Méthodes de calcul et raisonnement
Agro-VétoTB2026
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# Agro-Véto TB — Méthodes de calcul et raisonnement 2026 · Corrigé guidé
*Corrigé rédigé par IA (La Belle Copie), non officiel. Signalez toute erreur.*
## Présentation du sujet
**Format.** L'épreuve dure 2 heures, sans calculatrice ni document. Le sujet tient en 3 pages et compte 33 questions élémentaires réparties en trois exercices **totalement indépendants** : on peut les traiter dans l'ordre de son choix.
**Découpage.**
| Exercice | Questions | Contenu | Notions mobilisées |
|---|---|---|---|
| Algèbre | 1 à 6 (10 questions) | Diagonalisation d'une matrice $2\times2$, puis résolution de l'équation matricielle $AX+XA=B$ par le changement d'inconnue $Y=P^{-1}XP$ | valeurs et vecteurs propres, déterminant $2\times2$, inverse d'une matrice $2\times2$, produit matriciel, systèmes linéaires |
| Analyse | 1 à 6 (12 questions) | Suite d'intégrales $I_n=\int_0^1x^ne^x\,\mathrm dx$ : premiers termes, signe, monotonie, limite, récurrence, équivalent | primitives, positivité et croissance de l'intégrale, théorème d'encadrement, intégration par parties, équivalents |
| Probabilités | partie 1 : 1 à 4 (8 questions) ; partie 2 : 1 et 2 (3 questions) | Urne à une seule boule rouge : rang de sortie de la rouge sans remise ($N=3$), puis rang où l'on a vu les deux couleurs avec remise | probabilités conditionnelles, formule des probabilités composées, loi uniforme, espérance, indépendance, événements incompatibles |
**Ce que fait chaque exercice.**
- *Algèbre.* Les questions 1 à 3 diagonalisent $A$ en suivant des normalisations imposées. La question 4 transporte l'équation $AX+XA=B$ dans la base de vecteurs propres, où elle devient $DY+YD=C$ avec $D$ diagonale. On résout alors coefficient par coefficient : en question 5, un ensemble de solutions à deux paramètres ; en question 6, aucune solution.
- *Analyse.* Un enchaînement très classique, où chaque question prépare la suivante : encadrement $0\le I_n\le\frac e{n+1}$, limite nulle, puis relation de récurrence qui fournit l'équivalent $I_n\sim\frac en$.
- *Probabilités.* La partie 1 fait découvrir que, sans remise, le rang de la boule rouge est uniforme. La partie 2, avec remise, demande la loi d'un temps d'attente qui se décompose en deux scénarios selon la couleur du premier tirage.
**Difficulté.** Le sujet est d'un niveau abordable et entièrement guidé. Beaucoup de questions sont immédiates et ne doivent pas être laissées passer : algèbre 1, 2, 3, 5.a ; analyse 1 à 5 ; probabilités, partie 1 entière et partie 2, question 1. Les questions qui demandent le plus de soin sont l'algèbre 4 (une équivalence à rédiger dans les deux sens), l'algèbre 5.c (calcul de $PYP^{-1}$ avec deux paramètres), l'analyse 6.c (passage à l'équivalent) et la partie 2, question 2.b des probabilités (décrire correctement l'événement $(Y=k)$).
**Gestion du temps.** Environ 45 minutes pour l'algèbre, plus calculatoire, 35 minutes pour l'analyse et 35 minutes pour les probabilités, en gardant quelques minutes pour relire les calculs matriciels. Sans calculatrice, chaque produit de matrices se vérifie par un contrôle simple ($AP=PD$, $PP^{-1}=I_2$, valeur particulière des paramètres).
## Exercice d'Algèbre
On diagonalise $A=\begin{pmatrix}-3&-4\\2&3\end{pmatrix}$, puis on s'en sert pour résoudre $AX+XA=B$. Outils : déterminant et inverse d'une matrice $2\times2$, produit matriciel, identification de coefficients.
### Question 1
> [!INDICATION]
> Un réel $\lambda$ est valeur propre lorsque $A-\lambda I_2$ n'est pas inversible. Quel critère simple caractérise l'inversibilité d'une matrice $2\times2$ ?
> [!INDICATION]
> Calculez $\det(A-\lambda I_2)$ en fonction de $\lambda$ et factorisez : il faut montrer que $-1$ et $1$ sont valeurs propres **et** qu'il n'y en a pas d'autre.
#### Solution
Pour $\lambda\in\mathbb R$,
$$\det(A-\lambda I_2)=\begin{vmatrix}-3-\lambda&-4\\2&3-\lambda\end{vmatrix}=(-3-\lambda)(3-\lambda)+8=\lambda^2-9+8=\lambda^2-1=(\lambda-1)(\lambda+1).$$
$\lambda$ est valeur propre de $A$ si et seulement si $A-\lambda I_2$ n'est pas inversible, c'est-à-dire si et seulement si $\det(A-\lambda I_2)=0$, soit $\lambda\in\{-1,1\}$.
$$\boxed{\text{les valeurs propres de }A\text{ sont exactement }-1\text{ et }1.}$$
> [!PIEGE]
> Vérifier seulement que $\det(A+I_2)=0$ et $\det(A-I_2)=0$ prouve que $-1$ et $1$ sont valeurs propres, mais pas qu'il n'y en a pas d'autre. La factorisation complète règle les deux points d'un coup.
### Question 2.a
> [!INDICATION]
> Vérifier qu'un vecteur est propre ne demande aucune résolution : un seul produit matrice-vecteur suffit.
#### Solution
$$AU=\begin{pmatrix}(-3)(-1)+(-4)(1)\\2(-1)+3(1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}=U.$$
Comme $U\neq0$ et $AU=1\cdot U$, **$U$ est un vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $1$.**
> [!JURY]
> Un vecteur propre est par définition non nul : la mention $U\neq0$ ne coûte qu'un mot et complète la définition.
### Question 2.b
> [!INDICATION]
> Écrivez l'égalité $AV=-V$ coordonnée par coordonnée.
> [!INDICATION]
> Une seule ligne suffit à trouver $m$ ; l'autre sert de contrôle.
#### Solution
$AV=\begin{pmatrix}-3m-4\\2m+3\end{pmatrix}$ et $-V=\begin{pmatrix}-m\\-1\end{pmatrix}$. La première ligne donne $-3m-4=-m$, soit $m=-2$ ; la seconde est alors vérifiée : $2(-2)+3=-1$.
$$\boxed{m=-2,\qquad V=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}.}$$
> [!METHODE]
> Même quand aucune justification n'est demandée, la vérification sur la seconde coordonnée protège d'une erreur de signe qui ruinerait les questions 3 à 6.
### Question 3.a
> [!INDICATION]
> Les colonnes de $P$ sont des vecteurs propres ; dans quel ordre faut-il les placer pour que la diagonale de $D$ soit croissante ?
> [!INDICATION]
> Regardez la deuxième coordonnée de $U$ et de $V$ : la seconde contrainte est déjà satisfaite. Pour prouver $A=PDP^{-1}$, calculez $AP$ colonne par colonne.
#### Solution
L'ordre croissant impose $D=\mathrm{diag}(-1,1)$ ; la première colonne de $P$ est donc un vecteur propre pour $-1$, soit $V$, et la seconde un vecteur propre pour $1$, soit $U$. La deuxième ligne de $P$ est bien formée de $1$.
$$\boxed{D=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad P=\begin{pmatrix}-2&-1\\1&1\end{pmatrix}.}$$
$P$ est inversible car $\det P=(-2)(1)-(-1)(1)=-1\neq0$. De plus $AP=(AV\ \ AU)=(-V\ \ U)=PD$, d'où, en multipliant à droite par $P^{-1}$, $A=PDP^{-1}$. Contrôle numérique : $AP=PD=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}$.
> [!PIEGE]
> Inverser l'ordre des colonnes donne $D=\mathrm{diag}(1,-1)$, qui ne respecte pas l'ordre croissant demandé. La $i$-ème colonne de $P$ correspond toujours au $i$-ème coefficient diagonal de $D$.
### Question 3.b
> [!INDICATION]
> Utilisez la formule de l'inverse d'une matrice $2\times2$ à déterminant non nul.
> [!INDICATION]
> On échange les coefficients diagonaux, on change le signe des deux autres, et on divise par le déterminant. Vérifiez ensuite le produit $PP^{-1}$.
#### Solution
Pour $M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ avec $ad-bc\neq0$, $M^{-1}=\dfrac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$. Avec $\det P=-1$ :
$$\boxed{P^{-1}=-\begin{pmatrix}1&1\\-1&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&2\end{pmatrix}.}$$
Vérification : $PP^{-1}=\begin{pmatrix}2-1&2-2\\-1+1&-1+2\end{pmatrix}=I_2$.
> [!METHODE]
> $P^{-1}$ resservira en 5 et 6 : une vérification $PP^{-1}=I_2$, deux minutes de calcul, sécurise toute la fin de l'exercice.
### Question 4
> [!INDICATION]
> Réécrivez la relation de la question 3.a sous la forme $D=\dots$ en fonction de $A$ et $P$.
> [!INDICATION]
> Multipliez l'équation à gauche par $P^{-1}$ et à droite par $P$, puis insérez $I_2=PP^{-1}$ entre $A$ et $X$, et entre $X$ et $A$.
> [!INDICATION]
> On demande une équivalence : traitez la réciproque en multipliant à gauche par $P$ et à droite par $P^{-1}$.
#### Solution
De $A=PDP^{-1}$, on tire $D=P^{-1}AP$. Comme $P$ est inversible, $Y=P^{-1}XP$ équivaut à $X=PYP^{-1}$, et $C=P^{-1}BP$ à $B=PCP^{-1}$.
*Sens direct.* Supposons $AX+XA=B$. En multipliant à gauche par $P^{-1}$ et à droite par $P$ :
$$P^{-1}AXP+P^{-1}XAP=(P^{-1}AP)(P^{-1}XP)+(P^{-1}XP)(P^{-1}AP)=DY+YD,$$
où l'on a inséré $PP^{-1}=I_2$ entre les facteurs. Donc $DY+YD=P^{-1}BP=C$.
*Réciproque.* Supposons $DY+YD=C$. En multipliant à gauche par $P$ et à droite par $P^{-1}$ :
$$PDYP^{-1}+PYDP^{-1}=(PDP^{-1})(PYP^{-1})+(PYP^{-1})(PDP^{-1})=AX+XA,$$
et $PCP^{-1}=B$. Donc $AX+XA=B$.
$$\boxed{AX+XA=B\iff DY+YD=C.}$$
> [!PIEGE]
> Le produit matriciel n'est pas commutatif : on ne peut pas « simplifier » $P^{-1}AXP$ en déplaçant les matrices. Seule l'insertion de $PP^{-1}=I_2$, grâce à l'associativité, fait apparaître $D$ et $Y$.
> [!JURY]
> Une équivalence se prouve dans les deux sens, ou par une chaîne d'équivalences où l'on justifie que chaque étape est réversible (ici parce que $P$ est inversible). Ne traiter que le sens direct ne répond qu'à la moitié de la question.
### Question 5.a
> [!INDICATION]
> Calcul direct : effectuez d'abord $P^{-1}B$, puis multipliez le résultat à droite par $P$.
#### Solution
$$P^{-1}B=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&4\\-2&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&-2\\0&0\end{pmatrix},$$
$$C=(P^{-1}B)P=\begin{pmatrix}-2&-2\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&-1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-2&2-2\\0&0\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}2&0\\0&0\end{pmatrix}}.$$
> [!PIEGE]
> Calculer $PBP^{-1}$ au lieu de $P^{-1}BP$ donne une autre matrice. On peut contrôler son résultat avec la trace et le déterminant, conservés par ce changement : ici $4-2=2+0$ et $\det B=0=\det C$.
### Question 5.b
> [!INDICATION]
> Posez $Y=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ et calculez séparément $DY$ et $YD$.
> [!INDICATION]
> Multiplier à gauche par une matrice diagonale agit sur les lignes, à droite sur les colonnes. Identifiez ensuite les quatre coefficients : certaines inconnues ne sont soumises à aucune condition.
#### Solution
$$DY=\begin{pmatrix}-a&-b\\c&d\end{pmatrix},\qquad YD=\begin{pmatrix}-a&b\\-c&d\end{pmatrix},\qquad DY+YD=\begin{pmatrix}-2a&0\\0&2d\end{pmatrix}.$$
L'égalité $DY+YD=C$ équivaut au système $-2a=2$, $0=0$, $0=0$, $2d=0$, c'est-à-dire $a=-1$ et $d=0$, $b$ et $c$ étant quelconques.
$$\boxed{\{Y\ :\ DY+YD=C\}=\left\{\begin{pmatrix}-1&b\\c&0\end{pmatrix}\ ;\ (b,c)\in\mathbb R^2\right\}.}$$
> [!PIEGE]
> Les équations $0=0$ ne disent pas que $b=0$ et $c=0$ : elles disent que $b$ et $c$ sont libres. « Déterminer toutes les matrices » demande l'ensemble paramétré, pas une solution particulière.
### Question 5.c
> [!INDICATION]
> D'après la question 4, $X$ est solution de $(E)$ exactement quand $P^{-1}XP$ est l'une des matrices trouvées en 5.b. Comment retrouver $X$ à partir de $Y$ ?
> [!INDICATION]
> Calculez $PY$ puis $(PY)P^{-1}$ en gardant $b$ et $c$ littéraux, puis vérifiez le résultat sur le cas $b=c=0$.
#### Solution
D'après la question 4, $X$ est solution de $(E)$ si et seulement si $X=PYP^{-1}$ avec $Y=\begin{pmatrix}-1&b\\c&0\end{pmatrix}$, $(b,c)\in\mathbb R^2$. Or
$$PY=\begin{pmatrix}-2&-1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&b\\c&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-c&-2b\\c-1&b\end{pmatrix},$$
$$PYP^{-1}=\begin{pmatrix}2-c&-2b\\c-1&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&-1\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c-2b-2&c-4b-2\\b-c+1&2b-c+1\end{pmatrix}.$$
$$\boxed{\mathcal S_E=\left\{\begin{pmatrix}c-2b-2&c-4b-2\\b-c+1&2b-c+1\end{pmatrix}\ ;\ (b,c)\in\mathbb R^2\right\}.}$$
On peut l'écrire $X=X_0+bM+cM'$ avec $X_0=\begin{pmatrix}-2&-2\\1&1\end{pmatrix}$, $M=\begin{pmatrix}-2&-4\\1&2\end{pmatrix}$, $M'=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}$. Vérification pour $b=c=0$ : $AX_0=X_0A=\begin{pmatrix}2&2\\-1&-1\end{pmatrix}$, donc $AX_0+X_0A=\begin{pmatrix}4&4\\-2&-2\end{pmatrix}=B$.
> [!PIEGE]
> De $Y=P^{-1}XP$ on tire $X=PYP^{-1}$, et non $P^{-1}YP$ : on multiplie à gauche par $P$ et à droite par $P^{-1}$.
> [!METHODE]
> Une vérification sur une valeur particulière des paramètres (ici $b=c=0$) contrôle en une fois toute la chaîne $P$, $P^{-1}$, $C$, $Y$, $X$.
### Question 6
> [!INDICATION]
> Même démarche qu'en question 5 : calculez la nouvelle matrice $C=P^{-1}BP$.
> [!INDICATION]
> Le calcul de 5.b vaut pour toute matrice $Y$ : quelle forme a toujours $DY+YD$ ? Comparez avec $C$.
#### Solution
$$P^{-1}B=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\-1&-1\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}0&0\\-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2&-1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}.$$
D'après la question 4, $(E)$ a une solution si et seulement s'il existe $Y=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ telle que $DY+YD=C$. Or, d'après 5.b, $DY+YD=\begin{pmatrix}-2a&0\\0&2d\end{pmatrix}$ a toujours un coefficient $(2,1)$ nul, alors que celui de $C$ vaut $1$ : l'égalité imposerait $0=1$, ce qui est absurde.
$$\boxed{\text{Pour }B=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix},\ \text{l'équation }(E)\text{ n'a aucune solution.}}$$
> [!PIEGE]
> Constater qu'on « n'arrive pas » à résoudre ne prouve rien : il faut exhiber une contradiction précise. Inversement, une condition nécessaire satisfaite ne prouve pas l'existence : par exemple, en prenant la trace de $AX+XA=B$, on obtient $\mathrm{tr}(B)=2\,\mathrm{tr}(AX)$, qui ne conduit ici à aucune contradiction.
> [!METHODE]
> Les coefficients hors diagonale de $DY+YD$ valent $(\lambda_1+\lambda_2)$ fois ceux de $Y$, où $\lambda_1,\lambda_2$ sont les coefficients diagonaux de $D$. Comme $-1+1=0$, ils sont toujours nuls : $(E)$ n'a de solution que si $C$ est diagonale. C'est ce qui oppose les questions 5 et 6.
## Exercice d'Analyse
On étudie $I_n=\int_0^1x^ne^x\,\mathrm dx$, bien définie car l'intégrande est continue sur $[0,1]$. Outils : primitives usuelles, positivité et croissance de l'intégrale, encadrement, intégration par parties, équivalents.
### Question 1
> [!INDICATION]
> Primitive immédiate de l'exponentielle.
#### Solution
$$I_0=\int_0^1e^x\,\mathrm dx=\big[e^x\big]_0^1=e^1-e^0=\boxed{e-1}.$$
### Question 2.a
> [!INDICATION]
> Dérivez le produit $x\mapsto xe^x$, puis soustrayez la dérivée de $e^x$.
#### Solution
Pour tout $x\in\mathbb R$ :
$$g'(x)=\big(1\cdot e^x+x\,e^x\big)-e^x=\boxed{xe^x}.$$
### Question 2.b
> [!INDICATION]
> Que représente $g$ pour la fonction intégrée dans $I_1$ ?
#### Solution
D'après 2.a, $g$ est une primitive de $x\mapsto xe^x$ sur $[0,1]$, donc
$$I_1=\big[g(x)\big]_0^1=g(1)-g(0)=(e-e)-(0-1)=\boxed{1}.$$
> [!PIEGE]
> $g(0)=0\cdot e^0-e^0=-1$, et non $0$ : le terme $-e^0$ vaut $-1$.
### Question 3
> [!INDICATION]
> Étudiez le signe de la fonction intégrée sur l'intervalle d'intégration.
> [!INDICATION]
> Citez la propriété de l'intégrale qui conclut, sans oublier l'ordre des bornes.
#### Solution
Soit $n\in\mathbb N$. Pour tout $x\in[0,1]$, $x^n\ge0$ et $e^x>0$, donc $x^ne^x\ge0$. La fonction $x\mapsto x^ne^x$ est continue et positive sur $[0,1]$ et les bornes sont dans l'ordre croissant ($0\le1$). Par positivité de l'intégrale :
$$\boxed{\forall n\in\mathbb N,\quad I_n\ge0.}$$
> [!JURY]
> La positivité de l'intégrale s'applique à une fonction continue et positive **sur l'intervalle d'intégration**, avec des bornes dans l'ordre croissant : les deux conditions doivent être écrites.
### Question 4.a
> [!INDICATION]
> Partez de $x\le1$ et multipliez par une quantité dont vous connaissez le signe.
#### Solution
Soit $x\in[0,1]$ et $n\in\mathbb N$. En multipliant $x\le1$ par $x^n\ge0$, on obtient $x^{n+1}\le x^n$. En multipliant par $e^x>0$, le sens est conservé :
$$\boxed{x^{n+1}\le x^n\qquad\text{et}\qquad x^{n+1}e^x\le x^ne^x.}$$
> [!PIEGE]
> L'inégalité $x^{n+1}\le x^n$ n'est vraie que pour $x\in[0,1]$ ; elle s'inverse pour $x>1$. Il faut dire pourquoi chaque multiplication conserve le sens de l'inégalité.
### Question 4.b
> [!INDICATION]
> Intégrez l'inégalité de 4.a sur $[0,1]$.
#### Solution
Pour $n\in\mathbb N$, les fonctions $x\mapsto x^{n+1}e^x$ et $x\mapsto x^ne^x$ sont continues sur $[0,1]$ et vérifient l'inégalité de 4.a. Par croissance de l'intégrale ($0\le1$), $I_{n+1}\le I_n$, et ce pour tout $n$ :
$$\boxed{(I_n)_{n\in\mathbb N}\text{ est décroissante.}}$$
### Question 5.a
> [!INDICATION]
> Majorez $e^x$ sur $[0,1]$ grâce à une propriété de l'exponentielle.
#### Solution
Soit $x\in[0,1]$ et $n\in\mathbb N$. L'exponentielle est croissante et $x\le1$, donc $e^x\le e$. En multipliant par $x^n\ge0$ :
$$\boxed{x^ne^x\le e\,x^n.}$$
> [!PIEGE]
> Le membre de droite est le produit du nombre $e$ par $x^n$, et non $e^{x^n}$.
### Question 5.b
> [!INDICATION]
> Intégrez l'inégalité de 5.a et calculez l'intégrale de la fonction puissance.
#### Solution
Par croissance de l'intégrale (fonctions continues, $0\le1$) et linéarité :
$$I_n\le e\int_0^1x^n\,\mathrm dx=e\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1=\boxed{\frac e{n+1}}.$$
### Question 5.c
> [!INDICATION]
> Rassemblez les résultats des questions 3 et 5.b.
> [!INDICATION]
> Un encadrement dont les deux bornes ont la même limite donne à la fois la convergence et la limite.
#### Solution
D'après 3 et 5.b, pour tout $n\in\mathbb N$, $0\le I_n\le\dfrac e{n+1}$. Comme $\dfrac e{n+1}\to0$ quand $n\to+\infty$, le théorème d'encadrement donne :
$$\boxed{(I_n)\text{ converge et }\lim_{n\to+\infty}I_n=0.}$$
> [!PIEGE]
> Décroissante et minorée par $0$ suffit pour la convergence (théorème de la limite monotone), mais pas pour identifier la limite : une suite décroissante minorée par $0$ peut converger vers un réel strictement positif. C'est la majoration de 5.b qui donne la limite.
### Question 6.a
> [!INDICATION]
> Intégrez par parties $I_{n+1}$ : quel facteur faut-il dériver pour faire baisser l'exposant ?
> [!INDICATION]
> Dérivez $x^{n+1}$ et primitivez $e^x$. Évaluez soigneusement le crochet en $0$ et en $1$.
#### Solution
Soit $n\in\mathbb N$. Posons $u(x)=x^{n+1}$ et $v(x)=e^x$, de classe $\mathcal C^1$ sur $[0,1]$, avec $u'(x)=(n+1)x^n$ et $v'(x)=e^x$. Par intégration par parties :
$$I_{n+1}=\big[x^{n+1}e^x\big]_0^1-\int_0^1(n+1)x^ne^x\,\mathrm dx=e-(n+1)I_n,$$
le crochet valant $e-0$ car $0^{n+1}=0$ ($n+1\ge1$).
$$\boxed{\forall n\in\mathbb N,\quad I_{n+1}=e-(n+1)I_n.}$$
Contrôle : pour $n=0$, $I_1=e-(e-1)=1$, comme en 2.b.
> [!METHODE]
> Pour $\int x^ke^x$, on dérive toujours la puissance et on primitive l'exponentielle : le degré baisse d'une unité. Le choix inverse fait monter le degré.
### Question 6.b
> [!INDICATION]
> Isolez $I_n$ dans la relation de 6.a, en justifiant la division.
#### Solution
De 6.a, $(n+1)I_n=e-I_{n+1}$, et $n+1\neq0$, donc
$$\boxed{\forall n\in\mathbb N,\quad I_n=\frac{e-I_{n+1}}{n+1}.}$$
### Question 6.c
> [!INDICATION]
> Multipliez la relation de 6.b par $n$ et faites apparaître un quotient de limite connue.
> [!INDICATION]
> Utilisez la limite de 5.c pour la suite $(I_{n+1})$. Pour l'équivalent, revenez à la définition : quotient qui tend vers $1$.
#### Solution
Pour $n\in\mathbb N$, d'après 6.b :
$$nI_n=\frac n{n+1}\big(e-I_{n+1}\big).$$
On a $\dfrac n{n+1}=\dfrac1{1+1/n}\to1$, et $I_{n+1}\to0$ d'après 5.c, donc $e-I_{n+1}\to e$. Par produit :
$$\boxed{\lim_{n\to+\infty}nI_n=e.}$$
Comme $e\neq0$, cela s'écrit $\dfrac{I_n}{e/n}=\dfrac{nI_n}e\to1$, c'est-à-dire :
$$\boxed{I_n\underset{n\to+\infty}{\sim}\frac en.}$$
> [!PIEGE]
> La majoration $I_n\le\frac e{n+1}$ ne donne pas d'équivalent : une inégalité ne dit rien du comportement précis (la suite nulle la vérifie aussi). C'est la relation exacte de 6.b qui permet de conclure.
> [!JURY]
> Le passage de $\lim nI_n=e$ à $I_n\sim\frac en$ utilise $e\neq0$ : une limite nulle ne fournirait aucun équivalent. Cette justification est attendue.
## Exercice de Probabilités
Une urne contient $N-1$ boules vertes et une rouge, donc $V_i=\overline{R_i}$ pour tout $i$. La partie 1 utilise les probabilités conditionnelles (tirages sans remise), la partie 2 l'indépendance (tirages avec remise).
### Partie 1 — Question 1
> [!INDICATION]
> Combien de boules au total, combien de rouges, et sont-elles équiprobables ?
#### Solution
On tire une boule au hasard parmi 3, dont une seule est rouge :
$$\boxed{P(R_1)=\frac13.}$$
> [!PIEGE]
> Ce sont les boules qui sont équiprobables, pas les couleurs : la réponse n'est pas $\frac12$.
### Partie 1 — Question 2.a
> [!INDICATION]
> Pour la probabilité conditionnelle, décrivez le contenu de l'urne après le premier tirage, sachant qu'il a donné une verte.
#### Solution
$$\boxed{P(V_1)=\frac23,\qquad P_{V_1}(R_2)=\frac12.}$$
En effet, deux boules sur trois sont vertes ; sachant $V_1$, l'urne contient une verte et une rouge.
### Partie 1 — Question 2.b
> [!INDICATION]
> Quelle formule relie la probabilité d'une intersection à une probabilité conditionnelle ?
#### Solution
Comme $P(V_1)\neq0$, la formule des probabilités composées donne
$$P(V_1\cap R_2)=P(V_1)\,P_{V_1}(R_2)=\frac23\times\frac12=\boxed{\frac13}.$$
> [!PIEGE]
> Sans remise, $V_1$ et $R_2$ ne sont pas indépendants : écrire $P(V_1)\,P(R_2)$ serait faux.
### Partie 1 — Question 3
> [!INDICATION]
> Généralisez la formule de 2.b à trois événements.
> [!INDICATION]
> Que contient l'urne après deux tirages verts sans remise ?
#### Solution
$P(V_1)=\frac23\neq0$. Sachant $V_1$, l'urne contient une verte et une rouge, donc $P_{V_1}(V_2)=\frac12$ et $P(V_1\cap V_2)=\frac13\neq0$. Sachant $V_1\cap V_2$, il ne reste que la boule rouge, donc $P_{V_1\cap V_2}(R_3)=1$. Par la formule des probabilités composées :
$$P(V_1\cap V_2\cap R_3)=P(V_1)\,P_{V_1}(V_2)\,P_{V_1\cap V_2}(R_3)=\frac23\times\frac12\times1=\boxed{\frac13}.$$
> [!METHODE]
> Un arbre pondéré, où chaque nœud indique la composition de l'urne (figure 2), donne immédiatement chaque probabilité conditionnelle.
### Partie 1 — Question 4.a
> [!INDICATION]
> Combien de boules vertes peut-on tirer au plus avant la rouge, sachant qu'on ne les remet pas ?
#### Solution
Il faut au moins un tirage ; il y a seulement deux boules vertes, donc la rouge sort au plus tard au troisième tirage. Les trois valeurs sont atteintes (voir 4.b) :
$$\boxed{X(\Omega)=\{1,2,3\}.}$$
### Partie 1 — Question 4.b
> [!INDICATION]
> Écrivez chaque événement $(X=k)$ à l'aide des événements $V_i$ et $R_i$, puis reconnaissez les questions précédentes.
#### Solution
- $(X=1)=R_1$, donc $P(X=1)=\frac13$ (question 1) ;
- $(X=2)=V_1\cap R_2$, donc $P(X=2)=\frac13$ (question 2.b) ;
- $(X=3)=V_1\cap V_2\cap R_3$, donc $P(X=3)=\frac13$ (question 3).
$$\boxed{P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=\frac13.}$$
Contrôle : $\frac13+\frac13+\frac13=1$.
> [!JURY]
> Lorsque l'énoncé demande d'utiliser les questions précédentes, la justification attendue est la traduction de chaque événement $(X=k)$, pas un nouveau calcul.
### Partie 1 — Question 4.c
> [!INDICATION]
> Toutes les valeurs prises ont la même probabilité : quelle loi usuelle reconnaissez-vous ?
#### Solution
$X$ prend les trois valeurs $1,2,3$, chacune avec la probabilité $\frac13$ :
$$\boxed{X\text{ suit la loi uniforme sur }\{1,2,3\}.}$$
> [!METHODE]
> Interprétation : tirer les boules une à une sans remise revient à les ranger dans un ordre aléatoire ; la position de la rouge est alors uniforme parmi les trois places.
### Partie 1 — Question 4.d
> [!INDICATION]
> « Nombre moyen » se traduit par une espérance.
#### Solution
$X$ prend un nombre fini de valeurs, donc admet une espérance :
$$E(X)=1\times\frac13+2\times\frac13+3\times\frac13=\boxed{2}.$$
**Il faut en moyenne 2 tirages pour obtenir la boule rouge.** On retrouve la formule $\frac{n+1}2$ de l'espérance de la loi uniforme sur $\{1,\dots,n\}$, avec $n=3$.
### Partie 2 — Question 1
> [!INDICATION]
> Avec remise, la composition de l'urne au moment du $i$-ème tirage ne dépend pas de $i$.
#### Solution
À chaque tirage, l'urne contient $N$ boules équiprobables, dont une rouge et $N-1$ vertes :
$$\boxed{\forall i\ge1,\quad P(R_i)=\frac1N,\qquad P(V_i)=\frac{N-1}N.}$$
Les tirages avec remise sont de plus mutuellement indépendants, ce qui servira à la question 2.
### Partie 2 — Question 2.a
> [!INDICATION]
> Pour additionner les probabilités des deux événements de la réunion, que faut-il vérifier ?
> [!INDICATION]
> Pour calculer chacun des deux termes, quelle propriété des tirages avec remise permet de multiplier les probabilités ?
#### Solution
Les événements $R_1\cap R_2\cap V_3$ et $V_1\cap V_2\cap R_3$ sont incompatibles : le premier est inclus dans $R_1$, le second dans $V_1=\overline{R_1}$. Donc
$$P(Y=3)=P(R_1\cap R_2\cap V_3)+P(V_1\cap V_2\cap R_3).$$
Les tirages étant avec remise, ils sont mutuellement indépendants :
$$P(R_1\cap R_2\cap V_3)=\frac1{N^2}\cdot\frac{N-1}N=\frac{N-1}{N^3},\qquad P(V_1\cap V_2\cap R_3)=\frac{(N-1)^2}{N^2}\cdot\frac1N=\frac{(N-1)^2}{N^3}.$$
En factorisant :
$$P(Y=3)=\frac{(N-1)\big(1+(N-1)\big)}{N^3}=\frac{(N-1)N}{N^3}=\boxed{\frac{N-1}{N^2}}.$$
> [!JURY]
> « Calculer soigneusement » appelle deux justifications explicites : l'incompatibilité, qui autorise l'addition, et l'indépendance, qui autorise la multiplication.
### Partie 2 — Question 2.b
> [!INDICATION]
> Que peut-on dire des $k-1$ premiers tirages si l'on n'a pas encore vu les deux couleurs, et que se passe-t-il au $k$-ième ?
> [!INDICATION]
> Distinguez selon la couleur du premier tirage : vous obtenez deux scénarios, qui généralisent la décomposition donnée en 2.a.
#### Solution
Soit $k\ge2$. L'événement $(Y=k)$ signifie qu'après $k-1$ tirages on n'a pas encore obtenu les deux couleurs, donc que les $k-1$ premiers tirages sont tous de la même couleur, et que le $k$-ième tirage donne l'autre couleur :
$$(Y=k)=\big(R_1\cap\cdots\cap R_{k-1}\cap V_k\big)\cup\big(V_1\cap\cdots\cap V_{k-1}\cap R_k\big).$$
Ces deux événements sont incompatibles (inclus respectivement dans $R_1$ et dans $V_1$). Par indépendance mutuelle des tirages :
$$P(Y=k)=\left(\frac1N\right)^{k-1}\frac{N-1}N+\left(\frac{N-1}N\right)^{k-1}\frac1N.$$
$$\boxed{\forall k\ge2,\quad P(Y=k)=\frac{(N-1)+(N-1)^{k-1}}{N^k}.}$$
Contrôles : pour $k=3$, on retrouve $\frac{(N-1)N}{N^3}=\frac{N-1}{N^2}$ ; pour $k=2$, $P(Y=2)=\frac{2(N-1)}{N^2}=P(R_1\cap V_2)+P(V_1\cap R_2)$. Enfin $Y\ge2$, un seul tirage ne donnant qu'une couleur, et la somme des deux séries géométriques vaut $\frac1N+\frac{N-1}N=1$ : l'événement « toujours la même couleur » est de probabilité nulle.
> [!PIEGE]
> Ne retenir que le scénario « vertes puis rouge » fait perdre la moitié de la réponse : rien n'empêche de tirer la rouge en premier, auquel cas c'est une verte que l'on attend. Autre erreur : appliquer la formule à $k=1$, alors que $P(Y=1)=0$.
> [!METHODE]
> Si $T_R$ et $T_V$ désignent les rangs de la première rouge et de la première verte, l'un des deux vaut $1$ et $Y=\max(T_R,T_V)$. Décomposer selon le résultat du premier tirage est le réflexe pour ce type de temps d'attente.
## Bilan
**Méthodes à retenir.**
- *Diagonaliser pour simplifier.* Le changement d'inconnue $Y=P^{-1}XP$ remplace $A$ par la matrice diagonale $D$ ; l'équation se découple alors coefficient par coefficient. Retenir les deux réflexes de calcul : insérer $PP^{-1}=I_2$, et revenir à $X$ par $X=PYP^{-1}$.
- *Existence ou non-existence.* Une équation sans solution se justifie par une contradiction explicite (ici $0=1$ sur un coefficient), pas par un échec de calcul.
- *Suites d'intégrales.* Le schéma signe, monotonie, encadrement, récurrence par intégration par parties, équivalent est un grand classique. Un encadrement donne la limite ; seule une relation exacte donne l'équivalent.
- *Probabilités.* Sans remise : formule des probabilités composées et arbre pondéré. Avec remise : indépendance des tirages. Dans les deux cas, on additionne sur des événements incompatibles et on le dit.
**Prérequis à revoir.** Déterminant et inverse d'une matrice $2\times2$ ; caractérisation des valeurs propres ; positivité et croissance de l'intégrale ; théorème d'encadrement ; intégration par parties ; définition d'un équivalent ; probabilités conditionnelles et indépendance ; loi uniforme et espérance.
**Questions transposables.** L'équation $AX+XA=B$ (ou $AX-XA=B$) se traite de la même façon pour toute matrice diagonalisable ; la suite $\int_0^1x^nf(x)\,\mathrm dx$, avec $f$ continue, est équivalente à $\frac{f(1)}n$ lorsque $f$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $[0,1]$ et $f(1)\neq0$ (même intégration par parties) ; le temps d'attente de « deux couleurs vues » se décompose toujours selon le premier tirage.
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