Physique

# Agro-Véto BCPST — Physique 2026 · Corrigé brut

*Corrigé rédigé par IA (La Belle Copie), non officiel. Signalez toute erreur.*

Épreuve de 3 heures, calculatrice autorisée. Données utilisées : $T_i = 1450$ °C, $T_s = 700$ °C, $\eta = 2{,}5$ Pa·s, $\gamma = 0{,}5$ N·m⁻¹, $\rho = 2{,}3\times10^3$ kg·m⁻³, $\ell_{fus} = 4{,}0\times10^5$ J·kg⁻¹, $c = 1{,}5\times10^3$ J·kg⁻¹·K⁻¹, $D_{th} = 3\times10^{-6}$ m²·s⁻¹ ; $u = 20$ m·s⁻¹, $T_a = 40$ °C, $\rho_a = 1{,}3$ kg·m⁻³, $C_D \simeq 1$, $h = 100$ W·m⁻²·K⁻¹, $\eta_a = 2\times10^{-5}$ Pa·s.

## I. Formation d'un cheveu

### I.A. Volume des gouttes

### Question 1

Dimensions : $[\gamma] = \mathrm{N\cdot m^{-1}} = \mathrm{kg\cdot s^{-2}}$, $[\rho_a] = \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$, $[u] = \mathrm{m\cdot s^{-1}}$. On cherche $r_0 = K\,\gamma^{\alpha}\rho_a^{\beta}u^{\delta}$ ($K$ sans dimension) homogène à une longueur :

$$\mathrm{kg}^{\alpha+\beta}\,\mathrm{m}^{-3\beta+\delta}\,\mathrm{s}^{-2\alpha-\delta} = \mathrm{m}
\iff
\begin{cases} \alpha+\beta = 0\\ -3\beta+\delta = 1\\ -2\alpha-\delta = 0 \end{cases}
\iff \alpha = 1,\ \beta = -1,\ \delta = -2 .$$

La seule longueur constructible avec $\gamma$, $\rho_a$ et $u$ est donc, à un facteur numérique près,

$$\boxed{r_0 = \frac{\gamma}{\rho_a u^2}}$$

Interprétation : $r_0$ égale la pression capillaire $\gamma/r_0$ à la pression dynamique du vent $\rho_a u^2$.

### Question 2

$$r_0 = \frac{0{,}5}{1{,}3\times 20^2} = 9{,}6\times10^{-4}\ \mathrm{m} \approx 0{,}96\ \mathrm{mm},\qquad
V_0 = \frac43\pi r_0^3 = \frac43\pi\,(0{,}96\ \mathrm{mm})^3$$

$$\boxed{V_0 \approx 3{,}7\ \mathrm{mm^3} = 3{,}7\times10^{-9}\ \mathrm{m^3}}$$

Valeur un peu inférieure aux $10$ mm³ retenus ensuite (facteur 2,7 sur le volume, 1,4 sur le rayon) : l'ordre de grandeur est correct.

### I.B. Accélération d'un cylindre qui s'étire

### Question 3

Le cylindre n'échange pas de matière avec l'extérieur : c'est un système fermé, de masse $m$ constante. Sa masse volumique $\rho$ est supposée constante (liquide incompressible). Son volume $V = m/\rho$ est donc constant et égal au volume initial de la goutte :

$$\boxed{S(t)\,L(t) = V_0 \quad\text{pour tout } t}$$

### Question 4

La tranche comprise entre $x$ et $x+\mathrm{d}x$ a pour volume $S\,\mathrm{d}x$, avec $S = V_0/L$ :

$$\boxed{\mathrm{d}m = \rho S\,\mathrm{d}x = \frac{\rho V_0}{L}\,\mathrm{d}x}$$

À $t$ fixé, $L$ ne dépend pas de $x$ :

$$p = \int_0^L \frac{x}{L}\,v(L)\,\frac{\rho V_0}{L}\,\mathrm{d}x = \frac{\rho V_0\,v(L)}{L^2}\cdot\frac{L^2}{2}
\qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{p = \frac{\rho V_0}{2}\,v(L)}$$

(On reconnaît $p = m\,v_G$ avec $m = \rho V_0$ et $v_G = v(L/2) = v(L)/2$.)

### Question 5

La face gauche est fixe en $x = 0$ et la face droite, matérielle, est en $x = L(t)$ : sa vitesse est $v(L) = \dfrac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}$. Comme $\rho$ et $V_0$ sont constants :

$$m\,a(t) = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} = \frac{\rho V_0}{2}\,\frac{\mathrm{d}v(L)}{\mathrm{d}t}
\qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{m\,a(t) = \frac{\rho V_0}{2}\,\frac{\mathrm{d}^2L}{\mathrm{d}t^2}(t)}$$

### I.C. Équation différentielle et temps caractéristiques

### Question 6

On ne garde que le terme de vent dans (1) :

$$\frac{\rho V_0}{2}\frac{\mathrm{d}^2L}{\mathrm{d}t^2} \simeq \frac12\rho_a C_D \frac{V_0}{L}u^2 .$$

Loi d'échelle : à temps courts, $L \sim 2r_0$ et, pour le temps caractéristique $\tau_a$, $\dfrac{\mathrm{d}^2L}{\mathrm{d}t^2} \sim \dfrac{2r_0}{\tau_a^2}$. Avec $C_D \simeq 1$ :

$$\frac{\rho V_0}{2}\cdot\frac{2r_0}{\tau_a^2} \sim \frac12\rho_a\frac{V_0}{2r_0}u^2
\quad\Longrightarrow\quad \tau_a^2 \sim \frac{4r_0^2}{u^2}\,\frac{\rho}{\rho_a}
\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\tau_a = \frac{2r_0}{u}\sqrt{\frac{\rho}{\rho_a}}}$$

Contrôle : $\tau_a = \dfrac{2\times 9{,}6\times10^{-4}}{20}\sqrt{\dfrac{2300}{1{,}3}} \approx 4{,}0\times10^{-3}$ s.

### Question 7

Avec $V_0 = 10\ \mathrm{mm^3} = 1{,}0\times10^{-8}\ \mathrm{m^3}$ :

$$\tau_c = \sqrt{\frac{\rho V_0}{\gamma}} = \sqrt{\frac{2{,}3\times10^3\times1{,}0\times10^{-8}}{0{,}5}} = \sqrt{4{,}6\times10^{-5}}\ \mathrm{s}
\qquad \boxed{\tau_c \approx 6{,}8\times10^{-3}\ \mathrm{s}}$$

Commentaire : $\tau_c/\tau_a \approx 1{,}7$. Les deux temps sont du même ordre de grandeur (quelques millisecondes) : l'étirement par le vent et le rappel capillaire sont en compétition, aucun ne domine nettement. Le vent agit un peu plus vite, ce qui permet à l'étirement de s'amorcer avant que la tension de surface ne ramène la goutte vers la forme sphérique. La mise en forme est quasi instantanée.

### Question 8

À l'équilibre, $\dfrac{\mathrm{d}^2L}{\mathrm{d}t^2} = 0$ :

$$\frac12\rho_a C_D \frac{V_0}{L_{eq}}u^2 = \gamma\left(\frac{V_0}{L_{eq}}\right)^{1/2}
\ \Longrightarrow\ \left(\frac{V_0}{L_{eq}}\right)^{1/2} = \frac{2\gamma}{\rho_a C_D u^2}
\ \Longrightarrow\ \boxed{L_{eq} = V_0\left(\frac{\rho_a C_D u^2}{2\gamma}\right)^2 = \frac{\rho_a^2 C_D^2 u^4 V_0}{4\gamma^2}}$$

Application numérique ($C_D = 1$) : $\dfrac{\rho_a u^2}{2\gamma} = \dfrac{1{,}3\times400}{1} = 520\ \mathrm{m^{-1}}$, d'où

$$L_{eq} = 1{,}0\times10^{-8}\times 520^2 \qquad \boxed{L_{eq} \approx 2{,}7\times10^{-3}\ \mathrm{m} = 2{,}7\ \mathrm{mm}}$$

Avec $r_0 = \gamma/(\rho_a u^2)$, on a aussi $L_{eq} = V_0/(4r_0^2)$ : la section d'équilibre vaut $(2r_0)^2$.

### Question 9

- $L_{eq} \approx 2{,}7$ mm est à peine supérieur au diamètre de la goutte de départ (sphère de $10$ mm³ : diamètre $2{,}7$ mm ; $2r_0 \approx 1{,}9$ mm). Le modèle ne prévoit donc quasiment pas d'étirement, alors que les cheveux de Pélé mesurent plusieurs centimètres, soit 10 fois plus. **Le modèle n'est pas crédible quantitativement** ; il donne seulement l'ordre de grandeur millimétrique de la goutte et le bon sens de variation ($L_{eq}$ croît avec $u$, décroît avec $\gamma$).
- L'équation (1) ne contient aucun terme dissipatif : l'équilibre est stable (pour $L < L_{eq}$ la force résultante allonge, pour $L > L_{eq}$ elle raccourcit), mais le système oscille autour de $L_{eq}$ sans s'y arrêter. $L_{eq}$ n'est donc pas une longueur finale.
- La viscosité $\eta$, pourtant donnée et élevée, n'intervient pas : la force notée « force de viscosité » $F_c = -\gamma S^{1/2}$ ne contient que $\gamma$, c'est une force capillaire. La solidification, qui fige la forme, est aussi absente.
- $L_{eq} \propto u^4$ : le résultat est très sensible au vent ($u = 40$ m·s⁻¹ donnerait $4{,}3$ cm). Une rafale suffit à changer l'ordre de grandeur, ce qui rend la prédiction peu robuste.
- La traînée est écrite avec la section droite $S$ ; pour un cylindre placé en travers du vent, l'aire exposée est plutôt $2RL$, qui croît avec $L$.

### I.D. Viscosité

### Question 10

- **Eau (figure 3).** Le pont liquide s'étrangle, s'amincit en un filament qui se rompt en quelques dizaines de millisecondes (images espacées de $8{,}3$ ms ; rupture entre la 4ᵉ et la 5ᵉ image), puis se fragmente en gouttelettes sous l'effet de la tension de surface, qui tend à minimiser l'aire de l'interface.
- **Huile siliconée (figure 4).** Même tension de surface, viscosité 100 fois plus grande : le filament s'amincit beaucoup plus lentement, reste continu, long et régulier ; le temps de rupture ($\sim 1$ s) est bien plus long que la durée de l'étirement.
- **Rôle de la viscosité.** La tension de surface est le moteur de la rupture et de la mise en gouttes ; la viscosité s'oppose aux déformations rapides du fluide et ralentit donc l'écoulement du liquide hors de l'étranglement. À tension de surface égale, un fluide visqueux peut être étiré en un long filament sans se fragmenter. La lave est 2500 fois plus visqueuse que l'eau (nombre d'Ohnesorge $\eta/\sqrt{\rho\gamma R} \approx 3$, régime visqueux comme l'huile) ; de plus sa viscosité augmente très fortement quand elle refroidit, ce qui fige le filament étiré par le vent.
- **Conséquence.** Le vent étire, la viscosité empêche la fragmentation pendant l'étirement : on obtient des filaments, les cheveux. Là où la capillarité l'emporte, la matière se rassemble en gouttes solidifiées, les larmes de Pélé (figures 1 et 5), souvent attachées à la base des cheveux.

## II. Solidification des cheveux de Pélé

Cylindre de longueur $L = 1{,}0$ cm et de rayon $R = 0{,}56$ mm ($\pi R^2 L \approx 9{,}9\times10^{-9}$ m³ $\approx V_0$), de température uniforme $T(t)$.

### II.A. Étape de refroidissement

### Question 11

Loi de Newton, flux algébriquement reçu par le cylindre :

$$\boxed{\phi = h\,S_{tot}\,(T_a - T)}$$

Pour $T > T_a$, $\phi < 0$ : le cylindre cède de l'énergie à l'air.

### Question 12

$$\frac{S_{lat}}{S} = \frac{2\pi RL}{\pi R^2} = \frac{2L}{R} = \frac{2\times1{,}0\times10^{-2}}{5{,}6\times10^{-4}} \approx 36 .$$

$S_{tot} = S_{lat} + 2S = S_{lat}(1 + R/L)$ : les deux bases représentent $5{,}6$ % de la surface latérale et sont négligées.

$$\boxed{S_{tot} \simeq 2\pi RL \qquad \phi \simeq 2\pi R L\,h\,(T_a - T)}$$

### Question 13

Système : le cylindre de lave, fermé, de masse $m = \rho\pi R^2 L$, phase condensée de capacité thermique massique $c$. Premier principe entre $t$ et $t+\mathrm{d}t$ (pas de travail autre que celui des forces de pression, négligeable pour une phase condensée) :

$$m\,c\,\mathrm{d}T = \phi\,\mathrm{d}t \iff \rho\pi R^2 L\,c\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} = 2\pi RL\,h\,(T_a - T).$$

En divisant par $2\pi R L h$ :

$$\boxed{\frac{\rho R c}{2h}\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}(t) + T(t) = T_a} \qquad (2)$$

### Question 14

Par identification avec la forme canonique $\tau\,\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} + T = T_a$ :

$$\boxed{\tau = \frac{\rho R c}{2h}} \qquad \tau = \frac{2{,}3\times10^3\times5{,}6\times10^{-4}\times1{,}5\times10^3}{2\times100} \approx 9{,}7\ \mathrm{s}.$$

### Question 15

Solution particulière constante $T_a$, solution homogène $A\,e^{-t/\tau}$ ; la condition initiale $T(0) = T_i$ donne $A = T_i - T_a$ :

$$\boxed{T(t) = T_a + (T_i - T_a)\,e^{-t/\tau}}$$

### Question 16

$T(t_1) = T_s \iff e^{-t_1/\tau} = \dfrac{T_s - T_a}{T_i - T_a}$, d'où

$$\boxed{t_1 = \tau\,\ln\frac{T_i - T_a}{T_s - T_a}}$$

Les écarts de température s'expriment indifféremment en °C ou en K : $t_1 = 9{,}66\times\ln\dfrac{1410}{660} = 9{,}66\times0{,}759$, soit $\boxed{t_1 \approx 7{,}3\ \mathrm{s}}$.

### II.B. Étape de changement d'état

### Question 17

Pendant la solidification, $T = T_s$ reste constante ; le flux reçu est constant : $\phi = 2\pi RL\,h\,(T_a - T_s) < 0$. La solidification complète libère l'énergie $m\,\ell_{fus} = \rho\pi R^2 L\,\ell_{fus}$, qui doit être évacuée vers l'air. Bilan enthalpique (pression constante) sur la durée $t_2$ :

$$-\rho\pi R^2 L\,\ell_{fus} = \phi\,t_2 = -2\pi RL\,h\,(T_s - T_a)\,t_2
\qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{t_2 = \frac{\rho R\,\ell_{fus}}{2h\,(T_s - T_a)}}$$

$$t_2 = \frac{2{,}3\times10^3\times5{,}6\times10^{-4}\times4{,}0\times10^5}{2\times100\times660} \qquad \boxed{t_2 \approx 3{,}9\ \mathrm{s}}$$

On retrouve $t_{tot} = t_1 + t_2 \approx 11{,}2$ s.

### Question 18

![Figure 1 — Allure de T(t) : refroidissement exponentiel de T_i vers l'asymptote T_a jusqu'à T_s en t_1, puis palier de solidification de durée t_2 ; la tangente à l'origine coupe l'asymptote en τ](/figures/corriges/agro-veto_bcpst_physique_2026/q18-allure-temperature.svg)

- Repères : $t_1 \approx 7{,}3$ s, $\tau \approx 9{,}7$ s, $t_{tot} \approx 11{,}2$ s ; $T_a = 40$ °C, $T_s = 700$ °C, $T_i = 1450$ °C.
- Sur $[0\,;t_1]$ : exponentielle décroissante et convexe, qui tendrait vers l'asymptote $T = T_a$.
- La tangente à l'origine, de pente $-(T_i - T_a)/\tau$, coupe l'asymptote en $t = \tau$ ; comme $\tau > t_1$, elle est prolongée au-delà de la fin du refroidissement.
- En $t_1$, la pente vaut $-(T_s - T_a)/\tau \approx -68$ °C·s⁻¹, puis le palier est horizontal : point anguleux.

| $t$ (s) | 0 | 2 | 4 | 6 | 7,3 | 7,3 → 11,2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $T$ (°C) | 1450 | 1186 | 972 | 798 | 700 | 700 (palier) |

### II.C. Résultats et discussion sur le modèle

### Question 19

$$\frac{t_{tot}}{\tau_a} \approx \frac{11{,}2}{4\times10^{-3}} \approx 3\times10^3, \qquad \frac{t_{tot}}{\tau_c} \approx \frac{11{,}2}{6{,}8\times10^{-3}} \approx 2\times10^3 .$$

La solidification est environ mille fois plus lente que la mise en forme mécanique. L'étirement se fait donc pendant que la lave est entièrement liquide, et la forme du cheveu est fixée par la mécanique bien avant que la lave ne fige ; on peut traiter séparément formation et solidification, et considérer la géométrie comme fixée pendant le refroidissement. En contrepartie, la capillarité dispose de nombreux temps $\tau_c$ pour fragmenter le filament avant qu'il ne fige : ce sont la viscosité, et son augmentation au refroidissement (Q10), qui permettent au cheveu de survivre.

### Question 20

La loi d'échelle de la diffusion relie une distance $\ell$ et un temps par $\ell^2 \sim D_{th}\,t$. La chaleur s'évacue par la surface latérale : la distance à parcourir du cœur à la surface est le rayon $R$.

$$\boxed{\tau_{diff} \sim \frac{R^2}{D_{th}}} \qquad \tau_{diff} = \frac{(5{,}6\times10^{-4})^2}{3\times10^{-6}} \approx 0{,}10\ \mathrm{s}.$$

$\tau_{diff}/\tau \approx 0{,}01 \ll 1$ : la température s'homogénéise dans le cylindre environ cent fois plus vite qu'elle ne varie par les échanges avec l'air. **L'hypothèse de température uniforme est justifiée.** (Avec $L$ comme distance, on obtiendrait $33$ s, mais ce n'est pas la distance pertinente : le flux est radial.)

### Question 21

- **Rayonnement négligé.** À 1450 °C la lave est incandescente : le rayonnement thermique est un mode d'échange important. Ordre de grandeur (loi de Stefan, émissivité $\approx 0{,}9$) : $\varepsilon\sigma T_i^4 \approx 4\times10^5$ W·m⁻², supérieur au flux conducto-convectif $h(T_i - T_a) \approx 1{,}4\times10^5$ W·m⁻². En le prenant en compte, $t_{tot}$ serait environ deux fois plus court (de l'ordre de 5 s).
- **Géométrie fixe.** Le cylindre continue de s'étirer et de s'affiner ; or $\tau \propto R$ : un cheveu plus fin refroidit plus vite. Les vrais cheveux, de largeur une fraction de millimètre, se solidifient plus vite que prévu.
- **$h$ constant.** Le coefficient conducto-convectif dépend de la vitesse relative de l'air et du rayon ; il varie pendant le vol.
- **Changement d'état idéalisé.** La lave est un mélange de silicates : pas de température de solidification unique mais un intervalle ; les cheveux de Pélé sont des verres (solidification amorphe), sans palier net ni chaleur latente bien définie.
- **Propriétés constantes.** $c$, $\rho$ et surtout la viscosité varient avec la température sur un intervalle de 750 °C ; la solidification commence en surface (croûte) avant le cœur.
- **Environnement.** Près de l'éruption, l'air et les gaz volcaniques sont bien plus chauds que 40 °C.

## III. Mécanique : transport des cheveux de Pélé

Cylindre solidifié de masse $m = 2{,}3\times10^{-5}$ kg, $g = 10$ m·s⁻², $\|\vec v_0\| = v_0 = 10$ m·s⁻¹.

### III.A. Vent et frottements négligés

### Question 22

Système : le cheveu, assimilé à un point matériel de masse $m$ ; référentiel terrestre galiléen ; seule force : le poids $m\vec g = -mg\,\vec e_y$. Le PFD donne $\ddot x = 0$ et $\ddot y = -g$. Avec $x(0) = y(0) = 0$, $\dot x(0) = v_0\cos\alpha$, $\dot y(0) = v_0\sin\alpha$, deux intégrations donnent

$$\boxed{x(t) = v_0\cos\alpha\;t \qquad y(t) = -\frac12 g t^2 + v_0\sin\alpha\;t}$$

### Question 23

Pour $\cos\alpha \neq 0$, $t = x/(v_0\cos\alpha)$ :

$$\boxed{y(x) = x\tan\alpha - \frac{g\,x^2}{2v_0^2\cos^2\alpha}}$$

C'est une parabole tournée vers le bas.

### Question 24

$y(D) = 0$ avec $D \neq 0$ : $\tan\alpha = \dfrac{gD}{2v_0^2\cos^2\alpha}$, soit

$$\boxed{D = \frac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g} = \frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}}$$

$D$ est maximale pour $\sin 2\alpha = 1$ : $\boxed{\alpha = \pi/4}$, et $\boxed{D_{max} = \dfrac{v_0^2}{g} = 10\ \mathrm{m}}$.

Une telle portée ne présente **aucun risque sanitaire** : les retombées restent à une dizaine de mètres du cratère, dans une zone déjà dangereuse et sans cultures, alors que les cheveux sont observés à plusieurs kilomètres. Le modèle sans vent ne rend pas compte du transport.

### Question 25

$y(\tau_{vol}) = 0$ avec $\tau_{vol} \neq 0$ :

$$\boxed{\tau_{vol} = \frac{2v_0\sin\alpha}{g}} \qquad \text{pour } \alpha = \frac{\pi}{4} : \ \tau_{vol} = \frac{2\times10\times\frac{\sqrt2}{2}}{10} = \sqrt2 \approx 1{,}4\ \mathrm{s}.$$

Commentaire : ce vol est très court. Il est bien plus court que la durée de solidification $t_{tot} \approx 11$ s : sans vent, la particule retomberait encore liquide, en contradiction avec l'hypothèse « cylindre déjà solidifié ». Un vol si bref ne peut pas transporter les cheveux à des kilomètres : il faut tenir compte du vent et des frottements de l'air (temps caractéristique de freinage $1/(kv) \sim 0{,}1$ s avec $k \simeq 1$ m⁻¹ et $v \sim 10$ m·s⁻¹, bien inférieur à $\tau_{vol}$).

### III.B. En présence de vent

### Question 26

$$Re = \frac{\rho_a\,V\,d}{\eta_a}$$

avec $\rho_a$ et $\eta_a$ relatifs à l'air (fluide en écoulement), $V$ la vitesse de l'air par rapport au cylindre ($V \sim u$) et $d$ la dimension transverse du cylindre, son diamètre $2R$ :

$$Re = \frac{1{,}3\times20\times1{,}12\times10^{-3}}{2\times10^{-5}} \qquad \boxed{Re \approx 1{,}5\times10^3}$$

### Question 27

$Re \approx 1{,}5\times10^3 \gg Re_c \approx 100$ : la convection l'emporte sur la viscosité. **Les frottements sont quadratiques** en la vitesse relative, de la forme $\vec F = -\frac12\rho_a C_D S_{ref}\,\|\vec v - \vec u\|\,(\vec v - \vec u)$, ce qui est bien la forme des équations (3). Le choix de la longueur ($R$ ou $L$ au lieu de $2R$) ne change pas la conclusion.

### Question 28

Schéma d'Euler explicite $X_{n+1} = X_n + \dot X_n\,\mathrm{d}t$, avec $\dot y = v_y$ et $\dot v_y = -g - k\|\vec v - \vec u\|\,v_y$ :

```python
    y_new = y+vy*dt
    vy_new = vy-g*dt-k*np.sqrt((vx-u)**2+vy**2)*vy*dt
```

### Question 29

La boucle se poursuit tant que $y \geq 0$, c'est-à-dire tant que le cheveu est au-dessus de l'altitude de son point de lancement, le sommet du volcan. Elle s'arrête au premier point calculé d'altitude négative (le test précède le calcul du pas suivant) : le sol est modélisé par le plan horizontal passant par le sommet.

Ce choix est discutable : autour du sommet, le terrain descend. Un cheveu qui passe sous $y = 0$ n'a pas atterri, il survole encore le flanc du volcan. La simulation s'arrête trop tôt et sous-estime fortement la portée ; il faudrait comparer $y$ à l'altitude du terrain à l'abscisse $x$ (profil du document 3), ce que font les questions suivantes en prolongeant la résolution au-delà de $y = 0$.

### Question 30

- **Allure.** Après une courte phase de montée (altitude maximale inférieure à 1 m, contre $2{,}5$ m sans frottement) qui s'étend sur quelques mètres, chaque trajectoire devient une **droite** descendante. La pente de cette droite est d'autant plus faible que $u$ est grand : pour une même descente de $2{,}35$ m, le cheveu parcourt environ $20$ m pour $u = 15$ m·s⁻¹ et $37$ m pour $u = 30$ m·s⁻¹.
- **Transport kilométrique.** En régime établi, le cheveu est entraîné horizontalement à la vitesse du vent et tombe lentement, à vitesse constante ($\approx 3$ m·s⁻¹) : il ne perd que $160$ m d'altitude par kilomètre parcouru pour $u = 20$ m·s⁻¹. Lancé du sommet, à plus de $2{,}6$ km d'altitude, et au-dessus d'un relief qui descend lui aussi, il peut parcourir des kilomètres.
- **Dispersion.** La distance parcourue dépend de $u$ (proportionnelle à $u$), de la direction du vent qui varie (étalement en azimut : une distance devient une surface), des rafales, et de la taille de chaque cheveu : $k \propto 1/R$, et la distance parcourue pour une dénivelée donnée croît comme $u\sqrt{k}$, donc les cheveux les plus fins vont plus loin. Les points d'émission et les conditions initiales varient aussi. Les retombées s'étalent donc sur de grandes surfaces.

### Question 31

Aux temps longs, on admet que les vitesses tendent vers des limites finies $v_{x,\infty}$ et $v_{y,\infty}$ ; les dérivées tendent alors vers $0$. En notant $N = \sqrt{(v_{x,\infty} - u)^2 + v_{y,\infty}^2}$, le système (3) donne

$$0 = -kN\,(v_{x,\infty} - u) \qquad\text{et}\qquad 0 = -g - kN\,v_{y,\infty}.$$

La seconde équation impose $kN\,v_{y,\infty} = -g \neq 0$, donc $N \neq 0$ et $v_{y,\infty} < 0$. La première donne alors $v_{x,\infty} = u$. Par suite $N = |v_{y,\infty}| = -v_{y,\infty}$ et la seconde devient $k\,v_{y,\infty}^2 = g$ :

$$\boxed{v_{x,\infty} = u \qquad v_{y,\infty} = -\sqrt{\frac{g}{k}}}$$

C'est un **régime permanent** (régime de vitesse limite) : le cheveu suit le vent horizontalement et tombe à vitesse constante, son poids étant compensé par la traînée. Numériquement $v_{y,\infty} = -\sqrt{10} \approx -3{,}2$ m·s⁻¹.

### Question 32

La pente de la trajectoire est $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \dfrac{v_y}{v_x}$ (avec $v_x \to u \neq 0$). Aux temps longs :

$$\boxed{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)_\infty = -\frac{1}{u}\sqrt{\frac{g}{k}}}$$

La trajectoire tend vers une droite. Valeurs : $-0{,}21$ ; $-0{,}16$ ; $-0{,}13$ ; $-0{,}11$ pour $u = 15$ ; $20$ ; $25$ ; $30$ m·s⁻¹, en accord avec les parties rectilignes du document 2.

### Question 33

**Pente du flanc.** Sur la figure 8, l'altitude passe de $2{,}6$ km au sommet ($x = 0$) à $0$ (niveau de la mer) pour $x \approx 11{,}8$ km :

$$p \approx \frac{2{,}6}{11{,}8} \approx 0{,}22 \quad (\text{environ } 12^\circ).$$

**Condition.** Partant du sommet, le cheveu s'éloigne durablement du sol si sa trajectoire descend moins vite que le flanc :

$$\frac{1}{u}\sqrt{\frac{g}{k}} < p \iff \boxed{u > u_{min} = \frac{1}{p}\sqrt{\frac{g}{k}}} \qquad u_{min} \approx \frac{3{,}16}{0{,}22} \approx 14\ \mathrm{m\cdot s^{-1}} \approx 50\ \mathrm{km\cdot h^{-1}}.$$

![Figure 2 — Trajectoire asymptotique du cheveu et flanc du volcan (pente moyenne p) : si u > u_min, l'écart au sol croît et le cheveu dépasse la côte ; si u < u_min, il retombe sur les pentes](/figures/corriges/agro-veto_bcpst_physique_2026/q33-trajectoire-flanc.svg)

Pour $u = 20$ m·s⁻¹ (pente $0{,}16 < 0{,}22$), le cheveu survole le flanc et atteint la côte, à plus de 12 km du cratère : il peut contaminer les zones agricoles. Pour un vent plus faible que 14 m·s⁻¹ environ, il retombe sur les pentes du volcan. Le profil n'étant pas de pente uniforme (replat sommital jusqu'à 1,4 km, tronçon plus raide entre 6 et 8 km, pente douce près de la côte), ce seuil n'est qu'un ordre de grandeur.