simeq-0{,}9\ \mathrm{pF\cdot\mu m^{-1}}=-9\times10^{-7}\ \mathrm{F\cdot m^{-1}}$ (cohérent avec $-C/z\simeq-62/70$ pour le modèle plan). Avec $U^2\simeq14{,}5^2\simeq210\ \mathrm{V^2}$ :
$$\boxed{m\simeq\frac{210\times9\times10^{-7}}{2\times9{,}8}\simeq9{,}6\times10^{-6}\ \mathrm{kg}\approx10\ \mathrm{mg}}$$
### Question 37
Le modèle $C=\varepsilon_0S/z$ suppose des armatures infinies, sans effet de bord. Les électrodes réelles sont finies : les lignes de champ débordent sur les bords, ce qui ajoute de la charge à tension donnée. **La raison principale est l'effet de bord, qui augmente la capacité** ; s'y ajoutent les capacités parasites du montage (connexions, pièces métalliques voisines), en parallèle et donc additives.
## IV. Mesure de g : gravimètre à chute libre
### Modélisation
### Question 38
Axe $z$ descendant, seule force : le poids. $\ddot z=g$, avec $z(0)=0$ et $\dot z(0)=0$ :
$$\boxed{z(t)=\frac12gt^2}$$
### Question 39
$$\boxed{t_1=\sqrt{\frac{2d_1}{g}},\qquad t_2=\sqrt{\frac{2d_2}{g}}}$$
### Question 40
$\Delta t=t_2-t_1=\sqrt{\dfrac2g}\left(\sqrt{d_2}-\sqrt{d_1}\right)$, donc
$$\boxed{g=\frac{2\left(\sqrt{d_2}-\sqrt{d_1}\right)^2}{\Delta t^2}}$$
### Expérience : valeur de g
### Question 41
Les lignes de champ sont fermées : elles sortent par le pôle Nord et rentrent par le pôle Sud à l'extérieur, vont du Sud vers le Nord à l'intérieur, ne se croisent pas et se resserrent près des pôles. Le pôle Nord peut aussi être placé en bas, pourvu qu'il soit indiqué sur le dessin.
La tension induite dans les bobines, dont le flux magnétique varie quand l'aimant passe, s'explique par la **loi de Faraday** (loi de Lenz-Faraday) : $e=-\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}$.
### Question 42
Chaque passage produit une impulsion à deux lobes de signes opposés ; le passage par zéro central correspond à l'aimant au centre de la bobine (flux extrémal). Ces passages par zéro sont à environ 2,0 et 8,0 carreaux du bord gauche, soit 6,0 carreaux de 36 ms :
$$\boxed{\Delta t\simeq6{,}0\times36\ \mathrm{ms}\simeq0{,}22\ \mathrm{s}}$$
### Question 43
```python
liste_Dt = [0.2165, 0.2185, 0.219, 0.2185, 0.2165, 0.2165, 0.2175, 0.216,
0.219, 0.218, 0.2175, 0.2175, 0.2185, 0.2185, 0.218] # en s
N = len(liste_Dt)
somme = 0
for i in range(N):
somme = somme + liste_Dt[i] # instruction 1 (dans la boucle)
Dt_moy = somme / N # instruction 2 (après la boucle)
print(Dt_moy) # affiche 0.21773...
```
### Estimation de l'incertitude
### Question 44
```python
for k in range(100000):
Dt_moy_k = np.random.uniform(Dt_moy-Delta_Dt_moy, Dt_moy+Delta_Dt_moy)
d1_k = np.random.uniform(d1-Delta_d, d1+Delta_d) # instruction 1
d2_k = np.random.uniform(d2-Delta_d, d2+Delta_d) # instruction 2
g_liste.append(g(d1_k, d2_k, Dt_moy_k))
print(np.std(g_liste)) # instruction 3
```
Les distances sont tirées indépendamment, uniformément dans leur intervalle de demi-étendue $\Delta_d=1$ mm ; l'écart-type de la distribution simulée des $g$ est l'incertitude-type $u(g)$.
### Question 45
$u(g)$ a l'unité de $g$ : **$\mathrm{m\cdot s^{-2}}$**.
### Question 46
$u(g)=0{,}045\,949\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$ arrondi à un chiffre significatif : $0{,}05\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$ ; on arrondit $g$ au même rang (centièmes) :
$$\boxed{g=9{,}73\ \mathrm{m\cdot s^{-2}},\qquad u(g)=0{,}05\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}}$$
Aide sur le corrigé
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